Podróże po Imperium Liczb - Wydział Matematyki i Informatyki ...

⊡⊡⊡⊡⊡⊡⊡⊡⊡⊡⊡⊡⊡⊡⊡⊡⊡⊡⊡⊡⊡⊡⊡⊡⊡⊡⊡⊡⊡⊡⊡⊡⊡⊡⊡⊡⊡⊡⊡⊡⊡⊡⊡⊡⊡⊡⊡⊡⊡⊡⊡⊡⊡⊡
12 Wielomiany cyklotomiczne
⊡⊡⊡⊡⊡⊡⊡⊡⊡⊡⊡⊡⊡⊡⊡⊡⊡⊡⊡⊡⊡⊡⊡⊡⊡⊡⊡⊡⊡⊡⊡⊡⊡⊡⊡⊡⊡⊡⊡⊡⊡⊡⊡⊡⊡⊡⊡⊡⊡⊡⊡⊡⊡⊡
oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo
12.1 Definicja i przykłady
oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo
Niech n 1 będzie ustaloną liczbą naturalną. Wiadomo, że istnieje dokładnie ϕ(n) pierwiastków
pierwotnych n-tego stopnia z jedynki. Oznaczmy te pierwiastki przez ω 1 , . . . , ω ϕ(n)
i niech
ϕ(n)
∏
Φ n (x) =
k=1
(x − ω k ) .
Φ n (x) nazywamy n-tym wielomianem cyklotomicznym lub n-tym wielomianem podziału koła.
Jest to wielomian moniczny stopnia ϕ(n) i jego pierwiastkami są wszystkie pierwiastki pierwotne
n-tego stopnia z jedynki. Udowodnimy w następnych podrozdziałach, że każde takie
Φ n (x) jest nieprzywiedlnym wielomianem o współczynnikach całkowitych (patrz 12.3.1 oraz
12.2.8).
Przykłady:
Φ 1 (x) = x − 1,
Φ 2 (x) = x + 1,
Φ 3 (x) = x 2 + x + 1,
Φ 4 (x) = x 2 + 1,
Φ 5 (x) = x 4 + x 3 + x 2 + x + 1,
Φ 6 (x) = x 2 − x + 1,
Φ 7 (x) = x 6 + x 5 + · · · + x + 1,
Φ 8 (x) = x 4 + 1,
Φ 9 (x) = x 6 + x 3 + 1,
Φ 10 (x) = x 4 − x 3 + x 2 − x + 1,
Φ 11 (x) = x 10 + x 9 + x 8 + · · · + x + 1,
Φ 12 (x) = x 4 − x 2 + 1,
Φ 13 (x) = x 12 + x 11 + x 10 + · · · + x + 1,
Φ 14 (x) = x 6 − x 5 + x 4 − x 3 + x 2 − x + 1,
Φ 15 (x) = x 8 − x 7 + x 5 − x 4 + x 3 − x + 1,
Φ 16 (x) = x 8 + 1,
Φ 17 (x) = x 16 + x 15 + x 14 + · · · + x + 1,
Φ 18 (x) = x 6 − x 3 + 1,
Φ 19 (x) = x 18 + x 17 + x 16 + · · · + x + 1,
Φ 20 (x) = x 8 − x 6 + x 4 − x 2 + 1,
Φ 21 (x) = x 12 − x 11 + x 9 − x 8 + x 6 − x 4 + x 3 − x + 1,
Φ 22 (x) = x 10 − x 9 + x 8 − x 7 + x 6 − x 5 + x 4 − x 3 + x 2 − x + 1,
Φ 23 (x) = x 22 + x 21 + x 20 + · · · + x 2 + x + 1,
Φ 24 (x) = x 8 − x 4 + 1,
Φ 25 (x) = x 20 + x 15 + x 10 + x 5 + 1,
Φ 26 (x) = x 12 − x 11 + x 10 − x 9 + x 8 − x 7 + x 6 − x 5 + x 4 − x 3 + x 2 − x + 1,
Φ 27 (x) = x 18 + x 9 + 1,
Φ 28 (x) = x 12 − x 10 + x 8 − x 6 + x 4 − x 2 + 1,
Φ 29 (x) = x 28 + x 27 + x 26 + · · · + x 2 + x + 1,
Φ 30 (x) = x 8 + x 7 − x 5 − x 4 − x 3 + x + 1,
Φ 50 (x) = x 20 − x 15 + x 10 − x 5 + 1,
Φ 100 (x) = x 40 − x 30 + x 20 − x 10 + 1,
Φ 1000 (x) = x 400 − x 300 + x 200 − x 100 + 1.
143