Opora I - Pf UJEP

Celkový počet úseček .............................4 + 3 + 2 + 1
Obdobně úsečka délky 3, respektive 5, atp.
Problém přeneseme do trojrozměrného prostoru:
Problém: Zjistěte, kolik krychlí je v krychli o rozměru n . n . n ?
I. Konkrétní příklad
Zjistěte, kolik krychlí je v krychli o rozměru 4 . 4 . 4 ?
Počet krychlí velikosti 1 . 1 . 1 .........4 3 (4 krychle vedle sebe , 4 za sebou, 4 nad sebou)
Počet krychlí velikosti 2 . 2 . 2..........3 3
Počet krychlí velikosti 3 . 3 . 3..........2 3
Počet čtverců velikosti 4 . 4 . 4.........1 3
Celkový počet čtverců......................... 4 3 + 3 3 + 2 3 + 1 3 = 90
Dostali jsme tak zvaný hrozen problémů.
V matematice se dá dokázat, že počet úseček je dán vzorcem
n 1 + (n – 1) 1 + ..............+ 1 1 ,
že počet čtverců je dán vzorcem
n 2 + (n – 1) 2 + ..............+ 1 2 ,
že počet krychlí je dán vzorcem
n 3 + (n – 1) 3 + ..............+ 1 3 .
Příklad :
a) Pokud budeme postupně zvětšovat délku úsečky, tak její délka bude přímo úměrná tomuto
zvětšování a počet „vrcholů“ těchto úseček bude 2, lze napsat 2 1 (jednorozměrný prostor).
b) Budeme postupně zvětšovat velikost stran čtverce. Čtverec o velikosti strany 1 má 2 2 = 4
vrcholy, obsah jeho plochy je 1, obvod jeho stran je 4, čtverec o velikosti strany 2 má 2 2 = 4
vrcholy, obsah jeho plochy je 4, obvod jeho stran je 8, čtverec o velikosti strany 3 má 2 2 = 4
vrcholy, obsah jeho plochy je 9, obvod jeho stran je 12, čtverec o velikosti strany 4 má 2 2 = 4
vrcholy, obsah jeho plochy je 16, obvod jeho stran je 16, atd. (Jde o dvojrozměrný prostor).
Délku strany čtverce označíme x
Pokud postupně zvětšujeme velikost čtverce, tak dojdeme k závěru, že pro počet vrcholů y
platí: y = 0 . x + 2 2 ,
pro jeho obvod y platí : y = 4 . x ,
pro jeho obsah y platí : y = x 2 .
c) Budeme postupně zvětšovat velikost stran krychle. Krychle o velikosti strany 1 má 2 3 = 8
vrcholů, její objem je 1, délka hran je 12, obsah jejího pláště 6, krychle o velikosti strany 2
má 2 3 = 8 vrcholů, její objem je 8, délka hran je 24, obsah jejího pláště 24, krychle o
40