Podróże po Imperium Liczb - Wydział Matematyki i Informatyki ...

154 Andrzej Nowicki, Wielomiany 12. Wielomiany cyklotomiczne
D. Wynika to z równości
Ψ n (x, y) = ∏ (x n/d − y n/d) µ(d)
d|n
(dla n 2). ⊠
oraz
∑
µ(d) = 0
d|n
oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo
12.8 Wielomiany cyklotomiczne i ich numery
oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo
Najpierw zajmować się będziemy wielomianami cyklotomicznymi, których numery są potęgami
liczb pierwszych. Wiemy (patrz 12.2.6), że jeżeli p jest liczbą pierwszą, to
Φ p (x) = x p−1 + x p−2 + . . . + x + 1.
12.8.1. Φ p 2(x) = x p(p−1) + x p(p−2) + . . . + x p + 1.
12.8.2. Jeżeli p jest liczbą pierwszą i k jest liczbą naturalną to
Φ p k(x) = x pk−1 (p−1) + x pk−1 (p−2) + . . . + x pk−1·1 + 1.
D. Indukcja ze względu na k. Dla k=1,2 już wiemy, że tak jest. Załóżmy,
że to jest prawdą dla pewnego k 1. Wtedy dla k + 1 mamy
x pk+1 − 1 = (x pk ) p − 1 = (x pk − 1)(x pk (p−1) + x pk (p−2) + . . . + x pk + 1).
Z drugiej strony (ma mocy 12.4.2) mamy:
x pk+1 − 1 = (x pk ) p − 1 = Φ 1 (x)Φ p (x)Φ p 2(x) . . . Φ p k(x) Φ p k+1(x) = (x pk − 1)Φ p k+1(x).
} {{ }
x pk −1
Zatem Φ p k+1(x) = x pk (p−1) + x pk (p−2) + . . . + x pk + 1. ⊠
12.8.3. Jeżeli p jest liczbą pierwszą i k 0, to
Φ p k+1(x) = Φ p (x pk ). (Wynika z 12.8.2).
12.8.4. Φ 2 k+1 = x 2k + 1. (Jest to szczególny przypadek faktu 12.8.3).
12.8.5. Jeśli s = i + j, to Φ p s(x) = Φ p i(x pj ).
D. Φ p s(x) = p−1 ∑
x kps−1 = p−1
k=0
k=0
∑
(x pj ) kpi−1 = Φ p i(x pj ). ⊠
12.8.6. Jeżeli p i q są różnymi liczbami pierwszymi, to
dla i 1, j 1.
Φ p i q j(x) = Φ pq(x pi−1 q j−1 ),