Podróże po Imperium Liczb - Wydział Matematyki i Informatyki ...

150 Andrzej Nowicki, Wielomiany 12. Wielomiany cyklotomiczne
12.4.14. Przykłady:
(1) 4Φ 3 (x) = (2x + 1) 2 + 3 · 1 2 ;
(2) 4Φ 5 (x) = (2x 2 + x + 2) 2 − 5x 2 , Φ 5 (x) = (x 2 + 3x + 1) 2 − 5x(x + 1) 2 ;
(3) 4Φ 15 (x) = A 2 + 15B 2 , gdzie A = 2x 2 − x 3 − 4x 2 − x + 2, B = x 3 − x;
(4) Φ 15 (−x) = C 2 − 15xD 2 , gdzie C = x 4 + 8x 3 + 13x 2 + 8x + 1, D = x 3 + 3x 2 + 3x + 1.
(Brent).
12.4.15 ([BoC]). Niech p ∈ P i niech T p będzie funkcją przyporządkującą każdemu monicznemu
wielomianowi f(x) = ∏ (x − α i ) (gdzie każde α i jest liczbą zespoloną) wielomian
∏
(x − α
p
i ).
Jeśli n jest liczbą naturalną niepodzielną przez p, to
(1) T p (Φ n (x)) = Φ n (x);
(2) T p (Φ pn (x)) = Φ n (x) p−1 ;
(3) T p (Φ p s n(x)) = Φ p s−1 n(x) p , dla s 2.
Zdefiniowaliśmy wielomiany cyklotomiczne za pomocą pierwiastków pierwotnych z jedynki.
Pan Tomasz Ordowski przesłał mi (w maju 2013 roku) następujące zadanie do rozwiązania.
Z tezy tego zadania wynika, że wielomiany cyklotomiczne można definiować bez wspominania
o pierwiastkach z jedynki.
12.4.16. Niech (E n (x)) będzie ciągiem wielomianów takim, że
(
)
E 1 (x) = 1 oraz E n+1 (x) = nww E n (x), x n − 1
dla n ∈ N.
Wówczas dla każdej liczby naturalnej n, zachodzi równość
E n+1 (x)
E n (x)
= Φ n (x).
D. (Sposób I). Udowodnimy indukcyjnie, że dla każdej liczby naturalnej n zachodzi równość
(∗) E n+1 (x) =
n∏
Φ k (x).
Dla n = 1 jest to oczywiste. Jeśli f(x), g(x) są wielomianami, to przez [f(x), g(x)] oznaczać będziemy
najmniejszą wspólną wielokrotność tych wielomianów. Krok indukcyjny:
⎡
⎤
[
] n−1
∏
[
]
E n+1 (x) = E n (x), x n − 1 = ⎣
Φ d (b) ⎦ = A(x)B(x), A(x)Φ n (x) .
k=1
k=1
Φ k (x), ∏ d|n
Wykorzystaliśmy twierdzenie 12.4.2. Tutaj A(x) jest iloczynem wszystkich wielomianów postaci Φ d (x),
gdzie d < n oraz d | n. Natomiast B(x) jest iloczynem wszystkich wielomianów postaci Φ d (x), gdzie
d < n oraz d ∤ n. Wiemy, że wielomiany cyklotomiczne są nieprzywiedlne i są parami różne. Zatem,