Podróże po Imperium Liczb - Wydział Matematyki i Informatyki ...

176 Wielomiany 12. Wielomiany cyklotomiczne
Wielomian (x + 1) n − x n − 1 jest oczywisście podzielny przez x. Można udowodnić:
12.17.8. Dla n 2 rozpatrzmy wielomian
f n (x) = (x + 1)n − x n − 1
.
x
(1) Jeśli α ∈ C jest pierwiastkiem wielomianu f n (x), to 1/α również jest pierwiastkiem
tego wielomianu.
(2) Jeśli p 3 jest liczbą pierwszą, to wielomian f 2p jest nierozkładalny. ([Fila] s.35).
Nie znamy odpowiedzi na anstępujące pytanie.
12.17.9. Czy dla każdej liczby parzystej n powyższy wielomian f n (x) jest nierozkładalny
nad Q ?. ([Fila] s.35).
12.17.10. Wielomian (x + 1) n + x n + 1 dzieli się przez wielomian x 2 + x + 1 wtedy i tylko
wtedy, gdy n = 6k ± 2. ([BoW] 12 s.47, [Szn] 7.39).
Dowodzimy to dokładnie tak samo jak stwierdzenie 12.17.6. Drobne zmiany w dowodzie
stwierdzenia 12.17.7 pozwalają natomiast udowodnić:
12.17.11. Wielomian (x + 1) n + x n + 1 dzieli się przez wielomian (x 2 + x + 1) 2 wtedy i tylko
wtedy, gdy n = 6k + 4.
oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo
12.18 Inne zastosowania wielomianów cyklotomicznych
oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo
Przy pomocy wielomianów cyklotomicznych łatwo dowodzi się następujące znane fakty.
12.18.1. Niech G będzie skończoną grupą abelową. Istnie wtedy rozszerzenie Galois ciała
liczb wymiernych, którego grupą Galois jest G. ([Mot1]).
12.18.2 (Wedderburn). Każde (skośne) ciało skończone jest przemienne. ([Mot4]).
12.18.3. Każda skończona podgrupa multyplikatywnej grupy ciała jest cykliczna. ([Mot5]).
12.18.4. Niech L będzie podciałem ciała liczb zespolonych i niech G będzie grupą wszystkich
jego elementów skończonego rzędu. Wtedy G jest skończoną grupą cykliczną. ([Mot7]).
12.18.5. Niech k będzie skończonym ciałem. Dla każdej liczby naturalnej n istnieje nierozkładalny
wielomian stopnia n należący do k[x]. ([Mot5]).
⋆ J. B. Dence, Primitive roots the cyclotomic way, preprint.
D. C. van Leijenhorst, A simple proof of Wedderburn’s theorem, preprint.
K. Motose, Let’s use cyclotomic polynomials in your lecture for your students, 2003.
B. Tuckerman, Factorization of x 2n + x n + 1 using cyclotomic polynomials, [MM] 42(1)(1969)
41-42.