Opora I - Pf UJEP

Matematická věta
Matematická věta (poučka) značí nějaký matematický poznatek vyjádřený slovy nebo
symbolickým zápisem , jehož pravdivost je zaručena.
Z hlediska logiky je matematická věta vždy pravdivý výrok. Budeme však hovořit i o
větách, které jsou nepravdivé. Takové věty i když se jejich obsah týká matematické látky
pochopitelně nebudou matematickými větami (poučkami). Z kontextu (ze souvislostí) je vždy
jasné, kdy se pojem „věta“ užívá ve smyslu věta a kdy ve smyslu gramatickém.
Matematické věty mají zpravidla tvar logické implikace nebo se dají na tento tvar
převést: p ⇒ t (jestliže platí p, pak platí t).
Výrok p nazýváme předpokladem (podmínkou) a výrok t tvrzením (závěrem) věty. O
matematických větách, které mají strukturu implikace, t. zn. p ⇒ t, říkáme, že jsou
v podmínkovém tvaru.
Každá matematická věta má mít jasně vyslovený předpoklad, aby nenastaly nejasnosti.
Velmi často se však z jazykových důvodů stává, že tento předpoklad není vysloven
podmínkovém tvaru věty.
Příklad 8:
Součet vnitřních úhlů v trojúhelníku je 180 stupňů. Je třeba větu upravit do
podmínkového tvaru: Jestliže je obrazec trojúhelník, pak součet jeho vnitřních úhlů je 180
stupňů a pak je jasně vidět co je předpoklad a co je tvrzení.
Nechť matematická věta má tvar p ⇒ t. Jestliže označíme negace výroků p, t jako ¬ p,
¬ t, pak výrok ¬ t ⇒ ¬ p nazýváme obměněnou větou případně negativním vyslovením
věty p ⇒ t. Platí, že jestliže je p ⇒ t je matematická věta, pak i ¬ t ⇒ ¬ p je též
matematická věta. Pomocí tabulky pravdivostních hodnot se lze přesvědčit, že vždy platí
( p ⇒ t ) ⇔ ( ¬ t ⇒ ¬ p ) , tedy tato ekvivalence je tautologií.
Věty ( p ⇒ t ) a ( ¬ t ⇒ ¬ p ) říkají totéž.
Výrok t ⇒ p , který vznikne z věty p ⇒ t záměnou předpokladu za tvrzení nazýváme
obrácením věty t ⇒ p k větě p ⇒ t. Požíváme termín obrácení věty, nikoliv obrácená věta,
neboť obrácením věty nemusíme dostat pravdivý výrok a tudíž nejde o matematickou větu. O
pravdivosti věty t ⇒ p se musíme vždy přesvědčit.
Příklad 9:
Jestliže jsou-li obrazce shodné, pak mají týž obsah ( p ⇒ t ). Jestliže nemají obrazce týž
obsah, pak nejsou shodné ( ¬ t ⇒ ¬ p ) . Výrok je pravdivý, jde o matematickou větu.
Jestliže mají obrazce týž obsah, pak jsou shodné (t ⇒ p) . Výrok je nepravdivý, nejedná se o
matematickou větu.
Příklad 10:
Jestliže je ciferný součet přirozeného čísla dělitelný 3, pak je toto přirozené číslo
dělitelné 3 ( p ⇒ t ). Jestliže není přirozené číslo dělitelné 3, pak ciferný součet tohoto
přirozeného čísla není dělitelný 3 ( ¬ t ⇒ ¬ p ) . Výrok je pravdivý, jde o matematickou
větu.
Jestliže je přirozené číslo dělitelné 3, pak ciferný součet tohoto přirozeného čísla je dělitelný 3
(t ⇒ p). Výrok je pravdivý, jde o matematickou větu. Příklad ukazuje, že existují
matematické věty, jejichž obrácení je rovněž matematická věta, to znamená, že platí ( p ⇒ t )
∧(t ⇒ p).
Tabulkou pravdivostních hodnot se lze přesvědčit, že složený výrok ( p ⇒ t ) ∧(t ⇒ p) je
ekvivalencí a lze tedy napsat p ⇔ t. Třetí větu lze tedy vyslovit : Přirozené číslo je dělitelné
3, právě když jeho ciferný součet je dělitelný 3.
Matematické věty dokazujeme. Jsou však matematické věty, které nedokazujeme, jejichž
pravdivost je ověřená naší zkušeností a praxí, jejich použití dosud nevedlo k rozporu. Tyto
matematické věty se nazývají axiomy.
80