Podróże po Imperium Liczb - Wydział Matematyki i Informatyki ...

160 Andrzej Nowicki, Wielomiany 12. Wielomiany cyklotomiczne
Przedstawimy teraz dokładniejsze opisy współczynników wielomianów postaci Φ pq . Opisy
te pochodzą głównie z artykułów z czasopisma [Mon].
12.10.2 (Sister Marion Beiter 1964). Niech q > p będą liczbami pierwszymi i niech
Φ pq (x) = ∑ c k x k .
Wtedy dla każdego k = 0, 1, . . . , ϕ(pq) zachodzi równość
c k =
{ (−1) δ , jeśli k można jednoznacznie przedstawić w postaci k = αq + βp + δ,
0, w przeciwnym wypadku,
gdzie α, β są nieujemnymi liczbami całkowitymi oraz δ = 0 lub 1. ([Mon] 71(1964) 769-770).
Do przedstawienia następnych charakteryzacji współczynników wielomianu Φ pq (x) potrzebny
będzie następujący fakt. Jeśli a i b są względnie pierwszymi liczbami naturalnymi, to
każdą liczbę naturalną n, większą od ab − a − b, można przedstawić w postaci n = xa + yb,
gdzie x i y są nieujemnymi liczbami całkowitymi. Dowód tego faktu można znaleźć np. w
[Nar03] s.34 (jest również w [N-6]). Korzystając z tego, łatwo dowodzi się następujący lemat.
12.10.3. Jeśli q ≠ p są liczbami pierwszymi, to istnieją jednoznacznie wyznaczone takie
nieujemne liczby całkowite r, s, że (p − 1)(q − 1) = rp + sq. Ponadto:
(1) 0 r q − 2, 0 s p − 2;
(2) r = u − 1, s = v − 1, gdzie u ∈ {1, 2, . . . , q − 1}, v ∈ {1, 2, . . . , p − 1} są takimi
liczbami naturalnymi, że up ≡ 1 (mod q) oraz vq ≡ 1 (mod p).
12.10.4 (Lam, Leung 1996). Niech q > p będą liczbami pierwszymi i niech r, s będą nieujemnymi
liczbami całkowitymi takimi jak w 12.10.3. Wówczas wszystkie współczynniki wielomianu
Φ pq (x) = ∑ c k x k należą do zbioru {−1, 0, 1}. Dokładniej:
(1) c k = 1 wtedy i tylko wtedy, gdy k = ip + jq, gdzie i ∈ {0, 1, . . . , r}, j ∈ {0, 1, . . . , s};
(2) c k = −1 wtedy i tylko wtedy, gdy k = ip + jq − pq, gdzie i ∈ {r + 1, r + 2, . . . , q − 1},
j ∈ {s + 1, s + 2, . . . , p − 1};
(3) c k = 0 w pozostałych przypadkach. ([Mon] 103(7)(1996) 562-564).
Wprowadzamy następujące oznaczenia. Przez a(p, q) oznaczać będziemy liczbę wszystkich
współczynników równych 1 wielomianu Φ pq (x). Podobnie przez b(p, q) i c(p, q) oznaczać
będziemy liczby współczynników równych odpowiednio −1 i 0 wielomianu Φ pq (x). Dla przykładu,
jeśli p = 3 i q = 5, to
Φ 15 = x 8 − x 7 + x 5 − x 4 + x 3 − x + 1
i mamy: a(3, 5) = 4, b(3, 5) = 3 oraz c(3, 5) = 2.
12.10.5. b(p, q) = a(p, q) − 1. ([Mon] 73(9)(1966), 103(7)(1996)).