Podróże po Imperium Liczb - Wydział Matematyki i Informatyki ...

158 Andrzej Nowicki, Wielomiany 12. Wielomiany cyklotomiczne
oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo
12.9 Współczynniki wielomianów cyklotomicznych
oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo
Niech
Φ n (x) = c ϕ(n) x ϕ(n) + c ϕ(n)−1 x ϕ(n)−1 + · · · + c 2 x 2 + c 1 x 1 + c 0 .
Wiemy, że liczby c 0 , c 1 , . . . , c ϕ(n) są całkowite.
12.9.1. Jeśli n 2, to c k = c ϕ(n)−k dla wszystkich k ∈ {0, 1, . . . , ϕ(n)}.
D. Wynika to z równości Ψ n (x, y) = Ψ n (y, x) (patrz 12.7.2). ⊠
12.9.2. Wyrazem wolnym wielomianu Φ 1 (x) jest −1. Wyraz wolny każdego wielomianu
Φ n (x), gdzie n 2, jest równy 1.
D. (Sposób I). Jest to szczególny przypadek faktu 12.9.1, gdyż dla n 2 mamy: c 0 = c ϕ(n)−0 =
c ϕ(n) = 1.
(Sposób II). Wyrazem wolnym wielomianu Φ 2 (x) = x + 1 jest oczywiście 1. Załóżmy, że n 3
i niech ω 1 , . . . , ω ϕ(n) będą wszystkimi pierwotnymi pierwiastkami n-tego stopnia z jedynki. Niech a
oznacza wyraz wolny wielomianu Φ n (x). Mamy wtedy
a = (−1) ϕ(n) ω 1 · · · ω ϕ(n) .
Wiadomo, że jeśli n 3, to ϕ(n) jest liczbą parzystą. Zatem a = ω 1 · · · ω ϕ(n) .
Jeśli ε jest pierwotnym pierwiastkiem n-tego stopnia z jedynki, to liczba 1 ε
również jest pierwotnym
pierwiastkiem n-tego stopnia z jedynki. Ponadto, jeśli n > 2, to ε ≠ 1 ε
. Zatem zbiór wszystkich
pierwotnych pierwiastków n-tego stopnia z jedynki można rozbić na parami rozłączne dwuelementowe
zbiory postaci {ε, 1 ε
}. Iloczyn wszystkich takich pierwiastków jest więc równy 1, tzn. a = 1. ⊠
12.9.3. Niech n 2. Rozpatrzmy sumę wszystkich współczynników wielomianu Φ n (x). Suma
ta jest oczywiście równa Φ n (1). Jeśli n nie jest potęgą liczby pierwszej, to
Φ n (1) = 1.
W przeciwnym przypadku, jeśli n = p s , p ∈ P, s 1, to
Φ n (1) = p.
D. (K. Motose). Dla n = p s fakt ten wynika z równości
Φ p s = x ps−1 (p−1) + x ps−1 (p−2) + · · · + 1
(patrz 12.8.2). Załóżmy, że n 2 nie jest potegą liczby pierwszej. Wtedy n = p s m, gdzie p jest pewną
liczbą pierwszą i m 2, p ∤ m. Ponieważ
Φ mp s(x) = Φ m(x ps )
Φ m (x ps−1 )
oraz Φ m (1) ≠ 0 (gdyż m ≠ 1), więc Φ n (1) = Φ m(1)
Φ m (1) = 1. ⊠
12.9.4. Jeśli n 3 jest liczbą nieparzystą, to Φ n (−1) = 1. ([Mon] 6(111)(2004) 531-533).