Opora I - Pf UJEP

12. Kompetence komunikativní. Třídění v matematice, definice a věta v matematice.
Zopakujeme pojem třídění:
Třídění (klasifikace) matematických pojmů
Obsah pojmu určujeme pomocí definic, rozsah pomocí třídění (klasifikace).
Prvky mající tytéž charakteristické základní vlastnosti (znaky) a náležejí do rozsahu
daného pojmu tvoří množinu, jejíž prvky se mohou lišit vedlejšími (podružnými)
znaky nebo jinou kvalitou či kvantitou charakteristické vlastnosti (znaku). Pří třídění
(klasifikaci) provádíme rozklad dané množiny (rozsahu pojmu) na třídy
(podmnožiny) podle vedlejších vlastností (znaků).
Třídění musí splňovat následující podmínky:
1) Třídění musí být úplné (vyčerpávající)-musí zahrnovat všechny prvky příslušné
množiny (rozsahu pojmu).
2) Třídění musí být disjunktní, což znamená, že každý prvek tříděné množiny je
zařazen právě do jedné třídy, to znamená, žádný prvek nemůže být současně
prvkem dvou tříd.
3) Třídění je nutno provádět vždy podle téhož znaku (vlastnosti).
V třídění se často chybuje. Například na otázku, jaké druhy trojúhelníků znáte, často
slyšíme odpověď: trojúhelníky dělíme na ostroúhlé, pravoúhlé, rovnoramenné a
rovnostranné. Třetí podmínka třídění podle téhož znaku je zde porušena.
Úplné roztřídění prvků, které náleží rozsahu daného pojmu se nazývá klasifiakce
daného pojmu.
Nejznámější způsob třídění je třídění dichotomické. Zde třídění na prvky, které
uvedenou vlastnost mají a na prvky, které tuto vlastnost nemají. (Dichotomický
znamená dvojčlenný).
Mějme množinu A a vlastnost V 1 , přičemž existují prvky množiny A, které
vlastnost V 1 mají i prvky, které ji nemají. Potom
A 1 = {x: x ∈ A ∧ V 1 (x) } a A´1 = {x: x ∈ A ∧ V´1 (x) }.
Provedli jsme rozklad množiny A na dvě třídy A 1 a A´1 . Platí podmínky třídění:
1) A 1 ∪ A´1 = A , 2) A 1 ∩ A´1 = φ , 3) Třídili jsme dle znaku V 1 .
Pomocí jiné vlastnosti V 2 rozložíme množinu A 1 na dvě třídy
A 2 = {x: x ∈ A ∧ V 1 (x) } a A´2 = {x: x ∈ A ∧ V´1 (x) }.
Analogicky bychom mohli rozkládat množinu A 2 pomocí některé vlastnosti V 3 dvě třídy A 3
a A´3 , atd., až dospějeme k nějaké množině A n , kterou již dále nelze rozložit – provedli
jsme klasifikaci.
Definice
Podíváme se na způsoby definování pojmů.
1) Definice pomocí specializace jiného pojmu, t. zv. aristotelovská, případně
analytická definice, někdy též nazývaná formálně-logická.
Jestliže v množině A jsou prvky, které mají jistou vlastnost V a zároveň prvky, které ji
nemají, tak vlastnost V definuje rozklad množiny A na dvě třídy
B = {x: x ∈ A ∧ V (x) } a B´ = {x: x ∈ A ∧ V´ (x) }
V (x) značí „x má vlastnost V“ , V´ (x) značí „x nemá vlastnost V“.
Tento rozklad splňuje všechny podmínky třídění: Je úplný, disjunktní a podle téhož
znaku.
Pomocí vlastnosti V jsme definovali množinu B jako podmnožinu A. Definice B je
pomocí rodu (rodového pojmu) A a druhového znaku V.
78