Podróże po Imperium Liczb - Wydział Matematyki i Informatyki ...

156 Andrzej Nowicki, Wielomiany 12. Wielomiany cyklotomiczne
12.8.12. Jeżeli p 3 jest liczbą pierwszą, to Φ 4p (x) = Φ p (−x 2 ). ([ArB]).
D. Na mocy twierdzenia 12.4.2 mamy: że
x 4p − 1 = Φ 1 (x) · Φ 2 (x) · Φ 4 (x) · Φ p (x) · Φ 2p (x) · Φ 4p (x).
Z drugiej strony wiemy, że:
( )( )
x 4p − 1 = (x p ) 2 − 1 (x p ) 2 + 1
( )
= (x p − 1)(x p + 1) (x 2 ) p + 1
= Φ 1 (x) · Φ p (x) · Φ 2 (x) · Φ p (−x) · Φ 2 (x 2 ) · Φ p (−x 2 ).
Z 12.8.11 wiemy, że zachodzi równość Φ 2p (x) = Φ p (−x). Ponadto wiemy, że Φ 2 (x 2 ) = x 2 + 1 = Φ 4 (x).
Porównując strony napisanych powyżej równości otrzymujemy tezę. ⊠
12.8.13. Jeżeli p 3 jest liczbą pierwszą, to
D. Wiemy z 12.4.2, że
Φ 8p (x) = Φ p (−x 4 ).
([ArB]).
x 8p − 1 = Φ 1 (x) · Φ 2 (x) · Φ 4 (x) · Φ 8 (x) · Φ p (x) · Φ 2p (x) · Φ 4p (x) · Φ 8p (x).
Z drugiej strony wiemy, że:
x 8p − 1 =
(
(x 4p − 1)
)
(x 4 ) p + 1
= Φ 1 (x) · Φ 2 (x) · Φ 4 (x) · Φ p (x) · Φ 2p (x) · Φ 4p (x) · Φ 2 (x 4 ) · Φ p (−x 4 ).
Z 12.8.3 wiemy, że Φ 8 (x) = Φ 2 (x 4 ). Zatem Φ 8p (x) = Φ p (−x 4 ). ⊠
12.8.14. Jeżeli p 3 jest liczbą pierwszą, to
Φ 2 k p(x) = Φ p (−x 2k−1 ).
12.8.15. Jeżeli p i q są różnymi liczbami pierwszymi nieparzystymi, to
D. Wiemy z 12.4.2, że
Φ 4pq (x) = Φ pq (−x 2 ).
x 4pq −1 = Φ 1 (x)·Φ 2 (x)·Φ 4 (x)·Φ p (x)·Φ 2p (x)·Φ 4p (x)·Φ q (x)·Φ 2q (x)·Φ 4q (x)·Φ pq (x)·Φ 2pq (x)·Φ 4pq (x).
Z drugiej strony wiemy, że:
x 4pq − 1 = (x 2pq − 1)(x 2pq + 1)
= Φ 1 (x) · Φ 2 (x) · Φ p (x) · Φ 2p (x) · Φ q (x) · Φ 2q (x) · Φ pq (x) · Φ 2pq (x) · (x 2pq + 1).
Porównując stronami powyższe równości otrzymujemy równość:
Następnie korzystając z 12.8.12 otrzymujemy, że:
Φ 4 (x) · Φ 4p (x) · Φ 4q (x) · Φ 4pq (x) = x 2pq + 1.
(x 2 + 1) · Φ p (−x 2 ) · Φ q (−x 2 ) · Φ 4pq (x) = x 2pq + 1
(
)
= − (−x 2 ) pq − 1
Wiemy jednak, że
Zatem Φ 4pq (x) = Φ pq (−x 2 ). ⊠
= −Φ 1 (−x 2 ) · Φ p (−x 2 ) · Φ q (−x 2 ) · Φ pq (−x 2 ).
−Φ 1 (−x 2 ) = −(−x 2 − 1) = x 2 + 1.