Podróże po Imperium Liczb - Wydział Matematyki i Informatyki ...

More documents

Recommendations

Info

170 Andrzej Nowicki, Wielomiany 12. Wielomiany cyklotomiczne D. Implikację (1) ⇒ (2) już wykazaliśmy (12.15.1). Wykażemy implikację (2) ⇒ (1). Załóżmy, że a nie jest liczbą Mersenne’a. Wtedy a + 1 nie jest potęgą dwójki. Istnieje więc nieparzysta liczba pierwsza p dzieląca a + 1. Wtedy a ≡ −1 (mod p) i stąd a 2 ≡ 1 (mod p), czyli δ p (a) = 2. ⊠ 12.15.3. Nie istnieje żadna liczba pierwsza p taka, że δ p (2) = 6. ([Mot1], [Mot5]). D. Przypuśćmy, że taka liczba pierwsza p istnieje. Wtedy 6 = δ p (2) p−1, więc p 7. Oczywiście p ∤ 2. Korzystając z 12.13.3 stwierdzamy, że p | Φ 6 (2) = 2 2 − 2 + 1 = 3 (gdyż Φ 6 (x) = x 2 − x + 1). Mamy więc sprzeczność: 7 p 3. ⊠ 12.15.4. Niech a 2, n 2 będą liczbami naturalnymi. Załóżmy, że p = Φ n (a) jest liczbą pierwszą i przy tym p | n. Wtedy (i wtedy p = 3). ([Mot5]). n = 6 oraz a = 2 D. Przypuśćmy, że a 3. Wtedy p = Φ n (a) > (a − 1) ϕ(n) 2 ϕ(n) 2 p−1 (skorzystaliśmy z nierówności 12.5.6), czyli p > 2 p−1 , co jest oczywiście sprzecznością. Zatem a = 2. Mamy więc p = Φ n (2). Ponieważ Φ n (2) dzieli 2 n − 1, więc p jest nieparzyste, czyli p 3. Wiemy, na mocy 12.13.2, że n = p s δ, gdzie δ = δ p (2) oraz s 0, Ale p | n, więc s 1. Przypuśćmy, że s 2. Wtedy p = Φ n (2) = Φ ps δ(2) = Φ pδ (2 ps−1) i mamy sytuację taką samą jak na początku tego dowodu dla a = 2 ps−1 > 3; otrzymujemy znowu sprzeczność. Zatem s = 1. Mamy więc n = pδ, p = Φ n (2). Korzystając jeszcze raz z nierówności 12.5.6 otrzymujemy: p = Φ pm (2) = Φ m(2 p ) Φ m (2) > (2p − 1) ϕ(m) (2 + 1) ϕ(m) = czyli 3p + 1 > 2 p . Stąd jedynie p = 3. Zatem n = 3δ 3 (2) = 3 · 2 = 6. ⊠ ( 2 p ) ϕ(m) − 1 2p − 1 , 3 3 12.15.5. Niech n 3, a 2 będą liczbami naturalnymi. Jeśli Φ n (a) dzieli n, to (n, a) = (6, 2). ([Rtk], [Mot5]). D. Załóżmy, że Φ n (a) | n. Ponieważ Φ n (a) a, więc Φ n (a) 2. Niech p będzie liczbą pierwszą dzielącą Φ n (a). Wtedy n = p s δ p (a), s 0 (patrz 12.13.2). W naszym przypadku s 1, gdyż p | Φ n (a) | n. Oczywiście δ p (a) < p. Zatem p jest największą liczbą pierwszą dzielącą n. Gdyby jakaś inna liczba pierwsza q dzieliła również Φ n (a), to w ten sam sposób pokazalibyśmy, że q jest również największą liczbą pierwszą dzielącą n, czyli q = p. Oznacza to, że Φ n (a) jest potęgą liczby pierwszej p. Wiemy jednak (patrz 12.13.10), że p 2 ∤ Φ n (a). Zatem Φ n (a) = p jest liczbą pierwszą i teza wynika z 12.15.4. ⊠ 12.15.6 (Bang 1886). Niech n 3, a 2 będą takimi liczbami naturalnymi, że (n, a) ≠ (6, 2). Istnieje wtedy liczba pierwsza p taka, że n = δ p (a). ([BirV], [Rtk], [Mot1], [Mot5]).
Andrzej Nowicki, Wielomiany 12. Wielomiany cyklotomiczne 171 D. Przypuśćmy, że taka liczba pierwsza p nie istnieje. Oczywiście Φ n (a) a 2. Istnieje zatem liczba pierwsza p dzieląca liczbę Φ n (a). Wtedy, na mocy 12.13.2, n = p s δ p (a) gdzie s 0. Jeśli s = 0, to n = δ p (a) wbrew temu co założyliśmy. Zatem s 1. Ale δ p (a) p − 1, więc p jest największą liczbą pierwszą dzielącą n. Biorąc inną liczbę pierwszą q dzielącą Φ n (a), stwierdzamy w ten sam sposób, że q jest największą liczbą pierwszą dzielącą n. Zatem Φ n (a) jest potęgą liczby pierwszej p i przy tym p | n. Wiemy (patrz 12.13.10), że p 2 ∤ Φ n (a). Zatem Φ n (a) = p jest liczbą pierwszą dzielącą n. Korzystając z 12.15.4 stwierdzamy, że (n, a) = (6, 2) wbrew temu, że (n, a) ≠ (6, 2). ⊠ Z powyższych faktów wynika następujące ogólne twierdzenie. 12.15.7 (Bang 1886). Niech n 2, a 2 będą liczbami naturalnymi. Następujące warunki są równoważne. (1) Istnieje liczba pierwsza p taka, że n = δ p (a). (2) Para (n, a) nie jest postaci (2, 2 s − 1) i nie jest równa (6, 2). ([Mot1]). 12.15.8 (Maple). Przykłady najmniejszych liczb pierwszych p spełniających równość n = δ p (a), dla danych n, a. (13) a = 2 : 2 = δ 3 (2), 3 = δ 7 (2), 4 = δ 5 (2), 5 = δ 31 (2), 7 = δ 127 (2), 8 = δ 17 (2), 9 = δ 73 (2), 10 = δ 11 (2), 11 = δ 23 (2), 12 = δ 13 (2), 13 = δ 8197 (2), 14 = δ 43 (2), 15 = δ 151 (2), 16 = δ 257 (2), 17 = δ 131071 (2), 18 = δ 19 (2), 19 = δ 524287 (2), 20 = δ 41 (2). (14) a = 3 : 3 = δ 13 (3), 4 = δ 5 (3), 5 = δ 11 (3), 6 = δ 7 (3), 7 = δ 1093 (3), 8 = δ 41 (3), 9 = δ 757 (3), 10 = δ 61 (3), 11 = δ 23 (3), 12 = δ 73 (3). (15) a = 5 : 2 = δ 3 (5), 3 = δ 31 (5), 4 = δ 13 (5), 5 = δ 11 (5), 6 = δ 7 (5), 7 = δ 19531 (5), 8 = δ 313 (5), 9 = δ 19 (5), 10 = δ 521 (5). 12.15.9. Niech a 3, n 3, m 3. Jeśli Φ n (a) = Φ m (a), to n = m. ([Mot1]). D. Przypuśćmy, że n < m. Z twierdzenia Banga istnieje liczba pierwsza p taka, że m = δ p (a). Wtedy oczywiście p ∤ a oraz p | Φ m (a) (na mocy 12.13.3 lub 12.13.7). Ale Φ m (a) = Φ n (a), więc p | Φ n (a). Zatem (na mocy 12.13.2) n = p s δ p (a), gdzie s 0. Stąd n = p s δ p (a) δ p (a) = m, wbrew temu, że n < m. ⊠ ⋆ A. S. Bang, Taltheoretiske Undersφgelser, Tidsskrift for Math. 5(1886) 70-80, 130-137.
Page 1: Podróże po Imperium Liczb Częś
Page 4 and 5: 144 Andrzej Nowicki, Wielomiany 12.
Page 36 and 37: 176 Wielomiany 12. Wielomiany cyklo
Page 38: 178 Wielomiany 12. Wielomiany cyklo

Podróże po Imperium Liczb - Wydział Matematyki i Informatyki ...

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?