Opora I - Pf UJEP

Axiomatická definice
K této definici dojdeme tak, že budeme popisovat vztahy postřehnuté ve skutečné situaci.
Víme, že tyto konkrétní vztahy postřehnuté ve skutečné situaci a ověřené našimi
zkušenostmi, jejich použití dosud nevedlo k rozporu jsou matematickými větami, které
nedokazujeme a nazývají se axiomy. Příslušné axiomy postřehnuté ve skutečné situaci nám
udávají axiomatickou definici matematické struktury.
Matematická struktura je souhrn objektů charakterizovaných jen přesně formulovanými
vztahy mezi nimi, ale jinak zcela libovolných. Každou jejich konkretizaci nazýváme
modelem struktury.
Příklad 13:
Od roku 1919 se rozlišují v lékařství čtyři hlavní krevní skupiny: A, B, AB, 0, k jejichž
objevení přispěl podstatnou měrou český lékař MUDr. Jan Janský ( 1873 – 1921). Krevní
transfuze lze provádět právě jen v těchto případech:
1) Dárce i příjemce mají stejnou krevní skupinu.
2) Má-li dárce krevní skupinu 0, může mít příjemce libovolnou krevní skupinu
(univerzální dárce).
3) Má-li příjemce krevní skupinu AB, může mít dárce libovolnou krevní skupinu
(univerzální příjemce).
Označíme-li M = { A, B, AB, 0 } množinu krevních skupin a vztah x R y „ osoba krevní
skupiny x může dát krev osobě krevní skupiny y“ a x, y ∈ M, lze zákony krevní transfuze
zapsat takto:
1) ∀ x ∈ M : x R x .
2) ∀ x ∈ M : 0 R x .
3) ∀ x ∈ M : x R AB .
4) Platí právě jen vztahy 1) až 3).
Informace 1) až 4) lze v množině M krevních skupin znázornit graficky uzlovým grafem:
(dokreslete, že x R x )
• 0
)
• •
A
B
•
AB
Na základě informací 1) až 4) se dá například teoreticky ověřit, aniž bychom trápili pacienty,
zda platí tranzitivnost dárcovství krve:
∀ x, y, z ∈ M : [( x R y ) ∧ ( y R z )] ⇒ x R z .
Máme-li informace 1) až 4) můžeme dát symbolům jiný význam a dostáváme model
matematické struktury.
a) M je množina čísel 1, 2, 3, 6 M = { 1, 2, 3, 6 }
x R y označíme vztah „ x je dělitelem y“ a x, y ∈ M
82