30.11.2014 Views

Podróże po Imperium Liczb - Wydział Matematyki i Informatyki ...

Podróże po Imperium Liczb - Wydział Matematyki i Informatyki ...

Podróże po Imperium Liczb - Wydział Matematyki i Informatyki ...

SHOW MORE
SHOW LESS

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.

Andrzej Nowicki, Wielomiany 12. Wielomiany cyklotomiczne 163<br />

12.11.3 (Zeitlin 1968). Niech r > q > p bądą liczbami pierwszymi i niech<br />

Φ pqr (x) =<br />

N∑<br />

c k x k ,<br />

gdzie N = ϕ(pqr) = (p − 1)(q − 1)(r − 1). Oznaczmy M = pqr + p + q + r. Zachodzą wówczas<br />

następujące równości.<br />

(1)<br />

(2)<br />

(3)<br />

(4)<br />

N∑<br />

ic i = 1 2 N = ∑ N (−1) i ic i ;<br />

i=1<br />

i=1<br />

N∑<br />

(−1) i ic 2 i = 1 2 Nc N/2;<br />

i=1<br />

N∑<br />

i=1<br />

i 2 c i = 1 N N(N + M),<br />

6<br />

N∑<br />

i 3 c i = 1 4 N 2 M,<br />

i=1<br />

k=0<br />

∑<br />

(−1) i i 2 c i = 1 2 NM;<br />

i=1<br />

N∑<br />

(−1) i i 3 c i = 1 4 N 2 (3M − N). ([Zeit]).<br />

i=1<br />

12.11.4 (Bloom 1968). Niech s > r > q > p bądą liczbami pierwszymi i niech<br />

N∑<br />

Φ pqrs (x) = c k x k ,<br />

k=0<br />

gdzie N = ϕ(pqrs) = (p − 1)(q − 1)(r − 1)(s − 1).<br />

Oznaczmy przez m największą z liczb |c 0 |, |c 1 |, . . . , |c N |. Wtedy<br />

m p(p − 1)(pq − 1).<br />

([Bloo]).<br />

12.11.5 (Zeitlin 1968). Niech s > r > q > p bądą liczbami pierwszymi i niech<br />

N∑<br />

Φ pqr (x) = c k x k ,<br />

k=0<br />

gdzie N = ϕ(pqrs) = (p − 1)(q − 1)(r − 1)(s − 1). Zachodzą wówczas następujące równości.<br />

(1)<br />

(2)<br />

N∑<br />

ic i = 1 2 N = ∑ N (−1) i ic i ;<br />

i=1<br />

i=1<br />

N∑<br />

(−1) i ic 2 i = 1 2 Nc N/2. ([Zeit]).<br />

i=1<br />

⋆ M. Beiter, Magnitude of the coefficients of the cyclotomic <strong>po</strong>lynomial F pq (x), [Mon] 75(1968)<br />

370-372.

Hooray! Your file is uploaded and ready to be published.

Saved successfully!

Ooh no, something went wrong!