Podróże po Imperium Liczb - Wydział Matematyki i Informatyki ...

Andrzej Nowicki, Wielomiany 12. Wielomiany cyklotomiczne 167
D. Wiemy, że δ jest najmniejszą liczbą naturalną taką, że p | a δ − 1. Wiemy również, że
a δ − 1 = ∏ d|δ
Φ d (a).
Wśród czynników postaci Φ d (a), gdzie d | δ, występuje więc czynnik podzielny przez p. Przypuśćmy,
że p | Φ d (a), gdzie d < δ. Wtedy p dzieli a d − 1, gdyż
a d − 1 = ∏ e|d
Φ e (a).
Jeśli więc d < δ, to mamy sprzeczność z własnością minimalności liczby δ. Zatem p | Φ δ (a). ⊠
12.13.4. Niech a ∈ Z, 2 ∤ a, s ∈ N. Wtedy 2 | Φ 2 s(a).
D. To jest oczywiste, gdyż Φ 2 s(a) = a 2s−1 + 1. ⊠
Zanotujmy następujący dobrze znany fakt (patrz np. [N-8]), który w dalszym ciągu będzie
przydatny.
12.13.5. Niecg p 3 będzie liczbą pierwszą i niech b 2 będzie liczbą naturalną taką, że
b ≡ 1 (mod p). Niech w = bp − 1
b − 1 . Wtedy
w ∈ N, p | w oraz p 2 ∤ w.
12.13.6. Niech a 2, n 2 będą liczbami naturalnymi i niech p będzie liczbą pierwszą taką,
że p ∤ a. Jeśli n = p s δ p (a), gdzie s 0, to p | Φ n (a). ([Mot1], [Mot5]).
D. Wykazaliśmy to już w przypadkach, gdy s = 0 (patrz 12.13.3) i p = 2 (patrz 12.13.4).
Zakładamy więc, że n = p s δ p (a), s 1, p 3. Oznaczmy:
m = p s−1 δ p (a), b = a m .
Wtedy oczywiście b ≡ 1 (mod p), b 2 oraz n = pm. Z faktu 12.13.5 wynika więc, że liczba bp −1
b−1
jest
całkowita i podzielna przez p. Ale
b p − 1
b − 1 = an − 1
a m − 1 ,
więc liczba an − 1
a m jest całkowita i podzielna przez p. Z własności wielomianów cyklotomicznych
− 1
otrzymujemy:
a n − 1 = ∏ Φ d (a) = ∏ Φ d (a) · ∏
Φ d (a) = (a m − 1) ∏ Φ d (a),
d|n
d|m d∈A d∈A
gdzie A jest zbiorem tych wszystkich naturalnych podzielników liczby n, które nie są podzielnikami
liczby m. Zatem liczba
∏
Φ d (a) = an − 1
a m − 1
d∈A
jest podzielna przez p. Istnieje więc d 0 ∈ A takie, że p | Φ d0 (a). Jest jasne, że d 0 = p s e, gdzie s | δ p (a).
Przypuśćmy, że e < δ p (a). Ponieważ p | Φ d0 (a) oraz Φ d0 (a) | a d0 − 1, więc a d0 ≡ 1 (mod p).
Ponadto, z małego twierdzenia Fermata mamy: a ps ≡ a ps−1 ≡ · · · ≡ a (mod p). Zatem,
a e ≡ a pse = a d0
≡ 1 (mod p).
Jeśli więc e < δ p (a), to mamy sprzeczność z minimalnością liczby δ p (a). Zatem e = δ p (a). Stąd
d 0 = p s δ p (a) = n oraz p | Φ d0 (a) = Φ n (a). ⊠