Podróże po Imperium Liczb - Wydział Matematyki i Informatyki ...

Podróże po Imperium Liczb 

Część 12. Wielomiany 

Rozdział 12 

12. Wielomiany cyklotomiczne 

Andrzej Nowicki 31 maja 2013, http://www.mat.uni.torun.pl/~anow 

Spis treści 

12 Wielomiany cyklotomiczne 143 

12.1 Definicja i przykłady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 

12.2 Początkowe własności wielomianów cyklotomicznych . . . . . . . . . . . . . . 144 

12.3 Nierozkładalność wielomianów cyklotomicznych . . . . . . . . . . . . . . . . 146 

12.4 Następne własności wielomianów cyklotomicznych . . . . . . . . . . . . . . . 147 

12.5 Wielomiany cyklotomiczne i nierówności . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 

12.6 Wielomiany cyklotomiczne nad ciałami . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 

12.7 Wielomiany Ψ n (x, y) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 

12.8 Wielomiany cyklotomiczne i ich numery . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 

12.9 Współczynniki wielomianów cyklotomicznych . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 

12.10 Współczynniki wielomianu Φ pq (x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 

12.11 Współczynniki wielomianów Φ pqr (x) i Φ pqrs (x) . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 

12.12 Liczby naturalne postaci Φ n (a) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 

12.13 Podzielność liczb Φ n (a) przez liczby pierwsze . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 

12.14 Twierdzenie Hurwitza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 

12.15 Twierdzenie Banga o rzędach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 

12.16 Liczby pierwsze w postępach arytmetycznych . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 

12.17 Wielomiany podzielne przez x 2 + x + 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 

12.18 Inne zastosowania wielomianów cyklotomicznych . . . . . . . . . . . . . . . . 176 

Wszystkie książki z serii ”Podróże po Imperium Liczb” napisano w edytorze L A TEX. 

Spisy treści tych książek oraz pewne wybrane rozdziały moża znaleźć na internetowej stronie 

autora: http://www-users.mat.uni.torun.pl/~anow.

⊡⊡⊡⊡⊡⊡⊡⊡⊡⊡⊡⊡⊡⊡⊡⊡⊡⊡⊡⊡⊡⊡⊡⊡⊡⊡⊡⊡⊡⊡⊡⊡⊡⊡⊡⊡⊡⊡⊡⊡⊡⊡⊡⊡⊡⊡⊡⊡⊡⊡⊡⊡⊡⊡ 

12 Wielomiany cyklotomiczne 

⊡⊡⊡⊡⊡⊡⊡⊡⊡⊡⊡⊡⊡⊡⊡⊡⊡⊡⊡⊡⊡⊡⊡⊡⊡⊡⊡⊡⊡⊡⊡⊡⊡⊡⊡⊡⊡⊡⊡⊡⊡⊡⊡⊡⊡⊡⊡⊡⊡⊡⊡⊡⊡⊡ 

oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo 

12.1 Definicja i przykłady 


Niech n 1 będzie ustaloną liczbą naturalną. Wiadomo, że istnieje dokładnie ϕ(n) pierwiastków 

pierwotnych n-tego stopnia z jedynki. Oznaczmy te pierwiastki przez ω 1 , . . . , ω ϕ(n) 

i niech 

ϕ(n) 

∏ 

Φ n (x) = 

k=1 

(x − ω k ) . 

Φ n (x) nazywamy n-tym wielomianem cyklotomicznym lub n-tym wielomianem podziału koła. 

Jest to wielomian moniczny stopnia ϕ(n) i jego pierwiastkami są wszystkie pierwiastki pierwotne 

n-tego stopnia z jedynki. Udowodnimy w następnych podrozdziałach, że każde takie 

Φ n (x) jest nieprzywiedlnym wielomianem o współczynnikach całkowitych (patrz 12.3.1 oraz 

12.2.8). 

Przykłady: 

Φ 1 (x) = x − 1, 

Φ 2 (x) = x + 1, 

Φ 3 (x) = x 2 + x + 1, 

Φ 4 (x) = x 2 + 1, 

Φ 5 (x) = x 4 + x 3 + x 2 + x + 1, 

Φ 6 (x) = x 2 − x + 1, 

Φ 7 (x) = x 6 + x 5 + · · · + x + 1, 

Φ 8 (x) = x 4 + 1, 

Φ 9 (x) = x 6 + x 3 + 1, 

Φ 10 (x) = x 4 − x 3 + x 2 − x + 1, 

Φ 11 (x) = x 10 + x 9 + x 8 + · · · + x + 1, 

Φ 12 (x) = x 4 − x 2 + 1, 

Φ 13 (x) = x 12 + x 11 + x 10 + · · · + x + 1, 

Φ 14 (x) = x 6 − x 5 + x 4 − x 3 + x 2 − x + 1, 

Φ 15 (x) = x 8 − x 7 + x 5 − x 4 + x 3 − x + 1, 

Φ 16 (x) = x 8 + 1, 

Φ 17 (x) = x 16 + x 15 + x 14 + · · · + x + 1, 

Φ 18 (x) = x 6 − x 3 + 1, 

Φ 19 (x) = x 18 + x 17 + x 16 + · · · + x + 1, 

Φ 20 (x) = x 8 − x 6 + x 4 − x 2 + 1, 

Φ 21 (x) = x 12 − x 11 + x 9 − x 8 + x 6 − x 4 + x 3 − x + 1, 

Φ 22 (x) = x 10 − x 9 + x 8 − x 7 + x 6 − x 5 + x 4 − x 3 + x 2 − x + 1, 

Φ 23 (x) = x 22 + x 21 + x 20 + · · · + x 2 + x + 1, 

Φ 24 (x) = x 8 − x 4 + 1, 

Φ 25 (x) = x 20 + x 15 + x 10 + x 5 + 1, 

Φ 26 (x) = x 12 − x 11 + x 10 − x 9 + x 8 − x 7 + x 6 − x 5 + x 4 − x 3 + x 2 − x + 1, 

Φ 27 (x) = x 18 + x 9 + 1, 

Φ 28 (x) = x 12 − x 10 + x 8 − x 6 + x 4 − x 2 + 1, 

Φ 29 (x) = x 28 + x 27 + x 26 + · · · + x 2 + x + 1, 

Φ 30 (x) = x 8 + x 7 − x 5 − x 4 − x 3 + x + 1, 

Φ 50 (x) = x 20 − x 15 + x 10 − x 5 + 1, 

Φ 100 (x) = x 40 − x 30 + x 20 − x 10 + 1, 

Φ 1000 (x) = x 400 − x 300 + x 200 − x 100 + 1. 

143

144 Andrzej Nowicki, Wielomiany 12. Wielomiany cyklotomiczne 


12.2 Początkowe własności wielomianów cyklotomicznych 


12.2.1. Z definicji wielomianów cyklotomicznych wynika, że 

Φ n (x) = ∏ 

k∈A n 

(x − ξ k ) , 

gdzie ξ = cos 2π n +i sin 2π n oraz A n jest zbiorem wszystkich liczb naturalnych zbioru {1, . . . , n} 

względnie pierwszych z n. 

12.2.2. Dla n 3 zachodzi równość 

Φ n (x) = ∏ 

k∈B n 

( 

x 2 − 2x cos 

( 2kπ 

n 

) ) 

+ 1 , 

gdzie B n jest zbiorem wszystkich liczb naturalnych mniejszych od n 2 

liczbą n. 

i względnie pierwszych z 

D. Wynika to z równości 12.2.1 oraz tego, że ξ n−k jest sprzężeniem liczby ξ k . ⊠ 

12.2.3. Jeżeli n ≠ m, to Φ n (x) ≠ Φ m (x). 

D. Niech U n i U m będą zbiorami pierwiastków pierwotnych odpowiednio stopni n i m z jedynki. 

Wiadomo, że jeśli n ≠ m, to U n ≠ U m (a nawet U n ∩ U m = ∅). Zatem jeśli n ≠ m, to Φ n (x) ≠ Φ m (x), 

gdyż są to wielomiany moniczne mające różne zbiory pierwiastków. ⊠ 

Niech n 2 będzie ustaloną liczbą naturalną. Przez F n (x) oznaczać będziemy wielomian 

należący do Z[x], będący najmniejszą wspólną wielokrotnością wszystkich wielomianów 

postaci x d −1, gdzie d < n oraz d | n. Dodatkowo przyjmujemy, że F 1 (x) = 1. Zapamiętajmy: 

{ 

F n (x) = nww x d } 

− 1; d < n, d | n, d ∈ N 

Z tej definicji wynika, że F n (x) jest monicznym wielomianem o współczynnikach całkowitych, 

podzielnym przez wielomian x − 1. Ponadto, x d − 1 dzieli F n (x) dla wszystkich 1 d < n 

takich, że d | n. 

12.2.4. Niech e będzie pierwiastkiem pierwotnym n-tego stopnia z jedynki. Wówczas: 

∏ 

F n (x) = (x − e r ). 

r∈{1,2,...,n} 

(r,n)>1 

12.2.5. Dla każdego n ∈ N zachodzi równość x n − 1 = F n (x) · Φ n (x). ([Br77], [La84]). 

12.2.6. Jeżeli p jest liczbą pierwszą, to 

Φ p (x) = x p−1 + x p−2 + . . . + x + 1. 

.

Andrzej Nowicki, Wielomiany 12. Wielomiany cyklotomiczne 145 

D. Jedyną liczbą naturalną mniejszą niż p i dzielącą p jest d = 1. Wobec tego F p = (x − 1). 

Z równości 12.2.5 wynika zatem, że Φ p (x) = xp −1 

x−1 

= xp−1 + x p−2 + . . . + x + 1. ⊠ 

12.2.7. Niech A ⊂ B będą pierścieniami (przemiennymi z 1). Rozważmy trzy wielomiany: 

f(x), g(x), h(x) należące do B[x]. Załóżmy, że: 

(a) f(x) = g(x)h(x), 

(b) f(x) i g(x) są moniczne, 

(c) f(x), g(x) ∈ A[x]. 

Wtedy wielomian h(x) jest moniczny i należy do A[x]. 

D. Moniczność wielomianu h(x) jest oczywista. Niech: 

f(x) = x n + a n−1 x n−1 + . . . + a 1 x + a 0 , 

g(x) = x m + b m−1 x m−1 + . . . + b 1 x + b 0 , 

h(x) = x s + c s−1 x s−1 + . . . + c 1 x + c 0 , 

Współczynniki postaci a i , b j należą do A, natomiast współczynniki postaci c i należą do B. Ponieważ 

f(x) = g(x)h(x), więc porównując współczynniki przy x n−1 mamy a n−1 = c s−1 + b m−1 . Stąd c s−1 = 

a n−1 − b m−1 ∈ A. Wiemy więc, że c s−1 ∈ A. Załóżmy, że wiemy już, że wszystkie współczynniki 

c s−1 , c s−2 , . . . , c k+2 , c k+1 

należą do A. Pokażemy, że wówczas współczynnik c k również należy do A. W tym celu porównajmy 

w równości f(x) = g(x)h(x) współczynniki przy x k+s . Wtedy a k+s = c k + c k+1 b s−1 + c k+2 b s−2 + . . . 

i wobec tegoże 

c k = a k+s − (c k+1 b s+1 + c k+2 b s−2 + . . .). 

Prawa strona należy do A. Zatem c k ∈ A i to kończy nasz indukcyjny dowód. ⊠ 

12.2.8. Każdy wielomian Φ n (x) należy do pierścienia Z[x]. Innymi słowy, wszystkie współczynniki 

dowolnego wielomianu cyklotomicznego są liczbami całkowitymi. ([Br77], [La84]). 

D. Wiemy, że x n − 1 = F n (x)Φ n (x) (patrz 12.2.5). Wielomiany x n − 1 i F n (x) są moniczne i 

należą do Z[x]. Z 12.2.7 wynika więc, że wielomian Φ n (x) również należy do Z[x]. ⊠ 

⋆ T. Nagell, The cyclotomic polynomial, [Nagl] 158-160.



12.3 Nierozkładalność wielomianów cyklotomicznych 


12.3.1 (Kronecker). Każdy wielomian Φ n (x) jest nierozkładalny w Z[x]. ([Br77], [Fila] s.86). 

D. ([Br77]). Przypuśćmy, że wielomian Φ n (x) jest rozkładalny w Z[x]. Istnieją wtedy dwa wielomiany 

g(x) i h(x) należące do Z[x] (dodatniego stopnia) takie, że: 

Φ n (x) = g(x) · h(x). 

Możemy założyć, że wielomian g(x) jest nierozkładalny w Z[x]. Załóżmy ponadto, że są to wielomiany 

moniczne. Ponieważ Φ n (ω 1 ) = Φ n (ω 2 ) = . . . = Φ n (ω ϕ(n) ) = 0, gdzie ω 1 , ω 2 , . . . , ω ϕ(n) są wszystkimi 

pierwiastkami pierwotnymi n-tego stopnia z jedynki, więc istnieje co najmniej jeden z tych pierwiastków 

pierwotnych, oznaczmy go przez e, spełniający równość g(e) = 0. 

Niech p będzie taką liczbą pierwszą, że p ∤ n. Udowodnimy, że g(e p ) = 0. W tym celu zauważmy 

najpierw, że e p jest również pierwiastkiem pierwotnym n-tego stopnia z jedynki (ponieważ liczby p, n 

są względnie pierwsze). Zatem Φ n (e p ) = 0, więc g(e p ) = 0 lub h(e p ) = 0. Pokażemy, że g(e p ) = 0. 

Przypuśćmy, że h(e p ) = 0. Wówczas liczba e jest pierwiastkiem jednocześnie wielomianów g(x) 

oraz h(x p ). Ponieważ wielomian g(x) jest jest nierozkładalny w Z[x], więc stąd wynika, że g(x) dzieli 

h(x p ) w Z[x]. Zatem 

h(x p ) = g(x) · v(x), 

gdzie v(x) ∈ Z[x]. Rozpatrzmy homomorfizm pierścieni α : Z[x] −→ Z p [x] indukowany przez naturalny 

homomorfizm: Z → Z p (liczbie całkowitej a przyporządkowana jest reszta z dzielenia a przez p). Mamy 

wówczas w pierścieniu Z p [x] następujące dwie równości: 

α(Φ n (x)) = α(g(x)) · α(h(x)), 

α(h(x p )) = α(g(x)) · α(v(x)). 

Ale α(h(x p )) = (α(h(x))) p , więc α(h(x)) p = α(g(x)) · α(v(x)). Wielomian α(v[x]) ma stopień 1 (bo 

jest moniczny). Niech u(x) ∈ Z p [x] będzie wielomianem nierozkładalnym w Z p [x] dzielącym α(v(x)). 

Wtedy wielomian u(x) dzieli wielomian 

(α(h(x))) p = α(h(x)) · α(h(x)) · · · α(h(x)) , 

} {{ } 

p 

dzieli więc α(h(x)). Wielomian u(x) dzieli więc jednocześnie wielomiany α(g(x)) i α(h(x)). Oznacza 

to, że wielomiany α(g(x)) i α(h(x)) mają wspólny czynnik w Z p [x]. Stąd wynika dalej, że wielomian 

α(Φ n (x)) = α(g(x)) · α(h(x)) 

ma czynnik wielokrotny w Z p [x]. Ale x n − 1 = F n (x) · Φ n (x) (patrz 12.2.5), więc w pierścieniu Z p [x] 

mamy równość 

x n − 1 = α(x n − 1) = α(f n (x)) · α(Φ n (x)), 

z której wynika, że wielomian x n − 1 ma czynnik wielokrotny w Z p [x]. Zatem w pewnym rozszerzeniu 

ciała Z p wielomian x n − 1 ma pierwiastek podwójny. To jest oczywiście niemożliwe. Doszliśmy zatem 

do sprzeczności. 

W ten sposób wykazaliśmy, że g(e) = 0 oraz g(e p ) = 0 dla wszystkich takich liczb pierwszych p, 

że p ∤ n. Stąd wynika, że g(ω) = 0 dla każdego ω będącego pierwotnym pierwiastkiem n-tego stopnia 

z jedynki. 

Niech ω będzie pierwiastkiem pierwotnym n-tego stopnia z jedynki. Ponieważ e jest też takim 

pierwotnym pierwiastkiem, więc ω = e k dla pewnego k. Zatem nwd(k, n) = 1. Jeżeli k = 1, to ω = e, 

więc g(ω) = g(e) = 0. Niech teraz k 2. Niech k = p 1 p 2 · · · p s , gdzie p 1 , p 2 , . . . , p s są liczbami 

pierwszymi (niekoniecznie różnymi). Każda z tych liczb pierwszych jest oczywiście względnie pierwsza 

z liczą n. Zatem p 1 ∤ n, p 2 ∤ n, . . . , p s ∤ n. Z tego co już udowodniliśmy wynika, że g(e p1 ) = 0. 

Przyrównując e 1 = e p1 mamy g(e 1 ) = 0, więc g(e p2 ) = 0, więc g(e p1p2 ) = 0 i tak dalej aż do równości


g(e p1p2...ps ) = 0. Zatem g(e k ) = 0 czyli g(ω) = 0. Każdy zatem pierwiastek pierwotny n-tego stopnia 

z jedynki jest zerem wielomianu g(x). Zatem: 

g(x) = 

ϕ(n) 

∏ 

(x − ω k ) = Φ n (x). 

k=1 

Ale g(x) jest nierozkładalne w Z[x], więc Φ n (x) jest wielomianem nierozkładalnym w Z[x]. ⊠ 

12.3.2. Jeżeli n ≠ m, to wielomiany cyklotomiczne Φ n (x) i Φ m (x) są względnie pierwsze. 

D. Wynika to z tego, że wielomiany Φ n (x) oraz Φ m (x) są nierozkładalne, moniczne i różne. ⊠ 

12.3.3 (Kronecker). Jeśli f ∈ Z[x] Z jest nierozkładalnym wielomianem monicznym i 

wszystkie jego pierwiastki (zespolone) leżą na kole 

{z; |z| = 1}, 

to f(x) jest wielomianem cyklotomicznym. ([Fila] s.86). 

⋆ T. Nagell, Irreducibility of the cyclotomic polynomial, [Nagl] 160-164. 


12.4 Następne własności wielomianów cyklotomicznych 


12.4.1. Jeżeli d | n, to wielomian Φ d (x) dzieli wielomian x n −1 w Z[x], tzn. istnieje wielomian 

H(x) ∈ Z[x] taki, że x n − 1 = H(x)Φ d (x). 

D. Niech n = dm. Wtedy 

x n − 1 = x dm − 1 = (x d ) m − 1 m = (x d − 1)(x d(m−1) + x d(m−2) + . . . + 1), 

a zatem wielomian x d − 1 dzieli w Z[x] wielomian x n − 1. Wiemy , że x d − 1 = F d (x) · Φ d (x) (patrz 

12.2.5). Zatem Φ d (x) dzieli x d − 1 oraz x d − 1 dzieli x n − 1, a więc Φ d (x) dzieli x n − 1. ⊠ 

12.4.2. x n − 1 = ∏ d|n 

Φ d (x) . 

D. Oznaczmy: H(x) = ∏ Φ d (x). Ponieważ wielomiany postaci Φ d (x) są parami względnie pierwsze 

(patrz 12.3.2) oraz każdy z nich (gdy d | n) dzieli wielomian x n − 1 (patrz 12.4.1), więc H(x) 

d|n 

dzieli 

∑ 

x n − 1. Wielomian H(x) jest moniczny i jego stopień jest równy n, gdyż dobrze wiadomo, że 

ϕ(d) = n. Zatem H(x) = x n − 1. ⊠ 

d|n 

12.4.3. Jeśli m < n, to wielomiany x m − 1 i Φ n (x) są względnie pierwsze. 

D. Wynika to z 12.4.2 i 12.3.2. ⊠ 

12.4.4. x 15 − 1 = Φ 1 (x)Φ 3 (x)Φ 5 (x)Φ 15 (x). (Wynika z 12.4.2).


12.4.5 (T. M. Apostol, 1970). Niech d < n będą liczbami naturalnymi i niech k będzie liczbą 

naturalną zdefiniowaną następująco: 

k = 

{ p, gdy 

n 

d 

jest potęgą liczby pierwszej p, 

1, w przeciwnym przypadku. 

Istnieją wtedy wielomiany o współczynnikach całkowitych F (x), G(x) takie, że 

k = F (x)Φ d (x) + G(x)Φ n (x) . 

W literaturze matematycznej znajdziemy sporo różnych dowodów tego twierdzenia. W 

1970 roku udowodnił to Tom M. Apostol [Apl]. Dwa dowody, w tym jeden Andrzeja Schinzla, 

opublikował później Michael Filaseta [Fil]. Ostatnio prosty dowód opublikował Gregory 

Dresden [Drn]. Jego dowód podaje jawnie postać wielomianów F (x) i G(x). 

W pierwszym wydaniu tej książki powyższe twierdzenie się nie pojawiło. Autor dziękuje 

profesorom Władysławowi Narkiewiczowi oraz Andrzejowi Schinzlowi za cenne informacje o 

tym twierdzeniu i jego dowodach. 

W jednym z następnych podrozdziałów (patrz 12.12.6) wykorzystamy pewien szczególny 

przypadek omawianego twierdzenia. Teraz przedstawimy ten przypadek wraz z dowodem. 

Załóżmy, że m > n są liczbami naturalnymi i niech m = kn + r, gdzie k ∈ N, r ∈ Z, 

0 r < n. Mamy wtedy równość 

x m − 1 = (x m−n + x m−2n + x m−3n + · · · + x m−kn )(x n − 1) + x r − 1. 

Stosując tego typu równości i postępując tak jak w algorytmie Euklidesa, otrzymujemy: 

12.4.6. Niech n, m ∈ N oraz d = nwd(n, m). Istnieją wtedy wielomiany o współczynnikach 

całkowitych A(x), B(x) takie, że x d − 1 = A(x)(x n − 1) + B(x)(x m − 1). 

Z powyższych obserwacji wynika, wspomniany wcześniej, następujący szczególny przypadek 

twierdzenia 12.4.5. 

12.4.7. Jeśli d, n są liczbami naturalnymi takimi, że d < n oraz d ∤ n, to istnieją wielomiany 

o współczynnikach całkowitych F (x), G(x) takie, że 

1 = F (x)Φ d (x) + G(x)Φ n (x) . 

D. Oznaczmy: H k (x) = x k − 1 dla wszystkich k ∈ N. 

Niech r = nwd(d, n) i niech A(x), B(x) ∈ Z[x] takie, że 

(∗) 

H r (x) = A(x)H d (x) + B(x)H n (x). 

Takie wielomiany A(x), B(x) istnieją na mocy 12.4.6. Wprowadźmy zbiory: 

U = {m ∈ N; m | r}, V 1 = {m ∈ N; m | d, m ∤ r}, V 2 = {m ∈ N; m | n, m ∤ r} 

U jest zbiorem wszystkich dzielników naturalnych liczby r; każdy taki dzielnik jest oczywiście dzielnikiem 

liczby d i jest dzielnikiem liczby n. V 1 jest zbiorem tych wszystkich dzielników liczby d, które


nie są dzielnikami liczby r. Natomiast V 2 jest zbiorem tych wszystkich dzielników liczby n, które nie 

są dzielnikami liczby r. 

Zauważmy, że d nie należy do zbioru U. Gdyby bowiem było przeciwnie, to mielibyśmy równości 

d = r = nwd(d, n), z których wynikałoby, że d dzieli n; sprzeczność z założeniem, że d ∤ n. W podobny 

sposób uzasadniamy, że n nie należy do zbioru U. 

Zatem d ∈ V 1 oraz n ∈ V 2 . Oznaczmy: 

F (x) = 

∏ 

m∈V 1{d} 

Φ m (x), G(x) = 

∏ 

m∈V 2{n} 

Φ m (x). 

Jest jasne, że F (x), G(x) są wielomianami o współczynnikach całkowitych. Korzystamy teraz z twierdzenia 

12.4.2 i mamy: 

H d (x) = ∏ Φ m (x) = ∏ ∏ 

Φ m (x) · Φ m (x) = H r (x) ∏ 

Φ m (x) = H r (x)F (x)Φ d (x). 

m|d 

m∈U m∈V 1 m∈V 1 

W ten sam sposób wykazujemy, że H n (x) = H r (x)G(x)Φ n (x). Wstawiamy to do równości (∗) i po 

podzieleniu przez H r (x) otrzymujemy tezę. ⊠ 

12.4.8. Dla każdego n ∈ N zachodzi równość: 

Φ n (x) = ∏ d|n(x n d − 1) µ(d) , 

w której µ oznacza funkcję Möbiusa. ([Fila] s.87). 

D. Wynika z równości 12.4.2 i własności splotowych funkcji Möbiusa (patrz [N-5]). ⊠ 

12.4.9. W ciele Q(x) dla każdej liczby naturalnej n 2 zachodzi równość 

Φ n (x) = x ϕ(n) Φ n 

( 1 

x 

) 

. 

D. Wynika to z równości 12.4.8 i ze znanych równości ∑ d|n µ(d) n d = ϕ(n) oraz ∑d|n µ(d) = 0 

(dla n 2). ⊠ 

12.4.10. Niech f(x) ∈ Z[x] będzie wielomianem z nieparzystymi współczynnikami stopnia 

d − 1. Jeśli Φ n (x) dzieli wielomian f(x), to n dzieli 2d. ([BoC]). 

12.4.11 (Gauss). Jeśli n > 1 jest nieparzystą liczbą bezkwadratową, to istnieją takie wielomiany 

A(x), B(x) ∈ Z[x], że 4Φ n (x) = A(x) 2 − n(−1) (n−1)/2 B(x) 2 . (Brent). 

12.4.12 (Aurifeuille, Le Lasseur, Lucas). Jeśli n > 1 jest nieparzystą) 

liczbą bezkwadratową, 

to istnieją takie wielomiany C(x), D(x) ∈ Z[x], że Φ n 

((−1) (n−1)/2 x = C(x) 2 − nxD(x) 2 . 

(Brent). 

12.4.13 (Aurifeuille, Le Lasseur, Lucas). Jeśli n jest parzystą liczbą bezkwadratową, to istnieją 

takie wielomiany C(x), D(x) ∈ Z[x], że ±Φ n/2 (−x 2 ) = C(x) 2 − nxD(x) 2 . (Brent).


12.4.14. Przykłady: 

(1) 4Φ 3 (x) = (2x + 1) 2 + 3 · 1 2 ; 

(2) 4Φ 5 (x) = (2x 2 + x + 2) 2 − 5x 2 , Φ 5 (x) = (x 2 + 3x + 1) 2 − 5x(x + 1) 2 ; 

(3) 4Φ 15 (x) = A 2 + 15B 2 , gdzie A = 2x 2 − x 3 − 4x 2 − x + 2, B = x 3 − x; 

(4) Φ 15 (−x) = C 2 − 15xD 2 , gdzie C = x 4 + 8x 3 + 13x 2 + 8x + 1, D = x 3 + 3x 2 + 3x + 1. 

(Brent). 

12.4.15 ([BoC]). Niech p ∈ P i niech T p będzie funkcją przyporządkującą każdemu monicznemu 

wielomianowi f(x) = ∏ (x − α i ) (gdzie każde α i jest liczbą zespoloną) wielomian 

∏ 

(x − α 

p 

i ). 

Jeśli n jest liczbą naturalną niepodzielną przez p, to 

(1) T p (Φ n (x)) = Φ n (x); 

(2) T p (Φ pn (x)) = Φ n (x) p−1 ; 

(3) T p (Φ p s n(x)) = Φ p s−1 n(x) p , dla s 2. 

Zdefiniowaliśmy wielomiany cyklotomiczne za pomocą pierwiastków pierwotnych z jedynki. 

Pan Tomasz Ordowski przesłał mi (w maju 2013 roku) następujące zadanie do rozwiązania. 

Z tezy tego zadania wynika, że wielomiany cyklotomiczne można definiować bez wspominania 

o pierwiastkach z jedynki. 

12.4.16. Niech (E n (x)) będzie ciągiem wielomianów takim, że 

( 

) 

E 1 (x) = 1 oraz E n+1 (x) = nww E n (x), x n − 1 

dla n ∈ N. 

Wówczas dla każdej liczby naturalnej n, zachodzi równość 

E n+1 (x) 

E n (x) 

= Φ n (x). 

D. (Sposób I). Udowodnimy indukcyjnie, że dla każdej liczby naturalnej n zachodzi równość 

(∗) E n+1 (x) = 

n∏ 

Φ k (x). 

Dla n = 1 jest to oczywiste. Jeśli f(x), g(x) są wielomianami, to przez [f(x), g(x)] oznaczać będziemy 

najmniejszą wspólną wielokrotność tych wielomianów. Krok indukcyjny: 

⎡ 

⎤ 

[ 

] n−1 

∏ 

[ 

] 

E n+1 (x) = E n (x), x n − 1 = ⎣ 

Φ d (b) ⎦ = A(x)B(x), A(x)Φ n (x) . 

k=1 

k=1 

Φ k (x), ∏ d|n 

Wykorzystaliśmy twierdzenie 12.4.2. Tutaj A(x) jest iloczynem wszystkich wielomianów postaci Φ d (x), 

gdzie d < n oraz d | n. Natomiast B(x) jest iloczynem wszystkich wielomianów postaci Φ d (x), gdzie 

d < n oraz d ∤ n. Wiemy, że wielomiany cyklotomiczne są nieprzywiedlne i są parami różne. Zatem,


wielomiany B(x) oraz Φ n (x) są względnie pierwsze, a zatem [B(x), Φ n )(x)] = B(x) · Φ n (x). Mamy 

więc: 

[ 

] [ 

] 

E n+1 (x) = A(x)B(x), A(x)Φ n (x) = A(x) B(x), Φ n (x) 

( ∏n−1 

) 

= A(x)B(x)Φ n (x) = 

k=1 Φ k(x) · Φ n (x) 

= ∏ n 

k=1 Φ k(x) 

i to kończy nasz indukcyjny dowód równości (∗). Zatem E n+1 (x)/E n (x) = Φ n (x). ⊠ 

D. (Sposób II). (Władysław Narkiewicz). Niech A n (x) = E n+1 (x)/E n (x). Jeśli liczba (zespolona) 

z jest pierwiastkiem wielomianu A n (x), to E n+1 (z) = 0 oraz E n (z) jest niezerowe, gdyż wielomiany 

E n (x) nie mają pierwiastków wielokrotnych. Zatem z musi być pierwiastkiem wielomianu x n − 1, 

wiec jest pierwiastkiem n-tego stopnia z jedynki. Zauważmy, że ten pierwiastek jest pierwotny. Gdyby 

nie był, to mielibyśmy równość E n (z) = 0, a to jest niemożliwe. Zatem każdy pierwiastek wielomianu 

A n (x) jest pierwiastkiem n-tego wielomianu cyklotomicznego Φ n (x) i z nieprzywiedlności tego 

ostatniego wynika, że A n (x) = Φ n (x). ⊠ 

⋆ R. P. Brent, On computing factors of cyclotomic polynomials, preprint, 1993. 

L. Carlitz, Note on the cyclotomic polynomials, [Mon] 61(2)(1954) 106-108. 

M. Isaacs, Cyclotomy and geometric constructions. [Isaa], rozdział 20. 

D. R. Kohel, Cyclotomic polynomials and base b representations of integers, preprint. 

J. MacDougall, Mersenne composities and cyclotomic primes, [MG] 87(508)(2003) 71-75. 

D. G. C. McKeon, T. N. Sherry, Exploring cyclotomic polynomials, [MG] 502(2001) 59-65. 

K. F. McLean, Cyclotomic and double angle polynomials, [MG] 88(512)(2004) 208-214. 

L. Mirsky, A note on cyclotomic polynomials, [Mon] 69(8)(1962) 772-775. 

K. Motose, Ramanujan’s sums and cyclotomic polynomials, Hirosaki 2004. 

K. Motose, On Euclidean algorithm, Hirosaki, 2005. 

P. Ribenboim, Wielomiany podziału koła, [Ri01] 93-108. 

M. Sawczuk, Wielomiany cyklotomiczne, [Pmgr] 2001. 

W. Sengerov, A. Spivak, Wielomiany podziału okręgu, [Kw] 1/1998 11-18, 2/1998 63-64. 


12.5 Wielomiany cyklotomiczne i nierówności 


12.5.1. Dla każdego n ∈ N funkcja Φ n (x) jest ściśle rosnąca w przedziale [1, ∞). ([Mot1]). 

D. To jest oczywiste dla n = 1 i n = 2, gdyż Φ 1 (x) = x − 1, Φ 2 (x) = x + 1. Jeśli n 3, to fakt ten 

łatwo wynika z równości Φ n (x) = ∏ ( 

k∈B n x 2 − 2x cos ( ) ) 

2kπ 

n + 1 , gdzie Bn jest zbiorem wszystkich 

liczb naturalnych mniejszych od n 2 

i względnie pierwszych z n (patrz 12.2.2). Każda bowiem funkcja 

postaci f(x) = x 2 − 2x cos ( ) 

2kπ 

n + 1 (dla n 3) jest ściśle rosnąca w przedziale [1, ∞). ⊠ 

12.5.2. Jeśli n 2, to Φ n (a) 1 dla wszystkich liczb rzeczywistych a 1. 

D. Z dowodu faktu 12.5.1 wynika, że Φ n (1) > 0. Zatem Φ n (1) 1 (gdyż Φ n (1) ∈ Z). To, że 

Φ n (1) 1 wynika również z 12.9.3. Jeśli więc a 1, to Φ n (a) Φ n (1) 1 (na mocy 12.5.1). ⊠ 

12.5.3. Jeśli n 2, to dla każdej liczby naturalnej a zachodzi nierówność 

|Φ n (a)| > a − 1.


D. ([Br68]). Niech e będzie pierwiastkiem n-tego stopnia z jedynki. Dla a = 1 oczywiście Φ n (a) ≠ 

0, a zatem |Φ n (q)| 1 > q−1 = 0. Przypuśćmy więc, że a > 1. Wówczas dla dowolnej liczby całkowitej 

k mamy: |a − e k | |a| − |e k | = a − 1 1. Wobec tego: 

∏ 

Φ n (a) = 

|a − e r | |a − e|. 

r∈{1,2,...,n} 

(r,n)=1 

Ponieważ e nie jest liczbą rzeczywistą dodatnią dla n > 1, więc |a − e| > |a| − |e| = a − 1. ⊠ 

U. Powyższy fakt wykorzystuje się w dowodzie Twierdzenia Wedderburna o przemienności ciał 

skończonych (patrz np. [Br68]). ⊠ 

12.5.4. Jeśli n 2, to dla każdej liczby naturalnej a zachodzi nierówność 

Φ n (a) a. 

D. Już wiemy z 12.5.2, że Φ n (1) 1. Zatem rozważana nierówność jest prawdziwa dla a = 1. 

Niech teraz a będzie liczbą naturalną większą od 1 i przypuśćmy, że Φ n (a) < a. Ponieważ 1 < 2 < 

· · · < a − 1 < a, więc na mocy 12.5.1 otrzymujemy: 

1 Φ n (1) < Φ n (2) < · · · < Φ n (a − 1) < Φ n (a) < a, 

przy czym wszystkie liczby Φ n (1), Φ n (2), . . . , Φ n (a) są naturalne (gdyż Φ n (x) ∈ Z[x]). Otrzymaliśmy 

sprzeczność: pomiędzy 1 i a jest a + 1 liczb naturalnych. ⊠ 

12.5.5. Niech n 2 będzie liczbą naturalną. Niech r = ω(n) będzie liczbą wszystkich liczb 

pierwszych dzielących n. Niech n ′ = r(n) będzie iloczynem wszystkich liczb pierwszych dzielących 

n i niech m = n/n ′ . Wtedy: 

(1) jeśli r jest liczbą parzystą, to am − 1 

a m aϕ(n) < Φ n (a) < a ϕ(n) , dla wszystkich liczb 

rzeczywistych a 2; 

(2) jeśli r jest liczbą nieparzystą, to a ϕ(n) < Φ n (a) < am 

a m − 1 aϕ(n) , dla wszystkich liczb 

rzeczywistych a 2. ([Mot1]). 

12.5.6. (a − 1) ϕ(n) < Φ n (a) (a + 1) ϕ(n) , dla n 2, a 2. ([Mot5]). 

12.5.7. 

1 

2 aϕ(n) < Φ n (a) 2a ϕ(n) , dla n 2, a 2. (R.Thangadurai, A.Vatwani, [Mon] 118(8)(2011)). 


12.6 Wielomiany cyklotomiczne nad ciałami 


12.6.1. Niech p ∈ P, n, m ∈ N, n ≠ m, p ∤ n, p ∤ m. Wtedy wielomiany Φ n (x) i Φ m (x) są 

względnie pierwsze w Z p [x]. ([BoC]). 

12.6.2. Jeśli p ∈ P, to Φ p (x) = (x − 1) p−1 w Z p [x]. 

12.6.3. Niech p ∈ P, n ∈ N, p ∤ n. Niech m = δ n (p) będzie rzędem liczby p modulo 

n. Wtedy wielomian Φ n (x), traktowany jako wielomian należący do Z p [x], jest iloczynem 

ϕ(n)/m parami różnych wielomianów nierozkładalnych w Z p [x], z których każdy jest stopnia 

m. ([Mon] 75(1)(1968) 46).


12.6.4. Niech k będzie q = p s elementowym ciałem. Niech n ∈ N, p ∤ n i niech m = 

δ n (q) będzie rzędem liczby q modulo n. Wtedy wielomian Φ n (x), traktowany jako wielomian 

należący do k[x], jest iloczynem ϕ(n)/m parami różnych wielomianów nierozkładalnych w 

k[x], z których każdy jest stopnia m. ([Mot5], [Mot7]). 

12.6.5. Niech n, s ∈ N. Wielomian Φ n (x s ) jest nierozkładalny w Q[x] wtedy i tylko wtedy, 

gdy każdy dzielnik pierwszy liczby s jest dzielnikiem pierwszym liczby n. ([Golo]). 

⋆ W. J. Guerrier, The factorization of the cyclotomic polynomials mod p, [Mon] 75(1)(1968) 46. 


12.7 Wielomiany Ψ n (x, y) 


Oznaczmy: 

) 

Ψ n (x, y) = y ϕ(n) Φ n 

( 

x 

y 

. 

Przykłady: 

Ψ 1 (x, y) = x − y, 

Ψ 2 (x, y) = x + y, 

Ψ 3 (x, y) = x 2 + xy + y 2 , 

Ψ 4 (x, y) = x 2 + y 2 , 

Ψ 5 (x, y) = x 4 + x 3 y + x 2 y 2 + xy 3 + y 4 , 

Ψ 6 (x, y) = x 2 − xy + y 2 , 

Ψ 7 (x, y) = x 6 + x 5 y + x 4 y 2 + x 3 y 3 + x 2 y 4 + xy 5 + y 6 , 

Ψ 8 (x, y) = x 4 + y 4 , 

Ψ 9 (x, y) = x 6 + x 3 y 3 + y 6 . 

12.7.1. Z własności wielomianów cyklotomicznych wynikają następujące własności wielomianów 

postaci Ψ n (x, y). 

(1) Każde Ψ n (x, y) jest jednorodnym wielomianem stopnia ϕ(n) zmiennych x i y o współczynnikach 

całkowitych. 

(2) Każdy wielomian Ψ n (x, y) jest nierozkładalny w Z[x, y]. 

(3) Φ n (x) = Ψ n (x, 1). 

(4) Ψ n (x, y) = ∏ ( 

x n/d − y n/d) µ(d) 

. 

d|n 

(5) x n − y n = ∏ d|n 

Ψ d (x, y). 

12.7.2. Ψ n (x, y) = Ψ n (y, x), dla n 2. ([Mot7]).


D. Wynika to z równości 

Ψ n (x, y) = ∏ (x n/d − y n/d) µ(d) 

d|n 

(dla n 2). ⊠ 

oraz 

∑ 

µ(d) = 0 

d|n 


12.8 Wielomiany cyklotomiczne i ich numery 


Najpierw zajmować się będziemy wielomianami cyklotomicznymi, których numery są potęgami 

liczb pierwszych. Wiemy (patrz 12.2.6), że jeżeli p jest liczbą pierwszą, to 

Φ p (x) = x p−1 + x p−2 + . . . + x + 1. 

12.8.1. Φ p 2(x) = x p(p−1) + x p(p−2) + . . . + x p + 1. 

12.8.2. Jeżeli p jest liczbą pierwszą i k jest liczbą naturalną to 

Φ p k(x) = x pk−1 (p−1) + x pk−1 (p−2) + . . . + x pk−1·1 + 1. 

D. Indukcja ze względu na k. Dla k=1,2 już wiemy, że tak jest. Załóżmy, 

że to jest prawdą dla pewnego k 1. Wtedy dla k + 1 mamy 

x pk+1 − 1 = (x pk ) p − 1 = (x pk − 1)(x pk (p−1) + x pk (p−2) + . . . + x pk + 1). 

Z drugiej strony (ma mocy 12.4.2) mamy: 

x pk+1 − 1 = (x pk ) p − 1 = Φ 1 (x)Φ p (x)Φ p 2(x) . . . Φ p k(x) Φ p k+1(x) = (x pk − 1)Φ p k+1(x). 

} {{ } 

x pk −1 

Zatem Φ p k+1(x) = x pk (p−1) + x pk (p−2) + . . . + x pk + 1. ⊠ 

12.8.3. Jeżeli p jest liczbą pierwszą i k 0, to 

Φ p k+1(x) = Φ p (x pk ). (Wynika z 12.8.2). 

12.8.4. Φ 2 k+1 = x 2k + 1. (Jest to szczególny przypadek faktu 12.8.3). 

12.8.5. Jeśli s = i + j, to Φ p s(x) = Φ p i(x pj ). 

D. Φ p s(x) = p−1 ∑ 

x kps−1 = p−1 

k=0 

k=0 

∑ 

(x pj ) kpi−1 = Φ p i(x pj ). ⊠ 

12.8.6. Jeżeli p i q są różnymi liczbami pierwszymi, to 

dla i 1, j 1. 

Φ p i q j(x) = Φ pq(x pi−1 q j−1 ),


12.8.7. Jeżeli p 1 , p 2 , . . . , p s są parami różnymi liczbami pierwszymi, to 

( 

) 

Φ r p 1 

1 p r 2 

2 ···p rs (x) = Φ p s 1 p 2···p s 

x pr 1 −1 

1 p r 2 −1 

2 ···p rs−1 

s 

. 

12.8.8. Niech r(n) oznacza iloczyn wszystkich liczb pierwszych dzielących liczbę naturalną n. 

Zachodzi zawsze równość: 

Φ n (x) = Φ r(n) (x n/r(n) ). 

Jest to inne wysłowienie faktu 12.8.7. 

12.8.9. Jeżeli liczby m i n są względnie pierwsze, to 

Φ m (x n ) = ∏ Φ md (x). ([ArB]). 

d|n 

D. Φ m (x) = ∏ (x − α n ). Wobec tego: 

α∈U m 

Φ m (x n ∏ 

) = (x n − α n ) = 

∏ ∏ 

(x − α · γ) = ∏ ∏ ∏ 

(x − αβ) 

α∈U m α∈U m γ∈G n d|n α∈U m β∈U d 

= ∏ ∏ 

(x − αβ) = ∏ ∏ 

(x − δ) = ∏ Φ md (x). ⊠ 

d|n (α,β)∈U m×U d d|n δ∈U md d|n 

12.8.10. Jeżeli p jest liczbą pierwszą i m liczbą naturalną taką, że p ∤ m, to 

Φ mp (x) = Φ m(x p ) 

Φ m (x) . 

([ArB]). 

D. Korzystając z 12.8.9 dla n = p mamy: Φ m (x p ) = Φ m·1 (x) · Φ mp (x) i stąd wynika teza. ⊠ 

Następne stwierdzenia dotyczą wielomianów cyklotomicznych o numerach parzystych. 

12.8.11. Jeżeli n 3 jest liczbą nieparzystą, to Φ 2n (x) = Φ n (−x). ([ArB]). 

D. Indukcja ze względu na n. Dla n = 3 mamy: Φ 6 (x) = x 2 − x + 1 = Φ 3 (−x). Załóżmy, że to 

jest prawdą dla wszystkich liczb nieparzystych (większych od 1) mniejszych od n. Wtedy 

x 2n − 1 = ∏ Φ e (x) = ∏ Φ d (x) · ∏ 

Φ 2d (x) = ∏ ∏ 

Φ d (x) · Φ 2d (x) · Φ 2n (x) · Φ 2 (x). 

e|2n 

d|n 

d|n d|n 

d|n 

1


12.8.12. Jeżeli p 3 jest liczbą pierwszą, to Φ 4p (x) = Φ p (−x 2 ). ([ArB]). 

D. Na mocy twierdzenia 12.4.2 mamy: że 

x 4p − 1 = Φ 1 (x) · Φ 2 (x) · Φ 4 (x) · Φ p (x) · Φ 2p (x) · Φ 4p (x). 

Z drugiej strony wiemy, że: 

( )( ) 

x 4p − 1 = (x p ) 2 − 1 (x p ) 2 + 1 

( ) 

= (x p − 1)(x p + 1) (x 2 ) p + 1 

= Φ 1 (x) · Φ p (x) · Φ 2 (x) · Φ p (−x) · Φ 2 (x 2 ) · Φ p (−x 2 ). 

Z 12.8.11 wiemy, że zachodzi równość Φ 2p (x) = Φ p (−x). Ponadto wiemy, że Φ 2 (x 2 ) = x 2 + 1 = Φ 4 (x). 

Porównując strony napisanych powyżej równości otrzymujemy tezę. ⊠ 

12.8.13. Jeżeli p 3 jest liczbą pierwszą, to 

D. Wiemy z 12.4.2, że 

Φ 8p (x) = Φ p (−x 4 ). 

([ArB]). 

x 8p − 1 = Φ 1 (x) · Φ 2 (x) · Φ 4 (x) · Φ 8 (x) · Φ p (x) · Φ 2p (x) · Φ 4p (x) · Φ 8p (x). 


x 8p − 1 = 

( 

(x 4p − 1) 

) 

(x 4 ) p + 1 

= Φ 1 (x) · Φ 2 (x) · Φ 4 (x) · Φ p (x) · Φ 2p (x) · Φ 4p (x) · Φ 2 (x 4 ) · Φ p (−x 4 ). 

Z 12.8.3 wiemy, że Φ 8 (x) = Φ 2 (x 4 ). Zatem Φ 8p (x) = Φ p (−x 4 ). ⊠ 

12.8.14. Jeżeli p 3 jest liczbą pierwszą, to 

Φ 2 k p(x) = Φ p (−x 2k−1 ). 

12.8.15. Jeżeli p i q są różnymi liczbami pierwszymi nieparzystymi, to 

D. Wiemy z 12.4.2, że 

Φ 4pq (x) = Φ pq (−x 2 ). 

x 4pq −1 = Φ 1 (x)·Φ 2 (x)·Φ 4 (x)·Φ p (x)·Φ 2p (x)·Φ 4p (x)·Φ q (x)·Φ 2q (x)·Φ 4q (x)·Φ pq (x)·Φ 2pq (x)·Φ 4pq (x). 


x 4pq − 1 = (x 2pq − 1)(x 2pq + 1) 

= Φ 1 (x) · Φ 2 (x) · Φ p (x) · Φ 2p (x) · Φ q (x) · Φ 2q (x) · Φ pq (x) · Φ 2pq (x) · (x 2pq + 1). 

Porównując stronami powyższe równości otrzymujemy równość: 

Następnie korzystając z 12.8.12 otrzymujemy, że: 

Φ 4 (x) · Φ 4p (x) · Φ 4q (x) · Φ 4pq (x) = x 2pq + 1. 

(x 2 + 1) · Φ p (−x 2 ) · Φ q (−x 2 ) · Φ 4pq (x) = x 2pq + 1 

( 

) 

= − (−x 2 ) pq − 1 

Wiemy jednak, że 

Zatem Φ 4pq (x) = Φ pq (−x 2 ). ⊠ 

= −Φ 1 (−x 2 ) · Φ p (−x 2 ) · Φ q (−x 2 ) · Φ pq (−x 2 ). 

−Φ 1 (−x 2 ) = −(−x 2 − 1) = x 2 + 1.


Teraz przedstawiamy wielomiany cyklotomiczne o numerach podzielnych przez 3. 

12.8.16. Jeżeli p i q są takimi liczbami pierwszymi, że p > q > 3, to 

Φ 3p (x) − Φ 3q (x) = (x p − x q ) xp + x q + 1 

x 2 + x + 1 . 

D. Φ 3p (x) − Φ 3q (x) = Φ 3(x p ) 

Φ 3 (x) − Φ 3(x q ) 

Φ 3 (x) 

1 

[ 

] 

= 

x 2 (x 2p + x p + 1) − (x 2q + x q + 1) 

+ x + 1 

1 

= 

x 2 + x + 1 (x2p − x 2q + x p − x q ) 

1 

[ 

] 

= 

x 2 (x p − x q )(x p + x q ) + (x p − x q ) 

+ x + 1 

1 

= 

x 2 + x + 1 (xp − x q )(x p + x q + 1). ⊠ 

12.8.17. Jeżeli p i q są takimi liczbami pierwszymi, że p > q > 3, to wielomian 

(x p − x q )(x p + x q + 1) 

jest podzielny w Z[x] przez wielomian x 2 + x + 1. 

D. Wynika z 12.8.17, gdyż wiemy, że 

Φ 3p − Φ 3q 

jest wielomianem należącym do pierścienia Z[x]. Mamy zatem w Z[x] równość 

(x 2 + x + 1)(Φ 3p (x) − Φ 3q (x)) = (x p − x q )(x p + x q + 1). ⊠ 

U. Wielomiany postaci x p − x q (gdzie p i q są liczbami pierwszymi takimi, że p > q > 3) i 

x 2 + x + 1 nie muszą być względnie pierwsze. Dla przykładu 

x 29 − x 23 = x 23 (x 6 − 1) = x 23 (x 3 − 1)(x 3 + 1) = x 23 (x − 1)(x 3 + 1)(x 2 + x + 1), 

czyli tutaj x 2 + x + 1 dzieli x 29 − x 23 . ⊠ 


jest podzielny przez x q . 

Φ 3p (x) − Φ 3q (x) 


Φ 3p (x) − Φ 3q (x) 

jest podzielny przez wielomian x q (x − 1)(x + 1). 

12.8.20. Jeżeli p i q są takimi liczbami pierwszymi, że p > q > 3 oraz p − q = 6, to 

Φ 3p (x) − Φ 3q (x) = (x − 1)(x + 1)(x 2 − x + 1)(x p + x q + 1)x q . 

12.8.21. Jeżeli p i q są takimi liczbami pierwszymi, że p > q > 3 oraz p−q = 4, to wielomian 

Φ 3p (x) − Φ 3q (x) 

jest podzielny przez wielomian x q (x 4 − 1) = x q (x − 1)(x + 1)(x 2 + 1).



12.9 Współczynniki wielomianów cyklotomicznych 


Niech 

Φ n (x) = c ϕ(n) x ϕ(n) + c ϕ(n)−1 x ϕ(n)−1 + · · · + c 2 x 2 + c 1 x 1 + c 0 . 

Wiemy, że liczby c 0 , c 1 , . . . , c ϕ(n) są całkowite. 

12.9.1. Jeśli n 2, to c k = c ϕ(n)−k dla wszystkich k ∈ {0, 1, . . . , ϕ(n)}. 

D. Wynika to z równości Ψ n (x, y) = Ψ n (y, x) (patrz 12.7.2). ⊠ 

12.9.2. Wyrazem wolnym wielomianu Φ 1 (x) jest −1. Wyraz wolny każdego wielomianu 

Φ n (x), gdzie n 2, jest równy 1. 

D. (Sposób I). Jest to szczególny przypadek faktu 12.9.1, gdyż dla n 2 mamy: c 0 = c ϕ(n)−0 = 

c ϕ(n) = 1. 

(Sposób II). Wyrazem wolnym wielomianu Φ 2 (x) = x + 1 jest oczywiście 1. Załóżmy, że n 3 

i niech ω 1 , . . . , ω ϕ(n) będą wszystkimi pierwotnymi pierwiastkami n-tego stopnia z jedynki. Niech a 

oznacza wyraz wolny wielomianu Φ n (x). Mamy wtedy 

a = (−1) ϕ(n) ω 1 · · · ω ϕ(n) . 

Wiadomo, że jeśli n 3, to ϕ(n) jest liczbą parzystą. Zatem a = ω 1 · · · ω ϕ(n) . 

Jeśli ε jest pierwotnym pierwiastkiem n-tego stopnia z jedynki, to liczba 1 ε 

również jest pierwotnym 

pierwiastkiem n-tego stopnia z jedynki. Ponadto, jeśli n > 2, to ε ≠ 1 ε 

. Zatem zbiór wszystkich 

pierwotnych pierwiastków n-tego stopnia z jedynki można rozbić na parami rozłączne dwuelementowe 

zbiory postaci {ε, 1 ε 

}. Iloczyn wszystkich takich pierwiastków jest więc równy 1, tzn. a = 1. ⊠ 

12.9.3. Niech n 2. Rozpatrzmy sumę wszystkich współczynników wielomianu Φ n (x). Suma 

ta jest oczywiście równa Φ n (1). Jeśli n nie jest potęgą liczby pierwszej, to 

Φ n (1) = 1. 

W przeciwnym przypadku, jeśli n = p s , p ∈ P, s 1, to 

Φ n (1) = p. 

D. (K. Motose). Dla n = p s fakt ten wynika z równości 

Φ p s = x ps−1 (p−1) + x ps−1 (p−2) + · · · + 1 

(patrz 12.8.2). Załóżmy, że n 2 nie jest potegą liczby pierwszej. Wtedy n = p s m, gdzie p jest pewną 

liczbą pierwszą i m 2, p ∤ m. Ponieważ 

Φ mp s(x) = Φ m(x ps ) 

Φ m (x ps−1 ) 

oraz Φ m (1) ≠ 0 (gdyż m ≠ 1), więc Φ n (1) = Φ m(1) 

Φ m (1) = 1. ⊠ 

12.9.4. Jeśli n 3 jest liczbą nieparzystą, to Φ n (−1) = 1. ([Mon] 6(111)(2004) 531-533).


12.9.5. Jeżeli n ∈ N jest dowolną potęgą liczby pierwszej, wówczas wszystkie współczynniki 

n-tego wielomianu cyklotomicznego są nieujemne. 

D. Wynika to z równości Φ p s = x ps−1 (p−1) + x ps−1 (p−2) + · · · + 1 (patrz 12.8.2). ⊠ 

12.9.6. Wszystkie współczynniki wielomianu Φ n (x) są nieujemne wtedy i tylko wtedy, gdy n 

jest potęgą liczby pierwszej. ([Mon] 73(5)(1966) E1769). 

12.9.7. Niech q > p będą liczbami pierwszymi i niech r, s będą nieujemnymi liczbami całkowitymi 

takimi jak w 12.10.3. Wówczas środkowy współczynnik wielomianu Φ pq (x) jest równy 

(−1) r . ([Mon] 103(7)(1996) 562-564, wynika z 12.10.4). 

12.9.8 (Dresden 2004). Dla n 3 środkowy współczynnik wielomianu Φ n (x) jest albo równy 

zero (kiedy n jest potęgą dwójki) albo jest liczbą nieparzystą. ([Mon] 6(111)(2004)). 

12.9.9. Niech m(n) oznacza środkowy współczynnik wielomianu Φ n (x). Kilka przykładów: 

m(385 = 5 · 7 · 11) = −3, 

m(4785 = 3 · 5 · 11 · 29) = 5, 

m(7735 = 5 · 7 · 13 · 17) = −7, 

m(11305 = 5 · 7 · 17 · 19) = 19. (J. Suzuki 1987). 

12.9.10 (I. Schur). Niech b ∈ N. Istnieje wielomian cyklotomiczny, którego co najmniej 

jeden współczynnik ma wartość bezwzględną większą od b. ([Fila] s.103). 

⋆ G. P. Dresden, On the middle coefficient of a cyclotomic polynomial, 

[Mon] 6(111)(2004) 531 - 533. 

E. Lehmer, On the magnitude of coefficients of the cyclotomic polynomials, 

[Bams] 42(1936) 389-392. 

J. Suzuki, On coefficients of cyclotomic polynomials, [Pjap] 63(1987) 279-280. 


12.10 Współczynniki wielomianu Φ pq (x) 


Jeśli p i q są różnymi liczbami pierwszymi, to (patrz 12.4.8) 

Φ pq (x) = (1 − xpq )(1 − x) 

(1 − x p )(1 − x q ) . 

Jest to wielomian stopnia ϕ(pq) = (p − 1)(q − 1). 

12.10.1 (Migotti 1883, Bang 1895). Wszystkie współczynniki wielomianu 

Φ pq (x), 

gdzie p i q są liczbami pierwszymi, należą do zbioru {−1, 0, 1}. 

([Bang], [Mon] 73(9)(1966), 103(7)(1996)).


Przedstawimy teraz dokładniejsze opisy współczynników wielomianów postaci Φ pq . Opisy 

te pochodzą głównie z artykułów z czasopisma [Mon]. 

12.10.2 (Sister Marion Beiter 1964). Niech q > p będą liczbami pierwszymi i niech 

Φ pq (x) = ∑ c k x k . 

Wtedy dla każdego k = 0, 1, . . . , ϕ(pq) zachodzi równość 

c k = 

{ (−1) δ , jeśli k można jednoznacznie przedstawić w postaci k = αq + βp + δ, 

0, w przeciwnym wypadku, 

gdzie α, β są nieujemnymi liczbami całkowitymi oraz δ = 0 lub 1. ([Mon] 71(1964) 769-770). 

Do przedstawienia następnych charakteryzacji współczynników wielomianu Φ pq (x) potrzebny 

będzie następujący fakt. Jeśli a i b są względnie pierwszymi liczbami naturalnymi, to 

każdą liczbę naturalną n, większą od ab − a − b, można przedstawić w postaci n = xa + yb, 

gdzie x i y są nieujemnymi liczbami całkowitymi. Dowód tego faktu można znaleźć np. w 

[Nar03] s.34 (jest również w [N-6]). Korzystając z tego, łatwo dowodzi się następujący lemat. 

12.10.3. Jeśli q ≠ p są liczbami pierwszymi, to istnieją jednoznacznie wyznaczone takie 

nieujemne liczby całkowite r, s, że (p − 1)(q − 1) = rp + sq. Ponadto: 

(1) 0 r q − 2, 0 s p − 2; 

(2) r = u − 1, s = v − 1, gdzie u ∈ {1, 2, . . . , q − 1}, v ∈ {1, 2, . . . , p − 1} są takimi 

liczbami naturalnymi, że up ≡ 1 (mod q) oraz vq ≡ 1 (mod p). 

12.10.4 (Lam, Leung 1996). Niech q > p będą liczbami pierwszymi i niech r, s będą nieujemnymi 

liczbami całkowitymi takimi jak w 12.10.3. Wówczas wszystkie współczynniki wielomianu 

Φ pq (x) = ∑ c k x k należą do zbioru {−1, 0, 1}. Dokładniej: 

(1) c k = 1 wtedy i tylko wtedy, gdy k = ip + jq, gdzie i ∈ {0, 1, . . . , r}, j ∈ {0, 1, . . . , s}; 

(2) c k = −1 wtedy i tylko wtedy, gdy k = ip + jq − pq, gdzie i ∈ {r + 1, r + 2, . . . , q − 1}, 

j ∈ {s + 1, s + 2, . . . , p − 1}; 

(3) c k = 0 w pozostałych przypadkach. ([Mon] 103(7)(1996) 562-564). 

Wprowadzamy następujące oznaczenia. Przez a(p, q) oznaczać będziemy liczbę wszystkich 

współczynników równych 1 wielomianu Φ pq (x). Podobnie przez b(p, q) i c(p, q) oznaczać 

będziemy liczby współczynników równych odpowiednio −1 i 0 wielomianu Φ pq (x). Dla przykładu, 

jeśli p = 3 i q = 5, to 

Φ 15 = x 8 − x 7 + x 5 − x 4 + x 3 − x + 1 

i mamy: a(3, 5) = 4, b(3, 5) = 3 oraz c(3, 5) = 2. 

12.10.5. b(p, q) = a(p, q) − 1. ([Mon] 73(9)(1966), 103(7)(1996)).


D. Wynika to natychmiast z tego, że wszystkie współczynniki wielomianu Φ pq (x) należą do zbioru 

{−1, 0, 1} oraz z tego, że 

Φ pq (1) = 1 

(patrz 12.10.1 i 12.9.3). Łatwo to również wywnioskować z faktu 12.10.7. ⊠ 

12.10.6 (Carlitz 1966 ). Niech q > p będą liczbami pierwszymi i niech w ∈ {1, 2, . . . , p − 1} 

będzie jedyną liczbą naturalną taką, że wq ≡ −1 (mod p). Wtedy 

a(p, q) = 1 (p − w)(wq + 1). 

p 

([Mon] 73(9)(1966)). 

12.10.7 (Lam, Leung 1996). Niech q > p będą liczbami pierwszymi i niech r, s będą nieujemnymi 

liczbami całkowitymi takimi jak w 12.10.3. Zachodzą równości: 

(1) a(p, q) = (r + 1)(s + 1), 

(2) b(p, q) = (p − s − 1)(q − r − 1), 

(3) c(p, q) = 2 + (p − 1)(q − 1) − 2(r + 1)(s + 1). ([Mon] 103(7)(1996), wynika to z 12.10.4). 

12.10.8 (Lenstra 1978). Niech q > p będą liczbami pierwszymi. 

Niech u ∈ {1, 2, . . . , q − 1}, v ∈ {1, 2, . . . , p − 1} będą jedynymi takimi liczbami naturalnymi, 

że up ≡ 1 (mod q) i vq ≡ 1 (mod p). Wtedy 

([Mon] 103(7)(1996)). 

a(p, q) = uv, b(p, q) = uv − 1. 

12.10.9 (Carlitz 1966). Z faktu 12.10.6 łatwo wywnioskować następujące równości. 

(1) a(3, 3k + 1) = 2k + 1, a(3, 3k + 2) = 2k + 2. 

(2) a(5, 5k+1) = 4k+1, a(5, 5k+2) = 6k+3, a(5, 5k+3) = 6k+4, a(5, 5k+4) = 4k+4. 

(3) a(p, kp + 1) = k(p − 1) + 1, a(p, pk + p − 1) = k(p − 1) + p − 1. ([Mon] 73(9)(1966)). 

12.10.10 (Zeitlin 1968). Niech q > p bądą liczbami pierwszymi i niech 

Φ pq (x) = 

N∑ 

c k x k , 

gdzie N = ϕ(pq) = (p − 1)(q − 1). Przyjmujemy, że c k = 0 dla k > N. Zachodzą wówczas 

następujące równości. 

(1) c k = 

(2) 

(3) 

N−1 ∑ 

i=0 

N/2 

∑ 

i=0 

2k∑ 

i=0 

k=0 

(−1) i c i c 2k−i , dla k = 0, 1, . . . , N; 

(−1) i c i c i+1 = 0; 

c 2i = 1; 

N/2 ∑ 

i=1 

c 2i−1 = 0;


(4) 

(5) 

(6) 

(7) 

N∑ 

ic i = 1 2 N = ∑ N (−1) i ic i ; 

i=1 

i=1 

N∑ 

(−1) i ic 2 i = 1 2 Nc N/2; 

i=1 

N∑ 

i=1 

i 2 c i = 1 N∑ 

N(N + pq + 1), 

6 

N∑ 

i 3 c i = 1 4 N 2 (pq + 1), 

i=1 

i=1 

(−1) i i 2 c i = 1 2N(pq + 1); 

N∑ 

(−1) i i 3 c i = 1 4 N 2 (3pq + 3 − N). ([Zeit]). 

i=1 

⋆ M. Beiter, The midterm coefficient of the cyclotomic polynomial F pq (x), 

[Mon] 71(1964) 769-770. 

M. Beiter, Magnitude of the coefficients of the cyclotomic polynomial F pq (x), 

[Mon] 75(1968) 370-372. 

L. Carlitz, The number of terms in the cyclotomic polyn. F pq (x), [Mon] 73(9)(1966) 979-981. 

T. Y. Lam, K. H. Leung, On the cyclotomic polynomial Φ pq (x), [Mon] 103(7)(1996) 562-564. 

H. Lenstra, Vanishing sums of roots of unity, Proc. Bicentennial Congress Wiskunding Genootschap, 

Vrije Univ. Amsterdam, 1978, 249-268. 

A. Migotti, Zur Theorie der Kreisteilungsgleichung, S.-B. der Math.-Naturwiss. Classe der Kaiser. 

Akad. der Wiss., Wien 87(1983) 7-14. 


12.11 Współczynniki wielomianów Φ pqr (x) i Φ pqrs (x) 


12.11.1. Patrząc na tablice wielomianów cyklotomicznych mogłoby się wydawać, że wszystkie 

niezerowe współczynniki wielomianów cyklotomicznych są równe ±1. Nie jest to jednak 

prawdą bowiem: 

Φ 105 (x) = 1 + x + x 2 − x 5 − x 6 −2x 7 − x 8 − x 9 + x 12 + x 13 + x 14 + x 15 + x 16 + x 17 

−x 20 − x 22 − x 24 − x 28 + x 31 + x 32 + x 33 + x 34 + x 35 

+x 36 − x 39 − x 40 −2x 41 − x 42 − x 43 + x 46 + x 47 + x 48 . 

12.11.2. Niech r > q > p będą liczbami pierwszymi i niech 

Φ pqr (x) = 

gdzie N = ϕ(pqr) = (p − 1)(q − 1)(r − 1). 

N∑ 

c k x k , 

Oznaczmy przez m największą z liczb |c 0 |, |c 1 |, . . . , |c N |. Wtedy: 

([Bloo]). 

(1) m p − 1, ([Bang] 1895); 

(2) jeśli p = 5, to m 3; 

(3) jeśli p = 7 i m = 6, to q ≡ ±3 (mod 7) oraz r ≡ ±3 (mod 7); 

(4) jeśli p 5 i m = p − 1, to liczby r i s nie przystają do ±1 modulo p. 

k=0


12.11.3 (Zeitlin 1968). Niech r > q > p bądą liczbami pierwszymi i niech 

Φ pqr (x) = 

N∑ 

c k x k , 

gdzie N = ϕ(pqr) = (p − 1)(q − 1)(r − 1). Oznaczmy M = pqr + p + q + r. Zachodzą wówczas 

następujące równości. 

(1) 

(2) 

(3) 

(4) 

N∑ 

ic i = 1 2 N = ∑ N (−1) i ic i ; 

i=1 

i=1 

N∑ 

(−1) i ic 2 i = 1 2 Nc N/2; 

i=1 

N∑ 

i=1 

i 2 c i = 1 N N(N + M), 

6 

N∑ 

i 3 c i = 1 4 N 2 M, 

i=1 

k=0 

∑ 

(−1) i i 2 c i = 1 2 NM; 

i=1 

N∑ 

(−1) i i 3 c i = 1 4 N 2 (3M − N). ([Zeit]). 

i=1 

12.11.4 (Bloom 1968). Niech s > r > q > p bądą liczbami pierwszymi i niech 

N∑ 

Φ pqrs (x) = c k x k , 

k=0 

gdzie N = ϕ(pqrs) = (p − 1)(q − 1)(r − 1)(s − 1). 

Oznaczmy przez m największą z liczb |c 0 |, |c 1 |, . . . , |c N |. Wtedy 

m p(p − 1)(pq − 1). 

([Bloo]). 

12.11.5 (Zeitlin 1968). Niech s > r > q > p bądą liczbami pierwszymi i niech 

N∑ 

Φ pqr (x) = c k x k , 

k=0 

gdzie N = ϕ(pqrs) = (p − 1)(q − 1)(r − 1)(s − 1). Zachodzą wówczas następujące równości. 

(1) 

(2) 

N∑ 

ic i = 1 2 N = ∑ N (−1) i ic i ; 

i=1 

i=1 

N∑ 

(−1) i ic 2 i = 1 2 Nc N/2. ([Zeit]). 

i=1 

⋆ M. Beiter, Magnitude of the coefficients of the cyclotomic polynomial F pq (x), [Mon] 75(1968) 

370-372.



12.12 Liczby naturalne postaci Φ n (a) 


W tym podrozdziale zajmować się będziemy liczbami postaci Φ n (a), gdzie a jest liczbą 

naturalną. Przypomnijmy (patrz 12.5.4), że jeśli n 2, to dla każdej liczby naturalnej a 

zachodzi nierówność Φ n (a) a. Stąd w szczególności wynika, że każde takie Φ n (a) (dla 

n 2 oraz a ∈ N) jest liczbą naturalną. 

Przypadek a = 1 jest już nam dobrze znany. Przypomnijmy (patrz 12.9.3), że jeśli n 2 

nie jest potęgą liczby pierwszej, to Φ n (1) = 1. W przeciwnym przypadku, jeśli n = p s , p ∈ P, 

s 1, to Φ n (1) = p. W dalszym ciągu zakładać będziemy często, że a jest liczbą naturalną 

większą od 1. 

Spójrzmy na kilka przykładów. 

12.12.1. Liczby postaci Φ n (2) dla 1 n 40. 

n Φ n (2) 

1 1 

2 3 

3 7 

4 5 

5 31 

6 3 

7 127 

8 17 

9 73 

10 11 

n Φ n (2) 

11 2047 

12 13 

13 8191 

14 43 

15 151 

16 257 

17 131071 

18 57 

19 524287 

20 205 

n Φ n (2) 

21 2359 

22 683 

23 8388607 

24 241 

25 1082401 

26 2731 

27 262657 

28 3277 

29 536870911 

30 331 

n Φ n (2) 

31 2147483647 

32 65537 

33 599479 

34 43691 

35 8727391 

36 4033 

37 137438953471 

38 174763 

39 9588151 

40 61681 

W prawych kolumnach mamy dokładnie 27 liczb pierwszych. W pierwszej tabelce oprócz 

Φ 1 (2) = 1 występują same liczby pierwsze. Następna liczba, Φ 11 (2) = 2047 = 23 · 89, już nie 

jest liczbą pierwszą. Istnieją dokładnie 44 liczby pierwsze postaci Φ n (2), gdzie 1 n 100. 

Jeśli natomiast 1 n 1000, to takich liczb pierwszych jest dokładnie 99. (Maple). 

12.12.2. Liczby postaci Φ n (3) dla 1 n 40. 

n Φ n (3) 

1 2 

2 4 

3 13 

4 10 

5 121 

6 7 

7 1093 

8 82 

9 757 

10 61 

n Φ n (3) 

11 88573 

12 73 

13 797161 

14 547 

15 4561 

16 6562 

17 64570081 

18 703 

19 581130733 

20 5905 

n Φ n (3) 

21 368089 

22 44287 

23 47071589413 

24 6481 

25 3501192601 

26 398581 

27 387440173 

28 478297 

29 34315188682441 

30 8401 

n Φ n (3) 

31 308836698141973 

32 43046722 

33 2413941289 

34 32285041 

35 189150889201 

36 530713 

37 225141952945498681 

38 290565367 

39 195528263281 

40 42521761 

W prawych kolumnach mamy dokładnie 16 liczb pierwszych. Istnieją dokładnie 23 liczby 

pierwsze postaci Φ n (3), gdzie 1 n 100. Jeśli natomiast 1 n 200, to takich liczb 

pierwszych jest dokładnie 31. (Maple).


Przypomnijmy, że jeśli n ≠ m, to wielomiany cyklotomiczne Φ n (x), Φ m (x) są względnie 

pierwsze (patrz 12.9.3) w pierścieniu Z[x]. Stąd jednak nie wynika, że jeśli n ≠ m oraz 

2 a ∈ N, to liczby naturalne Φ n (a), Φ m (a) są również względnie pierwsze. Mamy na 

przykład 6 ≠ 18 oraz nwd (Φ 6 (2), Φ 18 (2)) = nwd(6, 57) = 3. Inny przykład: 2 ≠ 4 oraz 

nwd (Φ 2 (3), Φ 4 (3)) = nwd(4, 10) = 2 

W pewnych jednak przypadkach tę względną pierwszość można uzyskać. Udowodniliśmy 

(patrz 12.4.7), że jeśli d, n są liczbami naturalnymi takimi, że d < n oraz d ∤ n, to istnieją 

wielomiany o współczynnikach całkowitych F (x), G(x) takie, że 

1 = F (x)Φ d (x) + G(x)Φ n (x). 

Podobnego typu równość zachodzi zachodzi nawet przy słabszym założeniu; wystarczy założyć, 

że n/d nie jest potągą liczby pierwszej (patrz twierdzenie 12.4.5). Z tych faktów wynikają 

natychmiast następujące trzy stwierdzenia zachodzące dla dowolnej liczby naturalnej a (a 

nawet dla a ∈ Z). 

12.12.3. Jeśli d, n są liczbami naturalnymi takimi, że d < n oraz d ∤ n, to dla dowolnej liczby 

całkowitej a, liczby Φ d (a), Φ n (a) są względnie pierwsze. 

12.12.4. Jeśli m, m są względnie pierwszymi liczbami naturalnymi większymi od 1, to to dla 

dowolnej liczby całkowitej a, liczby Φ n (a), Φ m (a) są względnie pierwsze. 

12.12.5. Niech 1 < d < m będą liczbami naturalnymi. Jeśli istnieje taka liczba całkowita a, 

że nwd (Φ d (a), Φ n (a)) > 1, to d jest dzielnikiem liczby n. 

Pan Tomasz Ordowski przesłał mi (w maju 2013 roku) dwa interesujące zadania do rozwiązania, 

dotyczące wielomianów cyklotomicznych. O pierwszym jego zadaniu napisaliśmy 

na stronie 150 (patrz 12.4.16). Oto drugie zadanie wraz z dowodem. 

12.12.6. Niech a 2 będzie liczbą naturalną i niech (b n ) będzie ciągiem liczb naturalnych 

takim, że 

( ) 

b 1 = 1 oraz b n+1 = nww b n , a n − 1 dla n ∈ N. 

Wówczas dla dowolnej liczby naturalnej n zachodzi równość 

b n+1 

b n 

= Φ n (a). 

D. Udowodnimy, że dla każdej liczby naturalnej n zachodzi równość 

(∗) b n = 

n−1 

∏ 

k=1 

Φ k (a). 

Indukcja ze względu na n. Dla n = 1 jest to oczywiste. Krok indukcyjny: 

⎡ 

⎤ 

n−1 

∏ 

b n+1 = [b n , a n − 1] = ⎣ 

Φ d (a) ⎦ = [AB, AΦ n (a)] . 

k=1 

Φ k (a), ∏ d|n 

Wykorzystaliśmy twierdzenie 12.4.2. Tutaj A jest iloczynem wszystkich liczb postaci Φ d (a), gdzie 

d < n oraz d | n. Natomiast B jest iloczynem wszystkich liczb postaci Φ d (a), gdzie d < n oraz d ∤ n. 

Nawiasami kwadratowymi oznaczono najmniejszą wspólną wielokrotność.


Ze stwierdzenia 12.12.3 wynika, że liczby B oraz Φ n (b) są względnie pierwsze. Mamy zatem: 

b n+1 = [AB, AΦ n (a)] = A [B, Φ n (a)] = ABΦ n (a) = 

( n−1 

) ∏ 

Φ k (a) · Φ n (a) = 

k=1 

i to kończy nasz indukcyjny dowód równości (∗). Zatem b n+1 /b n = Φ n (a). ⊠ 

n∏ 

Φ k (a) 


12.13 Podzielność liczb Φ n (a) przez liczby pierwsze 


Jeśli a, m ∈ Z, m 2 oraz nwd(a, m) = 1, to przez δ m (a) oznaczamy rząd liczby a modulo 

m, tzn. δ m (a) jest najmniejszą liczbą naturalną n taką, że 

a n ≡ 1 (mod m). 

Podstawowe własności liczby δ m (a) znajdują się np. w [N-4]. 

k=1 

12.13.1. Niech p ∈ P, a ∈ Z, n ∈ N. Jeśli p | Φ n (a), to p ∤ a. 

D. Wiadomo, że wielomian Φ n (x) jest podzielnikiem (w Z[x]) wielomianu x n − 1. Załóżmy, że 

p | Φ n (a). Wtedy p | a n − 1. Gdyby p dzieliło a, to otrzymalibyśmy sprzeczność: p | 1. ⊠ 

12.13.2. Niech a 2, n 2 będą liczbami naturalnymi i niech p będzie liczbą pierwszą. Jeśli 

p | Φ n (a), to 

n = p s δ p (a), 

gdzie s 0 jest pewną liczbą całkowitą. ([Mot1], [Mot5]). 

D. Załóżmy, że p | Φ n (a). Wtedy p ∤ a (patrz 12.13.1), więc można mówić o rzędzie δ p (a). Ponieważ 

a n ≡ 1 (mod p), więc rząd δ p (a) jest podzielnikiem liczby n. Zatem n = p s tδ p (a), gdzie s 0, t ∈ N, 

p ∤ t. Pokażemy, że t = 1. 

Przypuśćmy, że t > 1. Oznaczmy: m = p s δ p (a). Wtedy n = mt, p ∤ t. Ponieważ m | n, więc 

a n − 1 = ∏ d|n 

Φ d (a) = ∏ d|m 

Φ d (a) · ∏ 

d∈A 

Φ d (a) = (a m − 1) ∏ d∈A 

Φ d (a), 

gdzie A jest zbiorem tych wszystkich naturalnych podzielników liczby n które nie są podzielnikami 

liczby m. Zauważmy, że n ∈ A (gdyż t > 1). W iloczynie ∏ Φ d (a) występuje więc czynnik Φ n (a), który 

jest podzielny przez p. Oznacza to, że liczba całkowita an −1 

a m −1 

jest podzielna przez p. Przypomnijmy, 

że a m ≡ 1 (mod p). Modulo p mamy więc: 

0 ≡ an − 1 

a m − 1 = amt − 1 

a m − 1 = am(t−1) + a m(t−2) + · · · + a m + 1 ≡ 1 + 1 · · · + 1 = t, 

} {{ } 

t 

czyli otrzymaliśmy sprzeczność: p | t. Zatem t = 1 i stąd n = p s δ p (a). ⊠ 

Zmierzamy teraz do udowodnienia twierdzenia odwrotnego do twierdzenia 12.13.2. 

12.13.3. Niech p ∈ P, a 2, a ∈ N, p ∤ a. Wtedy p | Φ δ (a), gdzie δ = δ p (a). 

d∈A


D. Wiemy, że δ jest najmniejszą liczbą naturalną taką, że p | a δ − 1. Wiemy również, że 

a δ − 1 = ∏ d|δ 

Φ d (a). 

Wśród czynników postaci Φ d (a), gdzie d | δ, występuje więc czynnik podzielny przez p. Przypuśćmy, 

że p | Φ d (a), gdzie d < δ. Wtedy p dzieli a d − 1, gdyż 

a d − 1 = ∏ e|d 

Φ e (a). 

Jeśli więc d < δ, to mamy sprzeczność z własnością minimalności liczby δ. Zatem p | Φ δ (a). ⊠ 

12.13.4. Niech a ∈ Z, 2 ∤ a, s ∈ N. Wtedy 2 | Φ 2 s(a). 

D. To jest oczywiste, gdyż Φ 2 s(a) = a 2s−1 + 1. ⊠ 

Zanotujmy następujący dobrze znany fakt (patrz np. [N-8]), który w dalszym ciągu będzie 

przydatny. 

12.13.5. Niecg p 3 będzie liczbą pierwszą i niech b 2 będzie liczbą naturalną taką, że 

b ≡ 1 (mod p). Niech w = bp − 1 

b − 1 . Wtedy 

w ∈ N, p | w oraz p 2 ∤ w. 

12.13.6. Niech a 2, n 2 będą liczbami naturalnymi i niech p będzie liczbą pierwszą taką, 

że p ∤ a. Jeśli n = p s δ p (a), gdzie s 0, to p | Φ n (a). ([Mot1], [Mot5]). 

D. Wykazaliśmy to już w przypadkach, gdy s = 0 (patrz 12.13.3) i p = 2 (patrz 12.13.4). 

Zakładamy więc, że n = p s δ p (a), s 1, p 3. Oznaczmy: 

m = p s−1 δ p (a), b = a m . 

Wtedy oczywiście b ≡ 1 (mod p), b 2 oraz n = pm. Z faktu 12.13.5 wynika więc, że liczba bp −1 

b−1 

jest 

całkowita i podzielna przez p. Ale 

b p − 1 

b − 1 = an − 1 

a m − 1 , 

więc liczba an − 1 

a m jest całkowita i podzielna przez p. Z własności wielomianów cyklotomicznych 

− 1 

otrzymujemy: 

a n − 1 = ∏ Φ d (a) = ∏ Φ d (a) · ∏ 

Φ d (a) = (a m − 1) ∏ Φ d (a), 

d|n 

d|m d∈A d∈A 

gdzie A jest zbiorem tych wszystkich naturalnych podzielników liczby n, które nie są podzielnikami 

liczby m. Zatem liczba 

∏ 

Φ d (a) = an − 1 

a m − 1 

d∈A 

jest podzielna przez p. Istnieje więc d 0 ∈ A takie, że p | Φ d0 (a). Jest jasne, że d 0 = p s e, gdzie s | δ p (a). 

Przypuśćmy, że e < δ p (a). Ponieważ p | Φ d0 (a) oraz Φ d0 (a) | a d0 − 1, więc a d0 ≡ 1 (mod p). 

Ponadto, z małego twierdzenia Fermata mamy: a ps ≡ a ps−1 ≡ · · · ≡ a (mod p). Zatem, 

a e ≡ a pse = a d0 

≡ 1 (mod p). 

Jeśli więc e < δ p (a), to mamy sprzeczność z minimalnością liczby δ p (a). Zatem e = δ p (a). Stąd 

d 0 = p s δ p (a) = n oraz p | Φ d0 (a) = Φ n (a). ⊠


12.13.7. Niech a 2, n 2 będą liczbami naturalnymi i niech p będzie liczbą pierwszą. 

Następujące dwa warunki są równoważne. 

(1) p | Φ n (a); 

(2) p ∤ a i n = p s δ p (a), gdzie s 0. ([Mot1], wynika z 12.13.2 i 12.13.6). 

12.13.8. Niech p 3 będzie liczbą pierwszą i a 2 liczbą naturalną. 

Jeśli p | n i p | Φ n (a), to p 2 ∤ Φ n (a). ([Mot1]). 

D. Skoro p | n, więc n 3. Ponieważ p | Φ n (a), więc 

n = p s δ p (a) 

(patrz 12.13.2), gdzie s 0. W naszym przypadku s 1, gdyż p | n i δ p (a) < p. Niech 

Wtedy n = pm, δ p (a) | m, b 2 oraz 

m = p s−1 δ p (a) i b = a m . 

b ≡ 1 (mod p). 

Z dowodu twierdzenia 12.13.6 wiemy, że Φ n (a) jest podzielnikiem liczby całkowitej 

a n − 1 

a m − 1 , 

czyli liczby bp − 1 

b − 1 . Liczba bp − 1 

b − 1 nie jest podzielna przez p2 (patrz 12.13.5). Zatem p 2 ∤ Φ n (a). ⊠ 

12.13.9. Niech p 3 będzie liczbą pierwszą i a 2 liczbą naturalną. Załóżmy, że p | Φ n (a). 

Wtedy n = p s δ p (a), dla pewnej nieujemnej liczby całkowitej s. Jeśli s 1, to p 2 ∤ Φ n (a). 

(Wynika z 12.13.2 i 12.13.8). 

12.13.10. Niech p 3 będzie liczbą pierwszą i a 2 liczbą naturalną. Jeśli p 2 | Φ n (a), to 

n = δ p (a). (Wynika z 12.13.9). 

⋆ Y. Gallot, Cyclotomic polynomials and prime numbers, preprint. 

J. MacDougall, Mersenne composities and cyclotomic primes, preprint. 

K. Motose, [Mot2], [Mot3].



12.14 Twierdzenie Hurwitza 


12.14.1. Niech a 1 i n 2 będą liczbami naturalnymi. Następujące dwa warunki są 

równoważne. 

(1) Liczba Φ n−1 (a) jest podzielna przez n. 

(2) Liczba n jest pierwsza oraz δ n (a) = n−1 (tzn. a jest pierwiastkiem pierwotnym modulo 

n). ([Mot1]). 

D. Dla a = 1 jest to oczywiste. Zakładamy, że a 2. 

(1) ⇒ (2). Załóżmy, że n | Φ n−1 (a) i niech p będzie liczbą pierwszą dzielącą n. Wtedy p | Φ n−1 (a) i 

stąd (patrz 12.13.2) n−1 = p s δ p (a) dla pewnego s 0. Gdyby s było większe od zera otrzymalibyśmy 

sprzeczność: p | 1. Zatem s = 0, czyli n − 1 = δ p (a). Ponieważ δ p (a) | p − 1, więc n − 1 | p − 1 i stąd 

n p n. Zatem n = p jest liczbą pierwszą i n − 1 = δ n (a). 

(2) ⇒ (1) Załóżmy, że n = p jest liczbą pierwszą i δ p (a) = p−1. Wtedy (patrz 12.13.3) p | Φ p−1 (a), 

czyli n | Φ n−1 (a). ⊠ 

Z powyższych faktów otrzymujemy następujące twierdzenie Hurwitza. 

12.14.2 (Hurwitz). Niech n 2. Wtedy n jest liczbą pierwszą wtedy i tylko wtedy, gdy 

istnieje liczba naturalna a taka, że n | Φ n−1 (a). ([Mon] 61(8)(1954) s.564, wynika z 12.14.1). 

⋆ M. Ward, Cyclotomy and the converse of Fermat’s theorem, [Mon] 61(8)(1954) 564. 


12.15 Twierdzenie Banga o rzędach 


W tym i w następnych podrozdziałach przedstawiamy kilka zastosowań wielomianów cyklotomicznych. 

Przez δ m (a) oznaczamy rząd liczby a modulo m, tzn. δ m (a) najmniejszą liczbę naturalną 

n taką, że 

a n ≡ 1 (mod m). 

To ma sens tylko w przypadku, gdy nwd(a, m) = 1. 

12.15.1. Rozpatrzmy liczbę Mersenne’a M s = 2 s − 1, gdzie s 2. 

Nie istnieje żadna liczba pierwsza p taka, że δ p (M s ) = 2. ([Mot1]). 

D. Przypuśćmy, że taka liczba pierwsza p istnieje. Wtedy 2 = δ p (M s ) p − 1, więc p 3. 

Korzystając z 12.13.3 stwierdzamy, że 

p | Φ 2 (M s ) = M s + 1 = 2 s 

(gdyż Φ 2 (x) = x + 1). Mamy więc sprzeczność: 3 p = 2. ⊠ 

12.15.2. Niech a 2 będzie liczbą naturalną. Następująe dwa warunki są równoważne. 

(1) Istnieje liczba pierwsza p taka, że δ p (a) = 2. 

(2) Liczba a nie jest liczbą Mersenne’a.


D. Implikację (1) ⇒ (2) już wykazaliśmy (12.15.1). Wykażemy implikację (2) ⇒ (1). Załóżmy, 

że a nie jest liczbą Mersenne’a. Wtedy a + 1 nie jest potęgą dwójki. Istnieje więc nieparzysta liczba 

pierwsza p dzieląca a + 1. Wtedy a ≡ −1 (mod p) i stąd a 2 ≡ 1 (mod p), czyli δ p (a) = 2. ⊠ 

12.15.3. Nie istnieje żadna liczba pierwsza p taka, że δ p (2) = 6. ([Mot1], [Mot5]). 

D. Przypuśćmy, że taka liczba pierwsza p istnieje. Wtedy 6 = δ p (2) p−1, więc p 7. Oczywiście 

p ∤ 2. Korzystając z 12.13.3 stwierdzamy, że 

p | Φ 6 (2) = 2 2 − 2 + 1 = 3 

(gdyż Φ 6 (x) = x 2 − x + 1). Mamy więc sprzeczność: 7 p 3. ⊠ 

12.15.4. Niech a 2, n 2 będą liczbami naturalnymi. Załóżmy, że p = Φ n (a) jest liczbą 

pierwszą i przy tym p | n. Wtedy 

(i wtedy p = 3). ([Mot5]). 

n = 6 oraz a = 2 

D. Przypuśćmy, że a 3. Wtedy p = Φ n (a) > (a − 1) ϕ(n) 2 ϕ(n) 2 p−1 (skorzystaliśmy z 

nierówności 12.5.6), czyli p > 2 p−1 , co jest oczywiście sprzecznością. 

Zatem a = 2. Mamy więc p = Φ n (2). Ponieważ Φ n (2) dzieli 2 n − 1, więc p jest nieparzyste, czyli 

p 3. Wiemy, na mocy 12.13.2, że n = p s δ, gdzie δ = δ p (2) oraz s 0, Ale p | n, więc s 1. 

Przypuśćmy, że s 2. Wtedy p = Φ n (2) = Φ ps δ(2) = Φ pδ 

(2 ps−1) i mamy sytuację taką samą jak 

na początku tego dowodu dla 

a = 2 ps−1 > 3; 

otrzymujemy znowu sprzeczność. Zatem s = 1. 

Mamy więc n = pδ, p = Φ n (2). Korzystając jeszcze raz z nierówności 12.5.6 otrzymujemy: 

p = Φ pm (2) = Φ m(2 p ) 

Φ m (2) > (2p − 1) ϕ(m) 

(2 + 1) ϕ(m) = 

czyli 3p + 1 > 2 p . Stąd jedynie p = 3. Zatem n = 3δ 3 (2) = 3 · 2 = 6. ⊠ 

( 2 p ) ϕ(m) 

− 1 

2p − 1 

, 

3 

3 

12.15.5. Niech n 3, a 2 będą liczbami naturalnymi. Jeśli Φ n (a) dzieli n, to (n, a) = 

(6, 2). ([Rtk], [Mot5]). 

D. Załóżmy, że Φ n (a) | n. Ponieważ Φ n (a) a, więc Φ n (a) 2. Niech p będzie liczbą pierwszą 

dzielącą Φ n (a). Wtedy n = p s δ p (a), s 0 (patrz 12.13.2). W naszym przypadku s 1, gdyż p | 

Φ n (a) | n. Oczywiście δ p (a) < p. Zatem p jest największą liczbą pierwszą dzielącą n. Gdyby jakaś 

inna liczba pierwsza q dzieliła również Φ n (a), to w ten sam sposób pokazalibyśmy, że q jest również 

największą liczbą pierwszą dzielącą n, czyli q = p. Oznacza to, że Φ n (a) jest potęgą liczby pierwszej p. 

Wiemy jednak (patrz 12.13.10), że 

p 2 ∤ Φ n (a). 

Zatem Φ n (a) = p jest liczbą pierwszą i teza wynika z 12.15.4. ⊠ 

12.15.6 (Bang 1886). Niech n 3, a 2 będą takimi liczbami naturalnymi, że 

(n, a) ≠ (6, 2). 

Istnieje wtedy liczba pierwsza p taka, że n = δ p (a). ([BirV], [Rtk], [Mot1], [Mot5]).


D. Przypuśćmy, że taka liczba pierwsza p nie istnieje. Oczywiście Φ n (a) a 2. Istnieje zatem 

liczba pierwsza p dzieląca liczbę Φ n (a). Wtedy, na mocy 12.13.2, n = p s δ p (a) gdzie s 0. Jeśli s = 0, 

to n = δ p (a) wbrew temu co założyliśmy. Zatem s 1. Ale δ p (a) p − 1, więc p jest największą liczbą 

pierwszą dzielącą n. Biorąc inną liczbę pierwszą q dzielącą Φ n (a), stwierdzamy w ten sam sposób, że q 

jest największą liczbą pierwszą dzielącą n. Zatem Φ n (a) jest potęgą liczby pierwszej p i przy tym p | n. 

Wiemy (patrz 12.13.10), że p 2 ∤ Φ n (a). Zatem Φ n (a) = p jest liczbą pierwszą dzielącą n. Korzystając 

z 12.15.4 stwierdzamy, że (n, a) = (6, 2) wbrew temu, że (n, a) ≠ (6, 2). ⊠ 

Z powyższych faktów wynika następujące ogólne twierdzenie. 

12.15.7 (Bang 1886). Niech n 2, a 2 będą liczbami naturalnymi. Następujące warunki 

są równoważne. 

(1) Istnieje liczba pierwsza p taka, że n = δ p (a). 

(2) Para (n, a) nie jest postaci (2, 2 s − 1) i nie jest równa (6, 2). ([Mot1]). 

12.15.8 (Maple). Przykłady najmniejszych liczb pierwszych p spełniających równość 

n = δ p (a), 

dla danych n, a. 

(13) a = 2 : 

2 = δ 3 (2), 

3 = δ 7 (2), 

4 = δ 5 (2), 

5 = δ 31 (2), 

7 = δ 127 (2), 

8 = δ 17 (2), 

9 = δ 73 (2), 

10 = δ 11 (2), 

11 = δ 23 (2), 

12 = δ 13 (2), 

13 = δ 8197 (2), 

14 = δ 43 (2), 

15 = δ 151 (2), 

16 = δ 257 (2), 

17 = δ 131071 (2), 

18 = δ 19 (2), 

19 = δ 524287 (2), 

20 = δ 41 (2). 

(14) a = 3 : 

3 = δ 13 (3), 

4 = δ 5 (3), 

5 = δ 11 (3), 

6 = δ 7 (3), 

7 = δ 1093 (3), 

8 = δ 41 (3), 

9 = δ 757 (3), 

10 = δ 61 (3), 

11 = δ 23 (3), 

12 = δ 73 (3). 

(15) a = 5 : 

2 = δ 3 (5), 

3 = δ 31 (5), 

4 = δ 13 (5), 

5 = δ 11 (5), 

6 = δ 7 (5), 

7 = δ 19531 (5), 

8 = δ 313 (5), 

9 = δ 19 (5), 

10 = δ 521 (5). 

12.15.9. Niech a 3, n 3, m 3. Jeśli Φ n (a) = Φ m (a), to n = m. ([Mot1]). 

D. Przypuśćmy, że n < m. Z twierdzenia Banga istnieje liczba pierwsza p taka, że m = δ p (a). 

Wtedy oczywiście p ∤ a oraz p | Φ m (a) (na mocy 12.13.3 lub 12.13.7). Ale Φ m (a) = Φ n (a), więc 

p | Φ n (a). Zatem (na mocy 12.13.2) n = p s δ p (a), gdzie s 0. Stąd n = p s δ p (a) δ p (a) = m, wbrew 

temu, że n < m. ⊠ 

⋆ A. S. Bang, Taltheoretiske Undersφgelser, Tidsskrift for Math. 5(1886) 70-80, 130-137.



12.16 Liczby pierwsze w postępach arytmetycznych 


Za pomocą wielomianów cyklotomicznych można udowodnić następujący szczególny przypadek 

twierdzenia Dirichleta o liczbach pierwszych w postępie arytmetycznym. Wspominaliśmy 

o tym w [N-4]. 

12.16.1. Niech m ∈ N. Liczb pierwszych postaci mk + 1 jest nieskończenie wiele. 

D. ([Mot1], [Mot5], [N-4]). Ponieważ wiemy, że wszystkich liczb pierwszych jest nieskończenie 

wiele, więc możemy założyć, że m 3. Z twierdzenia Banga 12.15.7 wiemy, że istnieje liczba pierwsza 

p taka, że 

δ p (4) = m. 

Wtedy m p − 1, więc p 5. Liczba m jest więc najmniejszą liczbą naturalną taką, że 

4 m ≡ 1 (mod p). 

Ponieważ 4 p−1 ≡ 1 (mod p) (małe twierdzenie Fermata), więc m | p−1. Zatem p−1 = km dla pewnego 

naturalnego k i stąd p = mk + 1. Istnieje więc co najmniej jedna liczba pierwsza postaci mk + 1. 

Przypuśćmy, że liczb pierwszych postaci mk + 1 jest tylko skończenie wiele. Niech p będzie największą 

z nich. Z twierdzenia Banga wynika, że istnieje liczba pierwsza q taka, że 

δ q (4) = pm. 

Wtedy pm | q − 1, czyli q = pmt + 1, gdzie t ∈ N. Liczba pierwsza q jest więc postaci pm + 1 i q > p, 

gdyż q = pmt + 1. Otrzymaliśmy sprzeczność z minimalnością liczby pierwszej p. ⊠ 

Za pomocą wielomianów cyklotomicznych udowodniono: 

12.16.2. Niech m 2. Najmniejsza liczba pierwsza postaci mk + 1 jest mniejsza od 

(J. Sabia, S. Tesauri, 2009). 

1 

2 (3m − 1). 

12.16.3. Niech m 2. Najmniejsza liczba pierwsza postaci mk + 1 jest mniejsza od 

(R.Thangadurai, A.Vatwani, [Mon] 118(8)(2011) 737-742). 

2 ϕ(m)+1 . 

⋆ R. Thangadurai, A. Vatwani, The least prime congruent to one modulo n, [Mon] 118(8)(2011) 

737-742. 


12.17 Wielomiany podzielne przez x 2 + x + 1 


W popularnonaukowej literaturze matematycznej często pojawiają się zagadnienia lub 

zadania dotyczące podzielności wielomianów o współczynnikach całkowitych przez wielomian 

x 2 + x + 1. Ten wielomian x 2 + x + 1 niczym specjalnym się nie wyróżnia. Jest to jednak 

wielomian cyklotomiczny; 

x 2 + x + 1 = Φ 3 (x). 

Sprawdzanie czy dany wielomian f(x), o współczynnikach całkowitych, jest podzielny przez 

jakiś wielomian cyklotomiczny Φ n (x) sprowadza się do zbadania wartości f(ε), gdzie ε jest 

pierwiastkiem pierwotnym n-tego stopnia z jedynki. Wyjaśnijmy to dokładniej.


12.17.1. Niech n ∈ N i niech f(x) ∈ Z[x]. Następujące warunki są równoważne. 

(1) Wielomian f(x) jest podzielny w Z[x] przez Φ n (x). 

(2) f(ε) = 0 dla pewnego pierwiastka pierwotnego n-tego stopnia z jedynki. 

(2) f(ε) = 0 dla każdego pierwiastka pierwotnego n-tego stopnia z jedynki. 

D. Przypomnijmy, że przez U n oznaczamy zbiór wszystkich pierwiastków pierwotnych n-tego 

stopnia z jedynki. 

(1) ⇒ (3). Załóżmy, że wielomian f(x) jest podzielny w Z[x] przez Φ n (x). Istnieje wtedy taki 

wielomian o współczynnikach całkowitych g(x), że 

f(x) = g(x)Φ n (x). 

Niech ε będzie dowolnym pierwiastkiem pierwotnym n-tego stopnia z jedynki. Wtedy Φ n (ε) = 0 i stąd 

f(ε) = g(ε)Φ n (ε) = g(ε) · 0 = 0. 

(3) ⇒ (2). Ta implikacja jest oczywista. 

(2) ⇒ (1). Załóżmy, że f(ε) = 0 dla pewnego ε ∈ U n . Ponieważ ε n = 1, więc ε jest elementem 

algebraicznym nad ciałem Q i (jak wiemy) jego wielomianem minimalnym nad Q jest wielomian 

cyklotomiczny Φ n (x). Zatem 

f(x) = g(x)Φ n (x) 

dla pewnego wielomianu g(x), należącego do pierścienia Q[x]. Wszystkie współczynniki wielomianów 

f(x) i Φ n (x) są liczbami całkowitymi oraz Φ n (x) jest wielomianem monicznym (tzn. jego wsółczynnik 

wiodący jest równy 1). Stąd wynika, że wszystkie współczynniki wielomian g(x) są również liczbami 

całkowitymi. Zatem f(x) = g(x)Φ n (x), gdzie g(x) ∈ Z[x]. Wielomian f(x) jest więc podzielny w Z[x] 

przez Φ n (x). ⊠ 

Następne stwierdzenie opisuje wielomiany podzielne przez kwadrat wielomianu cyklotomicznego. 

12.17.2. Niech n ∈ N i niech ε będzie pierwiastkiem pierwotnym n-tego stopnia z jedynki. 

Niech f(x) ∈ Z[x] i niech f ′ (x) oznacza pochodną wielomianu f(x). Następujące warunki są 

równoważne. 

(1) Wielomian f(x) jest podzielny w Z[x] przez Φ n (x) 2 . 

(2) f(ε) = f ′ (ε) = 0. 

D. (1) ⇒ (2). Załóżmy, że wielomian f(x) jest podzielny w Z[x] przez Φ n (x) 2 . Istnieje wtedy taki 

wielomian o współczynnikach całkowitych g(x), że f(x) = g(x)Φ n (x) 2 . Mamy wtedy: 

f ′ (x) = g ′ (x)Φ n (x) 2 + 2g(x)Φ n (x)Φ ′ n(x). 

Ale Φ n (ε) = 0, więc f(ε) = g(ε)Φ n (ε) 2 = g(ε) · 0 2 = 0 oraz f ′ (ε) = g ′ (ε)Φ n (ε) 2 + 2g(ε)Φ n (ε)Φ ′ n(ε) = 

g ′ (ε) · 0 2 + 2g(ε) · 0 · Φ ′ n(ε) = 0. Zatem f(ε) = f ′ (ε) = 0. 

(2) ⇒ (1) Załóżmy, że f(ε) = f ′ (ε) = 0. Z tego założenia wynika (na mocy stwierdzenia 12.17.1), 

że wielomiany f(x) i f ′ (x) są podzielne w Z[x] przez Φ n (x). Niech 

f(x) = g(x)Φ n (x), 

gdzie g(x) ∈ Z[x]. Ponieważ 

f ′ (x) = g ′ (x)Φ n (x) + g(x)Φ ′ n(x)


oraz Φ n (x) dzieli f ′ (x), więc Φ n (x) dzieli g(x)Φ ′ n(x). Ale Φ n (x) ∤ Φ ′ n(x) (gdyż deg Φ ′ n(x) < deg Φ n (x)) 

oraz Φ n (x) jest wielomianem nierozkładalnym nad Q, więc wielomian g(x) jest podzielny (nad Q) 

przez Φ n (x). Istnieje więc taki wielomian h(x) ∈ Q[x], że 

g(x) = h(x)Φ n (x). 

Wszystkie współczynniki wielomianów g(x) i Φ n (x) są liczbami całkowitymi oraz Φ n (x) jest wielomianem 

monicznym (tzn. jego wsółczynnik wiodący jest równy 1). Wszystkie więc współczynniki 

wielomian h(x) są również liczbami całkowitymi. Zatem g(x) = h(x)Φ n (x), gdzie h(x) ∈ Z[x] i stąd 

mamy równość f(x) = h(x) · Φ n (x) 2 , w której h(x) jest wielomianem o współczynnikach całkowitych. 

Wielomian f(x) jest więc podzielny w Z[x] przez Φ n (x) 2 . ⊠ 

W podobny sposób można udowodnić ogólniejsze stwierdzenie. 

12.17.3. Niech n oraz s 2 będą liczbami naturalnymi i niech ε będzie pierwiastkiem pierwotnym 

n-tego stopnia z jedynki. Niech f(x) będzie wielomianem o współczynnikach całkowitych. 

Następujące warunki są równoważne. 

(1) Wielomian f(x) jest podzielny w Z[x] przez Φ n (x) s . 

(2) f(ε) = f (1) (ε) = · · · = f (s−1) (ε) = 0, gdzie f (j) (x), dla j = 1, . . . , s − 1, oznacza j-tą 

pochodną wielomianu f(x). 

Teraz zajmiemy się zapowiedzianą podzielnością przez wielomian cyklotomiczny 

Φ 3 (x) = x 2 + x + 1. 

Z wielomianem tym spotkaliśmy się już wcześniej, patrz na przykład: 1.4.1, 3.1.2, 3.1.3, 

3.4.2, 3.11.3, 3.11.6, 3.11.7, 4.1.7. 

W dowodach następnych stwierdzeń przez ε oznaczamy pierwiastek pierwotny trzeciego 

stopnia z jedynki. W tym przypadku mamy: 

ε 3 = 1, ε 2 + ε + 1 = 0, ε = ε 2 , ε 2 = ε. 

12.17.4. Wielomian x 2n + x n + 1 dzieli się przez wielomian x 2 + x + 1 wtedy i tylko wtedy, 

gdy 3 ∤ n. ([BoW] 11 s.47, [Szn] 7.39). 

D. Oznaczmy f n (x) = x 2n + x n + 1. Zauważmy, że: 

f 3k (ε) = ( ε 3) 2k 

+ 

( 

ε 

3 ) k 

+ 1 = 1 2k + 1 k + 1 = 3 ≠ 0, 

f 3k+1 (ε) = ( ε 3) 2k 

ε 2 + ( ε 3) k 

ε 1 + 1 = 1 2k ε 2 + 1 k ε + 1 = ε 2 + ε + 1 = 0, 

f 3k+2 (ε) = ( ε 3) 2k 

ε 4 + ( ε 3) k 

ε 2 + 1 = 1 2k ε + 1 k ε 2 + 1 = ε 2 + ε + 1 = 0. 

Teza wynika zatem ze stwierdzenia 12.17.1. ⊠ 

12.17.5. Dla dowolnej liczby naturalnej n, wielomian 

x n+2 + (x + 1) 2n+1 

jest rozkładalny w Z[x]. Ma on czynnik x 2 + x + 1. ([Str72]).


D. (Sposób I). Zauważmy najpierw, że 

(x + 1) 2n = ( (x + 1) 2) n 

= 

( 

x + (x 2 + x + 1) ) n 

= x n + (x 2 + x + 1)q(x), 

gdzie q(x) jest wielomianem zmiennej x o współczynnikach w Z. Wobec tego 

x n+2 + (x + 1) 2n+1 = x 2 x n + (x + 1)(x + 1) 2n = x 2 x n + (x + 1) ( x n + (x 2 + x + 1)q(x) ) 

= (x 2 + x + 1) (x n + (x + 1)q(x)) . 

Zatem rozważany wielomian jest podzielny przez x 2 + x + 1. 

(Sposób II). Niech f(x) = x n+2 + (x + 1) 2n+1 . Mamy wtedy: 

i teza wynika z 12.17.1. ⊠ 

f(ε) = ε n+2 + (ε + 1) 2n+1 

= ε n+2 + (−ε 2 ) 2n+1 

= ε n+2 − (ε 4 ) n ε 2 

= ε n+2 − (ε 1 ) n ε 2 

= ε n+2 − ε n+2 = 0 

12.17.6. Wielomian (x + 1) n − x n − 1 dzieli się przez wielomian x 2 + x + 1 wtedy i tylko 

wtedy, gdy n = 6k ± 1. ([BoW] 12 s.47, [Szn] 7.39). 

D. Oznaczmy: f n (x) = (x + 1) n − x n − 1. Mamy wtedy: 

f 6k (ε) = (ε + 1) 6k − ε 6k − 1 = (−ε 2 ) 6k − ε 6k − 1 = (ε 3 ) 4k − (ε 3 ) 2k − 1 = 1 4k − 1 2k − 1 = −1 ≠ 0, 

f 6k+1 (ε) = (ε + 1) 6k+1 − ε 6k+1 − 1 = (−ε 2 ) 6k+1 − ε 6k+1 − 1 = − ( ε 2 + ε + 1 ) = 0, 

f 6k+2 (ε) = (ε + 1) 6k+2 − ε 6k+2 − 1 = (−ε 2 ) 6k+2 − ε 6k+2 − 1 = ε 4 − ε 2 − 1 = ε − ε 2 − 1 = 2ε ≠ 0, 

f 6k+3 (ε) = (ε + 1) 6k+3 − ε 6k+3 − 1 = (−ε 2 ) 6k+3 − ε 6k+3 − 1 = −1 − 1 − 1 = −3 ≠ 0, 

f 6k+4 (ε) = (ε + 1) 6k+4 − ε 6k+4 − 1 = (−ε 2 ) 6k+4 − ε 6k+4 − 1 = ε 8 − ε 4 − 1 = ε 2 − ε − 1 = 2ε 2 ≠ 0, 

f 6k+5 (ε) = (ε + 1) 6k+5 − ε 6k+5 − 1 = (−ε 2 ) 6k+5 − ε 6k+5 − 1 = −ε − ε 2 − 1 = 0. 

Wykazaliśmy, że f n (ε) = 0 ⇐⇒ n = 6k ± 1. Teza wynika zatem ze stwierdzenia 12.17.1. ⊠ 

12.17.7. Wielomian 

(x + 1) n − x n − 1 

dzieli się przez wielomian (x 2 + x + 1) 2 wtedy i tylko wtedy, gdy n = 6k + 1. 

D. Oznaczmy przez f(x) wielomian (x + 1) n − x n − 1 i przez f ′ (x) jego pochodną, tzn. 

f ′ (x) = n(x + 1) n−1 − nx n−1 . 

Załóżmy, że n = 6k + 1. Z poprzedniego stwierdzenia wiemy, że wtedy f(ε) = 0. Ponadto, 

f ′ (ε) = n (ε + 1) 6k − nε 6k = n ( = ε 2) 6k 

− nε 6k = n − n = 0. 

Ze stwierdzenia 12.17.2 wynika zatem, że wielomian f(x) jest podzielny w Z[x] przez (x 2 + x + 1) 2 . 

Załóżmy teraz, że wielomian f(x) jest podzielny przez (x 2 + x + 1) 2 . Wtedy wielomian ten jest 

podzielny przez x 2 + x + 1, a więc, na mocy 12.17.6, liczba n jest postaci 6k ± 1. Łatwo sprawdzić, 

że jeśli n = 6k − 1, to f ′ (ε) ≠ 0 i wtedy (patrz stwierdzenie 12.17.2) f(x) nie jest podzielne przez 

(x 2 + x + 1) 2 . Zatem, n = 6k + 1. ⊠

176 Wielomiany 12. Wielomiany cyklotomiczne 

Wielomian (x + 1) n − x n − 1 jest oczywisście podzielny przez x. Można udowodnić: 

12.17.8. Dla n 2 rozpatrzmy wielomian 

f n (x) = (x + 1)n − x n − 1 

. 

x 

(1) Jeśli α ∈ C jest pierwiastkiem wielomianu f n (x), to 1/α również jest pierwiastkiem 

tego wielomianu. 

(2) Jeśli p 3 jest liczbą pierwszą, to wielomian f 2p jest nierozkładalny. ([Fila] s.35). 

Nie znamy odpowiedzi na anstępujące pytanie. 

12.17.9. Czy dla każdej liczby parzystej n powyższy wielomian f n (x) jest nierozkładalny 

nad Q ?. ([Fila] s.35). 

12.17.10. Wielomian (x + 1) n + x n + 1 dzieli się przez wielomian x 2 + x + 1 wtedy i tylko 

wtedy, gdy n = 6k ± 2. ([BoW] 12 s.47, [Szn] 7.39). 

Dowodzimy to dokładnie tak samo jak stwierdzenie 12.17.6. Drobne zmiany w dowodzie 

stwierdzenia 12.17.7 pozwalają natomiast udowodnić: 

12.17.11. Wielomian (x + 1) n + x n + 1 dzieli się przez wielomian (x 2 + x + 1) 2 wtedy i tylko 

wtedy, gdy n = 6k + 4. 


12.18 Inne zastosowania wielomianów cyklotomicznych 


Przy pomocy wielomianów cyklotomicznych łatwo dowodzi się następujące znane fakty. 

12.18.1. Niech G będzie skończoną grupą abelową. Istnie wtedy rozszerzenie Galois ciała 

liczb wymiernych, którego grupą Galois jest G. ([Mot1]). 

12.18.2 (Wedderburn). Każde (skośne) ciało skończone jest przemienne. ([Mot4]). 

12.18.3. Każda skończona podgrupa multyplikatywnej grupy ciała jest cykliczna. ([Mot5]). 

12.18.4. Niech L będzie podciałem ciała liczb zespolonych i niech G będzie grupą wszystkich 

jego elementów skończonego rzędu. Wtedy G jest skończoną grupą cykliczną. ([Mot7]). 

12.18.5. Niech k będzie skończonym ciałem. Dla każdej liczby naturalnej n istnieje nierozkładalny 

wielomian stopnia n należący do k[x]. ([Mot5]). 

⋆ J. B. Dence, Primitive roots the cyclotomic way, preprint. 

D. C. van Leijenhorst, A simple proof of Wedderburn’s theorem, preprint. 

K. Motose, Let’s use cyclotomic polynomials in your lecture for your students, 2003. 

B. Tuckerman, Factorization of x 2n + x n + 1 using cyclotomic polynomials, [MM] 42(1)(1969) 

41-42.

Wielomiany 12. Wielomiany cyklotomiczne 177 

Literatura 

[Apl] 

[ArB] 

T. M. Apostol, Resultants of cyclotomic polynomials, Proceedings of the American Mathematical 

Society, 24(3)(1970), 457-462. 

J.M. Arnaudiès, J. Bertin, Groupes, Algèbres et Géométrie (Tome 1) Ellipses. 

[Bams] Bulletin of the American Mathematical Society, (Bull. Amer. Math. Soc.), czasopismo matematyczne. 

[Bang] A. S. Bang, Om Ligningen φ n (x) = 0, Nyt Tidsskrift for Mathematik 6(1895) 6-12. 

[BirV] G. Birkhoff, H.S. Vandiver, On the integral divisors of a n − b n , Annals of Math. 2(5)(1904), 

173-180. 

[Bloo] D. M. Bloom, On the coefficients of the cyclotomic polynomials, The American Mathematical 

Monthly, 75(1968), 372-377. 

[BoC] P. Borwein, K-K. S. Choi, On cyclotomic polynomials with ±1 coefficients, preprint. 

[BoW] W. G. Bołtiański, I. J. Wilenkij, Symetria w Algebrze (po rosyjsku), Nauka, Moskwa, 1967. 

[Br68] J. Browkin, Wybrane Zagadnienia Algebry, PWN, Warszawa, 1968. 

[Br77] J. Browkin, Teoria Ciał, PWN, Warszawa, 1977. 

[Drn] 

[Fil] 

G. Dresden, Resultants of cyclotomic polynomials, Rocky Mountain Journal of Mathematics, 

42(5)(2012), 1-9. 

M. Filaseta, Coverings of the integers associated with an irreducibility theorem of A. Schinzel, 

Number Theory for the Millennium, II Urbana, IL, 2000, 1-24, A.K. Peters Natick, MA, 2002. 

[Fila] M. Filaseta, The Theory of Irreducible Polynomials, Preprint, 2000. 

http://www.math.sc.edu/~filaseta. 

[Golo] S. W. Golomb, Cyclotomic polynomials and factorization theorems, The American Mathematical 

Monthly, 85(9)(1978), 734-737. 

[Isaa] 

[Kw] 

I. M. Isaacs, Algebra, A Graduate Course, Brooks/Cole Publishing Company, Pacific Grove, 

California, 1994. 

Kwant, popularne czasopismo rosyjskie. 

[La84] S. Lang, Algebra, Second Edition, Addison–Wesley Publ. Comp. 1984. 

[MG] 

[MM] 

The Mathematical Gazette, angielskie popularne czasopismo matematyczne. 

Mathematics Magazine, popularne czasopismo matematyczne. 

[Mon] The American Mathematical Monthly, Mathematical Association of America. 

[Mot1] K. Motose, On values of cyclotomic polynomials, Math. J. Okayama Univ. 35(1993) 35-40. 

[Mot2] K. Motose, On values of cyclotomic polynomials II, Math. J. Okayama Univ. 37(1995) 27-36. 

[Mot3] K. Motose, On values of cyclotomic polynomials III, Math. J. Okayama Univ. 38(1996) 115- 

122. 

[Mot4] K. Motose, On values of cyclotomic polynomials IV , Bull. Fac. Sci. Tech. Hirosaki Univ. 

1(1998) 1-7. 

[Mot5] K. Motose, On values of cyclotomic polynomials V , Math. J. Okayama Univ. 45(2003) 29-36. 

[Mot7] K. Motose, On values of cyclotomic polynomials V II, Bull. Fac. Sci. Tech. Hirosaki Univ. 

7(2004) 1-8. 

[N-4] 

A. Nowicki, Liczby Pierwsze, Podróże po Imperium Liczb, cz.4, Wydawnictwo OWSIiZ, Toruń, 

Olsztyn. Wydanie pierwsze 2009; Wydanie drugie 2012.

178 Wielomiany 12. Wielomiany cyklotomiczne 

[N-5] 

[N-6] 

[N-8] 

A. Nowicki, Funkcje Arytmetyczne, Podróże po Imperium Liczb, cz.5, Wydawnictwo OWSIiZ, 

Toruń, Olsztyn. Wydanie pierwsze 2009; Wydanie drugie 2012. 

A. Nowicki, Podzielność w Zbiorze Liczb Całkowitych, Podróże po Imperium Liczb, cz.6, Wydawnictwo 

OWSIiZ, Toruń, Olsztyn. Wydanie pierwsze 2009; Wydanie drugie 2012. 

A. Nowicki, Liczby Mersenne’a, Fermata i Inne Liczby, Podróże po Imperium Liczb, cz.8, 

Wydawnictwo OWSIiZ, Toruń, Olsztyn. Wydanie pierwsze 2010; Wydanie drugie 2012. 

[Nagl] T. Nagell, Introduction to Number Theory, Chelsea Publishing Company, New York, 1964. 

[Nar03] W. Narkiewicz, Teoria Liczb, PWN, Wydanie trzecie, Warszawa, 2003. 

[Pjap] Proceedings of the Japan Academy, Ser. A, Mathematical Sciences. 

[Pmgr] Praca magisterska, Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu, Wydział Matematyki i Informatyki. 

[Ri01] P. Ribenboim, Wielkie Twierdzenie Fermata dla Laików, WNT, Warszawa, 2001. 

[Rtk] A. Rotkiewicz, Elementarny dowód istnienia dzielnika pierwszego pierwotnego liczby a n − b n , 

Prace Matematyczne, 4(1960), 21-28. 

[Str72] S. Straszewicz, Zadania z Olimpiad Matematycznych, tom IV, 16-20, 64/65 - 68/69, PZWS, 

Warszawa, 1972. 

[Szn] L. B. Szneperman, Zbiór Zadań z Algebry i Teorii Liczb (po rosyjsku), Minsk, 1982. 

[Zeit] 

D. Zeitlin, On coefficints identities for cyclotomic polynomials F pq (x), The American Mathematical 

Monthly, 75(9)(1968), 976-980.

Podróże po Imperium Liczb - Wydział Matematyki i Informatyki ...

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?