Podróże po Imperium Liczb - Wydział Matematyki i Informatyki ...

172 Andrzej Nowicki, Wielomiany 12. Wielomiany cyklotomiczne
oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo
12.16 Liczby pierwsze w postępach arytmetycznych
oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo
Za pomocą wielomianów cyklotomicznych można udowodnić następujący szczególny przypadek
twierdzenia Dirichleta o liczbach pierwszych w postępie arytmetycznym. Wspominaliśmy
o tym w [N-4].
12.16.1. Niech m ∈ N. Liczb pierwszych postaci mk + 1 jest nieskończenie wiele.
D. ([Mot1], [Mot5], [N-4]). Ponieważ wiemy, że wszystkich liczb pierwszych jest nieskończenie
wiele, więc możemy założyć, że m 3. Z twierdzenia Banga 12.15.7 wiemy, że istnieje liczba pierwsza
p taka, że
δ p (4) = m.
Wtedy m p − 1, więc p 5. Liczba m jest więc najmniejszą liczbą naturalną taką, że
4 m ≡ 1 (mod p).
Ponieważ 4 p−1 ≡ 1 (mod p) (małe twierdzenie Fermata), więc m | p−1. Zatem p−1 = km dla pewnego
naturalnego k i stąd p = mk + 1. Istnieje więc co najmniej jedna liczba pierwsza postaci mk + 1.
Przypuśćmy, że liczb pierwszych postaci mk + 1 jest tylko skończenie wiele. Niech p będzie największą
z nich. Z twierdzenia Banga wynika, że istnieje liczba pierwsza q taka, że
δ q (4) = pm.
Wtedy pm | q − 1, czyli q = pmt + 1, gdzie t ∈ N. Liczba pierwsza q jest więc postaci pm + 1 i q > p,
gdyż q = pmt + 1. Otrzymaliśmy sprzeczność z minimalnością liczby pierwszej p. ⊠
Za pomocą wielomianów cyklotomicznych udowodniono:
12.16.2. Niech m 2. Najmniejsza liczba pierwsza postaci mk + 1 jest mniejsza od
(J. Sabia, S. Tesauri, 2009).
1
2 (3m − 1).
12.16.3. Niech m 2. Najmniejsza liczba pierwsza postaci mk + 1 jest mniejsza od
(R.Thangadurai, A.Vatwani, [Mon] 118(8)(2011) 737-742).
2 ϕ(m)+1 .
⋆ R. Thangadurai, A. Vatwani, The least prime congruent to one modulo n, [Mon] 118(8)(2011)
737-742.
oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo
12.17 Wielomiany podzielne przez x 2 + x + 1
oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo
W popularnonaukowej literaturze matematycznej często pojawiają się zagadnienia lub
zadania dotyczące podzielności wielomianów o współczynnikach całkowitych przez wielomian
x 2 + x + 1. Ten wielomian x 2 + x + 1 niczym specjalnym się nie wyróżnia. Jest to jednak
wielomian cyklotomiczny;
x 2 + x + 1 = Φ 3 (x).
Sprawdzanie czy dany wielomian f(x), o współczynnikach całkowitych, jest podzielny przez
jakiś wielomian cyklotomiczny Φ n (x) sprowadza się do zbadania wartości f(ε), gdzie ε jest
pierwiastkiem pierwotnym n-tego stopnia z jedynki. Wyjaśnijmy to dokładniej.