Podróże po Imperium Liczb - Wydział Matematyki i Informatyki ...

168 Andrzej Nowicki, Wielomiany 12. Wielomiany cyklotomiczne
12.13.7. Niech a 2, n 2 będą liczbami naturalnymi i niech p będzie liczbą pierwszą.
Następujące dwa warunki są równoważne.
(1) p | Φ n (a);
(2) p ∤ a i n = p s δ p (a), gdzie s 0. ([Mot1], wynika z 12.13.2 i 12.13.6).
12.13.8. Niech p 3 będzie liczbą pierwszą i a 2 liczbą naturalną.
Jeśli p | n i p | Φ n (a), to p 2 ∤ Φ n (a). ([Mot1]).
D. Skoro p | n, więc n 3. Ponieważ p | Φ n (a), więc
n = p s δ p (a)
(patrz 12.13.2), gdzie s 0. W naszym przypadku s 1, gdyż p | n i δ p (a) < p. Niech
Wtedy n = pm, δ p (a) | m, b 2 oraz
m = p s−1 δ p (a) i b = a m .
b ≡ 1 (mod p).
Z dowodu twierdzenia 12.13.6 wiemy, że Φ n (a) jest podzielnikiem liczby całkowitej
a n − 1
a m − 1 ,
czyli liczby bp − 1
b − 1 . Liczba bp − 1
b − 1 nie jest podzielna przez p2 (patrz 12.13.5). Zatem p 2 ∤ Φ n (a). ⊠
12.13.9. Niech p 3 będzie liczbą pierwszą i a 2 liczbą naturalną. Załóżmy, że p | Φ n (a).
Wtedy n = p s δ p (a), dla pewnej nieujemnej liczby całkowitej s. Jeśli s 1, to p 2 ∤ Φ n (a).
(Wynika z 12.13.2 i 12.13.8).
12.13.10. Niech p 3 będzie liczbą pierwszą i a 2 liczbą naturalną. Jeśli p 2 | Φ n (a), to
n = δ p (a). (Wynika z 12.13.9).
⋆ Y. Gallot, Cyclotomic polynomials and prime numbers, preprint.
J. MacDougall, Mersenne composities and cyclotomic primes, preprint.
K. Motose, [Mot2], [Mot3].