Podróże po Imperium Liczb - Wydział Matematyki i Informatyki ...

Andrzej Nowicki, Wielomiany 12. Wielomiany cyklotomiczne 157
Teraz przedstawiamy wielomiany cyklotomiczne o numerach podzielnych przez 3.
12.8.16. Jeżeli p i q są takimi liczbami pierwszymi, że p > q > 3, to
Φ 3p (x) − Φ 3q (x) = (x p − x q ) xp + x q + 1
x 2 + x + 1 .
D. Φ 3p (x) − Φ 3q (x) = Φ 3(x p )
Φ 3 (x) − Φ 3(x q )
Φ 3 (x)
1
[
]
=
x 2 (x 2p + x p + 1) − (x 2q + x q + 1)
+ x + 1
1
=
x 2 + x + 1 (x2p − x 2q + x p − x q )
1
[
]
=
x 2 (x p − x q )(x p + x q ) + (x p − x q )
+ x + 1
1
=
x 2 + x + 1 (xp − x q )(x p + x q + 1). ⊠
12.8.17. Jeżeli p i q są takimi liczbami pierwszymi, że p > q > 3, to wielomian
(x p − x q )(x p + x q + 1)
jest podzielny w Z[x] przez wielomian x 2 + x + 1.
D. Wynika z 12.8.17, gdyż wiemy, że
Φ 3p − Φ 3q
jest wielomianem należącym do pierścienia Z[x]. Mamy zatem w Z[x] równość
(x 2 + x + 1)(Φ 3p (x) − Φ 3q (x)) = (x p − x q )(x p + x q + 1). ⊠
U. Wielomiany postaci x p − x q (gdzie p i q są liczbami pierwszymi takimi, że p > q > 3) i
x 2 + x + 1 nie muszą być względnie pierwsze. Dla przykładu
x 29 − x 23 = x 23 (x 6 − 1) = x 23 (x 3 − 1)(x 3 + 1) = x 23 (x − 1)(x 3 + 1)(x 2 + x + 1),
czyli tutaj x 2 + x + 1 dzieli x 29 − x 23 . ⊠
12.8.18. Jeżeli p i q są takimi liczbami pierwszymi, że p > q > 3, to wielomian
jest podzielny przez x q .
Φ 3p (x) − Φ 3q (x)
12.8.19. Jeżeli p i q są takimi liczbami pierwszymi, że p > q > 3, to wielomian
Φ 3p (x) − Φ 3q (x)
jest podzielny przez wielomian x q (x − 1)(x + 1).
12.8.20. Jeżeli p i q są takimi liczbami pierwszymi, że p > q > 3 oraz p − q = 6, to
Φ 3p (x) − Φ 3q (x) = (x − 1)(x + 1)(x 2 − x + 1)(x p + x q + 1)x q .
12.8.21. Jeżeli p i q są takimi liczbami pierwszymi, że p > q > 3 oraz p−q = 4, to wielomian
Φ 3p (x) − Φ 3q (x)
jest podzielny przez wielomian x q (x 4 − 1) = x q (x − 1)(x + 1)(x 2 + 1).