Podróże po Imperium Liczb - Wydział Matematyki i Informatyki ...

Andrzej Nowicki, Wielomiany 12. Wielomiany cyklotomiczne 155
12.8.7. Jeżeli p 1 , p 2 , . . . , p s są parami różnymi liczbami pierwszymi, to
(
)
Φ r p 1
1 p r 2
2 ···p rs (x) = Φ p s 1 p 2···p s
x pr 1 −1
1 p r 2 −1
2 ···p rs−1
s
.
12.8.8. Niech r(n) oznacza iloczyn wszystkich liczb pierwszych dzielących liczbę naturalną n.
Zachodzi zawsze równość:
Φ n (x) = Φ r(n) (x n/r(n) ).
Jest to inne wysłowienie faktu 12.8.7.
12.8.9. Jeżeli liczby m i n są względnie pierwsze, to
Φ m (x n ) = ∏ Φ md (x). ([ArB]).
d|n
D. Φ m (x) = ∏ (x − α n ). Wobec tego:
α∈U m
Φ m (x n ∏
) = (x n − α n ) =
∏ ∏
(x − α · γ) = ∏ ∏ ∏
(x − αβ)
α∈U m α∈U m γ∈G n d|n α∈U m β∈U d
= ∏ ∏
(x − αβ) = ∏ ∏
(x − δ) = ∏ Φ md (x). ⊠
d|n (α,β)∈U m×U d d|n δ∈U md d|n
12.8.10. Jeżeli p jest liczbą pierwszą i m liczbą naturalną taką, że p ∤ m, to
Φ mp (x) = Φ m(x p )
Φ m (x) .
([ArB]).
D. Korzystając z 12.8.9 dla n = p mamy: Φ m (x p ) = Φ m·1 (x) · Φ mp (x) i stąd wynika teza. ⊠
Następne stwierdzenia dotyczą wielomianów cyklotomicznych o numerach parzystych.
12.8.11. Jeżeli n 3 jest liczbą nieparzystą, to Φ 2n (x) = Φ n (−x). ([ArB]).
D. Indukcja ze względu na n. Dla n = 3 mamy: Φ 6 (x) = x 2 − x + 1 = Φ 3 (−x). Załóżmy, że to
jest prawdą dla wszystkich liczb nieparzystych (większych od 1) mniejszych od n. Wtedy
x 2n − 1 = ∏ Φ e (x) = ∏ Φ d (x) · ∏
Φ 2d (x) = ∏ ∏
Φ d (x) · Φ 2d (x) · Φ 2n (x) · Φ 2 (x).
e|2n
d|n
d|n d|n
d|n
1