Podróże po Imperium Liczb - Wydział Matematyki i Informatyki ...

166 Andrzej Nowicki, Wielomiany 12. Wielomiany cyklotomiczne
Ze stwierdzenia 12.12.3 wynika, że liczby B oraz Φ n (b) są względnie pierwsze. Mamy zatem:
b n+1 = [AB, AΦ n (a)] = A [B, Φ n (a)] = ABΦ n (a) =
( n−1
) ∏
Φ k (a) · Φ n (a) =
k=1
i to kończy nasz indukcyjny dowód równości (∗). Zatem b n+1 /b n = Φ n (a). ⊠
n∏
Φ k (a)
oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo
12.13 Podzielność liczb Φ n (a) przez liczby pierwsze
oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo
Jeśli a, m ∈ Z, m 2 oraz nwd(a, m) = 1, to przez δ m (a) oznaczamy rząd liczby a modulo
m, tzn. δ m (a) jest najmniejszą liczbą naturalną n taką, że
a n ≡ 1 (mod m).
Podstawowe własności liczby δ m (a) znajdują się np. w [N-4].
k=1
12.13.1. Niech p ∈ P, a ∈ Z, n ∈ N. Jeśli p | Φ n (a), to p ∤ a.
D. Wiadomo, że wielomian Φ n (x) jest podzielnikiem (w Z[x]) wielomianu x n − 1. Załóżmy, że
p | Φ n (a). Wtedy p | a n − 1. Gdyby p dzieliło a, to otrzymalibyśmy sprzeczność: p | 1. ⊠
12.13.2. Niech a 2, n 2 będą liczbami naturalnymi i niech p będzie liczbą pierwszą. Jeśli
p | Φ n (a), to
n = p s δ p (a),
gdzie s 0 jest pewną liczbą całkowitą. ([Mot1], [Mot5]).
D. Załóżmy, że p | Φ n (a). Wtedy p ∤ a (patrz 12.13.1), więc można mówić o rzędzie δ p (a). Ponieważ
a n ≡ 1 (mod p), więc rząd δ p (a) jest podzielnikiem liczby n. Zatem n = p s tδ p (a), gdzie s 0, t ∈ N,
p ∤ t. Pokażemy, że t = 1.
Przypuśćmy, że t > 1. Oznaczmy: m = p s δ p (a). Wtedy n = mt, p ∤ t. Ponieważ m | n, więc
a n − 1 = ∏ d|n
Φ d (a) = ∏ d|m
Φ d (a) · ∏
d∈A
Φ d (a) = (a m − 1) ∏ d∈A
Φ d (a),
gdzie A jest zbiorem tych wszystkich naturalnych podzielników liczby n które nie są podzielnikami
liczby m. Zauważmy, że n ∈ A (gdyż t > 1). W iloczynie ∏ Φ d (a) występuje więc czynnik Φ n (a), który
jest podzielny przez p. Oznacza to, że liczba całkowita an −1
a m −1
jest podzielna przez p. Przypomnijmy,
że a m ≡ 1 (mod p). Modulo p mamy więc:
0 ≡ an − 1
a m − 1 = amt − 1
a m − 1 = am(t−1) + a m(t−2) + · · · + a m + 1 ≡ 1 + 1 · · · + 1 = t,
} {{ }
t
czyli otrzymaliśmy sprzeczność: p | t. Zatem t = 1 i stąd n = p s δ p (a). ⊠
Zmierzamy teraz do udowodnienia twierdzenia odwrotnego do twierdzenia 12.13.2.
12.13.3. Niech p ∈ P, a 2, a ∈ N, p ∤ a. Wtedy p | Φ δ (a), gdzie δ = δ p (a).
d∈A