Podróże po Imperium Liczb - Wydział Matematyki i Informatyki ...

Andrzej Nowicki, Wielomiany 12. Wielomiany cyklotomiczne 161
D. Wynika to natychmiast z tego, że wszystkie współczynniki wielomianu Φ pq (x) należą do zbioru
{−1, 0, 1} oraz z tego, że
Φ pq (1) = 1
(patrz 12.10.1 i 12.9.3). Łatwo to również wywnioskować z faktu 12.10.7. ⊠
12.10.6 (Carlitz 1966 ). Niech q > p będą liczbami pierwszymi i niech w ∈ {1, 2, . . . , p − 1}
będzie jedyną liczbą naturalną taką, że wq ≡ −1 (mod p). Wtedy
a(p, q) = 1 (p − w)(wq + 1).
p
([Mon] 73(9)(1966)).
12.10.7 (Lam, Leung 1996). Niech q > p będą liczbami pierwszymi i niech r, s będą nieujemnymi
liczbami całkowitymi takimi jak w 12.10.3. Zachodzą równości:
(1) a(p, q) = (r + 1)(s + 1),
(2) b(p, q) = (p − s − 1)(q − r − 1),
(3) c(p, q) = 2 + (p − 1)(q − 1) − 2(r + 1)(s + 1). ([Mon] 103(7)(1996), wynika to z 12.10.4).
12.10.8 (Lenstra 1978). Niech q > p będą liczbami pierwszymi.
Niech u ∈ {1, 2, . . . , q − 1}, v ∈ {1, 2, . . . , p − 1} będą jedynymi takimi liczbami naturalnymi,
że up ≡ 1 (mod q) i vq ≡ 1 (mod p). Wtedy
([Mon] 103(7)(1996)).
a(p, q) = uv, b(p, q) = uv − 1.
12.10.9 (Carlitz 1966). Z faktu 12.10.6 łatwo wywnioskować następujące równości.
(1) a(3, 3k + 1) = 2k + 1, a(3, 3k + 2) = 2k + 2.
(2) a(5, 5k+1) = 4k+1, a(5, 5k+2) = 6k+3, a(5, 5k+3) = 6k+4, a(5, 5k+4) = 4k+4.
(3) a(p, kp + 1) = k(p − 1) + 1, a(p, pk + p − 1) = k(p − 1) + p − 1. ([Mon] 73(9)(1966)).
12.10.10 (Zeitlin 1968). Niech q > p bądą liczbami pierwszymi i niech
Φ pq (x) =
N∑
c k x k ,
gdzie N = ϕ(pq) = (p − 1)(q − 1). Przyjmujemy, że c k = 0 dla k > N. Zachodzą wówczas
następujące równości.
(1) c k =
(2)
(3)
N−1 ∑
i=0
N/2
∑
i=0
2k∑
i=0
k=0
(−1) i c i c 2k−i , dla k = 0, 1, . . . , N;
(−1) i c i c i+1 = 0;
c 2i = 1;
N/2 ∑
i=1
c 2i−1 = 0;