Podróże po Imperium Liczb - Wydział Matematyki i Informatyki ...

Andrzej Nowicki, Wielomiany 12. Wielomiany cyklotomiczne 173
12.17.1. Niech n ∈ N i niech f(x) ∈ Z[x]. Następujące warunki są równoważne.
(1) Wielomian f(x) jest podzielny w Z[x] przez Φ n (x).
(2) f(ε) = 0 dla pewnego pierwiastka pierwotnego n-tego stopnia z jedynki.
(2) f(ε) = 0 dla każdego pierwiastka pierwotnego n-tego stopnia z jedynki.
D. Przypomnijmy, że przez U n oznaczamy zbiór wszystkich pierwiastków pierwotnych n-tego
stopnia z jedynki.
(1) ⇒ (3). Załóżmy, że wielomian f(x) jest podzielny w Z[x] przez Φ n (x). Istnieje wtedy taki
wielomian o współczynnikach całkowitych g(x), że
f(x) = g(x)Φ n (x).
Niech ε będzie dowolnym pierwiastkiem pierwotnym n-tego stopnia z jedynki. Wtedy Φ n (ε) = 0 i stąd
f(ε) = g(ε)Φ n (ε) = g(ε) · 0 = 0.
(3) ⇒ (2). Ta implikacja jest oczywista.
(2) ⇒ (1). Załóżmy, że f(ε) = 0 dla pewnego ε ∈ U n . Ponieważ ε n = 1, więc ε jest elementem
algebraicznym nad ciałem Q i (jak wiemy) jego wielomianem minimalnym nad Q jest wielomian
cyklotomiczny Φ n (x). Zatem
f(x) = g(x)Φ n (x)
dla pewnego wielomianu g(x), należącego do pierścienia Q[x]. Wszystkie współczynniki wielomianów
f(x) i Φ n (x) są liczbami całkowitymi oraz Φ n (x) jest wielomianem monicznym (tzn. jego wsółczynnik
wiodący jest równy 1). Stąd wynika, że wszystkie współczynniki wielomian g(x) są również liczbami
całkowitymi. Zatem f(x) = g(x)Φ n (x), gdzie g(x) ∈ Z[x]. Wielomian f(x) jest więc podzielny w Z[x]
przez Φ n (x). ⊠
Następne stwierdzenie opisuje wielomiany podzielne przez kwadrat wielomianu cyklotomicznego.
12.17.2. Niech n ∈ N i niech ε będzie pierwiastkiem pierwotnym n-tego stopnia z jedynki.
Niech f(x) ∈ Z[x] i niech f ′ (x) oznacza pochodną wielomianu f(x). Następujące warunki są
równoważne.
(1) Wielomian f(x) jest podzielny w Z[x] przez Φ n (x) 2 .
(2) f(ε) = f ′ (ε) = 0.
D. (1) ⇒ (2). Załóżmy, że wielomian f(x) jest podzielny w Z[x] przez Φ n (x) 2 . Istnieje wtedy taki
wielomian o współczynnikach całkowitych g(x), że f(x) = g(x)Φ n (x) 2 . Mamy wtedy:
f ′ (x) = g ′ (x)Φ n (x) 2 + 2g(x)Φ n (x)Φ ′ n(x).
Ale Φ n (ε) = 0, więc f(ε) = g(ε)Φ n (ε) 2 = g(ε) · 0 2 = 0 oraz f ′ (ε) = g ′ (ε)Φ n (ε) 2 + 2g(ε)Φ n (ε)Φ ′ n(ε) =
g ′ (ε) · 0 2 + 2g(ε) · 0 · Φ ′ n(ε) = 0. Zatem f(ε) = f ′ (ε) = 0.
(2) ⇒ (1) Załóżmy, że f(ε) = f ′ (ε) = 0. Z tego założenia wynika (na mocy stwierdzenia 12.17.1),
że wielomiany f(x) i f ′ (x) są podzielne w Z[x] przez Φ n (x). Niech
f(x) = g(x)Φ n (x),
gdzie g(x) ∈ Z[x]. Ponieważ
f ′ (x) = g ′ (x)Φ n (x) + g(x)Φ ′ n(x)