Podróże po Imperium Liczb - Wydział Matematyki i Informatyki ...

30.11.2014 Views
164 Andrzej Nowicki, Wielomiany 12. Wielomiany cyklotomiczne oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo 12.12 Liczby naturalne postaci Φ n (a) oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo W tym podrozdziale zajmować się będziemy liczbami postaci Φ n (a), gdzie a jest liczbą naturalną. Przypomnijmy (patrz 12.5.4), że jeśli n 2, to dla każdej liczby naturalnej a zachodzi nierówność Φ n (a) a. Stąd w szczególności wynika, że każde takie Φ n (a) (dla n 2 oraz a ∈ N) jest liczbą naturalną. Przypadek a = 1 jest już nam dobrze znany. Przypomnijmy (patrz 12.9.3), że jeśli n 2 nie jest potęgą liczby pierwszej, to Φ n (1) = 1. W przeciwnym przypadku, jeśli n = p s , p ∈ P, s 1, to Φ n (1) = p. W dalszym ciągu zakładać będziemy często, że a jest liczbą naturalną większą od 1. Spójrzmy na kilka przykładów. 12.12.1. Liczby postaci Φ n (2) dla 1 n 40. n Φ n (2) 1 1 2 3 3 7 4 5 5 31 6 3 7 127 8 17 9 73 10 11 n Φ n (2) 11 2047 12 13 13 8191 14 43 15 151 16 257 17 131071 18 57 19 524287 20 205 n Φ n (2) 21 2359 22 683 23 8388607 24 241 25 1082401 26 2731 27 262657 28 3277 29 536870911 30 331 n Φ n (2) 31 2147483647 32 65537 33 599479 34 43691 35 8727391 36 4033 37 137438953471 38 174763 39 9588151 40 61681 W prawych kolumnach mamy dokładnie 27 liczb pierwszych. W pierwszej tabelce oprócz Φ 1 (2) = 1 występują same liczby pierwsze. Następna liczba, Φ 11 (2) = 2047 = 23 · 89, już nie jest liczbą pierwszą. Istnieją dokładnie 44 liczby pierwsze postaci Φ n (2), gdzie 1 n 100. Jeśli natomiast 1 n 1000, to takich liczb pierwszych jest dokładnie 99. (Maple). 12.12.2. Liczby postaci Φ n (3) dla 1 n 40. n Φ n (3) 1 2 2 4 3 13 4 10 5 121 6 7 7 1093 8 82 9 757 10 61 n Φ n (3) 11 88573 12 73 13 797161 14 547 15 4561 16 6562 17 64570081 18 703 19 581130733 20 5905 n Φ n (3) 21 368089 22 44287 23 47071589413 24 6481 25 3501192601 26 398581 27 387440173 28 478297 29 34315188682441 30 8401 n Φ n (3) 31 308836698141973 32 43046722 33 2413941289 34 32285041 35 189150889201 36 530713 37 225141952945498681 38 290565367 39 195528263281 40 42521761 W prawych kolumnach mamy dokładnie 16 liczb pierwszych. Istnieją dokładnie 23 liczby pierwsze postaci Φ n (3), gdzie 1 n 100. Jeśli natomiast 1 n 200, to takich liczb pierwszych jest dokładnie 31. (Maple).

Andrzej Nowicki, Wielomiany 12. Wielomiany cyklotomiczne 165 Przypomnijmy, że jeśli n ≠ m, to wielomiany cyklotomiczne Φ n (x), Φ m (x) są względnie pierwsze (patrz 12.9.3) w pierścieniu Z[x]. Stąd jednak nie wynika, że jeśli n ≠ m oraz 2 a ∈ N, to liczby naturalne Φ n (a), Φ m (a) są również względnie pierwsze. Mamy na przykład 6 ≠ 18 oraz nwd (Φ 6 (2), Φ 18 (2)) = nwd(6, 57) = 3. Inny przykład: 2 ≠ 4 oraz nwd (Φ 2 (3), Φ 4 (3)) = nwd(4, 10) = 2 W pewnych jednak przypadkach tę względną pierwszość można uzyskać. Udowodniliśmy (patrz 12.4.7), że jeśli d, n są liczbami naturalnymi takimi, że d < n oraz d ∤ n, to istnieją wielomiany o współczynnikach całkowitych F (x), G(x) takie, że 1 = F (x)Φ d (x) + G(x)Φ n (x). Podobnego typu równość zachodzi zachodzi nawet przy słabszym założeniu; wystarczy założyć, że n/d nie jest potągą liczby pierwszej (patrz twierdzenie 12.4.5). Z tych faktów wynikają natychmiast następujące trzy stwierdzenia zachodzące dla dowolnej liczby naturalnej a (a nawet dla a ∈ Z). 12.12.3. Jeśli d, n są liczbami naturalnymi takimi, że d < n oraz d ∤ n, to dla dowolnej liczby całkowitej a, liczby Φ d (a), Φ n (a) są względnie pierwsze. 12.12.4. Jeśli m, m są względnie pierwszymi liczbami naturalnymi większymi od 1, to to dla dowolnej liczby całkowitej a, liczby Φ n (a), Φ m (a) są względnie pierwsze. 12.12.5. Niech 1 < d < m będą liczbami naturalnymi. Jeśli istnieje taka liczba całkowita a, że nwd (Φ d (a), Φ n (a)) > 1, to d jest dzielnikiem liczby n. Pan Tomasz Ordowski przesłał mi (w maju 2013 roku) dwa interesujące zadania do rozwiązania, dotyczące wielomianów cyklotomicznych. O pierwszym jego zadaniu napisaliśmy na stronie 150 (patrz 12.4.16). Oto drugie zadanie wraz z dowodem. 12.12.6. Niech a 2 będzie liczbą naturalną i niech (b n ) będzie ciągiem liczb naturalnych takim, że ( ) b 1 = 1 oraz b n+1 = nww b n , a n − 1 dla n ∈ N. Wówczas dla dowolnej liczby naturalnej n zachodzi równość b n+1 b n = Φ n (a). D. Udowodnimy, że dla każdej liczby naturalnej n zachodzi równość (∗) b n = n−1 ∏ k=1 Φ k (a). Indukcja ze względu na n. Dla n = 1 jest to oczywiste. Krok indukcyjny: ⎡ ⎤ n−1 ∏ b n+1 = [b n , a n − 1] = ⎣ Φ d (a) ⎦ = [AB, AΦ n (a)] . k=1 Φ k (a), ∏ d|n Wykorzystaliśmy twierdzenie 12.4.2. Tutaj A jest iloczynem wszystkich liczb postaci Φ d (a), gdzie d < n oraz d | n. Natomiast B jest iloczynem wszystkich liczb postaci Φ d (a), gdzie d < n oraz d ∤ n. Nawiasami kwadratowymi oznaczono najmniejszą wspólną wielokrotność.

Page 1: Podróże po Imperium Liczb Częś

Page 4 and 5: 144 Andrzej Nowicki, Wielomiany 12.















Page 36 and 37: 176 Wielomiany 12. Wielomiany cyklo

Page 38: 178 Wielomiany 12. Wielomiany cyklo

wielomiany

niech

wielomian

liczby

zatem

liczbami

cyklotomiczne

wynika

liczb

nowicki

imperium

matematyki

informatyki

www-users.mat.umk.pl

Podróże po Imperium Liczb - Wydział Matematyki i Informatyki ...

Podróże po Imperium Liczb - Wydział Matematyki i Informatyki ... ... View more Podróże po Imperium Liczb - Wydział Matematyki i Informatyki ...

Delete template?

Save as template ?

Podróże po Imperium Liczb - Wydział Matematyki i Informatyki ... Podróże po Imperium Liczb - Wydział Matematyki i Informatyki ...