Podróże po Imperium Liczb - Wydział Matematyki i Informatyki ...

174 Andrzej Nowicki, Wielomiany 12. Wielomiany cyklotomiczne
oraz Φ n (x) dzieli f ′ (x), więc Φ n (x) dzieli g(x)Φ ′ n(x). Ale Φ n (x) ∤ Φ ′ n(x) (gdyż deg Φ ′ n(x) < deg Φ n (x))
oraz Φ n (x) jest wielomianem nierozkładalnym nad Q, więc wielomian g(x) jest podzielny (nad Q)
przez Φ n (x). Istnieje więc taki wielomian h(x) ∈ Q[x], że
g(x) = h(x)Φ n (x).
Wszystkie współczynniki wielomianów g(x) i Φ n (x) są liczbami całkowitymi oraz Φ n (x) jest wielomianem
monicznym (tzn. jego wsółczynnik wiodący jest równy 1). Wszystkie więc współczynniki
wielomian h(x) są również liczbami całkowitymi. Zatem g(x) = h(x)Φ n (x), gdzie h(x) ∈ Z[x] i stąd
mamy równość f(x) = h(x) · Φ n (x) 2 , w której h(x) jest wielomianem o współczynnikach całkowitych.
Wielomian f(x) jest więc podzielny w Z[x] przez Φ n (x) 2 . ⊠
W podobny sposób można udowodnić ogólniejsze stwierdzenie.
12.17.3. Niech n oraz s 2 będą liczbami naturalnymi i niech ε będzie pierwiastkiem pierwotnym
n-tego stopnia z jedynki. Niech f(x) będzie wielomianem o współczynnikach całkowitych.
Następujące warunki są równoważne.
(1) Wielomian f(x) jest podzielny w Z[x] przez Φ n (x) s .
(2) f(ε) = f (1) (ε) = · · · = f (s−1) (ε) = 0, gdzie f (j) (x), dla j = 1, . . . , s − 1, oznacza j-tą
pochodną wielomianu f(x).
Teraz zajmiemy się zapowiedzianą podzielnością przez wielomian cyklotomiczny
Φ 3 (x) = x 2 + x + 1.
Z wielomianem tym spotkaliśmy się już wcześniej, patrz na przykład: 1.4.1, 3.1.2, 3.1.3,
3.4.2, 3.11.3, 3.11.6, 3.11.7, 4.1.7.
W dowodach następnych stwierdzeń przez ε oznaczamy pierwiastek pierwotny trzeciego
stopnia z jedynki. W tym przypadku mamy:
ε 3 = 1, ε 2 + ε + 1 = 0, ε = ε 2 , ε 2 = ε.
12.17.4. Wielomian x 2n + x n + 1 dzieli się przez wielomian x 2 + x + 1 wtedy i tylko wtedy,
gdy 3 ∤ n. ([BoW] 11 s.47, [Szn] 7.39).
D. Oznaczmy f n (x) = x 2n + x n + 1. Zauważmy, że:
f 3k (ε) = ( ε 3) 2k
+
(
ε
3 ) k
+ 1 = 1 2k + 1 k + 1 = 3 ≠ 0,
f 3k+1 (ε) = ( ε 3) 2k
ε 2 + ( ε 3) k
ε 1 + 1 = 1 2k ε 2 + 1 k ε + 1 = ε 2 + ε + 1 = 0,
f 3k+2 (ε) = ( ε 3) 2k
ε 4 + ( ε 3) k
ε 2 + 1 = 1 2k ε + 1 k ε 2 + 1 = ε 2 + ε + 1 = 0.
Teza wynika zatem ze stwierdzenia 12.17.1. ⊠
12.17.5. Dla dowolnej liczby naturalnej n, wielomian
x n+2 + (x + 1) 2n+1
jest rozkładalny w Z[x]. Ma on czynnik x 2 + x + 1. ([Str72]).