Podróże po Imperium Liczb - Wydział Matematyki i Informatyki ...

Andrzej Nowicki, Wielomiany 12. Wielomiany cyklotomiczne 175
D. (Sposób I). Zauważmy najpierw, że
(x + 1) 2n = ( (x + 1) 2) n
=
(
x + (x 2 + x + 1) ) n
= x n + (x 2 + x + 1)q(x),
gdzie q(x) jest wielomianem zmiennej x o współczynnikach w Z. Wobec tego
x n+2 + (x + 1) 2n+1 = x 2 x n + (x + 1)(x + 1) 2n = x 2 x n + (x + 1) ( x n + (x 2 + x + 1)q(x) )
= (x 2 + x + 1) (x n + (x + 1)q(x)) .
Zatem rozważany wielomian jest podzielny przez x 2 + x + 1.
(Sposób II). Niech f(x) = x n+2 + (x + 1) 2n+1 . Mamy wtedy:
i teza wynika z 12.17.1. ⊠
f(ε) = ε n+2 + (ε + 1) 2n+1
= ε n+2 + (−ε 2 ) 2n+1
= ε n+2 − (ε 4 ) n ε 2
= ε n+2 − (ε 1 ) n ε 2
= ε n+2 − ε n+2 = 0
12.17.6. Wielomian (x + 1) n − x n − 1 dzieli się przez wielomian x 2 + x + 1 wtedy i tylko
wtedy, gdy n = 6k ± 1. ([BoW] 12 s.47, [Szn] 7.39).
D. Oznaczmy: f n (x) = (x + 1) n − x n − 1. Mamy wtedy:
f 6k (ε) = (ε + 1) 6k − ε 6k − 1 = (−ε 2 ) 6k − ε 6k − 1 = (ε 3 ) 4k − (ε 3 ) 2k − 1 = 1 4k − 1 2k − 1 = −1 ≠ 0,
f 6k+1 (ε) = (ε + 1) 6k+1 − ε 6k+1 − 1 = (−ε 2 ) 6k+1 − ε 6k+1 − 1 = − ( ε 2 + ε + 1 ) = 0,
f 6k+2 (ε) = (ε + 1) 6k+2 − ε 6k+2 − 1 = (−ε 2 ) 6k+2 − ε 6k+2 − 1 = ε 4 − ε 2 − 1 = ε − ε 2 − 1 = 2ε ≠ 0,
f 6k+3 (ε) = (ε + 1) 6k+3 − ε 6k+3 − 1 = (−ε 2 ) 6k+3 − ε 6k+3 − 1 = −1 − 1 − 1 = −3 ≠ 0,
f 6k+4 (ε) = (ε + 1) 6k+4 − ε 6k+4 − 1 = (−ε 2 ) 6k+4 − ε 6k+4 − 1 = ε 8 − ε 4 − 1 = ε 2 − ε − 1 = 2ε 2 ≠ 0,
f 6k+5 (ε) = (ε + 1) 6k+5 − ε 6k+5 − 1 = (−ε 2 ) 6k+5 − ε 6k+5 − 1 = −ε − ε 2 − 1 = 0.
Wykazaliśmy, że f n (ε) = 0 ⇐⇒ n = 6k ± 1. Teza wynika zatem ze stwierdzenia 12.17.1. ⊠
12.17.7. Wielomian
(x + 1) n − x n − 1
dzieli się przez wielomian (x 2 + x + 1) 2 wtedy i tylko wtedy, gdy n = 6k + 1.
D. Oznaczmy przez f(x) wielomian (x + 1) n − x n − 1 i przez f ′ (x) jego pochodną, tzn.
f ′ (x) = n(x + 1) n−1 − nx n−1 .
Załóżmy, że n = 6k + 1. Z poprzedniego stwierdzenia wiemy, że wtedy f(ε) = 0. Ponadto,
f ′ (ε) = n (ε + 1) 6k − nε 6k = n ( = ε 2) 6k
− nε 6k = n − n = 0.
Ze stwierdzenia 12.17.2 wynika zatem, że wielomian f(x) jest podzielny w Z[x] przez (x 2 + x + 1) 2 .
Załóżmy teraz, że wielomian f(x) jest podzielny przez (x 2 + x + 1) 2 . Wtedy wielomian ten jest
podzielny przez x 2 + x + 1, a więc, na mocy 12.17.6, liczba n jest postaci 6k ± 1. Łatwo sprawdzić,
że jeśli n = 6k − 1, to f ′ (ε) ≠ 0 i wtedy (patrz stwierdzenie 12.17.2) f(x) nie jest podzielne przez
(x 2 + x + 1) 2 . Zatem, n = 6k + 1. ⊠