Podróże po Imperium Liczb - Wydział Matematyki i Informatyki ...

Andrzej Nowicki, Wielomiany 12. Wielomiany cyklotomiczne 153
12.6.4. Niech k będzie q = p s elementowym ciałem. Niech n ∈ N, p ∤ n i niech m =
δ n (q) będzie rzędem liczby q modulo n. Wtedy wielomian Φ n (x), traktowany jako wielomian
należący do k[x], jest iloczynem ϕ(n)/m parami różnych wielomianów nierozkładalnych w
k[x], z których każdy jest stopnia m. ([Mot5], [Mot7]).
12.6.5. Niech n, s ∈ N. Wielomian Φ n (x s ) jest nierozkładalny w Q[x] wtedy i tylko wtedy,
gdy każdy dzielnik pierwszy liczby s jest dzielnikiem pierwszym liczby n. ([Golo]).
⋆ W. J. Guerrier, The factorization of the cyclotomic polynomials mod p, [Mon] 75(1)(1968) 46.
oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo
12.7 Wielomiany Ψ n (x, y)
oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo
Oznaczmy:
)
Ψ n (x, y) = y ϕ(n) Φ n
(
x
y
.
Przykłady:
Ψ 1 (x, y) = x − y,
Ψ 2 (x, y) = x + y,
Ψ 3 (x, y) = x 2 + xy + y 2 ,
Ψ 4 (x, y) = x 2 + y 2 ,
Ψ 5 (x, y) = x 4 + x 3 y + x 2 y 2 + xy 3 + y 4 ,
Ψ 6 (x, y) = x 2 − xy + y 2 ,
Ψ 7 (x, y) = x 6 + x 5 y + x 4 y 2 + x 3 y 3 + x 2 y 4 + xy 5 + y 6 ,
Ψ 8 (x, y) = x 4 + y 4 ,
Ψ 9 (x, y) = x 6 + x 3 y 3 + y 6 .
12.7.1. Z własności wielomianów cyklotomicznych wynikają następujące własności wielomianów
postaci Ψ n (x, y).
(1) Każde Ψ n (x, y) jest jednorodnym wielomianem stopnia ϕ(n) zmiennych x i y o współczynnikach
całkowitych.
(2) Każdy wielomian Ψ n (x, y) jest nierozkładalny w Z[x, y].
(3) Φ n (x) = Ψ n (x, 1).
(4) Ψ n (x, y) = ∏ (
x n/d − y n/d) µ(d)
.
d|n
(5) x n − y n = ∏ d|n
Ψ d (x, y).
12.7.2. Ψ n (x, y) = Ψ n (y, x), dla n 2. ([Mot7]).