MECHANIKA 2

MECHANIKA 2 

Jiří Bajer, UP Olomouc 2004 

19. července 2004

Obsah 

Předmluva 

v 

1 Relativita pohybu a setrvačné síly 1 

1.1 Relativita pohybu v kinematice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 

1.2 Hledáníabsolutníhokliduapohybu .................. 8 

1.3 Inerciální vztažnésoustavy ....................... 19 

1.4 Neinerciální vztažné soustavy, setrvačnésíly.............. 25 

1.5 PohybnarotujícíZemi.......................... 40 

2 Dynamika soustavy hmotných bodů 51 

2.1 Pohybovérovnice............................. 51 

2.2 Zákonyzachování............................. 56 

3 Dynamika tuhého tělesa 67 

3.1 Pohybovérovnice............................. 67 

3.2 Setrvačník upevněnývose........................ 70 

3.3 Setrvačník upevněný v bodě ....................... 94 

3.4 Volný setrvačník .............................107 

3.5 Těžký setrvačník .............................119 

4 Srážky a rázy 131 

4.1 Srážky...................................131 

4.2 Přímá srážka ...............................134 

4.3 Šikmá srážka ...............................148 

4.4 Rázy....................................151 

4.5 Ráz hladkých těles ............................157 

4.6 Ráz drsných těles.............................163 

4.7 Mechanika kulečníku...........................167 

4.8 Rozptyl částic...............................180 

5 Analytická mechanika 187 

5.1 Principvirtuálnípráce..........................187 

5.2 Lagrangeovyrovnice ...........................201 

5.3 Dalšídiferenciálníprincipymechaniky .................214 

iii

iv 

OBSAH 

5.4 Integrálníprincipy ............................226 

6 Úvod do astronomie 251 

6.1 Hvězdyaobloha .............................251 

6.2 Sluncenaobloze .............................264 

6.3 Precese ..................................274 

6.4 Sluneční čas a slunečníhodiny .....................276 

6.5 Měsícnaobloze..............................284 

6.6 Prvníodhadyvelikostikosmu......................291 

6.7 Měření Země,problémnavigace.....................298 

7 Planety a modely kosmu 309 

7.1 Planetynaobloze.............................309 

7.2 Prvnímodelykosmu ...........................318 

7.3 Kuželosečky................................334 

7.4 JohannesKepler .............................339 

7.5 Kinematikapohybuplanet........................343 

7.6 Výpočetpolohyplanetynaobloze ...................358 

8 Gravitace 363 

8.1 Gravitačnízákon .............................363 

8.2 Keplerovaúloha..............................374 

8.3 Umělésatelityakosmickésondy ....................386 

8.4 Gravitačnípole..............................400 

8.5 Problém dvou a více těles ........................421 

8.6 Gravitace rotačníhoelipsoidu ......................433 

8.7 Slapy....................................444

Předmluva 

Po půl roce vychází slíbený druhý díl učebnice mechaniky, který vznikl rozšířením 

mých poznámek k přednášce Mechanika a akustika. Tatopřednáška je součástí 

základního kurzu fyziky určeného studentům prvních ročníků oborů fyziky 

na Přírodovědecké fakultě Univerzity Palackého v Olomouci. Zatímco první díl se 

zabýval kinematikou, statikou a dynamikou hmotného bodu, navazuje tento druhý 

díl kapitolou věnovanou relativitě pohybuasetrvačným silám, pokračuje dynamikouhmotnýchbodů, 

tuhého tělesa, setrvačníků arázůtěles. Klasickou mechaniku 

završuje kapitola věnovaná základům analytické mechaniky. Poslední tři kapitoly 

jsou stručným úvodem do astronomie, nebeské mechaniky a gravitace. Součástí 

všech kapitol jsou řešené úlohy, které doplňují a někdyirozšiřují probírané učivo. 

Abych odborný výklad poněkud odlehčil a znaveného čtenářetaknechaltrochu 

vydechnout, dovolil jsem si na několika místech výklad přerušit a zpestřit kapitolami 

z historie vědy a života slavných fyziků. Čtenář si tak může udělat jasnější 

představu o významu příslušných vědeckých objevů pro tehdejší svět. 

Závěrem bych ještěvelmirádpřipojil poděkováníing.Křepelkovi a také mé ženě 

Monice za důkladnost, se kterou se oba neúnavně věnovali opakovanému pročítání 

rukopisu, aby jej zbavili všech chyb, které jsem přehlédl. Doufejme, že se jim to 

podařilo. 

V Olomouci dne 1. 7. 2004 

Jiří Bajer 

v

vi 

PŘEDMLUVA

Kapitola 1 

Relativita pohybu a 

setrvačné síly 

1.1 Relativita pohybu v kinematice 

1.1.1 Vztažná soustava 

Mechanickým pohybem se rozumí vzájemné přemís , tování těles v prostoru. 

Jedno těleso, bez vztahu k ostatním, se pohybovat nemůže, nemá vůči čemu. Abychom 

mohli mluvit o pohybu, musíme mít tedy tělesa alespoň dvě. Tím druhým 

vztažným tělesem může být například sám pozorovatel. Pro pohodlnost bereme 

za vztažné těleso rovnou vztažnou souřadnou soustavu, což je myšlený systém 

referenčních bodů v prostoru, které jsou jednoznačně označené. Nejčastěji se v mechanice 

používá kartézský, tj. pravoúhlý souřadný systém, který je plně určen 

počátkem O atrojicívzájemněkolmýchsouřadných os x, y a z. Poloha bodu A je 

vněm jednoznačně určena trojicí čísel 

A =[x, y, z] , 

které nazýváme souřadnicemi bodu.Polohubodumůžeme definovat také pomocí 

polohového vektoru 

r = −→ OA =(x, y, z) . 

Často k popisu pohybu používáme křivočaré ortogonální souřadné systémy, např. 

cylindrický nebo sférický, pokud se pro řešení daného problému ukáží být vhodnější 

než systém kartézský. 

1.1.2 Relativita pohybu a pozorovatel 

Jeden a tentýž pohyburčitého tělesa se různým pozorovatelům jeví různě. V tomto 

smyslu se hovoří o relativnosti pohybu. Představte si cestujícího ve vlaku, který 

1

2 KAPITOLA 1. RELATIVITA POHYBU A SETRVAČNÉ SÍLY 

právě projíždí stanicí. Vlak se pohybuje rychlostí u. Průvodčímu ve vlaku se cestující 

jeví zcela bez pohybu, zatímco výpravčí na stanici bude tvrdit, že stejný 

cestující se pohybuje rychlostí u. Trochu komplikovanější příklad je zachycen na 

dalším obrázku. Náš cestující sedí u okna a pohrává si s jablkem. V určitém okamžiku 

jablko vyhodí svisle vzhůru rychlostí v, to mu po krátké chvíli spadne zpět 

do dlaně. Z pohledu cestujícího i průvodčího se jablko pohybuje po svislé úsečce 

(a). Totéžpozorujevýpravčí na stanici (b) a vidí, že jablko při svém pohybu opíše 

v prostoru ladnou parabolu AB, než dopadne zpět do ruky cestujícího, který se 

mezitím přemístil z bodu A do bodu B. 

(a) Z pohledu cestujícího ve vlaku se jablko 

pohybuje po přímce nahoru a dolů. (b) Zpohledu 

výpravčího stojícího na stanici se stejné 

jablko pohybuje po parabole AB. 

Nebo jiný příklad. Představte si, že sedíte na stromě a sledujete kluka, který 

se snaží přehodit kamenem řeku. Dráha každého kamene bude mít tvar paraboly, 

protože půjde o šikmý vrh. Pokud se však ulomí větev, na které sedíte, budete padat 

volným pádem dolů. Dráha kamenů se vám najednou začne jevit zcela přímá. 

Ze šikmého křivočarého pohybu se totiž stanepohybpřímočarý rovnoměrný. Na 

všech těchto pozorováních není nic podivného ani překvapivého, jde čistě oprojev 

relativnosti pohybu, který pochopitelně vždy závisí na vlastním pohybu pozorovatele. 

1.1.3 Skládání pohybů 

Najdeme vztah mezi tím, co vidí jeden a co druhý pozorovatel na obecnějším problému. 

Zkoumejme pohyb vybraného bodu M z pohledu dvou různých pozorovatelů. 

První pozorovatel nech tjespojensevztažnou , 

soustavou S a druhý se soustavou 

S 0 . Zatím budeme pro jednoduchost předpokládat, že souřadné osy xyz a 

x 0 y 0 z 0 obou soustav neměnívzájemnouorientacivprostoru.Toznamená,že obě 

vztažné soustavy se navzájem pohybují translačně, tj.neotáčejí se. Poloha bodu 

M je podle prvního pozorovatele dána vektorem r = −−→ OM a podle druhého vektorem 

r 0 = −−→ O 0 M. Přitom poloha počátku O 0 soustavy S 0 vzhledem k počátku O 

soustavy S je dána vektorem R = −−→ OO 0 . Z jednoduché geometrie vektorů tedyplatí 

r = r 0 + R. (1.1) 

Tento vzorec popisuje, jak je možno přepočítat pohyb r 0 z pohledu jednoho pozorovatele 

na pohyb r jiného pozorovatele. Podobným vzorcům se ve fyzice obecně 

říká transformace. Z pohledu pozorovatele S představuje r absolutní pohyb, r 0 

relativní pohyb a R unášivý pohyb. Z pohledu kinematiky nejde o nic jiného, 

než oobyčejné skládání pohybů.

1.1. RELATIVITA POHYBU V KINEMATICE 3 

Transformace pohybu bodu M mezi dvěma 

vztažnými soustavami S a S 0 . Z geometrie obrázku 

je zřejmé, že platí r = r 0 + R. 

Ilustrujme si transformační vzorec (1.1) na příkladu pohybu jablka. S cestujícím 

spojíme vztažnou soustavu S 0 asvýpravčím soustavu S. Vzhledem k cestujícímu 

se jablko pohybuje svislým vrhem vzhůru s počáteční rychlostí v, takže cestující 

popíše pohyb jablka vzorcem pro svislý vrh 

r 0 = 

µ0,vt− 1 

2 gt2 . 

Vlak se ale pohybuje doprava rychlostí u, takže pro unášivý pohyb platí R =(ut, 0) . 

Podle vzorce (1.1) musí být pohyb jablka z pohledu výpravčího dán rovnicí 

r = r 0 + R = 

µut, vt − 1 

2 gt2 . 

Tato rovnice skutečně popisuješikmý vrh jablka s počáteční rychlostí v 0 =(u, v) . 

1.1.4 Galileiho zákon skládání rychlostí 

Podívejme se dále, jak se transformují rychlosti a zrychlení. Rychlost je definována 

jako časová derivace polohového vektoru, platí tedy 

v = dr 

dt 

a 

v 0 = dr0 

dt , 

kde v je rychlost tělesa vzhledem k pozorovateli S a v 0 je rychlost tělesa vzhledem 

k pozorovateli S 0 .Jestliže zderivujeme transformační vzorec (1.1) podle času, 

dostaneme 

v = v 0 + V, (1.2) 

kde V =dR/dt je rychlost pohybu pozorovatele S 0 vůči pozorovateli S. Zpohledu 

pozorovatele S se rychlost v 0 nazývá relativní rychlostí, V unášivou rychlostí 

ajejichsoučet v absolutní rychlostí. Jednoduchý vzorec (1.2) představuje známý 

Galileiho vzorec pro skládání rychlostí. 

Galileiho zákon (1.2) pro skládání rovnoběžných rychlostí je zřejmý a potvrzuje 

nám jej každodenní zkušenost. Jestliže se například námořník pohybuje rychlostí 

1 m / s po palubě lodialo d , se pohybuje sama rychlostí 2 m / s stejným směrem, 

pak se námořník pohybuje vzhledem ke břehu rychlostí 2+1 = 3m / s . Pokud by se 

námořník pohyboval směrem opačným, jeho rychlost vzhledem ke břehu by klesla 

na 2 − 1=1m / s. Kdyby se námořník rozběhl rychlostí 2 m / s proti pohybu lodi, 

mohl by se dokonce ocitnout vůči břehu v klidu.


Méně zřejmé je skládání kolmých rychlostí a mnoho lidí se mylně domívá, že 

kdyby námořník stojící na samém konci lodě vyskočil dostatečně vysoko vzhůru, lo d 

, 

by pod ním odplula pryčanámořník by spadl do moře. To samozřejměnenípravda. 

Námořník má v okamžiku výskoku z pohledu nehybného pozorovatele na břehu 

stejnou horizontální složku rychlosti jako samotná lo d. , Složením obou kolmých 

rychlostí námořník vlastně vyskočí šikmo vzhůru a nakonec dopadne zpět na palubu 

lodi na totéž místo,zekteréhovyskočil. Během výskoku se námořník pohybuje po 

parabole, stejně jako jablko našeho cestujícího ve vlaku. 

Další derivací vztahu (1.2) podle času bychom dostali transformační vztah pro 

zrychlení 

a = a 0 + A, 

kde a 0 =dv 0 /dt je relativní zrychlení, A =dV/dt unášivé zrychlení a a = 

dv/dt absolutní zrychlení. 

Nyní už umíme přetransformovat pohyb z jedné vztažné soustavy do jiné. Můžeme 

si proto k řešení kinematické úlohy vybrat vždy takovou vztažnou soustavu, 

vníž se bude daná úloha řešit co nejpohodlněji. 

1.1.5 Vzájemná záměna pohybů 

Jak již víme, je každý pohyb relativní. Podívejme se nyní blíže na vzájemný pohyb 

dvou těles. Těleso B nech tmávzhledemktělesu , 

A polohu určenou polohovým 

vektorem r AB = −→ AB atěleso A pak má vzhledem k B polohový vektor r BA = −→ BA. 

Zdefinice obou vektorů jezřejmé, že platí r BA = −r AB a že tedy jde o opačné 

vektory. To znamená, že směr polohy jednoho tělesa je přesně opačný ke směru 

polohy druhého tělesa. Například, pokud bod B leží na sever od bodu A, pak bod 

A ležínajihodboduB. 

Odtud dále plyne, že pokud se změní jeden z vektorů dvojicer AB a r BA ,musíse 

změnit i druhý. Pokud se jedno těleso pohybuje vzhledem ke druhému, pohybuje se 

i druhé vzhledem k prvnímu. Když vzorec pro polohové vektory zderivujeme podle 

času, dostaneme vztah pro rychlosti v BA = −v AB . Dvě tělesa se navzájem vůči 

sobě pohybují přesně opačnými rychlostmi. Vezměme opět příklad, sedíte ve vlaku 

a jedete rychlostí 60 km / h z Olomouce do Prahy. Při pohledu z okna se vám ale zdá, 

že vlak stojí, zatímco krajina kolem vás ubíhá dozadu stejnou rychlostí 60 km / h . 

Můžete proto klidně tvrdit,že Praha se k vám přibližuje, zatímco Olomouc se od 

vás vzdaluje. 

Vzájemná poloha a pohyb dvou těles A, B v 

prostoru. Pohyb závisí na poloze pozorovatele. 

Jestliže lze pohyb tělesa B chápat jako rotační pohyb kolem bodu A, pak platí 

v AB = ω AB × r AB , kde ω AB je úhlová rychlost rotace tělesa B vzhledem k tělesu


A. Protože dále platí r BA = −r AB a v BA = −v AB , musí také platit v BA = ω BA × 

r BA , kde ω BA = ω AB . Dokázali jsme tak, že pohyb bodu A je rovněž rotačním 

pohybemvzhledemkboduB, a to dokonce se stejnou úhlovou rychlostí. Například 

z pohledu Slunce oběhne Země kolem Slunce jednou dokola za rok, a to proti směru 

hodinových ručiček (při pohledu od Polárky). Naopak z pohledu Země je to Slunce, 

které obíhá kolem Země rovněž s periodou jeden rok, a to rovněž protisměru 

hodinových ručiček (připohleduodPolárky). 

Vpřípadě rotačních pohybů kolempevnéosyjemožno udělat podobné úvahy v 

míře úhlové. Jestliže se těleso B pootočilo kolem osy o vzhledem k tělesu A o úhel 

φ AB , pak se těleso A pootočilo kolem stejné osy o vzhledem k tělesu B o úhel φ BA 

aplatíφ BA = −φ AB . Odtud také musí platit ω BA = −ω AB , obě vzájemnáotáčení 

tedy mají navzájem opačnýsmysl.Například, pokud se obloha otáčí vzhledem k 

Zemi směrem od východu na západ, pak z pohledu hvězd se otáčí Země stejnou 

rychlostí, ale od západu na východ. 

Příklad 1.1 Motocykl vyjel ze stanoviště rychlostív M. Za dobu ∆t po něm vyjel na stejnou 

trasu automobil rychlostí v A. Kde a za jak dlouho automobil dostihne motocykl? 

Řešení A: Standardní řešení vypadá takto: Pohyb motocyklisty popisuje rovnice x M = v M t. 

Pohyb automobilu popisuje rovnice x A = v A (t − ∆t) . Obě vozidla se potkají, když bude 

x M = x A, musí tedy platit rovnice 

v M t = v A (t − ∆t) . 

Jejím řešením dostaneme pro okamžik setkání vzorec 

t = 

vA∆t , 

v A − v M 

vozidla se setkají ve vzdálenosti 

d = v M t = 

v M v A 

∆t. 

v A − v M 

Řešení B: Pohodlnější řešení úlohy využívá pohledu jiného pozorovatele — řidiče automobilu. 

Podle něj ujel motocyklista za dobu ∆t, než se za ním vydal, vzdálenost s = v M∆t. Protože 

on sám je rychlejší než motocyklista, dohání jej stálou rychlostí v 0 = v A − v M adostihnejej 

v čase 

t 0 = s v = v M∆t 

, 

0 v A − v M 

atovevzdálenosti 

d = v A t 0 = 

vAvM 

∆t. 

v A − v M 

Výsledek je pochopitelně stejnýjakovpřípadě řešení A. Vzhledem k tomu, že tentokrát jsme 

nemuseli řešit žádnou rovnici, lze tento postup doporučit i při řešení úlohy zpaměti. 

Příklad 1.2 Obchodník na motorovém člunu vyrazil v 8:00 z osady u řeky proti proudu. Za 

45 minut si uvědomil, že mu cestou do řeky spadl klobouk proti slunci. Otočil proto člun a plul 

s ním zpátky po proudu, aby klobouk hledal. Našel jej za 20 minut. Kdy mu klobouk spadl do 

řeky? Rychlost člunu vzhledem k vodě jev =4m / s arychlostprouduřeky u =2m / s . 

Řešení: Úlohu vyřešíme pohodlně vsoustavě spojené s kloboukem. V ní je klobouk a řeka 

v klidu, pohybuje se jen lo d , stálou rychlostí v tam a zpět. Doba, kdy se člun od klobouku 

vzdaluje tudíž trvástejně dlouho, jako doba, kdy se k němu vrací. Člun se tedy 20 minut 

vzdaluje a 20 minut přibližuje ke klobouku. Klobouk musel spadnout do řeky 45 − 20 = 25 

minut poté, co obchodník vyrazil od břehu, tj. v 8:25. Všimněte si, že řešení vůbec nezávisí 

narychlostilodinebořeky.


Příklad 1.3 Lo d , A se právě nacházívmístě r A =[0, 100] m asoučasně sepohybujerychlostí 

v A =(10, 10) m / s . Lo d , B se zase nachází v místě r B =[80, 10] m apohybujeserychlostí 

v B =(−10, 30) m / s . Určete, zda se lodi bezpečně minou.Zabezpečnou vzdálenost lodí je 

považováno d = 10 m . 

Máme určit, zda dojde ke srážce lodí A a B. 

Řešení: Zdesepřímo nabízí počítat ve vztažné soustavě spojenéslodíA. Lo d , A pak bude 

v klidu a pohybovat se bude jen druhá lo d , B. Relativní poloha lodi B vzhledem k lodi A je 

r AB = r B − r A a relativní rychlost lodi B vzhledem k lodi A je v AB = v B − v A . Poloha obou 

lodí se pochopitelně mění s časem podle rovnice 

r = r AB + v AB t. 

Odtud vzdálenost lodí je rovna 

r 2 = rAB 2 +2v AB · r ABt + vABt 2 2 . 

Vzdálenost lodí bude nejmenší pro okamžik 

rAB · vAB 

t = 

vAB 

2 =4. 25 s, 

kdy bude rovna 

s 

(rAB · vAB)2 

r min = − ≈ 7. 071 m 

r 2 AB 

Středy lodí se tedy potkají v nejmenší vzdálenosti r min ≈ 7. 071 m, aprotože vychází r min


To znamená, že i z pohledu galaxie G 1 platí Hubbleův zákon, a ten proto nepřisuzuje Zemi 

žádnou mimořádnou pozici ve vesmíru. Jinými slovy, izotropnost vesmíru není Hubbleovým 

zákonem nijak narušena. 

Příklad 1.5 Při oslavě založení města byl odpálen velký ohňostroj. Náplň sevysokonaobloze 

rozprskla do stovky zářících úlomků, které volně padaly k zemi. Popište relativní pohyb úlomků. 

Pohyb zářících úlomků ohňostroje. I přes náhodnost 

jejich počátečních rychlostí a volný pád 

tvoří symetrickou padající zářící kouli. 

Řešení: Rychlost v k jednotlivých úlomků jerůzná, ale všechny se začaly pohybovat z jediného 

centra exploze r 0. Jejich pohyb tedy odpovídá volnému pádu 

r k = r 0 + v k t + 1 2 gt2 . 

Ty nejrychlejší úlomky tvoří okraj světelné koule, která se rovnoměrnězvětšuje a volným pádem 

klesá k zemi. 

POZNÁMKA: Relativní poloha dvou libovolných úlomků ohňostroje 

r k − r l =(v k − v l) t 

je závislá jen na jejich relativní rychlosti a nezávisí na tíhovém zrychlení. Pro úlomky tedy 

prakticky platí Hubbleův zákon, kde roli Hubbleovy konstanty přebírá převrácený čas H = 

1/t. Nejde tedy o skutečnou konstantu, nebo t , H zde závisí na čase. Na druhé straně není 

vyloučeno, že Hubbleova konstanta je dána stejným vzorcem, kde t = 1/H ≈ 15 miliard 

let značí dobu, která uplynula od Velkého třesku. Během posledních sta let se totiž stáří 

vesmíru prakticky nezměnilo, a proto můžeme Hubbleovu konstantu považovat za konstantní. 

Astronomy potvrzena kinematika pohybu vzdálených objektů vevesmírujetedyprakticky 

stejná jako kinematika úlomků ohňostroje, takže může být nejjednodušeji popsána jako jediná 

velká exploze, pro níž sejižvžil přiléhavý název Velký třesk. 

Příklad 1.6 Podél přímky p 1 se pohybuje brouček B 1 rychlostí v 1 apodélpřímky p 2 brouček 

B 2 rychlostí v 2 . Najděte nejmenší možnou vzdálenost d min mezi oběma broučky, svírají-li 

přímky p 1 a p 2 úhel θ. 

Najděte nejmenší vzdálenost d min mezi dvěma 

broučky B 1 a B 2, kteří se pohybují stálými rychlostmi 

v 1 a v 2 podél přímek p 1 a p 2. 

Řešení: Úlohu vyřešíme v soustavě spojenésbroučkem B 1.Vtompřípadě jeprvníbrouček v 

klidu a pohybuje se jen druhý brouček B 2, atorychlostív = v 2 − v 1 po přímce p. Počáteční 

vzdálenost obou broučků jea = |B 1 B 2 | , takže nejmenší vzdálenost je rovna 

v 2 sin θ 

d min = a sin β = ap , 

v 

2 

1 + v2 2 +2v1v2 cos θ


kde sin β = v 2 sin θ/v a v 2 = v1 2 + v2 2 +2v 1 v 2 cos θ. Do této vzdálenosti se broučci dostanou 

vokamžiku 

t min = a cos β v 1 + v 2 cos θ 

= a 

v v1 2 + . 

v2 2 +2v1v2 cos θ 

Vpřípadě kolmýchpřímek je θ =90 ◦ , atudíž 

v 2 

v 1 

d min = ap a t min = a 

v 

2 

1 + v2 

2 v1 2 + . 

v2 2 

1.2 Hledání absolutního klidu a pohybu 

1.2.1 Geocentrismus & heliocentrismus 

Skládat můžeme naprosto libovolné pohyby, tedy i pohyby kruhové. Tysehrály 

významnou roli především v dějinách astronomie. Ve škole se učíme, že planety, 

včetně Země, obíhají po přibližně kruhových drahách kolem Slunce. Přirozenou 

otázkou pak je, jak vypadá pohyb planet vzhledem k Zemi, která sama rovněž 

obíhá kolem Slunce? Vzhledem k transformačním vzorcům snadno dokážeme na 

tuto otázku odpovědět. 

Podívejme se pro konkrétnost na pohyb Marsu. Soustavu S spojíme se Sluncem. 

Vzhledem ke Slunci je pohyb Marsu prostým kruhovým pohybem r M . Podobně, 

pohyb Země jeurčen dalším kruhovým pohybem r Z . Slunce je pochopitelně v klidu 

r S = 0. Podívejme se nyní na to, jak vypadá relativní pohyb Slunce a Marsu 

vzhledem k Zemi, s níž spojímesoustavuS 0 .Musímetedyodečíst pohyb Země od 

pohybů studovaných planet, nebo tnyníjeR , = r Z .PolohaSluncejedánavektorem 

r 0 S = r S − r Z = −r Z . 

Slunce se tedy bude vzhledem k Zemi pohybovat stejně, jako předtím Země vzhledem 

ke Slunci, tj. po kruhové dráze se středem na Zemi s periodou jeden rok. Díky 

obrácenému znaménku však bude Slunce na opačné straně a bude mít opačnou 

rychlost, než máZemě z pohledu Slunce. 

Pohyb Marsu vzhledem ke Slunci (a) avzhledem 

k Zemi (b). Vprvnímpřípadě jdeorovnoměrný 

pohyb kruhový a ve druhém případě 

o poměrně složitý pohyb nerovnoměrný po 

křivce zvané epicykloida. 

Pohyb Marsu bude ovšem komplikovanější, jeho poloha vzhledem k Zemi je 

dána vektorem 

r 0 M = r M − r Z . (1.3) 

Pohyb Marsu je tedy pohybem složeným ze dvou kruhových pohybů r M a −r Z , 

jeho trajektorií je proto epicykloida smnohasmyčkami (viz obrázek). Pohyb 

Marsu na obloze je tudíž velminerovnoměrný, mění se nejen rychlost jeho pohybu,

1.2. HLEDÁNÍ ABSOLUTNÍHO KLIDU A POHYBU 9 

ale dokonce i směr jeho pohybu. Většinou se sice Mars pohybuje řádně vpřed, ale 

pravidelně se dostává do fáze, kdy se zastaví a pak dokonce pohybuje zpět, tento 

dočasný zpětný pohyb se nazývá retrográdním pohybem. 

Není proto překvapením, že pečlivým studiem pohybu planet na obloze dospěl 

ve 2. stol. n. l. Klaudios Ptolemaios kzávěru, že pohyb planet je složen ze 

dvou rovnoměrných kruhových pohybů. Ptolemaios rozložil pohyb každé planety 

do pohybu po deferentu se středemvZemiadopohybupoepicyklu se středem na 

deferentu. Tak mohl vysvětlit hlavní rysy nerovnoměrného pohybu vnějších planet 

včetně retrogádního pohybu, aniž by musel pohnout Zemí. Pohyb po deferentu 

představuje člen r M a pohyb po epicyklu člen −r Z .Periodaapoloměr pohybu 

po deferentu tedy odpovídá oběžné době a vzdálenosti Marsu od Slunce, zatímco 

perioda a poloměr epicyklu odpovídá oběžné oběžné době a vzdálenosti Země od 

Slunce. Pro další planety bychom dostali analogické vzorce, jako je vzorec (1.3). 

Proto je zřejmé, že epicykly −r Z všech planet musí být stejné, musí mít stejný 

poloměr i stejnou periodu. Také úhel natočení všech planet na epicyklu musí být 

stejný a musí být roven úhlu natočení Slunce vzhledem k Zemi. 

Oba pohyby je možno složitivopačném pořadí, tj. psát rM 0 = −r Z + r M , atím 

deferent a epicykl zaměnit. Právě takto byl v Ptolemaiově systému reprezentován 

pohyb vnitřních planet. Díky této záměně mohl být deferent vždy větší než epicykl, 

a tak bylo možno udržet představu křiš tálových , planetárních sfér. Bez této záměny 

by si totiž jednotlivé sféry sousedních planet při pohybu překážely. 

Antický a středověký názor, že středem světa je nehybná Země, kolem níž 

se vše točí, se nazývá geocentrismem. Moderní názor, podle něhož jestředem 

světa Slunce, kolem kterého obíhají planety, které se současně otáčejí kolem svých 

vlastních os, se nazývá heliocentrismem. Z pohledu kinematiky jsou oba názory 

rovnocenné, přesto je na obou modelech sluneční soustavy zřetelně vidět, že pohyb 

většího systému těles může být vhodnou volbou referenční soustavy podstatně 

zjednodušen. Komplikovaný systém šesti deferentů apěti epicyklů tehdy známých 

planet mohl být nahrazen šesti kruhovými pohyby a nehybným Sluncem. Právě na 

zjednodušení planetárních pohybů, jak jsou vidět z pohledu Slunce, založil svoji 

argumentaci ve prospěch heliocentrismu roku 1543 Mikuláš Koperník. Protiheliocentrismu 

však hovořila autorita bible, Aristotelés izdravýrozum.Zatímco 

jízda na koni je doprovázena mnoha projevy pohybu, nechce se věřit, že tisíckrát 

rychlejší pohyb Země kolem Slunce žádných měřitelných důsledků nemá. Protože 

jinéargumentyprosvojiteoriiKoperníkneměl, byl tehdy heliocentrismus považován 

jen za užitečnou pracovní hypotézu, umožňující astronomům o něco pohodlněji 

určovat polohy planet na obloze. 

1.2.2 Aristotelés a střed světa 

Největší autoritou středověké filozofie ipřírodních věd byl Aristotelés ze Stageiry 

(3. st. př. n. l.). Jeho přírodní filozofie spočívala v teorii čtyř živlů, jimiž 

byly země, voda, oheň a vzduch. Pohyby Aristotelés dělil na pohyby přirozené, 

kdy na těleso nepůsobísílaanapohyby vnucené, kdynatěleso působí 

síla ve směru pohybu. Těleso koná vnucený pohyb ve směru přiložené síly. Pokud


přiložená síla přestane působit, těleso se okamžitě zastaví nebo přejde v přirozený 

pohyb. Aristotelés tedy neznal setrvačnost těles. 

Přirozený pohyb spočívá v tom, že těleso se pohybuje ve směru svého přirozeného 

určení, tj.lehkátělesa vzhůru a těžká tělesa dolů, tj. do středu světa. Rychlost 

pádu těles měla být závislá na velikosti tělesa a na obsahu těžkých živlů, tj. 

země a vody. Šlo tedy o jakousi primitivní sedimentačníteoriivysvětlující zemskou 

přitažlivost, která však je ještě na hony vzdálená Newtonově teoriivšeobecnépřitažlivosti. 

Příčinou přitažlivosti podle Aristotela nebyla Země atakénebeskátělesa 

se nijak nepřitahovala. 

Aristotelés 384 - 322 př. n. l. 

Podle Aristotela je Země kulatá a v jejím středu je i střed světa, kolemněhož 

se přirozeně časem nakupila země a voda. Nad vodami se vznáší vzduch a ještě 

výše oheň. Kolem nehybné Země seotáčejí sféry Měsíce, Slunce, planet a hvězd. 

Rychlost otáčení sfér je ohromná a aby jejich pohyb nebylo slyšet, měly být tvořeny 

nadpozemskou látkou, nehmotným éterem 1 .Svět se podle Aristotela dělil na dvě 

oblasti, sféru sublunární, tojestodMěsíce dolů, a sféru superlunární, tojest 

od Měsíce nahoru. Vlastnosti a zákony světa mělybýtvobousféráchnaprosto 

odlišné. Věčný pohyb planet a hvězd mohl existovat jen v superlunární oblasti. 

Vzhledem ke skutečnosti, že Země se nachází v sublunární oblasti, kde se každý 

pohyb musí dříve nebo později zastavit, zdálo se Aristotelovi zřejmé, že Země se 

nijak nepohybuje. Aristotelés jasně zformuloval světovýnázor,kterýsednesnazývá 

geocentrismem. 

Aristotelés dobře věděl, že kdyby se neotáčela obloha, musela by se otáčet sama 

Země. Uměl si spočítat, že rychlost povrchu Země poblíž rovníku by dosahovala neskutečné 

rychlosti kolem 460 m / s . Ale to by určitě neušlo naší pozornosti, myslel 

si. Taktéž peripatetici 2 měli velmi jasné argumenty proti pohybu Země. Například, 

kdyby Země rotovala kolem své osy, dráhy střel vypálených za jinak stejných 

1 Podle Pýthagora a Platóna byly sféry z průhledného křiš , tálu a při otáčení kolem Země měly 

vydávat líbezný zvuk. Tuto hudbu sfér však slyší jen andělé. 

2 Peripatetici jsou žáci a středověcí stoupenci Aristotela. Mistr vyučoval své žáky při procházkách 

sloupořadím athénského Lycea, řecky peripateo znamená procházím se.


podmínek směrem ze západu na východ a z východu na západ by se nutně odlišovaly. 

Těleso padající z vysoké věže na zem by nepadalo po přímce a nedopadlo by 

pod věž, ale daleko na západ od ní. Kdyby Země rotovala kolem osy, museli bychom 

poci tovat , velmi silný východní vítr, či spíše vichřici o rychlosti kolem 460 m / s . Nic 

z toho se však nepozoruje. 

1.2.3 Paralaxa hvězd 

Významným důvodem, proč Koperníkův systém nebyl přijat ani tehdejšími astronomy, 

byla skutečnost, že žádný z nich nepozoroval hvězdnou paralaxu, tj. 

zdánlivý pohyb hvězd na obloze, který z pohybu Země kolem Slunce nutně vyplýval. 

Každá hvězda by měla během roku opisovat na obloze elipsu, která by se u pólu 

měnila v kružnici a u rovníku v úsečku. I když se astronomové nemohli shodnout 

na tom, zda se Země pohybuje či nikoli, měli docela jasnou představu o tom, jak je 

kosmos veliký. Věděli, že sféra nejvzdálenější planety Saturn leží asi desetkrát dále 

od Země než Slunce, tj. asi 10 astronomických jednotek. 3 Kdyby sféra hvězd ležela 

ve vzdálenosti 20 až 30 astronomických jednotek, nemohli by astronomové roční 

pohyb hvězd v žádném případě přehlédnout. Paralaxa, tj velká poloosa příslušné 

elipsy všech hvězd na obloze, by měla velikost π ≈ 2 ◦ až 3 ◦ ! 

Ani největší astronom 16. století Tycho Brahe žádnou paralaxu hvězd nenaměřil. 

Přesnost jeho měření přitom dosahovala jedné obloukové minuty, naměřil by 

tudíž i stokrát menší paralaxu, než sevšeobecně čekalo. Na základě svých negativních 

pozorování proto Brahe navrhl alternativní model sluneční soustavy, kde 

sice všechny planety obíhají kolem Slunce, ale to spolu se všemi planetami jako 

jakýmsi gigantickým rojem obíhá kolem nehybné Země. Tím Brahe maximálně využil 

kinematické zjednodušení plynoucí z Koperníkova modelu, ale současněuchoval 

nehybnost Země, která vyplynula z jeho přesných astronomických pozorování. 

Pokud Země Z obíhá kolem Slunce, pak musí 

během roku každá hvězda H cestovat po obloze, 

protože směr,vekterémjizeZeměuvidíme, 

se mění od směru s 1 ažposměr s 2. Tento 

jev se nazývá roční hvězdnou paralaxou. 

Hvězdná paralaxa je i dnes velmi důležitý údaj pro astronomy. Dnes víme, že 

hvězdy neleží na sféře, ale jsou rozprostřeny po celém prostoru, takže leží od Země 

různě daleko. To znamená, že paralaxa je pro každou hvězdu jiná. Bližší hvězdy mají 

větší paralaxu a vzdálenější hvězdy menší. Pokud změříme pohyb hvězdy na obloze 

během roku, tj. roční paralaxu hvězdy π, známetímokamžitě i její vzdálenost od 

Země, nebo tplatí 

, 

d = a/π, 

kde a ≈ 1AU je vzdálenost Země od Slunce. Pomocí tohoto vzorce se definuje 

parsek, přirozená jednotka vzdálenosti používaná pro měření vzdálenosti hvězd 

3 Není podstatné, že Koperník i Brahe se ještě v16. století mylně domnívali, po vzoru Ptolemaia, 

že Slunce je asi dvacetkrát blíže Zemi, než jeveskutečnosti.


nebo galaxií. Hvězda je ve vzdálenosti jeden parsek d =1pc, má-li její paralaxa 

velikost jedné obloukové vteřiny, tj. π =1 00 . 

Teprve dnes víme, že hvězdy jsou příliš daleko, než aby mohl být jejich paralaktický 

pohyb spatřen bez použití dalekohledu. Paralaxa nejbližší hvězdy Proxima 

Centauri je totiž rovnaπ ≈ 0.76 00 , zatímco měření prováděná neozbrojeným okem 

dosahují v nejlepším případě přesnosti 1 0 . Vzdálenost Proxima Centauri od Země 

je tedy rovna d = a/π ≈ 1. 3pc. Vzhledem k tomu, že 1AU ≈ 1.5 × 10 8 km, platí 

také 

d ≈ 4.1 × 10 13 km ≈ 270 000 AU ≈ 4. 3 světelných let. 

Hvězdnou paralaxu poprvé spatřil a naměřil až roku 1838 Friedrich Wilhelm 

Bessel u jiné blízké hvězdy 61 Cygni. Jdeohvězdu ze souhvězdí Labutě, její vzdálenost 

od Země jeasi11světelných let. Nejbližší hvězda je tedy více desettisíckrát 

dále, než Braheočekával a více než stokrát dále, než bylvůbec schopen naměřit. 

1.2.4 Galileo Galilei a pohyb Země 

Aristotelovy názory vládly vědě jen s drobnými úpravami téměř po dva tisíce let. 

Podporovala je i oficiální církev, protože byly v souladu s Písmem. Kupodivu nijak 

nevadilo, že Aristotelés nebyl křes tan. , Teprve s dalším rozvojem astronomie 

aspoznáním,že Slunce je mnohem větší než Země, začalo být nejprve podivné 

a později neudržitelné, aby velké Slunce obíhalo kolem malé Země. Především zásluhou 

prací Mikuláše Koperníka 1543, Johanna Keplera 1609 a Galilea 

Galileiho 1610 došlo v astronomii postupně k prosazení heliocentrismu, podle 

něhož jeZemě jen jednou z mnoha planet, které všechny obíhají kolem velkého a 

nehybného Slunce. 

Astronomové již dávnopřed Galileem pozorovali na obloze komety. Aby zapadly 

do Aristotelovy filozofie oneměnné dokonalosti superlunárního světa, museli 

peripatetici tvrdit, že komety jsou pozemským, tj. meteorologickým úkazem. Ale 

již Tycho Brahe svými pozorováními přesvědčivě dokázal, že komety patří do 

superlunárního světa, že jsou dále od Země nežMěsíc. Totéž Brahedokázalio 

supernově ze souhvězdí Kasiopea, která se nečekaně objevila na obloze v letech 

1572-1574. 

Ovšem skutečně prvnímodvážlivcem, který vážně zapochyboval o Aristotelovi 

se všemi důsledky, byl na konci 16. století Galileo Galilei. Nejprve roku 1590 

vyvrátil Aristotelovu klasifikaci těles. Dokázal, že neexistují těžká a lehká tělesa, 

ale že všechna tělesa padají k zemi, pokud je jejich měrná tíha větší než měrná tíha 

okolního prostředí. Například dřevo ve vzduchu padá k zemi, ale ve vodě plave. 

Roku 1604 Galileo objevuje zákon volného pádu a vyvrací Aristotela v tom, že 

velká tělesa padají rychleji. Roku 1612 vyvrací na základě Archimédova zákona 

další Aristotelův blud, že pouze tvar tělesa rozhoduje o tom, zda bude plavat na 

vodě. 

Roku 1610 si Galileo zhotovuje dalekohled a obrací jej nejprve na Měsíc. Na 

jeho povrchu pozoruje krátery, pohoří a moře a zjiš tuje, , že Měsíc není zdaleka tak 

dokonalým nebeským tělesem, jak tvrdí Aristotelés, ale že spíše připomíná povrch


Země. Současně Galileo pozoruje, že Venuše má tvar srpku a že tedy Venuše svítí 

odraženým slunečním světlem, stejně jakoMěsíc. Galileo dále zjistil, že na Slunci 

jsou temné skvrny, že Slunce rotuje kolem vlastní osy a že Mléčná dráha se skládá 

z miliónů drobných hvězd. Galileo tak zcela jasně ukázal,že superlunární sféra 

není tak dokonalá a neměnná, za jakou ji pokládal Aristotelés. Konečně, Galileo 

také objevil, že kolem Jupitera obíhají čtyři malé měsíce. Všichni se mohli na své 

vlastní oči přesvědčit, ženevševevesmírusetočí kolem Země. To byl velmi mocný 

argument proti starému učení Aristotela. 

Galileiho princip relativity. Námořník pouští z 

lodního koše A plující lodi dělovou kouli. Koule 

padá po parabole AB a dopadne nakonec do 

bodu B, přesně podstožár lodi, kam by dopadla 

i v případě, kdyby se lo dvůbec , nepohybovala. 

Podpořen vlastními objevy ve vesmíru, vrátil se Galileo k problému rotace 

Země. Galileo byl přesvědčeným stoupencem heliocentrismu a spolu s Koperníkem 

věřil, že Země obíhá kolem Slunce a že rotuje kolem vlastní osy. Aby své 

názory obhájil, musel nejprve vyvrátit námitky peripatetiků. Pomocí skládání pohybů 

vysvětlil známý pokus, při němž senechápadatzávaží ze stožáru plující lodi, 

aukázal,že toto závaží dopadne přesně podkošstožáru stejně tak,jakokdyby 

lo d , stála. Stožár lodi se totiž pohybuje a přidává k padajícímu závaží horizontální 

složku rychlosti. Ale i lo d , se pohybuje stejnou rychlostí, takže závaží dopadne do 

stejného místa, jako kdyby se lo d , nepohybovala. Stejnými argumenty pak Galileo 

vysvětlil, proč kámen puštěný z věže hradu dopadne vždy k patě věže,ikdyžse 

Země otáčí kolem své osy. 

Dále Galileo uvažoval pozorovatele uzavřeného v podpalubí velké lodi a vybaveného 

všemi možnými přístroji. Za předpokladu, že se lo dpři , plavběnekymácí,došel 

kzávěru, že pozorovatel na lodi nemá možnost určit, jak rychle, a zda vůbec, se 

jeho lo d , pohybuje. Galileo důkladně promýšlel mnohé podobné myšlenkové experimenty, 

4 až dospěl ke zjištění, že pohledy všech pozorovatelů nastejnýpohybjsou 

prakticky rovnocenné. Pozorovatel nemůže žádným mechanickým experimentem 

určit, zda se pohybuje rovnoměrně přímočaře nebo zda je v klidu. Tento důležitý 

poznatek se nazývá Galileiho princip relativity a pochází z roku 1632. 

Objevem zákona setrvačnosti a principu relativity Galileo dokázal, že pohyb 

Země jemožný, aniž ho pozorujeme. Vědeckými argumenty veřejně obhajuje rotaci 

Země poprvéroku1632vesvémspiseDialog o dvou světech. Spis byl ve vědeckých 

kruzích přijat s nadšením. Ne však katolickou církví, která dala roku 1616 Koperníkův 

spis na index zakázaných knih. Za obhajobu Koperníkova učení byl devěta- 

4 Myšlenkovým experimentem rozumíme důkladnýteoretickýrozbornějakého ideálního jevu, 

případně experimentu. Myšlenkové experimenty proslavil Albert Einstein, ale jejich otcem byl 

již Galileo.


šedesátiletý Galileo roku 1633 uvězněn! Po vynesení rozsudku, veřejném odvolání 

kacířských bludů a po slibu poslušnosti katolické církvi mu byla jen zakázána další 

publikační činnost a trest snížen na domácí vězení, které trvalo až dojehosmrti 

roku 1642. Galileo byl ze seznamu zakázaných autorů vyškrtnutaž roku 1835 a oficiálně 

rehabilitován katolickou církví roku 1992! Je ironií dějin, že Galileův první 

inkvizitor Roberto Bellarmini byl roku 1930 kanonizován. V katolickém seznamu 

světců jej nalezneme jako svatého Roberta. 

Naštěstí nebyla celá Evropa pod vlivem papeže a Galileovo moderní učení bylo 

dále rozvíjeno v Holandsku a Anglii. Především zásluhou prací Roberta Hooka 

1680 a Isaaca Newtona 1686 byl objeven gravitační zákon a zákony mechaniky, 

jimiž bylo možno vědecky vysvětlit pohyb těles na zemi i na obloze. Tak byl v 

astronomii na konci 17. století konečně prosazenheliocentrismus avefilozofii 

začal věk osvícenství. 

Příklad 1.7 Na rovníku byl z věže o výšce h ≈ 160 m volně upuštěn kámen. Spočtěte, jak 

daleko od paty věže dopadne. Odpor vzduchu zanedbejte. 

Řešení: Podle Galilea bude mít kámen v okamžiku upuštěnírychlostodpovídajícírotaciZemě. 

Stejnou rychlost bude mít i věž, takže kámen dopadne přesně kpatěvěže. Tato zjednodušená 

argumentace však platí, jen pokud můžeme zanedbat výšku věže oproti poloměru Země R. 

Při pečlivějším rozboru zjistíme, že vrchol věže má o něco větší rychlost v 2 = Ω (R + h) než 

pata věže v 1 = ΩR, protože je dále od středu Země. První odhad odchylky kamene by proto 

byl 

∆x ≈ (v 2 − v 1) t = Ωht = 1 2 Ωgt3 ≈ 66 mm 

na východ, kde t ≈ p 2h/g ≈ 5. 7 s je doba pádu kamene. Přesnější výsledek dostaneme, 

když započteme i zakřivení povrchu Země. Ve dme , patou věže souřadnou soustavu, osu x 

orientujeme ve směru rotace Země, tj. na východ, a osu y orientujeme vzhůru. Zakřivení 

povrchu Zeměmázanásledek,že se mění směr tíhového zrychlení, a proto budou mít pohybové 

rovnicekamenetvar 

ẍ ≈−g x ÿ ≈−g y R R . 

Pro malé výšky je možno zanedbat změnu velikosti tíhového zrychlení a brát g ≈ konst. Pak 

jdeorovnicekmitů, takže mají harmonická řešení A sin ωt, kde ω = p g/R. Pronašepotřeby 

stačí integrovat první z obou rovnic, řešení má tedy tvar 

µ 

x ≈ v2 

ω sin ωt = Ω (R + h) t − 1 

6 ω2 t 3 + ... , 

kde jsme funkci sínus nahradili prvními členy Taylorova rozvoje, nebo tvýrazωt , je malý. Pata 

věže se pohybuje rovnoměrně pokružnici o poloměru R, v naší aproximaci se bude pohybovat 

rovnoměrně 

x 0 ≈ v 1t = ΩRt. 

Kámensetedybudeoprotipatěvěže předbíhat jen o 

∆x = x − x 0 ≈ Ωht − 1 6 ΩRω2 t 3 = 1 3 Ωgt3 ≈ 45 mm 

směrem na východ. Stejný výsledek odvodíme později a pohodlněji jako důsledek vlivu setrvačné 

síly Coriolisovy.


1.2.5 Isaac Newton a absolutní pohyb 

Roztočíme-li volné těleso, bude v důsledku vlastní setrvačnosti rotovat věčně, stejně 

jako rotuje Země kolem osy. Také planety jednou uvedené do pohybu budou na věky 

kroužit kolem Slunce. Zdá se tedy, že rotace a rotační pohyby jsou analogií přímočarých 

setrvačných pohybů. Odtud je jen krůček k nesprávné domněnce, že všechny 

rotující vztažné soustavy jsou z hlediska dynamiky také rovnocenné, podobně jako 

jimi jsou soustavy inerciální. Rotace však není relativní tak jako přímočarý pohyb, 

rotace je absolutní. Toho si správně povšimljiž roku 1686 Isaac Newton. 

Z pohledu kinematiky je jedno, zda rotují 

koule nebo hvězdy kolem. Z pohledu dynamiky 

nejsou oba případy stejné. Pokud je provazmezikouleminapnutý,pohybujísekoule, 

pokud ne, pohybují se hvězdy. 

Ve svých slavných Principiích Newton popisuje pohyb dvou koulí spojených 

provazem. Z pohledu kinematiky a relativity pohybu je naprosto jedno, jestli rotují 

koule a hvězdy stojí nebo jestli se otáčí hvězdná obloha kolem nehybných koulí. 

Kdyby koule nerotovaly, provaz držící obě koulepři sobě byzřejmě nebyl napjatý. 

Pokud ale vidíme, že provaz napjatý je, bezpečně z toho poznáme, že obě koule 

rotují kolem společného těžiště aže provaz přenáší potřebnou dostředivou sílu. 

Můžeme tedy fyzikálně jasně rozlišit, kdy se pohybují koule a kdy okolní hvězdy. 

Podobně z poznatku, že Země má tvar zploštělého elipsoidu, musíme učinit logický 

závěr, že Země rotuje kolem své osy. 

Newtonovo vědro, hladina zaujme tvar paraboloidu 

(b) a (c), jen když kapalina rotuje 

vzhledem k vesmíru. Nestačí, když kapalina 

rotuje vzhledem k vědru (a) . 

Jiným klasickým příkladem je Newtonovo vědro. Na zkroucené lano zavěsíme 

vědro s vodou. Lano se počne postupně rozplétat a uvede vědro do rotačního pohybu. 

Voda je zpočátku klidná, ale v důsledku tření o vědro se po chvíli dá rovněž 

do rotace. Hladina vody zaujme v důsledku odstředivé síly tvar rotačního paraboloidu. 

Když vědropostavímenazem,vodaještě chvíli rotuje vlastní setrvačností, 

hladina se však postupně napřimuje, až senakonecstaneopět vodorovnou a voda 

přestane rotovat. Z tohoto pokusu je zřetelně vidět, že na tvar hladiny nemá vliv 

relativní pohyb vody vzhledem k vědru, ale jen relativní pohyb vody vzhledem k 

Zemi, přesněji vzhledem ke hvězdám! Rotační pohyb je tedy absolutní a dokážeme 

jej změřit.


1.2.6 Newtonův absolutní prostor 

Newton na základě svých úvah o absolutnosti rotačních pohybů arovněž pohybů 

zrychlených zavedl pojem absolutního prostoru, vůči němuž jetřeba posuzovat 

každýpohyb.Taktodefinovaný pohyb pak nazval absolutním pohybem. Absolutníprostorjezdefinice 

nezávislý na všech objektech a na všech dějích v tomto 

prostoru se odehrávajících. Pohyb se podle Newtona dále odehrává v absolutním 

čase, který plyne pro všechny pozorovatele naprosto stejně. Newtonovy pohybové 

rovnice platí z definice jen pro absolutní pohyby, tj. jen vzhledem ke vztažné soustavě, 

která je v klidu vůči absolutnímu prostoru. Vzhledem ke Galileiho principu 

relativity však Newtonovy pohybové zákony platí pro všechny inerciální pozorovatele, 

které Newton definoval rovnoměrným pohybem vzhledem k absolutnímu 

prostoru. 

Podle principu relativity není možno určit, která inerciální soustava je tou absolutní 

soustavou podle Newtona. A co nedokážeme změřit, tomu se moderní fyzika 

záměrně vyhýbá. Pojem absolutního pohybu ve smyslu Newtonově proto moderní 

fyzika dnes nepoužívá.Musímevšaksoučasně poznamenat, že pro popis složených 

pohybů běžně používáme pojmy absolutní pohyb, relativní pohyb a unášivý pohyb. 

Tyto pojmy jsou však navzájem relativní a s absolutním pohybem a absolutním 

prostorem, jak je chápal a definoval Newton, nemají žádnou spojitost. 

1.2.7 Měření rotačních pohybů 

Z Galileiho principu relativity je zřejmé, že rovnoměrně přímočarý pohyb vztažné 

soustavy je neměřitelný. Rotační pohyb však relativní není, je proto měřitelný a 

v tomto smyslu je i absolutní. Možnosti měřit absolutní rotaci se využívá k určování 

polohy ledadel, řízených střel nebo satelitů a k jejich stabilizaci v prostoru. 

Vlastním přístrojem měřícím rotaci a orientaci tělesa v prostoru je gyroskop, což 

je velmi rychle se točící setrvačník uložený v Cardanově závěsu. Při všech manévrech 

letadla zachovává setrvačník svoji orientaci vůči hvězdám. Také optickými 

metodami je možno registrovat rotaci vztažné soustavy. Typickým zařízením tohoto 

druhu je laserový gyroskop. Pracuje na principu posunu interferenčních 

proužků vSagnacově interferometru.Laserový gyroskop může být tak citlivý, 

že jím je možno měřit nepatrné kolísání rychlosti rotace Země způsobené sezónními 

změnami v rozložení ledu na povrchu Země. 

1.2.8 Relativita pohybu v dynamice 

Z hlediska kinematiky jsou všechny pohyby relativní a všechny vztažné soustavy 

naprosto rovnocenné. Žádná z nich není ani významnější ani správnější. Kinematika 

nedokáže rozhodnout, zda rotuje Země, nebo obloha kolem ní. Koperník proto 

mohl obhajovat nehybné Slunce pouze argumentem, že pohyb planet tak bude 

jednodušší, než vpřípadě nehybné Země. 

Z hlediska dynamiky však už všechnyvztažné soustavy rovnocenné nejsou. 

Proto na otázku, která soustava se otáčí a která stojí, je možno pomocí dynamiky 

odpovědět zcela jednoznačně.Poznásetopodlepřítomnosti setrvačných sil.


Ty také prozrazují, že Země není inerciální vztažnou soustavou, ale že Země rotuje 

kolem své osy. Z pohledu dynamiky je tedy mnohem správnější heliocentrismus než 

geocentrismus. Moderní astronomie nás však poučuje, žeaniSluncenenístředem 

světa, ale že celá sluneční soustava obíhá kolem středu naší galaxie a ta zase kolem 

pomyslného středu místní kupy galaxií. 

Hledání absolutního středu vedlo k postupnému přesouvání středu světa nejprve 

ze středu Země dostředu Slunce, a pak do středu naší galaxie. Dnes již víme, že 

ikdyžsezdá,že všechny galaxie se od nás vzdalují, a ty nejvzdálenější dokonce 

rychlostí blízkou rychlosti světla, není Země ani její okolí středem vesmíru. Žádný 

střed vesmíru totiž není, celý vesmír se rozpíná naprosto izotropně a homogenně. 

Naopak absolutní pohyb, se zdá, již byl nalezen. I když jsouvšechnyinerciální 

soustavy z hlediska dynamiky naprosto rovnocenné, můžeme měřit relativní pohyb 

Země vůči vzdáleným galaxiím, tj. vůči těžišti vesmíru. Tím absolutním pohybem 

je pohyb Země vůči reliktnímu záření, kteréjepozůstatkem po Velkém třesku. 

Dopplerovská měření satelitu COBE vedou k závěru, že naše sluneční soustava se 

vůči reliktnímu záření pohybuje rychlostí asi 500 km / s . 

1.2.9 Machův princip 

Co je příčinou setrvačných sil? Setrvačné síly jsou způsobeny zrychleným pohybem 

nebo rotací vztažné soustavy vzhledem k inerciální soustavě. Na rozdíl od pravých 

silnemajísetrvačné síly původ v reálných tělesech a neplatí pro ně zákon akce a reakce. 

Zároveň z astronomických měření plyne, že inerciální soustavy jsou soustavy, 

které nerotují vzhledem ke vzdáleným hvězdám, a ani se vzhledem k nim nepohybují 

zrychleně. To by ukazovalo, že inerciální soustavy mohou být nějak spojeny 

právě sevzdálenýmihvězdami. Také dělení na pravé a zdánlivé síly je z obecného 

pohledu těžko přijatelné. Proto se hledal původ setrvačných sil v působení reálných 

silodvzdálenýchhvězd. Zajímavou myšlenku v tomto duchu navrhl a rozpracoval 

kolem roku 1880 Ernst Mach. Navrhlnovousílu,kterábyvysvětlila setrvačnost 

těles. 

Jak již víme, všechny mechanické síly Newtonovy fyziky vznikají vzájemným 

působením dvojic těles, tyto síly podléhají zákonu akce a reakce, mají tedy středový 

ráz a na dálku působí z definice okamžitě. Obecný tvar takové mechanické síly mezi 

dvěma tělesy je dán vzorcem 

r 1 − r 2 

F 12 = f 12 n 12 = f 12 , 

r 12 

kde velikost síly f 12 je pouze funkcí vzdálenosti obou těles r 12 = |r 1 − r 2 | a n 12 

je jednotkový vektor ve směru spojnice obou těles. Pochopitelně pro sílu, kterou 

působí druhé těleso na první, platí zákon akce a reakce, tj. F 21 = −F 12 . Například 

pro gravitační sílu je 

f 12 = κm 1m 2 

r12 

2 . 

Podle Machova principu jsou setrvačné síly působící na zrychleně sepohybující 

těleso výsledkem společného působení všech těles ve vesmíru na zkoumané těleso


prostřednictvím Machovy síly. Výjimečnost Newtonova absolutního prostoru by 

se pak dala vysvětlit tím, že je těžiš tovým , systémem vesmíru jako celku. Podstata 

setrvačných sil by tak byla přirozeně vysvětlena. Mach předpokládal existenci slabé 

odpudivé síly 

f (r 12 )=Γm 1 m 2¨r 12 , 

kde konstanta vazby Γ musí být velmi malá, nebo tpůsobení , Machovy síly mezi 

běžnými tělesy nepozorujeme. Protože platí 

ṙ = r · v 

r 

a 

¨r = r · a 

r 

+ v2 

r 

− 

(r · v)2 

r 3 , 

kde pro vzdálená tělesa r →∞je rozhodující pouze první člen a ostatní členy lze 

prakticky zanedbat, můžeme Machovu sílu dobře aproximovat výrazem 

r 12 · a 12 

F 12 ≈ Γm 1 m 2 

r12 

2 r 12 . 

Výslednou sílu, kterou působí všechna tělesa ve vesmíru na těleso m 2 , najdeme tak, 

že sečteme silové příspěvky všech těles m k ve vesmíru a dostaneme 

F 2 = X X r k2 · a k2 

F k2 = Γm 2 m k 

r 2 r k2 . 

k 

k 

k2 

Pokud předpokládáme, že vzdálená tělesa jsou jen v rovnoměrném pohybu a nepohybují 

se zrychleně, pak platí 

a k2 = a k − a 2 ≈−a 2 . 

Jestliže vynecháme nyní jižnadbytečný index 2, dostaneme pro Machovu sílu vzorec 

kde 

F = −Γm X k 

r k · a 

m k 

rk 

2 r k = −ΓmM·a, 

M = X k 

m k 

r k r k 

r 2 k 

je tenzor rozložení hmoty ve vesmíru. Pro případ symetrického rozložení hmoty 

bychom snadno spočetli, že tenzor M je diagonální a izotropní a že jeho složky 

jsou 

⎛ 

1 

3 

M = ⎝ 

M 0 0 ⎞ 

1 

0 

3 M 0 ⎠ , 

1 

0 0 

3 M 

kde M je hmotnost celého vesmíru. Machova síla by se pak rovnala 

F = − 1 3 ΓMma.

1.3. INERCIÁLNÍ VZTAŽNÉ SOUSTAVY 19 

Pokud bude Γ =3/M ≈ 10 −53 kg −1 , pak dostaneme očekávaný výsledek 

F = −ma, 

podle něhož je Machova síla rovna síle setrvačné. 

Pokud by vesmír nebyl zcela izotropní, závisela by setrvačná síla na směru 

zrychlení, a to bychom mohli experimentálně pozorovat. V praxi by to znamenalo, 

že bychom naměřili v různých směrech různou setrvačnou hmotnost. Přesné experimenty 

se o to pokoušely, ovšem s negativním výsledkem, anizotropie setrvačné 

hmoty ∆m/m je určitě menšínež 10 −20 . 

O reálnosti Machovy síly se bohužel nemůžeme nijak přesvědčit, protože je příliš 

slabá. Mezi tělesy o hmotnostech m 1 ≈ m 2 ≈ 1kg pohybujícími se vzájemně 

se zrychlením a 12 ≈ 1 m / s 2 je velikost Machovy síly rovna F ≈ 10 −53 N . Také 

Machova síla působící mezi Zemí a Sluncem dosahuje jen neměřitelný zlomek gravitační 

síly F/F G ≈ 10 −27 . Pouze setrvačná síla, jako projev interakce tělesa s 

celým vesmírem, je dostupná měření. 

Význačnost a výjimečnost inerciálních soustav přivedla Newtona k myšlence absolutního 

pohybu a absolutního prostoru. Zároveň zprincipů mechaniky vyplývá, 

že absolutní pohyb nejsme schopni změřit ani registrovat. To zase svádí k představě, 

že zavádět absolutní pohyb je zbytečné. Jenže v devatenáctém století teoretičtí fyzikové 

zjistili, že princip relativity platí jen v mechanice a neplatí pro děje elektrické 

a optické. Elektromagnetické a světelné vlny se podle jejich představ měly šířit jako 

vlněnívnehybnéméteru.Výjimečnost inerciálních soustav by byla jejich pohybem 

vůči éteru objasněna. Snad proto nenašly Machovy myšlenky u jeho současníků 

větší odezvu. 

Na konci devatenáctého století byly znovu zahájeny intenzívní snahy o experimentální 

určení absolutního pohybu Země vůči éteru. Nejvíce nadějí se vkládalo 

do Michelsonova experimentu. Ale ani ty nejpřesnější experimenty žádný absolutní 

pohyb Země nenaměřily. Příčinou nebyly chyby v teorii elektrodynamiky ani chyby 

v experimentech. Chyba spočívala v našich tehdejších nesprávných představách o 

prostoru a čase, které opravil až roku 1905 Albert Einstein ve speciální teorii 

relativity. PozdějisevrátilikMachovýmmyšlenkámaroku1916vytvořil obecnou 

teorii relativity. V ní už není mezi gravitačními a setrvačnými silami rozdíl, protože 

obě majísvůj přirozený původ v hmotných objektech našeho vesmíru. Zároveň je 

možno obě síly interpretovat jako lokální a globální zakřivení časoprostoru. 

1.3 Inerciální vztažné soustavy 

1.3.1 Zákon setrvačnosti a inerciální soustavy 

Těleso, na které nepůsobí žádné síly, se nazývá volným tělesem apříslušný pohyb 

tělesa volným pohybem. Přirozená vlastnost tělesa setrvávat v pohybu beze 

změny rychlosti se nazývá setrvačností tělesa, a volný pohyb se proto nazývá 

také pohybem setrvačným. 

Odstranit působení všech sil může být velký technický problém, nicméně, pokud 

se nám to podaří, budeme pozorovat volný pohyb. Volnému pohybu se nejvíce blíží


pohyb těles uvnitř kosmické lodi na oběžné dráze, kde panuje stav beztíže. Také 

pohyb těles po ledové ploše (curling) nebo pohyb koulí po kulečníkovém stole se volnému 

pohybu velmi blíží. Pohyb těchto těles je rovnoměrně přímočarý a trajektorií 

jejich pohybu je přímka. Zobecněním těchto pozorování objevil roku 1638 Galileo 

Galilei historicky nejstarší pohybový zákon — zákon setrvačnosti. Podlezákona 

setrvačnosti je volný pohyb tělesa pohybem rovnoměrně přímočarým. Takto formulovaný 

zákon však nemůže platit ve všech souřadných soustavách současně! Z 

pohledu rovnoměrně zrychleněsepohybujícíhopozorovatelesevolnýpohybbude 

jevit jako pohyb zrychlený a jeho trajektorií bude přirozeně parabola. Podobně, 

rotující pozorovatel bude volný pohyb popisovat jako nerovnoměrný pohyb, jehož 

trajektorií je spirála nebo šroubovice. Z toho je zřejmé, že ne všechny vztažné soustavy 

jsou pro popis volného pohybu stejně vhodné. Soustavy, v nichž sevolný 

pohyb jeví jako ten nejjednodušší možný, tj. pohyb rovnoměrný a přímočarý, mají 

ve fyzice velmi důležité postavení a nazýváme je inerciálními soustavami. Jde 

prakticky o soustavy, v nichž platí zákon setrvačnosti. Název pro inerciální soustavy 

vymyslel roku 1883 Ludwig Lange. Podobně soustavy, v nichž zákon setrvačnosti 

neplatí, nazýváme neinerciálními vztažnými soustavami. 

Možnájstesisamiuvědomili, že zákon setrvačnosti v původním Newtonově 

znění je přebytečný, protože plyne přímo z pohybového zákona pro volné těleso. 

Pokud v něm položíme F = 0, dostaneme a = F/m = 0, takže rychlost volného 

tělesa musí být v = konst. Význam zákona setrvačnosti spočívá v tom, že postuluje 

inerciální vztažnou soustavu: 

Existuje vztažná soustava, v níž sekaždé volné těleso pohybuje rovnoměrně 

přímočaře.Tatosoustavasenazýváinerciálnívztažná soustava. 

Příklad 1.8 Popište pohyb volného hmotného bodu z pohledu pozorovatele nacházejícího se 

uprostřed rotující soustavy. 

Řešení: Rovnoměrnýpohybboduvsoustavě xy je možno popsat rovnicemi x = vt a y = d, 

kde v je jeho rychlost a d je nejmenší vzdálenost, do níž sehmotnýbodpřiblíží k pozorovateli. 

Stejný pohyb v soustavě x 0 y 0 rotující kolem společného počátku proti směruhodinovýchručiček 

úhlovou rychlostí ω je dán rovnicemi 

x 0 = vt cos ωt − a sin ωt, 

y 0 = vt sin ωt + a cos ωt. 

Trajektorie volného bodu v rotující soustavě pak vypadá jako spirála na obrázku (b). 

Srovnání trajektorie stejného volného hmotného 

bodu vzhledem k inerciálnímu pozorovateli (a) a 

vzhledem k neinerciálnímu pozorovateli (b) .


1.3.2 Galileiho transformace 

Nyní již víme,že všechny vztažné soustavy nejsou z pohledu dynamiky rovnocenné, 

protože v nich obecně neplatí zákon setrvačnosti. Ten platí pouze v inerciální 

vztažné soustavě. Přirozeně vyvstává otázka, kolik vlastně je takových inerciálních 

soustav? Odpověd vyplyne z Galileiho zákona skládání rychlostí (1.2). Bude-li soustava 

S inerciální soustavou, v níž platízákonsetrvačnosti v = konst, pak také 

každá čárkovaná soustava S 0 ,kterásevůči ní pohybuje stálou rychlostí V = konst, 

bude inerciální soustavou, nebo tpakjetaké 

, 

v 0 = v − V = konst. 

Všechny soustavy, které se pohybují rovnoměrně přímočaře vzhledem 

k inerciální vztažné soustavě, jsou rovněž inerciálními vztažnými 

soustavami. 

Dvě vztažnésoustavy,kterésevůči sobě pohybují rovnoměrně přímočaře rychlostí 

V, svazujeGalileiho transformace. Ta plyne z obecných transformačních 

vzorců (1.1) a (1.2), když vnichpoložíme R = −−→ OO 0 = Vt. Tak dostaneme pro 

polohový vektor, rychlost a zrychlení tyto transformační vzorce 

r = r 0 + Vt, v = v 0 + V, a = a 0 . 

1.3.3 Galileiho princip relativity 

Všimněte si, že zrychlení tělesa M jsou v obou inerciálních soustavách S a S 0 

stejná, tj. platí a = a 0 . To ale znamená, že pokud platí v soustavě S Newtonův 

pohybový zákon F = ma, musí platit stejný pohybový zákon F = ma 0 také v 

čárkované soustavě S 0 . Tedy nejen zákon setrvačnosti, ale i pohybový zákon platí 

ve všech inerciálních soustavách. Stručně říkáme, že Newtonovy pohybové rovnice 

jsou invariantní vůči Galileiho transformaci. 

Invariance pohybových rovnic má za následek, že inerciální pozorovatel nemůže 

žádným mechanickým experimentem rozhodnout, zda se jeho soustava pohybuje 

rovnoměrně přímočaře nebo zda je v klidu. Galileiho princip relativity říká, že: 

Všechny inerciální vztažné soustavy jsou pro popis mechanických 

dějů rovnocenné a žádnými mechanickými experimenty nelze změřit 

absolutní pohyb dané inerciální soustavy. 

Názorným důkazem platnosti principu relativity je například skutečnost, že ačkoliv 

Země obíhá kolem Slunce rychlostí 30 km / s a spolu se Sluncem obíhá kolem 

středu Galaxie rychlostí 250 km / s, my žádný z těchto pohybů prakticky nepoci tujeme! 

Naopak, máme dojem, že Země jestředem světa, kolem něhož , 

sevšeotáčí.


1.3.4 Einsteinův princip relativity 

Z Galileiho principu relativity plyne, že pokud budeme zkoumat pohyb libovolné 

inerciální vztažné soustavy, nedokážeme jej odlišit od absolutního pohybu. Neexistuje 

způsob, jak určit, která z rovnoměrně se pohybujících inerciálních soustav je 

právě ta absolutní. 

V 19. století se ale zjistilo, že čerstvě objevené zákony elektrodynamiky nejsou 

invariantní vůči Galileově transformaci, a tak se znova otevřela možnost změřit 

absolutní pohyb. Podle tehdejších názorů se elektromagnetické vlny a světlo měly 

šířit všudypřítomným nehmotným prostředím zvaným éter. Aněkteré skutečnosti 

se zdály napovídat, že pohyb vůči éteru bude možno měřit. Éter se tak stal vítaným 

pomocníkem v hledání absolutního pohybu. Na přelomu 19. a 20. století byly 

předními fyziky (Michelson, Morley, Trouton, Noble aj.) provedeny mimořádně citlivé 

optické a elektromagnetické experimenty, jejichž cílem bylo změřit absolutní 

pohyb Země. Ale ani při úžasné přesnosti těchto experimentů (10 −10 ) žádný absolutní 

pohyb Země vevesmírunaměřen nebyl. Absolutní pohyb bylo nutno jako 

něco neměřitelného odmítnout. 

Neúspěšné experimenty současně naznačovaly, že princip relativity zřejmě platí 

také v optice a elektromagnetismu. Proto byl Galileiho princip relativity zobecněn 

roku 1905 Albertem Einsteinem na všechny nemechanické děje. Obecný 

Eisteinův princip relativity pak říká, že: 

Všechny inerciální vztažné soustavy jsou pro popis fyzikálních dějů 

rovnocenné. 

Princip relativity se stal ve dvacátém století klíčovým postulátem teorie relativity. 

Znamenal však nutnost přebudovat základy mechaniky a zrevidovat naše 

představy o prostoru a čase. Nově vzniklá mechanika se jmenuje relativistická 

mechanika a stará mechanika se od té doby nazývá klasickou mechanikou. 

Úspěch nové mechaniky znamenal definitivní odstranění absolutního pohybu z fyziky. 

1.3.5 Transformace hybnosti, momentu hybnosti a energie 

Vzorce definující Galileiho transformaci nám určují, jak se transformují rychlost a 

poloha z jedné inerciální soustavy do jiné. Podívejme se nyní, jak se transformují 

další dynamické veličiny jako hybnost, moment hybnosti a energie. 

Mějme hmotný bod o hmotnosti m mající v soustavě S 0 rychlost v 0 . Hybnost 

tělesa je p 0 = mv 0 , moment hybnosti je L 0 = r 0 × mv 0 a jeho kinetická energie 

je T 0 = 1 2 mv02 . Vezměme nyní jinou inerciální soustavu S, pro rychlost a polohu 

stejného hmotného bodu platí podle Galilea 

Hybnost v nové soustavě je tudíž 

v = v 0 + V a r = r 0 + Vt. 

p = mv = m (v 0 + V) =p 0 + mV.


Moment hybnosti je 

L = r × mv =(r 0 + Vt) × m (v 0 + V) =L 0 + V × (mr 0 − p 0 t) , 

neboli 

L = L 0 + V × mr0 0 . 

Všimněte si, že veličina 

r 0 0 = 1 m (mr0 − p 0 t)=r 0 − v 0 t = r 0 

je v čase neměnnáapředstavuje polohu tělesa v počátečním okamžiku t = 0. 

Konečně pro kinetickou energii máme 

T = 1 2 mv2 = 1 2 m (v0 + V) 2 = T 0 + p 0 · V + 1 2 mV2 . 

Pokud jde o změnu jednotlivých veličin, pak snadno ukážeme, že platí 

∆p = ∆p 0 , ∆L = ∆L 0 a ∆T = ∆T 0 + ∆p 0 · V. (1.4) 

1.3.6 Zákony zachování a inerciální soustava 

Vzhledem k rovnocennosti inerciálních soustav musí platit stejné zákony zachování 

vrůzných inerciálních soustavách. Podívejme se blíže na vztah těchto zákonů při 

transformaci. Uvažujme nyní soustavu n těles m k majících v soustavě S 0 rychlosti 

v 0 k . Celková hmotnost soustavy je m = P m k , celková hybnost soustavy je 

celkový moment hybnosti je 

p 0 = X m k v 0 k, 

a energie soustavy je 

L 0 = X r 0 k × m kv 0 k 

E 0 = X 1 

2 m kvk 02 + U 0 . 

Je-li to soustava izolovaná od okolí, platí zákony zachování 

p 0 = konst, L 0 = konst, E 0 =konst. 

Vezměme nyní jinou inerciální soustavu S aspočtěme v ní nejprve celkovou 

hybnost soustavy 

p = X p 0 k + m kV = p 0 + mV,


dále celkový moment hybnosti 

kde 

L = X L 0 k + V × (m kr 0 k − p0 k t)=L0 + V × mr 0 T 0 , 

r 0 T 0 = 1 m (m kr 0 k − p 0 kt) =r 0 T − 1 m p0 t = r 0 T − v 0 T t = r T 0 

je poloha těžiště celé soustavy v počátečním okamžiku t =0. Konečně pro energii 

máme 

E = X E 0 k + p 0 k · V + 1 2 m kV 2 = E 0 + p 0 · V + 1 2 mV2 . 

Snadno nahlédneme, že všechny tři veličiny p, L,E budou také konstantní, nebo t 

, 

podle předpokladu jsou p 0 , L 0 ,E 0 , V,m i rT 0 0 konstanty. Tím jsme dokázali,že jestliže 

platí všechny tři zákony zachování v jedné inerciální soustavě,pakplatíivkaždé 

jiné inerciální soustavě. Pozor, to ještě neznamená, že platnost jednoho zákona 

implikuje platnost téhož zákona v jiné inerciální soustavě! Například, pokud platí 

v S 0 zákon zachování energie, ale neplatí zákon zachování hybnosti, nebude v S 

platit ani zákon zachování hybnosti ani zákon zachování energie. Jasně to plyne i 

z následující úlohy. 

Potenciální energii jsme zatím blíže nezkoumali, ale protože potenciální energie 

závisí v klasické fyzice jen na relativních vzdálenostech hmotných bodů, nemůže 

se při přechodu do jiné inerciální soustavy potenciální energie změnit. Proto platí 

výše uvedené závěry i pro případy soustav s vnitřní potenciální energií. 

Příklad 1.9 Máme vysvětlit následující paradox: Jestliže automobil zrychlí z počáteční rychlosti 

v na rychlost 2v, vzroste jeho energie o 

∆T = 1 2 m (2v)2 − 1 2 mv2 = 3 2 mv2 . 

Pokud však sledujeme toto zrychlení z jiného automobilu, který se sám pohybuje rychlostí v, 

pak automobil zrychlil jen z nuly na rychlost v a jeho energie tedy vzrostla jen o 

∆T 0 = 1 2 mv2 . 

Jak velkou práci tedy motor auta vykonal, A = 3 2 mv2 nebo A 0 = 1 2 mv2 ?Podleprincipu 

relativity by přece měly být oba pohledy rovnocenné a oba by měly dávat stejný výsledek! 

(1) Nejprve jedou oba automobily stejnou rychlostí 

v, (2) a pak horní automobil zdvojnásobí 

svoji rychlost na rychlost 2v. Máme určit, jakou 

práci přitom motor automobilu vykonal. 

Řešení: Paradox spočívá v tom, že kinetická energie není invariantem a nezachovává se při 

transformaci z jedné inerciální soustavy do druhé. Proto není překvapením, že jsme dostali 

pokaždé jiný výsledek. Pro změnu kinetické energie totiž platí(1.4) 

∆T = ∆T 0 + V ∆p 0 ,

1.4. NEINERCIÁLNÍ VZTAŽNÉ SOUSTAVY, SETRVAČNÉ SÍLY 25 

kde V je rychlost čárkované soustavy vzhledem k nečárkované a ∆p 0 změna hybnosti tělesa. 

V našem případě jetedy∆p 0 = mv a V = v, takže pak je ∆T = ∆T 0 + mv 2 , atojev 

souladu se zadáním úlohy. 

Nicméně, oba pozorovatelé se nacházejí v inerciálních soustavách a mají podle principu relativity 

zcela rovnocenné postavení. Z jejich pohledu vykonal motor automobilu práci A, atím 

urychlil automobil o rychlost v. Přitom vykonaná práce musí být nezávislá na volbě pozorovatele, 

protože se dá objektivně změřit třeba množstvím spotřebovaného benzínu. Proto musí 

vyjít A = A 0 . 

Paradox se vysvětlí až vokamžiku, kdy započteme do svých úvah roli Země jako pomocného 

druhého tělesa. Problém totiž bude konzistentní, jen pokud budeme zkoumat současně pohyb 

automobilu a země podním.Označme hmotnost automobilu m aZemě M, počáteční rychlost 

automobilu a země v 1 a V 1 akonečné rychlosti v 2 a V 2. Protože obě tělesa tvoří izolovanou 

soustavu, musí platit zákon zachování hybnosti 

mv 1 + MV 1 = mv 2 + MV 2 

aenergie 

1 

2 mv2 1 + 1 2 MV 1 2 + A = 1 2 mv2 2 + 1 2 MV 2 

2 

ve všech inerciálních soustavách. Pro pozorovatele spojeného se Zemí je v 1 = v, v 2 =2v a 

V 1 =0. Odtud pak dopočteme 

V 2 = − mv 

M a A = 3 2 mv2 + m2 v 2 

2M . 

Podobně pro pozorovatele spojeného s pohybujícím se automobilem je v1 0 =0,v2 0 = v a 

V1 0 = −v. Odtud už také snadno dopočteme 

V2 0 = −v − mv 

M a A0 = 3 2 mv2 + m2 v 2 

2M . 

Voboupřípadech jsme tedy dostali stejný výsledek A = A 0 , aprotože je m ¿ M, platí 

A = A 0 ≈ 3 2 mv2 . 

Množství spáleného benzínu a množství vykonané práce je tedy přibližně rovnopráci,kterou 

správně vypočítal na zemi stojící pozorovatel. Pozorovatel v jedoucím automobilu totiž 

přehlédl, že pouze 1/3 vykonané práce motoru urychlila automobil a zbývající 2/3 urychlily 

Zemi. 

1.4 Neinerciální vztažné soustavy, setrvačné síly 

1.4.1 Setrvačné síly při posuvném pohybu 

Jak bylo několikrát zdůrazněno, Newtonovy pohybové zákony platí jen v inerciálních 

vztažných soustavách, zatímco v neinerciálních neplatí. Přesto v praxi potřebujeme 

často zkoumat pohyb těles vzhledem k takovým soustavám, které se pohybují 

zrychleně nebo rotují. Nakonec ani soustava spojená s povrchem Země neníinerciálním 

systémem, protože Země rotuje kolem své osy. Je proto víceméně nezbytné 

umět sestavit pohybovou rovnici platící v neinerciální soustavě a naším nejbližším 

cílem bude tyto pohybové rovnice najít. Využijeme přitom toho, že známe pohybové 

rovnice v inerciální soustavě.


Transformace pohybu bodu M mezi dvěma 

vztažnými soustavami S a S 0 . 

Mějme inerciální souřadnou soustavu S a dále neinerciální souřadnou soustavu 

S 0 ,kterásevůči S pohybuje čistě translačně. Mezi polohovými vektory obecného 

bodu M platí transformační vzorec r = r 0 + R, kde R = −−→ OO 0 je polohový vektor 

počátku O 0 neinerciální soustavy S 0 vzhledem k počátku O inerciální soustavy S a 

r = −−→ OM, r 0 = −−→ O 0 M. Odtud plyne transformační vzorec pro rychlosti v = v 0 + V a 

pro zrychlení 

a = a 0 + A, (1.5) 

kde a =d 2 r/d 2 t je zrychlení bodu M měřené v inerciální soustavě tělesa S, a 0 = 

d 2 r 0 /d 2 t je zrychlení stejného bodu M měřené v neinerciální soustavě S 0 a A = 

d 2 R/d 2 t je unášivé zrychlení zapříčiněné nerovnoměrným pohybem neinerciální 

soustavy. 

V inerciální vztažné soustavě S Newtonovy pohybové zákony pochopitelněplatí, 

takže pro obecné tělesomusíplatitpohybovárovnicema = F. Dosadíme-li sem za 

zrychlení a podle vzorce (1.5), dostaneme po malé úpravě hledanou pohybovou 

rovnici 

ma 0 = F + F S , kde F S = −mA. 

V neinerciální vztažné soustavě S 0 tedy pohybový zákon platí jen tehdy, když k 

síle F přidáme setrvačnou sílu F S způsobenou zrychleným pohybem neinerciální 

soustavy S 0 .Všimněte si, že setrvačná síla závisí na hmotnosti tělesa a na zrychlení 

neinerciální soustavy, má přitom přesně opačný směr než toto zrychlení. Setrvačné 

síly jsou obecně síly, které vznikají jako kinematický důsledek transformace 

souřadnic. V následujících kapitolách poznáme ještě dalšídruhysetrvačných sil. 

Setrvačné síly se označují také termínem síly zdánlivé nebo síly neskutečné 

na rozdíl od sil pravých neboli skutečných.Důvod tohoto odlišení spočívá v tom, 

že zatímco pravé síly se transformací vztažných soustav nijak nemění, setrvačné síly 

se objevují jen v neinerciálních soustavách a transformací do inerciální soustavy 

vždy vymizí. Setrvačné síly se od sil pravých dále liší v tom, že nemají původ 

v reálných tělesech, a proto k nim neexistuje příslušná silová reakce! V žádném 

případě by odtud neměl vzniknout dojem, že působení setrvačných sil je rovněž 

jen zdánlivé. O reálnosti a skutečnosti setrvačných sil svědčí každodenní zkušenost. 

Setrvačné síly s námi cloumají při rozjezdu a zabrzdění tramvaje a nutí nás pevně 

se držet madel. Setrvačných sil využíváme při setřepávání vody z vlasů, obtížného 

hmyzu z rukou nebo sloupce rtuti lékařského teploměru. A je to paradoxně tato 

zdánlivá setrvačná síla, která nás vymrští předním oknem, když narazíme autem 

prudce do stromu a která nám zláme nohy při dopadu utrženého výtahu.


1.4.2 D’Alembertův princip 

Pokud zvolíme za vztažnou soustavu neinerciální soustavu S 0 pevně spojenou s 

tělesem, bude A = a a a 0 = 0. Pohybová rovnice pak bude mít formálně tvar 

podmínky statické rovnováhy 

F + F S = 0, 

kde F S = −ma představuje setrvačnou sílu. Newtonova pohybová rovnice přechází 

na podmínku statické rovnováhy. Zavedením setrvačné síly je tedy možno dynamickou 

úlohu chápat jako úlohu statickou. Tento přístup se využívá v analytické 

mechanice jako d’Alembertův princip. 

1.4.3 Princip ekvivalence 

Pohyb volného tělesa v tíhovém poli je pohybem se zrychlením g. Spojíme-li s 

pohybujícím se tělesem neinerciální soustavu S 0 , pak je její zrychlení A = g a 

pohybová rovnice tělesa vzhledem k S 0 je 

ma 0 = G + F S = mg − mg = 0. 

Všechna volná tělesa v soustavě S 0 padající volným pádem se pohybují s nulovým 

zrychlením, jako by zde ani žádná tíže neexistovala a platí pro ně zákon setrvačnosti. 

Prakticky neexistuje způsob,jakvpadajícíkabině výtahu či kosmické 

lodi určit, zda lo d , padá v tíhovém poli volným pádem nebo se pohybuje rovnoměrně 

přímočaře daleko od všech zdrojů gravitace. Je to přímý důsledek rovnosti 

gravitační a setrvačné hmotnosti, tedy principu ekvivalence. 

Možnost zrušení gravitace vhodným zrychleným pohybem využil Albert Einstein 

roku 1916 k objevu, že ani gravitace není skutečnou silou, ale projevem 

lokálně pokřivené geometrie časoprostoru. Jiné síly, jako je například síla elektromagnetická, 

není možno takto odtransformovat. Gravitační síly jsou podle obecné 

teorie relativity stejného druhu jako síly setrvačné a závisejí na volbě vztažné 

soustavy. Teprve odchylky gravitačních sil od průměrné síly gravitační, tj. síly 

slapové, nelze volbou vhodné vztažné soustavy odtransformovat. Proto až slapové 

síly představují skutečné gravitační síly. 

Příklad 1.10 Výtah s pozorovatelem (b) se pohybuje zrychleně dolů se zrychlením A ≈ 

2 m / s 2 . S jakým zrychlením a 0 bude padat k podlaze výtahu jablko, které pozorovatel pustí 

zruky? 

Padající jablko z pohledu inerciálního pozorovatele 

(a) a neinerciálního pozorovatele ve výtahu 

(b) .


Řešení A: Z hlediska inerciálního pozorovatele (a) padá jablko se zrychlením a = g, výtah s 

pozorovatelem se zrychlením A, takže relativní zrychlení, se kterým bude padat jablko podle 

pozorovatele (b) ve výtahu, je a 0 = g − A ≈ 8 m / s 2 . 

Řešení B: Z hlediska neinerciálního pozorovatele (b) ve výtahu musíme uvážit setrvačnou sílu 

F S = −mA. Pro pohyb jablka tedy platí pohybová rovnice 

ma 0 = mg − mA, 

odtud je opět a 0 = g − A ≈ 8 m / s 2 . Bude-li výtah padat dolů volnýmpádem,tj.A = g, pak 

bude a 0 =0, jablko přestane padat a pozorovatel ve výtahu bude poci tovat , beztížný stav. 

Příklad 1.11 Po nakloněné rovině klouže bez tření kvádr. Popište pohyb kvádru, když se 

nakloněná rovina pohybuje horizontálně sezrychlenímA. 

Řešení: Popíšeme pohyb z hlediska nakloněné roviny, tj. z hlediska neinerciální soustavy. Na 

kvádr působí tíha G, reakce nakloněné roviny N asetrvačná síla −mA. Pohybová rovnice 

kvádru je tedy 

ma 0 = G sin α − mA cos α, 

takže zrychlení kvádru je rovno 

a 0 = g sin α − A cos α. 

Pro A 

g tg α se bude pohybovat nahoru proti směru nakloněné roviny. Pro zrychlení A = g tg α bude 

kvádr na nakloněné rovině v rovnováze a nebude ani klesat ani stoupat. 

Příklad 1.12 Po nakloněné rovině sesklonemα sjíždí vozík, na němž kývá kyvadlo délky l. 

Popište jeho pohyb a určete frekvenci jeho kyvů. 

Kyvadlo na vozíčku bude kývat jako v tíhovém 

poli o síle g cos α směřujícím kolmo k nakloněné 

rovině. 

Řešení:Vozíksjíždí po nakloněné roviněsezrychlenímA = g sin α atvoří tedy neinerciální soustavu. 

Na každé těleso včetně kyvadla působí navíc setrvačná síla F S = −mA = −mg sin α, 

takže spolu s tíhou dávají dohromady sílu 

N = G − mA 

směřující kolmo k nakloněné rovině amajícívelikost 

N = p G 2 − m 2 A 2 = mg cos α. 

Ta nahrazuje v neinerciální soustavě vozíku tíhu N = mg 0 apříslušné tíhové zrychlení má 

rovněž menší hodnotu 

g 0 = g cos α. 

Kyvadlo tedy bude kývat kolem rovnovážné polohy směřující kolmo k nakloněné rovině a 

frekvence kmitů kyvadla bude 

r 

ω 0 g 

0 

= = ω √ cos α. 

l 

Podobně by kapalina v nádobě vezené na vozíku zaujala hladinu rovnoběžnou s nakloněnou 

rovinou. S rostoucím sklonem nakloněnérovinybyklesalotíhovézrychleníg 0 až na nulu, které 

bychom dosáhli při volném pádu.


Příklad 1.13 Na hladkém stole leží klín o hmotnosti M asklonuα. Na jeho nakloněné stěně 

leží kvádr o hmotnosti m. Na počátku je soustava těles v klidu. Popište pohyb soustavy, 

neexistuje-li zde žádné tření. 

Popište pohyb klínu a kvádru za předpokladu, 

že zde není přítomno žádné tření, tj. ani mezi 

klínem a kvádrem, ani mezi klínem a podložkou. 

Řešení: Protože zde není žádné tření, bude se pohybovat nejen kvádr, ale i klín, a to opačným 

směrem než kvádr. Popišme pohyb v neinerciální soustavě spojené s klínem. Pouze v této 

vztažné soustavě sebudekvádrpohybovatdolůvesměru daném úhlem α. Pohybová rovnice 

kvádru je 

ma 0 = G + N − mA, 

kde A představuje inerciální zrychlení klínu. Odtud ve složkách máme první dvě rovnice 

ma 0 = mg sin α − mA cos α a 0=N − mg cos α − mA sin α. 

Zároveň z pohybové rovnice klínu (postačí horizontální složka) platí 

0=−N sin α − MA. 

Konečně mámetři rovnice pro tři neznámé N,A a a 0 , takže můžeme náš problém vyřešit. 

Dostaneme 

a 0 M + m 

= g sin α 

M + m sin 2 α , 

m sin α cos α 

A = −g 

M + m sin 2 α , N = mg cos α M 

M + m sin 2 α . 

Pro těžký klín odtud dostaneme známé výsledky 

a 0 = g sin α, A =0, N = mg cos α. 

Naopak pro velmi lehký klín odtud dostaneme 

a 0 = 

g 

sin α , 

cos α 

A = −g 

sin α , N =0. 

Pro zrychlení kvádru v inerciální soustavěplatía = a 0 +A, takže horizontální složka absolutního 

zrychlení je 

a = a 0 M sin α cos α 

cos α + A = g 

M + m sin 2 α = − MA 

m . 

Protože platí ma + MA =0, je zřejmé, že těžiště soustavyzůstane v klidu. 

1.4.4 Setrvačné síly při otáčivém pohybu 

Uvažujme nyní rotující vztažnou soustavu S 0 ,kteráseotáčí okamžitou úhlovou 

rychlostí ω vzhledem k inerciální souřadné soustavě S. Oběsouřadné soustavy 

mají navíc společný počátek O = O 0 . Rotující vztažná soustava je neinerciální, 

proto v ní můžeme očekávat setrvačnésíly.Pokusímesejenynínajít.Musímesi 

ovšem uvědomit, žesituacejenyníkomplikovanější, než tomu bylo u posuvného 

pohybu, protože při otáčeníneinerciálnísoustavyS 0 se neustále mění orientace 

souřadných os x 0 ,y 0 a z 0 vprostoru.


Absolutní rychlost v bodu M se skládá ze 

zdánlivé rychlosti v 0 vzhledem k rotující soustavě 

S 0 a z unášivé rychlosti v u = ω × r. 

Bod M je určen polohovým vektorem r, případně r 0 . Protože počátky obou 

soustav splývají, platí 

r = r 0 . 

Kdyby byl vektor r pevně spojensesouřadnou soustavou S 0 rotující rychlostí ω, 

pakbyjehočasová změna v =dr/dt byla popsána vztahem v = ω × r, který platí 

pro rotační pohyby. Protože se však vektor r může měnit i vzhledem k soustavě 

S 0 relativní rychlostí v 0 =d 0 r/dt, bude absolutní rychlost bodu M vzhledem k 

soustavě S rovna součtuobousložek 

v = v 0 + ω × r. (1.6) 

Absolutní rychlost v =dr/dt bodu M vzhledem k inerciální soustavě S se tedy 

skládá z rychlosti relativní v 0 =d 0 r/dt měřené vzhledem k rotující soustavě S 0 a 

z rychlosti unášivé v u = ω×r dané samotnou rotací soustavy S 0 vůči S. Výsledek 

(1.6) je možno přepsat do univerzálního tvaru 

dr 

dt = d0 r 

dt + ω × r. 

Stejný transformační vzorec totiž platí nejen pro polohový vektor r, ale pro libovolnývektor.Platíprotoiprovektorrychlostiv, 

takže můžeme napsat analogicky 

dv 

dt = d0 v 

dt + ω × v. 

Akdyž sem dosadíme za rychlost podle vzorce (1.6), dostaneme 

a = d0 

dt (v0 + ω × r)+ω × (v 0 + ω × r) . 

Odtud po odstranění závorek dostaneme 

a = d0 v 0 

dt + d0 ω 

dt × r + ω × d0 r 

dt + ω × v0 + ω × (ω × r) 

a po jednoduché úpravě mámekonečný výsledek pro transformaci zrychlení 

a = a 0 +2ω × v 0 + ω × (ω × r)+ε × r, (1.7)


kde ε =d 0 ω/dt =dω/dt je vektor úhlového zrychlení rotace soustavy S 0 . Obě 

úhlová zrychlení jsou skutečně totožná, nebo tplatí 

, 

dω 

dt = d0 ω 

dt + ω × ω = d0 ω 

dt . 

Výsledek (1.7) prakticky říká, že absolutní zrychlení a =dv/dt je opět rovno 

součtu relativního zrychlení a 0 =d 0 v/dt a unášivého zrychlení a u =2ω × 

v 0 + ω × (ω × r)+ε × r, které má tentokrát mnohem komplikovanější strukturu. 

Ztransformačního vzorce pro zrychlení již snadno najdeme hledanou pohybovou 

rovnici v rotující souřadné soustavě S 0 . Platí-li v inerciální soustavě S pohybová 

rovnice ma = F, pak po vynásobení rovnice (1.7) hmotností m tělesa a po malé 

úpravě dostaneme hledanou pohybovou rovnici 

ma 0 = F + F C + F O + F E , 

kde F je reálná síla působící na těleso, zatímco zbývající tři síly jsou zřejmě síly 

setrvačné. První ze setrvačných sil 

F C = −2mω × v 0 

je síla Coriolisova, druhásetrvačná síla 

F O = −mω × (ω × r) 

je síla odstředivá a konečně třetí setrvačná síla 

F E = −mε × r 

je síla Eulerova. Všechny tři uvedené síly jsou silami setrvačnými, tj. inerciálními, 

nepravými nebo také zdánlivými, protože jsou jen kinematickým důsledkem rotace 

vztažné soustavy a ne výsledkem silového působení reálného tělesa. 

Velmi často zkoumáme rovnoměrnou rotaci ω = konst, vtompřípadě bude 

úhlové zrychlení rovno nule ε = 0. Pak bude Eulerova síla rovněž rovnanulea 

zbudou jen dvě nenulovésetrvačné síly, tj. síla Coriolisova a síla odstředivá. 

1.4.5 Odvození pomocí souřadnic 

Pro hlubší pochopení setrvačných sil nabízíme ještě jedno odvození stejných vzorců, 

které vychází z přepisu vektorů do kartézských složek a jednotkových vektorů. 

Poloha libovolného bodu M je dána vektorem r, jeho souřadnice v S jsou x i av 

S 0 jsou x 0 i . Díky takové volbě vztažných soustav, kdy obě mají stejný počátek 

O = O 0 ,platír = r 0 , kde 

r = 

3X 

x i e i a r 0 = 

i=1 

3X 

x 0 i e0 i . (1.8) 

Vobousouřadných soustavách jsou pochopitelně souřadnice x i a x 0 i stejného bodu 

M různé. Vektor e 0 1 představuje jednotkový vektor ve směru osy x 0 , e 0 2 jednotkový 

i=1


vektor osy y 0 a e 0 3 jednotkový vektor osy z 0 .Hledámetransformační vztahy pro 

převod rychlostí a zrychlení mezi oběma soustavami S a S 0 .RychlostboduM 

můžeme najít derivací prvního z výrazů pror v (1.8). Dostaneme tak 

v = ṙ = 

3X 

ẋ i e i = 

i=1 

3X 

v i e i , 

kde v i = ẋ i jsou souřadnice vektoru rychlosti v inerciální soustavě S. Stejnětak 

můžeme zderivovat i vzorec pro r 0 v (1.8), nesmíme ovšem zapomenout, že jednotkové 

vektory e 0 i už nejsou konstantní vektory, ale vektory, které se otáčí spolu s S0 . 

Jednotkový vektor e 0 i se otáčejí spolu se soustavou S 0 úhlovou rychlostí ω, platí 

proto vzorec 

Nyní už můžeme dopočíst rychlost 

v = ṙ 0 = 

ė 0 i = ω × e0 i . 

i=1 

3X 

3X 

(ẋ 0 i e0 i + x0iė0 i )= (ẋ 0 i e0 i + x0 i ω × e0 i ) . 

i=1 

To je hledaný transformační vztah mezi rychlostmi, který je možno pomocí (1.8) 

přepsat do vektorového tvaru 

i=1 

v = v 0 + ω × r, 

kde v 0 = P 3 

i=1 ẋ0 i e0 i je relativní rychlost bodu M vzhledem k rotující soustavě S 0 

a v 0 i = ẋ0 i představují složky této relativní rychlosti. Výraz v u = ω × r představuje 

unášivou rychlost. Nyní, abychom dostali zrychlení, přikročme ke druhé derivaci 

podle času. Jednoduchými úpravami dostaneme 

a = ¨r = ¨r 0 = 

3X 

[ẍ 0 ie 0 i +2ω × ẋ 0 ie 0 i + ω × (ω × x 0 ie 0 i)+ ˙ω × x 0 ie 0 i] . 

i=1 

Absolutní zrychlení tedy obsahuje celkem čtyři složky zrychlení 

a = a 0 +2ω × v 0 + ω × (ω × r)+ε × r 

zcela v souladu s již dříve odvozeným vzorcem (1.7). 

1.4.6 Odstředivá síla 

Obvykle nejvýznamnější setrvačnou silou spojenou s rotací vztažné soustavy je 

síla odstředivá neboli síla centrifugální. Jetosetrvačná síla, kterou známe z 

kolotoče nebo z průjezdu prudkou zatáčkou. Pro odstředivou sílu jsme odvodili 

vzorec 

F O = −mω × (ω × r) .


Pro větší názornost jej upravíme zavedením kolmého průmětu r ⊥ vektoru r do 

roviny kolmé k ose rotace ω. Pomocí vzorce o dvojitém vektorovém součinu dostaneme 

F O = −mω × (ω × r ⊥ )=−m (ω · r ⊥ ) ω + m (ω · ω) r ⊥ . 

První člen se však rovná nule, a proto pro odstředivou sílu platí vzorec 

F O = mω 2 r ⊥ . 

Odstředivá síla je tedy kolmá k ose rotace a je orientována ve směru průvodiče 

r ⊥ , tj. působí směrem ven od osy otáčení. Z této její vlastnosti byl odvozen i její 

název odstředivá neboli centrifugální síla. Všimněte si, že odstředivá síla nezávisí 

na relativní rychlosti v 0 bodu M vzhledem k rotující soustavě S 0 , takže se týká 

všech těles včetně těch, která jsou v soustavě S 0 v klidu. 

Odstředivá síla F O působí jen v rotujících 

vztažnýchsoustaváchamásměr rovnoběžný s 

průmětem průvodiče r ⊥ kolmým k ose rotace 

ω. 

Pro velikost odstředivé síly můžeme odvodit rovněž vzorec 

F O = mv2 u 

r ⊥ 

, 

kde v u = ωr ⊥ je unášivá rychlost bodu M,kterýsenacházívevzdálenostir ⊥ od osy 

otáčení. Vzorec připomíná podobný vzorec pro dostředivou sílu. Síla odstředivá se 

od síly dostředivé liší nejen opačným směrem působení, jak je zřejmé z jejich názvů, 

ale především svou podstatou. Odstředivá síla je silou inerciální, objevuje se jen v 

neinerciálních rotujících soustavách a nemá původ v jiném tělese. Dostředivá síla je 

naopak silou pravou a má svůj původ v silovém působení jiného tělesa, například 

provázku, který těleso na kruhové dráze drží. Odstředivá síla nezávisí na rychlosti 

pohybu tělesa, ale jen na úhlové rychlosti rotující vztažné soustavy a na vzdálenosti 

od osy otáčení. Je proto stejná pro pohybující se těleso i pro těleso v klidu. Naopak 

síla dostředivá závisí na absolutní rychlosti tělesa a pro nehybné těleso je rovna 

nule. 

Pro představu, odstředivé zrychlení působící na pilota formule 1 projíždějícího 

zatáčkou o poloměru 100 m rychlostí 360 km / h dosahuje asi 10g, což jehodnota 

vážně ohrožující i při krátkodobém působení lidské zdraví. Takové přetížení je 

schopno vyvolat ztrátu vědomí nebo poškození měkkých tkání a cév. S podobnými 

přetíženími se setkávají i piloti vojenských a akrobatických letadel a kosmonauti. 

Aby se snížil odliv krve do dolních končetin, používají piloti speciální pružné 

kombinézy a pokud to jde, zaujímají co nejvíce horizontální polohu. K nácviku podobných 

situací se používá centrifugy jako speciálního simulátoru. Ke ždímání 

prádla se používá ještě větších odstředivých zrychlení, řádově až 100g. Vbiochemických 

laboratořích se užívá k urychlení sedimentace krve a suspenzí odstředivka 

se zrychlením až 10 4 g.


Odstředivými silami a jejich vlastnostmi se poprvé zabýval Giovanni Battista 

Benedetti v 16. století. Vzorec pro velikost odstředivé a dostředivé síly odvodil 

roku 1673 Christian Huygens v díle Horologium oscillatorum, kteréjevěnované 

především kyvadlovým hodinám. 

Příklad 1.14 Příklad 1.15 Spočtěte nejvyšší možnou rychlost chůze člověkanaZemiana 

Měsíci. 

Řešení: Při chůzi člověka hraje důležitou roli odstředivá síla. Chůzejepohyb,při kterém se 

člověk neustále dotýká alespoň jednounohouzemě. Chůzejevlastněneustálezadržovaný pád. 

Pohyb těla je možno během jednoho kroku chápat jako otáčení těla kolem bodu dotyku nohy 

se zemí. Označíme-li vzdálenost těžiště člověka a bodu dotyku se zemí l, pak těžiště člověka 

opisuje při každém kroku kruhový oblouk o poloměru l, aprotonaněj působí odstředivá síla 

F O = mv 2 /l. Pokud tato síla překročí tíhu člověka G = mg, bude se člověk odrážet od země 

ajehochůze se změní v běh. Z podmínky F O = G dostaneme na Zemi 

v max = p gl ≈ 3 m / s ≈ 11 km / h . 

Tolik činí maximální rychlost chůze člověka na Zemi. Závislost na výšce těžiště l také objasňuje, 

proč dítěneudrží s rodičem krok, ale musí za ním neustále dobíhat. Protože na Měsíci je asi 

6× menší gravitace, bude zde rychlost chůze asi 2.5× menší 

v max ≈ 1 m / s ≈ 4. 5km/ h . 

Tato nezvykle malá mezní rychlost chůze nutila astronauty po Měsíci spíše poskakovat, než 

přirozeně chodit. 

Příklad 1.16 Cyklista o rychlosti v vjede do zatáčky o poloměru R. Určete úhel α, okterýse 

musí naklonit, aby projel bezpečně zatáčkou a maximalní rychlost, aby přitom ještě nedostal 

smyk. 

Cyklista (a) se musí v zatáčce (b) naklonit o úhel 

α, aby bezpečně projelzatáčkou. 

Řešení: Úlohu pohodlně vyřešíme v neinerciální vztažné soustavě spojené s cyklistou, tím se 

úloha stane problémem statiky. Na cyklistu zde kromě tíhyG = mg působí v těžišti T také 

odstředivá síla F O působící směrem ven ze zatáčky a reakce silnice, tj. její normálová N a 

tečná T složka působí v bodě O dotyku pneumatiky s vozovkou. Z podmínky rovnováhy sil 

G + F O + N + T = 0 máme hned výsledek 

T = F O = mv 2 /R a N = G = mg. 

Aby tyto čtyři síly mohly být skutečně v rovnováze, musí se navíc cyklista naklonit dovnitř 

zatáčky o vhodný úhel α. Velikost naklonění dostaneme z podmínky rovnováhy otáčivých 

momentů všech působících sil vzhledem k bodu O, tj. 

M O = Ga sin α − F Oa cos α =0, 

kde a = |OT| . Odtud máme pro sklon cyklisty vzorec 

tg α = F O 

G = v2 

gR , 

zněhož je patrné, že při vyšší rychlosti v se musí cyklista také více naklonit. Ovšem při 

příliš rychlém průjezdu zatáčkou může cyklista dostat smyk. K tomu dojde v okamžiku, kdy


odstředivá síla překročí velikost síly tření mezi pneumatikami kola a vozovkou. Protože pro sílu 

tření platí T ≤ fN, kde f je součinitel tření, musí být pro bezpečnou jízdu zatáčkou splněna 

podmínka mv 2 /R < fgm, a odtud máme podmínku 

v

pro největší rychlost zaručující bezpečný průjezd zatáčkou. 

Příklad 1.17 Určete nejmenší rychlost potřebnou k tomu, aby těleso mohlo obíhat kolem 

Země jakojejíumělá družice. Výšku atmosféry zanedbejte. 

Řešení: Zpohledudružice obíhající kolem Země je nutné, aby odstředivá síla překonala přitažlivou 

dostředivou tíhu. Z podmínky F O = G nalezneme vzorec pro rychlost 

v I = p gR Z =7.9km/ s, 

která se nazývá první kosmická rychlost akdeR Z ≈ 6378 km je poloměr Země. 

Ilustrace k úloze. Satelit nespadne, protože gravitační 

sílu kompenzuje síla odstředivá. 

Příklad 1.18 Kuličkasepohybujevolněbeztření v drážce uvnitř kruhové obruče poloměru R. 

Určete rovnovážnou polohu kuličky v závislosti na rychlosti rotace ω obruče kolem vertikální 

osy jdoucí středem obruče. 

Kulička K se pohybuje bez tření v drážce kruhového 

prstence poloměru R. Prstenecrotujekolem 

osy o stálou úhlovou rychlostí ω. Máme najít 

rovnovážnou polohu kuličky. 

Řešení: KromětíhyG = mg působí na kuličku odstředivá síla F O = mω 2 R sin α, kde α je 

úhel vychýlení kuličky z nejnižšího bodu a normálová reakce obruče N. Všechny tři síly budou 

v rovnováze pro takový úhel α, prokterýplatí 

tg α = FO G = ω2 R sin α 

. 

g 

Odtud dostaneme dvě možná řešení 

α =0 nebo cos α = g 

ω 2 R ≤ 1. 

Obě řešení nemohou platit současně. První řešení α =0je stabilní pro pomalou rotaci ω 2 R ≤ 

g, kteránestačí vychýlit kuličku z rovnovážné polohy. Druhé řešení cos α = g/ω 2 R je naopak 

stabilní jen pro dostatečně rychlou rotaci, kdy je ω 2 R>g. 

Příklad 1.19 Navrhněte bezpečnou výšku h horské dráhy ABCBD tak,abyjíprojelvozíks 

cestujícími bezpečně aždoboduD. Poloměr kruhové části dráhy je R =20m .


Ilustracehorskédráhykúloze. 

Řešení: Kritickým bodem dráhy je bod C, kde hrozí, že cestující z vozíku vypadnou. Aby k 

tomu nedošlo, musí zde působit dostatečně velikáodstředivá síla F O = mv 2 /R, která bude 

větší než velikosttíhyG = mg. Podmínka bezpečnosti tedy zní 

v 2 >gR. 

Nyní spočteme závislost rychlosti v na výšce horské dráhy h. Ze zákona zachování energie pro 

bod C platí 

mgh =2mgR + 1 2 mv2 , 

odtud 

v 2 =2gh − 4gR, 

tudíž podmínkabezpečnosti je 

h> 5 2 R =50m . 

Dráha musí být vysoká nejméně 50 metrů. 

Příklad 1.20 Na vrchol koule A dopadají malá zrnka písku. Zrnka kloužou bez tření po kouli 

a padají na zem v bodě C. Určete vzdálenost bodu C od bodu D. 

Na kouli o poloměru R padají zrnka písku v bodě 

A. V jaké vzdálenosti d od bodu dotyku D koule 

spodložkou budou zrnka písku dopadat na zem? 

Řešení: Zrnkamajívbodě A nulovou rychlost. Kloužou po povrchu koule bez tření až do 

bodu B, kde se od povrchu koule oddělí a padají volným pádem po parabole BC do bodu C. 

Bod B odpovídá místu, kde odstředivá síla bude právě rovna normálové složce tíhy 

mv 2 

= mg cos θ. 

R 

Zároveň ze zákona zachování mechanické energie plyne 

1 

2 mv2 = mgR (1 − cos θ) , 

odtud je v bodě B 

cos θ = 2 r 

2 

a v = 

3 

3 gR. 

Pro volný pád BC, tj. šikmý vrh pod úhlem −θ, pak platí 

vt sin θ + 1 2 gt2 = R (1 +cosθ) 

a 

vt cos θ = d − R sin θ.


Z první rovnice spočteme dobu pádu zrnek písku 

t = 1 ³ 

10 √ 3 − √ ´ r r 

R 

R 

30 

9 

g ≈ 1. 316 g , 

a ze druhé pak hledanou vzdálenost 

d = 5 ³√ √ 

5+4 2´ 

R ≈ 1. 462R. 

27 

Příklad 1.21 Kulička K je zavěšena na nehmotném provázku délky l a ten je upevněn v 

bodě O. Rovnovážná poloha kuličky je určena bodem B. Kulička byla vychýlena z rovnovážné 

polohy a puštěna z bodu A. Vmístě H ležícím uprostřed svislé úsečky OB je zaražen hřeb. 

Popiště pohybkuličky a maximální výšku, které kulička dosáhne. 

Pohyb kuličky K zavěšené na provázku délky l v 

místě O a omezené ve svém pohybu hřebem H 

je složenzedvoukruhovýchoblouků AB a BC 

aparabolyCDK. 

Řešení: Vprvnífázisekulička pohybuje po kružnici AB opoloměru l až vbodě B dosáhne 

rychlosti v = √ 2gl. Pak se stane středem otáčení hřeb H, takže se kulička bude pohybovat 

po kružnici BC opolovičním poloměru l/2. Když kulička dosáhne bodu C, rychlosti v 1 a 

výšky h 1, přestane být provázek napjatý, protože odstředivá síla mv 2 1/ (l/2) zdebudemenší 

než normálovýprůmět tíhy mg cos θ. Protože z geometrie je cos θ =2h 1 /l − 1 azezákona 

zachování energie je rychlost kuličky v 1 = p 2g (l − h 1), dostaneme odtud 

h 1 = 5 6 l, cos θ = 2 r 

1 

a v 1 = 

3 

3 gl. 

Kulička pokračuje dále šikmým vrhem po parabole CDK. Napětíprovázkusenyníneuplatní, 

protože provázek není napjat. V bodě C má počáteční rychlost v 1 ve směru tečny, tj. ve směru 

θ. Vrcholu D příslušné paraboly kulička dosáhne ve výšce 

h 2 = h 1 + v2 1 

2g sin2 θ = 25 

27 l. 

1.4.7 Coriolisova síla 

Druhá setrvačnásíla,kterásevrotujícívztažné soustavě objevuje, je mnohem 

méně známá,ačkoliv její vliv na dění na Zemi je mnohem zajímavější než vliv síly 

odstředivé. Nazývá se Coriolisova síla a odvodili jsme pro ni vzorec 

F C = −2mω × v 0 . 

Coriolisova síla závisí na rychlosti v 0 ,sekterousetěleso v rotující soustavě pohybuje. 

Je-li těleso v klidu anebo se pohybuje rovnoběžně s osou otáčení, žádná 

Coriolisovasílananěj nepůsobí. Coriolisova síla působí vždy kolmo na směr pohybu 

tělesa, a jde tedy o sílu gyroskopickou. Vzhledem k vektorovému součinu je 

jasné, že Coriolisova síla má největší vliv na pohyby kolmé na osu otáčení. Coriolisovu 

sílu a její význam v mechanice objevil až roku 1831 Gustave-Gaspard 

Coriolis.


Inerciální pozorovatel (sedící v domečku) vidí, 

jak střela letí rovně směrem k domu, ale terč 

se spolu s talířem pootočil doleva o x = ωtr. 

Ukážeme si ještě jedno, fyzikálně možná názornější,odvozeníCoriolisovysíly. 

Střelec S sedí uprostřed velkého talíře gramofonu o poloměru r, kterýseotáčí proti 

směru pohybu hodinových ručiček stálou úhlovou rychlostí ω. Vurčitém okamžiku 

střelec vystřelí z pušky na terč T , který se nachází na okraji talíře. Z hlediska inerciálního 

pozorovatele (sedícího v domečku) se nic mimořádného neděje. Projektil 

letí rovně rychlostív azadobut urazí vzdálenost r = vt. Terčsevšakotáčí, a 

proto jej střelamine.Místotoho,abyprojektilzasáhlterčvbodě T, zasáhne jiný 

bod A na okraji talíře, a to jednoduše proto, že talíř se za dobu t pootočil doleva 

oúhelφ = ωt. Kulka tedy mine terč T zprava o délku oblouku 

x = φr = ωvt 2 . (1.9) 

Neinerciální pozorovatel (sedící uprostřed talíře) 

pozoruje, jak na střelu během letu působí 

Coriolisova síla, která ji odklání doprava. 

Proto také střela nakonec mine terč T zprava 

aproletíbodemA. 

A jak vysvětlí svůj střelecký neúspěch střelec, tj. neinerciální rotující pozorovatel? 

Především si všimne, že dráha střely vůbec nebyla přímá, ale znatelně 

zakřivená. To je také důvod, proč jehostřela nezasáhla terč T ,alebodA necházející 

se vpravo od terče. Zakřivení dráhy střely vysvětlí působením Coriolisovy 

síly F C ,kteránastřelu během letu působí a která jí uděluje zrychlení a C = F C /m 

kolmé k rychlosti v. Zadobut se tedy střela odchýlí od terče T doprava o délku 

oblouku 

x = 1 2 a Ct 2 = F C 

2m t2 . (1.10) 

Vzdálenost dvou bodů nezávisí na volběvztažnésoustavy,protoseobapozorovatelé 

musejí na odchylce střely x shodnout. Oba vzorce (1.9) a (1.10) mohou platit 

současně jen tehdy, pokud bude Coriolisova síla rovna 

F C =2mωv


aprávětojsmechtěli dokázat. 

1.4.8 Setkání s Rámou 

Ve slavném románu Setkání s Rámou popisuje autor Artur C. Clark dobrodružství 

astronautů při prozkoumávání nitra obrovské kosmické lodi mimozemského 

původu. Lo d, , která dostala od pozemš tanů , jménoRáma, má tvar válce o poloměru 

R ≈ 20 km akolemsvéosyrotujetak,abynavnitřním obyvatelném povrchu válce 

vzniklo odstředivé zrychlení stejné velikosti, jako je tíhové zrychlení g ≈ 10 m / s 2 

na Zemi. Rotující kosmická lo d , slouží jako ideální model ke studiu setrvačných 

sil, jako jakási neinerciální laboratoř apřiměje vás promýšlet s autorem všechny 

možné důsledky rotace. Román vám vřele doporučuji, protože jde o jeden z mála 

fantastických románů, v němž autoržádné fyzikální zákony neporušuje. 

Nejprve spočtěme rychlost rotace lodi z podmínky rovnosti odstředivého a tíhového 

zrychlení ω 2 R = g. Dostaneme 

ω ≈ 

r g 

R ≈ 2. 24 × 10−2 s −1 , 

takže lo , dseotočí kolem své osy jednou za necelých pět minut. Obvodová rychlost 

lodi je přitom značná 

v D = ωR = p gR ≈ 447 m / s, 

a je srovnatelná s obvodovou rychlostí rotace Země! Proto by nešlo přistát a vstoupit 

do lodi na jejím okraji a astronauti vstupují dovnitř lodivbodě S ležícím na 

ose.Pakstoupajíradiálněodosysměrem k vnitřnímu povrchu válce D, nejprve 

po jakýchsi požárních tyčích, později po žebříku a nakonec po schodišti, tak jak 

postupně narůstá odstředivá síla a hustota atmosféry v lodi. Během cesty upadne 

jednomu astronautovi v bodě A svítilna, když seprávě nacházel zhruba ve vzdálenosti 

a ≈ 1km od osy. Popišme, co se bude se svítilnou dále dít. 

Řez kosmickou lodí rotující kolem osy S. Žebřík 

spojuje radiálně bodyS a D. Zpohledu 

inerciálního pozorovatele opisuje upuštěná svítilna 

přímku AP. Z pohledu astronautů opisuje 

spirálu ABCQ. 

Z pohledu inerciálního pozorovatele je vše docela prosté: svítilna se po upuštění 

bude vzdalovat od astronauta setrvačností po tečně AP stálou rychlostí v A ≈ ωa ≈ 

22 m / s až nakonec narazí na vnitřní povrch lodi v bodě P . K tomu dojde za čas 

√ s 

R2 − a 

t ≈ 

2 

≈ 

ωa 

R 3 

≈ 14. 86 min. 

ga2


Za tu dobu se Ráma pootočí o úhel 

φ = ωt ≈ R a =20rad, 

takže udělá asi 3. 18 otoček kolem osy. Astronaut A bude přitom stále rotovat po 

kružnici o poloměru a. Na povrch válce narazí svítilna v bodě P rychlostí v A ,ale 

ten se sám pohybuje rychlostí v D , takže následek srážky bude dosti nebezpečný. 

Popis pohybu svítilny v neinerciální soustavě jekomplikovanější. Uplatňuje se 

tu jak odstředivá, tak i Coriolisova síla. Svítilna opisuje vzhledem k rotující lodi 

a z pohledu astronautů spiráluACDQ. Během letu svítilna dvakrát nebezpečně 

ohrozí astronauty na žebříku, a to v bodech B a C, kdy je mine rychlostí 150 m / s 

a 300 m / s! Na vnitřní povrch válce narazí svítilna v bodě Q. Dopadne na něj téměř 

tečně, a to obrovskou rychlostí kolem 450 m / s, samozřejmě pokud zanedbáme odpor 

vzduchu. Myslím, že z toho všeho je také jasné, co by se přihodilo neš tastnému 

, 

astronautovi, kdyby se neopatrně pustilžebříku. 

Kdybychom zavedli souřadnou soustavu s osami na počátku zorientovanými 

tak, že osa x odpovídá směru žebříku SD aosay směru SP, pak dráha svítilny 

bude v inerciální soustavě dánarovnicemi 

x = a, 

y = ωat, 

zatímco v rotující soustavě spojené s Rámou bude dána podstatně komplikovanějšími 

rovnicemi 

x 0 = a (cos ωt + ωt sin ωt) , y 0 = a (ωt cos ωt − sin ωt) . 

1.5 Pohyb na rotující Zemi 

1.5.1 Tíhové zrychlení 

Protože Země rotuje kolem své osy, je vlastně povrchZeměrovněž neinerciální 

rotující soustavou a při popisu pohybů z pohledu pozemského pozorovatele musíme 

se setrvačnými silami počítat. Na volně padajícítěleso na rotující Zemi tedy působí 

celková síla 

F = F G + F O + F C , 

kde F G je gravitační síla, F O je odstředivá síla a F C je Coriolisova síla. Na nehybnou 

olovnici Coriolisova síla nepůsobí, působínanitedyjensíla 

G = F G + F O , 

které říkáme tíha. To,čemu běžně říkáme tíhové zrychlení, jetedysoučet intenzity 

gravitačního pole K aodstředivého zrychlení a O 

g = G m = K + a O.

1.5. POHYB NA ROTUJÍCÍ ZEMI 41 

Změření volného pádu již víme, že tíhové zrychlení je zhruba g ≈ 10 m / s 2 . 

Jakvelkýpodílztohotvoří odstředivé zrychlení můžeme snadno spočíst. Země se 

otočí kolem své osy jednou za hvězdný den T ,kterýjeasio4minutykratšínež 

běžný sluneční den trvající 24 hodin. Úhlová rychlost rotace Země jetedyrovna 

Ω = 2π 

T ≈ 7. 3 × 10−5 s −1 . 

Ikdyž jde o zdánlivě malou rychlost rotace, má měřitelné důsledky, jak dále uvidíme. 

Rotaci Země odpovídá na rovníku obvodová rychlost o velikosti 

v = ΩR Z ≈ 460 m / s ≈ 1700 km / h, 

která tedy překračuje dokonce o 40 % rychlost zvuku! Nemůžeme se proto příliš 

divit, že tak divokou rotaci planety nebyla středověká věda ochotna připustit. 

Odstředivá síla roste od pólů k rovníku, a 

proto je Země na pólech zploštělá. Přibližně 

má Země tvarrotačního elipsoidu. 

Odstředivé zrychlení je největší na rovníku, kde činí 

a O = Ω 2 R Z ≈ 3. 4 × 10 −2 m / s 2 . 

Odstředivé zrychlení je tedy relativně malé a tvoří jen tři promile z tíhového zrychlení. 

Vliv odstředivé síly na volný pád těles je příliš malý, než abychom jej mohli 

registrovat v běžném životě. Malá změna ve velikosti tíhy je však zjistitelná například 

ze zpomalení chodu kyvadlových hodin. Tíhové zrychlení se skutečně několik 

staletí měřilo z doby kyvu reverzního kyvadla, dnes se k měření odchylek tíhového 

zrychlení využívá spíše pohybů satelitů. 

Pokud by Země měla tvar koule, mělo by být na pólech tíhové zrychlení rovno 

g p = K a na rovníku g e = K − a O . Jejichpodílbytedyměl být 1.0034, zatímco 

pozorovaný podíl činí 1.0053. Rozdíl je možno vysvětlit tím, že Země nemátvar 

koule, ale je na pólech zploštělá. Měřením na všech možných místech Země a jejich 

zprůměrováním bylo zjištěno, že tíhové zrychlení uhladinymoře je přibližně 

popsáno mezinárodním vzorcem 

g = g e 

¡ 1+γ2 sin 2 φ + γ 4 sin 4 φ ¢ , 

kde g e =9.78032 m / s 2 je tíhové zrychlení na rovníku, φ je zeměpisná šířka a konečně 

γ 2 =0.005278 a γ 4 =0.000023 jsou korekční koeficienty. Tíhové zrychlení 

na rovníku je tedy rovno g e ≈ 9.78 m / s 2 anapólechjerovnog p ≈ 9.83 m / s 2 . V 

našich zeměpisných šířkách je g ≈ 9.81 m / s 2 . Tíhové zrychlení zároveň klesá s nadmořskou 

výškou, protože se vzdalujeme od středu Země. Pokles činí asi 0.003 m / s 2


na každý kilometr, což je v naprostém souladu s Newtonovým gravitačním zákonem, 

podle něhož gravitaceubývásečtvercem vzdálenosti. 

Protože Země obíhá kolem Slunce po kruhové dráze, mohli bychom se ptát, zda 

s tímto pohybem spojená odstředivá síla nemá rovněž vliv na tíhové zrychlení? 

Její velikost a O ≈ 6 × 10 −3 m / s 2 je totiž jenpětkrát menší než odstředivá síla 

způsobená rotací Země! Odpově d , zní, že tato odstředivá síla nemá na dění na 

Zemi žádný vliv, protože je dokonale kompenzována stejně velikou gravitační silou, 

jíž nás k sobě Sluncepřitahuje. Země sevůči Slunci nachází v beztížném stavu, 

podobně jakokosmickálo d , s kosmonauty kroužícími kolem Země. 

Příklad 1.22 Spočtěte zpomalení chodu kyvadlových hodin na rovníku oproti Olomouci φ ≈ 

50 ◦ . 

Řešení: Doba kyvu matematického kyvadla délky l je dána vzorcem T = π p l/g. VOlomouci 

je g =9.81 m / s 2 , zatímco na rovníku je g e ≈ 9.78 m / s 2 . Perioda hodin na rovníku je tedy 

T e/T = p g/g e ≈ 1. 001 533 krát delší, takže hodiny se tam budou zpož dovat. , Za celý den 

bude zpoždění rovno 

∆T = 

µ 

Te 

T − 1 

dne ≈ 2. 2 minuty. 

1.5.2 Tvar Země 

Kromě změny velikosti tíhy způsobuje odstředivá síla i drobnou změnu směru tíhy. 

Pokud bychom Zemi pokládali za nehybnou kouli, měla by tíha směřovat do středu 

Země. V důsledku rotace Země však tíha v mírných pásmech nesměřuje přesně do 

středu Země, ale odklání se mírně směremkrovníku.Jemožno ukázat, že tato 

odchylka by měla být rovna 

δ ≈ Ω2 R Z 

2g 

sin 2φ 

anejvětší by měla být ve středních zeměpisných šířkách (φ ≈ 45 ◦ ), kde by měla 

odchylka dosahovat δ ≈ 6 0 . Ve skutečnosti činí tato odchylka až 11 0 . Je to opět 

proto, že Země jeuvnitř tekutá a deformuje se vlivem odstředivých sil. Země proto 

nemá tvar koule, ale spíše rotačního elipsoidu, kterýjezploštěn na pólech. 

Zploštění Země na pólech teoreticky předpověděl roku 1687 Isaac Newton, 

odvolal se mimo jiné i na zpomalení chodu kyvadlových hodin o dvě apůl minuty 

za den, které pozoroval v rovníkové Guyaně roku 1672 Jean Richer. 

Tvar Země jemožno proměřit, ale nestačí tu geometrické prostředky, protože 

zemský povrch je velice nerovný. Za tvar Země je proto nutno vzít ideální plochu, 

kterou dostaneme spojením všech elementárních horizontálních rovin. Jejich 

směr je určen fyzikálně zesměru tíhového pole. Směr olovnice tedy definuje místní 

vertikální směr a horizontální rovinu. Taktodefinovaná ideální plocha se nazývá 

geoid. Jde o ekvipotenciální plochu gravitačního a odstředivého potenciálu 

a odpovídá také neporušené hladině moří. Ukazuje se, že geoid je jen ve hrubém 

přiblížení roven rotačnímu elipsoidu a místy se od něj odchyluje až o±100 m.


Tvar Země fyzikálně definují svislice, které 

geoid protínají všude kolmo. 

Také zeměpisná šířka φ je definována fyzikálně a ne geometricky. Je to úhel, 

který svírá zemská osa (najde se astronomickými měřeními) a horizontální rovina 

(najde se pomocí olovnice). Jen přibližně jetotožná s geocentrickou šířkou (úhel 

]ASC na dalším obrázku), se kterou by splynula, pokud by Země měla tvar koule. 

Směr tíhového pole (vertikála) v bodě A nesměřuje 

do středu Země S, ale do bodu C. Odklon 

δ závisí na zeměpisné šířce φ místa A. 

Pokud bychom se omezili na tvar rotačního elipsoidu, stačí proměřit tvar a zakřivení 

jediného poledníku. Geometrická délka ∆l části poledníku se změří triangulačně 

narůzných zeměpisných šířkách a jejich úhlová vzdálenost ∆φ astronomicky. 

Z jejich podílu se určí místní poloměr křivosti r (φ) =∆l/∆φ. Odtud pak můžeme 

vypočíst tvar a zploštění Země, nebo t , parametrické rovnice poledníku jsou 

x = − 

Z φ 

0 

r (φ)sinφ dφ a y = 

Z φ 

0 

r (φ)cosφ dφ. 

Jak jsme uvedli, je možno určit tvar Země astronomickými a geodetickými měřeními. 

Z těchto měření vychází, že Země má zhruba tvar zploštělého rotačního 

elipsoidu, jehož rovníkový poloměr měří R e ≈ 6378 km a poledníkový poloměr měří 

R p ≈ 6357 km. Rovníkový poloměr je tedy o 21 km větší než poledníkový poloměr 

a geometrické zploštění Země jeprotorovno 

ε = R e − R p 

≈ 1 

R e 298 . 

Odtud je délka ¡ rovníku o e ≈ 2πR e ≈ 40 074 km, zatímco délka poledníku je 

o p ≈ 2πR e 1 − 

1 

2 ε¢ ≈ 40 007 km . Rovník je tedy o 67 km delší než poledník. Povrch 

Země měří S ≈ 4πRe 

2 1 − 

¡ 

2 

3 ε¢ ≈ 5. 101 × 10 8 km 2 aobjemZemějeV ≈ 

4 

3 πR3 e (1 − ε) ≈ 1. 083×10 12 km 3 ¡ 

, odtud je střední poloměr Země R ≈ R e 1 − 

1 

3 ε¢ ≈ 

6371 km . 

Za předpokladu, že Země má tvar rotačního elipsoidu, vyjde pro poloměr poledníkové 

křivosti v závislosti na zeměpisné šířce vzorec 

r (φ) = 

R 2 e R2 p 

¡ R 

2 e cos 2 φ + R 2 p sin 2 φ ¢ 3/2 .


Pro rovník tedy je r (0 ◦ )=R 2 p /R e apropóljer (90 ◦ )=R 2 e /R p.Jejichpoměr je 

roven 

r (90 ◦ ) 

r (0 ◦ ) = R3 e 

Rp 

3 ≈ 1+3ε ≈ 1.010. 

Ve stejném poměru jsou geometrické délky jednotkového oblouku poledníku na pólu 

a na rovníku. Poledníkový stupeň na pólu je tedy zhruba o jedno procento delší 

než poledníkový stupeň na rovníku. 

Konečně odchylka olovnice od směru do středu Země (tj. odchylka mezi geodetickou 

a geocentrickou šířkou) je v případě rotačního elipsoidu rovna (viz následující 

úloha) 

δ ≈ ε sin 2φ, 

kde ε je geometrické zploštění Zeměadosahujeaž δ ≈ 11 0 ve středních zeměpisných 

šířkách. 

Příklad 1.23 Najděte vztah mezi geodetickou šířkou a geocentrickou šířkou na rotačním elipsoidu. 

Řešení: Předpokládejme, že v řezu má Země tvar elipsy s parametrickými rovnicemi 

x = R e cos t, y = R p sin t. 

Odtud je geocentrická šířka rovna 

tg α = y x = Rp 

tg t. 

R e 

Směr tečny k povrchu Země určuje vektor dr =(dx,dy) =(−R e sin t,R p cos t)dt. Geodetická 

šířka je určena sklonem horizontální roviny k zemské ose, takže 

tg φ = − dx 

dy = Re 

tg t. 

R p 

Vyloučením parametru t dostaneme 

tg α = R2 p 

tg φ. 

R 2 e 

Definujeme-li odchylku obou směrů jakoδ = φ − α, pak Taylorův rozvoj funkce tangens dává 

tg α =tg(φ − δ) =tgφ − 1 

cos 2 φ δ + .... = R2 p 

tg φ, 

Re 

2 

aodtud 

δ ≈ R2 e − R 2 p 

sin φ cos φ ≈ ε sin 2φ. 

R 2 e 

Příklad 1.24 Obyvatelé jisté planety zjistili, že pokud zkonstruují kdekoliv na povrchu své 

planety kružnici o poloměru r = 100 km, pak obvod této kružnicejevždy roven 600 km . 

Určete velikost jejich planety. 

Řešení: Ze zadání je zřejmé, že planeta má tvar koule. Označíme její poloměr R, pak pro 

obvod kružnice o poloměru r platí 

o =2πR sin (r/R) . 

To je sice transcendetní rovnice pro R, numericky však snadno najdeme, že poloměr planety 

je R ≈ 191 km .


Příklad 1.25 Obyvatelé jisté planety zjistili, že pokud zkonstruují kdekoliv na povrchu své planety 

rovnostranný trojúhelník o stranách a = 100 km, pak součet úhlů v takovém trojúhelníku 

je 183 ◦ . Určete velikost jejich planety. 

Řešení: Všechny úhly v rovnostranném trojúhelníku jsou stejné, tedy α =61 ◦ . Z kosínové 

věty pro rovnostranný trojúhelník platí 

cos a a a 

R =cos2 R +sin2 cos α. 

R 

Odtud po úpravě dostaneme 

tg 2 a 

2R = 1 − 2cosα, 

takže poloměr jejich planety je R ≈ 290 km . 

1.5.3 Coriolisova síla a rotace Země 

Pohyb těles ve vertikální rovině jeřízen gravitací, ale v horizontální rovině segravitace 

neuplatní, takže tělesa by se měla pohybovat podle zákona setrvačnosti. Pokud 

však uvážíme Coriolisovu sílu, zjistíme, že zákon setrvačnosti neplatí ani pro horizontální 

pohyby. Coriolisova síla se obecně spočte podle vzorce F C = −2mΩ × v 0 , 

my se však omezíme pouze na pohyby v horizontální rovině. Vektor rychlosti pak 

má jen horizontální složku v 0 , zatímco vektor úhlové rotace Země másložky obě, 

složku vertikální a složku horizontální. Na severní polokouli je vertikální složka Ω z 

orientována vertikálně vzhůru a na jižní vertikálně dolů. Velikost vertikální složky 

závisí na zeměpisné šířce vztahem Ω z = Ω sin φ. Také Coriolisova síla má dvěsložky. 

Vertikální složka Coriolisovy síly se v horizontálním pohybu neprojeví, zajímá nás 

proto pouze horizontální složka Coriolisovy síly 

F ∗ C = −2mΩ z × v 0 . 

Z tohoho vzorce plyne, že Coriolisova síla je kolmá na rychlost pohybu v 0 ana 

severní polokouli směřuje vždy napravo od směru pohybu. Na jižní polokouli naopak 

odklání pohyb těles doleva a na rovníku Coriolisova síla zcela mizí. 

Horizontální složka Coriolisovy síly F ∗ C směřuje 

na severní polokouli doprava a na jižní 

doleva od směru pohybu v 0 tělesa. 

Malá Coriolisova síla způsobuje, že směr vířivého pohybu vody při vypouštění 

vany je na severní polokouli orientován většinou proti směru hodinových ručiček. 

Na jižní polokouli bude cirkulace vody obrácená. Coriolisova síla je zodpovědná za 

to, že řeky na severní polokouli mají více podemletý a tedy strmější břeh pravý než 

břeh levý. Tato zkušenost je známá jako von Baerovo pravidlo. Takéstatistiky 

pojiš toven , potvrzují, že vlaky na severní polokouli vykolejí o něco častěji na pravou 

než na levou stranu.


Vnější břeh řek je v říční zátočině vícepodemletý 

než vnitřní v důsledku odstředivé síly. 

Ukazuje se, že také pravý břeh přímých řek je 

více podemletý, příčinou je Coriolisova síla. 

Rovněž dělostřelci u dalekonosných kanónů musí s Coriolisovou silou počítat. 

Například při dostřelu x ≈ 10 km aprůměrné rychlosti střely v 0 ≈ 500 m / s se 

vlivem Coriolisovy síly odkloní projektil doprava o 

y ≈ Ω z x 2 /v 0 ≈ 15 m . 

Pro dvojnásobný dostřel x ≈ 20 km je odchylka již y ≈ 60 m . Neznalost zákonů 

mechaniky se stala málem osudnou flotile britských křižníků,kteréseběhem první 

světové války střetly poblíž Falklandských ostrovů sněmeckým lo dstvem. , Trvalo 

několik hodin, než britští dělostřelcirozpoznalipříčinu toho, proč jejich kanóny 

střílí třicet metrů doleva. Dělostřelci sice měli nastavenou korekci na Coriolisovu 

sílu, ale místo korekce pro jižní polokouli měli nesprávně nastavenu korekci pro 

severní polokouli. Chyba jejich zásahů tak byla dokonce dvakrát vyšší, než kdyby 

žádnou korekci nedělali. 

1.5.4 Vliv na podnebí a počasí 

Velikost Coriolisova zrychlení na povrchu Země jeprotělesa o běžné rychlosti 

10 m / s stále ještě asi dvacetkrát menší než odstředivé zrychlení. Ovšem i přes 

zdánlivou nepatrnost Coriolisovy síly je spousta pohybů, u nichž se její vliv významně 

projeví.Jdeopohyby,kterétrvajídostatečně dlouho, například celé dny. 

Díky Coriolisově síle se například mění směr větrů amořských proudů. 

Vítr, který vane od tlakové výše do tlakové 

níže, se stáčí na severní polokouli doprava, a 

proto má cirkulace kolem tlakové níže (cyklóna) 

vždy směr proti pohybu hodinových ručiček, 

zatímco anticyklóna ve směru hodinových 

ručiček. 

Coriolisova síla je významnou silou určující podnebí a počasí na celém světě. 

Coriolisova síla je klíčem k pochopení mechanismu vzniku vzdušných vírů, větrných 

cyklón a mořských proudů. Vlivem rozdílných tlaků vzniká vzdušné proudění, které 

by mělo proudit od tlakové výše k tlakové níži, takže by mělo být kolmé na izobary. 

Vlivem Coriolisovy síly se však toto proudění stáčí (na severní polokouli) doprava 

a výsledné proudění má spíše směr podél izobar. Kolem tlakové níže (cyklóna) 

tak vzniká vždy cirkulace proti směru hodinových ručiček (na severní polokouli) 

a kolem tlakové výše (anticyklóna) vesměru hodinových ručiček. Tyto tlakové 

útvary se přesouvají vlivem převládajících západních proudění do střední Evropy 

ze západu. Na přední straně cyklóny proudí vzduch od jihu a na zadní straně od


západu. Poklesu tlaku proto obvykle předchází oteplení a s rostoucím tlakem se 

zase vzduch ochlazuje. 

Mohutné tropické cyklóny oprůměru desítek až stovek kilometrů vznikajív 

teplých krajích celého světa. Mají stejný původ, ale nazývají se různě. V Americe 

to jsou hurikány, ve východní Asii tajfuny, v Indočíně cyklóny a v Austrálii jim 

říkají willy-willy. Ročně vznikáasi120těchto tropických cyklón. V případě prudké 

cyklóny o průměru desítek až stovekmetrůjdeotornádo neboli twister. Tornáda 

pustoší každoročně jihovýchodní pobřeží Severní Ameriky, kde mají ročně nasvědomí 

smrt více než sta osob, ale občas se objevují i na našem území. Příčinou jejich 

vzniku jsou silné stoupavé proudy vlivem nadměrného horka a vlhkosti. Při stoupavém 

proudění se uplatní Coriolisova síla a ta způsobí, že proudění nabude vířivého 

charakteru proti směru hodinových ručiček. Při zaškrcení vířivého trychtýře prudce 

stoupne rychlost proudění a výrazně poklesnetlakvokutornáda,kterétakzačne 

fungovat jako obrovský vysavač ničící vše, co se mu připlete do cesty. Zvláště nebezpečné 

cyklóny vznikají v teplých tropických oblastech, ale zase ne příliš blízko 

rovníku, kde Coriolisova síla mizí. 

Coriolisova síla významně ovlivňuje také planetární cirkulaci atmosféry. 

Kdyby Země nerotovala, vanuly by větry pouze poledníkovým směrem od tlakových 

výší k tlakovým nížím. Vlivem Coriolisovy síly mají pasátové větry 

vanoucí od obratníků k rovníku východní směr a proudění v mírných šířkách má naopak 

převážně západní směr. V místě,kdesevstřícně potkávají západní a východní 

proudění, vznikají zvlněné fronty přinášející rychlé změny počasí. Ty ovlivňují 

počasí například v západní a střední Evropě. 

Coriolisova síla ovlivňuje planetární cirkulaci 

atmosféry a určuje základní vlastnosti klimatu. 

Rovněž mořské proudy cirkulují na severní polokouli ve směru hodinových ručiček 

a na jižní polokouli naopak. Vlivem této cirkulace je skutečnost, že východní 

břehy všech kontinentů jsou obvykle teplejší a vlhčí než břehy západní. Evropa je 

výjimkou,jejíatlanticképobřeží je v zimě ažo11 ◦ C teplejší než americké západní 

pobřeží na stejné zeměpisné šířce, a to díky Golfskému proudu. 

1.5.5 Foucaultovo kyvadlo 

Jiným významným efektem, při kterém se projeví Coriolisova síla, je postupné stáčení 

roviny kyvu u kyvadla. Kyvadlo zavěšené kloubově a upravené tak, že se téměř 

netlumí, takže kývá prakticky nekonečně dlouho, se nazývá Foucaultovo kyvadlo.


Jean-Bernard-Leon Foucault jím roku 1851 poprvé nade vší pochybnost dokázalrotaciZemě. 

Kdyby se Země neotáčela kolem osy, rovina kyvu kyvadla by se 

zachovávala, jak plyne ze zákona setrvačnosti nebo ze zákona zachování momentu 

hybnosti. Kyvadlo, které bychom zavěsili nad zemský pól, by rovněž zachovávalo 

rovinu kyvu, ovšem Země bysepodnímotáčela rychlostí 15 ◦ za hodinu směrem 

na východ. Pro eskymáka by to ovšem vypadalo tak, jakoby se rovina kyvu stáčela 

směrem na západ působením záhadné síly. Touto silou je pochopitelně síla Coriolisova, 

která stáčí dráhu závaží doprava a toto začne opisovat jemnou růžici. To 

znamená, že rovina kyvu se bude pomalu otáčet rychlostí Ω, což jeúhlovárychlost 

otáčení Země. 

Dráha závaží Foucaultova kyvadla, na které 

působí Coriolisova síla. Rovina kyvu se stáčí 

ve směruhodinovýchručiček (na severní polokouli) 

a dokazuje rotaci Země kolemosy. 

V jiných zeměpisných šířkách bude rovněž docházetkrovnoměrnému stáčení 

roviny kyvu, jen stáčení bude pomalejší a bude probíhat rychlostí Ω z = Ω sin φ, 

což jeprůmět vektoru úhlové rychlosti Ω do svislého směru. Například rovina kyvu 

se v našich zeměpisných šířkách otáčí rychlostí 11.5 ◦ za hodinu, takže celou jednu 

otočku dokončí asi za 31 hodin. Podrobný výpočet dráhy Foucaultova kyvadla je 

možno nalézt v kapitole věnované kyvadlům. 

Coriolisova setrvačnásílaajejídůsledky umožňují přesvědčivě dokázat, že Země 

se skutečně otáčí kolem své osy. Tak bylo teprve v devatenáctém století experimentálně 

dokázáno, že pravdu měl Galileo a že Aristotelés i bible se mýlí. 

1.5.6 Pád těles na rotující Zemi 

Povrch Země není inerciální vztažnou soustavou, a tak padající kámen nedopadne 

přesně do místa, kam ukazuje olovnice spuštěná z místa pádu. Už když jsme vysvětlovali 

Galileiho princip relativity a námitky stoupenců Aristotela, zmínili jsme 

se o tom, že při pádu dojde k odchýlení padajícího tělesa v důsledku rotace Země. 

Volný pád tělesa. (a) Pohled neinerciálního pozorovatele 

na zemi. Těleso odklání na východ 

Coriolisova síla, dráhou tělesa je semikubická 

parabola. (b) Pohled inerciálního pozorovatele. 

Olovnice rotuje spolu se Zemí, nahoře má těleso 

větší horizontální rychlost v 1 než olovnice 

dole v 2,dráhoutělesa je elipsa. 

Podle peripatetiků byměla koule padající z věže vysoké h ≈ 160 m dopadnout 

do vzdálenosti asi 2. 6kmna západ od místa, kam ukazuje olovnice, protože během


pádu, který trvá 

t = 

s 

2h 

≈ 5. 7 s, 

g 

se Země znatelněpootočí směrem na východ. Nic takového se samozřejmě nepozoruje 

a Galileo to vysvětlil tím, že spolu se Zemí se otáčí i věž avokamžiku 

vypuštění koule má i tato obvodovou rychlost Země. Koule tedy poletí směrem na 

východ stejně rychle, jako se otáčí Země a dopadne tam, kam by dopadla, i kdyby 

žádná rotace Země nebyla. 

Ve skutečnosti je problém trochu složitější, než se domníval Galileo a koule nedopadne 

přesně domísta,kamsměřuje olovnice, ale kousek na východ od něj. Země 

je totiž rotující neinerciální soustavou a na padající kouli bude působit Coriolisova 

síla, kterou Galileo ještě neznal a která padající kouli od olovnice odkloní. Spočteme 

tento odklon. Zave dme , souřadnou soustavu místem, odkud vypouštíme kouli 

a orientujme osu z vertikálně vzhůru. Osa x nech tsměřuje , k východu a osa y na 

sever. V první aproximaci platí zákon volného pádu 

ż ≈−gt, 

nebo , tpředpokládáme, že odchylka způsobená Coriolisovou silou je malá. Vektor 

úhlové rychlosti rotace Země másložky 

Ω =(0, Ω cos φ, Ω sin φ) . 

Vektor rychlosti závaží má především vertikální složku rychlosti v ≈ (0, 0, −gt) . 

Na těleso působí tíha G =(0, 0, −mg) a Coriolisova síla má pouze složku ve směru 

osy x, má tedy východní složku 

F C = −2mΩ × v 0 ≈ (2mΩgt cos φ, 0, 0) . 

Tato síla způsobí odklon dráhy koule na východ. Spočtěme, jak bude odklon velký. 

Pohybová rovnice pro souřadnici x je 

ẍ = F Cx 

m 

=2Ωgt cos φ, 

spolu s počátečními podmínkami x (0) = ẋ (0) = 0 dostaneme po integraci výsledek 

ẋ = Ωgt 2 cos φ a x = 1 3 Ωgt3 cos φ. 

Pustíme-li tedy těleso z výšky h ≈ 160 m, poletí dobu t = p 2h/g ≈ 5.7 s a 

odkloní se směrem na východ o x ≈ 28 mm pro zeměpisnou šířku φ ≈ 50 ◦ . Jak 

vidíme, bude odklon nakonec přesně opačného směru, než předpovídali peripatetici. 

Skutečný odklon je velmi malý a snadno ho může ovlivnit například vítr. Při 

experimentálním ověřování se tento jev musí měřit v uzavřeném prostoru.


První seriózní měření Coriolisovy síly způsobené rotací Země prováděl Ferdinand 

Reich roku 1883 ve Freiburgském dole. Nechal padat broky do hloubky 158 

metrů, starý vytěžený důl použil proto, aby dokonale odstranil vliv větru. Naměřená 

střední odchylka broků od místa, kam ukazovala olovnice, byla 28.3mm. 

Podobně, kdybychom vystřelili dělovou kouli přesně svislevzhůru rychlostí v 0 , 

nedopadla by přesně zpět do hlavně, ale západně od ní o odchylku 

x = 4 Ωv0 

3 cos φ. 

3 g2 Protože odchylka je malá, vliv vzduchu a rozptyl děla naopak příliš velký, není 

možno tento výsledek experimentálně ověřit. Rotace Země sevšakvýznamněprojeví 

u pohybu mezikontinentálních střelazdejesnínutnopočítat. 

Příklad 1.26 Spočtěte převýšení hladiny u pravého břehu řeky široké l ≈ 2km tekoucí na 

sever rychlostí v ≈ 5km/ s . 

Řešení: Vdůsledku Coriolisovy síly se hladina na pravém břehu řek (na severní polokouli) 

mírně zvedá.Jejísklonα je dán poměrem Coriolisovy síly a tíhy, tj. platí 

tg α = 2Ωv sin φ. 

g 

Odtud je převýšení hladiny 

h ≈ lα ≈ 2Ωvl sin φ. 

g 

Numericky pro φ ≈ 45 ◦ dostaneme převýšení h ≈ 29 mm . 

Příklad 1.27 Ukažte, že volná částicesevpřítomnosti Coriolisovy síly nepohybuje po přímce, 

ale po kružnici. 

Řešení: Navolnoučástici působí jen horizontální Coriolisova síla, takže její pohybová rovnice 

je 

ma = −2mΩ z × v. 

Síla je kolmá na rychlost, proto očekáváme vznik pohybu po kružnici úhlovou rychlostí ω 

kolem osy rovnoběžné s vertikálním směrem osy z (případně Ω z). Pak musí platit také vztahy 

známé pro kruhový pohyb v = ω × r a a = −ω 2 r. Po jejich dosazení do pohybové rovnice 

dostaneme rovnici 

−ω 2 r = −2Ω z × (ω × r) =2(Ω z · ω) r, 

kterou lze splnit jen pro 

ω = −2Ω z . 

Částice tedy bude obíhat po kruhové dráze ve směruhodinovýchručiček úhlovou rychlostí 

ω =2Ω z =2Ω sin φ. 

Pokud je rychlost částice v, bude poloměr její dráhy 

R = v ω = v v 

= 

2Ω z 2Ω sin φ . 

kde v je rychlost částice. Například pro částici nacházející se poblíž póluφ ≈ 90 ◦ bude perioda 

jejího oběhu 12 hodin a při rychlosti v ≈ 1 m / s bude poloměr její dráhy R ≈ 6.9km.

Kapitola 2 

Dynamika soustavy 

hmotných bodů 

V kinematice jsme zavedli hmotný bod jakožto užitečnou idealizaci skutečného 

tělesa. Podobně nyní zavedeme pojem soustavy hmotných bodů, cožjesoustava 

navzájem silově interagujících těles, jejichž rozměryjsouvesrovnánísevzájemnými 

vzdálenostmi těles natolik malé, že je můžeme zanedbat. 

Kinematika soustavy hmotných bodů jeprokaždý jednotlivý bod obsažena v 

kinematice hmotného bodu a nic nového tady není třeba objevovat. Konečně i 

dynamika soustavy hmotných bodů je dána prostým složením pohybových rovnic 

každého bodu zvláš t. , Ovšem v případě, že počet zkoumaných bodů jepříliš velký, 

ataktomučasto je (například počet hvězd galaxie, počet atomů uvnitř kamene, 

atd.), je obtížné sledovat pohyb každého hmotného bodu soustavy samostatně. Pak 

nezbývá, než se omezit na globální popis soustavy. Budeme proto hledat rovnice 

popisující dynamické chování soustavy jako celku, ve kterých přitom nebudou vystupovat 

početné a neznámé vnitřní síly. Těchto sil je stejně příliš mnoho, než 

abychom s nimi mohli rozumně pracovat. 

Globálním rovnicím pro popis soustavy hmotných bodů sevěnuje tato kapitola. 

Výsledky, ke kterým dojdeme, jsou však natolik univerzální, že se dají bez velkých 

úprav převzít a použít i na mechaniku tuhého tělesa, protože reálná tělesa se rovněž 

skládají z malých, téměř bodovýchčástic, za něž můžeme pokládat atomy. 

2.1 Pohybové rovnice 

2.1.1 První věta impulzová 

Uvažujmesoustavuhmotnýchbodů o hmotnostech m 1 ,m 2 , ... Pro každý hmotný 

bod soustavy platí Newtonova pohybová rovnice 

ṗ k = F k = F e k + Fi k , (2.1) 

51

52 KAPITOLA 2. DYNAMIKA SOUSTAVY HMOTNÝCH BODŮ 

kde každou sílu F k , která působí na k-týhmotnýbod,jsmerozdělili na část vnějších 

(externích) sil F e k anačást vnitřních (interních) sil F i k 

. Výslednice od vnitřních sil 

F i k je přitom dána součtem jednotlivých silových působení F jk (tj. j-tého bodu na 

k-tý bod) všech bodů soustavy, tedy součet příspěvků vnitřních sil je 

F i k = X j6=k 

F jk , 

kde jsme už započetli skutečnost, že k-tý bod nepůsobí sám na sebe. 

Podle zákona akce a reakce pro libovolné dva 

hmotné body j a k platí, že součet sil F jk a 

F kj, jimiž nasebevzájemněpůsobí, je roven 

nule. Podobně isoučet jejich momentů M jk a 

M kj vzhledem k bodu S je roven nule. 

Celková hybnost soustavy se dostane jako součet hybností všech hmotných bodů 

p = P k p k. Pro její změnu podle pohybové rovnice (2.1) platí 

ṗ = X k 

ṗ k = F e + F i , 

kde součet vnějších a součet vnitřních sil je roven 

F e = X F e k a F i = X F i k = X X 

F jk . 

k 

k 

k j6=k 

Podle zákona akce a reakce však platí, že síla F jk ,kteroupůsobí j-tý bod na k-tý 

bod, je stejná, ale opačně orientovaná oproti síle F kj ,kteroupůsobí k-tý bod na 

j-tý bod soustavy těles. Součet obou sil je vždy roven nule 

F jk + F kj = 0, 

takže nakonec i celá výslednice vnitřních sil se rovná nule 

F i = X X 

F jk = X X 

(F jk + F kj )=0. 

k j6=k k j

2.1. POHYBOVÉ ROVNICE 53 

2.1.2 Hmotný středsoustavyhmotnýchbodů 

Průměrná rychlost v T , se kterou se soustava hmotných bodů pohybuje jako celek, 

se spočte přirozeně jako podíl celkové hybnosti soustavy p a celkové hmotnosti m 

v T = p P 

m = mk v 

P k 

. 

mk 

Zavedeme-li analogicky průměrnou polohu r T soustavy hmotných bodů vzorcem 

P 

mk r k 

r T = P , 

mk 

pak bod T určený tímto polohovým vektorem se nazývá hmotný střed soustavy. 

Pojem hmotného středu je užitečným pojmem i v mechanice tuhého tělesa, tam se 

ovšem nazývá těžiště, proto jej značíme i zde písmenem T . Pro celkovou hybnost 

soustavy tedy platí 

p = mv T 

azrychlenía T hmotného středu T soustavy spočteme z první věty impulzové 

a T = ˙v T = 1 X 

F e k = 1 m m Fe . 

Pohyb hmotného středu T (těžiště) soustavy je určen výslednicí vnějších sil F e a 

platí těžiš tová , věta: 

Těžiště soustavysepohybujetak,jakbysepohybovalhmotnýbod 

o hmotnosti celé soustavy pod vlivem stejných vnějších sil. 

Tato věta je ekvivalentní první větě impulzové. 

2.1.3 Druhá věta impulzová 

Podobně, jako se nám podařilo s využitím zákona akce a reakce eliminovat z pohybové 

rovnice soustavy hmotných bodů vnitřní síly a získat tak první větu impulzovou, 

lze sestavit ještě jednu pohybovou rovnici, zvanou druhá věta impulzová. 

Využijeme přitom skutečnosti, že také součet momentů obousilakceareakceje 

roven nule, jak to plyne ze třetího pohybového zákona. 

Ze statiky víme, že síly mají nejen posuvný, ale i otáčivý účinek. Hledáme tedy 

pohybovou rovnici, ve které budou vystupovat momenty sil jako zdroje otáčivých 

účinků. Abychom je do našich rovnic dostali, vynásobíme pohybovou rovnici ṗ k = 

F k zleva polohovým vektorem r k příslušného k-tého hmotného bodu, tak dostaneme 

rovnici 

k 

r k × ṗ k = r k × F k . (2.3)


Protože platí 

d 

dt (r k × p k )=ṙ k × p k + r k × ṗ k = r k × ṗ k , 

nebo t , ṙ k × p k = v k × mv k = 0, dá se levá strana (2.3) upravit do tvaru 

kde 

r k × ṗ k = ˙L k , 

L k = r k × p k = r k × m k v k 

představuje moment hybnosti k-téhohmotnéhobodu.Pravástranarovnice(2.3) 

představuje momenty vnitřních M i k ivnějších sil Me k 

působících na k-tý hmotný 

bod 

⎛ 

⎞ 

M k = r k × F k = r k × F jk 

⎠ = M e k + M i k. 

⎝F e k + X j6=k 

Nyní všechny rovnice (2.3) sečteme a dostaneme 

X ¡ M 

e 

k + M i k¢ 

neboli 

k 

˙L k = X k 

˙L = M e + M i , 

kde L = P k L k = P P 

k r k × p k je celkový moment hybnosti soustavy, M e = 

Pk Me k je celkový moment vnějších sil působícíchnasoustavuaMi = P P 

k Mi k = 

k j6=k M jk je celkový moment vnitřních sil působících na soustavu. Celkový 

moment vnitřních sil soustavy se však rovná nule, jak snadno ukážeme. Pro j-tý a 

k-tý hmotný bod platí podle zákona akce a reakce 

M jk + M kj = r k × F jk + r j × F kj =(r k − r j ) × F jk = 0, 

nebo tobě , síly akce a reakce leží na společné silové přímce, takže vektor r k − r j je 

rovnoběžný se silou F jk . Proto je i součet všech momentů vnitřních sil roven nule 

M i = X X 

M jk = X X 

(M jk + M kj )=0. 

k j6=k k j


2.1.4 Momentová věta vzhledem k těžišti 

Protože bod A, vzhledem k němuž byly všechny momenty při odvozování druhé 

věty impulzové počítány, nebyl dosud nijak specifikován, můžeme jej volit prakticky 

libovolně. Nemusí být dokonce ani pevný, jediným omezením kladeným na 

bod A je, aby byl počátkem inerciální soustavy. V opačném případě by totiž neplatily 

Newtonovy pohybové zákony, z nichž jsmepři odvozování momentové věty 

vycházeli. 

Jakzachvíliukážeme, platí druhá věta impulzová i pro momenty počítané 

vzhledem k těžišti soustavy hmotných bodů, které se obecně pohybuje neinerciálně! 

Momentovou větu vzhledem k těžišti najdeme transformací momentové věty ˙L = M 

vzhledem k inerciálnímu bodu A. 

Zatímco polohové vektory, rychlosti a zrychlení hmotných bodů m k vzhledem k 

bodu A budeme nadále značit malými písmeny r k , v k a a k , stejné veličiny vztažené 

ktěžišti budeme značit velkými písmeny R k , V k a A k . Polohu těžiště označíme 

r T = −→ AT , jeho rychlost v T azrychlenía T . Platí tedy 

r k = r T + R k , v k = v T + V k a a k = a T + A k . 

Polohové vektory hmotných bodů r k vzhledem 

k inerciálnímu bodu A a polohové vektory R k 

vzhledem k těžišti T soustavy hmotných bodů. 

Nejprve najdeme vztah mezi silovými momenty. Z definice platí 

M A = X k 

r k × F k = X k 

(r T + R k ) × F k = r T × X k 

F k + X k 

R k × F k 

neboli 

M A = r T × F + M T . (2.5) 

Nyní najdeme vztah mezi momenty hybnosti. Z definice je 

L A = X k 

r k × m k v k = X k 

(r T + R k ) × m k (v T + V k )=r T × mv T + X k 

R k × m k V k 

neboli 

L A = r T × p + L T . 

Analogicky najdeme i transformační vztah pro derivace momentu hybnosti. Z definice 

je 

˙L A = X k 

r k × m k a k = X k 

(r T + R k ) × m k (a T + A k )=r T × ma T + X k 

R k × m k A k


neboli 

˙L A = r T × ṗ + ˙L T . (2.6) 

Při úpravě posledních dvou výrazů jsmevyužili skutečnosti, že bod T je těžištem 

soustavy, a proto platí 

X 

m k R k = X m k V k = X m k A k = 0. 

k 

k 

k 

Nyní můžeme dosadit (2.6) a (2.5) do momentové věty ˙L A = M A adostaneme 

˙L T = M T , 

nebo t , pochopitelně stále platí první věta impulzová ṗ = F. Momentová věta má 

tedy překvapivě iprotěžiště T stejný tvar jako pro inerciální bod A. Momentová 

věta vzhledem k těžišti se využívá především v mechanice tuhého tělesa. 

2.2 Zákony zachování 

2.2.1 Integrály pohybu 

Uvažujme opět soustavu n hmotných bodů. Pro něplatín vektorových pohybových 

rovnic 

m¨r k = F k , 

což představuje z pohledu matematiky 3n diferenciálních rovnic druhého řádu. 

Jejich integrací dostaneme řešení ve tvaru 

r k = f (t, C 1 ,C 2 , ...C 6n ) a ṙ k = ∂ ∂t f (t, C 1,C 2 , ...C 6n ) , 

kde C i představují integrační konstanty. Tyto konstanty jsou obecně závislé 

na počátečních polohách r k (0) apočátečních rychlostech ṙ k (0) všech n hmotných 

bodů. Vyřešíme-li tuto soustavu rovnic vzhledem k integračním konstantám C i , 

dostaneme 6n prvních integrálů pohybu 

C i = F i (t, r k , ṙ k ) pro i =1, 2, ..., 6n. 

Znalost všech 6n prvních integrálů pohybu je ekvivalentní řešení soustavy pohybových 

rovnic. Pokud z těchto 6n integrálů pohybu vyloučíme rychlosti ṙ k , dostaneme 

3n druhých integrálů pohybu 

D i = F i (t, r k ) pro i =1, 2, ..., 3n. 

Také znalost všech 3n druhých integrálů pohybu je ekvivalentní plnému řešení 

pohybu soustavy hmotných bodů. V případě soustavy vázaných hmotných bodů o

2.2. ZÁKONY ZACHOVÁNÍ 57 

f stupních volnosti existuje jen 2f integračních konstant, a tudíž jen2f prvních 

integrálů pohybuaf druhých integrálů pohybu. 

Pokud navíc integrály pohybu 

E i = F i (r k , ṙ k ) 

nezávisí na čase, hovoříme o zákonech zachování. Tyto zákony zachování dostaneme 

například vyloučením času z integrálů pohybu, proto jich také může být 

nanejvýš 6n − 1 resp. 2f − 1. 

Jako příklad nyní najdeme integrály pohybu pro vrh svislý. Jde o jednoduchý 

problém s jediným stupněm volnosti, budou tedy existovat pouze dva nezávislé 

integrály pohybu. Již dříve jsme odvodili řešení pro svislý vrh 

v = v 0 − gt a y = y 0 + v 0 t − 1 2 gt2 . 

Jestliže z nich vyjádříme v 0 a y 0 , dostaneme oba první integrály pohybu 

v 0 = v + gt a y 0 = y − vt − 1 2 gt2 . 

Pokud z nich vyloučíme ještě čas, dostaneme jediný zákon zachování 

E 1 = y 0 + v2 0 

2g = y + v2 

2g , 

který je zřejmě násobkem mechanické energie E = mgy + 1 2 mv2 hmotného bodu v 

homogenním tíhovém poli. 

Některé ze zákonů zachování mají stejný tvar pro různé systémy izolovaných 

těles. Takovými obecnými integrály pohybu jsou například hybnost, moment 

hybnosti a energie, nemusíme je proto hledat vždy znovu integrací pohybových 

rovnic. Obecné integrály pohybu jsou velmi užitečné při řešení praktických úloh. 

2.2.2 Zákon zachování hybnosti 

Soustava těles, která interagují spolu navzájem, ale zvnějšku už naně jiné síly 

nepůsobí, se nazývá izolovaná soustava. Podle definicevníplatíF e k 

= 0. Podle 

první věty impulzové (2.2) pro izolovanou soustavu platí ṗ = 0, odtud integrací 

dostáváme hned výsledek 

p = X k 

p k = X k 

m k v k = konst, 

který představuje zákon zachování hybnosti: 

Celková hybnost izolované soustavy hmotných bodů senemění. 

Ze zákona zachování hybnosti dále plyne, že těžiště izolované soustavy se pohybuje 

rovnoměrně přímočaře nebo zůstává v klidu 

v T = konst. 

Je to vlastně zobecnění Galileiho zákona setrvačnostiprosoustavuhmotnýchbodů.


2.2.3 Zákon zachování momentu hybnosti 

Ze druhé věty impulzové (2.4) snadno odvodíme také zákon zachování momentu 

hybnosti soustavy hmotných bodů. Nepůsobí-li na soustavu hmotných bodů vnější 

síly, pak je i jejich výsledný silový moment nulový M e = 0, aprotoplatípodle 

(2.4) ˙L = 0 neboli 

L = X k 

L k = X k 

r k × p k = konst. 

Tato rovnice vyjadřuje zákon zachování momentu hybnosti: 

Celkový moment hybnosti izolované soustavy hmotných bodů senemění. 

Zákon zachování momentu hybnosti a jeho význam pro mechaniku objevil roku 

1746 Leonhard Euler. 

Za izolovanou soustavu můžeme považovat například mlhovinu obsahující milióny 

tun chladného plynu. Těžiště mlhoviny se pohybuje rovnoměrně přímočaře, 

celková hybnost a rovněž celkový moment hybnosti mlhoviny je neměnný. V důsledku 

gravitačního smrš tování , se bude mlhovina postupně zmenšovat a podle zákona 

zachování momentu hybnosti se bude zvětšovat rychlost plynu kroužícího 

kolem hmotného středu mlhoviny. Moment hybnosti mlhoviny můžeme odhadnout 

jako 

L ≈ mrv ≈ mr 2 ω, 

kde m je hmotnost mlhoviny, r její rozměr, v a ω jsou její obvodová a úhlová rychlost. 

Hmotnost se kontrakcí mlhoviny nemění, ale pokud se zmenší rozměr mlhoviny 

10 3 krát, pak rychlost její rotace vzroste 10 6 krát a perioda rotace klesne 10 6 krát. V 

důsledku rotace se mlhovina zformuje nejprve v akrečnídiskapozději se rozpadne 

na centrální protohvězdu a prstence, z nichž seutvoří planety. Většinu hmoty si 

sice podrží centrální hvězda, většinu orbitálního momentu původní mlhoviny však 

odeberou planety. 

Vývoj sluneční soustavy je do značné míry 

předurčen zákonem zachování momentu hybnosti. 

Zákon zachování hybnosti platí nejen pro izolovanou soustavu, ale i pro soustavu, 

na kterou působí centrální síla. Centrální síla má totiž vzhledem k centru 

C nulový silový moment 

M C = 0, 

aprotojesplněna podmínka pro zachování momentu hybnosti vzhledem k bodu C. 

Vzhledem k jinému bodu se moment hybnosti samozřejmě nezachovává.Příkladem


centrální síly je gravitační pole Slunce, které přitahuje Zemi obrovskou gravitační 

silou. Protože směr přitažlivé síly splývá s průvodičem, je silový moment této gravitační 

síly roven nule. Pro Zemi, stejně jako pro ostatní planety, se proto musí 

zachovávat moment hybnosti vzhledem ke Slunci. Zákon zachování momentu hybnosti 

planety je znám z nebeské mechaniky spíše jako druhý Keplerův zákon, to 

jestzákonostálýchplošnýchrychlostech. 

Abychom byli úplně přesní, dodejme, že i planety na sebe působí navzájem 

přitažlivými gravitačními silami. Tyto síly jsou sice mnohem menší než přitažlivá 

síla Slunce, a to více než tisíckrát, nejsou však již centrálními silami, a proto slabě 

narušují jak platnost Keplerových zákonů, tak i zákon zachování momentu hybnosti 

u jednotlivých planet. To v důsledku vede ke vzniku poruch planetárních drah, které 

během staletí velmi pomalu mění svoji orientaci v prostoru i tvar. 

2.2.4 Zákon zachování energie 

Spočtěme práci vnějších sil F e k působícíchnasoustavuhmotnýchbodů. Z definice 

práce 

Z 2 

A = X k 

A e k = X k 

1 

F e k · dr k 

a z pohybových rovnic hmotných bodů 

m k a k = F e k + Fi k 

dostaneme pro práci vnějších sil za předpokladu konzervativnosti vnitřních sil F i k 

výsledek 

Z 2 

¡ 

mk a k − F i ¢ 

k · drk = T 2 − T 1 + U 2 − U 1 . (2.7) 

A = X k 

1 

Výraz 

T = X k 

1 

2 m kv 2 k 

představuje celkovou kinetickou energii soustavy těles a výraz 

U = X Z 

−F i k · dr k = X X 

Z 

−F jk · dr k (2.8) 

k 

∞ 

k j6=k 

∞ 

celkovou potenciální energii soustavy hmotných bodů normovanou na nekonečno. 

To znamená, že potenciální energie soustavy je rovna nule, když všechny 

hmotné body odsuneme nekonečně daleko od sebe. 

Za předpokladu konzervativnosti všech vnitřních sil a vzhledem k (2.7) platí 

rovnice 

A = ∆E = E 2 − E 1 ,


kde E = T + U představuje mechanickou energii soustavy hmotných bodů. Tato 

jednoduchá rovnice vyjadřuje zákon zachování a přeměny mechanické práce 

aenergie: 

Práce vnějších sil vede k ekvivalentnímu zvýšení mechanické energie 

soustavy hmotných bodů. 

Pokud hmotné body soustavy navzájem neinteragují, bude potenciální energie 

takové soustavy rovna nule. To nastává například pro ideální plyn, u něhož vzájemnou 

interakci mezi molekulami zanedbáváme, kromě krátkéhookamžiku vzájemné 

srážky. V tom případě je celková energie soustavy dána pouze kinetickou energií 

částic. 

Vpřípadě, že na soustavu žádné vnější síly nepůsobí, je práce vnějších sil nulová, 

a pak platí ∆E =0neboli E =konst. Platí tedy zákon zachování mechanické 

energie: 

Mechanická energie izolované soustavy hmotných bodů senemění. 

Ivpřípadě, že na soustavu nepůsobí vnější síly, mohou na soustavu působit 

vnitřní síly mající původ v jiné než mechanické energii. Například u reaktivního 

motoru jde o tepelnou (chemickou) energii, která se mění na mechanickou energii 

rakety a unikajících plynů. Také u živého organismu se objevuje pohybová energie 

na úkor chemické energie svalů. Ve všech těchto případech neplatí zákon zachování 

mechanické energie, protože mechanická energie soustavy zde roste. Platí ale 

zobecněný zákon zachování energie: 

Celková energie izolované soustavy těles se nemění, mění se jen relativní 

podíly příslušných druhů energie. 

2.2.5 Potenciální energie 

Součet (2.8) představující potenciální energii soustavy hmotných bodů lzepřeskládat 

do součtu symetrických členů 

U jk = 

Z rk 

∞ 

−F jk · dr k + 

Z rj 

∞ 

−F kj · dr j 

odpovídajících dvojicím bodů j 6= k. Potenciální energie je pak rovna výrazu 

U = X X 

U jk = 1 X X 

U jk , 

2 

k j


kde 

r jk = r k − r j 

je polohový vektor vzájemné vzdálenosti obou hmotných bodů. V klasické mechanice 

má síla F jk směr spojnice obou hmotných bodů r jk a závisí jen na jejich 

vzájemné vzdálenosti r jk = |r k − r j | , proto je možno psát 

F jk = F (r jk ) r jk 

. 

r jk 

Takové síly jsou zároveň vždy silami potenciálovými. Příslušná potenciální energie 

je tedy pouze funkcí vzájemné vzdálenosti obou bodů a platí 

U jk = 

Z rjk 

∞ 

−F (r jk )dr jk = U (r jk ) . 

Potenciální energii soustavy hmotných bodů jetedymožno vyjádřit obecně 

součtem ve tvaru 

U = 1 X X 

U jk (r jk ) . 

2 

k 

j6=k 

Například potenciální energie soustavy hmotných bodů, které na sebe působí podle 

Newtonova gravitačního zákona, je rovna 

U = 1 X X 

−κ m jm k 

, 

2 

r jk 

k 

j6=k 

kde m k jsou hmotnosti jednotlivých hmotných bodů aκ je gravitační konstanta. 

2.2.6 Síla z potenciální energie soustavy 

Potenciální energii U (r 1 , r 2 , ...) je možno chápat rovněž jako funkci okamžitých 

poloh r k jednotlivých hmotných bodů soustavy. Z definice potenciální energie 

dU = − X k 

F i k · dr k 

a nezávislosti jednotlivých posunutí dr k snadno najdeme, že vnitřní síla F i k působící 

na k-tý hmotný bod se spočte z potenciální energie podle předpisu 

F i k = − ∂U = −∇ k U, 

∂r k 

kde symbol 

∂ 

= ∇ k 

∂r k 

představuje gradient podle souřadnic k-tého hmotného bodu. Pohybové rovnice 

jednotlivých hmotných bodů jetedymožno psát bez explicitního vyjádření síly v 

jednoduchém tvaru 

ṗ k = − ∂U 

∂r k 

. (2.9)


2.2.7 Vnitřní energie soustavy 

Někdy je vhodné zkoumat energii soustavy vzhledem ke svému vlastnímu hmotnému 

středu. Rychlost obecného k-tého hmotného bodu soustavy je 

v k = v T + V k , 

kde V k je rychlost hmotného bodu vzhledem k těžišti soustavy a v T je rychlost 

těžiště soustavy. Kinetická energie soustavy hmotných bodů jepakrovna 

T = X k 

1 

2 m kv 2 k = X k 

1 

2 m k (v T + V k ) 2 = 1 2 mv2 T + X k 

m k v T · V k + X k 

1 

2 m kV 2 

k , 

kde m = P k m k je celková hmotnost soustavy. Volbou těžiš , tové souřadné soustavy 

je zajištěno, že P k m kV k = 0, proto prostřední člen výrazu pro kinetickou energii 

vymizí a my nakonec dostaneme výsledek 

T = 1 2 mv2 T + T T . (2.10) 

Kinetická energie soustavy hmotných bodů se skládá z kinetické energie těžiště, 

vněmž jesoustředěna celková hmotnost soustavy, a z kinetické energie soustavy 

vzhledem ke svému těžišti. Tato energie 

T T = X k 

1 

2 m kVk 

2 

se nazývá vnitřní kinetickou energií soustavy. Vzorec (2.10) představuje Königovu 

větu prosoustavuhmotnýchbodů. Větu odvodil a interpretoval Johann 

Samuel König roku 1751. Celková energie soustavy je pak 

kde 

E = 1 2 mv2 T + T T + U = 1 2 mv2 T + E T , 

E T = T T + U 

nazýváme vnitřní energií soustavy. Potenciální energie nezávisí na volbě vztažné 

soustavy, ale jen na vzájemných vzdálenostech bodů, proto je U = U T . 

Působení vnější síly zvyšuje energii soustavy, ale toto zvýšení nemusí být navenek 

vždy patrné, protože vložená práce se může akumulovat do vnitřní energie E T 

a soustava se jako celek pohybuje stále stejnou rychlostí v T . Ktomudocházínapříklad 

při zvyšování vnitřního napětí u deformovaného tělesa. Navenek deformační 

energii vůbec nevidíme. Podobně při ohřevu plynu se dodaná energie přemění na 

kinetickou energii molekul plynu, jehož tlaknarůstá. Z pohledu mechaniky však 

plyn po ohřevu vypadá beze změny.


2.2.8 Homogenita prostoru 

Náš prostor je homogenní, to znamená, že všechny body prostoru jsou zcela 

rovnocenné. Odtud plyne, že libovolné malé posunutí soustavy hmotných bodů o 

vektor δr nemůže mít žádné fyzikální následky. Například nemůže dojít ke změně 

potenciální energie δU =0. Potenciální energie celé soustavy U (r 1 , r 2 , ...) je funkcí 

poloh r k jednotlivých hmotných bodů. Pokud se polohy hmotných bodů změní, pak 

se změní potenciální energie soustavy o hodnotu 

δU = X k 

∂U 

∂r k 

· δr k . 

Podle předpokladu o homogennosti prostoru však platí δU =0, pokudjsouposunutí 

všech bodů stejná δr = δr k . Odtud dostáváme podmínku 

X 

k 

∂U 

∂r k 

· δr =0. 

Vzhledem k libovolnosti vektoru posunutí δr musí platit 

X ∂U 

= 0 

∂r k 

a vzhledem k rovnici (2.9) musí platit také 

X 

ṗ k = 0. 

k 

k 

To však není nic jiného než zákon zachování hybnosti soustavy hmotných bodů 

X 

p k = konst. 

Zákon zachování hybnosti je tedy důsledkem homogenity prostoru. 

2.2.9 Izotropie prostoru 

k 

Náš prostor je také izotropní, toznamená,že jsou v něm všechny směry zcela 

rovnocenné. Z izotropie prostoru plyne, že libovolné pootočenísoustavyhmotných 

bodů o úhel δφ nemůže mít pozorovatelné fyzikální důsledky. Nemůže dojít ani ke 

změně potenciální energie soustavy hmotných bodů, takže opět musí být δU =0. 

Pootočení o úhel δφ znamená posun každého bodu r k ovektor 

Změna potenciální energie je pak rovna 

δU = X k 

δr k = δφ × r k . 

∂U 

∂r k 

· δr k = X k 

∂U 

∂r k 

· (δφ × r k ) ,


ale vzhledem k vlastnostem smíšeného součinu platí také 

δU = δφ · X 

k 

r k × ∂U 

∂r k 

. 

Vzhledem k libovolnosti vektoru pootočení δφ a izotropii prostoru δU =0musí 

platit 

X 

k 

r k × ∂U 

∂r k 

= 0. 

Vzhledem k pohybové rovnici (2.9) to lze přepsat do tvaru 

X 

X 

r k × ṗ k = 0 neboli r k × p k = konst, 

k 

což jenámjiždobře známý zákon zachování momentu hybnosti. Zákon zachování 

momentu hybnosti je tedy důsledkem izotropie prostoru. 

2.2.10 Viriálový teorém 

Funkce U (r 1 , r 2 , ...) se nazývá homogenní funkcí řádu α vproměnných r k , pokud 

platí 

U (kr 1 ,kr 2 , ...) =k α U (r 1 , r 2 , ...) . 

Pokud definici homogenní funkce zderivujeme podle k, a pak zde položíme k =1, 

dostaneme Eulerovu větu o homogenní funkci 

X 

k 

k 

r k · ∂U 

∂r k 

= αU. (2.11) 

Za předpokladu, že tělesa v soustavě na sebe vzájemně působí silami stejného 

původu, může být celková potenciální energie soustavy popsána homogenní funkcí 

U (r 1 , r 2 , ...) , a podle Eulerovy věty pak platí 

− X k 

r k · F k = αU. (2.12) 

Levoustranurovnice(2.12)můžeme dále upravit. Dosadíme za sílu F k = m k a k 

podle pohybového zákona a postupně upravíme do tvaru 

r k · F k = r k · m k a k = d dt (m kr k · v k ) − m k v k · v k = 1 d 2 ¡ 

mk 

2 dt 2 rk 

2 ¢ 

− mk vk. 

2 

Z rovnice (2.12) tak po úpravách dostaneme viriálový teorém 

− 1 2 

d 2 I 

+2T = αU, (2.13) 

dt2


kde I = P k m krk 2 představuje centrální moment setrvačnosti soustavy, T kinetickou 

a U potenciální energii soustavy. Pokud viriálový teorém aplikujeme na stabilní 

vázanou soustavu těles, jakou je například galaxie nebo plynná koule, centrální 

moment setrvačnosti takové soustavy se v čase prakticky nemění I ≈ konst. Z 

viriálového teorému tak dostáváme rovnici 

2 hT i ≈ α hUi , 

kde hxi značí střední, v čase průměrnou hodnotu veličiny x. Vzhledem k tomu, že 

celková energie je součtem kinetické a potenciální energie hEi = hT i + hUi , platí 

pro střední hodnoty kinetické a potenciální energie vzorce 

hT i ≈ 

α 

2 

hEi a hUi ≈ 

2+α 2+α hEi . 

Speciálně pro soustavu lineárních oscilátorů jeα =2, aprotoplatí 

hT i ≈ hUi ≈ 1 2 hEi . 

Na tomto jednoduchém výsledku je založen ekvipartiční teorém,kterýsepoužívá 

ve statistické fyzice. Podle ekvipartičního teorému je energie každého kvadratického 

stupně volnosti v termodynamické rovnováze stejná a závisí jen na absolutní teplotě 

T soustavy vztahem 

hT i i ≈ hU i i ≈ 1 2 kT, 

kde k ≈ 1. 380 662 × 10 −23 J / K představuje Boltzmannovu konstantu. Naopak pro 

coulombovské pole je zase α = −1, aprotoplatí 

hT i ≈−hEi , a hUi ≈ 2 hEi . 

Viriálový teorém objevil roku 1870 Rudolf Clausius, který také nazval veličinu 

h P k r k · F k i viriálem. Ekvipartiční teorém objevil kolem roku 1870 Ludwig 

Eduard Boltzmann.

66 KAPITOLA 2. DYNAMIKA SOUSTAVY HMOTNÝCH BODŮ

Kapitola 3 

Dynamika tuhého tělesa 

3.1 Pohybové rovnice 

Tuhé těleso je definováno jako těleso, u něhož je vzájemná vzdálenost jednotlivých 

bodů neměnná. Rozměry tuhého tělesa se tedy ani působením vnějších sil, ani 

následkem rychlého pohybu nijak nezmění. 

Jak víme z kinematiky, je možno pohyby tuhého tělesa rozdělit na rotační pohyby 

kolem pevné osy, na otáčivé pohyby kolem pevného bodu a na obecné pohyby 

tuhého tělesa, které nemá žádný pevný bod. Sem patří také pohyb valivý. Rotační 

pohyb kolem pevné osy je pohyb s jediným stupněm volnosti, tím může být například 

úhel pootočení. V případě pohybutělesa kolem pevného bodu jde o pohyb se 

třemi stupni volnosti, které popisují například Eulerovy úhly, tj. úhel rotace, úhel 

precese a úhel nutace. V případě volného tělesa je třeba přidat ještě další tři stupně 

volnosti odpovídající souřadnicím těžiště tělesa. Valivý pohyb je ovšem pohyb se 

třemi stupni volnosti a rovinný valivý pohyb má dokonce jediný stupeň volnosti. 

Každý z těchto pohybů vyžaduje trochu jiný přístup, probereme je proto postupně. 

Tuhé těleso rotující kolem pevné osy se obecně nazývá setrvačník. Většinou 

se jedná o vyváženou rotaci kolem jedné z volných os tuhého tělesa. Speciálně v 

analytické mechanice se pak pojmem setrvačník myslí jakékoliv tuhé těleso s jedním 

pevným, tj. nehybným bodem. 

3.1.1 Kinetická energie 

Uvažujme obecný pohyb tuhého tělesa. Těleso není ve svém pohybu nijak omezováno, 

takže všechny jeho body se mohou pohybovat. Pro rychlost libovolného bodu 

X tělesa vzhledem k bodu A platí v = v T + V, kde v T je rychlost těžiště tělesa, 

V je rychlost bodu X tělesa vzhledem k těžišti T . Kinetická energie tělesa se 

spočte podle definice jako integrál 

T = 

Z 1 

2 v2 dm. 

67

68 KAPITOLA 3. DYNAMIKA TUHÉHO TĚLESA 

Dosadíme sem za rychlost v = v T + V adostaneme 

Z 1 

T = 

2 (v T + V) 2 dm = 1 Z 

2 mv2 T + v T · 

Vdm + 

Z 1 

2 u2 dm. 

Hybnost tělesa vzhledem k těžišti je nulová, platí proto R Vdm = 0, takže prostřední 

člen ze součtu vypadne. Kinetická energie tělesa se tedy skládá pouze ze 

dvou členů 

T = 1 2 mv2 T + T T , 

první sčítanec představuje kinetickou energii translačního pohybu tělesa, zatímco 

druhý sčítanec představuje kinetickou energii rotačního pohybu tělesa vzhledem k 

těžišti. Vzorec představuje Königovu větu pro tuhé těleso. 

Ilustrace k výpočtu kinetické energie a momentu 

hybnosti tělesa vzhledem k pevnému 

bodu A avzhledemktěžišti T. 

3.1.2 Moment hybnosti 

Spočtěme ještě moment hybnosti L A tělesa vzhledem k obecnému bodu A. Pokud 

polohový vektor obecného bodu X označíme jako r, polohový vektor obecného 

bodu X vzhledem k těžišti T jako R apolohovývektortěžiště vzhledem k bodu A 

jako r T = −→ AT , pak zřejmě platír = r T + R. Pro rychlost bodu X platí v = v T + V. 

Odtud je moment hybnosti tělesa vzhledem k obecnému bodu A dán výrazem 

Z 

Z 

L A = r × vdm = (r T + R) × (v T + V)dm. 

Po roznásobení dostaneme celkem čtyři integrály. Vzhledem k definici těžiště jsou 

však dva z nich nulové, tj. platí R Rdm = 0 a R Vdm = 0, takže jako výsledek 

dostaneme 

L A = r T × p + L T , 

kde p = mv T je celková hybnost tělesa a L T je rovno momentu hybnosti tělesa 

vzhledem k těžišti. 

3.1.3 Pohybové rovnice 

Všechny zákony, které jsme odvodili pro soustavu hmotných bodů, platí i pro tuhé 

těleso. Je to proto, že skutečná tělesa je možno považovat za soustavu obrovského


počtu částic — atomů, které vzájemně váží síly akce a reakce (vesměs elektrické 

povahy). Platí tedy těžiš tová , věta: 

Těžiště tuhého tělesa se pohybuje tak, jak by se pohyboval hmotný 

bod o hmotnosti tělesa pod působením stejných vnějších sil. 

Zapsáno vzorcem tedy platí 

ṗ = F, 

kde p = mv T je celková hybnost tělesa a F je výslednice všech vnějších sil působících 

na těleso. Těžiš tová , věta určuje pohyb těžiště tuhého tělesa. A platí také 

momentová věta: 

Derivace momentu hybnosti tělesa se rovná momentu vnějších sil 

vzhledem ke stejnému pevnému bodu. 

Momentová věta zapsána vzorcem má tvar 

˙L = M, 

kde L je celkový moment hybnosti tuhého tělesa a M je součet všech silových momentů 

vnějších sil působících na těleso. Oba momenty musí být počítány vzhledem 

ke stejnému pevnému nebo alespoň inerciálnímu bodu. 

Zprvnívěty dostaneme přímo pohyb těžiště tělesa, bylo by proto přirozené 

počítat i momenty vzhledem k těžišti. Těžiště tělesa však není pevným bodem a 

pohybuje se obecně zrychleně, není tedy vůbec zřejmé, zda druhá věta impulzová 

platí i pro těžiště. Podívejme se proto na problém podrobněji. Pro pevný bod 

A platí druhá věta impulzová 

˙L A = M A . 

Současně pro moment hybnosti a moment síly vzhledem k těžišti T tělesa a vzhledem 

k bodu A platí transformační vzorce 

L A = r T × p + L T a M A = r T × F + M T . 

Po dosazení těchto výrazů domomentovévěty a po příslušném derivování dostaneme 

r T × ṗ + ˙L T = r T × F + M T . 

Na levé straně jsmejižvyužili skutečnosti, že ṙ T × p = v T × p = 0. Současně však 

zprvnívěty impulzové platí ṗ = F, takže nám nakonec zůstane rovnice 

˙L T = M T . 

To je momentová věta vzhledem k těžišti tělesa. Dokázali jsme tedy velmi 

důležitý poznatek, že momentová věta platí nejen pro inerciální body, ale i pro 

těžiště tělesa bez ohledu na jeho pohyb.


Dále, vzhledem ke skutečnosti, že v momentové větě nenípohybtěžiště explicitněobsažen, 

je zřejmé, že pohyb tělesa vůči vlastnímu těžišti je naprosto identický 

spohybemtělesa, jehož těžiště se stalo pevným bodem otáčení. 

Pohyb tělesa vzhledem k těžišti je ekvivalentní pohybu tělesa s pevným 

bodem O = T. 

Obvyklý postup při řešení pohybu tuhého tělesa je tedy tento. Nejprve spočteme 

výslednici vnějších sil F, tu dosadíme do těžiš tové , věty a T = F/m a z ní najdeme 

pohyb těžištětělesa r T (t). Pak spočteme celkový moment vnějších sil M T vzhledem 

ktěžišti tělesa a řešíme momentovou rovnici ˙L T = M T vzhledem k těžišti. Tato rovnice 

v podstatě řeší problém pohybu tělesa kolem pevného bodu — těžiště. Pokud se 

však osa rotace tělesa při pohybu mění, je řešení momentové rovnice nanejvýš obtížné. 

V analytické mechanice se touto problematikou zabývá teorie setrvačníku. 

Pouze v případě, že směr osy rotace tělesa je neměnný, jako je tomu například u 

valivých rovinných pohybů, osa rotace přitom může v prostoru cestovat, je řešení 

momentové rovnice snadné. Elementární řešení momentové rovnice dostaneme také 

vpřípadě izotropního tělesa (koule, krychle atd.). V obou případech je totiž úhlové 

zrychlení rotace tělesa přímo úměrné otáčivému momentu. 

3.2 Setrvačník upevněnývose 

3.2.1 Energie rotujícího tělesa 

Nejprve prostudujeme dynamiku tuhého tělesa otáčivě upevněného v nehybné ose. 

Takové těleso vykonává jen rotační pohyb kolem pevné osy a jeho polohu popisuje 

jednoznačně úhelotočení, který je v daný okamžik pro celé těleso stejný. Tento pohyb 

je nejjednodušším pohybem setrvačníku a zároveň v technické praxi i pohybem 

nejvýznamnějším. 

Ilustrace k odvození rotační energie tuhého tělesa 

rotujícího kolem pevné osy kolmé k rovině 

papíru a jdoucí bodem O. 

Podívejme se nyní na kinetickou energii rotujícího setrvačníku. Těleso setrvačníku 

nech tseotáčí , okamžitou úhlovou rychlostí ω. Každý bod tělesa opisuje kružnici 

se středem na ose, ale každý bod se pohybuje jinou rychlostí. Rozdělme proto 

celé těleso na malé elementy m k . Rychlost elementu, který se nachází ve vzdálenosti 

r k od osy, je tudíž v k = ωr k . Kinetická energie celého tělesa se pak spočte 

jako součet elementárních kinetických energií, a proto je celková energie setrvačníku 

rovna 

T = X k 

1 

2 m kv 2 k = 1 2 ω2 X k 

m k r 2 k.

3.2. SETRVAČNÍK UPEVNĚNÝVOSE 71 

Této energii říkáme také rotační kinetická energie. 

Z posledního vzorce je patrné, že kinetická energie rotujícího tělesa závisí na 

prostorovém rozložení hmoty tělesa vzhledem k ose rotace a pochopitelně také na 

úhlové rychlosti otáčení. Suma ve vzorci však na rychlosti otáčení nezávisí, ale je 

dána jen geometrickým rozložením hmoty tělesa vzhledem k ose. Pokud tuto sumu 

označíme symbolem J, pak rotační energii můžeme vyjádřit jednoduchým vzorcem 

T = 1 2 Jω2 , kde J = X k 

m k r 2 k 

nazýváme momentem setrvačnosti tělesa vzhledem k ose. Moment setrvačnosti 

je klíčovým pojmem v dynamice tuhého tělesa a mnohokrát se s ním ještě setkáme. 

Všimněte si, že rotační kinetická energie je dána vzorcem T = 1 2 Jω2 ,kterýje 

analogický vzorci pro kinetickou energii posuvného pohybu T = 1 2 mv2 . Jen místo 

rychlosti zde máme úhlovou rychlost a místo hmotnosti máme moment setrvačnosti. 

3.2.2 Moment setrvačnosti 

Moment setrvačnosti určuje rotační setrvačné vlastnosti tělesa a je tím větší, čím 

je hmota tělesa umístěna dále od osy otáčení. Pokud změníme osu rotace, bude mít 

pochopitelně stejnétěleso zcela jiný moment setrvačnosti. Moment setrvačnosti 

tedy závisí na volbě rotační osy. Jednotkou momentu setrvačnosti je kg m 2 . 

Moment setrvačnosti hmotného bodu o hmotnosti m je z definice roven 

J = mr 2 , kde r je vzdálenost bodu od osy. Také moment setrvačnosti tenkého 

prstence o poloměru r ahmotnostim vzhledem k ose jdoucí kolmo středem prstence 

je roven 

J = mr 2 , 

protože všechny body prstence jsou od osy otáčení stejně daleko. 

Moment setrvačnosti prstence (a) ahmotného 

bodu (b) je roven J = mr 2 . 

Moment setrvačnosti obecného tělesa se spojitě rozloženou hmotou najdeme 

integrací přes celou hmotnost tělesa a dostaneme 

Z 

J = r 2 dm, 

kde r je vzdálenost elementu dm tělesa od osy otáčení. 

Pojem momentu setrvačnosti do mechaniky zavedl roku 1673 Christiaan Huy 

gens, přičemž název pochází až z roku 1758 od Leonharda Eulera.


3.2.3 Výpočet momentu setrvačnosti 

Integraci přes hmotnost nahrazujeme obvykle integrací přes objem podle předpisu 

Z 

J = r 2 ρdV, 

nebo , t dm = ρdV, kde ρ je hustota tělesa. Pokud je těleso homogenní, platí 

ρ =konst. 

Ilustrace k odvození momentu setrvačnosti 

kvádru (a) atyče (b) . 

Jako první příklad spočtěme moment setrvačnosti homogenního kvádru o 

rozměrech a × b × c kolem osy z jdoucí středem kvádru rovnoběžně sestranouc. Z 

definice momentu setrvačnosti dostaneme integrál přes objem kvádru 

Z Z ¡x 

J z = r 2 dm = 2 + y 2¢ ρdV, 

odtud 

J z = 

Z a/2 Z b/2 Z c/2 

−a/2 

−b/2 

−c/2 

¡ 

x 2 + y 2¢ ρdzdydx = 1 12 m ¡ a 2 + b 2¢ , 

kde m = ρabc. Pro rotační osu x a y dostaneme podobně 

J x = 1 

12 m ¡ b 2 + c 2¢ a J y = 1 

12 m ¡ a 2 + c 2¢ . 

Z tohoto vzorce snadno dostaneme jako speciální případy moment setrvačnosti 

obdélníka, tyče nebo kvádru. Homogenní obdélník a × b vlastně představuje 

nekonečně tenký kvádr c ≈ 0, proto jsou momenty setrvačnosti obdélníka rovny 

J x = 1 12 mb2 , J y = 1 

12 ma2 a J z = 1 

12 m ¡ a 2 + b 2¢ . 

Homogenní tyč délky l je vlastně velmi tenký obdélník, takže platí 

J y = J z = 1 

12 ml2 a J x =0, 

nebo t , a = l, b ≈ 0. Konečně prokrychli a × a × a dostaneme všechny tři momenty 

stejné 

J x = J y = J z = 1 6 ma2 .


Moment setrvačnosti krychle tedy nezávisí na volbě rotačníosy,pokudtatoprochází 

geometrickým středem krychle. 

Prstenec o vnitřním poloměru R 1 

poloměru R 2 . 

avnějším 

Nyní se podíváme na moment setrvačnosti homogenního prstence ovnitřním 

poloměru R 1 avnějším poloměru R 2 ,výšceh ahustotě ρ. Zdefinice je moment 

setrvačnosti prstence vzhledem k ose symetrie roven 

Z Z R2 

J = r 2 dm = r 2 ρ2πrhdr = 1 

R 1 

2 πρh ¡ R2 4 − ¢ R4 1 , 

nebo t , hmotnost elementu je dm = ρdV = ρ2πrhdr. Protože pro hmotnost prstence 

zároveň platím = πρh ¡ R2 2 − R1¢ 2 , máme odtud výsledek 

J = 1 2 m ¡ R 2 1 + R2 2¢ . 

Odtud položením R 1 =0a R 2 = R dostaneme moment setrvačnosti homogenního 

válce opoloměru R 

J = 1 2 mR2 

nebo položením R 1 = R 2 = R dostaneme moment setrvačnosti homogenního tenkého 

prstence (stěny válce) 

J = mR 2 . 

Výsledek není překvapením, protože každý bod tenkostěnného válce leží ve stejné 

vzdálenosti R od osy. 

Ilustrace k výpočtu momentůsetrvačnosti kruhové 

desky o poloměru R kolem os x, y a z. 

Nyní najdeme moment setrvačnosti homogenní kruhové desky opoloměru R, 

ovšemvzhledemkosex jdoucí rovinou desky a středem desky O. Pro osu z kolmou 

k desce moment setrvačnosti již známe, jde o velmi tenký válec, a proto platí 

J z = 

Z ¡x 2 + y 2¢ dm = 1 2 mR2 .


Pro osu x aosuy je však moment setrvačnosti roven 

Z 

Z 

J x = x 2 dm a J y = y 2 dm, 

nebo ttlouš , tka , desky je zanedbatelná. Odtud je zřejmé, že J z = J x + J y asoučasně 

ze symetrie úlohy bude J x = J y , takže odtud získáme pohodlně hledaný výsledek 

J x = J y = 1 2 J z = 1 4 mR2 . 

Moment setrvačnosti desky vzhledem k ose ležící v rovině desky je poloviční oproti 

momentu setrvačnosti vzhledem k ose kolmé. 

Bezodvozenísiuvedemeještěněkolik momentů setrvačnosti, které se objevují 

v úlohách a v technické praxi. Momenty setrvačnosti homogenního elipsoidu o 

poloosách a, b a c vzhledem k hlavním osám elipsoidu jsou rovny 

J x = 1 5 m ¡ b 2 + c 2¢ , J y = 1 5 m ¡ a 2 + c 2¢ , J z = 1 5 m ¡ a 2 + b 2¢ . 

Pro kouli a = b = c = R odtud dostaneme známý výsledek 

J = 2 5 mR2 . 

Moment setrvačnosti homogenního kužele vzhledem k ose symetrie je 

J = 3 10 mR2 . 

Ilustrace k momentu setrvačnosti toroidu 

vzhledem k ose symetrie. 

Konečně moment setrvačnosti homogenního anuloidu (toroidu) vzhledemk 

osesymetrieje 

J = m 

µR 2 + 3 

4 r2 , 

kde m =2π 2 ρr 2 R amomentsetrvačnosti pláště anuloidu (toroidu) je 

J = m 

µR 2 + 3 

2 r2 , 

kde m =4π 2 ρrR.


Příklad 3.1 Spočtěte moment setrvačnosti homogenní koule o poloměru R. 

Řešení: Momentsetrvačnosti koule najdeme z definice integrací přes objem. Ve sférických 

souřadnicích je integrace velmi pohodlná, dostaneme 

Z 

Z R 

Z π 

Z 2π 

J = r⊥ 2 dm = ρ r 4 dr sin 3 θ dθ dφ = 8 

0 

0 

0 15 ρπR5 , 

nebo t , r ⊥ = r sin θ a dm = ρdV = ρr 2 sin θ dθ dφ dr. Protože současně jehmotnostkoule 

rovna m = ρV = ρ 4 3 πR3 , lze vzorec upravit do známého tvaru 

J = 2 5 mR2 . 

Příklad 3.2 Spočtěte moment setrvačnosti homogenní kulové slupky opoloměru R anepatrné 

tlouš tce , vzhledem k ose jdoucí středem slupky. 

Řešení: Moment setrvačnosti koule o poloměru R je 

J = 2 5 mR2 = 8 15 πρR5 . 

Dutá koule o vnitřním poloměru R 1 avnějším poloměru R 2 má hmotnost m = 4 πρ ¡ ¢ 

R 3 3 2 − R 3 1 

a její moment setrvačnosti je roven 

J = 8 15 πρ ¡ R 5 2 − R 5 ¢ 2 

1 = 

5 mR5 2 − R 5 1 

R 3 2 − . 

R3 1 

Pro tenkou kulovou slupku je R 1 ≈ R 2 = R, takže moment setrvačnosti slupky vyjde 

2 − R 5 

J = lim 

R 1 →R 5 mR5 1 

R 3 − R 3 = 2 

1 3 mR2 . 

Příklad 3.3 Spočtěte moment setrvačnosti homogenního elipsoidu vzhledem k hlavní ose z. 

Řešení: Moment setrvačnosti elipsoidu kolem 

Z 

osy z je z definice roven integrálu 

¡x 

J z = 

2 + y 2¢ dm. 

Parametrické rovnice elipsoidu mají tvar 

x = ar sin θ cos φ, y = br sin θ sin φ, z = cr cos θ, 

kde 0 ≤ r ≤ 1, 0 ≤ θ ≤ π a 0 ≤ φ ≤ 2π. Odtud platí 

x 2 + y 2 = ¡ a 2 cos 2 φ + b 2 sin 2 φ ¢ r 2 sin 2 θ 

a pro element hmotnosti platí 

dm = ρdV = ρabcr 2 sin θ dθ dφ dr. 

Elementární integrací dostaneme výsledek 

Z 1 

Z π 

Z 2π 

¡ 

J z = ρabc r 4 dr sin 3 θ dθ a 2 cos 2 φ + b 2 sin 2 φ ¢ dφ = 4π 

0 

0 

0 

15 ρabc ¡ a 2 + b 2¢ . 

Vzhledem k tomu, že hmotnost elipsoidu je rovna m = ρV = ρ 4π 3 

abc, lzevzorecupravitdo 

běžnějšího tvaru 

J z = 1 5 m ¡ a 2 + b 2¢ . 

3.2.4 Trojúhelníková nerovnost 

Pro libovolné tři vzájemně kolmé osy x, y a z apříslušné momenty setrvačnosti 

platí trojúhelníkové nerovnosti 

J x + J y ≥ J z , J y + J z ≥ J x a J z + J x ≥ J y .


Důkaz tvrzení je snadný, jestliže vyjdeme z definice momentu setrvačnosti, pak 

platí 

J x = 

Z ¡y 2 + z 2¢ dm, J y = 

Z ¡z 2 + x 2¢ dm a J z = 

Z ¡x 2 + y 2¢ dm. 

První nerovnost pak plyne ihned z následujícího odhadu 

J x + J y = 

Z ¡x 2 + y 2 +2z 2¢ dm ≥ 

Z ¡x 2 + y 2¢ dm = J z . 

Podobně sedostanouizbývajícídvěnerovnosti. 

3.2.5 Poloměr setrvačnosti 

Jakjstesijistě všimli, je moment setrvačnosti vyjádřen obvykle součinem hmotnosti 

tělesa, čtverce rozměru tělesa a jistého geometrického faktoru, který závisí 

na geometrickém tvaru tělesa. V technické praxi se proto zavádí tzv. poloměr 

setrvačnosti tělesa vztahem 

R S = 

r 

J 

m , 

kterývsobějižzahrnujepříslušný geometrický faktor. Pro moment setrvačnosti 

všech těles pak platí jednoduchý vzorec 

J = mR 2 S . 

Poloměry setrvačnosti mají rozměr délky a uvádějí se běžně v technických tabulkách. 

Například poloměr setrvačnosti homogenního válce je R S = p 1/2R ≈ 0. 

71 R, homogenní koule R S = p 2/5R ≈ 0. 63 R a homogenní tyče R S = p 1/12l ≈ 

0. 29 l. 

3.2.6 Huygens-Steinerova věta 

Moment setrvačnosti tělesa závisí na rozloženíhmotyanavolběrotačníosy.Pro 

každou osu, a těch je nekonečně mnoho, je moment setrvačnosti vždy jiný a pokaždé 

bychom jej měli vypočítat integrací přes objem tělesa. Takový výpočet je přitom 

obvykle dosti komplikovaný, naštěstí není integrace vždy nezbytná. Existují totiž 

užitečné věty, které nám výpočet momentu setrvačnosti podstatně usnadní. Jednou 

znichjevěta Huygens-Steinerova, která umožňuje výpočet momentu setrvačnosti 

tělesa vzhledem k jiné rovnoběžné ose, pokud jeden takový moment setrvačnosti 

už známe. 

Ilustrace k odvození Steinerovy věty. Hledáme 

vztah mezi momentem setrvačnosti tělesa 

vzhledem k ose jdoucí bodem A arovnoběžné 

ose jdoucí těžištěm T.


Hledejme vztah mezi momenty setrvačnosti obecného tělesa vzhledem k ose o 

jdoucí těžištěm T a vzhledem k rovnoběžné ose p jdoucí bodem A. Vzdálenost obou 

os označíme a. Pro pohodlí si definujme pomocnou souřadnou soustavu xyz tak, 

abyjejípočátek ležel v těžišti T aabyosaz byla rovnoběžná s oběma osami o a p. 

Směr osy x zvolíme tak, aby procházela osou p. Zdefinice je moment setrvačnosti 

tělesa vzhledem k ose p jdoucí bodem A roven 

Z Z h 

J A = r 2 dm = (x − a) 2 + y 2i Z ¡a 

dm = 2 − 2xa + x 2 + y 2¢ dm. 

První člen napravo je roven ma 2 , druhý člen na pravé straně vypadne, protože bod 

T je těžištěm tělesa a platí R xdm =0. Konečně třetí člen 

J T = 

Z ¡x 2 + y 2¢ dm 

je roven momentu setrvačnosti tělesa vzhledem k ose o = z jdoucí těžištěm T. Platí 

tedy 

J A = ma 2 + J T , 

což jehledanáHuygens-Steinerova věta, kterou objevil roku 1673 Christaan 

Huygens. Vněmecké a české literatuře je však tato věta známá jako Steinerova 

věta podle Jacoba Steinera. Všimněte si, že moment setrvačnosti je vždy nejmenší 

pro osu procházející těžištěm. Pro každou jinou osu je moment setrvačnosti 

vždy větší J A ≥ J T . 

Steinerova věta se obvykle používá tam, kde potřebujeme určit moment setrvačnosti 

tělesa vzhledem k jiné rovnoběžné ose, než jeta,proníž moment setrvačnosti 

už známe.Stačí tedy znát moment setrvačnosti tělesa vzhledem k jediné z rovnoběžných 

os a všechny ostatní momenty setrvačnosti elementárně dopočteme ze 

Steinerovy věty. V technických tabulkách se proto obvykle uvádí pouze moment 

setrvačnosti pro osu jdoucí těžištěm tělesa. 

Máme určit moment setrvačnosti válce o poloměru 

R vzhledem k ose jdoucí bodem A. 

Uvedeme si příklad na použití Steinerovy věty. Máme určit moment setrvačnosti 

válce vzhledem k ose, ve které se válec dotýká podložky. Moment setrvačnosti válce 

vzhledem k ose symetrie, tj. vzhledem k ose jdoucí těžištěm T ,známe,jeroven 

J T = 1 2 mR2 . Hledaný moment setrvačnosti válce vzhledem k ose jdoucí bodem A 

je podle Steinerovy věty roven 

J A = J T + mR 2 = 3 2 mR2 , 

ajetedytřikrát větší nežmomentsetrvačnosti válce vzhledem k ose jdoucí těžištěm.


Příklad 3.4 Moment setrvačnosti tyče AB délky l vzhledem k těžišti T aosekolméktyči 

je roven J T = 1 12 ml2 . Určete moment setrvačnosti stejné tyče vzhledem k rovnoběžné ose 

jdoucí krajním bodem tyče. 

Máme určit moment setrvačnosti tyče AB o 

délce l vzhledem k ose jdoucí krajním bodem A. 

Řešení: PodleSteinerovyvěty je hledaný moment setrvačnosti roven 

µ 2 

l 

J A = J T + m = 1 2 3 ml2 , 

ajetedyčtyřikrát větší než moment setrvačnosti J T vzhledem k těžišti. 

Příklad 3.5 Je dána homogenní čtvercová deska ABCD orozměrech a × a ahmotnostim. 

Jestliže znáte moment setrvačnosti J A vzhledem ke kolmé ose jdoucí rohem A desky, určete 

moment setrvačnosti desky vzhledem k ose jdoucí bodem S ležícím uprostřed strany AB. 

Máme najít vztah mezi momentem setrvačnosti 

vzhledem k ose jdoucí bodem A bodem S. 

Řešení: PodleSteinerovyvěty je J A = J T + 1 2 ma2 a J S = J T + 1 4 ma2 , takže 

J S = J A − 1 4 ma2 . 

3.2.7 Moment hybnosti vzhledem k ose 

Mějme tuhé těleso rotující úhlovou rychlostí ω kolem pevné osy o. Moment hybnosti 

tělesa je definován předpisem 

Z Z 

L = r × dp = r × vdm, 

kde průvodič r měříme od vybraného bodu A. Moment hybnosti závisí obecně 

od volby referenčního bodu, od něhož měříme průvodič. Pokud zvolíme referenční 

bod A přímo na ose rotace o, pak pro rychlost rotačního pohybu platí známý 

vzorec v = ω × r, zněhož jezřejmé, že vektor rychlosti je vždykolmýkoserotace. 

Rozložíme-li průvodič dosložky r k rovnoběžné s osou a složky r ⊥ kolmé k ose, tj. 

platí 

r = r k + r ⊥ , 

pak platí také v = ω × r ⊥ . Všimněte si, že kolmá složka r ⊥ na volbě referenčního 

bodu A nezávisí.


Pro pohyb setrvačníku upevněného v pevné 

ose o má význam především průmět momentu 

hybnosti L k amomentusílyM k do osy otáčení, 

tj. momenty vzhledem k ose. 

Moment hybnosti tělesa vzhledem k bodu A má obecně oběsložky 

Z 

L = 

³r ⊥´ 

k + r × vdm = L ⊥ + L k . 

Podélná složka L k je rovnoběžná s osou rotace a nezávisí na volbě referenčního 

bodu A. Podobně, jako ve statice nazýváme podélnou složku M k momentem síly 

vzhledem k ose, nazýváme podélnou složku L k momentem hybnosti vzhledem 

k ose. Spočteme ji podle předpisu 

Z 

Z 

L k = r ⊥ × vdm = r ⊥ × ¡ ω × r ⊥¢ Z 

dm = ω r⊥dm, 

2 

kdejsmepři úpravě použili známý vzorec a × (b × c) =(a · c) b − (a · b) c pro 

dvojitý vektorový součin. Výsledek je možno zapsat stručně jako 

L k = Jω, (3.1) 

kde J = R r⊥ 2 dm je moment setrvačnosti tělesa vzhledem k rotační ose o. 

Příčná složka momentu hybnosti nemá na dynamiku setrvačníku vliv, a navíc 

závisí na volbě referenčního bodu A, proto se jí nebudeme dále zabývat. 

3.2.8 Pohybová rovnice setrvačníku s pevnou osou 

Pro tuhé těleso s pevnou osou o platí první a druhá věta impulzová 

ṗ = F a ˙L = M. 

Kromě zadaných vnějších sil F k působí na těleso v ložiscích rotační osy neznámé 

reakce R 1 a R 2 .Právětytoreakcezaručí, aby pohybem setrvačníku byla jen čistá 

rotace kolem pevné osy o. Momenty silových reakcí vzhledem k rotační ose jsou 

nulové, takže pokud nás silové reakce explicitně nezajímají, stačí se omezit na 

jedinou rovnici 

˙L k = M k 

představující podélnou složku druhé věty impulzové. Tato jediná rovnice přitom k 

popisu pohybu setrvačníku zcela postačí, nebo ttuhétěleso , 

upevněné v nehybné 

ose má jen jeden stupeň volnosti.Moment vnějších sil vzhledem k ose známe 

ze statiky a spočte se podle vzorce 

M k = X r ⊥ k × F⊥ k ,


moment hybnosti tělesa vzhledem k ose spočteme podle vzorce (3.1). Hledaná pohybová 

rovnice setrvačníkuspevnouosoumátedytvar 

d 

dt (Jω) =Mk . 

Setrvačník volně otáčivý kolem pevné osy. 

Kromě vnějších sil F působí na setrvačník v 

jeho ložiscích také silové reakce R 1 a R 2. 

Protože moment setrvačnosti tuhého tělesa se při rotaci kolem pevné osy nemění, 

platí (Jω)· = Jε, kde ε = ˙ω je úhlové zrychlení tělesa. Vzhledem k rovnoběžnosti 

obou momentů můžeme opustit vektorový zápis a psát pohybovou rovnici 

také skalárně 

Jε = M k . 

Podélná složka druhé věty impulzové tedy přímo vede na pohybovou rovnici 

setrvačníku s pevnou osou. Pohybová rovnice silně připomíná Newtonův pohybový 

zákon ma = F. Jen místo síly zde máme moment síly, místo zrychlení máme 

úhlové zrychlení a místo hmotnosti máme moment setrvačnosti. 

3.2.9 Zákon zachování momentu hybnosti 

Jestliže na setrvačník nepůsobí žádné vnější síly, je M k =0a moment hybnosti 

setrvačníku se zachovává 

L k = Jω =konst. 

Tento vzorec představuje zákon zachování momentu hybnosti pro tuhé těleso 

otáčivé v pevné ose. V případě, že je moment setrvačnosti tělesa neměnný, tak 

jako je tomu u tuhého tělesa, bude setrvačnému pohybu odpovídat rovnoměrná 

rotace ω =konst. 

Zákon zachování momentu hybnosti však platí i v případě setrvačného pohybu 

izolovaného tělesa s proměnným momentem setrvačnosti J (t). Takovétěleso pochopitelně 

nelze považovat za tuhé těleso. Jeho setrvačný pohyb pak není pohybem 

rovnoměrným, ale nerovnoměrným pohybem rotačním s úhlovou rychlostí 

ω = L J 6=konst. 

Rotační energie takového tělesa se mění a platí 

T = 1 2 Jω2 = L2 

2J 6=konst.


Změna rotační energie tělesa musí být způsobena prací vnitřních sil, protože vnější 

síly jsou podle předpokladu rovny nule. Klesne-li například moment setrvačnosti 

tělesa z hodnoty J 1 na J 2 , pak vzroste rychlost rotace na 

atakéjehorotační energie vzroste na 

ω 2 = L J 2 

= ω 1 

J 1 

J 2 

> ω 1 

T 2 = 1 2 J 2ω 2 2 = L2 J 1 

= T 1 >T 1 . 

2J 2 J 2 

Příkladem takového tělesa je postupně chladnoucí a smrš tující , se hvězda. Při kontrakci 

moment setrvačnosti hvězdy klesá, tím roste rychlost její rotace a její rotačníenergie,příslušnou 

práci zde koná gravitační pole hvězdy. Z mnohých hvězd 

se skutečně nakoncijejichživota stávají malé vyhaslé neutronové hvězdy, které 

velmi rychle rotují. Protože typická neutronová hvězda má průměr kolem dvaceti 

kilometrů, rotuje s periodou kolem jedné milisekundy. V silném magnetickém poli 

obklopujícím neutronovou hvězdu jsou zachytávány nabité částice, které vyzařují 

brzdné zářenípouzevesměru úzkého kuželu. Na Zemi pak následkem rychlé rotace 

neutronové hvězdy pozorujeme krátké a pravidelné rádiové pulzy s opakovací 

frekvencí asi jeden kilohertz. Když astronomové objevili pravidelně pulzující rádiové 

objekty na obloze, o neutronových hvězdách se ještě nicnevědělo, nazvali 

je pulzary. Protože si neuměli vysvětlit jejich původ, považovali zpočátku jejich 

pravidelné pulzy dokonce za signály od mimozemš tanů. 

, 

Příklad 3.6 Krasobruslařka při piruetě přitáhnerucektělu, a tím zmenší svůj moment setrvačnosti 

třikrát. Jak se změní její úhlová rychlost a energie? 

Když krasobruslařka přitáhne ruce k tělu, její 

rychlost prudce vzroste. 

Řešení: Pro rotaci krasobruslařky platí zákon zachování momentu hybnosti J 1 ω 1 = J 2 ω 2 = L, 

aprotože je J 2 = J 1/3, bude ω 2 =3ω 1. Úhlová rychlost krasobruslařkytedyvzrostetřikrát. 

Protože kinetická energie se spočte podle vzorce T = L 2 /2J, dostaneme T 2 =3T 1, kinetická 

energie krasobruslařky vzroste rovněž třikrát. Přírůstek energie vzniká na úkor práce, kterou 

musí bruslařka přitažením rukou vykonat. Kdyby uvolnila svaly, ruce se samy oddálí od těla 

a rotace se tím automaticky zpomalí. Na tomto principu funguje odstředivý regulátor otáček 

parního stroje. 

Zdá se to neuvěřitelné, ale krasobruslařka skutečně může výrazně změnit svůj moment setrvačnosti 

pouhým připažením, případně překřížením rukou na prsou. Jestliže poloměr setrvačnosti 

těla je kolem 15cm, pak poloměr setrvačnosti rukou je kolem 75 cm . Apokudjeváharukou 

jen desetinou váhy krasobruslařky, pak moment setrvačnosti rukou je 2.5 krát větší než zbytku 

těla. Významnou roli při rotaci hraje rovněž pohyb nohou.


3.2.10 Otočná stolička 

Také součet momentů hybnosti izolované soustavy setrvačníků se zachovává. Velmi 

pěkně setodádemonstrovatnaotočné stoličce, která spolu s experimentátorem 

tvoří setrvačník. Experimentátor si opatrně stoupne na stoličku s druhým setrvačníkem, 

obvykle postačí přední kolo z bicyklu opatřené na obvodu olověným pásem 

a rukojetí. Stolička rotuje pouze kolem pevné vertikální osy, moment hybnosti stoličky 

a experimentátora je tudíž L 1 = J 1 ω 1 , kde J 1 a ω 1 jsou moment setrvačnosti 

a úhlová rychlost stoličky a experimentátora. Moment hybnosti setrvačníku vzhledem 

k vlastní ose je roven L 2 = J 2 ω 2 , kde J 2 je moment setrvačnosti vzhledem k 

vlastní ose a ω 2 úhlová rychlost setrvačníku. Protože se však osa setrvačníku nachází 

ve vzdálenosti a od osy stoličky a rotuje kolem ní úhlovou rychlostí ω 1 , bude 

moment hybnosti setrvačníku roven L 0 2 = m 2a 2 ω 1 + J 2 ω 2 , kde m 2 je hmotnost 

setrvačníku. Celkový moment hybnosti složeného setrvačníku je tedy roven 

L = L 1 + L 0 2 = ¡ J 1 + m 2 a 2¢ ω 1 + J 2 ω 2 . 

Kuličková ložiska otočné stoličky izolují soustavu od vnějších otáčivých momentů 

vzhledem k vertikální ose, platí tedy pouze zákon zachování podélné složky celkového 

momentu hybnosti 

L k = ¡ J 1 + m 2 a 2¢ ω 1 + J 2 ω k 2 = konst. 

Otočná stolička s demonstrátorem rotuje rychlostí 

ω 1 a setrvačník, který drží experimentátor 

ve vzdálenosti a od osy stoličky, rotuje 

rychlostí ω 2. 

Zákon zachování vertikální složky momentu hybnosti je možno názorně demonstrovat 

na otočné stoličce. Experimentátor vstoupí na stoličku s nehybným setrvačníkem 

(a), takéstoličkajenapočátku v klidu, takže je L k = 0. Pak experimentátor 

roztočí setrvačník kolem vertikální osy a udělí mu moment hybnosti L 2 = J 2 ω 2 . 

Podle zákona zachování momentu hybnosti tím experimentátor na stoličce získá 

moment opačného znaménka, a roztočí se proto opačným směrem (b), než rotuje 

setrvačník. Jeho rychlost přitom bude rovna 

J 2 

ω 1 = −ω k 2 

J 1 + m 2 a 2 . 

Když poté experimentátor rukou setrvačník zastaví, zastaví se i rotace stoličky. 

Když experimentátor roztočí setrvačník opačným směrem, změní se i směr rotace 

stoličky (c). Totéžjemožno pozorovat i při plynulém sklápění setrvačníku o celých 

180 ◦ .Při horizontální poloze osy roztočeného setrvačníku (d) je vertikální složka 

momentu hybnosti setrvačníku rovna nule, proto bude stolička s experimentátorem 

rovněž v klidu.


Demonstrace zákona zachování momentu hybnosti. 

(a) Experimentátor vstoupí na otočnou 

stoličku. Roztočí setrvačník jedním směrem, 

tímseuvedesámdorotaceopačné (b) a (c). 

Pokud však setrvačník roztočí kolem horizontální 

osy (d) , stolička zůstane v klidu. 

3.2.11 Soustava Země —Měsíc 

Také soustava Země—Měsíc podléhá zákonu zachování momentu hybnosti. Slapové 

působení Země aMěsíce způsobuje, že se Měsíc postupně urychluje a vzdaluje od 

Země asio35 mm za rok, zatímco rotace Země se zpomaluje. Za milióny let se 

vlivem slapových sil rotace Země aMěsíce zesynchronizují natolik, že oběžná doba 

Měsíce i den budou trvat stejně dlouho. V tom okamžiku přestanou slapy Měsíc 

urychlovat a Zemi zpomalovat. Pomocí zákonů zachování snadno najdeme rychlost 

prodlužování dne a synchronní dobu rotace Země aMěsíce. 

Ze zákona zachování hybnosti 1 

atřetího Keplerova zákona 

JΩ + ma 2 ω =konst 

ω 2 a 3 =konst 

máme dvě rovnice svazující oběžnou dobu Země aMěsíce. Zde Ω =2π/T značí 

úhlovou rychlost rotace Země kolemosy,J ≈ (2/5) MR 2 je moment setrvačnosti 

Země, ω je úhlová rychlost oběhu Měsíce kolem Země, m jeho hmotnost a a představuje 

vzdálenost Měsíce od Země. 

Nejprve najdeme rychlost prodlužování dne ∆T jako funkci vzdalování Měsíce 

od Země ∆a. Zdiferencováním obou rovnic a vyloučením ∆ω znichdostaneme 

hledaný vztah 

∆T 

T 

= ma2 ω 

2JΩ 

∆a 

a 

≈ 5ma2 ω ∆a 

4MR 2 Ω a 

≈ 2∆a a . 

Po dosazení příslušných numerických hodnot a pro ∆a ≈ 35 mm /rok dostaneme 

prodloužení dne ∆T ≈ 16 µ s /rok. 

Konečnou synchronní délku dne a měsíce T 0 =2π/ω 0 dostanemezestejných 

zákonů 

JΩ + ma 2 ω = ¡ J + ma 2 0¢ 

ω0 a ω 2 a 3 = ω 2 0a 3 0. 

Odtud však dostaneme pro x = ω 0 /Ω transcendentní rovnici 

· 

1+ 5ma2 ω 

³ 

2MR 2 Ω = 1+ 5ma2 ω 

´4/3 

x 

−4/3¸ 

2MR 2 x, 

Ω 

1 Moment hybnosti odpovídající vlastní rotaci Měsíce můžeme v prvním přiblížení zanedbat.


kterámádvě fyzikální řešení x ≈ 4. 2 a x ≈ 0. 02. Tomu odpovídá synchronní rotace 

speriodouT 0 ≈ 5. 7 hodin nebo T 0 ≈ 50 dní. První řešení odpovídá počátečnímu 

stavu soustavy Země —Měsíc po srážce, kdy byl Měsíc jen 2.5 zemských poloměrů 

daleko, ne náhodou jde o vzdálenost odpovídající Rocheho mezi, kdy se Měsíc 

začal opět formovat v nebeské těleso. Druhé řešení odpovídá konečnému stavu v 

budoucnosti, kdy bude Měsíc 1. 5 krát dále od Země, než je nyní. Měsíc sice zůstane 

uvnitř Hillovy sféry, která má poloměr čtyřikrát větší, než jesoučasná vzdálenost 

Měsíce, ovšem orbitální rezonance mohou jeho pohyb kolem Země vážně narušit. 

Příklad 3.7 Tyč AB délky l stojí svisle. Určete konečnou rychlost v volného pádu konce tyče 

B. Předpokládejte, že druhý konec tyče leží stále na podlaze v bodě A, kdejenapříklad 

kloubově upevněn. 

Ilustrace k úloze, tyč AB padá kolem pevného 

bodu A na podlahu. 

Řešení: Úlohu nejsnáze vyřešíme pomocí zákona zachování energie. Potenciální energie tyče 

na počátku je rovna 

U = mgh T = 1 2 mgl 

aběhem pádu se přemění na rotační energii tyče 

T = 1 2 J Aω 2 = 1 6 mv2 , 

nebo t , J A = 1 3 ml2 a v = ωl. Ze zákona zachování energie T = U máme hned výsledek 

v = p 3gl. 

Rychlost koncového bodu B je tedy větší než rychlost volného pádu hmotného bodu z výšky 

l = |AB| . 

Příklad 3.8 Na pevné kladce jsou zavěšena dvě závaží o hmotnostech m 1 a m 2, hmotnost 

kladky je m. Určete pohyb soustavy závaží za předpokladu, že lano neprokluzuje. 

Řešení: Lano je napínáno silami F 1 a F 2 , takže pohybová rovnice kladky je 

Jε =(F 1 − F 2) R, 

kde J je moment setrvačnosti kladky. Pohybové rovnice obou závaží jsou 

m 1a = m 1g − F 1 a m 2a = F 2 − m 2g. 

Protože lano v drážkách kladky neprokluzuje, platí v = ωR atakéa = εR. Nyní můžeme ze 

soustavy pohybových rovnic vyloučit reakce lan F 1 a F 2, dostaneme tak řešení 

m 1 − m 2 

a = g 

m 1 + m 2 + J/R . 2 

Soustava kladek se bude pohybovat rovnoměrně zrychleně vesměru většího z obou závaží. Za 

předpokladu válcové kladky je J = 1 2 mR2 a 

m 1 − m 2 

a = g 

m 1 + m 2 + 1 m , 

2


kde m je hmotnost kladky. Konečně zapředpokladu zanedbatelné hmotnosti kladky dostaneme 

známý výsledek 

m1 − m2 

a = g . 

m 1 + m 2 

Příklad 3.9 Hnací kolo o poloměru r 1 se otáčí rychlostí ω 1 a pohání hnané kolo o poloměru 

r 2 třecím převodem. Součinitel tření mezi koly je f, přítlačnásílahnacíhokolajeN. Popište 

pohyb hnaného kola, bylo-li na počátku v klidu. 

Řešení: Hnanékoloseroztočí vlivem třecí síly T = fN. Zrychlení kola je dáno momentovou 

větou, takže 

ε = 1 Tr 2 = 1 fNr 2. 

J 2 J 2 

Zpočátku se bude hnané kolo rovnoměrně zrychlovat 

ω 2 = εt, 

dokud nedosáhne rychlosti ω 2 = ω 1 r 1 /r 2 , kdy hnací kolo přestane prokluzovat. K tomu dojde 

za čas 

t 0 = ω2 

ε 

= ω1r1J2 

fNr2 

2 . 

3.2.12 Práce sil při rotačním pohybu 

Podívejme se na velikost práce, kterou konají vnější síly na tělese upevněném v 

ose. Z definice práce je element práce vnějších sil F k roven 

dA = X F k · dr k = X F k · (dφ × r k ) , 

kde dr k =dφ × r k jsou posunutí působiš , t jednotlivých sil při pootočení tělesa 

o úhel dφ. Jednoduchou úpravou smíšeného součinu je možno vytknout vektor 

elementárního pootočení dφ před znak sumace a dostáváme 

dA =dφ · X r k × F k =dφ · X M k = M · dφ. 

Integrací pak máme výsledek 

Z 

A = 

Z 

M · dφ = 

M k dφ. 

Práci tedy konají jen síly, které mají nenulový moment M k vzhledem k ose rotace. 

Reakce ložisek práci nekonají. V tomto tvaru platí vzorec i pro rotaci tělesa kolem 

pevného bodu. Pokud je otáčivý moment stálý, platí jednoduše 

Pro okamžitý výkon sil dostaneme 

A = M k ∆φ. 

P = dA 

dt = M · dφ = M · ω, 

dt


takže například při mechanickém převodu, jehož ztráty jsou zanedbatelné, platí 

P 1 ≈ P 2 neboli 

M 1 ω 1 ≈ M 2 ω 2 . 

Zpomalení otáček převodovkou má za následek úměrné zvýšení točivého momentu. 

3.2.13 Odstředivá síla a vyvážený setrvačník 

Na rotující hmotný bod působí odstředivá síla. Podobně budou působit odstředivé 

síly i na rotující tuhé těleso. Kromě výslednice sil, která má snahu pohnout osou 

rotace, vzniká obecně i silový moment, který se snaží změnit směr osy rotace. 

Podívejme se na tyto odstředivé síly nyní podrobněji. 

Staticky nevyvážený (a) astatickyvyvážený 

(b) setrvačník. 

Uvažujme rotaci tuhého tělesa (setrvačníku) kolem pevné osy o úhlovou rychlostí 

ω. Nakaždý bod tělesa působí odstředivé zrychlení 

a O = ω 2 r ⊥ 

a výsledná odstředivá síla, kterou působí tuhé těleso na osu, je pak dána jako 

výslednice elementárních odstředivých sil 

Z Z 

F O = a O dm = ω 2 r ⊥ dm = ω 2 mrT ⊥ , 

kde rT ⊥ je vzdálenost těžiště tělesa od osy otáčení. Tato síla musí být kompenzována 

reakcemi ložisek setrvačníku. 

Výsledná odstředivá síla je rovna nule, leží-li těžiště tělesa na ose. Nemají-li 

být ložiska setrvačníku namáhána, je nutno, aby setrvačník byl vyvážený nebo 

vycentrovaný, tj. jeho těžiště musíležet na ose rotace. Pak hovoříme o staticky 

vyváženém setrvačníku. 

Dynamicky nevyvážený (a) a dynamicky vyvážený 

(b) setrvačník.


Spočtěme dále moment odstředivých sil vzhledem k bodu A na ose rotace 

Z 

Z 

M O = r × dF O = r × ω 2 r ⊥ dm. 

Rozložíme-li průvodič r obecného bodu tělesa do složky kolmé a rovnoběžné s osou 

o, platí r = r ⊥ + r k , apodosazenídostaneme 

Z 

M O = M ⊥ O = r k × ω 2 r ⊥ dm. 

Odtud je zřejmé, že silový moment odstředivých sil je vždykolmýkoserotace 

setrvačníku a má tendenci tuto osu sklopit. Proto se mu také říká klopný moment. 

Jeho přítomnost vede k nežádoucímu namáhání ložisek. Pouze pokud je klopný 

moment roven nule, je setrvačník dynamicky vyvážen. 

Dá se ukázat, že u každého tuhého tělesa existují nejméně tři navzájem kolmé 

osy, jimž odpovídá staticky i dynamicky vyvážená rotace. Všechny tyto osy procházejí 

pochopitelně těžištěm tělesa a nazývají se volné osy. Vpřípadě symetrického 

tělesa může být těchto os dokonce ještě více. Jen volným osám rotace odpovídá 

dokonale vyvážený setrvačník, který minimálně namáhá ložiska. Podmínka F O = 0 

zaručuje statické vyvážení apodmínkaM O = 0 dynamické vyvážení setrvačníku. 

Spočteme klopný moment setrvačníku rotujícího kolem osy z. Vtompřípadě je 

r =(x, y, z) , r k =(0, 0,z) a r ⊥ =(x, y, 0) . Vektorový součin vystupující v integrálu 

je nyní roven r k × r ⊥ =(−yz, xz,0) . Výsledný silový moment odstředivých sil M O 

tedy ležívrovině xy amádvěnenulovésložky M Ox a M Oy 

M Ox = ω 2 J yz , M Oy = −ω 2 J xz . 

Veličiny 

Z 

J xz = − 

Z 

xzdm a J yz = − 

yzdm 

závisí pouze na rozložení hmoty setrvačníku vzhledem k osám xyz a nazývají 

se deviační momenty. Jejich název z roku 1858 pochází od William John 

Macquorn Rankina. Pokud budou deviační momenty J xz a J yz rovny nule, bude 

nulový i klopný moment odstředivých sil vzhledem k ose z a tato osa bude volnou 

osou setrvačníku. 

Při postupném narůstání rychlosti rotace tělesa 

kolem volné osy (platí ω 1 < ω 2 < ω 3 ) 

způsobí odstředivá síla změnu orientace tělesa 

tak, aby těleso zaujalo nakonec polohu s největším 

momentem setrvačnosti.


Zajímavý projev klopného momentu odstředivých sil je zobrazen na obrázku. 

Pokud budeme roztáčet těleso zavěšené v jediném bodě, vznikající odstředivé síly 

způsobí, že těleso spontánně zaujme polohu odpovídající rotaci s největším momentem 

setrvačnosti. Například tyč nebo prstenec zaujmou polohu horizontální, i když 

tím jejich potenciální energie nutně vzroste. Stejná příčina způsobuje, že na stole 

roztočený vlček se postupně napřimuje, až nakonec rotuje kolem osy s největším 

momentem setrvačnosti. 

3.2.14 Rovinný pohyb 

Pokud leží rychlosti všech bodů tuhého tělesa stále v jediné rovině, nazýváme takový 

pohyb rovinným pohybem. Osarotacejevtompřípadě stále kolmá na 

rovinu pohybu, může se však translačně pohybovat v prostoru. Typickým příkladem 

je valivý pohyb válce, jehož osa rotace se plynule měnítak,jaksemění bod 

dotyku tělesa s podložkou. V případě rovinného pohybu je i moment hybnosti stále 

kolmý k rovině pohybu a platí proto skalárně 

L T = J T ω, 

kde J T je moment setrvačnosti tělesa vzhledem k těžišti. Momentová věta pak vede 

na pohybovou rovnici 

ε = 1 M T . 

J T 

Spolu s těžiš tovou , větou 

ma = F 

tak máme dostatek rovnic k vyřešení libovolného rovinného pohybu. Většina učebnicových 

úloh na dynamiku tuhého tělesa je právě úlohou na rovinný pohyb. 

Síla F táhne válec po drsné podložce. Máme 

určit pohyb válce. 

Uve dme , si dva jednoduché příklady na rovinný pohyb. Máme válec o hmotnosti 

m apoloměru R. Na válec působí stálá horizontální síla F voseválce,tj.vtěžišti. 

Máme určit pohyb válce po drsné horizontální podložce. Především si musíme uvědomit, 

žejdeorovinnýpohyb,při kterém se válec bude odvalovat po podložce. 

Kromě síly F musíme uvážit ještě sílu tření T, která vzniká v místě O dotyku válce 

spodložkou. Těžiš tová , věta má tedy tvar 

a momentová věta má tvar 

ma = F − T 

J T ε = TR.


Konečně, předpoklad drsnosti podložky implikuje podmínku v = ωR, neboli 

a = εR 

zaručující valivý pohyb válce po podložce bez prokluzu. Uvedené tři rovnice pro 

a, ε a T je možno vyřešit s výsledkem 

R 2 

a = 

mR 2 F. 

+ J T 

Válec se tedy bude pod vlivem síly F pohybovat rovnoměrně zrychleně. Speciálně, 

pro homogenní válec J T =(1/2) mR 2 bude zrychlení rovno 

a úhlové zrychlení válce bude 

a = 2F 

3m 

ε = 

2F 

3mR . 

Velikost třecí síly spočteme z těžiš tové , věty 

J T 

T = F − ma = 

mR 2 F = 1 + J T 3 F. 

Předložené řešení předpokládá, že povrch podložky je dostatečně drsný, aby nemohlo 

dojít k proklouznutí válce. To bude zřejmě splněno jen tehdy, pokud třecí 

síla nepřekročí velikost síly smykového tření, tj. musí platit podmínka T


Všimněte si, že úhlové zrychlení je již nezávislénavelikostipřiložené síly. Protože 

rychlost bodu dotyku válce s podložkou je kladná 

w = a − εR = F − 3fg > 0, 

m 

bude smyk válce pokračovat po celou dobu působení síly F. Speciálně prohladký 

válec je f ≈ 0, takže a = F/m a ε =0. Válec se tedy nebude otáčet, ale bude 

klouzat po podložce. 

Rotující tyč AB se bude v tíhovém poli otáčet 

stálou úhlovou rychlostí a její střed — těžiště T 

—budeopisovatvevzduchuparabolu. 

A toto je druhý příklad. Máme popsat pohyb tyče AB, která byla vyhozena 

do vzduchu s počáteční rotací ω 0 .Natyčvevzduchupůsobí pouze tíhová síla, a 

proto je zrychlení těžiště tyče rovno a T = G/m = g. Těžiště tyče tedy během letu 

ve vzduchu opisuje parabolu. Protože na tyč působí jen gravitace a její moment 

vzhledem k těžišti je nulový M T = 0, vede druhá věta impulzová ihned k závěru, 

že se nebude měnitanimomenthybnostityče L T =konst. Pokud se omezíme na 

pohyb tyče ve vertikální rovině, platí L T = J T ω = ml 2 ω/12, takže tyč bude během 

letu rotovat kolem svého těžiště rovnoměrně, tj. stálou rychlostí ω = ω 0 . 

Příklad 3.10 Určete zrychlení válce o hmotnosti m, momentu setrvačnosti J T a poloměru R 

kutálejícího se po nakloněné rovině osklonuα. 

Válecsekutálíponakloněné rovině, máme určit 

jeho zrychlení. 

Řešení A: Především je nutno si uvědomit, že jde o rovinný pohyb. Na válec působí tři síly: 

tíha G, normálová reakce podložky N atřecí síla od podložky T, která způsobuje, že se válec 

roztáčí kolem své osy. Jejich výslednice má velikost F = mg sin α − T. Válec, přesněji jeho 

těžiště, se bude kutálet z nakloněné roviny se stálým zrychlením 

a = g sin α − T m . 

Pro úhlové zrychlení válce platí z momentové věty vzhledem k těžišti 

ε = M = TR . 

J T J T 

Pro rychlost v těžiště válce a úhlovou rychlost ω přitom platí v = ωR, neboli 

a = εR,


nebo tpředpokládáme, , 

že nedochází k prokluzování. Tak máme tři rovnice pro tři neznámé 

veličiny a, ε a T. Snadno je odtud spočteme a dostaneme 

mR 2 

J T 

a = εR = g sin α , T = mg sin α . 

mR 2 + J T mR 2 + J T 

Řešení B: Úlohu je možno vyřešit také vzhledem k okamžitému středu otáčení A. Vtom 

případě siušetříme výpočet silové reakce T. Momentová rovnice vzhledem k bodu A dotyku 

válce s nakloněnou rovinou dává 

J Aε = M A = GR sin α. 

Odtud za předpokladu, že válec neprokluzuje, máme hned pro zrychlení vzorec 

a = εR = g sin α mR2 . 

J A 

Vzhledem ke Steinerově větě jeJ A = J T + mR 2 , máme tedy stejný výsledek jako v případě 

řešení A. 

Řešení C: Konečně stejný výsledek se dostane i pomocí zákona zachování energie, podle něhož 

platí 

E = 1 2 mv2 + 1 2 JT ω2 + mgh. 

Pokud válec neprokluzuje, je v = ωR adáleh = h 0 − s sin α, kde s je dráha, kterou válec 

urazí na nakloněné rovině. Na počátku je energie rovna jen energii potenciální E = mgh 0 . 

Odtud po dosazení a úpravě dostaneme pro rychlost válce vzorec 

r 

mR 

v = 2gssin α 

2 

. 

mR 2 + J T 

Jestliže výsledek srovnáme se vzorcem v = √ 2as pro rovnoměrně zrychlený pohyb, snadno 

najdeme, žejdeopohybsezrychlením 

mR 2 

a = g sin α . 

mR 2 + J T 

Příklad 3.11 Jestliže pustíme z nakloněné roviny současně homogenní válec, dutý válec, homogenní 

kouli a dutou kouli, které těleso se skutálí dolů nejrychleji? 

Řešení: Použijeme výsledek předchozí úlohy, kde stačí dosadit za moment setrvačnosti příslušných 

těles. Pro homogenní válec vyjde a = 2 g sin α, pro dutý válec a = 1 g sin α, pro 

3 2 

homogenní kouli vyjde a = 5 7 g sin α aprodutoukoulia = 3 5 

g sin α. Plná koule se tedy skutálí 

vždy nejrychleji, zatímco dutý válec nejpomaleji, bez ohledu na velikost nebo hmotnost těles. 

Příklad 3.12 Na vozík o hmotnosti M (včetně jehokol)působí horizontální síla F. Určete 

zrychlení vozíku, má-li čtyři kola, každé o hmotnosti m. Kola je možno považovat za homogenní 

válce. 

Řešení: Vnější síla musí urychlit nejen vozík, ale i roztočit jeho kola. Kola roztáčí třecí síla 

T. Pohybová rovnice každého kola je Jε = TR apohybovárovnicevozíkujeMa = F − 4T. 

Odtud dostaneme zrychlení vozíku 

F 

a = 

M +4J/R = F 

2 M +2m . 

Totéž jemožno dostat ze zákona zachování energie. Síla F vykoná na dráze s práci, která se 

přemění na kinetickou energii vozíku, takže platí 

Ts = 1 2 Mv2 +4 1 2 Jω2 = 1 2 (M +2m) v2 . 

Odtud v 2 =2Fs/(M +2m) a vzhledem k obecnému vzorci pro rovnoměrně zrychlené pohyby 

v 2 =2as musí platit pro hledané zrychlení a = F/(M +2m) .


Příklad 3.13 Tyč AB délky l stojísvislenazcelahladkéhorizontálnípodložce. Určete dráhu 

arychlostkrajníchbodů A, B atěžiště T tyče při jejím pádu. 

Tyč AB padá na dokonale hladké podložce. Těžiště 

T se pohybuje vertikálně podélosyy aokamžitým 

středem otáčení tyče je bod O. 

Řešení: Dráhou bodu A je zřejmě horizontálníúsečka podél osy x. Protože je podložka hladká, 

působí na tyč jen vertikální silou, a proto se těžiště T tyče nemůže odchýlit v horizontálním 

směru. Dráhou těžiště T je tedy vertikální úsečka podél osy y. Pokud známe polohu těžiště, 

snadno najdeme polohu bodu B. Jeho souřadnice jsou zřejmě 

x = l sin φ a y = l cos φ. 

2 

Vyloučením úhlu φ dostaneme rovnici trajektorie bodu B, kterou je elipsa s poměrem poloos 

1 ku 2. 

Okamžitým středem otáčení tyče je bod O, vokamžiku dopadu tyče na zem je středem otáčení 

tyče bod A, proto je v A =0. Ze zákona zachování energie 

1 

2 mgl = 1 2 Jω2 = 1 6 ml2 ω 2 

máme ω = p 3g/l. Rychlost těžiště T při dopadu tyče na podlahu je tedy v T = 1 2 ωl = q 

3 

4 gl 

arychlostkrajníhoboduB tyče je v B = ωl = √ 3gl. 

Příklad 3.14 Na vodorovný stůl byl položen roztočený válec o úhlové rychlosti ω 0 a poloměru 

R. Válec se dá v důsledku tření s podložkou do pohybu, až dosáhne maximální rychlosti a 

bude se dále kutálet bez tření. Určete maximální rychlost těžiště v T . 

Ilustrace k úloze, roztočený válec (a) byl položen 

na drsnou podložku a dal se do pohybu (b). 

Řešení A: Podle zadání je na počátku v 0 =0. Střed otáčeníválcesemění,nejprveseválec 

otáčí kolem těžiště, a pak se střed otáčení posouvá dolů, a to až dookamžiku, kdy přestane 

proklouzávat a přejde do valivého pohybu, kdy bude středem otáčení bod A dotyku válce s 

podložkou. Musíme proto počítat momenty vzhledem k těžišti a vzít obě věty impulzové. Třecí 

síla při prokluzování je T = fmg, proto se těžiště válce urychluje se zrychlením a = fg a 

rychlost těžiště narůstá lineárně podle 

v T = fgt. 

Zpomalení rotace se spočte z druhé věty impulzové J T ε = TR, odtud je 

ε = fmgR 

J T 

. 

Rotace se bude zpomalovat, platí tedy 

ω = ω 0 − εt,


atoaždookamžiku, kdy nastane valivý pohyb, tj. v T = ωR. Zpodmínky 

fgt =(ω 0 − εt) R = ω 0R − fmgR2 t 

J T 

najdeme dobu urychlování těžiště válce 

t = ω0R J T 

. 

gf mR 2 + J T 

Odtud je výsledná rychlost těžiště válcev T = fgt, tj. 

J T 

v T = ω 0R 

= 2 mR 2 + J T 3 ω0R, 

kde jsme předpokládali homogenní válec, a proto jsme položili J T = 1 2 mR2 . Všimněte si, že 

konečná rychlost válce překvapivě na velikosti tření mezi válcem a podložkou vůbec nezávisí. 

Řešení B: Konečnou rychlost válce je možno najít i ze zákonů zachování. Zákon zachování 

energie pochopitelně použít nemůžeme, protože je zde přítomno tření. Můžeme však použít 

zákon zachování momentu hybnosti. Vzhledem k bodu A ležícímu na podložcejesilový 

moment třecí síly roven nule, takže platí zákon zachování momentu hybnosti J T ω 0 = J Aω. 

Odtud už snadno dopočteme výslednou rychlost těžiště 

v T = ωR = ω 0R JT 

J T 

= ω 0R . 

J A mR 2 + J T 

Příklad 3.15 Do stojící koule udeřila jiná koule, takže se dala do pohybu rychlostí v 0.Určete 

rychlost v koule od okamžiku, kdy přestane prokluzovat po stole. 

Řešení: Koulezískalapočáteční rychlost, ale počáteční rotace je nulová. Proto dochází k 

prokluzování koule, tím vzniká třecí síla T = fmg a ta uvede kouli do rotace. Po krátké chvíli 

prokluzování skončí. Rotace roste s časem podle vzorce ω = TRt/J akoulejebrzděna podle 

zákona v = v 0 − Tt/m. Prokluzování koule přestane v okamžiku t takovém, že v = ωR. Z 

rovnice 

v 0 − Tt/m = TR 2 t/J 

tak dostaneme 

t = v 0 

fg 

J 

J + mR 2 

aprokonečnou rychlost máme 

mR 2 

v = v 0 

J + mR . 2 

Speciálně pro homogenní kulečníkovou kouli dostaneme v = 5 7 v0. 

Příklad 3.16 Na stole leží papír a na něm válec. Popište pohyb válce, jestliže začneme papírem 

rovnoměrně pohybovatrychlostív 0 ve směru kolmém na osu válce. 

Papír pod válcem je tažen rovnoměrně doprava 

rychlostí v 0. Máme určitrychlostpohybuválce 

v ajehorotaciω. 

Řešení: Pohyb papíru vede k prokluzování válce a vzniku třecí síly T = fmg. Tato síla uvede 

válecdorotaceidotranslačního pohybu. Z pohybových rovnic máme ma = T a Jε = TR, 

odtud je v = Tt/m a ω = TtR/J. Válec přestane prokluzovat v okamžiku, kdy je rychlost 

bodu A dotyku válce rovna rychlosti papíru, musí tedy platit podmínka 

v + ωR = v 0 . 

To nastane v okamžiku 

t = v 0 

fg 

J 

J + mR 2 ,


a pak bude rychlost válce rovna 

J 

MR 

v = v 0 

a ω = v 

J + mR 2 0 

J + mR . 2 

Vpřípadě homogenního válce je v = 1 v 3 0, válec má tedy třetinovou rychlost oproti rychlosti 

pohybu papíru. Relativní rychlost válce vzhledem k papíru je v 0 − v = 2 3 v0. 

Příklad 3.17 Spočtěte kinetickou energii homogenního válce o poloměru R a hmotnosti m, 

který se odvaluje po podložce rychlostí v. 

Řešení: Kinetická energie se skládá z kinetické energie translačního pohybu 1 2 mv2 arotační 

1 

energie válce vzhledem k těžišti 

2 JT ω2 . Celková energie je proto rovna 

E = 1 2 mv2 + 1 2 JT ω2 = 3 4 mv2 , 

protože při odvalování platí v = ωR a moment setrvačnosti válce vzhledem k těžišti je J T = 

1 

2 mR2 . 

Stejný výsledek dostaneme také tak, že si uvědomíme, že valivý pohyb je rotačním pohybem 

kolem okamžité osy dotyku válce s podložkou. Moment setrvačnosti vzhledem k této ose je 

podle Steinerovy věty J = J T + mR 2 = 3 2 mR2 , arotační energie je proto 

E = 1 2 Jω2 = 3 4 mv2 . 

Příklad 3.18 Vyjádřete kinetickou energii homogenního válce o poloměru r ahmotnostim 

pomocí úhlu φ. Válecseodvalujeuvnitř válcové plochy o poloměru R. 

Máme najít kinetickou energii válce o poloměru 

r kutálejícího se ve válcové ploše o poloměru R 

jako funkci úhlu φ. 

Řešení: Rychlost středu S válce je v =(R − r) ˙φ, takže úhlová rychlost válce vzhledem k 

nehybnému bodu A je ω = v/r =(R − r) ˙φ/r. Odtud je kinetická energie válce 

T = 1 2 JAω2 = 1 ¡ 

J + mr 

2 ¢ ω 2 = 1 ¡ 

m + JT /r 2¢ (R − r) 2 ˙φ2 

2 

2 

a pro homogení válec platí J T = 1 2 mr2 , takže 

T = 3 4 m (R − r)2 ˙φ2 . 

3.3 Setrvačník upevněnývbodě 

3.3.1 Moment hybnosti a tenzor setrvačnosti 

Uvažujme nyní setrvačník, který se může volně otáčet kolem pevného bodu O, například 

díky kloubovému uložení. Pohyb takto uloženého setrvačníku má tři stupně 

volnosti. Trajektorie každého bodu setrvačníku leží na sféře se středem v bodě O. 

Nech tsesetrvačník , 

otáčí okamžitou úhlovou rychlostí ω. Rychlost obecného bodu 

X setrvačníku ve vzdálenosti r od středu otáčení O je dána známým vzorcem 

v = ω × r

3.3. SETRVAČNÍK UPEVNĚNÝVBODĚ 95 

a moment hybnosti setrvačníku se spočte jako integrál 

Z 

Z 

L = r × vdm = r × (ω × r)dm. 

Protože platí identita r × (ω × r) =r 2 ω − (ω · r) r, dostaneme odtud výsledek 

Z £r 

L = 2 ω − (ω · r) r ¤ dm. (3.2) 

Těleso upevněné otáčivě v jediném bodě O, 

směr rotace ω amomenthybnostiL obecně 

nesplývají. 

Vektor momentu hybnosti L je lineární funkcí úhlové rychlosti ω. Abychom však 

oddělili závislost na úhlové rychlosti od geometrických vlastností tělesa, musíme 

zavést tenzor setrvačnosti 

J = 

Z ¡r 2 E − rr ¢ dm, (3.3) 

kde E představuje jednotkový tenzor a rr dyadický součin polohových vektorů r. 

Moment hybnosti setrvačníku pak můžeme vyjádřit skalárním součinem 

3.3.2 Dyadický součin a pojem tenzoru 

L = J·ω. (3.4) 

Vdefinici tenzoru setrvačnosti se objevuje dyadický součin dvou vektorů rr.Vedle 

skalárního součinu a · b avektorovéhosoučinu a × b jde o třetí typ součinu dvou 

vektorů ab. Dyadický součin je nekomutativní, proto musíme dbát při zápisu na 

pořadí vektorů. Smysl součinu je zřejmý z jeho zápisu ve složkách 

ab = (a 1 e 1 + a 2 e 2 + a 3 e 3 )(b 1 e 1 + b 2 e 2 + b 3 e 3 ) 

= a 1 b 1 e 1 e 1 + a 1 b 2 e 1 e 2 + a 1 b 3 e 1 e 3 

+a 2 b 1 e 2 e 1 + a 2 b 2 e 2 e 2 + a 2 b 3 e 2 e 3 

+a 3 b 1 e 3 e 1 + a 3 b 2 e 3 e 2 + a 3 b 3 e 3 e 3 . 

Pokud chápeme veličiny e i e k jako vektory báze, pak veličiny a i b k představují složky 

dyadického součinu ab. V kombinaci se skalárním součinem platí ab · c = a (b · c) , 

c · ab =(c · a) b a c · ab · d =(c · a)(b · d) . 

Pomocí dyadického součinu se přirozeně zavedepojemtenzoru.Tenzor je určitým 

zobecněním pojmu vektor, který má jen jeden index a tři složky. Podobně jako


definujeme složky vektoru a předpisem a k = e k · a, definujeme složky tenzoru T 

předpisem 

T ik = e i ·T ·e k . 

Vzhledem k ortonormálnosti báze e k pak platí naopak 

T = X ik 

T ik e i e k . 

Tenzor T má indexy dva, a má tudíž devět složek T ik ,kteréčasto zapisujeme ve 

tvaru matice 

⎛ 

T = ⎝ T ⎞ 

11 T 12 T 13 

T 21 T 22 T 23 

⎠ . 

T 31 T 32 T 33 

Příkladem tenzoru je například dyadický součin T = ab, jehož složky jsou T ik = 

a i a k . 

3.3.3 Speciální typy tenzorů 

Tenzor S je symetrický tenzor, pokud pro libovolný vektor a platí a ·S= S·a. 

Odtud pro složky symetrického tenzoru musí platit S ik = S ki . Symetrický tenzor 

má tedy jen šest nezávislých složek. Tenzor A je antisymetrický tenzor, pokud 

pro libovolný vektor a platí a ·A= −A·a. Odtud pro složky symetrického tenzoru 

musí platit A ik = −A ki a A kk =0. Antisymetrický tenzor má tedy jen tři nezávislé 

složky. Tenzor E je jednotkový tenzor, pokud pro libovolný vektor a platí a·E = 

E·a = a. Odtud je 

⎛ 

E = e 1 e 1 + e 2 e 2 + e 3 e 3 = ⎝ 1 0 0 ⎞ 

0 1 0 ⎠ 

0 0 1 

aprosložky jednotkového symetrického tenzoru musí platit E ik = δ ik .Symbolδ ik 

zde představuje známé Kroneckerovo delta (Leopold Kronecker), tj. výraz, 

který se rovná jedné, pokud jsou oba indexy stejné δ 11 = δ 22 = δ 33 =1nebo nule, 

pokud jsou oba indexy různé δ 12 = δ 21 = δ 13 = δ 31 = δ 23 = δ 32 =0. 

3.3.4 Složky tenzoru setrvačnosti 

Podobně, jako je moment setrvačnosti dán rozložením hmoty tělesa vzhledem k ose 

o, je tenzor setrvačnosti J určen rozložením hmoty v tělese vzhledem k pevnému 

bodu O. Pokud jej známe, snadno spočteme moment hybnosti tělesa vzhledem k 

libovolné ose rotace jdoucí tímto bodem podle předpisu L = J·ω arovněž snadno 

spočteme moment setrvačnosti a rotační energii tělesa vzhledem k libovolné ose, 

jak ukážeme za chvíli.


Nemusíme tedy počítat moment setrvačnosti a moment hybnosti pro každou 

orientaci rotační osy znova, ale stačí znát devět složek J ik tenzoru setrvačnosti 

(vzhledem k jeho symetrii vlastně jen šest) a vše ostatní se snadno dopočte. Veškerá 

informace o setrvačných vlastnostech tělesa vzhledem k rozmanitým osám je ukryta 

ve složkách tenzoru setrvačnosti, a právě proto byl tenzor setrvačnosti do mechaniky 

zaveden. 

Abychom nahlédli blíže do struktury tenzoru setrvačnosti (3.3), spočtěme jeho 

kartézské složky 

Po úpravě dostaneme 

J ik = e i ·J ·e k = 

Z £r 2 e i ·E·e k − (e i · r)(r · e k ) ¤ dm. 

J ik = 

Z ¡r 2 δ ik − x k x i 

¢ dm. 

Tenzor setrvačnosti má tedy složky, které můžeme přehledně zapsat pomocí matice 

⎛ R ¡ y 2 + z 2¢ dm − R xydm − R ⎞ 

xzdm 

J = ⎝ − R R¡ 

xydm z 2 + x 2¢ dm − R yzdm 

− R xzdm − R ⎠ 

R¡ 

yzdm x 2 + y 2¢ . 

dm 

Z tohoto zápisu je zřejmé, že tenzor setrvačnosti je symetrickým tenzorem. Diagonální 

členy tenzoru setrvačnosti přitom odpovídají momentům setrvačnosti J x ,J y a 

J z vzhledem k osám x, y a z, nediagonální členy odpovídají deviačním momentům 

J xy ,J xz a J yz . Platítedyrovněž 

⎛ 

J = ⎝ J ⎞ 

x J xy J xz 

J xy J y J yz 

⎠ . 

J xz J yz J z 

3.3.5 Kinetická energie setrvačníku 

Podívejmesenyní,zdadokážeme vyjádřit i kinetickou energii setrvačníku pomocí 

tenzoru setrvačnosti J .Zdefinice se kinetická energie tělesa rotujícího kolem pevného 

bodu spočte podle vzorce 

T = 

Z 1 

2 v2 dm = 

Z 1 

2 (ω × r)2 dm, (3.5) 

kde jsme dosadili za rychlost v = ω × r. Integrandmůžeme upravit pomocí identity 

(ω × r) 2 = ω 2 r 2 − (ω · r) 2 adostaneme 

T = 1 Z h 

ω 2 r 2 − (ω · r) 2i dm = 1 2 2 ω · L = 1 ω ·J ·ω. 

2 

Kinetická energie rotujícího setrvačníku je tedy rovněž dána tenzorem setrvačnosti 

a vektorem úhlové rychlosti. Moment hybnosti rotujícího tělesa obecně nemásměr


jeho úhlové rychlosti, ale oba vektory svírají vzájemně úhel α, který se najde z 

rovnice 

cos α = ω · L 

ωL = 2T 

ωL . 

3.3.6 Moment setrvačnosti 

Nyní už dokážeme najít vztah pro moment setrvačnosti J (n) vzhledem k libovolně 

vybrané ose o určené středem otáčení O asměrovým vektorem n. Vyjdeme ze 

vztahu pro rotační energii při rotaci úhlovou rychlostí ω kolem osy n, pak je ω = ωn, 

aprotože platí 

a zároveň zdefinice 

T = 1 2 ω ·J ·ω = 1 2 ω2 n ·J ·n 

T = 1 2 ω2 J (n) , 

máme odtud hledaný vzorec pro moment setrvačnosti 

J (n) =n ·J ·n. 

Například pro moment setrvačnosti tělesa vzhledem k ose z bude jednotkový směr 

osy n =(0, 0, 1) , aprotodostanemeJ z = J (n) =J 33 . Pro obecnou osu n = 

(cos α, cos β, cos γ) dostaneme podobně výsledek 

J (n) = J 11 cos 2 α + J 22 cos 2 β + J 33 cos 2 γ +2J 12 cos α cos β 

+2J 13 cos α cos γ +2J 23 cos β cos γ, 

zněhož jezřejmé, že moment setrvačnosti závisí na všech složkách tenzoru setrvačnosti. 

3.3.7 Kanonický tvar tenzoru setrvačnosti 

Zfyzikálníchdůvodů jezřejmé, že J (n) je vždy kladné číslo, a proto je tenzor 

setrvačnosti J ik pozitivně definitní tenzor. Zdefinice je dále zřejmé, že tenzor 

setrvačnosti je tenzorem symetrickým, tj. platí J ik = J ki , takže tenzor setrvačnosti 

má jen šest nezávislých složek. Díky těmto vlastnostem můžeme tenzoru 

setrvačnosti přiřadit elipsoid setrvačnosti. Ten dostaneme tak, že v daném směru 

n =(n 1 ,n 2 ,n 3 ) vyneseme od počátku O vzdálenost r =1/ p J (n). Všechny takto 

zkonstruované body vytvoří elipsoid setrvačnosti pevně spojený s rotujícím tělesem. 

Rovnice elipsoidu setrvačnosti je zřejmě 

J (n) r 2 = r ·J ·r = X J ik x i x k =1. 

ik


Poinsotův elipsoid setrvačnosti. Osy x, y, z odpovídají 

hlavním osám setrvačnosti tělesa, poloosy 

elipsoidu jsou rovny 1/ √ J 1, 1/ √ J 2 a 

1/ √ J 3 . 

Jestliže místo průvodiče r vezmeme vektor úhlové rychlosti ω, bude rovnice 

elipsoidu setrvačnosti 

ω ·J ·ω =2T. 

Při malém posunutí dω vektoru ω po elipsoidu setrvačnosti musí být stále dT =0, 

aprotože J =konst, musí platit 

2dT =dω ·J ·ω + ω ·J ·dω =0. 

Vzhledem k symetrii tenzoru setrvačnosti a definici momentu hybnosti lze tuto 

rovnici přepsat do tvaru 

L · dω =0. 

To však znamená, že vektor momentu hybnosti L musí být kolmý na vektor dω, 

který ležívtečné rovině σ elipsoidu setrvačnosti. Grafická interpretace tohoto výsledku 

je zachycena na následujícím obrázku. Z jeho konstrukce je zřejmé, že směry 

momentu hybnosti L a úhlové rychlosti ω splývají jen při rotaci kolem hlavních os 

setrvačnosti x 1 ,x 2 a x 3 . 

Elipsoid setrvačnosti určuje vztah mezi směrem 

vektoru momentu hybnosti a úhlové rychlosti. 

Elipsoid setrvačnosti zavedl do mechaniky Augustin-Louis Cauchy roku 

1827, ale jeho důležitost objevil až Luis Poinsot 1834, proto se často nazývá 

Poinsotův elipsoid setrvačnosti. 

Z geometrického náhledu je te dzřejmé, , že tenzor setrvačnosti lze diagonalizovat. 

To znamená, že lze vybrat takovou souřadnou soustavu x 1 ,x 2 a x 3 ,vníž 

bude mít diagonální tvar 

⎛ 

J = ⎝ J ⎞ 

1 0 0 

0 J 2 0 ⎠ . 

0 0 J 3 

Osy x 1 ,x 2 a x 3 jsou navzájem kolmé a odpovídají třem hlavním osám elipsoidu 

setrvačnosti. Deviační momenty jsou v souřadné soustavě hlavníchossetrvačnosti


nulové. Veličiny J 1 ,J 2 a J 3 se nazývají hlavní momenty setrvačnosti. Existenci 

hlavních os a hlavních momentů setrvačnosti objevili nezávisle János Andráš 

Segner roku 1755 a Leonhard Euler roku 1758. 

Zfyzikálníchdůvodů musí být hlavní momenty setrvačnosti kladné J k > 0. 

Snadno se ukáže, že pro hlavní momenty setrvačnosti platí také trojúhelníkové 

nerovnosti 

J 1 + J 2 ≥ J 3 , J 2 + J 3 ≥ J 1 a J 3 + J 1 ≥ J 2 . 

Obecně dáleplatí,že největší i nejmenší možný moment setrvačnosti dostaneme 

výběrem jedné z hlavních os setrvačnosti. Pokud očíslujeme hlavní momenty tak, 

že platí J 1 ≤ J 2 ≤ J 3 , pak platí 

J 1 ≤ J (n) ≤ J 3 . 

Podle hlavních momentů setrvačnosti dělíme setrvačníky na symetrické setrvačníky 

mající dva hlavní momenty setrvačnosti stejné, například J 1 = J 2 nebo 

J 2 = J 3 , a obecné, tj. asymetrické setrvačníky, proněž platíJ 1


prostředky. Hledáme rotační osu ω takovou, aby moment hybnosti měl stejný směr 

jako vektor úhlové rychlosti, tj. aby platilo 

L = Jω. 

Vzhledem k definici (3.4) tedy požadujeme, aby platilo 

J·ω = Jω neboli J·n = Jn. 

Příslušné hodnoty J pak nazýváme hlavními momenty setrvačnosti a příslušné 

směry n = ω/ω hlavními osami setrvačnosti. Z obecného pohledu se jedná o známý 

problém diagonalizace matice J . Náš problém je možno přepsat také do tvaru 

soustavy homogenních lineárních rovnic 

(J −JE) · ω = 0, 

kterámánetriviálnířešení, jen pokud platí charakteristická rovnice 

det (J −JE) =0. 

Z této kubické rovnice se již naleznouvšechnytři hlavní momenty setrvačnosti J 1 , 

J 2 a J 3 , jimž přísluší i tři hlavní osy setrvačnosti n 1 , n 2 a n 3 . Snadno se ukáže, že 

tyto tři osy jsou navzájem kolmé. Skutečně, podle předpokladu platí 

J·n 1 = J 1 n 1 asoučasně J·n 2 = J 2 n 2 , 

musí tedy platit 

n 2 ·J ·n 1 = J 1 n 2 · n 1 a n 1 ·J ·n 2 = J 2 n 1 · n 2 . 

Ze symetrie tenzoru setrvačnosti zároveň platí 

n 2 ·J ·n 1 = n 1 ·J ·n 2 , 

takže musí platit i rovnost 

J 1 n 2 · n 1 = J 2 n 1 · n 2 . 

Odtud však máme 

(J 1 − J 2 ) n 1 · n 2 =0. 

Pokud jsou oba hlavní momenty setrvačnosti různé J 1 6= J 2 , musí odtud být 

n 1 · n 2 =0. Hlavní osy setrvačnosti odpovídající různým hlavním momentům setrvačnosti 

tedy musí být navzájem kolmé. Podobně by se dokázala kolmost u zbývajích 

dvojic hlavních os setrvačnosti. V souřadné soustavě zvolené tak, aby její osy 

x, y a z odpovídaly hlavním osám setrvačnosti n 1 , n 2 a n 3 , bude tenzor setrvačnosti 

diagonální 

⎛ 

J = ⎝ J ⎞ 

1 0 0 

0 J 2 0 ⎠ 

0 0 J 3 

a jeho deviační momenty budou skutečně rovny nule. 

Vpřípadě symetrického setrvačníku jsou dva hlavní momenty setrvačnosti stejné, 

příslušné hlavní osy setrvačnosti pak nemusí být kolmé a jejich počet je neomezený.


3.3.9 Hlavní osy a symetrie 

Symetrie tělesa vymezuje možnou polohu hlavních os setrvačnosti. Například pro 

těleso s rovinou symetrie platí, že v této rovině leží těžiště tělesa a dvě zhlavních 

os setrvačnosti, zatímco třetí osa je kolmá na rovinu symetrie. Pro těleso s osou 

symetrie (tj. rotačněsymetrickétěleso) zase platí, že osa symetrie je zároveň jednou 

z hlavních os setrvačnosti a leží na ní těžiště. Zbylé hlavní osy setrvačnosti jsou pak 

na osu symetrie kolmé. 

Snadno se také ukáže, že každé platónské těleso, tj. homogenní mnohostěn, je 

izotropním setrvačníkem. Tato tělesa totiž mají obecně osy symetrie, které jsou 

zároveň hlavními osami setrvačnosti a přitom svírají navzájem úhly odlišné od 

pravého úhlu. Obě podmínky lze skloubit pouze za předpokladu, že všem osám 

jdoucím těžištěm tělesa přísluší stejný moment setrvačnosti. 

3.3.10 Huygens-Steinerova věta 

Zdefinice tenzoru setrvačnosti 

J T = 

Z ¡R 2 E − RR ¢ dm 

tělesa vzhledem k jeho těžišti T najdeme snadno tenzor setrvačnosti 

vzhledem k jinému bodu A. 

J A = 

Z ¡r 2 E − rr ¢ dm 

Hledáme vztah mezi tenzorem setrvačnosti 

vzhledem k bodu A a tenzorem setrvačnosti 

vzhledem k bodu T. 

Protože z geometrie platí 

r = a + R, 

kde a představuje polohu těžiště T vzhledem k bodu A, dostaneme odtud po dosazení 

Z ³ 

J A = (a + R) 2 E − (a + R)(a + R)´ 

dm 

Z ³¡a 

= 

2 +2a · R + R 2¢ 2 

E − (aa + Ra + aR + RR)´ 

dm. 

Protože bod T je těžištěm, platí R Rdm = 0, takže druhý, pátý a šestý člen na 

pravé straně rovnice vypadne. Zbylé členy po úpravě dávají výsledek 

J A = J T + m ¡ a 2 E − aa ¢ .


Tento vzorec představuje Huygens-Steinerovu větu pro tenzor setrvačnosti. 

Jestliže nás zajímají jen osy rovnoběžné se směrem n, pak platí 

h 

J A (n) =n ·J A · n = n ·J T · n + m a 2 − (a · n) 2i , 

což jeobyčejná Steinerova věta 

J A (n) =J T (n)+ma 2 ⊥ . 

Příklad 3.19 Spočtěte hlavní momenty setrvačnosti homogenního válce o výšce h a poloměru 

podstavy R vzhledem k těžišti válce. 

Řešení: Osuz ztotožníme s rotační osou Z symetrie, pak platí 

¡x 

J 3 = J z = 

2 + y 2¢ dm = 1 2 mR2 . 

Pro zbývající hlavní momenty setrvačnosti 

Z 

platí 

¡x 

J 1 = J 2 = J x = J y = 

2 + z 2¢ dm = 1 µR 

4 m 2 + 1 

3 h2 . 

Příklad 3.20 Určete moment setrvačnosti kvádru o stranách a, b a c vzhledem k jeho tělesové 

úhlopříčce. 

Řešení: Momentsetrvačnosti vzhledem k obecné ose n se spočte z tenzoru setrvačnosti podle 

vzorce J (n) =J ik n in k . Vpřípadě kvádru tvoří hlavní osy setrvačnosti tělesa osy souměrnosti 

x, y a z. Vsoustavěhlavníchosjetenzorsetrvačnosti diagonální a jeho složky (hlavní momenty 

setrvačnosti) jsou rovny 

J 1 = 1 12 m ¡ b 2 + c 2¢ , J 2 = 1 12 m ¡ a 2 + c 2¢ , J 3 = 1 12 m ¡ a 2 + b 2¢ . 

Pro moment setrvačnosti pak platí 

J (n) =J 1n 2 1 + J 2n 2 2 + J 3n 2 3. 

Pro tělesovou úhlopříčku platí n =(±a, ±b, ±c) / √ a 2 + b 2 + c 2 , takže 

J (n) = 1 6 m a2 b 2 + a 2 c 2 + b 2 c 2 

. 

a 2 + b 2 + c 2 

Vpřípadě krychlejea = b = c je tenzor setrvačnosti izotropní a platí J 1 = J 2 = J 3 = 1 6 ma2 , 

takže nejen pro tělesovou úhlopříčku, ale pro všechny osy jdoucí středem krychle platí 

J (n) = 1 ¡ 6 ma2 n 2 1 + n 2 2 + n 2 ¢ 1 

3 = 

6 ma2 . 

Příklad 3.21 Najděte hlavní momenty setrvačnosti kužele o poloměru R a výšce h vzhledem 

kjehovrcholu. 

Ilustrace k úloze. Máme najít hlavní momenty 

setrvačnosti kužele o výšce h a poloměru R. 

Řešení: Zesymetriekužele je zřejmé, že jednou hlavní osou bude osa kužele, označme ji 

z. Další dvě osy k ní kolmé označme x a y. To budou zároveň její další dvě hlavní osy. 

Spočteme nejprve moment vzhledem k ose z. Rozdělíme kužel na tenké válce o poloměru r a


výšce dz. Poloměrválcejezávislýnasouřadnici z lineárním vztahem r (z) =Rz/h. Protože 

dm = ρπr 2 dz a dJ = 1 2 r2 dm, dostaneme po jednoduché integraci výsledek 

Z Z h 

1 

J z = dJ = 

0 2 ρπ (Rz/h)4 dz = 1 10 hρπR4 = 3 10 mR2 . 

Zde jsme využili také skutečnosti, že hmotnost kužele je m = 1 3 ρπR2 h. 

Anyníspočteme moment setrvačnosti vzhledem k ose x. Připomeňme, že moment setrvačnosti 

desky vzhledem k ose jdoucí rovnoběžně sdeskoujeJ = 1 4 mR2 . Toho nyní využijeme. Opět 

rozdělíme kužel na stejné tenké válce (desky), každá deska má moment setrvačnosti podle 

Steinerovy věty 

dJ = z 2 dm + 1 4 r2 dm, 

proto 

Z Z h 

J x = dJ = 

µz 2 + 1 

4 r2 dm = 1 5 h3 ρπR 2 + 1 20 hρR4 π = 3 µh 

5 m 2 + 1 

4 R2 . 

0 

Ze symetrie kužele je zřejmé, že J y = J x. 

Příklad 3.22 Najděte moment setrvačnosti kužele o poloměru R a výšce h vzhledem k jeho 

povrchové přímce p. 

Řešení: Hlavnímomentysetrvačnosti J z a J x = J y kužele vzhledem k jeho vrcholu již známe 

zpředešlé úlohy. Moment setrvačnosti vzhledem k obecné ose, která svírá s osou z úhel γ, je 

J = J z cos 2 γ + J x sin 2 γ. 

Vnašempřípadě jetg γ = R/h, takže 

sin 2 γ = 

R2 

a cos 2 h 2 

γ = 

R 2 + h 2 R 2 + h , 2 

odtud po dosazení máme hledaný moment setrvačnosti 

J = 3 R 2 +6h 2 

20 mR2 R 2 + h . 2 

Příklad 3.23 Spočtěte kinetickou energii kužele o poloměru R, výšce h ahmotnostim, který 

se odvaluje po podložce tak, žesevrátídostejnéhomístazadobuT . 

Máme najít kinetickou energii kužele valícího se 

po vodorovné podložce. 

Řešení: Jdeovalivýpohybsokamžitouosouotáčení v povrchové přímce kužele, která je 

zároveň čarou dotyku s podložkou. Energie rotačního pohybu kužele je proto E = 1 2 Jω2 . 

Moment setrvačnosti vzhledem k povrchové přímce známe z předchozí úlohy. Nyní najdeme 

velikost úhlové rychlosti ω. Pohyb kužele je složen ze dvou rotací, jedna rotace probíhá kolem 

vlastní osy kužele s úhlovou rychlostí ω 1 a druhá kolem normály podložky procházející vrcholem 

kužele ω 2. Jejich výslednicí je rotace kolem povrchové přímky, v níž sedotýkákužel podložky. 

Podle zadání známe ω 2 =2π/T. Z podmínky pro odvalování kužele 

p 

ω 1R = ω 2l = ω 2 R2 + h 2 

máme i druhou složku ω 1 a jejich výslednice má velikost 

q 

ω = ω 2 1 − ω2 2 = h 

ω2 

R = 2πh 

TR .


Hledaná kinetická energie kužele je tedy po dosazení rovna 

E = 3 10 m π2 h 2 R 2 +6h 2 

T 2 R 2 + h . 2 

3.3.11 Pohybová rovnice setrvačníku 

Pohybové rovnice tuhého tělesa upevněného v otáčivém kloubu O již známe,jsou 

to první a druhá věta impulzová, tj. celkem šest rovnic. Protože pohyb setrvačníku 

kolem pevného bodu má jen tři stupně volnosti, nebudeme zřejmě všech šest pohybových 

rovnic potřebovat. Kromě vnější síly F vzniká v otáčivém kloubu O také 

silová reakce R, podobně jako vznikaly silové reakce v ložiscích otáčivé osy. 

Na setrvačník působí síla F avkloubuO reakce 

R. 

Pokud nás silové reakce nezajímají, volíme s výhodou za referenční bod druhé 

věty impulzové přímo kloub O, protože vzhledem k němu jsou momenty silových 

reakcírovnynuleazdruhévěty impulzové zcela vypadnou. Pohybovou rovnicí 

setrvačníku s pevným bodem je tedy druhá věta impulzová 

d 

dt L = M neboli d 

(J·ω) =M, (3.6) 

dt 

podle níž serychlostzměny momentu hybnosti tělesa rovná součtu momentů vnějších 

sil vzhledem k bodu otáčení O. 

3.3.12 Eulerovy dynamické rovnice 

Praktický výpočet pohybu setrvačníku s pevným bodem je mnohem komplikovanější 

než pohybsetrvačníku s pevnou osou, nebo tsložky , momentu setrvačnosti 

nyní závisejí na okamžité orientaci tělesavprostoruatasepři pohybu setrvačníku 

neustále mění. Pohybová rovnice setrvačníku ve tvaru (3.6) platí jen vzhledem k 

inerciální vztažné soustavě. Proto je vhodné přejít k neinerciální vztažné soustavě 

spojené pevně s rotujícím setrvačníkem. Pro libovolný vektor, a tedy i pro moment 

hybnosti L, přitom platí transformační vzorec 

dL 

dt = d0 L 0 

+ ω × L 0 , (3.7) 

dt 

kde ω je vektor úhlové rychlosti, kterou se otáčí setrvačník vzhledem k inerciální 

vztažné soustavě aL 0 je moment hybnosti měřený v soustavě spojené se setrvačníkem. 

Po dosazení (3.7) do momentové věty (3.6) dostaneme pohybovou rovnici 

setrvačníku 

d 0 L 0 

dt 

+ ω × L 0 = M.


Zvláště výhodné je volit souřadnou soustavu spojenou s hlavními osami setrvačnosti, 

kde platí 

L 0 =(J 1 ω 1 ,J 2 ω 2 ,J 3 ω 3 ) . 

Po dosazení do pohybové rovnice (3.8) dostaneme Eulerovy dynamické rovnice 

ve složkách 

J 1 ˙ω 1 +(J 3 − J 2 ) ω 2 ω 3 = M 1 , 

J 2 ˙ω 2 +(J 1 − J 3 ) ω 1 ω 3 = M 2 , (3.8) 

J 3 ˙ω 3 +(J 2 − J 1 ) ω 1 ω 2 = M 3 . 

Rovnice pro setrvačník odvodil Leonhard Euler roku 1758. 

3.3.13 Eulerovy kinematické rovnice 

Pro popis polohy setrvačníku jsou velmi vhodné Eulerovy úhly φ, θ a ψ. Tyto 

úhly jsou definovány třemi postupnými rotacemi souřadné soustavy xyz → x 1 x 2 x 3 . 

Precesní úhel φ odpovídá rotaci kolem osy z, nutační úhel θ odpovídá rotaci 

kolem uzlové přímky AB a rotační úhel ψ odpovídá rotaci kolem osy x 3 . Systém 

souřadnic x 1 x 2 x 3 spojujeme obvykle s pohybujícím se setrvačníkem, zatímco 

systém xyz považujeme za klidový inerciální systém. Směr tíhového pole se volí 

obvykle ve směru osy z. 

K popisu polohy setrvačníku se používají tři 

Eulerovy úhly. Jde o precesní úhel φ, nutační 

úhel θ arotační úhel ψ. Přímka AB představuje 

uzlovou přímku. 

Eulerovy kinematické rovnice určují vztah mezi složkami úhlové rychlosti ω 

vzhledem k osám x 1 x 2 x 3 soustavy pevně spojené s rotujícím tělesem a derivacemi 

Eulerových úhlů. Vektor rotace má složku ˙ψ ve směru osy x 3 , aproto 

³ 

ω ψ = 0, 0, ˙ψ 

´ 

. 

Vektor nutace má složku ˙θ ve směru uzlové přímky AB, aprotoje 

ω θ =(cosψ, − sin ψ, 0) ˙θ. 

Konečně vektorprecese má složku ˙φ ve směru osy z (z toho připadá ˙φ cos θ na 

směr x 3 a ˙φ sin θ na směr v rovině x 1 x 2 ), a proto 

ω φ =(sinθ sin ψ, sin θ cos ψ, cos θ) ˙φ.

3.4. VOLNÝ SETRVAČNÍK 107 

Složením všech tří rotací 

ω = ω ψ + ω θ + ω φ 

dostaneme Eulerovy kinematické rovnice (Leonhard Euler 1760) 

ω 1 = ˙φ sin θ sin ψ + ˙θ cos ψ, 

ω 2 = ˙φ sin θ cos ψ − ˙θ sin ψ, 

ω 3 = ˙φ cos θ + ˙ψ. 

Pro modul vektoru úhlové rychlosti pak platí 

ω 2 = ˙φ 2 +2˙φ ˙ψ cos θ + ˙ψ 2 + ˙θ 2 . 

Poloha setrvačníku v Cardanově závěsu vůči 

inerciální soustavě se popisuje Eulerovými 

úhly φ, θ a ψ. 

Eulerovy úhly je možno pohodlně odečíst i z natočení jednotlivých rámů Cardanova 

závěsu. Sklon hlavní osy setrvačnosti od vertikály určuje nutační úhel θ, 

pootočení této osy kolem vertikálního směru precesní úhel φ a vlastní rotaci setrvačníku 

popisuje úhel rotace ψ. 

3.4 Volný setrvačník 

3.4.1 Typy setrvačníků 

Každý setrvačník má vzhledem k bodu upevnění O obecně tři hlavní momenty 

setrvačnosti. Bez újmy na obecnosti lze pro ně klást podmínku J 1 ≤ J 2 ≤ J 3 . Pokud 

je J 1 = J 2 = J 3 , hovoříme o izotropním setrvačníku nebo kulovém setrvačníku. 

Pokud je J 1 = J 2 nebo J 2 = J 3 , mluvíme o symetrickém setrvačníku. Je-li 

J 1 =0a J 2 = J 3 , jde o rotátor (činka, dvojatomová molekula). Obecný případ 

J 1


mezi směry momentu hybnosti, úhlové rychlosti a volné osy z jsou v obou případech 

značně odlišné. 

Jednotlivé typy elipsoidůsetrvačnosti u symetrického 

setrvačníku. 

3.4.2 Volný setrvačník 

Pokud na setrvačník nepůsobí žádné vnější síly, nazývá se volný setrvačník, zatímco 

těžký setrvačník představuje setrvačník podrobený působení vnějších sil. 

Pohyb volného setrvačníku může mít různé podoby a obecně senazývávolnou 

precesí. 

Příkladem volného setrvačníku v tíhovém poli 

je Maxwellův setrvačník (a) nebo setrvačník 

uložený v Cardanově závěsu (b). Pevnýmbodem, 

tj. středem otáčení, obou setrvačníků je 

jejich těžiště. 

Vpozemskýchpodmínkáchpůsobí na každý setrvačník tíha a její otáčivý moment. 

Přesto je možné sestrojit volný setrvačník a pozorovat volnou precesi. Stačí 

zajistit, aby se setrvačník otáčel kolem svého těžiště, tj. aby platilo O = T .Technicky 

je možno volný setrvačník realizovat například pomocí Cardanova závěsu 2 

nebo jako Maxwellův setrvačník, který James Clerk Maxwell popsal roku 

1857 ve své studii věnované setrvačníkům a Saturnovu prstenci. 

3.4.3 Volná precese 

Jestliže roztočíme volný setrvačník kolem jeho hlavní osy, bude kolem ní dál rovnoměrně 

rotovat. Když všaksetrvačníku udělíme malý impulz kolmo na osu rotace, 

třeba tak, že udeříme do jeho osy, nebude se setrvačník rovnoměrně překlápět ve 

směru impulzu, jako by to udělalo těleso bez rotace, ale dá se do složitého precesního 

pohybu. V případě symetrického setrvačníku bude geometrická osa setrvačníku 

opisovat v prostoru kuželovou plochu — precesní kužel. Pohyb se nazývá regulární 

precesí. Vpřípadě asymetrického setrvačníku je pohyb mnohem komplikovanější, 

2 Gerolamo Cardano se zabýval především matematikou a mechanikou. Roku 1545 publikoval 

řešení kubické rovnice. Cardano byl vášnivý hráč hazardních her, o peníze hrál dokonce i šachy, 

tato vášeň jejpřivedla k sepsání prvního spisu o matematické pravděpodobnosti. Cardano je také 

autorem několika vynálezů, například vymyslil kombinační zámek a pro přenos pohonu výkyvnou 

hřídelneboliCardanův kloub či Cardanův kříž. Na podobném principu funguje i Cardanův závěs 

pro uložení volného setrvačníku. Roku 1570 byl uvězněn a obviněn z kacířství za to, že roku 1554 

spočetl a publikoval horoskop Ježíše Krista.


vedle precese koná setrvačník i nutaci a jeho pohyb se nazývá se pseudoregulární 

precesí. 

Spící volný setrvačník přejde po udělení impulzu 

do volné precese, v případě symetrického 

setrvačníku jde o regulární precesi. 

První informaci o volné precesi setrvačníku je možno získat ze zákonů zachování. 

Volný setrvačník totiž zachovává při rotaci jak moment hybnosti 

tak i rotační energii 

L = J·ω = konst, 

T = 1 2 ω ·J ·ω = 1 2 ω · L = 1 2 ωk L =konst. 

Z toho plyne, že při volné precesi se zachovává směr a velikost momentu hybnosti 

L setrvačníku a současně průmět vektoru úhlové rychlosti ω k setrvačníku do směru 

momentu hybnosti. O příčné složce vektoru úhlové rychlosti ω ⊥ se však nedá ze 

zákonů zachování více zjistit. 

Podle typu setrvačníku a počátečních podmínek může být volná precese rovnoměrnou 

rotací, regulární precesí nebo pseudoregulární precesí. Je-li ω ⊥ =0, je 

ω = ω k = konst a ω k L, takže setrvačník koná rovnoměrnou rotaci kolem své 

hlavní osy. Je-li ω ⊥ =konst, je také ω =konst, ale ω ∦ L, takže setrvačník koná 

regulární precesi kolem osy L. Konečně je-liω ⊥ 6=konst, je také ω 6= konsta 

setrvačník koná pseudoregulární precesi. 

3.4.4 Rotace izotropního setrvačníku 

Vezměme nejprve nejjednodušší typ setrvačníku. Pro izotropní setrvačník, jakým je 

například koule nebo krychle, platí L = Jω, tj. úhlová rychlost je rovnoběžná s momentem 

hybnosti. Vzhledem k zákonům zachování pak musí platit ω = ω k = konst. 

Izotropní volný setrvačník tedy rotuje stálou úhlovou rychlostí, takže nemění ani 

směr ani velikost rychlosti své rotace. Stejný závěr platí také pro obecný setrvačník, 

pokud rotuje kolem jedné ze svých tří hlavních os, nebo tpakrovněž , 

platí 

L = J k ω, tj. ω k L. Rovnoměrně rotující setrvačník, jehož osa rotace se nemění, se 

také nazývá spící setrvačník. 

3.4.5 Regulární precese symetrického setrvačníku 

Pro symetrický setrvačník J 1 = J 2 platí v soustavě hlavních os setrvačnosti vztahy 

L 1 = J 1 ω 1 , L 2 = J 1 ω 2 , L 3 = J 3 ω 3 .


Hlavní osu y lze vzhledem k symetrii setrvačníku volit libovolně vesměru kolmém 

kosez, zvolíme proto osu y tak, aby byla kolmá k rovině určené vektory ω a L. Ty 

nyní ležívrovině xz, aprotojeω 2 =0a L 2 =0. Vzhledem k zákonům zachování 

L 2 = J 2 1 ω 2 1 + J 2 3 ω 2 3 a 4T 2 = J 1 ω 2 1 + J 3 ω 2 3 

je zřejmé, že obě složky úhlové rychlosti ω 1 a ω 3 jsou nyní jednoznačně určeny 

počátečními podmínkami, tj. integrály pohybu L a T. 

Vztah momentu hybnosti L, úhlové rychlosti ω 

a hlavních os setrvačnosti x 1 ,x 3 uoboutypů 

symetrických setrvačníků adefinice úhlů α, β 

a θ. 

Protože orientace vektoru momentu hybnosti L je v prostoru neměnná, znamená 

to, že vektor úhlové rychlosti ω se může otáčet kolem směru vektoru L aopisovat 

vprostorukužel s vrcholovým úhlem α, pro který platí 

cos α = ω · L 

ωL . 

Podobně semůže otáčet kolem směru L i celá rovina x 1 x 3 pevně spojená se setrvačníkem. 

Protože pohyb osy volného symetrického setrvačníku je rovnoměrný, 

nazývá se regulární precese. Rychlostotáčení roviny x 1 x 3 kolem vektoru L se 

nazývá rychlost precese Ω. 

Regulární precese volného symetrického setrvačníku. 

Směr momentu hybnosti L se v prostoru 

nemění, ale směr úhlové rychlosti ω i 

hlavní osy setrvačnosti x 3 se mění a oba opisují 

precesní kužele. 

Úhel θ mezi hlavní osou setrvačnosti x 3 a vektorem momentu hybnosti L setrvačníku 

najdeme podle vzorce 

tg θ = L 1 

L 3 

= J 1ω 1 

J 3 ω 3 

akonečně úhel mezi vektorem úhlové rychlosti ω a hlavní osou setrvačnosti x 3 je 

tg β = ω 1 

. 

ω 3 

Zatímco úhly θ a β mohou být libovolně velké, velikost úhlu α mezi vektory L a


ω je omezená. Pro zploštělý setrvačník J 1 = J 2 J 3 dosahuje nanejvýše hodnoty 

Ãr 

tg α max = 1 r ! 

J1 J3 

− . 

2 J 3 J 1 

Pro Zemi je například J 3 − J 1 ≈ J 3 /300, takže odchylka obou vektorů může být 

nanejvýš α max ≈ 1 0 . Ve skutečnosti je úhel α díky plasticitě Zeměještě podstatně 

menší. Pro nejvíce zploštělý setrvačník, kterým je například rovinná kruhová deska, 

platí J 3 ≈ 2J 1 , takže pro úhel α zploštělého setrvačníku dostaneme vždy omezení 

α < 19.5 ◦ . 

3.4.6 Rychlost precese 

Setrvačník rotuje kolem okamžité osy rotace úhlovou rychlostí ω. Tuto rotaci můžeme 

rozložit nejen do kolmých směrů hlavních os setrvačnosti x 1 a x 3 , tj. do složek 

ω 1 a ω 3 , ale také do vzájemně šikmýchsměrů momentu hybnosti L adoosyx 3 . 

Příslušné složky vektoru úhlové rychlosti Ω a Ω 0 jsou patrné z obrázku a platí pro 

ně 

ω = Ω − Ω 0 . 

Průmět Ω do směru momentu hybnosti L představuje rychlost precese setrvačníku 

vzhledem k inerciálnímu pozorovateli. Vzhledem k tomu, že platí také 

Ω 0 = Ω − ω, je zřejmé, že druhá složka Ω 0 představuje vektor precese setrvačníku, 

jak ji vnímá neinerciální pozorovatel pevně spojený s rotujícím setrvačníkem. 

Vztah mezi jednotlivými složkami ω 1, ω 3, Ω a 

Ω 0 vektoru úhlové rychlosti. 

Z obrázku je zřejmé, že pro rychlost precese platí 

Ω = ω 1 

sin θ , 

aprotože L sin θ = L 1 = J 1 ω 1 , platí také 

Ω = L J 1 

.


Pro rychlost neinerciální precese platí z obrázku podobně 

Ω 0 = Ω cos θ − ω 3 = L J 1 

cos θ − ω 3 , 

aprotože L cos θ = L 3 = J 3 ω 3 , platí také 

Ω 0 J 3 − J 1 

= ω 3 . 

J 1 

Protože osa x 3 se zpravidla volí ve směru stálého momentu hybnosti L, platí také 

Ω = ˙φ a Ω 0 = − ˙ψ. 

3.4.7 Regulární precese jako valivý pohyb 

Zpředchozích úvah je zřejmé, že pohyb setrvačníku konajícího regulární precesi 

se dostane jako odvalování hybného polodiového kužele spojeného se setrvačníkem 

po nehybném polodiovém kuželi spojeném s momentem hybnosti. Dotyková přímka 

obou kuželů mápřitom směr okamžité úhlové rychlosti. Následující dva obrázky zachycují 

vztah mezi oběma polodiovými kužely pro případ zploštělého a protaženého 

symetrického setrvačníku. 

Regulární precese symetrického setrvačníku se 

dostane jako odvalování hybného polodiového 

kužele spojeného pevně sesetrvačníkem (osa 

x 3 tvoří jeho osu) po nehybném polodiovém 

kuželi, jehožosajeurčena momentem hybnosti 

L. Dotykovápřímka obou kuželů másměr úhlové 

rychlosti ω. 

Totéžprosetrvačník s protaženým elipsoidem 

setrvačnosti. 

3.4.8 Geometrická interpretace 

Ke geometrické interpretaci pohybu setrvačníku při volné precesi je možno použít 

i Poinsotova elipsoidu setrvačnosti. Při volné precesi se zachovává jak energie T = 

konst, tak moment hybnosti L = konst setrvačníku. Protože platí ω · L =2T, platí 

také 

dω · L =0.


Moment hybnosti je tedy neustále kolmý na změnu vektoru úhlové rychlosti a to 

znamená, že moment hybnosti je kolmý na tečnou rovinu σ elipsoidu setrvačnosti. 

Aprotože moment hybnosti je při volné precesi v prostoru pevný, představuje 

pohyb setrvačníku odvalování jeho elipsoidu setrvačnosti po pevné rovině σ kolmé 

k momentu hybnosti L. Vpřípadě volné precese symetrického setrvačníku leží směry 

ω,x 1 a x 3 v jedné rovině arotujíspolečně kolem vektoru L. 

Poinsotova konstrukce směru točivosti L, úhlové 

rychlosti ω ahlavníosyx 3 . Vektor ω se 

dotýká elipsoidu setrvačnosti v bodě P ,vektor 

L jekolmýktečné rovině σ vedené bodem 

P. Vpřípadě volné precese symetrického setrvačníku 

leží směry ω,x 1 a x 3 vjednéroviněa 

rotují společně kolemvektoruL. 

3.4.9 Symetrický volný setrvačník 

Volnou precesi symetrického setrvačníku dostaneme také řešením Eulerových dynamických 

rovnic (3.8). Pro volný setrvačník jsou silové momenty nulové M k =0. 

Pro symetrický setrvačník je navíc J 1 = J 2 azetřetí Eulerovy rovnice J 3 ˙ω 3 =0tak 

dostaneme hned řešení ω 3 =konst. Tím se Eulerovy rovnice výrazně zjednoduší a 

stanou se lineárními. Zbývající dvě Eulerovy rovnice dávají 

kde 

˙ω 1 + Ω 0 ω 2 =0 a ˙ω 2 − Ω 0 ω 1 =0, 

Ω 0 = ω 3 

J 3 − J 1 

J 1 

. 

Soustava dvou diferenciálních rovnic má řešení ve tvaru harmonických funkcí 

ω 1 = A cos Ω 0 t a ω 2 = A sin Ω 0 t 

s amplitudou 

A = 

qω 2 1 + ω2 2 = q 

ω 2 − ω 2 3 

závisející na počátečních podmínkách. Okamžitá osa rotace ω =(ω 1 , ω 2 , ω 3 ) tedy 

opisuje rovnoměrně, tj. stálou rychlostí Ω 0 , precesní kužel o vrcholovém úhlu β 

kolem hlavní osy setrvačnosti x 3 , přičemž platí 

cos β = ω 3 /ω. 

Odtud je zřejmé, že Ω 0 má význam úhlové rychlosti regulární precese zpohledu 

rotujícího setrvačníku.


3.4.10 Volná nutace Země, pohyb zemských pólů 

Pokud si odmyslíme slapové působení Měsíce a Slunce, je volným symetrickým 

setrvačníkem i planeta Země. Měla by proto rovněž konat regulární precesi. Tento 

pohyb se skutečně pozoruje, astronomové jej však nazývají volnou nutací, abyjej 

odlišili od mnohem významnější lunisolární precese a nutace. 

Vdůsledku regulární precese by zemská osa mělaopisovatnaoblozekolempólu 

malou Eulerovu kružnici,jakpředpověděl roku 1765 Leonhard Euler.Protože 

změření Země vychází 

J 3 − J 1 

≈ 1 

J 1 305 , 

měla by perioda regulární precese trvat 

T 0 = 2π 

Ω 0 = 2π J 1 

≈ 305 dní, 

ω 3 J 3 − J 1 

což je asi deset měsíců. Zeměvšakneníideálně tuhým tělesem a pozorovaná precese 

se může lišit od teoretické předpovědi. Proto se sleduje pohyb zemské osy mezi 

hvězdami přesnými astronomickými metodami. Tato měření ukazují, že zemská 

osa skutečně opisuje na obloze cosi jako Chandlerovu kružnici o poloměru 

β ≈ ω 1 /ω 3 ≈ 0.3 00 . 

Směr pohybu zemské osy odpovídá směru hodinových ručiček, přičemž perioda 

jednoho oběhu trvá v průměru 427 dní, tj. zhruba čtrnáct měsíců. Na zemském 

povrchu kreslí zemská osa kružnici o poloměru asi devět metrů. Nepravidelnosti 

pohybu zemské osy jsou způsobeny pohyby tekutého jádra a sezónním přerozdělováním 

atmosférických hmot na povrchu Země. Odchylka zemské osy od pevného 

směru momentu hybnosti je přitom jen 

α ≈ β J 3 − J 1 

J 3 

≈ 0.001 00 . 

Chandlerova kružnice na povrchu Země poblíž 

zemského pólu. 

Pohyb zemské osy jako důsledek regulární precese planety předpověděl roku 

1765 Leonhard Euler. Tentopohybpoprvézměřil a pečlivě prozkoumal Seth 

Carlo Chandler roku 1884. Pohyb dostal název volná nutace. Odchylku od 

Eulerovy teoretické předpovědi jako důsledek elastičnosti Země objasnil roku 1891 

Simon Newcomb.


Tuhé těleso koná při rotaci regulární precesi, kdy hlavní osa setrvačnosti x 3 svírá 

s konstantním momentem hybnosti L stálý úhel θ. Při rotaci plastického tělesa, 

jakým je například planeta, dojde vlivem odstředivých sil postupně kpřerozdělení 

hmoty uvnitř tělesa tak, že směr momentu hybnosti L nakonec splyne s hlavní 

osou setrvačnosti x 3 , čímž vymizí deviační momenty a plastické těleso se stane 

spícím setrvačníkem. Doba, za kterou k tomu dojde, závisí pochopitelněnarychlosti 

rotace a na plasticitě tělesa. Proto je přirozené, že zemská osa dnes zaujímá směr 

geometrické osy. Její narušení může dočasně způsobit jen velká kosmická srážka s 

jiným nebeským tělesem. 

3.4.11 Asymetrický volný setrvačník 

Volná precese asymetrického setrvačníku J 1


kde sn představuje Jacobiho eliptickou funkci sínusamplituda akde 

k 2 = a2 

b 2 = (J 2 − J 1 ) ¡ 2TJ 3 − L 2¢ 

(J 3 − J 2 )(L 2 − 2J 1 T ) ≤ 1 

je index eliptické funkce. Vzhledemkdefinici dalších eliptických funkcí 

cn 2 x =1− sn 2 x a dn 2 x =1− k 2 sn 2 x 

dostaneme po úpravě i zbývající složky úhlové rychlosti 

s 

s 

2TJ 3 − L 

ω 1 = 

2 

L 

cn (bct) , ω 3 = 

2 − 2TJ 1 

dn (bct) . 

(J 3 − J 1 ) J 1 J 3 (J 3 − J 1 ) 

Perioda precesního pohybu je přitom dána úplným eliptickým integrálem prvního 

druhu a je rovna 

T = 4 bc asn (1) = 4 ³ π 

´ 

bc am−1 = 4 Z π/2 

dx 

p 

2 bc 0 1 − k2 sin 2 x . 

Speciálně propočáteční podmínku 2TJ 3 = L 2 vyjde ω 1 =0, ω 2 =0a ω 3 = 

konst, tj. rovnoměrná rotace kolem hlavní osy setrvačnosti x 3 . Podobněpro2TJ 1 = 

L 2 vyjde rovnoměrná rotace kolem osy x 1 . 

Pro symetrický setrvačník je J 1 = J 2 atedyk ≈ 0, takže eliptické funkce 

přejdou v goniometrické funkce 

sn x ≈ sin x, cn x ≈ cos x a dn x ≈ 1. 

Řešení pak má tvar známé regulární precese symetrického setrvačníku 

ω 1 = a cos (Ω 0 t) , ω 2 = a sin (Ω 0 t) a ω 3 =konst, 

kde a = p ω 2 1 + ω2 2 a Ω0 = bc = J 3−J 1 

J 1 

ω 3 . 

3.4.12 Eliptické funkce 

V technických aplikacích se často objevují Jacobiho eliptické funkce. Vjistém 

smyslu jde o zobecněné goniometrické funkce. Eliptické funkce jsou tabelovány 

podobně jako jiné funkce a mnohé výpočetní počítačové programy (MATLAB, 

MAPLE, MATHEMATICA) je umějí spočíst stejně jednoduše jako funkci sínus 

nebo logaritmus. 

Matematicky se dají všechny eliptické funkce odvodit od inverzní funkce arkussínusamplituda, 

kterájedefinována integrálem 

Z x 

dx 

asn x = √ √ 1 − x 

2 

1 − k 2 x , 2 

0 

kde k ≤ 1. Funkce asn x závisí kromě argumentux pochopitelně takénaindexuk. 

Pro k =0přechází eliptická funkce v obyčejnou cyklometrickou funkci arkussínus,


nebo tjeasn , x =arcsinx. Prok =1zase eliptická funkce přechází v hyperbolometrickou 

funkci, nebo tjeasn , x =argtghx. 

Eliptickou funkcí se rozumí inverzní funkce sínusamplituda, kterouznačíme 

nejčastěji sn x, ale také sn k x nebo sn (x, k) . Tato funkce je pro k


Setrvačník můžeme roztočit kolem kterékoliv z jeho hlavních os setrvačnosti. 

Ovšem jen rotace volného setrvačníku kolem osy s největším a nejmenším momentem 

setrvačnosti je stabilní, zatímco rotace kolem zbývající hlavní osy je nestabilní. 

Snadno to dokážeme z Eulerových dynamických rovnic. Uvažujme rotaci kolem osy 

x 3 , takže platí ω 1 ¿ ω 3 a ω 2 ¿ ω 3 .Zetřetí Eulerovy rovnice 

J 3 ˙ω 3 + ω 1 ω 2 (J 2 − J 1 )=0 

dostaneme ˙ω 3 ≈ 0 neboli ω 3 ≈ konst. Když to dosadíme do prvních dvou Eulerových 

rovnic, obdržíme výsledek 

J 1 ˙ω 1 + ω 2 ω 3 (J 3 − J 2 )=0, J 2 ˙ω 2 + ω 1 ω 3 (J 1 − J 3 )=0. 

Odtud dostaneme po separaci ω 1 a ω 2 rovnice 

kde 

¨ω 1 + K 2 ω 1 =0 a ¨ω 2 + K 2 ω 2 =0, 

K 2 = ω 2 (J 3 − J 1 )(J 3 − J 2 ) 

3 

. 

J 1 J 2 

Pokud je J 3 největší nebo nejmenší z hlavních momentůsetrvačnosti, pak je K 2 > 0, 

takže řešení pro ω 1 a ω 2 jsou periodická a omezená. Pokud je však J 3 prostřední 

z hlavních momentů setrvačnosti, pak je K 2 < 0 a řešení pro ω 1 a ω 2 mají exponenciálnícharakter.Rotacekolemtétoosyjetedynestabilníasetrvačník 

má 

tendenci překlopit se do rotace kolem osy s největším nebo nejmenším momentem 

setrvačnosti. 

Uvažujme ještě rotaci blízkou rotaci kolem hlavní osy x 3 . Řešení Eulerových 

rovnic má tvar 

ω 1 = A 1 cos Kt, ω 2 = A 2 sin Kt, ω 3 ≈ konst, 

kde 

A 2 

A 1 

= 

s 

J 1 (J 3 − J 1 ) 

J 2 (J 3 − J 2 ) . 

Konec vektoru úhlové rychlosti tedy opisuje v prostoru malou elipsu o poloosách 

A 1 a A 2 speriodou2π/K. Vpřípadě symetrického setrvačníku je 

rychlost neinerciální precese. 

K = ω 3 

J 3 − J 1 

J 1 

= Ω 0

3.5. TĚŽKÝ SETRVAČNÍK 119 

3.4.14 Absolutní pohyb 

Řešením Eulerových dynamických rovnic dostaneme vektor úhlové rychlosti ω 

vzhledem k soustavě spojené s rotujícím setrvačníkem. Pokud jde o absolutní pohyb 

setrvačníku vzhledem k inerciální soustavě, pak je nutno použít Eulerovy kinematické 

rovnice. V případě volné precese setrvačníku je možno využít stálosti vektoru 

momentu hybnosti L, a tím si úlohu značně usnadnit. Pokud zvolíme inerciální 

osu z ve směru neměnného vektoru L, pak lze jednotlivé složky momentu hybnosti 

vyjádřit pomocí Eulerových úhlů takto 

L 1 = L sin θ sin ψ, L 2 = L sin θ cos ψ, L 3 = L cos θ. 

Složky (L 1,L 2,L 3) vektoru momentu hybnosti 

L vzhledem k soustavě hlavníchossetrvačnosti 

tělesa x 1,x 2,x 3, která rotuje spolu se setrvačníkem. 

Současně vsoustavě spojené se setrvačníkem platí 

L 1 = J 1 ω 1 , L 2 = J 2 ω 2 , L 3 = J 3 ω 3 . 

Odtudjsouhledanéčasové závislosti nutačního a precesního úhlu 

s 

cos θ = J 3ω 3 

L 

= J 3 (L 2 − 2TJ 1 ) 

L 2 dn (bct) 

(J 3 − J 1 ) 

a 

tg ψ = J 1ω 1 

J 2 ω 2 

= 

s 

(J 3 − J 2 ) J 2 

(J 3 − J 1 ) J 1 

cn (bct) 

sn (bct) . 

Vzhledem k periodické proměnlivosti nutačního i precesního úhlu je zřejmé, že osa 

x 3 setrvačníku opisuje zvlněnou křivku a setrvačník skutečně konápseudoregulární 

precesi. 

3.5 Těžký setrvačník 

3.5.1 Regulární precese 

Jestliže na setrvačník působí vnější síla, případně silový moment, nazýváme jej 

těžký setrvačník. Jestliže na stůl položíme dostatečně rychleroztočený těžký 

setrvačník se skloněnou osou, setrvačník se pod vlivem tíže nepřeklopí, jak by to


udělalo těleso bez rotace, ale jeho osa počne opisovat v prostoru zvlněnou kuželovou 

plochukolemvertikálníosy.Setrvačník obecněkonápseudoregulární precesi.Při 

dostatečně velkérychlostirotacejemožno nutačníkývavýpohybosysetrvačníku 

zanedbat, a setrvačník pak koná jednoduchou rovnoměrnou regulární precesi 

kolem vertikální osy. Teprve až se rotace setrvačníku dostatečně zpomalí, setrvačník 

se překlopí a zastaví o stůl. 

Roztočený setrvačník vlevo koná v tíhovém 

poli několik minut regulární precesi, zatímco 

neroztočený setrvačník se okamžitě překlopí 

na stůl. 

Na těžký setrvačník působí silový moment tíhy o velikosti 

M = a × G = a × mg, 

kde a = −→ OT je rameno tíže vzhledem k pevnému bodu O setrvačníku. Ze vzorce je 

patrné, že otáčivý moment bude stále kolmý k tíhovému poli i k rameni. Obecně je 

pohyb těžkého setrvačníku popsán eliptickými funkcemi, pohyb se skládá z precese, 

nutace i rotace a osa rotace opisuje neuzavřené kvaziperiodické křivky. Tento pohyb 

se nazývá pseudoregulární precese. 

Pseudoregulární precese Ω těžkého setrvačníku 

zavěšeného v bodě O arotujícíhorychlostíω. 

Vlivem tíže G se osa setrvačníku naklání dopředu 

a setrvačník opisuje kruhový pohyb kolem 

osy provázku. 

Pokud se omezíme na rychlý setrvačník beznutaceroztočený kolem jeho 

hlavní osy x 3 , pak přibližně platíL ≈ J 3 ω. Tento vektor je zároveňpřibližně rovnoběžný 

i se směrem ramene a, proto platí 

a ≈ a L L . 

Silový moment působící na setrvačník je tedy možno psát ve tvaru 

M ≈− mag 

L 

× L = Ω × L 

apohybovárovnicerychléhosetrvačníku má tvar 

˙L ≈ Ω × L.


Řešení této rovnice lze uhodnout. Jde totiž matematicky o stejnou rovnici, která 

platí pro rovnoměrný pohyb bodu po kružnici v ≈ ω×r. Konec vektoru L momentu 

hybnosti těžkého setrvačníku tedy bude v tíhovém poli opisovat kružnici kolem 

vertikální osy a to rovnoměrně stálou úhlovou rychlostí regulární precese 

Ω = − mag 

L . 

Rychlost precese překvapivě vůbec nezávisí na sklonu setrvačníku, zato roste s 

poklesem momentu hybnosti setrvačníku. 

Fesselův přístroj pro demonstraci precese těžkého 

setrvačníku. Pohybem závaží Z je možno 

nastavit polohu těžiště setrvačníku nad nebo 

pod místem upevnění. Tím se mění rychlost a 

smysl precese setrvačníku. 

Je-li setrvačník podepřen pod těžištěm a>0, tak jako je tomu na obrázku, bude 

mít směr precese stejný smysl jako směr vlastní rotace. Bude-li naopak setrvačník 

zavěšen nad těžištěm a


nebo , tstřední poloha těžiště a ≈ a cos θL/L má směr vektoru L a velikost rovnu 

průmětu vektoru a do osy L, tj.a cos θ. Pohybová rovnice rychlého setrvačníku je 

tedy 

dL 

dt ≈ M = Ω P × L. 

Odtud je zřejmé, že setrvačník bude konat pseudoregulární precesi kolem vertikálníosy,přičemž 

rychlost precese bude rovna 

ma cos θ 

Ω P ≈− g. 

L 

Rychlost pseudoregulární precese se liší od rychlosti regulární precese jen o faktor 

cos θ. 

3.5.3 Tření a napřimování setrvačníku 

Pokud pustíme na stůl obyčejného vlčka, je jeho rotace zpočátku velká, zatímco jeho 

precese je nejprve pomalá. Vlivem tření se rotace setrvačníku postupně zpomaluje 

a rychlost precese vzrůstá. Současně se osa jeho rotace vlivem tření napřimuje 

až přejde do fáze spícího setrvačníku zcela bez nutace. Teprve až setrvačník ztratí 

kinetickou energii vlivem tření a odporu vzduchu, začne opět konat precesi a nutaci, 

jejíž amplituda velmi rychle roste, až se nakonec setrvačník překlopí na stůl a 

zastaví. 

(1) Precese setrvačníku je nejprve pomalá, (2) 

vlivem tření se rotace setrvačníku zpomaluje, 

ale rychlost precese vzrůstá a osa rotace se napřimuje 

(3), ažsenakonecsetrvačník překlopí 

azastaví(4). 

Fázi napřimování osy setrvačníku vysvětluje následující obrázek. Hrot setrvačníku 

je vždy oblý a při skloněném setrvačníku vzniká v bodě dotekuO hrotu s 

podložkou třecí síla (směřující před rovinu obrázku) tím větší, čím větší zaoblení 

hrot má. Tato třecí síla vytváří otáčivý moment M (vzhledem k těžišti), který se 

snaží napřímit osu rotace do vertikálního směru. Otáčivý moment tíhy (směřující 

za rovinu obrázku) nemá na sklon osy vliv, způsobuje pouze precesi setrvačníku. 

Bez přítomnosti tření by tedy k napřímení setrvačníku nikdy nedošlo. 

Setrvačník se dotýká podložkyvbodě O ležícím 

mimo osu ST setrvačníku. V důsledku rotace 

zde vzniká třecí síla směřující kolmo před 

rovinu papíru, která má vzhledem k těžišti T 

otáčivý moment M, který se vždy snaží napřímit 

osu rotace setrvačníku.


3.5.4 Tippy top 

Setrvačník a jeho tajemný pohyb odedávna přitahoval pozornost, takže se stal 

také oblíbenou dětskou hračkou. Káča nebo vlček nejsou nic jiného než dvapříklady 

takových hraček. Komplikovaný pohyb roztočeného setrvačníku není možno 

předvídat intuitivně tak snadno jako translační pohyb a mnohdy nás jeho chování 

zaskočí. Jedním z takových nečekaných překvapení je čínský vlček známý také 

jako tippy top (doslova vratký setrvačník). Jde o setrvačník, který má velmi oblý, 

téměř sférický tvar. Roztočíme-li ho nožičkou nahoru, a pak pustíme na stůl, sám se 

po chvíli — zcela proti zdravému rozumu —překlopíapostavínanožičku. Paradoxně 

tím zvýší svoji potenciální energii na úkor rotační energie. Teprve po dalším zpomalení 

rotace se překlopízpátkydonormálnípolohysnožičkou nahoru. Překlápění 

vlčka je možno objasnit společným působením setrvačných a třecích sil, příslušná 

matematická teorie jevu je však příliš složitá. 

Tippy top. Samovolné překlopení setrvačníku 

při rotaci, nutační úhel postupně narůstá až 

dosáhne 180 ◦ . 

Jiným záhadným setrvačníkem, který svým fyzikálním obsahem zasahuje spíše 

do aerodynamiky, je bumerang, prastará zbraň australských domorodců. Rotace 

dává bumerangu stabilitu, zatímco zaoblený profil aerodynamický vztlak umožňující 

prodloužený let s návratem. 

3.5.5 Technické aplikace setrvačníků 

Setrvačníkem se v technické praxi rozumí nejčastěji vyvážený setrvačník tvořený 

rotačně symetrickým tělesem o velké hmotnosti. Setrvačník přitom rotuje obvykle 

kolem osy s největším momentem setrvačnosti, setrvačníku tedy odpovídá zploštělý 

rotační elipsoid setrvačnosti. V technických aplikacích se využívá především velké 

kinetické energie roztočeného setrvačníku. Na tomto principu funguje například 

dětské autíčko na setrvačník. Roztočený setrvačník obsahuje značnou kinetickou 

energii a při velkých otáčkách může jít o dostatečnou zásobu energie k pohonu vozidla 

na rozumnou vzdálenost. Například setrvačník o hmotnosti 200 kg, poloměru 

60 cm a 200 otáčkách za sekundu má energii 10 8 J . Při průměrném výkonu 5kW 

to vystačí k pohonu vozidla na 5 hodin a k překonání vzdálenosti kolem 300 km . 

Konstruktéři od nepaměti využívají rotační energie setrvačníků také k překonání 

mrtvých poloh svých strojů. 

Jestliže na setrvačník působí vnější silový moment, který se snaží sklopit jeho 

osu, setrvačník se tomu brání tím, že jeho osa počne konat precesi. Prostorová 

orientace rotujícího tělesa se proto dá udržet mnohem snáze než orientace tělesa 

bez rotace. Ze stejného důvodu se uděluje rotace také projektilu. Přesnost zásahu i 

dostřel zbraněserotacístřely podstatně zvětší. Rotace se dosahuje spirální drážkou 

(rýhováním) uvnitř hlavně palné zbraně. Rýhované hlavně sepoužívají až od19.


století. 

Pravotočivá rotace zajiš , tuje střele stabilitu za 

letu, zvyšuje její dolet a přesnost zásahu. 

Je dobře známo, že rozjetý bicykl se tak snadno nepřevrátí na stranu jako stejný 

bicykl, jehož kolasenetočí. Příčinou stability bicyklu je setrvačnost jeho roztočenýchkol.Ktomu,abydošlokotočení 

nebo sklopení osy rotace kol, je nutno 

vyvinout relativně velký gyroskopický otáčivý moment. Díky fyzikálním vlastnostem 

setrvačníků jemožno řídit bicykl i bez řidítek. Stačí se mírně naklonit na 

levou stranu, tím vznikne otáčivý moment tíhy směřující proti směru pohybu kola 

a kolmo na moment hybnosti jeho roztočených kol. Vzniklý silový moment způsobí, 

žeseosakolazačne precesně otáčet rovněž doleva, takže cyklista bez řidítek bude 

plynule opisovat zatáčku. 

3.5.6 Gyroskopický moment 

V neinerciální soustavě rotující rychlostí Ω platí pro rotující setrvačník pohybová 

rovnice 

M = dL 

dt + Ω × L, 

kde M je vnější silový moment a L moment hybnosti setrvačníku. Rovnici lze přepsat 

do tvaru 

dL 

dt = M + M s. 

Pohybová rovnice setrvačníku v neinerciální soustavě mánastraně sil navíc člen 

M s = −Ω × L, 

který představuje gyroskopický moment. Jde o zdánlivý silový moment (kinetickou 

reakci), jímž sesetrvačník brání změně osy své rotace. V inerciální soustavě 

je gyroskopický moment pochopitelně roven nule. Gyroskopický moment je vždy 

kolmý k momentu hybnosti setrvačníku i ke směru změny její polohy. Jestliže změříme 

gyroskopický moment, můžeme z něj určitrychlostotáčenísoustavyspojené 

se setrvačníkem. Na tomto principu pracují akcelerometry měřící sklon letadla nebo 

rychlost zatáčení letadla, tj. umělý horizont a zatáčkoměr. 

Integrací úhlové rychlosti můžeme určit prostorovou orientaci setrvačníku. Znalosti 

prostorové orientace gyroskopu je možno využít například ke stabilizaci polohy 

letadla nebo řízené střely. Gyroskop se používá rovněž ke stabilizaci lodi na moři. 

Při každém teprve počínajícím pootočení lodi se signál z gyroskopu ihned předává 

příslušným servomotorům, které roztáčejí stabilizační setrvačníky a vracejí tak lo d 

, 

do původní polohy. Existují konstrukce lodních stabilizátorů, které už při nepatrné


hmotnosti gyrostatu lo , d velmi účinně stabilizují. Gyrostaty se využívají také v 

kosmonautice ke stabilizaci a polohování satelitů a na stejném principu funguje i 

automatický pilot umožňující samočinné udržování kurzu a výšky letu letadla 

nebo řízené střely. 

Na kolo vozidla v zatáčce působí nepříznivě 

gyroskopický moment M s = −Ω ×L, který má 

snahu překlopit vozidlo stejně jakoodstředivá 

síla. 

Setrvačnost kol se nepříznivě projevuje u kolejových vozidel v zatáčce. Pokud 

automobil vjede do levotočivé zatáčky, jako je tomu na obrázku, moment hybnosti 

kola L směřuje do středu zatáčky. Automobil se současně otáčí kolem středu zatáčky 

a nutí konat všechna kola vozidla precesní pohyb s rychlostí Ω (směřující 

vzhůru). V důsledku vnucené precese vzniká gyrokopický moment M s = −Ω × L 

(směřující zde ve směru pohybu vozidla), který má tendenci překlopit kola automobilu 

ve stejném smyslu, jako odstředivá síla. Oba vlivy se tedy nepříznivě skládají 

aohrožují stabilitu vozidla. Na rozdíl od odstředivé síly však gyroskopický moment 

nezmizí ani v případě klopené zatáčky. 

3.5.7 Gyroskop a gyrokompas 

Gyroskop je schopen reagovat i na rotaci Země. Na této myšlence pracuje gyrokompas. 

Prakticky jde o velmi citlivý gyroskop uložený v ložisku tak, aby se jeho 

osa rotace mohla otáčet volně v horizontální rovině. 

Gyrokompas je gyroskop, jehož hlavníosasetrvačnosti 

x 3 se může otáčet jen v horizontální 

rovině. Vlivem rotace Země avlivemtření zaujme 

osa gyrokompasu směr poledníku. 

Setrvačné síly související s rotací Země působí na setrvačník gyroskopickým 

momentem 

M s = −Ω Z × L 

a nutí jej konat precesi kolem zemské osy. Je-li rotační osa z gyrokompasu volně 

otáčivá pouze v horizontální rovině a s poledníkem svírá úhel α, pak na setrvačník 

o momentu hybnosti L působí pouze vertikální složka gyroskopického momentu 

M s = −LΩ Z cos φ sin α, 

kde φ je zeměpisná šířka a Ω Z úhlová rychlost rotace Země. Rotací Zemězpůsobený 

gyroskopický moment se snaží otočit osu gyrokompasu do směru poledníku, tj. 

do směru α =0, gyrokompas by proto měl kolem poledníkového směru neustále


kmitat. Jde vlastně oprůměr precese setrvačníku do horizontální roviny. Malé třecí 

síly v uložení setrvačníku však způsobí, že kmity setrvačníku se rychle utlumí a osa 

zaujme směr poledníku. Typický gyrokompas má hmotnost kolem dvou kilogramů 

akonátři sta otáček za sekundu, takže musí citlivě reagovatnaotáčivý moment 

M ≈ 3 × 10 −3 N m . 

Gyrokompas je setrvačník rotující kolem osy 

volně otáčivé v horizontální rovině. Kinetická 

reakce setrvačníku způsobuje, že osa setrvačníku 

se stále stáčí do směru poledníku. 

Gyroskop vymyslel a pojmenoval roku 1852 Jean-Bernard-Léon Foucault. 

První praktický gyrokompas vyrobil roku 1908 Hermann Anschütz-Kaempfe. 

Aby dosáhl co nejmenšího tření, nechal jej plavat na hladině rtuti. Ve dvacátém století 

nahradil gyrokompas na lodích a letadlech méně přesný kompas magnetický. V 

poslední době jsou mechanické gyroskopy nahrazovány přesnějšími a spolehlivějšími 

laserovými gyroskopy nebo satelitním systémem navigace GPS. Prvního automatického 

pilota na principu gyroskopu sestrojil roku roku 1909 Elmer Ambrose 

Sperry. 

3.5.8 Pohyb těžkého setrvačníku 

Rotační kinetická energie setrvačníku se spočte obecně podle vzorce 

T = 1 ω ·J ·ω, (3.11) 

2 

kde veličiny se vztahují k inerciální soustavě a bodu otáčení O. Ovšem jen v 

soustavě spojené s tělesem bude tenzor momentu setrvačnosti konstantní v čase. 

Orientujeme-li osy ve směru hlavních os setrvačnosti, lze kinetickou energii symetrického 

setrvačníku psát jednoduše jako 

T = 1 2 J ¡ 

1 ω 

2 

1 + ω 2 ¢ 1 

2 + 

2 J 3ω 2 3 

apodosazenízasložky úhlové rychlosti podle Eulerových kinematických rovnic 

dostaneme 

T = 1 ³ 

2´ 

2 J 1 ˙φ2 sin 2 θ + ˙θ + 1 ³ 

2´ 

2 J 3 ˙φ2 cos 2 θ + ˙ψ . 

Podobně pro potenciální energii těžkého symetrického setrvačníku dostaneme 

U = mgz = mga cos θ, 

kde a je vzdálenost těžiště odboduotáčení a θ je nutační úhel.


Pohybové rovnice plynou z Lagrangeovy funkce L = T − U těžkého symetrického 

setrvačníku 

L = 1 ³ 

2´ 

2 J 1 ˙φ2 sin 2 θ + ˙θ + 1 ³ 

2 J 3 ˙φ cos θ + ˙ψ´2 

− mga cos θ. 

Lagrangeova funkce závisí pouze na úhlu θ, úhly ψ a φ jsou tedy cyklickými souřadnicemi, 

a proto platí 

p ψ = ∂L ³ 

∂ ˙ψ = J 3 ˙φ cos θ + ˙ψ´ 

= L 3 =konst, (3.12) 

dále 

p φ = ∂L 

∂ ˙φ = J ˙φ 

³ ´ 

1 sin 2 θ + J 3 ˙φ cos θ + ˙ψ cos θ = L z =konst. 

To lze upravit do tvaru 

odtud je 

J 1 ˙φ sin 2 θ + L 3 cos θ = L z , 

˙φ = L z − L 3 cos θ 

J 1 sin 2 . (3.13) 

θ 

Jestliže dosadíme do zákona zachování energie E = T + U, ve kterém vyloučíme 

˙φ a ˙ψ pomocí předchozích dvou integrálů pohybu, dostaneme 

E = 1 2 J 1 ˙θ 2 + (L z − L 3 cos θ) 2 

2J 1 sin 2 θ 

+ 1 L 2 3 

+ mga cos θ =konst, 

2 J 3 

což jediferenciálnírovnicepronutační úhel θ. Substitucí u = cosθ se rovnice 

převede na 

˙u 2 = ¡ 1 − u 2¢ µ 2E 

− L2 3 

J 1 

Rovnice má tedy tvar 

kde 

J 1 J 3 

− 2mga 

J 1 

 

u 

− (L 2 

z − L 3 u) 

J1 

2 . 

˙u 2 = f (u) = ¡ 1 − u 2¢ (A − Bu) − (C − Du) 2 , 

A = 2E 

J 1 

− L2 3 

J 1 J 3 

, 

B = 2mga 

J 1 

, C = L z 

J 1 

a D = L 3 

J 1 

jsou určité konstanty. Funkce f (u) je kubický polynom, který má obecně tři reálné 

kořeny u 1 

u ∈ h−1, 1i . Protože podle předpokladu je B =2mga/J 1 > 0, je polynom f (u) 

pro velká u rostoucí funkcí. Protože musí být ˙u 2 = f (u) > 0 alespoň proněkterá


u ∈ h−1, 1i asoučasně platíf (±1) = − (C ∓ D) 2 < 0, jeodtudzřejmé, že kořeny 

u 1 a u 2 leží v intervalu h−1, 1i a u 3 > 1. Proto bude výsledné u ležet v intervalu 

u 1 ≤ u ≤ u 2 . 

Průběh funkce f (u) . 

Pomocí kořenů polynomumůžeme rovnici přepsat do tvaru 

˙u 2 = B (u − u 1 )(u 2 − u)(u 3 − u) . 

Řešení této rovnice vede na eliptické funkce a dostane se snadno pomocí integrálu 

(3.10). Řešení má tvar 

kde 

u = u 1 +(u 2 − u 1 )sn 2 1 2p 

B (u3 − u 1 )t, 

r 

u2 − u 1 

k = 

u 3 − u 1 

představuje index eliptické funkce sínusamplituda. 

Tím máme dáno periodické řešení pro nutační úhel θ. Smysl precese ˙φ těžkého 

setrvačníku závisí na znaménku L z − L 3 cos θ. Podle počátečních podmínek může 

mít ˙φ stále stejné znaménko, tj. pokud je |L z | > |L 3 |,neboměnit znaménko, tj. pokud 

je |L z | < |L 3 | . Ve druhém případěvykonáváosasetrvačníku střídavě prográdní 

a retrográdní kývavý pohyb a opisuje během svého pohybu kudrlinky. Obecně tedy 

těžký setrvačník koná současně nutaci i precesi, pokud je však velikost nutace malá, 

tj. pokud platí θ ≈ konst neboli u 1 ≈ u 2 ,hovoříme o pseudoregulární precesi. 

Různé typy pseudoregulární precese těžkého 

symetrického setrvačníku. Křivka zachycuje 

dráhu apexu, tj. osy rotace na jednotkové 

sféře. 

Speciálním případem je spící setrvačník, který rotuje kolem vertikální osy z. 

Vtompřípadě musíbýtu 1 = u 2 =1, tj. dvojnásobný kořen, takže musí platit 

A = B a C = D. Odtud pak plyne L z = L 3 , setrvačník rotuje rychlostí ˙ψ = L 3 /J 3 

kolem osy z = x 3 a nekoná žádnou precesi ˙φ =0. Rotace spícího setrvačníku je pro 

malá θ popsána energií 

E = 1 2 J 1 ˙θ 2 + 1 2 

µ 

L 

2 

3 

− mga θ 2 . 

4J 1


Tomu odpovídá periodické řešení jen pro L 2 3 /4J 1 − mga > 0. Spící setrvačník tedy 

bude stabilní jen při dostatečné rychlosti rotace 

s 

4J 1 mga 

˙ψ > 

J3 

2 . 

Při rotaci se energie setrvačníku třením postupně ztrácí, tím klesá i rychlost jeho 

rotace. Pokud byl zpočátku spící setrvačník stabilní, pak v okamžiku, kdy podmínka 

spícího setrvačníku přestane být splněna, se setrvačník rozkývá kolem vertikální osy 

apočne konat pseudoregulární precesi s rostoucí velikostí nutačního úhlu. 

3.5.9 Pohyb volného setrvačníku 

Z didaktických důvodů vyřešíme ještě jednou případ precese volného symetrického 

setrvačníku. Na volný setrvačník žádné síly nepůsobí, a proto se zachovává také 

jeho moment hybnosti L. Ztotožníme-li pevnou osu z se směrem momentu hybnosti 

setrvačníku, pak bude L z = L a L 3 = L cos θ. Vzhledem k tomu, že L, L z i L 3 jsou 

konstanty pohybu, musí být i θ =konst. Po dosazení za L z a L 3 do rovnice (3.13) 

dostaneme 

˙φ = L J 1 

=konst 

a z rovnice (3.12) dostaneme 

˙ψ = L J 1 − J 3 

cos θ = J 1 − J 3 ˙φ cos θ, 

J 1 J 3 J 3 

aprotože J 3 ω 3 = L 3 = L cos θ, platí také 

˙ψ = L J 1 − J 3 

cos θ = J 1 − J 3 

ω 3 =konst. 

J 1 J 3 

Precese setrvačníku vzhledem k inerciální ose z tedy probíhá rovnoměrně, tj. stálou 

úhlovou rychlostí Ω = ˙φ a vzhledem k neinerciálnímu setrvačníku rychlostí Ω 0 = 

− ˙ψ, což je v naprostém souladu s dříve odvozenými výsledky. 

J 3

130 KAPITOLA 3. DYNAMIKA TUHÉHO TĚLESA

Kapitola 4 

Srážky a rázy 

4.1 Srážky 

4.1.1 Co je to srážka 

Pod vlivem vnějších sil tělesa mění plynule rychlost a směr svého pohybu podle 

pohybových zákonů. Někdy je však pohyb tělesa omezen tím, že si dvě avícetěles 

v dalším pohybu vzájemně překážejí. V tom případě dojdekesrážce těles, při 

které se mění směr a rychlost pohybu těles téměř jakoby skokem. 

Pojem srážky je velmi obecný a široký, hovoříme o srážce galaxií, srážce částic, 

srážce Země smeteoritem,srážce aut atd. Průběh srážky je však zcela jiný pro 

srážku subatomárních částic, kdy se tělesa měkce odrážejí na polštářích z vlastních 

silových polí, v tom případě sepoužívá místo srážky pojem rozptyl částic, a 

zcela jiný v případě srážky pružných pevných těles,jakýmijsounapříklad ocelové 

součásti. V tom případě sepříslušná srážka nazývá obvykle rázem těles. Druhým 

tělesem může být také neprostupná stěna, pak hovoříme o odrazu tělesa. 

Příklad srážky částic (a) aodrazučástice od 

stěny (b) . 

Během krátkého rázu vznikají v místě dotykutěles mohutné nárazové síly. 

Aprávětymajízanásledek,že se směr a rychlost pohybu těles během rázu mění 

prakticky skokem. Měřením je možno prokázat, že v případěrázuocelovýchsoučástí 

vznikají nárazové síly, které jsou zhruba tisíckrát větší než běžné síly a celá srážka 

přitom trvá zlomek milisekundy. Často jsou nárazové síly tak velké, že způsobí 

trvalé deformace tělesa nebo jeho úplné roztříštění. Tyto případy však zkoumat 

nebudeme, omezíme se jen na pružná pevná tělesa. 

131

132 KAPITOLA 4. SRÁŽKYARÁZY 

V mechanice se srážkou rozumí obecně takovýděj, kdy na sebe 

působí dvě tělesa po relativně krátkou dobu velkými silami. Vzhledem 

k ohromné velikosti nárazových sil se při vyšetřování rázů těles 

ostatnísíly,včetně tíhy, obvykle zanedbávají, aniž bytoznamenalo 

větší chybu. 

Rázům tuhých těles se budeme věnovat až později, v této kapitole se budeme 

zabývat pouze srážkami těles bez vnitřní struktury, tj. srážkami částic. Při jejich 

popisu často vystačíme pouze se zákony zachování. Výsledky takových úvah pak 

budou platit pro částice libovolné povahy a v omezené míře i pro reálná tuhá 

tělesa, například pro kulečníkové koule, pokud budeme moci zanedbat drsnost jejich 

povrchů arotaci. 

4.1.2 Typy srážek 

Pokud při srážce platí zákon zachování kinetické energie, jde o srážku pružnou (tj. 

dokonale pružnou), a pokud neplatí, jde o srážku nepružnou. Pokudposrážce 

nedojde k žádnému odpružení částic, takže se obě částice pohybují jako jediná 

částice, jde o srážku dokonale nepružnou. Pokud však k jistému odpružení 

částic dojde, hovoříme o nedokonale pružné srážce. 

Pokud leží rychlosti obou částic před i po srážce na jediné přímce, jde o přímou 

neboli čelní srážku, a pokud ne, jde o obecnou srážku šikmou. Vpřípadě srážky 

tuhých těles je situace o něco komplikovanější, jak uvidíme později. 

Objektem zkoumání v atomové fyzice jsou skutečné částice, tj. jádra atomů, 

elektrony, protony, částice alfa atd. Protože částice obvykle nesou elektrický náboj, 

působí na sebe již z dálky elektrickými silami, takže místo srážky částic, tj. 

přímého kontaktu, dojde pouze k pružnému nebo nepružnému rozptylu částic 

na vlastních silových polích. 

4.1.3 Srážky a zákony zachování 

Pokud neznáme přesný mechanismus silové interakce částic, nemůžeme srážku plně 

popsat a předpovědět její výsledek. V případě rázutěles rozhoduje o výsledku 

srážky také geometrický tvar, pružnostadrsnostpovrchůtěles. Avšak vzájemné 

síly akce a reakce, jimiž nasebečástice během srážky působí, jsou vnitřními silami 

asoučasně jiné síly, než síly rázové, je možno během srážky ignorovat. Proto je 

možno obě částice během srážky považovat za izolovanou soustavu a díky tomu 

bude pro srážku platit zákon zachování hybnosti a momentu hybnosti. Anižbychom 

tedy znali cokoli bližšího o struktuře srážejích se částic, vždy můžeme psát zákon 

zachování hybnosti 

m 1 v 1 + mv 2 = m 1 v 0 1 + mv0 2 , 

kde m 1 a m 2 jsou hmotnosti částic, v 1 a v 2 jejich rychlosti před srážkou a v 0 1 a 

v 0 2 rychlosti po srážce. Zákon zachování momentu hybnosti se pro bodové částice 

redukuje na zákon zachování hybnosti, takže nic nového nepřidává.

4.1. SRÁŽKY 133 

Vpřípadě pružné srážky bude platit navíc i zákon zachování mechanické 

energie. Propružnou srážku částic má tvar 

1 

2 m 1v1 2 + 1 2 mv2 2 = 1 2 m 1v1 02 + 1 2 mv02 2 . 

Celkem tedy máme pro pružnou srážku dvou částic čtyři rovnice pro šest neznámých 

složek rychlostí v1 0 a v2 0 po srážce. Zákony zachování hybnosti a energie tedy obecnou 

srážku ještě nepopisují jednoznačně. Ani v případě rovinného problému nemáme 

dostatečný počet rovnic. Pouze v případě lineárního problému, kdy počáteční i 

konečné rychlosti leží na jediné přímce, je počet rovnic dostatečný. V tom případě 

dostaneme dvě rovnice pro dvě neznámérychlostiv1 0 a v2 0 , které již můžeme vyřešit. 

Všimněte si, že pouhé zákony zachování nám plně určí rychlosti částic po srážce. 

4.1.4 Význam teorie srážek 

Obvykle je cílem teorie srážek určit rychlosti částic po rozptylu. Často je cíl právě 

opačný, ze znalosti rychlostí částic po rozptylu máme určit rychlosti a energie částic 

před rozptylem. Aniž bychom znali detaily silového působení částic během srážky, 

můžeme si být jisti, že platí zákony zachování. To ale znamená, že zákony srážek 

odvozené ze zákonů zachování můžeme oprávněně použít na všechny interakce těles, 

při nichž příslušné zákony zachování platí. Teorie srážek tedy popisuje stejně 

dobře srážku elektricky nabitých částic jako srážku nebeských těles nebo dvou automobilů. 

Vyšetření drah automobilůposrážce umožňuje 

spočíst rychlosti automobilů před srážkou. 

Zákonitosti mechanických srážek se využívajíipři vyšetřování dopravních nehod. 

Z brzdných stop pneumatik na vozovce se dá určit jak směr pohybu, tak dráha 

automobilů před i po srážce. Odtud se dají zpětně určit rychlosti obou automobilů 

před srážkou. Zákony srážek tak pomáhají dopravní policii objektivně určit míru 

zavinění obou řidičů. Například z brzdné dráhy s se spočte rychlost automobilu podle 

vzorce v = √ 2fgs, kde f je součinitel smykového tření pneumatik o vozovku. Z 

úhlu θ, ve kterém se pohybují oba automobily po srážce, je zase možno určit poměr 

rychlostí obou automobilů před srážkou tg θ = m 2 v 2 /m 1 v 1 . 

Také fyzika elementárních částic se bez důkladné znalosti mechaniky srážek 

neobejde. Prakticky veškeré informace o vlastnostech těchto částic získává současná 

fyzika zkoumáním následků jejichsrážek. Nejzajímavější výsledky se objevují při 

srážkách částic s velkými vstřícnými rychlostmi, toho se dociluje pomocí speciálně 

konstruovaných urychlovačů částic. Vzhledem k tomu, že rychlosti částic se zde 

blíží rychlosti světla, musí se při popisu jejich pohybu i srážek používat zákony 

relativistické mechaniky.


4.1.5 Historická poznámka 

Na počátku patnáctého století se po bohatých evropských dvorech rozšířil kulečník 

a doznal ohromné popularity. Kromě dobré zábavy však přinesl i některé důležité 

vědecké objevy. Například na konci šestnáctého století pomocí něj objevil Galileo 

Galilei zákon setrvačnosti a v polovině sedmnáctého století René Descartes objevil 

zákon zachování hybnosti a Christiaan Huygens zákon zachování kinetické 

energie. Srážky pružných kulečníkových koulí tedy sehrály ve fyzice velmi významnou 

roli. Mechanikou srážek se zabýval i Jan Marek Marci, který roku 1639 

rozlišil pružné a nepružné srážky. 

Zákon zachování hybnosti, tehdy nazývaný zákon zachování množství pohybu, 

objevil roku 1644 Descartes. Nerozpoznal však vektorový charakter hybnosti, a nedokázal 

proto pružnou srážku kulečníkových koulí správně vyřešit. Řešení pružné 

srážky nalezl až Huygens roku 1668, když přidal k vektorovému zákonu zachování 

hybnosti i zákon zachování živé síly. Tousetehdyrozuměl výraz mv 2 , tedy dvojnásobek 

kinetické energie. Ke stejnému výsledku došli záhy také John Wallis a 

Christopher Wren. 

Všimněte si, že zákony zachování hybnosti a mechanické energie byly objeveny 

experimentálně,atovdobě, kdy ještě nebyly známy ani pohybové rovnice. Zákony 

zachování hybnosti a energie jsou asi o dvacet let starší než Newtonovy pohybové 

zákony a téměř odvě staletí starší než samotný pojem energie! 

4.2 Přímá srážka 

4.2.1 Dokonale pružná srážka 

V dalším textu budeme vyšetřovat srážky těles na základě zákonů zachování, tj. bez 

potřeby znalosti struktury a mechanických vlastností povrchu těles. Měli bychom 

hovořit o bodových částicích, ale pro větší názornost budeme hovořit o koulích. 

Ovšem je nutno mít stále na paměti, že zatím předpokládáme ideálně hladké koule, 

které se neodvalují po povrchu stolu. Srážky kulečníkových koulí, které rotují, nejsou 

hladké a ani dokonale pružné, budeme zkoumat až později v kapitole věnované 

mechanice kulečníku. 

Uvažujme tedy dvě pružné koule o hmotnostech m 1 a m 2 , které se pohybují 

orientovanými rychlostmi v 1 a v 2 proti sobě. Kladné znaménko rychlosti přisoudíme 

pro konkrétnost pohybu doprava. Jde tedy o přímou srážku.Oběkoulenech tjsou 

, 

dokonale pružné, podobně jakotenisovémíčky nebo kulečníkové koule. I když se 

koule při srážce pružně deformují,zaokamžik se jejich deformační energie přemění 

zpět na kinetickou energii a obě koule se po srážce od sebe pružně odrazí. Takové 

srážce říkáme (dokonale) pružná srážka. 

Dokonale pružná srážka dvou koulí, stav před 

srážkou.

4.2. PŘÍMÁ SRÁŽKA 135 

Dokonale pružná srážka dvou koulí, stav po 

srážce. 

Předpokládejme, že po srážce se budou koule pohybovat rychlostmi v 0 1 a v 0 2. 

Zdefinice dokonale pružné srážky je zřejmé, že se zachovává jak celková hybnost 

soustavy koulí, tak i celková energie. Platí tedy zákon zachování hybnosti 

i zákon zachování energie 

m 1 v 1 + m 2 v 2 = m 1 v 0 1 + m 2v 0 2 , (4.1) 

m 1 v 2 1 + m 2v 2 2 = m 1v 02 

1 + m 2v 02 

2 . (4.2) 

Tuto soustavu dvou rovnic pro dvě neznámérychlostiv1 0 a v2 0 lze vyřešit a jako výsledek 

dostaneme vzorce (4.4). Stejný výsledek však dostaneme mnohem pohodlněji 

výpočtem v těžiš tové , souřadné soustavě. 

Z Galileiho principu relativity víme, že všechny inerciální soustavy jsou pro 

popis mechanických dějů, včetně srážek, zcela rovnocenné. Vhodnou volbou inerciální 

soustavy se může řešení problému významně zjednodušit. To je důvod, proč 

zavádíme pomocnou vztažnou soustavu spojenou s těžištěm soustavy obou částic. 

Rychlosti částic v těžiš tové , soustavě budemeproodlišeníznačit písmeny u. Zákon 

zachováníhybnostivtěžiš tové , soustavě nynídávádvěrovnice 

m 1 u 1 + m 2 u 2 =0 a m 1 u 0 1 + m 2 u 0 2 =0. 

Odtud je možno vyjádřit rychlosti u 2 a u 0 2 pomocí u 1 a u 0 1 . Jestliže dosadíme za 

rychlosti u 2 = −m 1 u 1 /m 2 a u 0 2 = −m 1 u 0 1/m 2 do zákona zachování energie 

m 1 u 2 1 + m 2u 2 2 = m 1u 02 

1 + m 2u 02 

2 , 

dostaneme po úpravě jednoduchou rovnici 

u 2 1 = u02 1 , 

jejíž řešení je u 0 1 = ±u 1. Podobně takévyjdeu 0 2 = ±u 2. Kladné znaménko by zde 

znamenalo pohyb koulí s nezměněnými rychlostmi, takže by o žádnou srážku nešlo. 

Proto jen záporné znaménko představuje řešení pružné čelní srážky 

u 0 1 = −u 1 a u 0 2 = −u 2 . 

Řešení přímé srážky těles v těžiš , tové soustavě je tedy triviální. 

Po pružné čelní srážce se rychlosti koulí v těžiš , tovém systému nezmění, 

změní se jen jejich směr na opačný. 

Nás však zajímá především srážka koulí v obecné soustavě. Musíme proto zadané 

rychlosti nejprve přetransformovat do těžiš , tové soustavy, zde srážku vyřešit,


a nakonec přetransformovat rychlosti zpět. Budou-li počáteční rychlosti koulí v 1 a 

v 2 , pak rychlost těžiště soustavyoboukoulíje 

v T = m 1v 1 + m 2 v 2 

. (4.3) 

m 1 + m 2 

Rychlosti částic před srážkou v těžiš tové , soustavě jsoutedy 

takže rychlosti částic po srážce budou 

u 1 = v 1 − v T a u 2 = v 2 − v T , 

v 0 1 = v T + u 0 1 =2v T − v 1 , v 0 2 = v T + u 0 2 =2v T − v 2 . 

Po dosazení za rychlost těžiště podle (4.3) odtud dostaneme hledaný výsledek 

v 0 1 = v 1 

m 1 − m 2 

m 1 + m 2 

+ v 2 

2m 2 

m 1 + m 2 

, v 0 2 = v 1 

2m 1 

m 1 + m 2 

− v 2 

m 1 − m 2 

m 1 + m 2 

. (4.4) 

Často se setkáme s případem, kdy jsou hmotnosti obou koulí stejné m 1 = m 2 . 

Obecné řešení (4.4) se výrazně zjednoduší a platí 

v 0 1 = v 2 a v 0 2 = v 1. 

Při pružné čelní srážce stejných koulí si obě koule navzájem vymění 

své rychlosti. 

Pokud byla například jedna z koulí původně v klidu, po srážce bude v klidu 

druhá koule. Tento výsledek určitě nenípřekvapením pro toho, kdo občas hraje 

kulečník. Přesvědčivě jej také demonstruje srážkostroj, zařízení sestavené z řady 

stejných pružných koulí zavěšených na dvojitém vlákně těsně vedlesebe.Pohyb 

jedné koule se pružnýmirázypřenese z jednoho konce na druhý. V každém okamžiku 

se pohybuje jen jediná koule. Na podobném principu se pružným prostředím 

šíří rozruch — mechanická vlna. 

Srážkostroj. Vychýlíme-li levou krajní kuličku 

a pustíme, pak tato narazí na sousední kuličku 

atanasousedníažnakonciřady odskočí poslední 

kulička vpravo. Pak se cyklus opakuje v 

obráceném směru. 

4.2.2 Srážka v laboratorní soustavě 

Vedle těžiš tové , soustavy se definuje ještě jeden významný druh pomocné vztažné 

soustavy — laboratorní soustava. Rozumísejítakovávztažná soustava, v níž je 

druhá z obou koulí před srážkouvklidu,tj.platív 2 =0. Tento druh srážky je i v 

technické praxi nejobvyklejší. Pro stručnější pojmenování budeme nazývat druhou


kouli, původně klidnou, jako terč a první kouli, původně v pohybu, jako střelu. 

Jestliže tedy střela o hmotnosti m 1 narazí rychlostí v 1 do terče o hmotnosti m 2 , 

budou podle (4.4) rychlosti obou koulí po srážce 

v1 0 = v m 1 − m 2 

1 , v2 0 m 1 + m = v 2m 1 

1 . (4.5) 

2 m 1 + m 2 

Pokud bude střela těžší než terč m 1 >m 2 , budou se obě koule po srážce pohybovat 

stejným směrem. Pokud bude střela lehčí než terč m 1

138 KAPITOLA 4. SRÁŽKY A RÁZY 

4.2.3 Lehká a těžká koule 

Opustíme laboratorní soustavu a budeme se opět věnovat obecné pružné srážce. 

Často se stane, že jedna koule je mnohem lehčí než druhá, takže platí například 

m 1 ¿ m 2 . Vtomtopřípadě dostaneme pro rychlosti koulí po srážce z obecného 

řešení (4.4) jednoduché vzorce 

v 0 1 ≈ 2v 2 − v 1 , v 0 2 ≈ v 2 . (4.6) 

Rychlost těžké koule se tedy srážkou téměř nezmění, zatímco rychlost lehké koule 

se změní velmi významně aplatí 

v 0 1 − v 1 ≈ 2(v 2 − v 1 ) . 

Změna rychlosti lehké koule je přibližně rovna dvojnásobku rozdílu 

rychlosti těžké a lehké koule před srážkou. 

Tento výsledek elementárně vysvětluje mechanismus, na němž jezaložena metoda 

nejlevnějšího urychlování meziplanetárních sond. Metoda se nazývá gravitační 

asistence apoužívá se k dodatečnému urychlení sondy směřující do vzdálených 

končin naší sluneční soustavy. Pozemská sonda se vzdaluje od Slunce, a tím 

pochopitelně ztrácí svoji rychlost. Aby sonda mohla letět dál, musíme zvýšit její 

rychlost. To se udělá tak, že se sonda navede ke vhodné planetě. Obletem kolem 

vhodné planety může sonda získat až dvojnásobek rozdílu orbitální rychlosti planety 

a aktuální rychlosti sondy. Planeta a její gravitační pole fungují jako jakýsi 

gravitační prak, který je schopen vystřelit sondu dál do kosmu ve směru orbitální 

rychlosti planety. Hlavní výhodou metody je, že se při manévru nespotřebuje ani 

kapka paliva, takže to kosmickou agenturu nic nestojí. Například navedením na 

vhodnou dráhu kolem Jupitera můžeme pozemskou sondu urychlit až o11 km / s! 

Takto urychlená sonda pak může pokračovat dál ve své pouti do hlubin vesmíru, 

kam by se jinak pro nedostatek energie nikdy nedostala, případně může být opakovaně 

urychlena u další vnější planety. 

Výsledky pružné srážky bylo možno aplikovat na pohyb sondy v gravitačním 

poli planety jen proto, že v obou případech platí stejné zákony zachování. V případěgravitační 

asistence pochopitelně ožádnou skutečnou srážku sondy s planetou 

nejde. 

4.2.4 Dokonale nepružná srážka 

Uvažujme opět dvě koule o hmotnostech m 1 a m 2 ,kterésepohybujírychlostmiv 1 

a v 2 čelněprotisobě. Oběkoulenech t , jsou tentokrát dokonale nepružné, představte 

si, že jsou například z měkké plastelíny. Při srážceseobě koule deformují a zaklesnou 

do sebe, takže se pohybují jako jediný celek rychlostí v. Takovésrážce se říká 

dokonale nepružná srážka. Zdefinice této srážky je zřejmé, že se nezachovává 

mechanická energie, nebo tjejípodstatnáčást , 

se přemění na deformační práci a 

teplo. Při nepružné srážce se zachovává jen hybnost soustavy koulí.


Dokonale nepružná srážka dvou koulí, stav 

před srážkou. 

Dokonale nepružná srážka dvou koulí, stav po 

srážce. 

Podle zákona zachování hybnosti je 

m 1 v 1 + m 2 v 2 =(m 1 + m 2 ) v, 

kde v je konečná rychlost soustavy obou koulí po srážce. Rychlost soustavy těles 

po srážce je tedy rovna 

v = m 1v 1 + m 2 v 2 

= v T , 

m 1 + m 2 

což jezároveň podle (4.3) rychlost těžiště soustavy obou koulí. 

Deformační práci spočteme jako úbytek kinetické energie koulí před a po srážce. 

Tak dostaneme 

A = T − T 0 m 1 m 2 

= 

2(m 1 + m 2 ) (v 1 − v 2 ) 2 , 

kde 

T = 1 2 m 1v 2 1 + 1 2 m 2v 2 2 a T 0 = 1 2 (m 1 + m 2 ) v 02 . 

Uvažujme například automobil o hmotnosti m 1 arychlostiv 1 , který narazí do 

nehybného stromu. Můžeme pro jednoduchost předpokládat m 1 ¿ m 2 , pak je v =0 

a pro deformační práci dostaneme 

A = 1 2 m 1v 1 2 . 

Téměř veškerá kinetická energie se přemění na deformaci automobilu. Pro automobil, 

který však narazí do stejného stojícího automobilu m 1 = m 2 , vychází deformační 

energie už jenpoloviční 

A = 1 4 m 1v 1 2 . 

Konečně, v případě srážky dvou automobilů jedoucích proti sobě jev 2 = −v 1 a 

deformační práce je dvojnásobná 

A = m 1 v 1 2 . 

V obou posledních případech se však deformační práce rozdělí mezi oba automobily 

napůl, takže srážka se stromem je zhruba stejně nebezpečná jako srážka s protijedoucím 

automobilem a obě jsoučtyřikrát nebezpečnější než srážka se stojícím 

automobilem.


4.2.5 Nedokonale pružná srážka 

Vpřípadě srážky skutečných koulí nikdy nedojde k úplné přeměně deformační 

energie zpět v kinetickou energii, a proto budou rychlosti koulí po srážce o něco 

menší, než byly před srážkou. Výsledek nedokonale pružné srážky lze zapsat 

zvláště jednoduchými vzorci v těžiš tové , soustavě, kde platí 

u 0 1 = −ku 1, u 0 2 = −ku 2, (4.7) 

kde k je součinitel odrazivosti (také koeficient restituce nebo vzpruživost) 

koulí. V případě dokonalé pružnosti je součinitel odrazivosti koulí k =1avpřípadě 

dokonalé nepružnosti je k =0. Obecně provzpruživost platí podmínka 0 ≤ k ≤ 1; 

případ k>1 by totiž byl v rozporu se zákonem zachování energie, zatímco případ 

k


Deformační práce se spočte jako rozdíl mechanických energií soustavy koulí před a 

po srážce 

A = T − T 0 = T T − T 0 T = ¡ 1 − k 2¢ T T . 

Deformační práce při nedokonale pružné srážcejetedyrovna 

m 1 m 2 

A = 

2(m 1 + m 2 ) (v 1 − v 2 ) 2 ¡ 1 − k 2¢ . 

Protože je deformační práce vždy nezáporná A ≥ 0, musí být odtud skutečně k ≤ 1. 

Podmínku nedokonalé pružnosti je možno napsat také ve tvaru u 0 1 /u 1 = −k, 

což lze v obecné vztažné soustavě přepsat do užívaného tvaru 

v2 0 − v0 1 

= −k, 

v 2 − v 1 

který se nám bude hodit později při popisu rázů tuhých těles. 

Poměr vzájemné rychlosti koulí po srážce a před srážkou je roven 

záporně vzatémusoučiniteli odrazivosti. 

4.2.6 Nedokonale pružná srážka stejných koulí 

Vpřípadě, kdy jsou obě koule stejné m 1 = m 2 , vychází rychlosti koulí po pružné 

srážce takto 

v1 0 = 1 − k 

2 v 1 + 1+k 

2 v 2, v2 0 = 1+k 

2 v 1 + 1 − k 

2 v 2. 

Pokud bude druhá koule před srážkou v klidu (tj. střelaaterč), pak je 

v1 0 = 1 − k 

2 v 1, v2 0 = 1+k 

2 v 1. 

Protože vychází v2 0


Druhá koule pak narazí rychlostí v 2 do třetí nehybné koule a udělíjírychlost 

v 3 = 1+k µ 2 1+k 

2 v 2 = v 1 , 

2 

až rychlost poslední n-té koule po rázu bude 

µ n−1 1+k 

v n = 

v 1 . 

2 

Rychlosti dalších koulí klesají geometrickou řadou, například pro vzpruživost k ≈ 

0.5 a n ≈ 20 je rychlost poslední koule v 20 ≈ 4×10 −3 v 1 aenergieT 20 ≈ 2×10 −5 T 1 . 

Tento numerický výsledek objasňuje, pročsetakčasto užívá pro tlumení střel právě 

hromada písku. 

4.2.7 Měření součinitele odrazivosti 

Součinitel odrazivosti změříme pohodlnězvýškyodskokumíčkupoodrazuodpodlahy, 

kterou můžeme chápat jako nekonečně těžkou kouli. Za tohoto předpokladu 

splývá těžiš tová , a laboratorní soustava, takže rychlost míčku po odrazu je rovna 

v1 0 = −kv 1 . 

Dopadne-li míček na podlahu z výšky h 1 ,mápři dopadu rychlost v 1 = √ 2gh 1 . Po 

odrazu má míček menší rychlost v1 0 = −kv 1 ,takže vyskočí jen do výšky 

h 2 = v02 1 

2g = k2 h 1 . 

Při dalším odskoku vyletí do výšky h 3 = k 2 h 2 = k 4 h 1 atd. Výšky odskoků tedy klesají 

rovněž podle geometrické posloupnosti a koeficient odrazu najdeme z poměru 

výšek dvou po sobě následujících odskoků 

r 

h2 

k = = 

h 1 

r 

h3 

h 2 

= ... 

Při nepružném odrazu se zmenšuje rychlost 

míčku v k ivýškavýskokuh k geometrickou řadou. 

Počet odskoků míčku je nekonečný, ale celková dráha míčku je konečná, nebo , t 

příslušná geometrická řada konverguje k součtu 1 

s = h 1 +2h 2 +2h 3 + ... = h 1 

¡ 1+2k 2 +2k 4 + ... ¢ = 1+k2 

1 − k 2 h 1. 

1 Pro součet nekonečné geometrické řady s kvocientem |q| < 1 platí vzorec s =1+q + q 2 + ... = 

1/ (1 − q) .


Rovněž takčas, po který míček poskakuje ve vzduchu, je konečný a je roven 

¡ 

t = t 1 +2t 2 +2t 3 + ... = t 1 1+2k +2k 2 + ... ¢ s 

= 1+k 2h 1 

1 − k g . 

4.2.8 Dokonale nepružná srážka 

Výsledek dokonale nepružné srážky je na rozdíl od dokonale pružné srážky 

jednoznačnýivpřípadě šikmé srážky. Protože obě částice vytvoří po srážce 

jedinou částici o hmotnosti m 1 + m 2 pohybující se rychlostí v, stačí k nalezení této 

rychlosti vektorový zákon zachování hybnosti 

m 1 v 1 + m 2 v 2 =(m 1 + m 2 ) v. 

Odtud je výsledná rychlost částic po nepružné srážce rovna rychlosti těžiště soustavy 

4.2.9 Rozpad částice 

v = v T = m 1v 1 + m 2 v 2 

m 1 + m 2 

. 

Dosud jsme zkoumali pouze srážku dvou částic nebo koulí. Stejnými zákony je však 

popsán i rozpad částice nebo tělesa. Uvažujme například částici, která je na počátku 

v klidu. Částice se pak rozpadne na dvě dceřiné částice o hmotnostech m 1 a 

m 2 , které od sebe odletí rychlostmi v 1 a v 2 . Kinetická energie se při rozpadu částice 

nezachovává, jde tedy o nepružný rozpad částice. Přírůstek kinetické energie u dceřiných 

částic se získá na úkor vnitřní energie původní mateřské částice. Příkladem 

rozpadu částice může být rozpad radioaktivního jádra uranu 235 nebo jiné nestabilní 

částice, zdrojem kinetické energie je zde jaderná energie. V mechanice může 

zase jít o rozpad tělesa díky pružinovému mechanismu (např. katapult u letadla) 

nebo v důsledku odpálení prachové nálože (např. tříštivý granát). 

Rozpad částice na dvě komponenty o hmotnostech 

m 1 a m 2 . 

Pro rozpad částice tedy platí zákon zachování hybnosti 

a zákon zachování energie 

0 = m 1 v 1 + m 2 v 2 

U 1 = U 2 + 1 2 m 1v 2 1 + 1 2 m 2v 2 2, 

kde U 1 představuje vnitřní energii mateřské částice a U 2 součet vnitřních energií 

dceřiných částic. Z těchto zákonů zachování snadno najdeme rychlosti 

s 

s 

2(U 1 − U 2 ) 

v 1 = m 2 

m 1 m 2 (m 1 + m 2 ) , v 2(U 1 − U 2 ) 

2 = m 1 

m 1 m 2 (m 1 + m 2 )


a kinetické energie obou částic po rozpadu 

T 1 = 

m 2 

m 1 

(U 1 − U 2 ) , T 2 = (U 1 − U 2 ) . 

m 1 + m 2 m 1 + m 2 

Všimněte si, že rychlosti i kinetické energie obou částic budou v obráceném poměru 

jejich hmotností, lehčí částice si tedy vždy odnese větší část z uvolněné energie 

U 1 − U 2 mateřské částice. 

Částicesemůže rozpadnout pouze za předpokladu U 1 >U 2 . Mateřská částice 

tedy nemůže být před rozpadem v základním stavu, ale musí být v excitovaném 

stavu. Ke spojení (splynutí) dvou částic může naopak dojít jen za předpokladu 

U 1


Máme určit do jakých výšek H 0 a h 0 vyskočí 

míčky M a m vpřípadě (b) . 

Řešení: Spodní těžší míček se pružně odrazí od podlahy rychlostí V = √ 2gh a srazí se s ještě 

padajícím lehčím míčkem o rychlosti v = −V. Po srážce bude rychlost těžšího a lehčího míčku 

rovna 

V 0 = V M − 3m a v 0 = V 3M − m 

M + m 

M + m . 

Míčky tedy vyskočí do výšek 

H 0 = V µ 02 

2 µ 2 M − 3m 

2g = h a h 0 = v02 3M − m 

M + m 

2g = h . 

M + m 

Jako kontrolu správnosti můžeme ověřit, že platí zákon zachování energie 

MgH 0 + mgh 0 =(M + m) gh. 

Budou-li hmotnosti obou míčků vevelkémnepoměru, vyjde H 0 ≈ h a h 0 ≈ 9h. Lehčí míček 

tedy může vyskočit až do devítinásobné výšky oproti výšce, z nížbylyobamíčky puštěny! Pokus 

je možno velmi efektně demonstrovatstěžkým gumovým míčkem a lehkým pingpongovým 

míčkem. Svědci pokusu budou přesvědčeni o narušení zákona zachování energie. 

Pro M =2m vyjde H 0 = 1 9 h a h0 = 25 9 

h, přitom se velký míček odrazí zpět k zemi a teprve 

až pak se odrazí vzhůru. Pro M =3m vyjde H 0 =0a h 0 =4h, velký míček se zcela zastaví 

aodzeměseužneodrazívůbec. 

Příklad 4.3 Na dvou závěsech stejné délky l jsou upevněny vedle sebe dvě kouleohmotnostech 

m 1 a m 2. Pak byla větší koule m 1 vychýlena o úhel φ 1 a puštěna tak, že narazila do 

menší koule m 2 , která odskočila do výchylky φ 2 .Spočtěte maximální výchylku φ 2 koule m 2 

po úderu. 

Určete odskok φ 2 koule m 2 způsobený nárazem 

koule m 1 , která byla puštěna z výchylky φ 1 . 

Obě koulevisínazávěsu délky l a jsou dokonale 

pružné. 

Řešení: Větší koule získá před rázem rychlost v 1 = p 2gl (1 − cos φ 1 ). Menší koule je na 

počátku v klidu, po rázu bude mít rychlost 

2m 1 

v 2 = v 1 , 

m 1 + m 2 

takže odskočí o úhel 

sin φ 2 

2 = 2m1 sin φ 1 

m 1 + m 2 2 . 

Příklad 4.4 Představte si velkou kouli o hmotnosti M, třeba zavěšenou na dlouhém vlákně. 

Koulejenapočátkuvkliduanarážejí do ní pravidelně rychlostív malé pružné kuličky o 

hmotnosti m. Najděte rychlost velké koule.


Řešení: Podlezákonůpružné srážky (4.4) spočteme rychlost velké koule po prvních srážkách 

V 1 = 

2m 

4mM 

v, V2 = 

2 

v, V3 = ... 

M + m (M + m) 

apon + 1 srážce platí rekurentně 

V n+1 = M − m 

M + m Vn + 2m 

M + m v. 

Řešením této diferenční rovnice dostaneme 

· 

pro 

µ 

rychlost 

 

velké koule vzorec 

n¸ 

M − m 

V n = v 1 − 

, 

M + m 

podle něhož se rychlost koule přibližuje exponenciálně k hodnotě v. Maximální rychlosti však 

koule dosáhne až ponekonečně mnoha úderech. Přírůstky rychlosti koule postupně klesají, 

protože klesá relativní rychlost koule a malých kuliček. 

Příklad 4.5 Představte si velkou dřevěnou kouli o hmotnosti M, třeba zavěšenou na dlouhém 

vlákně.Koulejenapočátku v klidu a pravidelně rychlostív do ní narážejí malé nepružné 

kuličky o hmotnosti m, třeba broky ze vzduchovky. Najděte rychlost velké koule. 

Řešení: Zapředpokladu nepružnosti srážek budou broky zůstávat v kouli a její hmotnost bude 

postupně narůstat podle vzorce M n = M + nm, kde n je počet broků, které v kouli uvízly. 

Podle zákona zachování hybnosti bude součet hybností n broků napočátku roven hybnosti 

soustavy koule plus broky 

nmv =(M + nm) V n , 

odtud už snadno dostaneme rychlost velké koule po n-té srážce, platí 

V n = 

nmv 

M + nm . 

Maximální rychlost koule se tedy bude blížit rychlosti broků v, ale dosáhne se jí ažponekonečně 

mnoha zásazích. Přírůstky rychlosti koule klesají, protože roste její celková hmotnost a protože 

klesá relativní rychlost koule a broků. 

Příklad 4.6 Mezi dvěma velkými koulemi o hmotnostech M běhá malá pružná kulička o 

hmotnosti m. Na počátku byly obě velké koule v klidu a malá kulička měla rychlost v. Popište 

pohyb soustavy koulí. 

Mezi dvěma velkými koulemi běhámalápružná 

kulička. Máme popsat rychlost soustavy koulí. 

Řešení kvalitativní: Kulička narazí do první velké koule vpravo, předá jí zhruba hybnost ∆p ≈ 

2mv, atímjiurychlío∆V ≈ 2mv/M. Pravá těžká koule se dá do pomalého pohybu vpravo. 

Kulička se odrazí a běží zpátky, až narazí na velkou kouli vlevo, tu rovněž uvede do pohybu 

rychlostí ∆V, ale směrem doleva. Opakovanými srážkamiztrácímalákulička postupně svoji 

energii. Kulička se odráží a běhá mezi oběma velkými koulemi a dál je urychluje tak dlouho, 

až má nakonec menší rychlost, než každá z velkých koulí. K žádným dalším srážkám pak 

už nemůže docházet. Výsledkem tedy je, že všechny tři koule se budou nakonec vzdalovat 

rovnoměrně přímočaře od počáteční polohy, levá koule doleva, pravá koule doprava a malá 

kulička bude putovat pomalu za jednou z nich. 

Konečnou rychlost obou velkých koulí odhadneme ze zákona zachování energie 

1 

2 mv2 ≈ 1 2 MV 2 + 1 2 MV 2 , 

odtud je 

r 

m 

V ≈ v 

2M .


Hrubý odhad počtu srážek najdememe touto úvahou. Při každé srážce narůstá rychlost velké 

koule zhruba o ∆V ≈ 2mv/M, po 2n srážkách (tj. po n srážkách do pravé koule a po n 

srážkách do levé koule) bude rychlost velké koule zhruba 

V n ≈ n∆V ≈ 2nmv/M. 

Konečné rychlosti se proto dosáhne zhruba po 

2n ≈ 2 V r 

M 

∆V ≈ 2m 

srážkách. 

Řešení numerické: Označíme-li rychlost velké koule vpravo V P avlevoV L arychlostmalé 

kuličky pohybující se vpravo v P avlevov L , pak pro srážku vpravo platí 

vn+1 L = − M − m 

M + m vP n + 

2M 

M + m V n P , Vn+1 L = 2m 

M + m vP n + M − m 

M + m V n 

P 

aprosrážku vlevo 

vn+1 P = − M − m 

M + m vL n+1 + 

2M 

M + m V n L , Vn+1 P = 2m 

M + m vL n+1 + M − m 

M + m V n L . 

Spolu s počátečními podmínkami 

v0 P = v a V0 L = V0 P =0 

můžeme z těchto rovnic numericky vypočíst rychlosti všech koulí po každé jednotlivé srážce. 

Srážky pokračují tak dlouho, dokud menší koule má dostatečnou rychlost, aby dohnala velkou 

kouli, tedy dokud platí nerovnosti vn P >Vn P a vn L


velké koule naopak monotónně narůstáanakoncisrážkové dynamiky sin 4nα ≈ 1 skutečně 

dosahuje hodnoty 

r 

Vn 

P m 

≈ v 

2M . 

4.3 Šikmá srážka 

4.3.1 Dokonale pružná srážka 

Dynamika srážek je matematicky nejjednodušší v těžiš tové , souřadné soustavě, 

tj.vsoustavě spojené s těžištěm soustavy částic. Zákon zachování hybnosti v těžiš 

tové , soustavě dávádvěrovnice 

m 1 u 1 + m 2 u 2 = 0, m 1 u 0 1 + m 2u 0 2 = 0 

a zákon zachování energie jedinou rovnici 

1 

2 m 1u 2 1 + 1 2 m 2u 2 2 = 1 2 m 1u 02 

1 + 1 2 m 2u 02 

2 . 

Vyloučením u 2 a u 0 2 dostaneme opět podmínku u 2 1 = u 02 

1 , jejímž řešením je tentokrát 

|u 1 | = |u 0 1| , a podobně takévyjde |u 2 | = |u 0 2| . 

Částice při pružné srážce v těžiš , tové soustavě mohouzměnit pouze 

směr svého pohybu, velikosti svých rychlostí nikoli. 

Početrovnicjemenšínežpočet neznámých složek rychlostí, proto nelze ze 

zákonů zachování určit směr pohybu částic po šikmé srážce. Pokud nevíme nic 

bližšího o mechanismu vzájemného silového působení částic, je směr pohybu částic 

po srážce výsledkem náhody. Teprve kdybychom znali druh působící síly a srážkový 

parametr, mohli bychom určit směr a rychlost částic po srážce. V případěrázukoulí 

bychom zase museli znát velikosti koulí, drsnost jejich povrchů atd. 

Rychlosti částic po srážce je možno zapsat pomocí jednotkového vektoru n, 

který má směr nových těžiš tových , rychlostí, tj. platí 

u 0 1 = |u 1 | n, u 0 2 = − |u 2 | n. 

Změna směru pohybu částic se často popisuje rozptylovým úhlem χ. Je-li směr 

počáteční rychlosti u 1 , pak platí u 1 · n = u 1 cos χ nebo u 1 · u 0 1 = u2 1 cos χ. Známe-li 

rychlosti částic v 1 a v 2 v obecné soustavě, pak rychlost těžiště soustavyčástic je 

v T = m 1v 1 + m 2 v 2 

m 1 + m 2 

arychlostičástic v těžiš tové , souřadné soustavě jsou 

u 1 = v 1 − v T = 

m 2 

m 1 + m 2 

(v 1 − v 2 ) a u 2 = v 2 − v T = − m 1 

m 1 + m 2 

(v 1 − v 2 ) .

4.3. ŠIKMÁ SRÁŽKA 149 

Rychlosti obou částic po srážce dostaneme zpětnou transformací z těžiš , tové soustavy 

podle vztahů 

4.3.2 Srážka stejných částic 

v 0 1 = v T + u 0 1 a v 0 2 = v T + u 0 2. 

Jak již bylořečeno, plně určit výsledek šikmé pružné srážky částic není možné, 

protože zákony zachování neposkytují dostatečný počet rovnic. Obecně zbývají 

dva volné parametry a v případě rovinného problému zbývá stále ještě jeden volný 

parametr, který určuje konečné směryarychlostipohybučástic po srážce. Přesto je 

možno ze zákonů zachování získat některé zajímavé výsledky, jeden takový příklad 

nyní ukážeme. 

Šikmá srážkadvoustejnýchpružných částic v 

laboratorní soustavě. Po rozptylu se obě částice 

od sebe vzdalují pod pravým úhlem. 

Vyšetříme případ srážky dvou stejných částic (střelaaterč) v laboratorní soustavě. 

Platí tedy m 1 = m 2 aterčjenapočátku v klidu v 2 = 0. Podle zákona 

zachováníhybnostiplatí 

v 1 = v 0 1 + v0 2 , 

kde v 1 je rychlost střely a kde v1 0 a v0 2 představují rychlosti obou částic po srážce. 

Po umocnění rovnice na druhou dostaneme 

v1 2 =(v0 1 + v0 2 ) · (v0 1 + v0 2 )=v02 1 +2v0 1 · v0 2 + v02 2 . 

Podle zákona zachování energie však zároveň platí 

v1 2 = v1 02 + v2 02 . 

Mají-li platit obě rovnicesoučasně, musí být zřejmě 

v1 0 · v0 2 = v0 1 v0 2 cos θ =0. 

To ale znamená, že po srážce se obě částice budou muset pohybovat ve vzájemně 

kolmých směrech, tj. θ =90 ◦ . Kam se ale bude pohybovat střelaakamterč, to už 

pouze na základě zákonů zachování předpovědět nelze. 

Narazí-li střela do nehybného terče o stejné hmotnosti, budou se po 

srážce obě částice od sebe vzdalovat ve vzájemně kolmýchsměrech. 

Často se uvádí, že tento výsledek je možno ilustrovat na srážce kulečníkových 

koulí. Toto tvrzení je však nutno upřesnit. Těsně po rázu kulečníkových koulí se obě


koule skutečně začnou od sebe vzdalovat pod pravým úhlem, ale vlivem předchozí 

rotace a vlivem tření o stůl se směr pohybu střely záhy změní. Rozptylový úhel 

kulečníkových koulí je nakonec obvykle mnohem menší než teoretická hodnota θ ≈ 

90 ◦ odvozená pro částice pohybující se čistě translačně nebo pro hladké koule bez 

tření. 

4.3.3 Srážka v laboratorní soustavě 

Nyní vyšetříme šikmou srážku různých částic (střela a terč) v laboratorní soustavě. 

Střela o hmotnosti m 1 nech tmánapočátku , 

rychlost v 1 aterč o hmotnosti m 2 je 

na počátku v klidu v 2 = 0. Rychlosttěžiště soustavyjezřejmě rovna 

m 1 

v T = v 1 , 

m 1 + m 2 

a proto jsou rychlosti částic v těžiš tové , soustavě před srážkou rovny 

u 1 = 

m 2 

m 1 + m 2 

v 1 a u 2 = − m 1 

m 1 + m 2 

v 1 . 

Po srážce se změní pouze směry těchto rychlostí, a platí tedy 

u 0 1 = m 2 

v 1 n a u 0 2 

m 1 + m = − m 1 

v 1 n, 

2 m 1 + m 2 

kde n je jednotkový vektor ve směrunovýchtěžiš tových , rychlostí. Ten zde hraje 

roli volného parametru. Konečně rychlostičástic po srážce v původní laboratorní 

soustavě budou rovny 

v 0 1 = m 1v 1 + m 2 v 1 n 

m 1 + m 2 

a v 0 2 = m 1v 1 − m 1 v 1 n 

m 1 + m 2 

. (4.9) 

Šikmá pružná srážka částic v laboratorní soustavě. 

Střela o hmotnosti m 1 naráží rychlostí 

v 1 na terč o hmotnosti m 2. 

Pokud zvolíme osu x ve směru původního pohybu střely v 1 , pak platí v 1 = 

(v 1 , 0) . Pokud dále zavedeme rozptylový úhel χ, který určuje směr pohybu střely 

v rovině xy vtěžiš tové , soustavě, a tedy i vektor n, pak platí n =(cosχ, sin χ). 

Zavedeme-li konečně rozptylové úhly střely θ 1 aterče θ 2 měřené od osy x, pak z 

rovnic (4.9) dostaneme pro směry rozptylových rychlostí obou částic následující 

vzorce 

tg θ 1 = 

sin χ 

µ +cosχ 

a 

θ 2 = π − χ , 

2

4.4. RÁZY 151 

kde µ = m 1 /m 2 představuje poměr hmotnosti střely a terče. Pro velikosti rozptylových 

rychlostí najdeme z rovnic (4.9) podobně 

p 

v1 0 1+µ2 +2µ cos χ 

= 

v 1 a v2 0 = 2µ 

1+µ 

1+µ v 1 sin χ 2 . 

Pro χ = 0 je v1 0 = v 1 a v2 0 = 0, jde o letmý dotyk částic, k žádné srážce 

prakticky nedošlo. Pro χ = π zase dostaneme čelní srážku částic, pro kterou platí 

známé vzorce 

θ 1 = π, θ 2 =0, v1 0 = µ − 1 

µ +1 v 1 a v2 0 = 2µ 

µ +1 v 1. 

Pro stejně těžké částice µ =1dostaneme po srážce rozptylové směry 

θ 1 = χ 2 , 

a pro jejich rychlosti po srážce máme 

θ 2 = π − χ 

2 

v 0 1 = v 1 cos χ 2 

a v 0 2 = v 1 sin χ 2 . 

Všimněte si, že směry rychlostí částic po srážce jsou skutečně vzájemněkolmé, 

nebo tplatí 

, 

θ 1 + θ 2 = π 2 . 

Pro µ1 lze 

naopak ukázat, že směr střely bude vymezen konečným kuželem sin θ 1 ≤ 1/µ. 

Střela se tedy nemůže odrazit od terče zcela zpět, může se jen částečně odchýlit od 

původního směru. Pohyb terče je v obou případech omezen na úhly θ 2 ≤ π/2. 

4.4 Rázy 

4.4.1 Impulzové věty 

Pokud na tuhé těleso působísíla,mění se plynule hybnost a moment hybnosti tělesa, 

jak to ostatně plynezprvníadruhévěty impulzové ṗ = F a ˙L = M. V technické 

praxi se však často setkáme také s prudkými, téměř okamžitými změnami pohybu 

těles, které se nazývají rázy. Příkladem rázů jsou úder kladiva o hřebík, odkop 

míče nebo jeho odraz od země, odpal míče golfovou holí atd. Tělesa jsou při rázu 

obecně podrobenamohutnýmnárazovým silám, kterévšakpůsobí jen po velmi 

krátkou dobu. Je proto pochopitelné, že během trvání rázu je možné všechny ostatní 

síly zanedbat, aniž bychom se dopustili větší nepřesnosti. Během krátké doby ∆t 

trvání rázu se poloha tělesa prakticky nezmění, změní se však skokem jeho rychlost, 

hybnost a energie. Integrací impulzových vět dostaneme rovnice 

p − p 0 = I a L − L 0 = K,


kde p 0 = mv 0 a p = mv jsou počáteční a konečná hybnost tělesa, L 0 a L počáteční a 

konečný moment hybnosti tělesa. Pro popis rázu jsou tedy rozhodující jen výsledný 

impulz nárazových sil a výsledný impulz momentu nárazových sil 

I = 

Z ∆t 

0 

Fdt, K = 

Z ∆t 

0 

Mdt. 

Konkrétní časový průběh nárazové síly F (t) není nutno k vyřešení rázu znát. 

4.4.2 Zákony zachování 

Během rázu je možno vnější síly obvykle zanedbat ve srovnání s vnitřními nárazovými 

silami, proto je možno soustavu těles během rázu považovat za izolovanou 

soustavu, pro kterou musí platit zákon zachování hybnosti a momentu hybnosti 

X 

p k = X X 

p 0 k a L k = X L 0 k . 

k 

k 

k 

k 

Tyto zákony zachování nám často umožňují najít stav soustavy těles po rázu, aniž 

P 

bychom počítali nárazové síly a jejich impulzy. Zákon zachování mechanické energie 

k T k = P k T k 

0 však při rázu obecně platit nemusí, vyjma dokonale pružných a 

hladkých rázů. 

4.4.3 Střed rázu 

Uvažujme nehybnou tyč, kterou zasáhne v bodě A jiné těleso a předá jí silový 

impulz I = F ∆t. Původně nehybná tyčsedávdůsledku rázu do rovinného pohybu, 

který se skládá z translace i rotace. Existuje tedy bod O, který se stává okamžitým 

středem otáčení tyče a který leží na opačné straně odtěžiště tyče než bodrázu 

A. BodO, nehybný během trvání rázu, se nazývá střed rázu nebo také střed 

úderu. Najdeme jej z podmínky 

v O = v T − ω |OT| =0. (4.10) 

Pro rychlost těžiště tyče platí z první věty impulzové v T = I/m a pro rychlost 

rotace tyče platí z druhé věty impulzové ω = I |AT | /J T . Po dosazení za v T a ω 

dostaneme z rovnice (4.10) podmínku pro polohu středu rázu 

|OT| = 

J T 

m |AT | . (4.11) 

Pokud by úder vedl těžištěm, ležel by střed úderu v nekonečnu, což znamená, že 

pohyb tyče po úderu by byl čistě translační. 

Střed rázu O je místo, které je středem otáčení 

tělesaporázu.

4.4. RÁZY 153 

Středrázujezdefinice středem otáčení tělesa po úderu. Je to ideální místo 

pro držení nástrojů jako jsou sekera, kladivo nebo krumpáč. Místo držení je velmi 

důležité i u sportovního náčiní jakými jsou baseballová pálka, golfová hole nebo hokejka. 

Pokud nástroj držíme v tomto místě, je pohyb nástroje při úderu minimální, 

takže držení také nejméně bolí a nejméně zatěžuje klouby. 

Ukažme si výpočet středu rázu na jednoduchém příkladu. Máme homogenní 

tyč AB délky l a jejím koncem musíme udeřit prudce do zdi. Ve kterém místě 

musíme tyč držet, aby nás to při úderu co nejméně bolelo? Hledaným místem je 

samozřejmě střed rázu O. Protože pro tyč platíJ T = ml 2 /12 a podle zadání je 

těžiště tyče uprostřed, tj. |AT | = l/2, dostaneme pro středrázu(4.11)podmínku 

|OT| = l/6. Tyč je tedy nutno držet ve vzdálenosti jedné šestiny délky tyče od 

těžiště nebo ve vzdálenosti jedné třetiny délky tyče od opačného konce B tyče. 

Příklad 4.7 Vjakévýšceh je nutno udeřitdokouleopoloměru R, aby se dala do valivého 

pohybu? 

V jaké výšce h je nutno vést úder tak, aby se 

kouledaladovalivéhopohybu? 

Řešení: Koule se bude valit, pokud bude nehybným středem rázu O právě bod dotyku koule 

spodložkou. Protože je |OT| = R, |AT | = h − R a J T =(2/5) mR 2 , dostaneme z rovnice 

(4.11) řešení h =7R/5. 

Příklad 4.8 Určete optimální místo pro držení kladiva s železnou hlavou o rozměru 4 × 10 × 

4cm adřevěným topůrkem o rozměru 4 × 26 × 3cm. Hustota železa je 8 g / cm 3 adřeva 

1 g / cm 3 . 

Máme najít střed rázu O při úderu kladiva v bodě 

B. 

Řešení: Hmotnost hlavy s otvorem je m 1 =896g ahmotnosttopůrka m 2 =312 g . Hmotnost 

celého kladiva je tedy m = 1208 g atěžiště T kladiva leží ve vzdálenosti d = |AT | ≈ 4. 

84 cm od počátku hlavy A. Pro úder vedený bodem B je tedy rameno síly |CT| ≈ 2.84 cm . 

Moment setrvačnosti kladiva vzhledem k těžišti je J T ≈ 57 300 g cm 2 , takže pro střed rázu O 

dostanemezrovnice(4.11)|OT| = J T /m |CT| ≈ 16. 71 cm . Vzdálenost optimálního místa 

O pro uchopení kladiva je |OD| ≈ 4. 45 cm od konce topůrka. 

Příklad 4.9 Kulečníková koule se valí po stole rychlostí v a narazí na okraj stolu tak, že po 

odrazu se dá opět hned do valivého pohybu rychlostí v 0 . Jak vysoko musí ležet hrana okraje 

stolu, je-li poloměr koule R.


Vjakévýšceh musí ležet hrana stolu, aby se 

po odrazu od ní koule o poloměru R odkutálela 

opět valivým pohybem. 

Řešení: Pro valivý pohyb platí v = ωR a v 0 = ω 0 R. Zprvníadruhévěty impulzové dostaneme 

m (v + v 0 )=F ∆t a J (ω + ω 0 )=F (h − R) ∆t. Vydělením obou impulzových vět dostaneme 

h − R = J (ω + ω0 ) 

m (v + v 0 ) = J 

mR ≈ 2 5 R. 

Hrana stolu musí ležet ve výšce h =7R/5 od středu koule. Všimněte si, že bod O je opět 

středem rázu. 

4.4.4 Typy rázů 

Vpředchozích kapitolách jsme vyšetřovali srážky těles prakticky pouze za pomocí 

zákonů zachování. Nic jsme přitom nepotřebovali vědět o struktuře a velikosti těchto 

těles. Nyní se budeme zabývat srážkami (rázy) pružných pevných těles, jejichž 

geometrický tvar a drsnost budou známy. Díky tomu bude možno výsledek jejich 

srážky plně popsativpřípadě šikmé srážky. 

Oblá tělesa se při rázu dotknou v malé plošce, ideálně v jediném bodě dotyku 

zvaném bod rázu A. Vtomtomístě splývají normály n 1 a n 2 povrchů oboutěles 

v jedinou normálu n zvanou osa rázu. Je-li relativní rychlost v = v 1 − v 2 bodů 

dotyku obou těles v okamžiku rázu rovnoběžná s osou rázu, jde o přímý ráz nebo 

také čelní ráz těles. V opačném případě jdeoráz šikmý, při kterém vznikají 

vedle normálových nárazových sil obecně takénárazovésílytečné. 

Čelní (přímý) a šikmý ráz těles. 

Jestliže při rázu prochází osa rázu těžišti obou těles, jde o ráz středový, také 

centrální nebo centrický. Vopačném případě jdeorázmimostředný, také výstředný 

nebo excentrický. Mimostředný ráz má za následek rotaci těles, dokonce 

i ideálně hladkých. Všimněte si, že ráz koulí je vždy rázem středovým, může však 

být rázem přímým nebo šikmým. 

Středový (centrální) a mimostředný (excentrický) 

ráz těles. 

Podle pružnosti těles dělíme rázy dále na pružné a nepružné, stejně jako 

tomu bylo u srážek částic. Při pružném rázu se zachovává kinetická energie těles.

4.4. RÁZY 155 

Podle drsnosti povrchů těles dělíme rázy na hladký a drsný ráz. Při hladkém 

rázu nevzniká síla tření a silové reakce mají jen normálové složky. Ráz drsný je 

obecně komplikovanější než ráz hladký, protože při něm vznikají tečné třecí síly. 

Ráz drsných těles se někdy nazývá také rázem tečným avpřípadě rotujících těles 

rázem vrtným. 

(a) Roztočený míček dopadá na podložku. (b) 

Při rychlé rotaci se směr rotace míčku nezmění. 

(c) Při pomalé rotaci se rotace míčku 

může zastavit nebo změnit dokonce na opačnou. 

Složitost dynamiky drsného rázu trochu ozřejmí malý rozbor vrtného rázu. 

Roztočíme-li míček kolem vertikální osy (a) a necháme-li jej dopadnout a odrazit 

se od země, zjistíme, že nejen velikost, ale i směr rotace míčku po vrtném rázu, 

závisí na rychlosti rotace míčku před dopadem na zem. Při dostatečně rychlé rotaci 

(b) se směr ani velikost rotace míčku příliš nezmění, tření jej totiž nedokáže příliš 

zbrzdit. Při pomalé počáteční rotaci (c) se však míček může nejen zcela zastavit, 

ale může také změnitsvojirotacinaopačnou! Statická teorie pružnosti dokáže vysvětlit 

zpomalení, případně zastavení rotace, obrácení rotace však může objasnit 

pouze dynamická teorie pružnosti pracující s elastickými vlnami šířícími se pružným 

tělesem konečnou rychlostí. 

Jednotlivé fáze při pružném rázu. Během první 

fáze se těleso zpomaluje a deformuje, během 

druhé se těleso urychluje a vrací do původního 

tvaru. 

4.4.5 Jednotlivé fáze rázu 

Uvažujme nejprve přímý ráz těles v těžiš tové , soustavě. Reakce i rychlosti mají v 

tom případě směr osy rázu, takže se tření ani u drsných těles neuplatní. Při studiu 

pružného rázu je možno celý ráz rozdělit na dvě fáze. V první fázi dochází k pružné 

deformaci tělesa a jeho kinetická energie se mění na potenciální energii deformace. 

Tělesa se během této fáze zpomalují, až se zcela zastaví. Pro předaný silový impulz 

během této fáze platí 

I I = −m 1 u 1 neboli I I = m 2 u 2 . 

Ve druhé části dochází k odpružení těles, která se tím vracejí do původního tvaru. 

Potenciální energie těles se mění zpět na kinetickou energii. Rychlost těles během 

druhéfázeopět narůstá a tělesa se od sebe začínají vzdalovat. Síly pružnosti předají 

tělesům impulz 

I II = m 1 u 0 1 neboli I II = −m 2 u 0 2 .


Časový průběh deformační síly F během pružného 

rázu. Všimněte si, že impulz I II předaný 

tělesu během druhé fáze rázu je obecně menší 

než impulz I I předaný tělesu během první 

fáze. 

Při dokonale pružném rázu trvají obě fázestejně dlouho a předané impulzy 

I II = I I jsou stejně veliké, pro rychlosti těles po rázu proto platí 

u 0 1 = −u 1 a u 0 2 = −u 2. 

Mechanická energie se při tomto rázu zachovává. Naopak při dokonale nepružném 

rázu fáze odpružení vůbec neexistuje, proto je impulz během druhé fáze nulový 

I II = 0 atakéu 0 1 = u 0 2 = 0. Konečně při nedokonale pružném rázu je silový impulz 

při odpružení vždy menší než impulzpři deformaci, takže platí 

I II = kI I , 

kde 0 ≤ k ≤ 1 se nazývá vzpruživost, součinitel odrazivosti nebo koeficient 

restituce.Součinitel odrazivosti k zavedl do mechaniky roku 1687 Isaac Newton, 

který se domníval, že jde o materiálovou konstantu. Ve skutečnosti závisí součinitel 

odrazivosti obecně také na síle rázu a na dynamických vlastnostech materiálů těles, 

pro naše potřeby však budeme dále předpokládat k ≈ konst. Pro rychlosti těles po 

nedokonale pružném přímém rázu tedy platí 

u 0 1 = −ku 1 a u 0 2 = −ku 2. 

Jistě jstesivšimli,že stejný vzorec (4.7) jsme používali již upružné srážky částic. 

4.4.6 Statická teorie rázu 

Zvláštností rázu jsou ohromné síly, které úderem těles vznikají. Typicky jde o síly 

tisíckrát větší, nežjetíhasrážejících se těles. Samotné rázy však trvají velmi krátce, 

jde řádově o zlomky milisekund. Tyto poznatky je možno ověřit experimentálně, 

ale také objasnit teoreticky. Obecná dynamická teorie rázu pružných těles je velmi 

komplikovaná. Omezíme se proto jen na statickou teorii, kterou vypracoval roku 

1881 Heinrich Rudolf Hertz. Protože i tato teorie je pro naše potřeby stále 

příliš složitá, omezíme se jen na kvalitativní teorii. Její výsledky však jsou v dobrém 

souladu s Hertzovou teorií i experimenty. 

DeformacekoulípodleHertzepři čelní srážce 

dvou stejných koulí.

4.5. RÁZ HLADKÝCH TĚLES 157 

Uvažujme centrální srážkudvoukoulíopoloměrech R, hmotnostech m ≈ ρR 3 a 

rychlostech v. Vmístě styku koulí dojde při rázu k deformaci obou koulí. Označímeli 

poloměr deformované plošky jako x a hloubku deformace jako y, pak z teorie 

pružnosti lze odhadnout deformační sílu vzorcem 

F ≈ ESε ≈ Ex 2 ε 

a práci nutnou k deformaci koulí vzorcem 

A ≈ Fy ≈ Ex 3 ε 2 , 

kde E je Youngův modul pružnosti, S ≈ x 2 je deformační plocha a ε ≈ y/x je 

míra lokální deformace. Z geometrie zároveň plyne vztah x 2 ≈ Ry, takže x ≈ Rε a 

y ≈ Rε 2 . Deformační práci je pak možno zapsat jako 

A ≈ ER 3 ε 5 . 

Konečně, protože deformační práce je zároveň rovna kinetické energii srážejících se 

koulí 

T ≈ mv 2 ≈ ρR 3 v 2 , 

máme odtud vzorec ER 3 ε 5 ≈ ρR 3 v 2 , zněhožužpohodlně najdeme míru deformace 

obou koulí během rázu 

µ ρv 

2 1/5 

ε ≈ . 

E 

Hloubku deformace a dobu trvání srážky odhadneme podle vzorců 

y ≈ Rε 2 a t ≈ y v ≈ R v ε2 . 

Protože pro ocel najdeme v tabulkách E ≈ 2×10 9 Pa a ρ ≈ 8000kg/ m 3 , dostaneme 

odtud pro ocelové koule o poloměru R ≈ 1cmarychlostiv ≈ 1 m / s míru deformace 

ε ≈ 0.08, hloubku deformace y ≈ 70 µ m adobusrážky t ≈ 70 µ s . Průměrná 

nárazová síla, která při rázu vzniká, má tudíž velikost 

F ≈ A y ≈ mv2 

Rε 2 ≈ 1400mg. 

Nárazová síla je tedy skutečně mnohem větší než tíhakaždé z koulí, jak bylo v 

úvodu zmíněno. 

4.5 Ráz hladkých těles 

4.5.1 Šikmý ráz 

A nyní se podívejme na případ šikmého rázu těles. Vtomtopřípadě majístyčné 

plochy obou těles rychlosti různých směrů, což vedekevznikutečných nárazových


sil. Pouze v případě ideálně hladkých těles nevznikají ani v tomto případě tečné 

reakce a pro jejich tečné složky rychlostí platí 

u 0 1t = u 1t a u 0 2t = u 2t. 

Pro normálové složky rychlostí těles platí totéž, co pro přímý ráz 

u 0 1n = −ku 1n a u 0 2n = −ku 2n. 

Těmito rovnicemi je ráz hladkých těles v těžiš tové , soustavě plněpopsán. 

Tečná v 1t anormálovásložka v 1n rychlosti v 1 

při rázu hladkých těles. Zde N představuje 

normálovou silovou reakci těles. 

Od těžiš , tové soustavy snadno přejdeme k obecné soustavě, podmínky pro šikmý 

ráz pružných hladkých těles pak jsou 

v 0 2n − v0 1n = −k (v 2n − v 1n ) a v 0 2t − v0 1t = v 2t − v 1t . 

Spolu se zákonem zachování hybnosti 

m 2 v 0 2n + m 1v 0 1n = m 2v 2n + m 1 v 1n a m 2 v 0 2t + m 1v 0 1t = m 2v 2t + m 1 v 1t 

tak máme opět dostatek rovnic pro vyřešení rázu dvou hladkých těles. Všechny 

rychlosti zde představují rychlosti styčných bodů A 1 = A 2 obou těles při rázu. 

4.5.2 Odraz od stěny 

Vyšetřeme odraz pružného míčkuodhladkéstěny. Stěnu můžeme považovat za 

nekonečně těžképlochétěleso, kterým srážka vůbec nehne. Laboratorní soustava 

v tomto případě splývá s těžiš tovou , soustavou. Pokud pružný míček dopadne 

rychlostí v na hladkou stěnu pod obecným úhlem α, normálová složka je rovna 

v n = v cos α atečná složka v t = v sin α. Při odrazu od hladké stěny se tečná složka 

rychlosti míčku nezmění vt 0 = v t, zatímco normálová složka se obrátí a zmenší na 

vn 0 = −kv n . Rychlost míčku po odrazu je tedy rovna 

q 

v 0 = vn 02 + vt 

02 = v p 1 − k 2 cos 2 α ≤ v 

a pro úhel odrazu β míčku platí zákon odrazu 

tg β = v0 t 

vn 

0 = 1 tg α. 

k 

Vzhledem k podmínce k α, tj. při hladkém odrazu se míček 

vždy odráží od kolmice. Pouze v případě dokonale pružného míčku k =1bude


v 0 = v a α = β. Příkladem dokonale pružného odrazu je například odraz molekul 

plynu od stěny nádoby nebo odraz světla od zrcadla. 

Odraz nedokonale pružného míčkuoddokonale 

hladké stěny. Tečná složka rychlosti se nemění, 

normálová složka mění směr a částečně 

se zmenší. Úhel odrazu β je pak větší než úhel 

dopadu α, jdeoodrazodkolmice. 

4.5.3 Ráz koulí 

Nyní vyšetříme srážku dvou hladkých koulí v těžiš , tové soustavě. První koule má 

hmotnost m 1 apoloměr r 1 , druhá koule má hmotnost m 2 apoloměr r 2 . Rychlosti 

koulí před srážkou jsou u 1 a u 2 , přitom musí platit m 1 u 1 + m 2 u 2 =0. Srážkový 

parametr b určuje vzdálenost trajektorií středů oboukoulípřed strážkou. Ke 

srážce zřejmě dojde, pokud bude b


Srážka dvou hladkých koulí v laboratorní soustavě. 

Nárazová síla má směr osy rázu n, proto 

rychlost druhé koule po rázu v 0 2 bude mít směr 

osy n. 

Nyní vyšetříme srážku stejných koulí v laboratorní soustavě. Druhá koule (terč) 

je tedy na počátku v klidu, tj. v 2 = 0, takže pro složky rychlostí platí 

Současně platí zákon zachování hybnosti 

−v 0 1n + v 0 2n = kv 1n a v 0 1t − v 0 2t = v 1t . 

m 1 v 0 1n + m 2v 0 2n = m 1v 1n a m 1 v 0 1t − m 2v 0 2t = m 1v 1t . 

Odtud již spočteme tečné složky rychlostí v 0 2t =0a v 0 1t = v 1t a dále normálové 

složky rychlostí koulí po rázu 

v1n 0 km 2 − m 1 

= −v 1n a v2n 0 = 1+k m 1 v 1n . 

m 1 + m 2 m 1 + m 2 

Pokud označíme úhel rozptylu první koule, měřeno od osy rázu n, jako γ, pak také 

platí 

a 

v 0 1 = v 1 

s 

sin 2 α + 

µ km2 − m 1 

m 1 + m 2 

2 

cos 2 α, tg γ = m 1 + m 2 

km 2 − m 1 

tg α 

v 0 2 = v0 2n = 1+k 

m 1 + m 2 

m 1 v 1 cos α. 

Úhly rozptylu obou koulí jsou tedy v laboratorní soustavě rovnyθ 1 = π − α − γ a 

θ 2 = α. Druhá koule se bude po srážce pohybovat ve směru osy rázu n. Speciálně 

pro dokonale pružný ráz k =1vyjde 

tg θ 1 =tg(π − α − γ) = 

m 2 sin 2α 

m 1 − m 2 cos 2α 

a pro dokonale pružný ráz k =1advěstejnětěžké koule m 1 = m 2 vyjde v 0 2 = 

v 1 cos α, v 0 1 = v 1 sin α a γ = π/2, takže θ 1 + θ 2 = π/2. Obě koule se tedy budou od 

sebe po rázu vzdalovat pod pravým úhlem. 

Příklad 4.10 Kladivo o hmotnosti m = 10kg dopadlo na kovadlinu o hmotnosti M = 100 kg 

rychlostí v = 10 m / s . Kovadlina je uložena na pružině otuhostik = 100 N / mm . Určete 

pohyb kovadliny po úderu. Předpokládejte dokonale nepružný ráz kladiva, které zůstane po 

úderu ležet na kovadlině.


Řešení: Kovadlinajenapočátku v klidu, celková hybnost soustavy je proto dána počáteční 

hybností kladiva. Podle zákona zachování hybnosti je (M + m) V = mv, odtud rychlost 

kovadliny po úderu bude 

V = mv/ (M + m) ≈ 0. 91 m / s . 

Kovadlina je uložena na pružině, která proto začne kmitat s frekvencí ω = p k/ (M + m) ≈ 

30 Hz a amplitudou 

A = v/ω ≈ 30 mm . 

Příklad 4.11 Máme tři stejné hladké pružné koule, dvě stojíatřetí do nich narazí rychlostí v, 

jak je to patrné z obrázku. Najděte rychlosti všech tří koulí po rázu. 

(a) Máme určit rychlosti všech tří koulí po hladké 

pružné srážce a (b) vzdálenost d mezi koulemi 

tak,abyseprvníkouleposrážce zcela zastavila. 

Řešení: Středy koulí tvoří v okamžiku srážky rovnostranný trojúhelník. Koule 2 a 3 se budou 

po srážce pohybovat ve směru vyznačených normál, tj. pod úhlem 30 ◦ od směrupohybukoule 

1. Velikosti rychlostí v 1 a v 2 = v 3 najdeme ze zákona zachování hybnosti a energie. Platí tedy 

v = v 1 +2v 2 cos 30 ◦ = v 1 + √ 3v 2 

a 

v 2 = v1 2 +2v2. 

2 

Odtud máme řešení v 1 = − 1 5 v a v2 = v3 = 2√ 3 

5 v. 

Prvníkoulebysemohlaizcelazastavitv 1 =0.Tobyzřejmě nastalo tehdy, pokud by platilo 

současně 

v =2v 2 cos α a v 2 =2v2. 

2 

Odtud je úhel α =45 ◦ . Vzdálenost mezi koulemi by tedy musela být na počátku rovna 

³√ 

d =4R sin α − 2R =2R 2 − 1´ 

≈ 0. 83R. 

Příklad 4.12 Na závoru otočnou kolem čepu O amajícímomentsetrvačnosti J dopadne 

kolmo v místě A kladivo o hmotnosti m rychlostí v 0. Najděte rychlost v kladivaarychlostω 

páky po úderu za předpokladu, že součinitel restituce kladiva je k. Na počátku byla páka v 

klidu ω 0 =0avzdálenostboduA od čepu O je rovna a. 

Na závoru OA dopadá kolmo kladivo o hmotnosti 

m rychlostí v. Máme určit rychlost kladiva 

a závory po úderu. 

Řešení: Kladivo a páka si vymění impulz I, takže platí 

mv − mv 0 = −I a Jω = Ia. 

Současně propružný ráz platí 

v 0 2 − v 0 1 

v 2 − v 1 

= −k, 

vnašempřípadě 

v − ωa 

v 0 

= −k.


Ztěchto tří rovnic už najdemeřešení 

ma 2 − Jk 

v = v 0 

ma 2 + J 

a ω = 

Velikost impulzu předaného páce je přitom rovna 

I = mv 0 

J (1 + k) 

ma 2 + J . 

mv0a (1 + k) 

. 

ma 2 + J 

Příklad 4.13 Na ledě, tedy bez tření, leží tyč o hmotnosti M adélceL. Tyčvkrajnímbodě 

zasáhne kolmo rychlostí v pružný puk o hmotnosti m.Určete, jak se budou tyčapukpohybovat 

po rázu. 

Puk o hmotnosti m zasáhne kolmo tyč délkyL a 

hmotnosti M ležící na ledě beztření. Máme popsat 

pohyb tyče a puku po jejich pružném rázu. 

Řešení: Jde o pružný čelní ráz puku a tyče, proto platí 

v 0 − V 0 

= −k, 

v 

kde V 0 je rychlost bodu A tyče po úderu. Zákon zachování hybnosti dává rovnici 

mv = MV T + mv 0 

a zákon zachování momentu hybnosti dává rovnici 

m l 2 v = JT ω + m l 2 v0 . 

Konečně pro rychlost koncového bodu tyče platí 

V 0 = V T + ω l 2 . 

Máme tedy čtyři rovnice pro čtyři neznámé v 0 ,V 0 ,V T a ω. Vyřešením této soustavy rovnic za 

předpokladu homogenní tyče J T = Ml 2 /12 dostaneme 

a 

v 0 kM − 4m 

= − 

M +4m v, 

ω = 1 + k 

l 

6mv 

M +4m 

mv 

V T =(1 + k) 

M +4m , V 0 4mv 

=(1 + k) 

M +4m . 

Ztěchto vzorců jezřejmé, že puk se po srážce zastaví, pokud bude platit přesně m = kM/4. 

Vtompřípadě mářešení tvar 

v 0 =0, ω = 3kv 

2l , V T = kv 

4 , V 0 = kv. 

Je-li puk lehčí, tj. mkM/12, pokračuje 

dál ve svém pohybu. Speciálně, pro dokonale pružný odraz k = 1 a puk o hmotnosti jedné 

dvanáctiny hmotnosti tyče, tj. m = M/12, dostaneme jako výsledek 

v 0 = − 1 2 v, ω = 3 v 

4 l , V T = 1 8 v a V 0 = 1 2 v. 

Puk se tedy odrazí od tyče zpět poloviční rychlostí, zatímco těžiště tyče se dá do pohybu 

osminou původní rychlosti puku a do takové rotace, že zasažený okraj tyče se bude pohybovat 

stejnou rychlostí jako puk, ale opačným směrem.

4.6. RÁZ DRSNÝCH TĚLES 163 

4.6 Ráz drsných těles 

4.6.1 Dostatečně drsnýráz 

Při rázu drsných těles vzniká vedle normálové složky nárazové síly N také tečná 

složka T. Ta mění tečné složky rychlostí těles a způsobuje změnu rotace tělesa. 

Pokud je drsnost povrchů těles dostatečná, nedojde při rázu ke smyku, takže musí 

platit podmínka stejných tečných rychlostí obou těles v místě jejich styku po rázu, 

aplatí 

u 0 1t = u0 2t nebo v 0 1t = v0 2t , 

to podle zvolené vztažné soustavy. Dostatečně drsnýmrázemse tedy rozumí 

takový ráz, při kterém nedojde ke smyku těles. Tření je v tom případě takvelké,že 

nedovolí vzájemný pohyb styčných ploch během trvání rázu. Výsledek rázu v tom 

případě, překvapivě, nezávisí na součiniteli tření f styčných ploch a pro velikost 

třecí síly platí T


Zde pro jednoduchost předpokládáme rovinný pohyb, tj. počáteční rotaci koule 

kolem osy kolmé na rovinu pohybu. Uvedené tři rovnice plně popisují náš problém 

ajejichřešením dostaneme 

vt 0 = mRv t − Jω 

J + mR 2 R, ω0 = − mRv t − Jω 

J + mR 2 a T ∆t = mJ v t + Rω 

J + mR 2 . 

Koule se tedy odráží od stěny pod úhlem 

tg β = v0 t 

vn 

0 = mR2 v sin α − ωRJ 

(J + mR 2 ) kv cos α 

5v sin α − 2ωR 

≈ , 

7kv cos α 

který závisí nejen na odrazivosti koule, ale i na její rotaci a momentu setrvačnosti. 

Výraz za znaménkem ≈ platí jen pro homogenní kouli s momentem setrvačnosti 

J ≈ (2/5) mR 2 . Ráz bude dostatečně drsný, tj. nedojde ke smyku koule, pokud 

bude pro třecí sílu platit nerovnost T

4.6. RÁZ DRSNÝCH TĚLES 165 

Pro hladkou stěnu f =0je odtud pochopitelně v 0 t = v sin α a ω0 = ω. 

4.6.3 Ráz koulí 

Pro ilustraci uvedeme alespoň jeden příklad na pružný ráz dostatečně drsných koulí. 

Pro jednoduchost se omezíme na případ šikmého rázu dvou stejných pružných koulí 

vtěžiš tové , soustavě. Obě koulenech t , mají hmotnost m, poloměr R amoment 

setrvačnosti J. Koulesesrazírychlostíu, po rázu od sebe koule odletí rychlostí u 0 

a budou pak rotovat rychlostí ω 0 . Rychlost u svírá s osou rázu n úhel α arychlost 

u 0 úhel β. Po srážce se tedy obě koule zpomalí, dostanou se do rotace a budou se 

pohybovat ve směru β vzhledem k ose rázu. 

Srážka stejných drsných koulí. Situace před 

srážkou (a) aposrážce (b) , kdy se koule dají 

do souhlasné rotace ω a odrazí se pod úhlem 

β od normály n. 

Pro normálové složky rychlostí platí 

u 0 cos β = ku cos α, 

kde k je součinitel restituce. Jsou-li koule dostatečně drsné,musídáleplatitpodmínka 

u 0 sin β = ω 0 R. 

Vtompřípadě bude tečná složka relativní rychlosti bodů dotykuoboukoulípo 

srážce rovna nule. Při drsném rázu platí zákon zachování hybnosti a momentu 

hybnosti. Zákon zachování hybnosti je v těžiš tové , soustavě splněn automaticky a 

moc nám nepomůže. Zákon zachování momentu hybnosti soustavy vzhledem ke 

společnému těžišti dává rovnici 

2mu 0 R sin β +2Jω 0 =2muR sin α. 

Ztěchto tří rovnic již lze najít rychlosti u 0 a úhlové rychlosti ω 0 koulí po rázu, 

stejně jako úhel rozptylu β. Dostaneme 

a 

ω 0 = 

mR 

J + mR 2 u sin α ≈ 5 u 

7 R 

mR2 tg α 

sin α, tg β = 

J + mR 2 k ≈ 5 tg α 

7 k 

u 0 = ku cos α 

cos β ≈ u r 

k 2 cos 2 α + 25 

49 sin2 α. 

Výrazy za znaménkem ≈ platí už jen pro homogenní kouli J ≈ (2/5) mR 2 .Pouzev 

případě čelní srážky se koule neuvedou do rotace, ale odrazí se od sebe rychlostí u 0 =


ku. Vpřípadě srážky dokonale nepružné je k =0,takže pak je u 0 ≈ (5/7) u sin α a 

ω 0 ≈ u 0 /R, obě koule se tedy do sebe prakticky zaklesnou a užseneoddělí. Soustava 

spojených koulí pak rotuje jako jediný celek kolem společného těžiště. 

Příklad 4.14 Po nakloněné rovině sesklonemα se kutálí z výšky h 0 válec o poloměru R. 

Určete jeho rychlost v na vodorovné rovině. Pružnost válce zanedbejte a předpokládejte, že 

tření mezi válcem a podložkou je dostatečné, aby zde nedošlo ke smyku. 

Válecsekutálíznakloněné roviny o výšce h 0 a 

sklonu α. Máme určitrychlostválcev na vodorovné 

rovině za ostrým zlomem. 

Řešení: Nakloněná rovina přecházívevodorovnourovinuostrýmzlomem,protozdedojdek 

rázu. Rychlost válce před zlomem je v 0 = √ 2gh 0 amásměr nakloněné roviny. Vzhledem k 

zanedbatelné pružnosti bude rychlost válce za zlomem rovna v a bude mít horizontální směr. 

Za předpokladu dostatečnédrsnostisebudeválecodvalovatrychlostíω = v/R. Zprvnívěty 

impulzové máme 

mv − mv 0 cos α = T ∆t, mv 0 sin α = N∆t, 

kde T ∆t je tečná a N∆t normálová složka nárazového impulzu, jímž působí podložkanaválec 

ve zlomu. Podle druhé věty impulzové platí J (ω − ω 0 )=TR∆t neboli 

J 

(v − v0) =−T ∆t, 

R2 nebo t , jde stále o valivý pohyb v = ωR a v 0 = ω 0 R. Z obou rovnic vyloučíme T ∆t apro 

hledanou rychlost válce dostaneme 

v = v 0 

J + mR 2 cos α 

J + mR 2 

1 +2cosα 

≈ v 0 . 

3 

Poslední část platí už jen pro homogenní válec J ≈ (1/2) mR 2 . 

Při nepatrném zlomu α ≈ 0 vyjde v ≈ v 0 apři kolmém zlomu α ≈ 90 ◦ vyjde v ≈ v 0 /3. 

Všimněte si, že pokud by zde nebylo tření, pohyboval by se válec rychlostí v = v 0 cos α, tedy 

pomaleji než vpřípadě drsného povrchu. 

Podmínka dostatečné drsnosti předpokládá, že třecí síla nepřekročí velikost smykového tření, 

tj. musí platit T < fN. Vnašempřípadě mápodmínkadostatečné drsnosti pro homogenní 

válec tvar 

T 

N 

= 

v − v0 cos α 

v 0 sin α 

= 1 3 tg α 2

4.7. MECHANIKA KULEČNÍKU 167 

Válec o poloměru R najede rychlostí v 0 na schod 

o výšce h a obdrží ráz. Tím se jeho rychlost 

změní na v aválecsezačne otáčet kolem hrany 

O. 

Řešení: Vokamžiku, kdy válec najede na hranu schodu, dojde k rázu. Původní valivý pohyb 

válce kolem bodu A přejde ve valivý pohyb kolem hrany O. Impuzové věty dávají 

J 

mv − mv 0 cos α = Tt, −mv 0 sin α = Nt a 

R (v − v 0)=−TtR, 

kde Tt je tečná složka silového impulzu působícího v bodě O a cos α =(R − h) /R. Ztěchto 

rovnic dostaneme řešení 

µ 

J + mR 2 cos α 

v = v 0 = v 

J + mR 2 0 1 − mRh 

. 

J + mR 2 

Pro homogenní válec J = mR 2 /2 je rychlost µ po rázu rovna 

v = v 0 1 − 2h 

. 

3R 

Vokamžiku, kdy válec vyjede na schod, bude mít rychlost v 1, kterou pohodlně najdemeze 

zákona zachování energie 

3 

4 mv2 = 3 4 mv2 1 + mgh. 

Odtud máme 

s 

v 1 = 

rv 2 − 4 3 gh = 

v 2 0 

µ 

1 − 2h 

3R 

2 

− 4 3 gh. 

Pochopitelně, válec překoná schod, jen pokud bude v 1 > 0. Uvedené výsledky předpokládají, 

že h


tření koule o stůl zanedbat. 2 V tom případě na kouli nepůsobí žádná horizontální 

síla, koule se tedy pohybuje po přímce stálou rychlostí podle zákona setrvačnosti. 

Vokamžiku těsně po strku nebo po srážce s jinou koulí však rychlost koule neodpovídá 

její rotaci, takže koule po stole určitou dobu klouže. Tím vzniká smyková 

třecí síla, která pohyb koule významně ovlivňuje. Protože pro smykové tření platí 

Coulombův zákon, je třecí síla konstantní a dráhou prokluzující koule je parabola. 

Teprve až síla smykového tření vymizí, stane se trajektorií kulečníkové koule opět 

přímka. 

Úder tágem při strku je možno považovat za drsný ráz, kterým je možno kulečníkovou 

kouli uvést nejen do pohybu, ale i do předem zvolené rotace. Vhodná 

horní, případně spodní, rotace nebo dokonce boční rotace může podstatně rozšířit 

spektrum možných pohybů koule po úderu. Vzhledem k působení třecí síly se může 

pohyb koule významně lišit od přímočarého rovnoměrného pohybu. 

Při srážce dvou kulečníkových koulí je možno oběkoulepovažovat s dostatečnou 

přesností za hladké, takže směr ani velikost rotace koulí se jejich srážkou prakticky 

nezmění. Pro rychlosti bezprostředně po rázu platí známé vzorce pro ráz stejných 

hladkých pružných koulí. Rotace koulí se však projeví v následujícím okamžiku, 

kdy se koule od sebe začnou vzdalovat. Koule budou zpočátku prokluzovat, nebo t 

, 

jejich rotace již neodpovídá novým rychlostem po rázu. Vlivem smykového tření se 

proto změní rychlost i směr pohybu koulí, které po krátkém čase přejdou opět ve 

valivý pohyb. 

Zatímco tření mezi kulečníkovými koulemi je malé, tření vznikající při odrazu 

kulečníkové koule od mantinelu zanedbat nelze. Zhruba však platí, že pokud se 

koule před odrazem od mantinelu odvaluje, pak pro běžné parametry kulečníkového 

stolu se při odrazu koule od mantinelu její rotace kolem horizontální osy téměř 

zastaví, takže pro odraz koule od mantinelu platí vztah (4.12). Rotace kolem vertikální 

osy nemá na pohyb koule vliv, a protože odrazivost mantinelu je k ≈ 0.7, 

platí zhruba elementární zákon odrazu α ≈ β. Pokud kouli před odrazem udělíme 

faleš, zákon odrazu pochopitelně přestane platit. Například při dopředné rotaci se 

koule bude odrážet směrem od kolmice a při zpětné rotaci směrem ke kolmici. 

První vědeckou práci věnovanou mechanice kulečníku s názvem Théorie mathématique 

des effets du jeu de billiard sepsal Gustave-Gaspard Coriolis roku 

1835. 

4.7.2 Klouzavý pohyb koule 

Podívejme se nejprve na pohyb koule po stole. V důsledku tření koule o sukno stolu 

je přirozeným pohybem koule valivý pohyb, při kterém je bod dotyku A koule se 

stolem vždy okamžitým středem otáčení koule. Díky tomu koule neprokluzuje a 

nevzniká ani smykové tření. Bezprostředně poúderutágemneboposrážce s jinou 

koulí však podmínka valivého pohybu není splněna, a pohyb koule je proto dočasně 

klouzavý. Teprve po chvíli se pohyb koule vlivem smykového tření opět změní v 

pohyb valivý. 

2 Skutečně, nebýt odrazů pohybovala by se koule po stole desítky metrů daleko.


Vyšetříme nyní klouzavý pohyb koule po stole. Předpokládejme, že kulečníková 

koule má hmotnost m apoloměr R, takže moment setrvačnosti koule vzhledem k 

ose jdoucí jejím středem S je J ≈ (2/5) mR 2 . Rychlost těžiště (středu S) koule 

označíme v a úhlovou rychlost rotace koule ω. Rychlost bodu A dotyku koule se 

stolem je tudíž rovna 

w = v + ω × R, (4.13) 

kde R = −→ SA. Pokud je tato rychlost různá od nuly, vzniká v místě dotyku se stolem 

třecí síla 

T = −fgm w w , 

která kouli brzdí nebo urychluje, případně odklání, to podle aktuálních směrů rychlostí 

w a v. Tíha koule je přesně kompenzována reakcí stolu, proto ji nemusíme 

uvažovat. Pohybové rovnice kulečníkové koule jsou tedy tvaru 

respektive 

ma = T, Jε = R × T, 

a = −fg w w , ε = −fgm J R × w w , 

kde f značí součinitel tření mezi koulí a stolem a konečně, a zrychlení a ε úhlové 

zrychlení koule. 

Rychlost v středu S arychlostw nejspodnějšího 

bodu A. Vbodě A vzniká pro w 6= 0 síla 

smykového tření T mající opačný směr jako 

rychlost w. 

Spočteme nyní zrychlení ẇ styčného bodu A. Vzhledem k tomu, že vektor R 

nemění velikost ani směr a míří stále dolů, platí podle (4.13) 

ẇ = ˙v + ˙ω × R = a + ε × R. 

Po dosazení za zrychlení a a ε podle pohybových rovnic odtud dostaneme 

ẇ = −fg w w − fgm ³ 

R × w ´ 

 

× R = −fg 

µ1+ mR2 w 

J w 

J w . 

Při úpravě jsem využili skutečnosti, že vektory w a R jsou vždy vzájemně kolmé. 

Pokud si uvědomíme, že zrychlení ẇ je neustále rovnoběžné s rychlostí w, atedyi 

spočáteční rychlostí w 0 , najdeme již pohodlně řešení poslední rovnice 

µ 

w = w 0 1 − t 

, 

t 1


kde 

t 1 = w 0 J 

fg J + mR 2 ≈ 2 w 0 

7 fg 

značí dobu, po kterou koule klouže po stole. Poslední výraz za znaménkem ≈ představuje 

výsledek platící pro homogenní kouli. Když totořešení dosadíme do původních 

pohybových rovnic, dostaneme rovnice s konstantními pravými stranami 

a = −fg w 0 

, ε = − fgm 

w 0 J R × w 0 

. 

w 0 

Odtud máme pro rychlost a úhlovou rychlost koule hledaná řešení 

v = v 0 − fgt w 0 

a ω = ω 0 − fgmt 

w 0 J R × w 0 

, 

w 0 

kde v 0 je počáteční rychlost středu koule a ω 0 její počáteční úhlová rychlost. Koule 

se pohybuje rovnoměrně zrychleně, její trajektorií je tudíž parabola 

r = r 0 + v 0 t − 1 2 fgt2 w 0 

w 0 

. 

Parabolická trajektorie klouzavého pohybu 

kulečníkové koule. V okamžiku, kdy koule dosáhne 

rychlosti v 1, pohybujesedálepopřímce. 

Vokamžiku t = t 1 koule přestane klouzat a dosáhne rychlosti 

w 0 

v 1 = v 0 − fgt 1 ≈ v 0 − 2 w 0 7 w 0 

aúhlovérychlosti 

ω 1 = ω 0 − fgmt 1 

R × w 0 

≈ ω 0 − 5 1 

J w 0 7 R 2 R × w 0. 

Protože w 0 = v 0 + ω 0 × R, snadno ověříme, že platí rovnice w 1 = v 1 + ω 1 × R = 0 

potvrzující, že koule přešla do valivého pohybu s výslednou rychlostí 

v 1 ≈ 5 7 v 0 − 2 7 ω 0 × R. (4.14) 

Koule tedy během svého klouzavého pohybu změní za čas t 1 rychlost z v 0 na v 1 , 

přitom změní obecně nejen velikost, ale i směr své rychlosti. 

Pokud jde zpočátku o čistětranslační pohyb ω 0 = 0, pak bude výsledná rychlost 

koule rovna 

v 1 ≈ 5 7 v 0.


Vzdálenost, po kterou bude koule klouzat po stole, než přejde ve valivý pohyb, je 

přitom rovna 

s 1 = v 0 t 1 − 1 2 fgt2 1 ≈ 12 v0 

2 

49 fg 

ajeúměrná čtverci počáteční rychlosti koule v 0 anepřímo úměrná součiniteli tření 

f. Pokud jde zpočátku o čistě rotační pohyb v 0 = 0, pak pro výslednou rychlost 

koule platí vzorec 

v 1 ≈− 2 7 ω 0 × R. 

Vzdálenost, kterou koule urazí, než přejde ve valivý pohyb, je rovna 

s 1 = 1 2 fgt2 1 ≈ 2 ω 2 0 R2 

49 fg . 

Je-li počáteční osa rotace kolmá k vektoru R irychlostiv 0 , půjde o rovinný pohyb, 

apakjemožno výslednou rychlost koule zapsat ve skalárním tvaru 

4.7.3 Vliv rotace na přímý pohyb koule 

v 1 ≈ 5 7 v 0 + 2 7 ω 0R. (4.15) 

Koule může získat rotaci nejen v důsledku tření o stůl, ale především při úderu 

drsným tágem. Pokud koule rotuje kolem vertikální osy, hovoříme o boční (levé 

nebo pravé) rotaci, která však nemá na pohyb koule valný vliv. Boční rotace se 

může projevit pouze při odrazu koule od mantinelu nebo od jiné koule. Na pohyb 

koule má ale značný vliv její rotace kolem horizontální osy. Pro popis této rotace je 

vhodné zavést bezrozměrný parametr horní rotace p = ωR/v, kdeω je rychlost 

rotace koule a v je rychlost jejího středu. Pro p>0 hovoříme o horní rotaci apro 

p1 dostaneme v 1 >v 0 , koulesetedytřením urychlí, a 

proto v případě p>1 hovoříme o dopředné rotaci koule. Naopak pro p


4.7.4 Čelní srážka 

Vyšetříme čelní srážku dvou stejných kulečníkových koulí m 1 = m 2 .Druhákoule 

(terč) nech t , stojí, zatímco první koule (střela) se pohybuje rychlostí v 1 a rotuje 

rychlostí ω 1 . Vpřípadě pružné srážky částic by si střela a terč vyměnily rychlosti. 

Stejně tak si vyměnísvérychlostiikulečníkové koule a těsně popružném rázu 

budou mít rychlosti v1 0 =0a v2 0 = v 1 .Jenže první koule (střela) i po rázu rotuje 

rychlostí ω 0 1 = ω 1, takže se dá nejprve do klouzavého pohybu, a teprve pak přejde 

vlivem tření podle vzorce (4.15) do valivého pohybu rychlostí 

v 00 

1 ≈ 2 7 ω0 1 R ≈ 2 7 p 1v 1 , 

kde p 1 = ω 1 R/v 1 . První koule (střela) se zcela zastaví v1 00 ≈ 0 pouze pro p 1 =0, tj. 

kdyžnapočátku nerotuje. Jak uvidíme později, koule se bude pohybovat bez rotace 

právě tehdy, když zamíříme tágem na její střed. Pro valivý pohyb p 1 =1vyjde 

konečná rychlost střely v1 00 ≈ 0. 29v 1 . Pokud bychom chtěli, aby se střela odrazila 

od terče, museli bychom jí dát spodní rotaci p 1 < 0. Toho dosáhneme jednoduše 

tak, že tágem míříme pod střed koule. 

Druhá koule (terč) získá rázem okamžitě rychlost v2 0 = v 1 , ale žádnou rotaci 

ω 0 2 =0. Bude tedy také nejprve klouzat a až pak, vlivem tření, přejde ve valivý 

pohyb rychlostí 

v 00 

2 ≈ 5 7 v0 2 ≈ 5 7 v 1 ≈ 0. 71v 1 . 

Druhá koule (terč) se tedy bude pohybovat dvaapůlkrát rychleji než první koule 

(střela) pro p 1 =1.Všimněte si, že i když jde o dokonale pružný ráz, velká část 

mechanické energie (asi 41 %) se při rázu koulí ztratí. Na vině je pochopitelně 

smykové tření koulí o stůl. 

Výsledek srážky kulečníkových koulí se značně 

liší od výsledku srážky stejných částic. Rozdíl 

je důsledkem působení tření a započtení rotace 

koulí. 

Pokud bychom započetli součinitel odrazivosti kulečníkových koulí k ≈ 0.92, 

pak by rychlosti koulí po srážce byly 

v1 0 ≈ 1 − k 

2 v 1 ≈ 0. 04v 1 a v2 0 ≈ 1+k 

2 v 1 ≈ 0. 96v 1 . 

Po přechodu ve valivý pohyb se budou koule pohybovat rychlostmi 

µ 5 

v1 00 ≈ 1 − k 

+ 2 7 2 7 p 1 

 

v 1 a v2 00 ≈ 5 1+k 

7 2 v 1. 

Pro počáteční valivý pohyb střely p 1 =1dostaneme v 00 

1 ≈ 0. 31v 1 a v 00 

2 ≈ 0. 69v 1 . 

Výsledky se tedy příliš neliší od předpokladu dokonalé pružnosti koulí.


4.7.5 Šikmá srážka 

Nyní vyšetříme obecnou šikmou srážkudvoukulečníkových koulí. Předpokládejme 

opět, že druhá koule (terč) stojí a první koule (střela) do ní narazí rychlostí v 1 

tak, že srážkový parametr je roven b. Směr normály obou koulí (osa rázu) a směr 

rychlosti střely svírají úhel α, pro který platí sin α = b/2R. Těsně po dokonale 

pružném rázu budou rychlosti koulí v 0 1 = v 1 sin α a v 0 2 = v 1 cos α a budou spolu 

svírat pravý úhel. Pokud zavedeme pomocnou souřadnou soustavu xy tak, že osa 

x odpovídá směrupohybustřely, pak pro složky rychlostí koulí po pružném rázu 

platí 

v 0 1 = v 1 sin α (cos α, sin α, 0) a v 0 2 = v 1 cos α (− sin α, cos α, 0) . 

Rychlosti v 0 1 a v 0 2 stejných koulí bezprostředně 

po pružném rázu spolu svírají pravý úhel. Zde 

b =2R sin α značí srážkový parametr. 

První koule ovšem i po rázu nadále rotuje rychlostí ω 1 , takže dojde k jejímu 

dodatečnému urychlení ve směru osy y. Výsledná rychlost první koule po přechodu 

ve valivý pohyb bude podle (4.14) rovna 

v 00 

1 = 5 7 v0 1 − 2 7 ω 1 × R = 5 7 v0 1 + 2 7 p 1v 1 

a po dosazení za v1 0 dostaneme 

µ 5 

v1 00 = v 1 

7 sin α cos α, 5 7 sin2 α + 2 

7 p 1, 0 . 

Směr pohybu první koule je nakonec určen vztahem 

tg θ 1 = v00 1x sin α cos α 

v1y 

00 = 

(2/5) p 1 +sin 2 α . 

Trajektorie pohybu kulečníkových koulí po 

šikmé srážce. Úhly rozptylu jsou θ 1 a θ 2 . 

Druhá koule po rázu nerotuje, nemá proto důvod měnit směr svého pohybu 

θ 2 = α, jen zmenší svoji rychlost na 

v 00 

2 = 5 7 v0 2 = 5 7 v 1 cos α (− sin α, cos α) .


Zatímco směr pohybu druhé koule (terč) je stejný bez ohledu na vliv tření a rotace 

střely, směr a rychlost pohybu první koule (střela) na tření a rotaci závisí podstatně. 

Pouze pro střelu bez rotace p 1 =0jsou rozptylové úhly θ 1 = π/2 − α a θ 2 = 

α, stejně jakobytomubylourozptylučástic. Obě koule by se po rázu od sebe 

vzdalovaly pod pravým úhlem. Pro případ valivé střely p 1 =1bude rozptylový 

úhel θ 1 podstatně menšínežučástice. Důvodem je pochopitelně rotační energie, 

která po rázu střelu dodatečně urychlí. Jak plyne z grafu, pro běžné rázy 0.4R < 

b


Odtud je zřejmé, že úder vedený nad střed koule b>0 způsobí horní rotaci p>0, 

úder vedený pod střed koule b2R/5 azpětnou rotaci p


se dosáhlo co největších hodnot p, zdrsňuje se kožená čepička tága před úderem 

kulečníkovou křídou. 

Protože pro všechny možné hodnoty b vychází v 0 > 0 i v 1 > 0, bude se koule 

vždy pohybovat vpřed ve směru síly F .Při horizontálně vedeném úderu totiž není 

zpětná rotace koule nikdy tak velká, aby přinutila kouli se vracet. Toho je možno 

dosáhnout pouze úderem, který směřuje hodně šikmodolůpodstřed koule, tzv. 

sbodec nebo piqué. 

Šikmý úder tágem. 

Pro obecný úder F vedený šikmo pod úhlem α vznikne následkem rázu také 

normálová N atečná T reakce stolu. Situace je zde tedy o něco komplikovanější 

než při horizontálním úderu. První a druhá věta impulzová mají tvar 

mv = F cos α − T a Jω = −Fb+ TR. 

Při šikmém úderu vzniká obvykle smyk, proto bude platit T = fN, aprotože 

se koule nemůže pohybovat ve vertikálním směru, musí platit N = F sin α. Po 

dosazení do impulzových vět dostaneme řešení 

v = F 5F 

(cos α − f sin α) a ω = (−b + fRsin α) . 

m 2mR2 Pro výslednou rychlost koule po přechodu ve valivý pohyb dostaneme 

v 1 = 5 F 

7 m 

µ 

cos α − b 

. 

R 

Pro α =0pochopitelně dostaneme horizontální úder. Vzorec se ale od (4.16) liší 

znaménkem u b, kteréjezpůsobeno jinou volbou orientace záměrné vzdálenosti, 

viz obrázek. Pro malá α se koule začne pohybovat vpřed se spodní rotací ω < 0 a 

skončí valivým pohybem vpřed. Je možno ale najít i takové podmínky, aby úder 

vedl k vratnému pohybu koule. Například pro cotg α >f se bude koule zpočátku 

pohybovat vpřed v>0 asoučasně prob>Rcos α bude v 1 < 0, takže po přechodu 

ve valivý pohyb se koule skutečně začne vracet. 

Vertikální úder vedený silou F vede ke vzniku 

normálové N atečné reakce T stolu.


Pokud provedeme úder (sbodec) tágem svisle dolů α = π/2, dostaneme pro 

rychlosti koule po úderu následující vzorce 

v = − F 5F 

f, ω = 

m 2mR 2 (−b + fR) a v 1 = − 5 F b 

7 m R . 

Koulesetedyzačne po rázu pohybovat zpět vfRbude mít zpočátku spodní rotaci ω < 0. Směr 

zpětného pohybu koule se však již nezmění, nebo t , v 1 < 0. 

Konečně, pokud vedeme šikmý úder massé mimo zamýšlenou rovinu pohybu, 

dosáhneme i rotace kolem podélné osy koule, což má za následek parabolické zakřivení 

dráhy pohybu koule. 

4.7.7 Odraz od mantinelu 

Podívejme se ještě na odraz kulečníkové koule od mantinelu. Mantinel je dostatečně 

pružný s koeficientem vzpruživosti k ≈ 0.7, ale není hladký. Součinitel tření 

mantinelu je stejný jako u sukna na stole a pohybuje se v intervalu f ≈ 0.1 až 

0.2. Přesná hodnota součinitele tření není důležitá, protože budeme předpokládat 

dostatečně drsný ráz. 

Odraz kulečníkové koule od kolmého mantinelu. 

Uvažujme kouli, která naráží čelně nakolmoustěnu mantinelu rychlostí v a 

rotuje rychlostí ω, má tedy parametr horní rotace p = ωR/v. Koule se od mantinelu 

odráží rychlostí vx 0 = kv, takže mantinel musel vytvořit horizontální silový impulz 

N∆t = mv (1 + k) . Vlivem tření o mantinel dojde ke vzniku tečného vertikálního 

impulzu T ∆t. Ten kouli udělí vertikální složku rychlosti vy 0 = T ∆t/m a podle druhé 

věty impulzové ω − ω 0 = TR∆t/J také zpomalí její rotaci. Konečně zpodmínky 

dostatečné drsnosti rázu musí být vy 0 = ω 0 R. Ztěchto rovnic již najdemeřešení 

ω 0 J 

= 

J + mR 2 ω ≈ 2 7 ω. 

Všimněte si, že rotace koule se rázem nezastaví a koule dokonce od mantinelu 

odskakuje vzhůruodhorizontupodúhlem 

tg θ = v0 y 

vx 

0 ≈ 2 ωR 

7 vk = 2 7 

p 

k . 

Konečně rychlost koule po přechodu ve valivý pohyb bude 

v 00 ≈ 5 7 kv − 4 49 ωR = 5 7 v µ 

k − 4 35 p 

.


Uvedené řešení samozřejmě platí, jen pokud je splněna podmínka T < fN, tj. 

pokud 

2 p 

7 1+k 0. 17. 

Ilustrace ke studiu odrazu kulečníkové koule 

od skloněného mantinelu. 

Protože odskok koule od mantinelu není žádoucí, konstruuje se mantinel mírně 

skloněný. Tím se zvedá bod A dotyku koule a mantinelu o výšku b. Jakhned 

ukážeme, zmenšuje tento typ mantinelu odskok a současně více brzdí rotaci koule 

při odrazu. Rychlost koule rozložíme do normálové v n = v cos α atečné složky 

v t = v sin α, kde sin α = b/R. Pro normálovou složkuporázuopět platí v 0 n = kv n , 

první a druhá věta impulzová dávají 

m (v 0 t + v t)=T ∆t, 

J (ω − ω 0 )=TR∆t 

a konečně podmínkadostatečné drsnosti má nyní tvar v 0 t = ω 0 R. Ztěchto rovnic 

dostaneme pro kouli J ≈ (2/5) mR 2 řešení 

ω 0 ≈ 

2ωR − 5v sin α 

7R 

a 

tg γ = v0 t 

vn 

0 ≈ 

2ωR − 5v sin α 

. 

7kv cos α 

Pro valivý pohyb se vzorce redukují na 

ω 0 ≈ ω 2 − 5sinα a 

7 

tg γ ≈ 2 − 5sinα 

7k cos α . 

Ztěchto čtyř rovnicjezřejmé, že rotace se zastaví pro sin α ≈ 2/5, tj. pro α ≈ 24 ◦ . 

Odskok θ = γ − α ≈−α bude v tomto případě dokonce záporný. Pokud bychom 

chtěli,abyodskokprávě vymizel, tj. aby bylo θ ≈ 0, pak potřebný sklon musí být 

sin α ≈ 2/ (5 + 7k) , tj. α ≈ 12 ◦ pro k ≈ 0.7. 

Vliv boční rotace a síly úderu na úhel odrazu 

koule od mantinelu. 

Vpřípadě šikmého odrazu kulečníkové koule od mantinelu jsou příslušné výpočty 

mnohem komplikovanější. Přibližně všakopět platí, že pro valivý pohyb se


rotace koule kolem horizontální osy po odrazu prakticky zastaví. Při rázu získá 

koule rotaci kolem vertikální osy, která však nemá na směr pohybu podstatný vliv. 

Protože pro drsný odraz koule bez rotace platí (4.12) a součinitel restituce mantinelu 

je k ≈ 0.7, platí přibližně elementární zákon odrazu α ≈ β. Pokud však 

kouli udělíme dodatečnou horní (příp. dolní) rotaci, bude se koule odrážet více od 

kolmice (příp. ke kolmici) než vpřípadě normálního valivého pohybu. Také síla 

úderu má na zákon odrazu určitý vliv, silnější úder obvykle znamená odraz více ke 

kolmici. Zákon odrazu může být významněji narušen také pro koule s boční rotací 

(falší). Vzhledem k běžným hodnotám součinitele tření f ≈ 0.15 bude odchylka od 

zákona odrazu dosahovat nanejvýš hodnoty β − α ≈ ±2f ≈ ±15 ◦ . 

Příklad 4.16 Kulečníková koule se odvaluje po stole rychlostí v 0 , takže rotuje rychlostí ω 0 = 

v 0/R. Určete rychlost koule po čelním odrazu od svislé hladké stěny. Považujte ráz za dokonale 

pružný. 

Odraz kulečníkové koule od hladkého mantinelu. 

Řešení: Po odrazu koule na hladkém mantinelu se změní rychlost koule na −v 0, zatímco 

úhlová rychlost se při rázu nezmění, takže po rázu bude rychlost smyku w 0 =2ω 0R. Teprve 

třením o sukno stolu přejde koule ve valivý pohyb rychlostí 

v = v 0 − 2 7 w0 = 3 7 v0. 

Příklad 4.17 Kulečníková koule se odvaluje po stole rychlostí v 0, takže rotuje rychlostí ω 0 = 

v 0 /R. Určete rychlost koule po šikmém odrazu od svislé hladké stěny. Považujte ráz za dokonale 

pružný. 

Odraz koule od mantinelu. 

Řešení: Koule dopadá na mantinel pod úhlem α rychlostí v 1 = v 1 (− cos α, − sin α, 0) arotuje 

rychlostí ω 1 =(v 1 /R)(sinα, − cos α, 0) . Po hladkém odrazu na mantinelu se změní rychlost 

koule na v 0 = v 1 (cos α, − sin α, 0) , zatímcojejírotacesenezmění. Teprve třením o stůl 

přejde koule ve valivý pohyb rychlostí 

v 2 = v 0 − 2 7 w0. 

Protože w 0 = v 0 + ω 1 × R = v 1 (2 cos α, 

µ 

0, 0) , dostaneme 

 

výsledek 

3 

v 2 = v 1 

7 cos α, − sin α . 

Zákonodrazumátedytvar 

tg β = 7 tg α. 

3


Příklad 4.18 Úder byl veden středem S koule šikmo ve směru α. Při kterém úhlu α nedojde 

kprokluzukoule? 

Při jakých úhlech α nedojde k prokluzu koule? 

Řešení: Při šikmém úderu vzniká rázová síla nejen v místě strku,aleivmístědotykukoule 

se stolem. Vlivem tření má reakce stolu tečnou T i normálovou složku N. Tíhu během úderu 

můžeme zanedbat. Impulzové věty dávají rovnice 

mv = F ∆t cos α − T ∆t, 0=F ∆t sin α − N∆t 

a 

Jω = TR∆t, 

kde ∆t je doba trvání rázu, m, R a J jsou hmotnost, poloměr a moment setrvačnosti koule. 

Pokud nedochází ke smyku koule po stole, musí být v = ωR. Ztěchto čtyř rovnic najdeme 

F ∆t cos α 

v = 

m + J/R ≈ 5 F ∆t 

2 7 m cos α a T 

N = J 

J + mR cotg α ≈ 2 cotg α. 

2 7 

Nemá-li dojít ke smyku, musí být T

4.8. ROZPTYL ČÁSTIC 181 

Částice se srážkovým parametrem b se rozptylují 

do směru θ, takže diferenciálnímu průřezu 

dS = 2πb db odpovídá prostorový segment 

dΩ =2π sin θ dθ. 

Protože rozptyl je obvykle symetrický kolem osy původního pohybu, tj. určitému 

srážkovému parametru b odpovídá vždy jeden rozptylový úhel θ, platí 

dS =2πbdb a dΩ =2π sin θ dθ. Pro diferenciální účinný průřez tak máme vzorec 

dS 

dΩ 

¯¯¯¯ = bdb 

sin θ dθ ¯ , (4.17) 

kde absolutní hodnota zaručuje, že výsledek bude vždy kladný. Když budeme znát 

konkrétní závislost srážkového parametru b na rozptylovém úhlu θ, budeme moci 

spočíst účinný průřez konkrétního rozptylu. V dalším budeme značit θ rozptylový 

úhelvlaboratornísoustavěaχ vtěžiš tové , soustavě, jak jsme již ostatně zvyklí. 

4.8.2 Rozptyl částice v coulombovském poli 

Jako první důležitý příklad si připomeneme rozptyl dvou elektricky nabitých částic. 

Uvažujme zatím jen rozptyl v těžiš tové , soustavě. Úhel rozptylu částic χ závisí 

pochopitelně nasrážkovém parametru b, což je vzdálenost neporušených drah 

obou částic. Podobný problém, rozptyl v nehybném coulombovském silovém poli, 

jsme již vyřešili v dynamice hmotného bodu. Výsledek můžeme přebrat, jen je 

nutno nahradit hmotnost částice redukovanou hmotností soustavy obou částic, tj. 

m = m 1 m 2 / (m 1 + m 2 ) , a rychlost v relativní rychlostí obou částic před srážkou, 

tj. v = v 2 − v 1 . Pro rozptylový úhel χ částic pak platí jednoduchý vzorec 

tg χ 2 = k 1 Q 1 Q 2 

, kde parametr k = 

b mv 2 4πε 0 

závisí na rychlostech, hmotnostech a elektrických nábojích rozptylujících se částic. 

Zde Q 1 a Q 2 představuje náboje obou částic, ε 0 dielektrickou permitivitu vákua. 

Všimněte si, že úhel rozptylu χ roste se zmenšujícím se srážkovým parametrem 

b apřekvapivě nezávisí na znaménku nábojů, stejný rozptyl dává přitažlivé jako 

odpudivé pole. 

Když te d , známe závislost b = k cotg (χ/2) , můžeme spočíst 

bdb = 1 cos (χ/2) 

k2 

2 sin 3 (χ/2) dχ 

a diferenciální účinný průřez nabitých částic je pak podle (4.17) roven 

dS 

dΩ = 1 4 sin 4 (χ/2) . 

To je známý Rutherfordův vzorec. Integrálníúčinný průřez diverguje, to je 

zřejmý důsledek dalekosáhlého působení coulombovského pole. 

k 2


4.8.3 Rozptyl mechanických koulí 

Jiným příkladem je rozptyl hladkých pružných koulí. Uvažujme dvě kouleohmotnostech 

m 1 a m 2 apoloměrech r 1 a r 2 . Tyto koule se srazí a dojde k jejich rozptylu, 

jen pokud bude pro jejich srážkový parametr platit podmínka b


kde v 1 je počáteční rychlost první částice a µ = m 1 /m 2 je poměr hmotností obou 

částic. Rychlost částic v těžiš tové , soustavě je 

u 1 = 1 

1+µ v 1 a u 2 = µ 

1+µ v 1. 

Stejné rychlosti budou mít částice i po srážce, jen se budou pohybovat ve směru χ. 

Po dosazení do vzorce (4.18) dostaneme pro rozptylový úhel první částice vzorec 

akněmu inverzní vzorec 

tg θ 1 = 

sin χ 

cos χ + µ 

cos χ ± = −µ sin 2 θ 1 ± cos θ 1 

q1 − µ 2 sin 2 θ 1 . (4.19) 

Pro µ ≤ 1 platí jen horní znaménko plus. Speciálně proµ ≈ 0 je θ 1 ≈ χ, tedy 

rozptyl lehké částicejevlaboratornísoustavě stejný jako v těžiš tové , soustavě, 

zatímco pro dvě stejnéčástice µ =1vychází θ 1 = χ/2. Pro µ>1 však platí 

znaménka obě, protože k danému rozptylovému úhlu θ 1 existují dva různé možné 

směry χ ± . Pro µ1 však musí platit sin θ 1 < 1/µ, 

takže rozptylový úhel nemůže překročit hodnotu arcsin (1/µ) . 

Podobně pro druhou částici dostaneme po dosazení do vzorce (4.18) rovnici 

tg θ 2 = 

sin χ 

− cos χ +1 = cotg χ 2 , 

což znamená, že mezi rozptylovými úhly druhé částice platí elementární relace 

θ 2 = π − χ 

2 

neboli χ = π − 2θ 2 . 

Odtudjetakézřejmé, že 0 ≤ θ 2 ≤ π/2. Všimněte si dále, že pro µ 

π/2, zatímco pro µ>1 je θ 1 + θ 2 < π/2. Pouze pro µ =1je θ 1 + θ 2 = π/2. 

Závislost rozptylových úhlů θ 1 a θ 2 v laboratorní 

soustavě na rozptylovém úhlu χ vtěžiš- 

, 

tové soustavě. 

Účinný průřez pro k-tou částici v laboratorní soustavě je tedy roven 

kde převodní součinitel je 

dS 

= dS 

dΩ k dΩ g k,


g k = dΩ 

= 

sin χ dχ 

dΩ k 

¯sin θ k dθ k 

¯¯¯¯ = 

dcosχ 

¯dcosθ k 

¯¯¯¯ . 

Pro druhou částici dostaneme převodní součinitel pohodlně, stačí dosadit za 

χ = π − 2θ 2 apoúpravě dostaneme výsledek 

g 2 =4|cos θ 2 | . 

Pro první částici je výpočet o něco komplikovanější. Začněme případem µ1 

máme dvě řešení 

g ± 1 = ±2µ cos θ 1 + 1+µ2 cos 2θ 1 

p 

1 − µ2 sin 2 θ 1 

, 

takže do účinného průřezu musíme započíst oba příspěvky, tj. 

dS 

dΩ 1 

= 

dS 

dΩ (χ + ) g+ 1 + 

dS 

dΩ (χ − ) g− 1 . 

4.8.5 Účinný průřez v laboratorní soustavě 

Vpřípadě Rutherfordova rozptylu pro druhou částici je 

dS 

= 

k2 

dΩ 2 cos 4 |cos θ 2 | . 

θ 2 

Pro první částici jsou formule příliš komplikované, omezíme se proto jen na speciální 

případy. Pro µ ≈ 0 vychází 

pro µ =1je 

dS 

= 1 k 2 

dΩ 1 4 sin 4 (θ 1 /2) , 

dS 

= 

k2 

dΩ 1 sin 4 |cos θ 1 | . 

θ 1 

Pokudjsouobě částice identické, takže je nemůžeme od sebe odlišit, platí θ = 

θ 1 = θ 2 a jako sumární účinný průřez dostaneme formuli 

dS 

dΩ = dS + dS µ 1 

= k 2 

dΩ 1 dΩ 2 sin 4 θ + 1 

cos 4 |cos θ| . 

θ


Vpřípadě pružných mechanických koulí máme diferenciální účinný průřez pro 

druhou kouli 

dS 

=(r 1 + r 2 ) 2 cos θ 2 . 

dΩ 2 

Pro první kouli a µ ≤ 0 vyjde 

Ã 

! 

dS 

= 1 dΩ 1 4 (r 1 + r 2 ) 2 2µ cos θ 1 + 1+µ2 cos 2θ 

p 1 

1 − µ2 sin 2 θ 1 

aproµ>1 vyjde 

dS 

dΩ 1 

= 1 2 (r 1 + r 2 ) 2 1+µ 2 cos 2θ 1 

p 

1 − µ2 sin 2 θ 1 

. 

Pokud jde o speciální případy, pak pro µ ≈ 0 vyjde 

aprostejněhmotnékouleµ =1vyjde 

dS 

dΩ 1 

= 1 4 (r 1 + r 2 ) 2 

dS 

=(r 1 + r 2 ) 2 cos θ 1 . 

dΩ 1 

Ve všech případech musí jako kontrola platit pro celkový účinný průřez 

Z 

S = 

dS 

dΩ k 

dΩ k = 

Z 

dS 

dΩ k 

2π sin θ k dθ k = π (r 1 + r 2 ) 2 .

186 KAPITOLA 4. SRÁŽKYARÁZY

Kapitola 5 

Analytická mechanika 

5.1 Princip virtuální práce 

5.1.1 Vektorováaanalytickámechanika 

Newtonova mechanika je vybudovaná na představě silového působenímezitělesy. 

Newtonovy pohybové zákony umožňují vyřešit pohyb každé mechanické soustavy. 

Tyto zákony jsou postuláty, z nichž lze vše deduktivně odvodit, ale samy se odvodit 

nedají. Dostaneme je zobecněním našich zkušeností s pohyby reálných těles. Klasická 

Newtonova mechanika pracuje s pojmy vektoru polohy, rychlosti nebo síly, a 

nazývá se proto také mechanikou vektorovou. 

Existují však i jiné základní postuláty, na nichž lzerovněž vybudovat celou 

mechaniku. Nazývají se obecně principy. Mezi nejznámější patří princip virtuální 

práce nebo princip nejmenšího účinku. Tyto principy pracují se zobecněnými křivočarými 

souřadnicemi, proto se mechanika budovaná na těchto principech nazývá 

analytickou mechanikou nebo teoretickou mechanikou. 

5.1.2 Vázaný pohyb a virtuální posunutí 

Pohybhmotnéhobodumůže být někdy omezen, například kulička v kulové misce 

nebo nebo závaží matematického kyvadla jsou omezeny sférickou plochou x 2 +y 2 + 

z 2 ≤ r 2 , kde r je poloměr misky nebo délka závěsu. Hovoříme pak o jednosměrné 

nebo neudržující vazbě. Pohyb může být vázán také přímo na určitou plochu, 

například konec táhla klikového mechanismu. Pak jde o obousměrnou nebo udržující 

vazbu, která je matematicky vyjádřena rovnicí plochy o obecné rovnici 

f (r) =0. Ve všech těchto případech hovoříme o vázaném pohybu. V dalším se 

budeme zabývat především obousměrnými vazbami. 

Počet stupňů volnosti je každou vazbou zmenšen o jeden. Zatímco volný hmotný 

bod má tři stupně volnosti, pohyb vázaný na plochu f (r) =0má už jen dva stupně 

volnosti. Pohyb vázaný na křivku vysvětlíme jako pohyb vázaný na dvojici ploch 

f 1 (r) =0a f 2 (r) =0,jejichžprůnikem je zadaná křivka. Počet stupňů volnosti 

187

188 KAPITOLA 5. ANALYTICKÁ MECHANIKA 

bodu vázaného na křivku je roven jedné. 

Pokud vazba nezávisí na rychlosti, má tedy tvar f (r,t)=0, nazývá se vazbou 

geometrickou. Pokudzávisíinarychlosti,mátedytvarf (r, v,t)=0, nazývá se 

vazbou kinematickou.Derivacígeometrickévazbyf (r,t)=0dostaneme vazbu 

kinematickou 

∂f 

∂r · dr 

dt + ∂f =0 neboli g (r, v,t)=0, 

∂t 

která je ovšem ekvivalentní vazběgeometrickéf (r,t)=c s volnou konstantou c. Některé 

kinematické vazby je tedy možno integrovat a převést na vazbu geometrickou. 

Každá vazba, která je geometrická nebo kinematická, ale dá se integrací přeměnit 

na vazbu geometrickou, se nazývá holonomní vazbou. Vazba,kterátutovlastnost 

nemá, se nazývá neholonomní vazbou. Vazba stacionární f (r) =0,která 

nezávisí explicitně načase, se nazývá vazbou skleronomní. Vazba nestacionární 

f (r,t)=0, která závisí explicitně načase, se nazývá vazbou rheonomní. Převážná 

část dalšího výkladu se bude omezovat pouze na vazby holonomní. 

Uvažujme holonomní vazbu f (r,t)=0, pro elementární pohyb dr vázaného 

bodu platí 

df = ∂f 

∂r 

∂f · dr + dt =0. 

∂t 

Pohyb δr, který umožňuje vazba v daný okamžik t, se nazývá virtuálním (možným) 

pohybem a δr se nazývá virtuálním posunutím. Pro virtuální posunutí platí z 

definice podmínka 

δf = ∂f · δr =0, 

∂r 

nebo t , δt = 0. Vektor ∂f/∂r = ∇f má zřejmě směr normály k vazebné ploše, 

zatímco virtuální posunutí δr leží v rovině vazebné plochy. Zdůrazněme, že virtuální 

posunutí δr není totožnéseskutečným posunutím dr = vdt hmotného bodu, vyjma 

případu skleronomní vazby, kdy je ∂f/∂t =0. 

Pohyb volného bodu a pohyb vázaného bodu se obecnělišíizapůsobení stejných 

vnějších sil. Příčinou rozdílu je silová reakce R, kterámásvůj původ v existenci 

vazby. Pohybová rovnice vázaného hmotného bodu je podle Newtonova pohybového 

zákona rovna 

ma = F + R, 

kde F je aktivní vnější síla a R silová reakce vazby. Neuvažujeme-li tření, je vazba 

ideálně hladká. V tom případě jereakceR vazby kolmá k vazebné ploše f (r,t)=0. 

Současně virtuální posunutí δr leží v tečné rovině vazebné plochy f (r,t)=0, takže 

je kolmé na reakci R. Odtud plyne, že vazebná síla R nekoná při virtuálním posunutí 

bodu žádnou práci 

δA = R · δr =0. 

Toto elementární tvrzení je základem pro jeden z nejobecnějších principů mechaniky, 

ke kterému směřujeme.

5.1. PRINCIP VIRTUÁLNÍ PRÁCE 189 

5.1.3 Princip virtuální práce 

Nejprve se omezíme na těleso v klidu, podle Newtonovy mechaniky je podmínka 

statické rovnováhy hmotného bodu 

F + R = 0. 

Pokud tuto rovnici skalárně vynásobíme virtuálním posunutím δr, dostaneme 

F · δr + R · δr =0. 

Protože však reakce holonomní vazby nekoná při virtuálním posunutí žádnou práci, 

dostáváme odtud jednoduchý výsledek 

δA = F · δr =0. 

Toto tvrzení se nazývá principem virtuální práce: 

Práce vnějších sil působících na hmotný bod v rovnováze, je při všech 

virtuálních posunutích rovna nule. 

Princip virtuální práce je natolik obecné tvrzení, že z něj lze vybudovat celou 

mechaniku. Není proto divu, že princip virtuální práce je blízce příbuzný s jinými 

principy mechaniky. Nejblíže má asi ke zlatému pravidlu mechaniky, stačí jen 

rozdělit virtuální práci δA = δA 1 −δA 2 na práci vykonanou δA 1 anaprácispotřebovanou 

δA 2 , podle principu virtuální práce pak musí být δA 1 = δA 2 . Práce vložená 

se tedy rovná práci spotřebované. Z principu virtuální práce je možno vyvodit také 

princip minimální potenciální energie, jak ukážeme později. 

Pokud je hmotný bod volný, může být virtuální posunutí δr zcela libovolné. 

Z principu virtuální práce pak plyne, že vnější síla se musí rovnat nule. Odtud 

dostaneme Newtonovu podmínku rovnováhy F = 0. Pokud je však pohyb bodu 

omezen nějakou vazbou, není už δr zcela libovolné, ale musí současně splňovat 

dodatečnou podmínku. Tím klesá počet nezávislých složek virtuálního posunutí. 

Podívejme se na jednoduchý příklad. 

Hledáme rovnovážnou polohu bodu M na sféře 

opoloměru R pod vlivem síly F atíhyG. 

Ve sférické misce o poloměru R senacházíhmotnýbod,nakterýpůsobí vedle 

tíhy G = mg síla F ve směru osy x. Najděte podmínku rovnováhy hmotného bodu. 

Rovnice sféry je x 2 + y 2 + z 2 = R 2 a princip virtuální práce dává rovnici 

δA = F δx − mgδz =0. 

Tři složky virtuálních posunutí δx, δy a δz nejsou nezávislé, ale svazuje je rovnice 

sféry x 2 + y 2 + z 2 = R 2 . Variací této vazby dostaneme další podmínku na složky


virtuálních posunutí 

xδx + yδy + zδz =0. 

Tedy pouze dvě složky jsou nezávislé. Vyjádříme proto δz = − (xδx + yδy) /z a 

dosadíme do principu virtuální práce. Dostaneme 

δA = F δx + mg 

³ 

z (xδx + yδy) = F + mgx ´ 

xδx + mgy δy =0, 

z 

z 

kde δx a δy jsou nyní již nezávislé složky virtuálního posunutí δr. Z nezávislosti δx 

a δy plyne 

³ 

F + mgx ´ 

mgy 

=0 a =0. 

z 

z 

Odtud podmínky rovnováhy jsou F = −mgx/z a y =0. Hmotný bod tedy bude 

ležet na sféře v rovině xz, od nejnižšího (rovnovážného) bodu bude vychýlen o úhel 

φ, kde tg φ = −x/z = F/mg, nebo t , x = R sin φ a z = −R cos φ. 

5.1.4 Uvolnění vazby 

Princip virtuálních posunutí umožňuje pohodlně řešit rovnováhu těles, anižbychom 

se zatěžovali počítáním s reakcemi ideálních vazeb. Někdy však přece jen chceme 

příslušnou reakci znát. V tom případě můžeme použít také princip virtuálního 

posunutí, ovšem s drobnou úpravou. Silovou reakci R vazby dostaneme z principu 

virtuálního posunutí tak, že příslušnou vazbu uvolníme areakcinahradíme 

stejně velikouaktivní silou R. 

(a) Abychom mohli spočíst velikost silové reakce 

R 1 levého vlákna, musíme (b) uvolnit levou 

vazbu AM a nahradit ji aktivní silou R 1. 

Ukažme si to na jednoduchém příkladě: Na dvou vláknech AM a BM visí těleso 

M otízeG. Máme najít reakce R 1 a R 2 obou vláken. Uvolníme nejprve levou vazbu 

(vlákno) a nahradíme ji silou R 1 . Virtuální posunutí bodu M je δl 2 a je pochopitelně 

kolmé na vektor l 2 = −−→ BM. Princip virtuálního posunutí dává 

δA = G · δl 2 + R 1 · δl 2 = G cos (90 ◦ −α 2 ) |δl 2 | + R 1 cos (90 ◦ +α 1 + α 2 ) |δl 2 | =0. 

Vzhledem k libovolnosti virtuální posunutí δl 2 dostaneme odtud po úpravě výsledek 

R 1 = G sin α 2 

sin (α 1 + α 2 ) . 

Podobně bychom dostali uvolněním pravé vazby (vlákna) druhou reakci 

R 2 = G sin α 1 

sin (α 1 + α 2 ) .


5.1.5 Zobecněné souřadnice 

Polohu bodu podrobeného vazbám je vhodné vyjadřovat v souřadnicích popisujících 

přirozeně stupně volnosti hmotného bodu. Například pro pohyb bodu vázaného na 

kružnici bude přirozené používat místo souřadnic x, y a z úhel φ. Obecně označujeme 

tyto souřadnice jako q k a nazýváme je zobecněnými souřadnicemi. Poloha 

bodu je pak v rámci holonomní vazby dána předpisem 

r = r (q k ,t) . 

Odtud dostaneme pro reálné posunutí hmotného bodu úplný diferenciál 

dr = X k 

∂r 

dq k + ∂r ∂r 

dt = δr + 

∂q k ∂t ∂t dt, 

zatímco pro virtuální posunutí platí 

δr = X k 

∂r 

∂q k 

δq k , 

kde δq k =dq k . Virtuálním posunutím se rozumí možné (virtuální) posunutí při časově 

zafixované vazbě. Je to tedy posunutí povolené vazbou v daný pevný okamžik. 

Mezi reálným a virtuálním posunutím platí jednoduchý vztah 

dr = δr + ∂r 

∂t dt. 

Pouze v případě skleronomních vazeb je virtuální posunutí totožnéseskutečným 

posunutím a platí dr = δr. 

Příklad 5.1 Pomocí principu virtuálního posunutí najděte sílu P potřebnou k překonání váhy 

břemene Q na páce. 

Řešení: Při virtuálním posunutí páky, tj. při pootočení o δφ, jsou virtuální posunutí obou 

konců páky 

δp = pδφ a δq = qδφ, 

kde p a q jsou příslušná ramena páky. Z principu virtuální práce 

δA = P δp − Qδq =(Pp− Qq) δφ =0 

azlibovolnostiδφ máme pákové pravidlo 

Pp = Qq. 

Příklad 5.2 Ohladkoustěnu je opřena tyč AB délky l ajevrovnovázedíkytření o podlahu. 

Určete sílu tření T ,kteráudržuje tyč vrovnováze.


Ohladkoustěnu je opřena tyč AB délky l. Určete 

sílu tření T tyče o podlahu, která udržuje tyč v 

rovnováze. 

Řešení: Na tyč AB působí reakce v bodech A a B. Třecí sílu T nemůžeme považovat za 

reakci hladké vazby, ale musíme ji počítat jako aktivní sílu. Jestliže zvolíme za zobecněnou 

souřadnici úhel θ, pak x B = l sin θ a y T = 1 l cos θ. Z principu virtuálního posunutí pak máme 

2 

δA = Gδy T + T δx B = −G l sin θδθ+ Tlcos θδθ=0, 

2 

a odtud dostaneme výsledek T = 1 2 

G tg θ. 

5.1.6 Zobecněné síly 

Princip virtuální práce δA = F · δr =0lze pomocí zobecněných souřadnic přepsat 

do tvaru 

δA = F · X ∂r 

δq k = X Q k δq k =0, 

∂q k 

k 

k 

neboli do tvaru 

δA = X ∂r 

Q k δq k =0, kde Q k = F · 

∂q k 

k 

jsou zobecněné síly.Podobně jako zobecněné souřadnice nemusí mít rozměr délky, 

ani zobecněné síly nemusí mít rozměr síly. Vzhledem k tomu, že δq k jsou nyní 

nezávislá virtuální posunutí, bude podle principu virtuální práce bod v rovnováze, 

když bude platit Q k =0pro všechna k. Všechny zobecněné síly se v rovnováze 

musejí rovnat nule. 

Hledáme podmínku rovnováhy hmotného bodu 

M, jehožpohybjevázánnakružnici o poloměru 

R ananějž působí síla F. 

Ukažme si to na příkladu. Mějme hmotný bod, který je vázán na kružnici o 

poloměru R. Mátedyjedinýstupeň volnosti a jedinou zobecněnou souřadnici, 

například úhel φ. Souřadnicevázanéhohmotnéhobodujsou 

Virtuální posunutí bodu M pak jsou 

x = R sin φ a y = −R cos φ. 

δx = R cos φδφ a δy = R sin φδφ


a princip virtuální práce dává podmínku 

kde 

δA = F x δx + F y δy =(F x cos φ + F y sin φ) Rδφ = Qδφ =0, 

Q =(F x cos φ + F y sin φ) R 

představuje zobecněnou sílu příslušející zobecněné souřadnici φ. Snadno odtud poznáme, 

že zobecněná síla Q je rovna momentu síly F vzhledem ke středu kružnice. 

Současně Q = TR, kde T = F x cos φ + F y sin φ je tečná složka vnější síly F působící 

ve směru tečny kružnice. Vzhledem k libovolnosti virtuálního posunutí δφ 

dostáváme z principu virtuálních posunutí podmínku rovnováhy bodu vázaného na 

kružnici ve tvaru Q =0nebo T =0.Hmotnýbodvázanýnakružnici bude v 

rovnováze, jen pokud bude rovna nule tečná složka na něj působící síly. 

5.1.7 Princip minimální energie 

Mají-li působící síly potenciál U, pak platí F = −∇U = −∂U/∂r. Zobecněná síla 

se spočte podle předpisu 

Q k = F · 

∂r 

= − ∂U 

∂q k ∂r · ∂r 

= − ∂U 

∂q k ∂q k 

a virtuální práce konzervativního pole se pak rovná 

δA = X k 

Q k δq k = − X k 

∂U 

∂q k 

δq k = −δU. 

Princip virtuální práce v konzervativním poli tedy vede na rovnici δU =0. Hmotný 

bod v konzervativním poli bude v rovnováze, pokud bude při virtuálních posunutích 

jeho potenciální energie stacionární. V případě homogenního tíhového pole je U = 

mgy, takže podmínka rovnováhy je δU =0nebo δy =0. Lze dokonce ukázat, 

že stacionární poloha bude stálá, pokud bude mít potenciální energie minimum a 

vratká, pokud bude mít maximum. Princip virtuální práce tedy jednoduše vede na 

princip minima potenciální energie, podleněhož hmotnýbodzaujmevždy 

takovou polohu v rámci vazeb, při níž bude mít lokálně nejmenší energii. 

Příklad 5.3 Dvě deskydélkyL jsou spojeny kloubem a položeny přes válec poloměru R jako 

stříška. Najděte rovnovážnou polohu soustavy desek. 

Dvě deskyAK a BK délky L jsou spojeny kloubem 

K apoloženy na hladký válec o poloměru 

R. Najděte rovnovážnou polohu desek.


Řešení: Jde o symetrickou rovinnou úlohu, polohu desek popíše jediný parametr — vrcholový 

úhel θ. Na soustavu působí jediná aktivní síla, tj. tíha G. Těžiště desek je dáno z geometrie 

souřadnicí 

y = 

R 

sin θ − L cos θ, 

2 

pokud zvolíme počátek souřadnic ve středu válce S. Princip virtuální práce δA = −mgδy =0 

vede na podmínku δy =0, odtud dostaneme transcendentní rovnici 

L sin 3 θ =2R cos θ. 

Například pro L =2R je θ ≈ 0. 972 ≈ 55. 7 ◦ aproL = R je θ ≈ 1. 17 ≈ 67. 0 ◦ . 

Příklad 5.4 Tyč AB délky l je opřena o hladkou stěnu a hladký roh R.Stěna leží ve vzdálenosti 

a od rohu. Najděte rovnovážnou polohu tyče. 

Tyč AB délky l je opřená o hladkou stěnu v bodě 

A aohladkýrohR.Najděte rovnovážnou polohu 

tyče, tj. úhel θ. 

Řešení: Zavedeme souřadnou soustavu rohem R. Poloha těžiště tyče je z geometrie dána 

vzorcem 

µ l 

y = 

2 − a 

cos θ = l cos θ − a cotg θ. 

sin θ 2 

Z principu virtuálního posunutí δA =0dostaneme podmínku δy =0, a odtud dostaneme 

rovnici pro úhel θ 

l sin 3 θ =2a. 

5.1.8 d’Alembertův princip 

Podle Jean Le Rond d’Alemberta je možno setrvačnou sílu −ma chápat jako 

zvláštní typ síly a každou pohybovou rovnici tělesa je možno upravit na podmínku 

statické rovnováhy 

F − ma + R = 0. 

Jestliže vynásobíme pohybovou rovnici virtuálním posunutím δr, dostaneme 

(F − ma) · δr + R · δr =0 

avzhledemktomu,že podle principu virtuálního posunutí reakce vazeb nekonají 

práci, máme výsledek 

(F − ma) · δr =0. 

To je rovnice vyjadřující d’Alembertův-Lagrangeův princip pro jedno těleso. 

Pokud je hmotný bod volný, může být virtuální posunutí δr libovolné, odtud 

plyne, že se musí rovnat nule i závorka F−ma = 0. Tak dostáváme znovu pohybový


zákon pro volné těleso. Pokud je však hmotný bod vázán na plochu r (u, v), pak 

d’Alembertův princip dává 

µ µ 

(F − ma) · δr = F − m d2 r ∂r ∂r 

dt 2 · δu + 

∂u ∂v δv =0. 

Vzhledem k nezávislosti obou virtuálních posunutí δu a δv máme odtud dvěrovnice 

µ 

F − m d2 r 

dt 2 · ∂r 

µ 

∂u =0 a F − m d2 r 

dt 2 · ∂r 

∂v =0. 

Pokud je hmotný bod vázán na čáru r (u), pak d’Alembertův princip dává jedinou 

rovnici 

µ 

F − m d2 r 

dt 2 · ∂r 

∂u =0, 

kde zrychlení bodu je 

d 2 r 

dt 2 = ∂r d 2 µ 2 

u 

∂u dt 2 + ∂2 r du 

∂u 2 . 

dt 

Ilustrujme to opět na příkladu hmotného bodu vázaného na kružnici o poloměru 

R. Souřadnice bodu jsou 

x = R sin φ a y = −R cos φ, 

kde φ je úhel vychýlení bodu z nejnižšího bodu kružnice. Je to zároveň jedinývolný 

parametr úlohy. D’Alembertův princip dává podmínku 

δA =(F x − mẍ) δx +(F y − mÿ) δy =0. 

Když sem dosadíme za složky virtuálního posunutí 

azasložky zrychlení 

δx = R cos φδφ a δy = R sin φδφ 

ẍ = R¨φ cos φ − R ˙φ 2 sin φ a ÿ = R¨φ sin φ + R ˙φ 2 cos φ, 

dostaneme vzhledem k libovolnosti δφ pohybovou rovnici 

mR¨φ = F x cos φ + F y sin φ. 

Jestliže na hmotný bod nepůsobí žádná vnější síla, bude F =0, takže z pohybové 

rovnice zbude ¨φ =0. Hmotný bod se tedy bude pohybovat po kružnici 

rovnoměrně se stálou úhlovou rychlostí ˙φ =konsta bude mít i stále stejnou absolutní 

rychlost v = R ˙φ =konst. Je-li vnější silou tíha G =(0, −mg) , dostaneme 

pohybovou rovnici hmotného bodu vázaného na kružnici ve tvaru 

¨φ = − g sin φ, 

R


což je rovnice matematického kyvadla. Její řešení vede na eliptické funkce. Pro malé 

výchylky lze aproximovat sin φ ≈ φ, rovnice pak přejde v rovnici harmonických 

kmitů 

¨φ = − g R φ 

s řešením φ = φ 0 cos p g 

Rt. Všimněte si, že jsme nalezli pohybovou rovnici pomocí 

d’Alembertova principu, aniž bychom se zabývali pracným hledáním silových 

reakcí. 

Ačkoliv jsme to dostatečně nezdůraznili, d’Alembertův princip platí i pro rheonomní 

vazby, tj. vazby závislé na čase. Uvedeme nyní dva takové řešené příklady. 

Příklad 5.5 Nakloněnárovinasesklonemα se pohybuje horizontálně sezrychlenímA. Pomocí 

d’Alembertova principu najděte pohybovou rovnici částice na hladké nakloněné rovině. 

Na nakloněné rovině senacházíčástice o hmotnosti 

m. Nakloněná rovina se přitom sama pohybuje 

doprava se zrychlením A. Najděte pomocí 

d’Alembertova principu pohybovou rovnici částice 

pod vlivem její tíhy mg. 

Řešení: 

£ 

Nakloněnárovinasepohybujerovnoměrně zrychleně, souřadnice jejího vrcholu jsou 

1 

2 At2 , 0 ¤ . Polohu částice vázané na nakloněnou rovinu vyjádříme pomocí vzdálenosti s od 

vrcholu nakloněné roviny. V tom případě prosouřadnice částice platí 

x = 1 2 At2 + s cos α, y = −s sin α. 

Odtud δx = δs cos α a δy = −δs sin α a zrychlení částice je 

ẍ = A +¨s cos α, ÿ = −¨s sin α. 

Dosadíme do d’Alembertova principu 

(G − ma) · δr = −mẍδx +(−mg − mÿ) δy =0 

apoúpravědostaneme 

(¨s − g sin α + A cos α) δs =0. 

Vzhledem k libovolnosti virtuálního posunutí máme hledanou pohybovou rovnici ve tvaru 

¨s = g sin α − A cos α. 

Vpřípadě tg α = A/g bude částice v rovnováze. 

Příklad 5.6 Drát se sklonem θ rotuje úhlovou rychlostí ω kolem vertikální osy y. Podrátě 

klouže bez tření kulička o hmotnosti m. Najděte pomocí d’Alembertova principu její pohybovou 

rovnici. 

Máme popsat pohyb kuličky K na drátě rotujícím 

kolem vertikální osy y.


Řešení: Poloha kuličky je popsána jediným parametrem, nech , t jím je vzdálenost od osy r. 

Souřadnice kuličky jsou tedy x = r cos ωt, y = r sin ωt a z = r/ tg θ. Odtud složky virtuálního 

posunutí jsou δx = δr cos ωt, δy = δr sin ωt a δz = δr/ tg θ asložky zrychlení jsou 

ẍ = −ω 2 r cos ωt − 2ωṙ sin ωt +¨r cos ωt, 

ÿ = −ω 2 r sin ωt +2ωṙ cos ωt +¨r sin ωt 

a ¨z =¨r/ tg θ. D’Alembertův princip (G − ma) · δr =0dává po dosazení a úpravě pohybovou 

rovnici 

¨r = ω 2 r sin 2 θ − g sin θ cos θ. 

Pohyb kuličky z klidu je dán řešením 

µ 

g 

r = 

ω 2 tg θ + r 0 − 

g 

cosh (ωt sin θ) , 

ω 2 tg θ 

kde r 0 je počáteční poloha. Kulička bude v rovnováze (vratké), pokud bude r 0 = g/ ¡ ω 2 tg θ ¢ . 

5.1.9 Setrvačný pohyb vázaný, geodetická čára 

Uvažujme hmotný bod, na který nepůsobí žádné vnější síly, ale který je vázán na 

hladkou zakřivenou plochu. Pohyb je dán pouze vazbou a setrvačností hmotného 

bodu, proto jej nazýváme setrvačným pohybem. Reakcehladképlochymásměr 

normály plochy, takže je pořád kolmá na pohyb bodu. Taková síla nemůže změnit 

velikost rychlosti, pouze její směr. Směrnormályplochymázřejmě idostředivé 

zrychlení hmotného bodu. Bod se tedy pohybuje čáře, která má normálu totožnou 

s normálou vazebné plochy. Čára, která leží na ploše a jejíž normála splývá v 

každém bodě s normálou plochy, se v geometrii nazývá geodetickou čárou nebo 

stručně geodetikou. Jemožno také ukázat, že je to křivka s nejmenší možnou 

křivostí a zároveň, že je to nejkratší čára spojující dva body na příslušné ploše. 

Setrvačný pohyb bodu po hladké ploše tedy probíhá po geodetické čáře neboli 

geodetice. V případě rovinyjdesamozřejmě opřímku, v případě koule jde o hlavní 

kružnici (ortodromu), v případě válce jde o šroubovici (po rozvinutí do roviny z ní 

dostaneme přímku). 

Snadno to dokážeme například pro válec. Parametrická rovnice válce v cylindrických 

souřadnicích je 

r (φ,z)=(R cos φ,Rsin φ,z) . 

Podle d’Alembertova principu pro těleso, na které nepůsobí vnější síla, platí 

(F − ma) · δr = −ma · δr =0. 

Dosadíme-li sem za zrychlení 

³ 

a = ¨r = −R¨φ sin φ − R ˙φ 2 cos φ,R¨φ cos φ − R ˙φ 

´ 

2 

sin φ, ¨z 

azavirtuálníposunutí 

δr =(−R sin φδφ,Rcos φδφ, δz) ,


dostaneme z d’Alembertova principu rovnici 

R 2¨φδφ+¨zδz =0. 

Vzhledem k nezávislosti virtuálních posunutí δφ a δz máme odtud dvě rovnice 

¨φ =0a ¨z =0, jejichž řešení vede právě na rovnici šroubovice. Šroubovice je tedy 

geodetikou na povrchu válce. 

Bod, na který nepůsobí aktivní síly, se díky vazbám pohybuje po geodetice. Na 

této větě se pokusil vybudovat roku 1894 Heinrich Hertz celou mechaniku. Chtěl 

tak z mechaniky odstranit pojem síly. Jeho myšlenka byla prakticky realizována až 

roku 1916 Albertem Einsteinem. Setrvačným pohybem se totiž v teorii relativity 

stává pohyb po geodetice ve čtyřrozměrném zakřiveném časoprostoru. 

5.1.10 Ideální vazba 

Jakjsmesijiždříve vysvětlili, práce silové reakce hladké vazby je při virtuálním 

posunutí bodu rovna nule. Je to přímý důsledek skutečnosti, že silová reakce je 

kolmá na vazebnou plochu. Existují však složitější vazby, jejichžreakcenejsoukolmé 

na virtuální posunutí. Podívejme se na jeden příklad takové vazby. 

Dva body 1 a 2 jsou vázány na hladkou plochu 

a současně jsou spojeny vláknem délky l. 

Silové reakce vlákna R 12 a R 21 mají směr spojnice 

obou bodů, ale nejsou kolmé na vazebné 

plochy jako reakce ploch R 1 a R 2. 

Máme dva hmotné body spojené vláknem pevné délky l. Spojovací vlákno tedy 

tvoří další, tj. již třetí vazbu 

|r 1 − r 2 | = |r 12 | = l, 

která je holonomní a závisí současně napolozeoboubodů. Obě reakce vlákna R 12 

a R 21 mají směr spojnice r 12 , ale tento směr není kolmý na jednotlivá virtuální 

posunutí δr 1 a δr 2 . Virtuální práce jednotlivých reakcí vlákna proto nejsou rovny 

nule 

δA 1 = R 21 · δr 1 6=0 a δA 2 = R 12 · δr 2 6=0. 

Přesto bude princip virtuálních posunutí platit, jak hned ukážeme. Podle zákona 

akce a reakce působí vlákno na oba body silami R 12 = −R 21 . Součet prací obou sil 

je tudíž 

δA = δA 1 + δA 2 = R 12 · (δr 2 − δr 1 )=R 12 · δr 12 , 

kde r 12 = r 2 − r 1 . Podle zákona akce a reakce působí obě síly R 12 a R 21 po společné 

silové přímce, musejí mít tedy směr spojnice r 12 . Současně z podmínky neroztažitelnosti 

vlákna r 2 12 = l2 dále plyne r 12 · δr 12 =0, takže reakce R 12 musí být kolmá


na relativní posunutí δr 12 . Dokázali jsme tedy, že součet virtuálních prací obou 

vazebných sil vlákna je přece jen roven nule 

δA = R 12 · δr 12 =0. 

Ztohovšeho,cojiž víme o hladkých vazbách, se zdá pravděpodobné, že součet 

prací reakcí všech možných hladkých vazeb bude vždy roven nule. Samozřejmě 

nedokážeme prověřit všechny možné realizace hladkých vazeb a dokázat toto tvrzení, 

proto povyšujeme tuto hypotézu na princip virtuální práce. Z formálního 

hlediska můžeme postupovat také obráceně adefinovat ideální vazbu, tj. takovou 

vazbu, při níž je celková virtuální práce od všech reakcí dané vazby rovna nule. Pro 

ideální vazbu proto princip virtuální práce platí z definice. 

Princip virtuální práce neplatí pro soustavy, v nichž působí síly tření.Tytotiž 

spotřebovávají práci. Takové soustavy je nutno řešit tak, že síly třenívnich 

považujeme za aktivní vnější síly a ne za reakce vazeb. 

5.1.11 Princip virtuální práce pro soustavu těles 

Mějme tedy soustavu N těles, jejichž pohyb je omezen r ideálními vazbami. Poloha 

soustavy je určena N polohovými vektory r i . Malý pohyb δr i povolený všemi vazbami 

se nazývá virtuálním posunutím soustavy. Je-li soustava těles v rovnováze, 

platí pro každé těleso podmínka statické rovnováhy 

F i + 

rX 

R k i = 0, 

k=1 

kde R k i jsou reakce jednotlivých vazeb působící na i-té těleso. Vynásobíme-li tyto 

rovnice skalárně virtuálními posunutími δr i a všechny rovnice sečteme, dostaneme 

NX 

F i · δr i + 

i=1 

rX 

k=1 i=1 

NX 

R k i · δr i =0. 

Vzhledem k předpokladu ideálních vazeb je celková práce všech reakcí ode všech 

vazeb soustavy rovna nule. Druhý člen na levé straně rovnice tedy vymizí a máme 

δA = 

NX 

F i · δr i =0. 

i=1 

Tak jsme dostali princip virtuální práce (Lagrangeův teorém) pro soustavu těles: 

Celková práce vnějších sil působících na soustavu těles v rovnováze 

je při všech virtuálních posunutích rovna nule.


5.1.12 Zobecněnésílyusoustavytěles 

Soustava N bodů podrobenár vazbám má jen f =3N − r stupňů volnosti.Je 

proto vhodné zavést vzájemně nezávislé zobecněné souřadnice q k .Pomocínich 

můžeme vyjádřit virtuální posunutí jednotlivých bodů soustavy 

δr i = 

fX 

k=1 

∂r i 

∂q k 

δq k 

apřepsat princip virtuálních posunutí do tvaru 

NX 

NX 

δA = F i · δr i = F i · 

i=1 

To lze psát velmi stručně jako 

δA = 

k=1 

i=1 

fX 

k=1 

∂r i 

∂q k 

δq k =0. 

fX 

NX 

Q k δq k =0, kde Q k = F i · ∂r i 

∂q k 

jsou zobecněné síly. Vzhledem k nezávislosti jednotlivých posunutí δq k je podmínka 

rovnováhy soustavy těles ve tvaru 

kde k =1, 2, ..., 3N − r. 

Q k =0, 

5.1.13 d’Alembertův princip pro soustavu těles 

Vynásobme nyní skalárně všechny pohybové rovnice 

F i − m i a i + 

rX 

R k i = 0 

jednotlivých bodů soustavypříslušnými virtuálními posunutími δr i avšechnyrovnice 

sečtěme, tak dostaneme výsledek 

NX 

(F i − m i a i ) · δr i + 

i=1 

k=1 

rX 

k=1 i=1 

i=1 

NX 

R k i · δr i =0. 

Protože součet prací všech reakcí je podle principu virtuálních posunutí roven nule, 

dostaneme odtud výsledek 

NX 

(F i − m i a i ) · δr i =0, (5.1) 

i=1 

který představuje d’Alembertův-Lagrangeův princip.

5.2. LAGRANGEOVY ROVNICE 201 

Poznamenejme, že jak princip virtuálního posunutí, tak i d’Alembertův princip 

platí nejen pro hmotné body, ale i pro tuhá tělesa, protože tato si můžeme představit 

složená z hmotných bodů navzájem svázaných ideálními vazbami. Počet stupňů 

volnosti tuhého tělesa ovšem není roven počtu stupňů volnosti hmotného bodu. 

Volnétuhétěleso má například šest stupňů volnosti oproti třem stupňům volnosti 

hmotného bodu. 

5.1.14 Historická poznámka 

S objevem parního stroje se v polovině 18. století soustředila pozornost mechaniků 

na stroje a mechanismy složenézvíceprvků, tedy na soustavy těles podrobené 

vazbám. Princip virtuální práce publikuje jako první Pierre Varignon roku 1725, 

nepochází však od něj, ale od Johanna Bernoulliho, který princip virtuální 

práce objevil kolem roku 1717. Pokus o zdůvodnění a analytický zápis principu 

pochází z roku 1783, zasloužil se o něj Lazar Nicolas Carnot. Ten také jako 

první používá pojem práce, nazývá jej však momentem aktivity. Carnot také ukázal, 

že živá síla (tj. kinetická energie) je rovna vykonané práci. Definitivní podobu 

dal principu virtuálních posunutí Joseph-Louis Lagrange. Roku 1788 publikuje 

Analytickou mechaniku a v ní uvádí vzorec P dp + Qdq + Rdr + ... =0. Veličiny 

P dp, Qdq, Rdr představující virtuální práce označuje jako momenty sil. 

Na myšlenku, že výraz −ma vNewtonověpohybovérovnicimůžeme chápat jako 

případ zvláštní síly, připadl Jean Le Rond d’Alembert roku 1742. Dynamické 

problémy lze tedy řešit pomocí metod známých ze statiky. Spojením principu virtuální 

práce a d’Alembertova principu vybudoval roku 1788 Lagrange analytickou 

mechaniku. Ten také zavedl do mechaniky zobecněné souřadnice a síly. 

5.2 Lagrangeovy rovnice 

5.2.1 Lagrangeovy rovnice prvního druhu 

Pokud by systém nebyl podroben vazbám, byla by jednotlivá virtuální posunutí δr i 

nezávislá a pro systém by platily Newtonovy pohybové rovnice 

F i − m i a i = 0. 

Pokud však jednotlivá virtuální posunutí δr i nejsou nezávislá, ale jsou spolu svázána 

r vazbami 

NX 

i=1 

∂f k 

∂r i 

· δr i =0, (5.2) 

kde k =1, 2, ..., r, můžeme tyto rovnice vynásobit vhodnými koeficienty λ k apřičíst 

k d’Alembertově rovnici (5.1). Tak dostaneme rovnici 

Ã 

! 

NX 

rX ∂f k 

F i − m i a i + λ k · δr i =0. (5.3) 

∂r i 

i=1 

k=1


Rovnice obsahuje 3N složek virtuálních posunutí δr i , znichjevšakjenf =3N − r 

nezávislých, nech ttojsoutřeba , 

první 3N − r složky. Zbývající složky, kterých je 

r, musíme dopočíst z podmínek vazeb (5.2). Pokud vhodně zvolímekoeficienty λ k , 

kterých je rovněž r, budou se závorky i u posledních r složek virtuálních posunutí 

rovnat nule. To znamená, že existují takové hodnoty koeficientů λ k , pro které 

se rovnají nule všechny závorky v (5.3). Tak dostáváme Lagrangeovy rovnice 

prvního druhu 

m i a i = F i + 

rX 

k=1 

λ k 

∂f k 

∂r i 

, 

kde druhý člen vpravo představuje součet reakcí jednotlivých vazeb 

R k i = λ k 

∂f k 

∂r i 

. 

Lagrangeovy rovnice sestávají z 3N rovnic a spolu s r vazebnými podmínkami 

f k (r i ,t)=0máme 3N + r rovnic postačujících k nalezení pohybu všech N hmotných 

bodůar Lagrangeových multiplikátorů λ k . Lagrangeovy rovnice je možno 

pochopitelně použítikurčení rovnovážné polohy soustavy hmotných bodů, stačí 

položit všechna zrychlení rovna nule. 

Příklad 5.7 Ve sférické misce x 2 +y 2 +z 2 = R 2 se nacházejí dva hmotné body o hmotnostech 

m 1 a m 2 spojené nehmotnou tyčinkou délky l. Najděte rovnovážnou polohu tyčinky v misce. 

Máme najít rovnovážnou polohu tyčinky délky l 

spojující dva hmotné body m 1 a m 2 vázané na 

sférickou misku o poloměru R. 

Řešení: Vazebné podmínky jsou tedy tři 

r 2 1 = R 2 , r 2 2 = R 2 a (r 1 − r 2) 2 = l 2 , 

kde r 1 a r 2 představují polohové vektory hmotných bodů vzhledemnastřed sféry. Pro jejich 

variace platí 

r 1 · δr 1 =0, r 2 · δr 2 =0 a r 1 · δr 2 + r 2 · δr 1 =0. 

Princip virtuální práce dává čtvrtou rovnici pro virtuální posunutí 

δA = m 1g · δr 1 + m 2g · δr 2 =0. (5.4) 

Rovnice (5.4) přímo vybízí k zavedení pomocné veličiny r = m 1r 1 + m 2r 2, pak je možno psát 

princip virtuální posunutí ve tvaru 

δA = g · δr =0. 

Z vazebných podmínek na δr 1 a δr 2 plyne, že musí platit také podmínka r · δr =0, neboli 

r 2 =konst. Všechny tři složky δr tedy nemohou být nezávislé, ale pouze dvě znich.Protok 

principu virtuálních posunutí přičteme vazebnou rovnici r · δr =0vynásobenou Lagrangeovým 

multiplikátorem λ, tak dostaneme 

δA = g · δr + λr · δr =(g + λr) · δr =0.


Nyní už můžeme považovat všechny složky δr za nezávislé, a tudíž z principu virtuálního 

posunutí platí 

g + λr = 0. 

Odtud je zřejmé, že vektor r =(x, y, z) musí být rovnoběžný s vektorem tíhového zrychlení 

g =(0, 0, −g). Tovšakznamená,že x = y =0atěžiště T dvojice hmotných bodů leží na 

ose z pod geometrickým středem S misky. Velikost Lagrangeova multiplikátoru se najde z 

vazebných podmínek 

g 2 = λ 2 r 2 = λ 2 R ¡ 2 m 2 1 + m 2 2 +2m 1m 2 cos θ ¢ , 

kde podle kosínové věty 

cos θ = 1 − 

l2 

2R 2 . 

5.2.2 Lagrangeovy rovnice druhého druhu 

Pokud nejsou jednotlivá virtuální posunutí δr i nezávislá, můžeme je ekvivalentně 

vyjádřit pomocí menšího počtu nezávislých posunutí δq k , atakdostanemepříslušně 

menší počet tentokrát však už nezávislých pohybových rovnic. Například soustava 

N hmotných bodů podrobenýchr vazbám má jen 3N − r stupňů volnosti a je 

tedy plně popsána3N − r parametry. Těmito parametry mohou být Lagrangeovy 

zobecněné křivočaré souřadnice q k . Poloha i-tého hmotného bodu soustavy je 

určena funkcí souřadnic q k 

r i = r i (q k ,t) . (5.5) 

D’Alembertův princip je možno psát ve tvaru 

NX 

(F i − m i a i ) · 

i=1 

fX 

k=1 

∂r i 

∂q k 

δq k =0. 

Protože jednotlivá virtuální posunutí δq k jsou nyní nezávislá, máme odtud rovnou 

f =3N − r nezávislých rovnic 

NX 

i=1 

pro každé k =1, 2, ..., f. Výraz 

(F i − m i a i ) · ∂r i 

∂q k 

=0 

Q k = 

NX 

i=1 

F i · ∂r i 

∂q k 

nazýváme zobecněnou silou. Nyní upravíme druhý člen 

NX 

i=1 

m i a i · ∂r i 

∂q k 

.


Protože podle (5.5) platí 

platí také 

Dále platí také 

d ∂r i 

= 

dt ∂q k 

Zdefinice kinetické energie 

platí 

atedy 

NX 

m i a i · ∂r i 

= 

∂q k 

i=1 

= 

ṙ i = ∂r i 

∂q k 

˙q k + ∂r i 

∂t , 

∂ṙ i 

∂ ˙q k 

= ∂r i 

∂q k 

. 

∂2 r i 

∂q l ∂q k 

˙q l + ∂2 r i 

∂q k ∂t = 

NX 

i=1 

NX 

i=1 

T = 

µ 

d ∂T 

dt 

d 

dt 

NX 

i=1 

∂ µ ∂ri 

∂q k ∂q l ˙ql + ∂r 

i 

= ∂ṙ i 

. 

∂t ∂q k 

1 

2 m iṙ 2 i 

m i a i = d ∂T 

, 

dt ∂ṙ i 

 

· ∂ṙ i 

∂ṙ i ∂ ˙q k 

µ ∂T 

· ∂ṙ 

i 

− 

∂ṙ i ∂ ˙q k 

i=1 

NX 

i=1 

∂T 

· d µ ∂ṙi 

∂ṙ i dt ∂ ˙q k 

= d ∂T 

NX ∂T 

− · d µ ∂ri 

= d dt ∂ ˙q k ∂ṙ i dt ∂q k dt 

∂T 

NX 

− 

∂ ˙q k 

i=1 

∂T 

∂ṙ i 

· ∂ṙ i 

∂q k 

= d ∂T 

− ∂T . 

dt ∂ ˙q k ∂q k 

Spojením obou výsledků dostávámeLagrangeovy rovnice druhého druhu 

d ∂T 

− ∂T = Q k . 


Roku 1760 odvodil tyto rovnice Joseph-Louis Lagrange a publikoval je v Analytické 

mechanice roku 1788. Pokud je síla určena konzervativním polem U, tj. 

pokud platí 

F i = − ∂U 

∂r i 

,


pak také platí 

Q k = − 

NX 

i=1 

∂U 

∂r i 

· ∂r i 

∂q k 

= − ∂U 

∂q k 

. 

Zobecněné síly Q k tedy dostaneme rovnou jako derivace potenciální energie podle 

zobecněných souřadnic. Lagrangeovy rovnice je tedy možno zapsat pro konzervativní 

síly ve tvaru 

d ∂T 

− ∂T = − ∂U . (5.6) 

dt ∂ ˙q k ∂q k ∂q k 

Podmínky pro rovnovážnýstavsoustavyjsoudányjednoduše3N − r vztahy 

Q k = ∂U =0, 

∂q k 

což je v podstatě princip minimální energie. Lagrangeovy rovnice druhého 

druhu (5.6) je možno dále zjednodušit zavedením Lagrangeovy funkce 

L = T − U, 

pak platí 

d ∂L 

− ∂L =0. (5.7) 


Zatímco potenciální energie U (t, q k ) je funkcí zobecněných souřadnic a času, kinetická 

energie T (t, q k , ˙q k ) a Lagrangeova funkce L (t, q k , ˙q k ) jsou funkcí zobecněných 

souřadnic, rychlostí a času. 

Lagrangeovy rovnice druhého druhu se používají velmi často a nejen v mechanice. 

Shrňme jejich přednosti: Nemusíme znát žádné síly, tj. ani aktivní síly, 

ani reakce vazeb. Počet pohybových rovnic odpovídá přesně počtu stupňů volnosti 

soustavy. K popisu pohybu můžeme používat nejen kartézské, ale libovolné křivočaré 

souřadnice. Lagrangeovy rovnice jsou invariantní vůči transformaci souřadnic 

(q, t) → (q 0 ,t 0 ) . Nevýhodou rovnic však je, že platí jen pro ideální vazby, tedy pro 

soustavy bez tření. 

5.2.3 První integrály Lagrangeových rovnic 

Pokud Lagrangeova funkce nezávisí na některé ze zobecněných souřadnic q k , pak 

se tato nazývá cyklickou souřadnicí. Vtompřípadě jemožno příslušnou Lagrangeovu 

rovnici 

d ∂L 

=0 

dt ∂ ˙q k 

ihned integrovat a jako výsledek dostaneme, že zobecněné hybnosti 

p k = ∂L 

∂ ˙q k 

=konst


jsou konstantní v čase. 

Pokud Lagrangeova funkce nezávisí explicitně načase, tj. platí 

∂L 

=0, (5.8) 

∂t 

pak existuje integrál nazývaný zobecněná energie 

E = X k 

∂L 

∂ ˙q k 

˙q k − L. 

Že zobecněná energie nezávisí na čase je možno ověřit přímým výpočtem, máme 

dE 

= X µ 

 

d ∂L ∂L 

˙q k +¨q k − X µ 

 

∂L ∂L 

˙q k +¨q k − ∂L 

dt 

dt ∂ ˙q k ∂ ˙q k ∂q k ∂ ˙q k ∂t 

k 

k 

= X µ d ∂L 

˙q k − ∂L 

− ∂L 

dt ∂ ˙q k ∂q k ∂t =0. 

k 

Závorka je rovna nule, nebo t , platí Lagrangeovy rovnice (5.7) a podle předpokladu 

(5.8) je i druhý člen roven nule. 

Pokud kinetická energie nezávisí explicitně načase, pak platí 

T = 

NX 

i=1 

1 

2 m iṙ 2 i = 

NX X 1 

2 m ∂r i ∂r i 

i ˙q k ˙q l . 

∂q k ∂q l 

i=1 

Kinetická energie má tedy tvar kvadratické homogenní funkce vzhledem k zobecněným 

rychlostem ˙q k . Platí proto Eulerova věta 

X 

k 

k,l 

∂T 

∂ ˙q k 

˙q k =2T, 

a pokud potenciální energie nezávisí na zobecněných rychlostech, pak platí také 

X ∂L 

˙q k = X ∂T 

˙q k =2T. 

∂ ˙q k ∂ ˙q k 

k 

k 

Za těchto předpokladů jezobecněná energie rovna přímo mechanické energii soustavy 

E = X k 

∂L 

∂ ˙q k 

˙q k − L = T + U. 

5.2.4 Nejednoznačnost Lagrangeovy funkce 

Ukažme ještě, že pokud k Lagrangeově funkci L přičteme úplnou časovou derivaci 

funkce f (q k ,t) , pohybové rovnice se tím nezmění. Podle předpokladu platí 

L 0 = L + df 

dt ,


kde 

Odtud 

nebo , tplatí 

ale také 

df 

dt = X k 

∂f 

˙q k + ∂f 

∂q k ∂t . 

d ∂L 0 

− ∂L0 = d ∂L 

− ∂L + d ∂ df 

dt ∂ ˙q k ∂q k dt ∂ ˙q k ∂q k dt ∂ ˙q k dt − ∂ df 

∂q k dt =0, 

d ∂L 

− ∂L =0, 


µ " Ã 

d ∂ df 

= d ∂ X 

dt ∂ ˙q k dt dt ∂ ˙q k 

i 

!# 

∂f 

˙q i + ∂f 

∂q i ∂t 

= d ∂f 

dt ∂q k 

a 

∂ df 

∂q k dt = 

Ã ∂ X 

∂q k 

i 

! 

∂f 

˙q i + ∂f = X ∂q i ∂t 

i 

∂ 2 f 

˙q i + ∂2 f 

= d ∂q k ∂q i ∂t∂q k dt 

∂f 

. 

∂q k 

5.2.5 Symetrie a zákony zachování 

Každé transformaci, která nemění Lagrangeovu funkci L (r k , v k ,t) , odpovídá určitý 

integrál pohybu. Například translaci odpovídá zákon zachování hybnosti, rotaci 

zákon zachování momentu hybnosti a homogenitě času odpovídá zákon zachování 

energie. 

Pokud se Lagrangeova funkce soustavy nezmění při infinitezimální translaci 

r → r +da, tj. platí 

pak musí platit rovnice 

L (r 1 +da, r 2 +da, ...) =L (r 1 , r 2 ,...) , 

dL = X k 

∂L 

∂r k 

· da =0. 

Vzhledem k libovolnosti posunutí da odtud máme 

X ∂L 

= 0. 

∂r k 

Z Lagrangeových rovnic pak dostaneme 

X d ∂L 

= dp 

dt ∂ṙ k dt = 0, 

k 

k


což ale znamená, že platí zákon zachování hybnosti p = konst. 

Pokud se nezmění Lagrangeova funkce soustavy při infinitezimální rotaci r → 

r +dφ × r, tj. platí 

L (r 1 +dφ × r 1 , r 2 +dφ × r 2 , ...) =L (r 1 , r 2 , ...) , 

pak musí platit také rovnice 

dL = X k 

∂L 

∂r k 

· (dφ × r k )= X k 

µ 

dφ · r k × ∂L 

=0. 

∂r k 

Vzhledem k libovolnosti pootočení dφ je 

X 

r k × ∂L = 0. 

∂r k 

Z Lagrangeových rovnic pak dostaneme 

X 

r k × d ∂L 

= d X 

r k × p k = dL 

dt ∂ṙ k dt 

dt = 0, 

k 

k 

což ale znamená, že platí zákon zachování momentu hybnosti L = konst. 

Pokud se Lagrangián soustavy nezmění při infinitezimálním posunutí času t → 

t +dt aplatí 

pak musí platit podmínka 

k 

L (t +dt) =L (t) , 

∂L 

∂t =0, 

tj. Lagrangián nezávisí explicitně načase. V tom případě dáleplatí 

dL 

dt = X k 

µ ∂L 

∂q k 

˙q k + ∂L 

∂ ˙q k 

¨q k 

, 

pravou stranu upravíme do tvaru 

dL 

dt = X µ ∂L 

− d Ã 

∂L 

˙q k + d X 

∂q k dt ∂ ˙q k dt 

k 

k 

! 

∂L 

˙q k . 

∂ ˙q k 

Vzhledem k platnosti Lagrangeových rovnic je první závorka rovna nule, proto 

dostáváme rovnici 

Ã ! 

d X ∂L 

˙q k − L =0, 

dt ∂ ˙q k 

k


znížjezřejmé, že se tentokrát zachovává veličina 

E = X k 

∂L 

∂ ˙q k 

˙q k − L =konst, 

kterou nazýváme zobecněnou energií. Dokázali jsme tak, že pokud Lagrangeova 

funkce nezávisí explicitně načase, platí zákon zachování zobecněné energie. 

Příklad 5.8 Najděte pohybové rovnice hmotného bodu v poli centrální síly (Keplerova úloha) 

vpolárníchsouřadnicích. 

Řešení: Kinetická energie hmotného bodu je 

T = 1 2 mv2 = 1 ³ 

2 m ṙ 2 + r ˙φ2´ 

2 , 

potenciální energie je U (r) a L = T − U. Lagrangeovy rovnice problému jsou 

d ∂L 

dt ∂ṙ − ∂L ³ 

2´ 

∂r = m ¨r − r ˙φ − ∂U 

∂r =0 

a 

d ∂L ∂L 

− 

dt ∂ ˙φ ∂φ = m d ³ ´ 

r 2 ˙φ =0. 

dt 

Azimut je tedy cyklickou souřadnicí, jíž odpovídá zákon zachování zobecněné hybnosti 

p φ = mr 2 ˙φ, 

což není nic jiného než orbitální moment (plošná rychlost). Pomocí p φ je možno vyloučit z 

první rovnice ˙φ arovnicivyřešit vzhledem k r (t) . 

Příklad 5.9 Řešte kutálení válce o poloměru R po nakloněné rovině sesklonemα. 

Řešení: Jde o pohyb s jedním stupněm volnosti, polohu popíšeme dráhou s. Rychlost středu 

válce je v = ṡ aúhlovárychlostω = v/R = ṡ/R. Lagrangeova funkce soustavy je 

L = 1 2 mv2 + 1 2 Jω2 + mgs sin α = mR2 + J 

2R 2 ṡ 2 + mgs sin α. 

Lagrangeova rovnice tedy dává 

mR 2 + J 

R 2 ¨s = mg sin α, 

takže řešením je pohyb se zrychlením 

směrem dolů ponakloněné rovině. 

¨s = 

mR2 

mR 2 + J g sin α 

Příklad 5.10 Nakloněnárovinasesklonemα se pohybuje horizontálně sezrychlenímA. Pomocí 

Lagrangeových rovnic druhého druhu najděte pohybovou rovnici částice na hladké nakloněné 

rovině. 

Klín se pohybuje se zrychlením A doprava. Popište 

pohyb částice o hmotnosti m na nakloněné 

rovině pod vlivem tíhy mg.


Řešení: 

£ 

Nakloněnárovinasepohybujerovnoměrně zrychleně, souřadnice jejího vrcholu jsou 

1 

2 At2 , 0 ¤ . Polohu částice vázané na nakloněnou rovinu vyjádříme pomocí vzdálenosti s od 

vrcholu nakloněné roviny. V tom případě prosouřadnice částice platí 

x = 1 2 At2 + s cos α, y = −s sin α. 

Rychlost částice má složky 

ẋ = At + ṡ cos α, ẏ = −ṡ sin α, 

takže Lagrangeova funkce je 

L = 1 2 m ¡ ẋ 2 + ẏ 2¢ − mgy = 1 2 m ¡ A 2 t 2 +2Atṡ cos α + ṡ 2¢ + mgs sin α. 

Lagrangeova rovnice 

d ∂L 

dt ∂ṡ − ∂L 

∂s = d m (At cos α + ṡ) − mg sin α =0 

dt 

dává pohybovou rovnici 

¨s = g sin α − A cos α. 

Pro Agtg α částice stoupá rovnoměrně zrychleným pohybem 

po nakloněné rovině. 

Příklad 5.11 Na vozíčku o hmotnosti M kývá matematické kyvadlo délky l a hmotnosti m. 

Najděte pohybové rovnice vozíčku a kyvadla. 

Ilustrace k úloze, v níž mámeurčit pohyb kyvadla 

avozíčku. 

Řešení: Soustava má dva stupně volnosti, za zobecněné souřadnice můžeme zvolit například 

souřadnici X vozíčku a výchylku φ kyvadla. Poloha závaží je x = X + l sin φ a y = 

l (1 − cos φ) . Omezíme se dále jen na malé kmity, rychlost závaží kyvadla je pak v ≈ Ẋ + l ˙φ, 

takže kinetická energie soustavy je 

T = 1 2 MV 2 + 1 2 mv2 ≈ 1 2 MẊ 2 + 1 ³Ẋ 

2 m + l ˙φ´2 

. 

Potenciální energie soustavy je dána jen polohou závaží, tedy 

U = mgy = mgl (1 − cos φ) ≈ 1 2 mglφ2 . 

Lagrangeova funkce soustavy je tedy rovna L = T − U a Lagrangeovy rovnice jsou 

d 

h 

´i 

MẊ ³Ẋ 

dt 

+ m d 

h 

´i 

+ l ˙φ =0 a ml 

³Ẋ + l ˙φ + mglφ =0. 

dt 

Zprvnírovnicemáme 

Ẍ = − 

ml¨φ 

M + m , 

po dosazení do druhé rovnice dostaneme rovnici kmitů 

¨φ = − g M + m 

l M φ. 

Kyvadlo a vozíček tedy synchronně kmitajíkolemspolečného těžiště a jsou vzájemně vprotifázi. 

Perioda kmitů 

s 

l M 

T =2π 

g M + m 

je tím delší, čím těžší je vozíček. Pro M À m je kyvadlo téměř pevné a jeho perioda nejvyšší 

T 0 =2π p l/g.


Příklad 5.12 Najděte pohybovou rovnici kyvadla, jehož délkazávěsu se mění podle předpisu 

l (t) . Omezte se na malé kmity. 

Řešení: Jde o pohyb závaží s vazbou. Pokud budeme pohyb popisovat pomocí úhlu φ, pak 

x = l sin φ ≈ lφ a y = l (1 − cos φ) ≈ 1 2 lφ2 . Odtud ẋ ≈ ˙lφ + l ˙φ a ẏ ≈ 0, Lagrangeova funkce 

je 

L ≈ 1 2 mv2 − 1 2 mglφ2 = 1 ³˙l2 2 m φ 2 +2l˙lφ ˙φ + l ˙φ2´ 

2 − 1 2 mglφ2 

l 2¨φ +2l˙l ˙φ + l¨lφ + glφ =0. 

Pro malé změny délky l = l 0 + a (t) je 

l 0¨φ +2ȧ ˙φ +äφ + gφ =0. 

Příklad 5.13 Najděte pohybovou rovnici kyvadla, jehož bodzávěsu vertikálně mění polohu 

podle předpisu a (t) . Omezte se na malé kmity. 

Řešení: Jde o pohyb závaží s vazbou. Pokud budeme pohyb popisovat pomocí úhlu φ, pak 

x = l sin φ ≈ lφ a y = a + l (1 − cos φ) ≈ a + 1 2 lφ2 . Odtud ẋ ≈ l ˙φ a ẏ ≈ ȧ, Lagrangeova 

funkce je 

L ≈ 1 ³l 

2 m ˙φ 

´2 1 

+ ȧ − mga − 

2 mglφ2 , 

takže pohybová rovnice je 

¨φ + g + ȧ φ =0. 

l 

Příklad 5.14 Najděte pohybové rovnice dvojitého matematického kyvadla. Tím se rozumí 

matematické kyvadlo o hmotnosti m 2 adélcel 2, které je zavěšeno na matematickém kyvadle 

o hmotnosti m 1 a délce l 1. 

Řešení: Dvojité kyvadlo má dva stupně volnosti, kterými mohou být například úhly výkyvu φ 1 

a φ 2 . Kinetická energie kyvadla je pak 

T = 1 2 m1 ³ 

l 1 ˙φ1´2 

+ 

1 

2 m2 ³ 

l 1 ˙φ1 + l 2 ˙φ2´2 

a potenciální energie je 

U = −m 1 gl 1 cos φ 1 − m 2 g (l 1 cos φ 1 + l 2 cos φ 2 ) . 

Lagrangeova funkce soustavy je samozřejmě rovnaL = T − U. Pokud se omezíme na malé 

kyvy, dostaneme 

L = 1 2 m1 ³ 

l 1 ˙φ1´2 

+ 

1 

³ 

1 

2 m2 l 1 ˙φ1 + l ˙φ2´2 

2 − 

2 m1gl1φ2 1 − 1 2 m2g ¡ ¢ 

l 1φ 2 1 + l 2φ 2 2 . 

Odtudjsoupohybovérovnice 

³ 

m 1l1¨φ 2 1 + m 2l 1 l 1¨φ1 + l 2¨φ2´ 

+(m 1 + m 2) gl 1φ 1 = 0, 

³ 

m 2l 2 l 1¨φ1 + l 2¨φ2´ 

+ m 2gl 2φ 2 = 0. 

Pokud se omezíme na případstejnýchkyvadelm 1 = m 2 = m a l 1 = l 2 = l, aoznačíme 

ω 0 = p g/l, dostaneme 

³2¨φ 1 + 2´ 

¨φ +2ω 2 0φ 1 =0, 

³¨φ1 + 2´ 

¨φ + ω 2 0φ 2 =0. 

Harmonické řešení φ 1 = A 1 cos ωt a φ 2 = A 2 cos ωt musí splňovat podmínky 

2 ¡ −ω 2 + ω0¢ 2 A1 − ω 2 A 2 =0, −ω 2 A 1 + ¡ −ω 2 + ω0¢ 2 A2 =0. 

Odtud dostaneme netriviální řešení, jen pokud je splněna charakteristická rovnice 

¯ 2 ¡ ¢ 

−ω 2 + ω 2 0 −ω 2 

−ω 2 −ω 2 + ω 2 ¯ =0. 

0 

Ta může být splněna pouze pro dvě frekvence (dva módy) 

ω + = ω 0 

q2+ √ 2, A 2 /A 1 = − √ 2


a 

ω − = ω 0 

q2 − √ 2, A 2 /A 1 = √ 2, 

takže řešení má tvar superpozice dvou nesoudělných harmonických kmitů 

φ 1 = A cos ¡ ω + t + φ +¢ + B cos ¡ ω − t + φ −¢ , 

φ 2 = −A √ 2cos ¡ ω + t + φ +¢ + B √ 2cos ¡ ω − t + φ −¢ . 

5.2.6 Sférické kyvadlo 

Matematické kyvadlo, jehož rovina kyvu není pevná, se nazývá sférické kyvadlo. 

Pohyb závaží je omezen na sféru se středem v místě závěšení kyvadla. Pohyb sférického 

kyvadla má dva stupně volnostiamůžeme je popisovat sférickými souřadnicemi 

θ, φ. Protože jde o vázaný pohyb, dostaneme pohybové rovnice nejpohodlněji 

pomocí Lagrangeových rovnic druhého druhu. Kinetická energie závaží je rovna 

T = 1 2 mv2 = 1 ³˙θ2 2´ 

2 ml2 +sin 2 θ ˙φ 

a potenciální energie závaží je rovna 

U = mgz = −mgl cos θ, 

kde l je délka závěsu a m hmotnost závaží. Odtud je Lagrangeova funkce našeho 

kyvadla rovna L = T − U. Pohybové rovnice jsou tedy dvě 

¨θ = −ω 2 2 

0 sin θ +sinθ cos θ ˙φ a 

³ 

sin 2 θ ˙φ´· 

=0, 

kde ω 2 0 = g/l. Druhá z rovnic vede ihned na zákon zachování vertikální složky 

momentu hybnosti 

sin 2 θ ˙φ = A, (5.9) 

nebo t , φ je cyklickou souřadnicí. Pomocí rovnice (5.9) je možno vyjádřit energii 

kuličky jako funkci úhlu θ 

E = T + U = 1 2 ml2 ˙θ2 + Uef (θ) , 

kde efektivní potenciální energie je definována předpisem 

A2 

U ef (θ) = 1 2 ml2 sin 2 − mgl cos θ. 

θ 

Pro danou energii E existují dvě hodnoty θ, pro něžje˙θ =0, to jsou body obratu. 

Pomocí Lagrangeových rovnic jsme nalezli pohybové rovnice. Jejich řešení ale 

pohodlněji najdeme ze zákona zachování energie, což je diferenciální rovnice prvního 

řádu pro θ. Z ní se spočte θ (t) a z rovnice (5.9) se dopočte φ (t) . Řešení se dá 

vyjádřit analyticky pouze prostřednictvím Jacobiho eliptických funkcí, podobně


jako tomu bylo u rovinného matematického kyvadla nebo těžkého symetrického 

setrvačníku. 

Trajektorií sférického kyvadla s malými amplitudami 

je elipsa. Trajektorií sférického kyvadla 

s velkou amplitudou však není uzavřená 

křivka, ale otevřená růžice, kterou vidíte na 

obrázku. 

Trajektorie pohybu sférického kyvadla nejsou uzavřené elipsy, ale otevřené křivky 

—různě tvarovanérůžice, které vzniknou pomalým stáčením elipsy kolem rovnovážného 

bodu kyvadla. Speciálně protakovépočáteční podmínky, že platí ˙φ =0, 

bude A =0, takže pohybová rovnice se stane rovnicí obyčejného rovinného matematického 

kyvadla 

¨θ = −ω 2 0 sin θ a φ =konst. 

Podobně, pokud splníme počátečnímipodmínkamirovnice˙θ 0 =0a cos θ 0 ˙φ2 0 = ω2 0 , 

dostaneme ze sférického kyvadla obyčejné kónické kyvadlo. Vtompřípadě totiž 

z pohybových rovnic dostaneme 

θ =konst a ˙φ = 

ω 0 

√ 

cos θ 

. 

Druhý vzorec je ekvivalentní vzorci pro úhlovou frekvenci kmitů kónického kyvadla. 

5.2.7 Setrvačné síly 

Pomocí Lagrangeových rovnic je možno pohodlně odvoditsetrvačné síly. Uvažujme 

nejprve pohyb hmotného bodu v inerciální vztažné soustavě. Lagrangeova funkce 

je zřejmě rovna výrazu 

L = 1 2 mv2 − U (r) . 

Nyní uvažujme neinerciální vztažnou soustavu, která se pohybuje translačně rychlostí 

V (t) vzhledem k inerciální soustavě. Podle Galileiho vzorce pro skládání rychlostí 

je rychlost hmotného bodu rovna v + V, kde v nyní představuje rychlost 

hmotného bodu vzhledem k neinerciální soustavě. Lagrangeova funkce je tedy rovna 

výrazu 

L = 1 2 m (v + V)2 − U (r) . 

Lagrangeova rovnice tak vede přímo na pohybovou rovnici 

ma = − ∂U 

∂r − mA.


První člen na pravé straně představuje reálnou sílu a druhý setrvačnou sílu, kde 

A = ˙V je zrychlení neinerciální soustavy. 

Anyníuvažujme rotující vztažnou soustavu. Soustava nech t , rotuje kolem společného 

počátkuobousoustavúhlovourychlostíω. Rychlosthmotnéhobodujepak 

rovna v + ω × r, kde v představuje rychlost hmotného bodu vzhledem k rotující 

neinerciální soustavě. Lagrangián je tedy roven výrazu 

L = 1 2 m (v + ω × r)2 − U (r) . 

Lagrangeova rovnice druhého druhu má obecně tvar 

d ∂L 

dt ∂v − ∂L 

∂r = 0. 

Protože platí 

a 

∂L 

∂v 

= m (v + ω × r) , 

d 

∂L 

∂r 

∂L 

= m (a + ω × v + ² × r) 

dt ∂v 

= m (v + ω × r) × ω − 

∂U 

∂r , 

dostaneme z Lagrangeovy rovnice pohybovou rovnici ve tvaru 

ma = − ∂U − mω × (ω × r) − 2mω × v − m² × r. 

∂r 

První člen na pravé straně představuje reálnou sílu, druhý setrvačnou sílu odstředivou, 

třetí setrvačnou sílu Coriolisovu a poslední čtvrtý člen představuje setrvačnou 

sílu Eulerovu. 

5.3 Další diferenciální principy mechaniky 

5.3.1 Hamiltonovy kanonické rovnice 

Spočtěme diferenciál Lagrangeovy funkce L (t, q k , ˙q k ) , dostaneme 

dL = X µ ∂L 

dq k + ∂L 

d ˙q k + ∂L dt. (5.10) 

∂q k ∂ ˙q k ∂t 

k 

Protože veličiny 

p k = ∂L 

∂ ˙q k 

představují zobecněné hybnosti, je možno Lagrangeovy rovnice (5.7) psát stručně 

také ve tvaru 

ṗ k = − ∂L 

∂q k 

.

5.3. DALŠÍ DIFERENCIÁLNÍ PRINCIPY MECHANIKY 215 

Diferenciál (5.10) pak můžeme přepsat do tvaru 

dL = X k 

(−ṗ k dq k + p k d ˙q k )+ ∂L 

∂t dt. 

Využitím vzorce pro derivaci součinu můžeme dále nahradit 

p k d ˙q k =d(˙q k p k ) − ˙q k dp k , 

a tak dostaneme 

Ã X 

d 

k 

Pokud funkci 

! 

˙q k p k − L = X k 

H = X k 

(−ṗ k dq k + ˙q k dp k ) − ∂L dt. (5.11) 

∂t 

˙q k p k − L 

na levé straně rovnice vyjádříme jako funkci zobecněných souřadnic a zobecněných 

hybností, pak platí 

dH = X µ ∂H 

dq k + ∂H 

dp k + ∂H dt. (5.12) 

∂q k ∂p k ∂t 

k 

Porovnáním vzorců (5.11) a (5.12) dostaneme Hamiltonovy kanonické rovnice 

(William Rowan Hamilton 1834) 

˙q k = ∂H 

∂p k 

, 

ṗ k = − ∂H 

∂q k 

, 

∂L 

∂t = −∂H ∂t , 

kde funkci 

H (q k ,p k )= X k 

˙q k 

∂L 

∂ ˙q k 

− L 

nazýváme Hamiltonovou funkcí nebo hamiltoniánem. 

Časová derivace hamiltoniánu je rovna 

dH 

dt = X µ ∂H 

˙q k + ∂H 

ṗ k + ∂H 

∂q k ∂p k ∂t = X (−ṗ k ˙q k + ˙q k ṗ k )+ ∂H 

∂t = ∂H 

∂t , 

k 

k 

a pokud hamiltonián nezávisí explicitně načase, je roven celkové energii soustavy 

která se zachovává. 

H = T + U = E =konst,


Příklad 5.15 Řešte pohyb lineárního oscilátoru pomocí Hamiltonových rovnic. 

Řešení: Hamiltonián lineárního oscilátoru je 

Odtud dostaneme kanonické rovnice 

ẋ = ∂H 

H = p2 

2m + 1 2 kx2 . 

∂p = p m , ṗ = −∂H ∂x = kx. 

To je soustava dvou lineárních diferenciálních rovnic, vyloučením p znichdostanemerovnici 

kmitů ẍ = −kx/m. Řešením jsou tedy harmonické kmity x = x 0 sin ωt a p = mẋ = 

mωx 0 cos ωt, kde ω = p k/m je frekvence kmitů. 

Příklad 5.16 Řešte šikmý vrh s počáteční rychlostí v 0 aelevačním úhlem α pomocí Hamiltonových 

rovnic. 

Řešení: Hamiltonián vrženého tělesa je 

Odtud dostaneme kanonické rovnice 

ẋ = ∂H 

a 

H = p2 x + p 2 y 

2m 

+ mgy. 

= p x 

∂p x m , 

ẏ = ∂H 

∂p y 

= p y 

m , 

∂H 

ṗx = − 

∂x =0 

ṗy = −∂H 

∂y = −mg. 

Řešením rovnic dostaneme 

p x = mv 0 cos α, p y = mv 0 sin α − mgt 

akonečně 

x = v 0 t cos α, y = v 0 t sin α − 1 2 gt2 , 

což jsou z kinematiky známé vzorce pro šikmý vrh. 

Příklad 5.17 Najděte pohybové rovnice hmotného bodu v poli centrální síly v polárních souřadnicích. 

Řešení: Lagrangeova funkce hmotného bodu je rovna 

L = 1 ³ 

2 m ṙ 2 + r ˙φ2´ 2 − U, 

odtud zobecněné hybnosti jsou 

p r = ∂L 

∂ṙ = mṙ a p φ = ∂L 

∂ ˙φ = mr2 ˙φ. 

Hamiltonián je tedy roven 

Ã ! 

H = 1 p 2 r + p2 φ 

− U. 

2m r 2 

Hamiltonovy kanonické rovnice mají tedy tvar 

a 

ṙ = ∂H 

∂p r 

= pr 

m , 

˙φ = ∂H = 

p φ 

∂p φ mr , 2 

ṗr = −∂H 

∂r = − 1 p 2 φ 

m r − ∂U 

3 ∂r 

ṗ φ = − ∂H 

∂φ =0. 

Řešením soustavy těchto rovnic bychom nalezli řešení Keplerovy úlohy.


5.3.2 Gaussův princip 

Roku 1829 definoval Carl Friedrich Gauss kladnou veličinu 

Z = X k 

(F k − m k¨r k ) 2 

2m k 

≥ 0, 

kterou nazval vázanost (německy Zwang). Pomocí ní formuloval nový základní 

princip mechaniky, který je podobný metoděnejmenšíchčtverců, pocházející rovněž 

od Gausse. Podle Gaussova principu platí: 

Vázanost soustavy podrobené vazbám je při jejím skutečném pohybu 

minimální. 

Pro volná tělesa je platnost těchto rovnic evidentní. Platí totiž F k − m k¨r k = 0, 

proto je jejich vázanost rovna nule Z =0, kdy zároveň dosahuje minima. Ukazuje 

se, že Gaussův princip platí i pro vázaný pohyb a platí dokonce i pro jednostranné 

vazby vyjádřené nerovnostmi, jak ukázal roku 1897 Josiah Willard Gibbs. Je 

tedy obecnější než ostatní principy a nelze jej z nich vyvodit. Ukážeme alespoň, 

že pro holonomní vazby je Gaussův princip ekvivalentní Lagrangeovým rovnicím 

prvního druhu. Především z podmínky minima vázanosti plyne, že musí platit 

δZ =0a δ 2 Z>0. Spočtěme tedy první a druhou variaci vázanosti. Za stálých 

hodnot r k a ṙ k a síly F dostaneme 

δZ = − X k 

(F k − m k¨r k ) · δ¨r k =0 a δ 2 Z = X k 

m k (δ¨r k ) 2 > 0. 

Druhá podmínka minima δ 2 Z>0 je tedy splněna. Vazebné podmínky f i (r k , ṙ k ,t)= 

0 lze derivovat podle času a dostaneme 

f˙ 

i = X µ ∂f 

ṙ k + ∂f 

k + ∂f 

∂r k ∂ṙ 

k 

k¨r 

∂t =0. 

Odtud pro variace zrychlení za stálých hodnot r k a ṙ k platí 

δ ˙ f i = X k 

∂f i 

∂ṙ k 

δ¨r k =0. 

Tyto rovnice vynásobíme Lagrangeovými multiplikátory a přičteme k δZ, dostaneme 

Ã 

X 

F k − m k¨r k − X ! 

∂f i 

λ i · δ¨r k =0. 

∂ṙ 

k 

i k 

Vhodnou volbou λ i budou δ¨r k nezávislé a dostaneme odtud Lagrangeovy rovnice 

prvního druhu 

F k − m k¨r k − X i 

λ i 

∂f i 

∂ṙ k 

= 0,


což jsmechtěli dokázat. 

Jakukázalroku1858H. Scheffler lze Gaussův princip psát také v diferenciálním 

tvaru 

δZ = − X k 

(F k − m k¨r k ) · δ¨r k =0 

připomínajícím d’Alembertův princip. 

Příklad 5.18 Určete pohyb částice o hmotnosti m na nakloněné rovině se sklonem α z 

Gaussova principu. 

Řešení: Načástici působí z vtištěných sil pouze tíha G = mg, proto má vázanost tvar 

Z = 1 

2m (G − ma)2 = 1 2 m £ ẍ 2 +(g +ÿ) 2¤ . 

Pokud by šlo o volnou částici, bylo Z min = 0 pro ẍ = 0 a ÿ = −g. Pohyb částice po 

nakloněné rovině je však vázaným pohybem a má jen jeden stupeň volnosti.Může jím být 

například dráha s měřená po nakloněné rovině. Platí tedy x = s cos α a y = s sin α ataké 

ẍ =¨s cos α a ÿ =¨s sin α. Po dosazení je vázanost rovna 

Z = 1 2 m £¨s 2 cos 2 α +(g +¨s sin α) 2¤ = 1 2 m ¡¨s 2 +2g¨s sin α + g 2¢ . 

Podle Gaussova principu je vázanost Z při skutečném pohybu minimální. Proto upravíme Z 

do tvaru 

Z = 1 2 m £ (¨s + g sin α) 2 + g 2 cos 2 α ¤ . 

Odtud už snadno najdeme, že minimální vázanost vzhledem ke všem možným pohybům částice 

nastane, když bude¨s = −g sin α, pak je Z min = 1 2 mg2 cos 2 α. Mohli bychom spočíst také 

δZ = m (¨s + g sin α) δ¨s =0, 

odtud je opět ¨s = −g sin α. 

5.3.3 Hertzův princip 

Uvažujme hmotný bod vázaný na plochu f (r) =0ajehosetrvačnýpohyb,tj. 

pohyb bez působení vnějších sil F = 0. Zrychlenía uvažovaného bodu má tečnou 

˙v a normálovou složku v 2 /ρ, takže vázanost bodu je rovna 

Z = m 2 a2 = m 2 

µ 

˙v 2 + v4 

ρ 2 . 

Pro skleronomní vazbu je v =konst, takže vázanost bodu je rovna 

Z = m 2 

v 4 

ρ 2 = m 2 v4 k 2 , 

kde k =1/ρ je křivost trajektorie. Z Gaussova principu minimální vázanosti Z = 

min dostaneme jako řešení k =min. Tento výsledek vyjadřuje Hertzův princip 

nejpřímější dráhy z roku 1894. Nepůsobí-li vnějšísíly,pohybujesehmotnýbod 

konstantní rychlostí po křivce o nejmenší křivosti, kterou dané skleronomní vazby 

připouštějí. Jde o další zobecnění zákona setrvačnosti:


Vázané těleso setrvává v klidu nebo v rovnoměrném pohybu po geodetice. 

5.3.4 Poissonovy závorky 

Bu d , f (q k ,p k ,t) nějaká funkce zobecněných souřadnic a hybností. Pro její časovou 

derivaci platí 

df 

dt = ∂f 

∂t + X µ ∂f 

˙q k + ∂f 

ṗ k . 

∂q k ∂p k 

k 

Svyužitím Hamiltonových rovnic to lze přepsat do tvaru 

df 

dt = ∂f 

∂t + X k 

µ ∂f ∂H 

− ∂f 

∂H 

= ∂f 

∂q k ∂p k ∂p k ∂q k ∂t +[H,f] , 

kde výraz definovaný předpisem 

[A, B] = X k 

µ ∂A ∂B 

− ∂A 

∂B 

, 

∂q k ∂p k ∂p k ∂q k 

se nazývá Poissonova závorka. Rovnice 

df 

dt = ∂f +[H, f] , (5.13) 

∂t 

představují nový typ pohybové rovnice. Například, když za funkci f vezmeme hybnost 

p k , dostaneme 

a podobně prof = q k máme 

ṗ k =[H, p k ]=− ∂H 

∂q k 

, 

˙q k =[H, q k ]= ∂H . 

∂p k 

Dostaneme tedy Hamiltonovy kanonické rovnice. Pro f = H pak máme vzhledem 

kidentitě [H,H] =0znovu 

dH 

dt = ∂H 

∂t . 

Pokud nějaká veličina f (q k ,p k ) nezávisí explicitněnačase a současněplatí[H, f] = 

0, pak podle (5.13) musí být integrálem pohybu f =konst. 

Prostým dosazením snadno ověříme platnost fundamentálních Poissonových 

závorek 

[q i ,q k ]=0, [p i ,p k ]=0 a [q i ,p k ]=δ ik .


Libovolné veličiny q k ,p k splňující tyto rovnice nazýváme kanonicky sdruženými 

veličinami. Zavedením momentu hybnosti L = r × p je možno také ukázat, že pro 

jeho složky platí 

[L i ,L j ]=ε ijk L k , 

£ 

Li ,L 2¤ =0, [x i ,L j ]=ε ijk x k a [p i ,L j ]=ε ijk p k . 

Tyto vzorce umožňují přímý přechod ke kvantové mechanice, stačí nahradit souřadnice 

a hybnosti operátory a Poissonovy závorky komutátory. 

Pro Poissonovy závorky je možno odvodit spoustu užitečných identit, například 

pro libovolné funkce A, B a C platí 

[A, B] =− [B,A] , [A, A] =0 a [A, c] =0, 

kde c je libovolná konstanta. Dále platí 

[A + B,C] =[A, C]+[B,C] a [AB, C] =A [B,C]+[A, C] B, 

Poslední vzorce připomínají vzorce pro derivaci součtu a součinu. Platí také užitečná 

Jacobiho identita 

[A, [B,C]] + [B,[C, A]] + [C, [A, B]] = 0. 

ZnípodosazenízaC = H vyplyne Poissonova věta: PokudjsouA i B integrály 

pohybu, pak také [A, B] bude integrálem pohybu. 

5.3.5 Fázový prostor 

Z Hamiltonových rovnic je zřetelně patrná symetrie mezi zobecněnými souřadnicemi 

a zobecněnýmihybnostmi.Souřadnice i hybnosti můžeme chápat jako souřadnice 

stavu systému ve fázovém prostoru (q, p) . Stav soustavy je v každém 

okamžiku charakterizován jediným bodem (q, p) ve fázovém prostoru a vývoj stavu 

pak jedinou čárou (q (t) ,p(t)) ve fázovém prostoru. Například hmotný bod při 

svislém vrhu má Hamiltonián 

H = p2 

2m + mgx. 

Protože ten nezávisí na čase H (x, p) =E, odpovídá pohybu bodu parabolická 

křivka stálé energie ve fázovém prostoru. Pomocí grafu můžeme vizuálně popsat 

pohyb i bez integrace pohybové rovnice. 

Fázová trajektorie ABC tělesa vrženého svisle 

v homogenním tíhovém poli s energií E 3 afázové 

trajektorie tělesa s menší energií E 1 < 

E 2


Podobně, matematické kyvadlo má Hamiltonián 

H = p2 φ 

+ mgl (1 − cos φ) , 

2m 

jemuž odpovídají trajektorie ve fázovém prostoru. Uzavřeným křivkám odpovídají 

energie E < 2mgl a periodický pohyb. Naopak energiím E > 2mgl odpovídají 

otevřené křivky, u nichž roste úhel φ monotónně sčasem. Pro malé energie jde o 

lineární oscilátor a fázové křivky se stávají elipsami. 

Fázové trajektorie matematického kyvadla. 

Uzavřené křivky odpovídají periodickým pohybům 

kolem rovnovážné polohy φ =0aenergiím 

E


a vzhledem k Hamiltonovým kanonickým rovnicím platí 

∂ ˙q k 

= ∂ṗ k 

= 

∂2 H 

, 

∂q k ∂p k ∂q k ∂p k 

takže výraz můžeme dále upravit do tvaru 

∂ρ 

∂t + X k 

µ ∂ρ 

∂q k 

˙q k + ∂ρ 

∂p k 

ṗ k 

 

=0. 

Výraz vlevo je však úplná časová derivace hustoty dρ/dt, takže důkaz je tím hotov. 

Pro hustotu stavů tedy platí pohybová rovnice 

dρ 

dt = ∂ρ +[H, ρ] =0. 

∂t 

5.3.7 Transformace v konfiguračním prostoru 

Lagrangeovy rovnice jsou invariantní vůči libovolné transformaci souřadnic q → Q 

vkonfiguračním prostoru. To znamená, že pokud platí Lagrangeovy rovnice 

pro L (q k , ˙q k ,t) , pak platí také Lagrangeovy rovnice 

d ∂L 

− ∂L =0 (5.14) 


d ∂L 

− ∂L =0 (5.15) 

dt ∂ ˙Q k ∂Q k 

³ ´ 

pro transformovanou Lagrangeovu funkci L Q k , ˙Q k ,t . Dokážeme to přímým výpočtem 

levé strany Lagrangeovy rovnice (5.15). Podle předpokladu q = q (Q, t) je 

∂q i /∂ ˙Q k =0, a proto platí následující pomocné vztahy 

˙q i = X k 

∂q i 

∂Q k 

˙Q k + ∂q i 

∂t , odtud ∂ ˙q i 

∂ ˙Q k 

= ∂q i 

∂Q k 

a 

µ 

d ∂qi 

= ∂ ˙q i 

dt ∂Q k ∂Q k 

(5.16) 

Protože dále platí 

∂L 

∂Q k 

= X i 

µ ∂L ∂q i 

+ ∂L 

∂ ˙q i 

∂q i ∂Q k ∂ ˙q i ∂Q k 

a 

∂L 

∂ ˙Q k 

= X i 

∂L 

∂ ˙q i 

∂ ˙q i 

∂ ˙Q k 

= X i 

∂L 

∂ ˙q i 

∂q i 

∂Q k 

, 

rovná se po dosazení levá strana Lagrangeovy rovnice (5.15) výrazu 

Ã 

d X 

dt 

i 

! 

∂L ∂q i 

− X ∂ ˙q i ∂Q k 

i 

µ ∂L 

∂q i 

∂q i 

∂Q k 

+ ∂L 

∂ ˙q i 

∂ ˙q i 

∂Q k 

 

.


Odtud po provedení derivace a přeskupení dostaneme 

X 

· µ d ∂L 

− ∂L ¸ ∂qi 

+ X · µ 

∂L d ∂qi 

dt ∂ ˙q 

i 

i ∂q i ∂Q k ∂ ˙q 

i i dt ∂Q k 

− ∂ ˙q ¸ 

i 

. 

∂Q k 

Celý výraz se však musí rovnat nule, protože první závorka je podle předpokladu 

(5.14) rovna nule a současně také druhá závorka podle (5.16) musí být rovna nule. 

Platí tedy také Lagrangeovy rovnice (5.15), což jsmechtěli dokázat. 

5.3.8 Kanonická transformace 

Podobnějemožno provést změnu souřadnic a hybností ve fázovém prostoru (q, p) → 

(Q, P) . Ovšem ne každá transformace bude zachovávat Hamiltonovy kanonické 

rovnice. Pokud však platí i pro nové souřadnice Hamiltonovy kanonické rovnice 

˙Q k = ∂H 

∂P k 

, 

P˙ 

k = − ∂H , 

∂Q k 

hovoříme o kanonické transformaci. Najdeme podmínky, které musí kanonická 

transformace splňovat. Hamiltonův princip dává stejné kanonické rovnice, pokud 

se obě Lagrangeovy funkce 

L = X k 

p k ˙q k − H a L 0 = X k 

P k ˙Q k − H 0 

navzájem liší pouze o úplnou časovou derivaci dF/dt, tj. pokud platí 

dF =(L − L 0 )dt = X k 

(p k dq k − P k dQ k )+(H 0 − H)dt. 

Pokud chápeme generující funkci F jako funkci q k ,Q k a t, pak z vlastností 

úplného diferenciálu musí platit 

p k = ∂F , 

∂q k 

Odtud pak také plyne, že 

P k = − ∂F 

∂Q k 

a H 0 − H = ∂F 

∂t . 

∂p i 

= − ∂P k 

= ∂2 F 

. 

∂Q k ∂q i ∂q i ∂Q k 

Podobně bychom mohli chápat funkci F 0 = F − P k Q kP k jako funkci q k ,P k . 

Nejprve nahradíme 

adostaneme 

P k dQ k =d(Q k P k ) − Q k dP k 

dF 0 = X k 

(p k dq k + Q k dP k )+(H 0 − H)dt.


Odtud 

a 

p k = ∂F 0 

, Q k = ∂F 0 

a H 0 − H = ∂F 0 

∂q k ∂P k ∂t 

∂p i 

= ∂Q k 

= ∂2 F 0 

. 

∂P k ∂q i ∂q i ∂P k 

Analogicky bychom dokázali i zbývající dvě identity 

∂q i 

∂Q k 

= ∂P k 

∂p i 

, 

∂q i 

∂P k 

= − ∂Q k 

∂p i 

, 

∂p i 

∂Q k 

= − ∂P k 

∂q i , 

∂p i 

∂P k 

= ∂Q k 

∂q i 

. (5.17) 

Pomocí identit (5.17) je možno ukázat, že při kanonických transformacích se nemění 

aniPoissonovyzávorky,tj.platí 

[A, B] = X µ ∂A ∂B 

− ∂A 

∂B 

= X µ ∂A ∂B 

− ∂A 

∂B 

∂q k ∂p k ∂p k ∂q k ∂Q k ∂P k ∂P k ∂Q k 

k 

k 

Nejprve ukážeme s využitím identit (5.17), že platí 

∂A 

= X µ ∂A ∂Q i 

+ ∂A 

∂P i 

= X µ ∂A ∂p k 

− ∂A 

∂p k 

, 

∂q k ∂Q 

i i ∂q k ∂P i ∂q k ∂Q 

i i ∂P i ∂P i ∂Q i 

∂A 

∂p k 

= X i 

µ ∂A ∂Q i 

+ ∂A 

∂P i 

= − X ∂Q i ∂p k ∂P i ∂p k 

i 

µ ∂A ∂q k 

− ∂A 

∂q k 

. 

∂Q i ∂P i ∂P i ∂Q i 

Anyníspočteme Poissonovu závorku, kde využijeme předchozích dvou vzorců 

[A, B] p,q 

= X µ ∂A ∂B 

− ∂A 

∂B 

∂q k ∂p k ∂p k ∂q k 

k 

= X ·µ ∂A ∂p k 

− ∂A µ 

∂p k ∂B 

− − ∂A ∂q k 

+ ∂A ¸ 

∂q k ∂B 

∂Q i ∂P i ∂P i ∂Q i ∂p k ∂Q i ∂P i ∂P i ∂Q i ∂q k 

ik 

= X · µ ∂A ∂B ∂p k 

+ ∂B 

∂q k 

− ∂A µ ∂B ∂q k 

+ ∂B ¸ 

∂p k 

∂Q i ∂p k ∂P i ∂q k ∂P i ∂P i ∂q k ∂Q i ∂p k ∂Q i 

ik 

= X µ ∂A ∂B 

− ∂A 

∂B 

=[A, B] 

∂Q 

i i ∂P i ∂P i ∂Q P,Q 

. 

i 

Tím jsme ukázali, že Poissonova závorka nezávisí na volbě kanonických souřadnic a 

je invariantem kanonických transformací. Index p, q resp. P, Q u Poissonovy závorky 

je tudíž zbytečný a nemusíme jej příště psát. Nyní je zřejmé, že fundamentální 

závorky platí i pro transformované veličiny (Q, P ) , tj. 

[Q i ,Q k ]=0, [P i ,P k ]=0, [Q i ,P k ]=δ ik .


Dalšími invarianty kanonických transformací jsou Poincarého integrály 

I 1 = 

Z X 

i 

dq i dp i , 

I 2 = 

I f = 

Z X 

dq i dp i dq k dp k , 

i6=k 

... Z 

dq 1 dp 1 dq 2 dp 2 ...dq f dp f . 

Poslední integrál představuje invariantní objem fázového prostoru, tj. Poincarého 

větu 

∆V = Y k,l 

∆q k ∆p l = Y k,l 

∆Q k ∆P l . 

Invariance integrálu I f je ekvivalentní tvrzení 

J = ∂ (Q, P ) 

∂ (q, p) =1, 

kde J představuje jakobián, tj. funkcionální determinant ze složek ∂Q i /∂q k , ∂P i /∂q k , 

∂Q i /∂p k a ∂P i /∂p k . Poslední tvrzení dokážeme. Z obecných vlastností jakobiánů 

(prakticky s nimi můžeme zacházet jako se zlomky) plyne 

J = ∂ (Q, P ) 

∂ (q, p) 

= 

∂ (Q, P ) /∂ (q, P) 

∂ (q, p) /∂ (q, P) 

= 

∂ (Q) /∂ (q) 

∂ (p) /∂ (P ) , 

kde ∂ (Q) /∂ (q) je opět jakobián sestávající z členů ∂Q i /∂q k a ∂ (p) /∂ (P ) z členů 

∂p i /∂P k . Podle poslední z identit (5.17) platí ∂p i /∂P k = ∂Q k /∂q i , takže oba jakobiány 

∂ (Q) /∂ (q) a ∂ (p) /∂ (P ) jsou až nazáměnu řádků asloupců totožné a 

musejí mít stejnou hodnotu. Pro kanonické transformace tedy skutečně platíJ =1. 

Invariance prvního integrálu 

Z X 

I 1 = 

k 

Z X 

dq k dp k = 

k 

µ ∂qk ∂p k 

∂u ∂v − ∂q k 

∂v 

je zase ekvivalentní invarianci Lagrangeových závorek 

(u, v) = X µ ∂qk ∂p k 

∂u ∂v − ∂q 

k ∂p k 

. 

∂v ∂u 

k 

 

∂p k 

dudv 

∂u 

Závěrem poznamenejme, že také časový vývoj soustavy q (q 0 ,p 0 ,t) a p (q 0 ,p 0 ,t) 

je možno považovat za spojitou kanonickou transformaci počátečních hodnot q 0 

a p 0 ataké,že naopak vhodnou kanonickou transformací je možno transformovat 

(q, p) na konstanty pohybu, například již zmíněné q 0 a p 0 .


5.4 Integrální principy 

5.4.1 Hérónův princip 

Zkušenost říká, že světlo se volným prostorem šíří přímočaře. To lze formulovat 

ijinak,světlo se šíří z bodu A do bodu B po nejkratší možné dráze, kterou je 

pochopitelně přímka. Dopadne-li paprsek na zrcadlo, odrazí se zde tak, že platí 

zákon odrazu. I v tomto případě však bude platit tvrzení, že paprsek se šíří po 

nejkratší možné dráze. Tento poznatek znal již v prvním století našeho letopočtu 

Hérón Alexandrijský, nazýváseprotoHérónův princip. Matematicky jej 

vyjadřuje rovnice 

l = 

Z B 

A 

dl =min, 

kterou nyní dokážeme pro jednoduchý odraz. 

PaprseksepohybujeprodrázeACB, která odpovídá 

nejkratší dráze s jedním odrazem na 

zrcadle CX. BodB 0 je zrcadlový obraz bodu 

B. 

Uvažujme zrcadlo a paprsek, který vychází z bodu A. Paprsek se může dostat do 

bodu B odrazem na zrcadle v libovolném bodě X. Celková dráha paprsku je tedy 

rovna l = |AX| + |XB| . Jestliže sestrojíme pomocný bod B 0 , který je zrcadlovým 

obrazem bodu B, pak platí |XB 0 | = |XB| . Z trojúhelníkové nerovnosti 

|AX| + |XB 0 | ≥ |AB 0 | 

pak plyne, že nejkratší možná dráha paprsku je rovna l = |AB 0 | a odpovídá odrazu 

paprsku v bodě C, který dostaneme jako průsečík roviny zrcadla CX apaprsku 

AB 0 . Odtud už pohodlně najdeme, že platí zákon odrazu 

θ 1 = θ 2 , 

kde θ 1 představuje úhel, který svírá dopadající paprsek s kolmicí dopadu a θ 2 úhel, 

který svírá odražený paprsek s kolmicí dopadu. Ukázali jsme tedy, že zákon odrazu 

aHérónův princip jsou ekvivalentní. 

Na rozhraní dvou prostředí se však paprsek láme, to znamená, že v opticky 

nehomogenním prostředí se již paprseknešíří po nejkratší dráze, tj. přímce, ale 

po lomené čáře. Vzniká tak přirozeně otázka, jakou minimální vlastnost v tomto 

případě paprsek splňuje.

5.4. INTEGRÁLNÍ PRINCIPY 227 

5.4.2 Zákon lomu 

S objevem dalekohledu a mikroskopu na počátku 17. století se optika opět stala 

středem pozornosti fyziků. Na rozdíl od zákona odrazu nebyl tehdy matematický 

tvar zákona lomu ještě znám. Roku 1611 zkoumal lom světla Johannes Kepler. 

Objevil přitom novou konstrukci astronomického dalekohledu, úplný odraz světla 

a zákon lomu pro malé úhly dopadu n 1 θ 1 = n 2 θ 2 . Obecný zákon lomu 

n 1 sin θ 1 = n 2 sin θ 2 

však objevil až roku 1621 Willebrord van Roijen Snell velmi pečlivým měřením 

úhlu lomeného paprsku. Zákon lomu definuje optickou hustotu neboli index 

lomu n prostředí. Čím více se paprsek láme ke kolmici, tím je prostředí opticky 

hustější. Snell zákon lomu nikdy nepublikoval, proto vešel ve známost až roku 1637 

díky René Descartovi. Dodnesneníjasné,zdaDescarteszákonlomusámnezávisle 

objevil anebo jej od Snella převzal. 

Zákonlomujemožno vysvětlit jako zákon zachování 

tečné složky rychlosti v t = v 1 sin θ 1 = 

v 2 sin θ 2. 

Descartes objasňujezákonlomujakodůsledek zachování tečné složky síly, kterou 

zaměňuje s rychlostí. Explicitně přitom na jiném místě uvádí,že světlo se šíří 

okamžitě, tedy nekonečnou rychlostí. Podobnými úvahami vysvětlovali zákon lomu 

stoupenci korpuskulární povahy světla Isaac Newton a Pierre-Louis Moreau 

de Maupertuis. Podle nich se při lomu světla zachovává tečná složka rychlosti 

světelných částic, takže platí 

v 1 sin θ 1 = v 2 sin θ 2 , 

zatímco normálová složka rychlosti se mění vlivem sil, jimiž nasvětelné částice 

působí rozhraní. Například, pokud při vniknutí světelné částice do skla vzroste její 

energie o U, pak rychlost částice podle zákona zachování energie vzroste na 

v 2 = 

r 

v 2 1 + 2U m . 

Různou hmotností m světelných částic vysvětloval Newton disperzi světla. Například 

modré korpuskule jsou podle Newtona menší než červené, a proto se pohybují 

v opticky hustějším prostředí rychleji. Ze stejného důvodu se také modré paprsky 

více lámou než červené. Všimněte si, že podle korpuskulární teorie světla je index 

lomu úměrný rychlosti světla n ∼ v.


Pohyb míče, který se kutálí po schodech, se 

řídí zákonem lomu. 

Poznamenejme, že zákonem lomu se bude řídit i pohyb míče, který se skutálí ze 

schodu o výšce h. Rychlostmíče pod schodem bude podle zákona zachování energie 

rovna 

q 

v 2 = v1 2 +2gh, 

kde v 1 je rychlost před překonáním příslušného schodu. Konečně úhel θ 2 ,vekterém 

se bude míč pod schodem pohybovat, bude dán zákonem lomu 

5.4.3 Fermatův princip 

sin θ 2 

sin θ 1 

= v 2 

v 1 

= 

s 

1+ 2gh 

v1 

2 . 

Jinou interpretaci zákonu lomu přisoudil Pierre de Fermat. Fermat vyšel roku 

1658 z Hérónova principu a ukázal, že světlo se nešíří po nejkratší dráze z bodu A 

do bodu B, ale po takové dráze, po které mu cesta z A do B trvá právě nejkratší 

dobu. Princip nejkratšího času neboli Fermatův princip říká, že 

t = 

Z B 

A 

dl 

v =min. 

Ilustrace k odvození zákona lomu z Fermatova 

principu. 

Ukážeme nyní, že Fermatův princip skutečně vede k zákonu lomu. Především 

je zřejmé, že v homogenním prostředí n =konstse Fermatův princip mění na 

Hérónův princip. Paprsek se tedy lomí pouze na rozhraní. Uvažujme nyní paprsek 

jdoucí z bodu A do bodu B skrz rozhraní v bodě X. Paprsek dopadá na rozhraní


pod úhlem θ 1 rychlostí v 1 . Zdeselámepodúhlemθ 2 ašíří se dále rychlostí v 2 . 

Cesta mu trvá dobu 

t X = |AX| 

v 1 

+ |XB| 

v 2 

. 

Pokud by si paprsek vybral jinou blízkou dráhu jdoucí bodem Y, pak by mu cesta 

trvala dobu 

t Y = |AY | 

v 1 

+ |YB| 

v 2 

. 

Pro blízké body X a Y platí (viz obrázek) 

∆t = t Y − t X ≈ a − b µ sin θ1 

= |XY | − sin θ 

2 

. 

v 1 v 2 v 1 v 2 

Jestliže paprsek posuneme z bodu X do bodu Y, bude se doba šíření paprsku 

zvětšovat nebo zmenšovat podle znaménka výrazu v závorce. Pouze v případě, že 

je závorka právě rovna nule, nebude doba šíření paprsku z A do B růst ani klesat. 

Vtompřípadě jsme dosáhli hledaného minima. Z Fermatova principu jsme tak 

odvodili zákon lomu 

sin θ 1 

= sin θ 2 

. 

v 1 v 2 

Všimněte si, že podle Fermatova principu je index lomu nepřímo úměrný rychlosti 

světla n ∼ 1/v, tedypřesný opak toho, co tvrdí Descartes a Newton. 

Vedle korpuskulární teorie světla existovala také vlnová teorie světla, jejím hlavním 

představitelem byl Robert Hooke a Christaan Huygens. Mechanismus 

šíření světla vysvětluje Huygensův princip z roku 1690. Světlo je podle něj vlnění, 

které vzniká rozkmitáním okolního prostředí. Pružným prostředím se pak šíří 

vlna, jejíž tvarjeurčen až složením mnoha elementárních vln. Ačkoliv vlnová teorie 

vycházela ze zcela jiných předpokladů nežFermatův princip, vedla rovněž kzávěru, 

že světlo se šíří v opticky hustějším prostředí pomaleji. Až do poloviny devatenáctého 

století však nebylo možno rozhodnout, která z obou teorií světla je pravdivá. 

Teprve roku 1850 změřil Jean-Bernard-Léon Foucault rychlost světla ve vodě 

aukázal,že v opticky hustějším prostředí je rychlost světla menší, takže vlnová 

teorie světla je skutečnosti blíže než teorie korpuskulární. 

Vzhledem k tomu, že celá dvě století panovaly nejasnosti ohledně vztahurychlosti 

světla a indexu lomu, formuluje se Fermatův princip obvykle pomocí indexu 

lomu a optické dráhy, cožjesoučin indexu lomu a geometrické dráhy. Podle takto 

formulovaného Fermatova principu se světlo šíří z bodu A do bodu B po takové 

trajektorii, které odpovídá nejkratší optická dráha 

L = 

Z B 

A 

ndl =min. 

Pro lom na rozhraní odtud plyne zákon lomu n sin θ =konst. Paprsek se pohybuje 

tak, že volí dráhu, na níž jesoučin indexu lomu a geometrické dráhy nejmenší.


Paprsek se tedy nepohybuje po přímce, ale geometrickou dráhu si prodlužuje do 

oblasti, kde je menší index lomu. Tím se sice prodlouží geometrická dráha, ale 

součin indexu lomu a geometrické dráhy celkově klesne. 

Závěrem poznamenejme, že přesnější znění Fermatova principu říká, že paprsek 

se šíří z bodu A do bodu B po takové dráze, na které je doba šíření paprsku 

stacionární, to znamená, že při variaci skutečné dráhy paprsku platí δt =0. Nemusí 

se tedy vždy jednat o minimum. Příkladem je eliptické zrcadlo, všechny paprsky 

vedoucí z jednoho ohniska končí ve druhém ohnisku a mají stejnou délku l =2a. 

Jiným příkladem je optická mřížka, na níž sepaprsekláme(ohýbá)doněkolika 

různých směrů (tzv. vedlejších maxim), každému směruodpovídájinádobašíření, 

takže je zřejmé, že paprsek se nešíří ani po nejrychlejší ani po nejpomalejší dráze. 

Příklad 5.19 Najděte dráhu, po níž semusívydatdesetibojař, aby dorazil z místa na pláži k 

bójce na moři za nejkratší čas. 

Řešení: Rychlost desetibojaře na souši a ve vodějepochopitelně odlišná, podobnějakorychlost 

paprsku ve vzduchu a ve vodě. Požadavek nejkratšího času vede spolu s Fermatovým principem 

kzávěru, že dráha desetibojaře musí splňovat zákon lomu. 

5.4.4 Brachistochrona 

Úlohu o brachistochroně vymyslel roku 1696 Jakob Bernoulli a spolu se svým 

bratrem Johannem Bernoullim ji také jako první vyřešil. Byla to zároveň první 

úloha na variační počet, která zahájila éru variačních principů ve fyzice. 1 Zadání 

znělo takto: Ve vertikální rovině jsouzadánydvabodyA a B. Najděte dráhu, po 

kterésetěleso M dostane pouze vlivem vlastní tíže do bodu B za nejkratší možný 

čas. Předpokládejte, že pohyb začal v bodě vA. Hledanou křivku nazval Bernoulli 

brachistochronou. 

Hledáme křivku AMB, po níž sklouzne 

hmotný bod M vlivem vlastní tížezboduA 

do bodu B co nejrychleji. 

Doba pádu hmotného bodu je dána integrálem 

t = 

Z B 

A 

Z 

dl x 

v = 

0 

p 

1+y 

02 

√ 2gy 

dx, (5.18) 

kde y (x) je rovnice hledané křivky. Hledáme tedy funkci y (x) , která minimalizuje 

funkcionál t (y) . K řešení úlohy je možno použít obecný aparát variačního počtu, 

který objevil až Leonhard Euler, nebojemožno použítanalogiesesvětlem a 

1 Ještě staršívariační úlohu (izoperimetrický problém) formuloval kolem roku 300 Pappus Alexandrijský: 

Jaký útvar má největší plochu při daném obvodu? Pappus tehdy dokázal, že hledaným 

útvarem je kruh.


Fermatův princip 

t = 

Z B 

A 

Z 

dl B 

v = 

A 

ndl 

c 

=min, 

který také využil při svém originálním řešení Bernoulli. Připomeňme, že podle Fermatova 

principu se světlo šíří z jednoho bodu do druhého vždy tak, že na to spotřebuje 

nejkratší možný čas. Zadání je tedy v podstatě stejné, jen místo trajektorie 

bodu máme paprsek, kde roli indexu lomu zde hraje výraz 

n (y) = 

c √ 2gy 

. 

Zákon lomu n sin α =konst, který řeší problém paprsku, má tedy tvar 

sin α = √ ay, (5.19) 

kde a je zatím neznámá konstanta. Zároveň jednoduchá geometrie dává pro sin α 

výraz 

sin α = dx 

dl = 1 

p . (5.20) 

1+y 

02 

Porovnáním pravých stran rovnic (5.19) a (5.20) dostaneme diferenciální rovnici 

1+y 02 = 1 

ay , 

kterou lze separovat a integrovat 

Z y r 

Z ay 

x 

y A 

1 − ay dy = dx = x − x A . 

x B 

Substitucí ay =sin 2 u upravíme integrál vlevo 

Z y r 

Z ay 

u 

y A 

1 − ay dy = 2 

u A 

a sin2 udu = 1 a [u − sin u cos u]u u A 

. 

Řešení je možno vyjádřit parametrickými rovnicemi 

ax = u − sin u cos u, ay =sin 2 u. (5.21) 

Pro konkrétnost jsme zvolili počátek souřadnic přímo v krajním bodě A, pak je také 

u A =0. Hledanou křivkou je zřejmě převrácená prostá cykloida. Tojekřivka, 

kterou opisuje bod na obvodu kružnice, která se kutálí po přímce. Konstantu a 

najdeme z okrajové podmínky úlohy, tj. ze souřadnic bodu B. 

Pokud jde o čas, pak ten souvisí s parametrem u lineárním vztahem 

r 2 

t = 

ga u,


jak je možno ověřit výpočtem integrálu (5.18), kde za x (u) a y (u) dosadíme řešení 

(5.21). Doba pádu kuličky M zboduA po brachistochroně doboduB je tedy 

rovna 

r 2 

t 0 = 

ga u B. 

Brachistochrona spojující body A a B na 

zemském povrchu. 

Speciálně probodB =[L, 0] , který leží ve stejné výši jako bod A =[0, 0] , 

dostaneme a = π/L, u B = π adobapádujerovna 

s 

2πL 

t 0 = 

g . 

Hloubka cykloidy je dána souřadnicemi nejníže položeného bodu C =[L/2,L/π] , 

který dostaneme z hodnoty parametru u C = π/2. Brachistochronu by mohlo teoreticky 

využívat podzemní metro ke zcela ekologickému provozu. Na pohyb by nebylo 

zapotřebí vynaložit žádnou energii. Vlak by získal rychlost na úkor vlastní tíhy a 

sám by se v cílové stanici na povrchu Země zase zastavil. Navíc by cestující měli na 

začátku a na konci cesty to potěšení užít si několikaminutový beztížný stav! Pro 

vzdálenost |AB| = L ≈ 100 km je přepravní doba neuvěřitelných t ≈ 4min apro 

L ≈ 1000 km asi 13 min! 

Všimněte si, že pohyb hmotného bodu M začíná vždy svisle dolů po semikubické 

parabole. Pro malé časy je totiž 

a odtud 

ax ≈ 2 3 u3 , ay ≈ u 2 , 

Pro rychlost pak máme 

x ≈ 

r 

g3 a 

18 t3 , y ≈ g 2 t2 . 

r 

g3 a 

ẋ ≈ 

2 t2 ≈ 0, ẏ ≈ gt. 

Bude-li ležet bod B téměř vertikálněpodbodemA, půjde o obyčejný svislý volný 

pád. Pak totiž bude a =0, a parametrické rovnice cykloidy proto přejdou v rovnice 

volného pádu 

x =0 a y = 1 2 gt2 .


5.4.5 Diferenciální a integrální principy 

Hérón znal zákon odrazu, ale to mu nestačilo. Hledal zároveň odpově dnaotázku, 

, 

proč platízákonlomuapročmáprávě takový jednoduchý tvar? Odpově d , na 

tyto otázky dal princip nejkratší dráhy. Jak ukázal Hérón, paprsek světla se nešíří 

zboduA do bodu B po libovolné dráze, ale najde si tu nejkratší dráhu ze všech 

možných, a po ní se pak pohybuje. Všechny okliky paprsek ignoruje. Zdá se tedy, že 

se světelný paprsek chová nanejvýš úsporně. Hérónův objev zapadal do obecnějšího 

principu maximální úspornosti přírody. I z jiných jevů se totižzdá,že příroda 

nikdy nekoná zbytečné či neúsporné kroky. Podobných principů najdeme ve fyzice 

celou řadu, připomeňme princip minimální energie, Fermatův princip nejkratšího 

času, Hamiltonův princip nejmenší akce atd. Princip maximální úspornosti přírody 

vysvětluje i známý šestiúhelníkový tvar včelích pláství. Právě při tomto tvaru a 

daném obsahu buněk budou včely potřebovat ke zhotovení plástve nejméně vosku. 

Podle Fermata, Maupertuise, Leibnize i Eulera se v principu minimálního účinku 

odráží metafyzická úspornost a ekonomičnost samotného Boha. Ten vybere ze všech 

geometricky možných drah jednu jedinou, která má nejmenší akci. Integrální principy 

se nazývají také teleologickými principy, vypovídají totiž cosi o smyslu, 

o cíli pohybu. Abychom nalezli směr pohybu, musíme prozkoumat celou dráhu a 

najít z nich tu nejkratší nebo nejrychlejší. Principy tohoto druhu se nazývají integrálními 

principy. Newtonovy pohybové rovnice naopak nepotřebují znát celou 

dráhu, zajímají se vždyjenomalýelementcelédráhyapředstavují diferenciální 

princip pohybu. 

5.4.6 Princip nejmenšího účinku 

Podle Galileiho principu setrvačnosti se volné těleso pohybuje po přímce stejnějako 

paprsek. Analogie mezi optikou a mechanikou není samozřejmě žádným překvapením, 

vždy t , v optice tehdy převládající názor hlásal, že světlo je proud korpuskulí 

a že světlo se řídí zákony mechaniky. 

Vržené těleso se může dostat z bodu A do bodu 

B po libovolné dráze, která splňuje zákon zachování 

energie. Vybere si z nich jedinou — známou 

parabolu šikmého vrhu, která má minimální 

mechanický účinek R vdl =min. 

Pohyb tělesa v tíhovém poli však už přímočarý není. Je to pochopitelně způsobeno 

působením tíhové síly. Těleso se v tíhovém poli nepohybuje po nejkratší 

dráze a snadno bychom ukázali, že se nepohybuje ani po dráze vyžadující nejkratší 

čas. Jak se tedy pohybuje? Budeme-li zkoumat například šikmý vrh, zjistíme, že 

trajektorie tělesa je vždy prohnuta směrem vzhůru, podobně jako je paprsek vždy 

prohnut do oblasti s nižším indexem lomu. Z Newtonových pohybových rovnic je 

zřejmé, že v tíhovém poli působí na těleso jen vertikální síla, takže horizontální


složka rychlosti tělesa se během vrhu nemění 

v x = v sin θ =konst. 

Zákon zachování horizontální složkyhybnostitedypředstavuje něco jako mechanický 

zákon lomu. Z analogie s Fermatovým principem je pak zřejmé, že těleso 

se v tíhovém poli pohybuje po dráze, na níž se minimalizuje veličina R mvdl, kterou 

nazýváme mechanickým účinkem neboli akcí. Zhruba k tomuto závěru došel 

roku 1740 Pierre-Louis Moreau de Maupertuis ajehotvrzenísenazývá 

principem nejmenšího účinku: Částice se pohybuje po takové dráze, na níž je 

mechanický účineknejmenšímožný, takže platí 

S = 

Z B 

A 

mv dl =min. 

Protože je hmotnost konstantní, nehraje v případě pohybu jediného tělesa žádnou 

roli. Role hmotnosti se projeví až vpřípadě pohybu soustavy těles. 

Rychlost tělesa je pochopitelně funkcí polohy tělesa, například v homogenním 

tíhovém poli platí v = p v0 2 − 2gy, tj. s rostoucí výškou y rychlost v klesá. Těleso se 

proto pohybuje z bodu A do bodu B po zakřivené dráze, která je prohnuta vzhůru. 

Tím se geometrická dráha tělesa samozřejmě prodlouží, ale součin rychlosti a dráhy 

tělesa, tj. mechanický účinek, celkově klesne. Tak lze kvalitativně objasnit prohnutí 

dráhy tělesa při vrhu v tíhovém poli. V obecném konzervativním poli U (r) pak pro 

hybnost tělesa platí 

mv = p 2m (E − U), 

takže princip nejmenšího účinku má tvar 

Z B p 

S = 2m (E − U)dl =min. 

A 

Leonhard Euler upravil roku 1744 mechanický účinek tak, že integraci přes 

dráhu nahradil integrací podle času jednoduše tím, že dosadil za dl = vdt. Pro 

účinek tak dostal výraz 

S = 

Z B 

A 

mvdl = 

Z B 

A 

mv 2 dt. 

Princip minimálního účinku podle Eulera pak říká, že těleso se pohybuje po takové 

dráze, při níž ječasový integrál živé síly (tj. kinetické energie) nejmenší. 

Konečně, roku 1760 zobecnil princip minimálního účinku Joseph-Louis 

Lagrange na soustavu těles a formuluje jej takto: Při pohybu těles, která na sebe 

navzájem působí, je součet součinů jejichhmotností,rychlostíadrahminimální. 

Mechanický účinek je tedy podle Lagrange roven výrazu 

S = X Z 

m k v k · dr k 

k


apodmínkaminimaznamená,že platí δS =0za splnění vedlejší podmínky stálé 

mechanické energie E = T + U = konst. Takto formulovaný princip pak platí 

dokonce i pro vázaný pohyb. 

Ukážeme ještě, že z Lagrangeova principu minimálního účinku skutečně plynou 

Newtonovy pohybové rovnice. Spočteme variaci účinku 

Z X 

δS = 

k 

(m k v k · d(δr k )+m k δv k · dr k )=0, 

první člen integrujeme per partes a druhý člen upravíme pomocí dr k = v k dt. Tak 

dostaneme 

" X 

δS = 

k 

# B Z X 

m k v k · δr k + 

A k 

(−m k a k dt · δr k + m k δv k · v k dt) =0. 

Vzhledem k podmínce stálé energie 

E = X k 

1 

2 m kv 2 k + U =konst 

platí také 

δE = X k 

m k v k · δv k + X k 

∂U 

∂r k 

· δr k =0. 

Odtud vyjádříme první člen pomocí potenciální energie a dosadíme do variace 

účinku 

" # B X 

Z X 

µ 

δS = m k v k · δr k − m k a k + ∂U 

· δr k dt =0. 

∂r k 

k 

A k 

Protože pohyb začal v definovaném stavu A askončil v jiném definovaném stavu 

B, je δr k (A) =δr k (B) =0. První člen v poslední rovnici tudíž vypadne. Vzhledem 

k libovolnosti variací δr k se druhý člen může rovnat nule jen tehdy, když budou 

rovny nule všechny závorky, tj. když budou platit Newtonovy pohybové rovnice 

m k a k + ∂U = 0. 

∂r k 

Vpřípadě, že je pohyb omezen vazebnými podmínkami f i (r k ,t)=0, musíme k δS 

dále přičíst výraz 

X 

λ i δf i = X ∂f i 

λ i · δr k , 

∂r 

i 

k 

ik 

kde λ i jsou Lagrangeovy multiplikátory. Teprve pak je možno variace δr k považovat 

opět za nezávislé. V tom případě dostaneme z Lagrangeova principu minimálního 

účinku Lagrangeovy rovnice prvního druhu 

m k a k + ∂U 

∂r k 

+ X i 

λ i 

∂f i 

∂r k 

= 0.


5.4.7 Eulerova rovnice 

Brachistochrona, zákon lomu z Fermatova principu, izoperimetrická úloha a mnoho 

dalších matematických a fyzikálních problémů vyžaduje nalézt funkci, pro kterou 

je určitý integrální funkcionál extremální. Obecně tyto úlohy řeší variační počet. 

Typická variační úloha vypadá takto: Najděte takovou funkci y (x) procházející 

zadanými body A =(x A ,y A ) a B =(x B ,y B ), že funkcionál 

S = 

Z xB 

x A 

F (x, y, y 0 )dx 

bude extremální. Variaci funkce y (x) označíme jako δy, variace funkcionálu S pak 

je rovna 

Z xB 

µ 

∂F ∂F 

δS = S (y + δy) − S (y) = δy + 

∂y ∂y 0 δy0 dx. 

Funkcionál S bude extremální, bude-li jeho variace rovna nule 

x A 

δS =0, 

vopačném případě by hodnota S při změně funkcey rostla nebo klesala. 

Najdeme nyní podmínku pro funkci y, při níž bude variace δS =0. Druhý člen 

v integrálu upravíme nejprve tak, aby nezávisel na variaci derivace δy 0 .Integrací 

per partes a z podmínky, že variace funkce y je v krajních bodech nulová 

dostaneme 

Z xB 

x A 

Máme tedy 

∂F 

∂y 0 δy0 dx = 

· Z ∂F 

δy¸xB xB 

∂y 0 − 

x A x A 

δS = 

Z xB 

x A 

δy A = δy B =0, 

µ Z 

d ∂F 

xB 

dx ∂y 0 δydx = − 

x A 

·∂F 

∂y − d µ ¸ ∂F 

dx ∂y 0 δydx, 

µ 

d ∂F 

dx ∂y 0 δydx. 

tento výraz bude nulový pro libovolné δy jen tehdy, když bude závorka rovna nule 

atedy,když bude platit Eulerova rovnice 

d ∂F 

dx ∂y 0 − ∂F 

∂y =0. 

Eulerova rovnice se výrazně zjednoduší v případě, kdy funkce F (x, y 0 ) nezávisí 

na y. Pak je možno rovnou jedenkrát integrovat a dostaneme rovnici 

∂F 

∂y 0 =konst.


Také v případě, že funkce F (y, y 0 ) nezávisí na x, je možno Eulerovu rovnici jednou 

integrovat. Vynásobme proto nejprve Eulerovu rovnici y 0 , tím dostaneme rovnici 

y 0 d ∂F ∂F 

− y0 

dx ∂y0 ∂y =0. 

Jestližeknípřičteme a odečteme výraz y 00 ∂F/∂y 0 , dostaneme 

y 0 d ∂F ∂F ∂F ∂F 

+ y00 − y0 − y00 

dx ∂y0 ∂y0 ∂y ∂y 0 = d µ 

y 0 ∂F 

dx ∂y 0 − dF 

dx =0. 

Odtud už máme hledaný integrál 

y 0 ∂F 

∂y 0 − F =konst. 

Eulerovu rovnici je možno zobecnit na případ, kdy funkcionál S i funkce F 

závisejí hned na několika funkcích y k (x) . Extrém S pak nastane při splnění všech 

Eulerových rovnic současně 

d ∂F 

dx ∂yk 

0 − ∂F =0. (5.22) 

∂y k 

Problém nalezení extrému funkcionálu může být komplikován dále vedlejší podmínkou 

f (x, y, y 0 )=0kladenou na hledanou funkci. V tom případě seúlohařeší 

za pomocí Lagrangeova multiplikátoru. Místo variace funkcionálu S se hledá 

extrém funkcionálu S + λf, hodnota parametru λ se pak dopočte s ohledem na 

vedlejší podmínku f =0. 

Pokud funkcionál S závisí i na druhé derivaci funkce y, tj. 

S = 

Z xB 

x A 

pak příslušná Eulerova rovnice má tvar 

∂F 

∂y − d 

dx 

5.4.8 Nejkratší čára, geodetika 

F (x, y, y 0 ,y 00 )dx, 

∂F 

∂y 0 + d2 ∂F 

dx 2 =0. 

∂y00 Nejkratší vzdálenost mezi dvěma body A a B v rovině jerovnadélceúsečky AB. 

Nejkratší spojnicí je tedy přímka. Dokážeme to nyní pomocí variačního počtu a 

Eulerovy rovnice. Z definice je délka čáry v kartézských souřadnicích rovna integrálu 

Z B Z B p 

Z B p 

l AB = dl = dx2 +dy 2 dx = 1+y 

02 

dx. 

A 

A 

Hledáme nejkratší čáru spojující body A a B. Proto musí platit δl AB =0, Eulerova 

rovnice (5.22) dává 

d y 

p 0 

dx 

=0, takže y 

p 0 

=konst. 

1+y 

02 1+y 

02 

A


Odtud je řešením y 0 = k =konst, atedy 

y = kx + q, 

což jerovnicepřímky se směrnicí k. 

Vpřípadě polárních souřadnic je délka čáry rovna integrálu 

l AB = 

Z B 

A 

dl = 

Z B 

A 

q 

dr 2 + r 2 dφ 2 = 

Opět použijeme Eulerovu větu, z níž plyne 

Máme tedy k řešení diferenciální rovnici 

Její úpravou dostaneme 

atedy 

d r 2 φ 0 

p =0. 

dr 

02 1+r2 φ 

Z B 

A 

r 2 φ 0 

p = R =konst. 

02 1+r2 φ 

r 2 φ 02 ¡ r 2 − R 2¢ = R 2 , 

q 

1+r 2 φ 02 dr. 

dφ = ± 

Rdr 

r √ r 2 − R . 2 

Substitucí u =1/r lze integrál na pravé straně zjednodušit, a pak dostaneme 

φ − φ 0 = 

Odtud je rovnice geodetické čáry 

Z r 

R 

r = 

Rdr 

r √ r 2 − R 2 =arccosR r . 

R 

cos (φ − φ 0 ) , 

což jepochopitelněrovnicepřímky v polárních souřadnicích. 

Geodetikou na sféře je hlavní kružnice — ortodroma.


Ani použitím křivočarých souřadnic nemůžeme v rovině dostat jinou geodetiku, 

než přímku. Teprve v případě zakřivené plochy bychom dostali jinou čáru. Nejpohodlněji 

dostaneme rovnici geodetiky z podmínky setrvačného pohybu bodu M po 

dané vazebné ploše. Pro setrvačný pohyb je Q k =0, Lagrangeovy rovnice mají pak 

tvar 

d ∂T 

− ∂T =0. 


Například pro pohyb bodu o hmotnosti m na sféře o poloměru R je kinetická energie 

bodu rovna 

T = 1 2 mv2 = 1 ³˙θ2 ´ 

2 mR2 + ˙φ2 sin 2 θ , 

kde θ a φ jsou sférické souřadnice. Odtud Lagrangeovy rovnice dávají dvě diferenciální 

rovnice 

¨θ − ˙φ 2 d 

³ 

sin θ cos θ =0, ˙φ sin θ´ 

2 =0. 

dt 

Současně platí zákon zachování energie T =konstneboli v = ωR =konst, máme 

tedy další integrál pohybu 

˙θ 2 + ˙φ 2 sin 2 θ = ω 2 =konst, 

kde ω má význam úhlové rychlosti pohybu bodu po sféře. Z druhé Lagrangeovy 

rovnice máme hned první integrál 

˙φ sin 2 θ = ω sin θ 0 =konst, 

pomocí něj můžeme vyloučit z integrálu energie funkci ˙φ, tak dostaneme rovnici 

˙θ 2 + ω2 sin 2 θ 0 

sin 2 = ω 2 . 

θ 

Geometrický význam úhlu θ 0 je zřejmý, jde o maximální úhlovou vzdálenost θ bodu 

M od pólu P, tedy o vzdálenost bodu O od pólu P aprotentobodzároveňplatí 

˙θ =0. Poslední rovnici už dokážeme vyřešit, separace proměnných vede na integrál 

Z θ 

µ 

sin θ 

cos θ 

ωt = p dθ = arccos , 

sin 2 θ − sin 2 θ 0 

cos θ 0 

odtud dostaneme 

0 

0 

cos θ =cosθ 0 cos ωt. 

Podobně spočteme druhou souřadnici 

Z t 

Z 

ω sin θ t 

µ 

0 

φ = 

sin 2 θ dt = ω sin θ 0 

tg ωt 

1 − cos 2 θ 0 cos 2 ωt dt =arctg , 

sin θ 0 

0


odtud obrácením 

tg φ = 

tg ωt 

sin θ 0 

. 

Vtěchto výsledcích je možno spatřit známé poučky sférické trigonometrie (Neperova 

pravidla) pro pravoúhlý trojúhelník MPO. Je tedy zřejmé, že jsme právě 

dokázali, že geodetikou na sféře je skutečně hlavní kružnice. Bod M se po ní bude 

pohybovat stálou rychlostí v = ωR. Vzdálenost θ bodu M od pólu P periodicky 

kolísá v intervalu θ 0 až π − θ 0 . Speciálním řešením je pro θ 0 = π/2 rovnoměrný 

pohyb po rovníku θ = π/2 a φ = ωt, jiným speciálním řešením je pro θ 0 =0pohyb 

po poledníku φ = φ 0 a θ = ωt. 

Příklad 5.20 Najděte tvar mýdlové bubliny, která vznikne mezi dvěma souosými drátěnými 

smyčkami. 

Ilustrace k úloze. Máme určit matematický tvar 

povrchu mýdlové blány vzniklé mezi dvěma souosými 

drátěnými kruhy. 

Řešení: Povrchová energie je přímo úměrná velikosti plochy povrchu kapaliny. Podle principu 

minimální energie zaujme membrána takový tvar, při kterém bude mít nejmenší možnou energii 

atedyinejmenšímožnou plochu. Tvar mýdlové blány je tedy určen fyzikální podmínkou 

minimální plochy. Označme hledaný 

Z 

tvar rotační 

Z 

plochy y (x) , pak velikost rotační plochy je 

S = 2πydl = 2πy p 1 + y 02 dx. 

Plocha S nezávisí na x, proto můžeme psát rovnou první integrál Eulerovy rovnice 

y 0 ∂F 

∂y − F = − y 

p = a =konst. 

0 1 + y 

02 

Řešením této diferenciální rovnice dostaneme 

y 

a =coshx − x 0 

, 

a 

tvar mýdlové membrány je tedy určen rotační řetězovkou. 

Příklad 5.21 Pomocí principu minimální energie najděte tvar volně visícího ohebného řetězu 

délky l, který je zavěšen mezi dvěma body A a B. 

Řešení: Potenciální energie řetězu Z je Z 

U = gρSydl = gρSy p 1 + y 02 dx. 

Současně musí být zaručenapodmínkastálédélkyřetězu 

Z Z p1 

l = dl = + y 

02 

dx, 

proto hledáme minimum Zfunkce 

Z 

U = (gρSy − λ)dl = (gρSy − λ) p 1 + y 02 dx. 

Protože energie U nezávisí explictině nax, můžeme psát rovnou první integrál Eulerovy rovnice 

y 0 ∂F 

∂y − F = − gρSy p − λ = a =konst. 

0 1 + y 

02


Řešením této diferenciální rovnice je funkce 

y − y 0 

=cosh x − x0 

. 

c 

c 

Tvar volně visícího řetězu je tedy určen hyperbolickým kosínem. Konstanty x 0,y 0 a a najdeme 

z okrajových podmínek a z podmínky kladené na délku řetězu. Obvykle půjde o transcendentní 

rovnice,kterémusímevyřešit numericky. Například pro řetěz délky l =5m zavěšený v bodech 

A =[−1 m, 0 m] a B =[1 m, 0 m] dostaneme x 0 =0m, y 0 ≈−2. 531 m a c ≈ 0. 392 m . 

Příklad 5.22 Určete tvar provázku pevné délky l tak, aby vymezil co největší plochu P .Krajní 

body A a B provázku leží na ose x. 

Hledáme křivku y (x) délky l spojující body A a 

B avymezujícípřitom největší možnou plochu 

P. 

Řešení: Jde o jednu z prvních variačních úloh známou také pod názvem izoperimetrická 

úloha. Zpohleduvariačního počtu jde o variační úlohu s vedlejší podmínkou. Hledáme křivku 

y (x) takovou, že P = R ydx je maximální a přitom l = R p 1 + y 02 dx je neměnné. Řešení se 

najde metodou Langrangeových 

Z 

multiplikátorů. 

Z Z 

Hledá se tedy extrém funkcionálu 

³ 

P = ydx − λ dl = y − λ p 02´ 

1 + y dx. 

Protože integrand nezávisí explicitně nax, je možno psát přímo první integrál 

y 0 ∂F 

∂y − F = λ 

p − y = −y0. 

0 1 + y 

02 

Konstantu jsme rovnou označili y 0, důvod bude patrný později. Odtud máme diferenciální 

rovnici 

µ 2 

λ 

= 1 + y 02 , 

y − y 0 

substitucí z =(y − y 0) /λ máme 

√ 

1 − z 

2 

= λz 0 . 

z 

Separací proměnných a integrací dostaneme 

x − x 0 

= − p (1 − z 

λ 

2 ) 

azpětným dosazením za z máme rovnici kružnice 

(x − x 0) 2 +(y − y 0) 2 = λ 2 

se středem v bodě [x 0 ,y 0 ] apoloměrem λ. Hledaným tvarem provázku je tedy kružnice. Zvláště 

vpřípadě A = B se to dalo čekat. Poloměr hledané kružnice R = λ se najde z podmínky na 

délku provázku 

|AB| =2R sin 

což je transcendentní rovnice pro R. 

l 

2R , 

Příklad 5.23 Odvo d , te rovnici brachistochrony pomocí Eulerovy rovnice. 

Řešení: Zdefinice brachistochrony 

Z x 

p 

1 + y 

02 

t = √ dx =min 

2gy 

0


najdeme její rovnici pomocí Eulerovy rovnice. Protože integrand nezávisí na x, můžeme psát 

rovnou první integrál 

y 0 ∂F 

∂y − F = −1 

0 √ p =konst. 

2gy 1 + y 

02 

Odtud je hledaná rovnice brachistochrony 

1 + y 02 = 1 

ay 

ajejířešení je tudíž dáno rovnicemi (5.21). 

5.4.9 Hamiltonův princip minimálního účinku 

Lagrangeovy rovnice druhého druhu (5.7) pro Lagrangeovu funkci L mají stejný 

tvar jako Eulerova rovnice (5.22) pro funkci F , která je podmínkou pro extrém 

funkcionálu S = R x B 

x A 

F dx. Toznamená,že základní princip mechaniky je možno 

formulovat také jako variačníprincip.Příslušným funkcionálem je mechanický 

účinek (integrál akce) 

S = 

Z tB 

t A 

L (q k , ˙q k ,t)dt, 

který do mechaniky zavedl roku 1841 William Rowan Hamilton. Soustava se 

může vyvíjet ze stavu A určeného zobecněnými souřadnicemi qk A (t A) do stavu B 

určeného souřadnicemi qk B (t B) libovolnými způsoby. Pouze jeden z nich však odpovídá 

skutečnému pohybu mechanické soustavy a to ten, při kterém je mechanický 

účinek minimální 

S = 

Z tB 

t A 

Ldt =min. 

Toto tvrzení je obsahem Hamiltonova principu minimálního účinku. 

Podmínkou minima mechanického účinku je vymizení jeho variace δS = 0, 

odtud dostaneme opět Lagrangeovy rovnice druhého druhu. Z definice účinku je 

dále zřejmé, že stejné pohybové rovnice dostaneme i pro Lagrangeovou funkci 

L 0 = L + d dt f (q k,t) . 

Příslušné integrály se totiž liší jen o konstantu 

S 0 − S = 

Z tB 

t A 

(L 0 − L)dt = 

Z tB 

t A 

d 

dt f (q k,t)=f ¡ qk B ,t ¢ ¡ ¢ 

B − f q 

A 

k ,t A =konst, 

kteránemánavariaciδS vliv. Lagrangeova funkce je tedy definována nejednoznačně, 

přičtením úplné časové derivace libovolné funkce f (q k ,t) se pohybové rovnice 

soustavy nezmění. Toto tvrzení jsme dokázali jiždříve, ale mnohem pracnějším 

způsobem. 

Zpohleduřešení praktických úloh je Hamiltonův princip zcela ekvivalentní Lagrangeovým 

rovnicím druhého druhu (5.7). Jeho předností je pouze stručnější vyjádření 

Hamiltonova principu a jeho univerzálnost, Hamiltonův princip totiž platí


v celé fyzice, včetně teorie relativity a kvantové teorie pole. Zatímco Hamiltonův 

princip představuje integrální verzi, Lagrangeovy rovnice představují diferenciální 

vyjádření stejného principu. 

Hamiltonův princip je zobecněním starších variačních principů, které z něj plynou 

jako speciální případy. V případě konzervativního systému je T + U = E = 

konst, atedyplatí 

Z Z 

Z 

S = Ldt = (T − U)dt = (2T − E)dt = W − Et. 

Protože E je konstantou, nepřispěje k variaci δS. Pro jednu částici se tak Hamiltonův 

princip redukuje na Eulerův, případně Maupertuisův princip 

Z Z Z 

W = 2T dt = mv 2 dt = mvds =min. 

Pro setrvačný pohyb U =0je T =konsta v =konst, Eulerův princip se tak 

redukuje na princip nejkratšího času aMaupertuisův princip na princip nejpřímější 

dráhy 

Z 

Z 

t = dt =min a s = ds =min. 

5.4.10 Jacobiho princip 

Maupertuisův princip nezávisí na čase,hodíseprotokvýpočtu trajektorie tělesa. 

Pomocí triviálního vztahu mezi energií a hybností p = p 2m (E − U) jej upravíme 

do Jacobiho tvaru 

Z 

δW = δ 

Z 

mvds = δ 

pds = δ 

Z p2m 

(E − U)ds =0, 

který je analogem Fermatova principu známého z optiky δ R ndl =0. Najdeme 

rovnici trajektorie částice v konzervativním poli z Jacobiho principu. Přepišme 

nejprve zkrácený účinek do tvaru 

Z Z p2m √ 

W = pdq = (E − U) r0 · r 0 dl, 

kde r 0 =dr/dl je jednotkový tečný vektor trajektorie částice. Pomocí Eulerovy 

rovnice najdeme rovnici trajektorie r (l) ve tvaru 

d 

·√E r 0 ¸ 

− U √ = √ r 

dl 

0 · r 0 ∂ √ 

E − U. 

r0 · r 0 ∂r 

Vzhledem k tomu, že √ r 0 · r 0 =1, se rovnice dále zjednoduší 

d 

h √E i − Ur 

0 

= ∂ √ 

E − U. 

dl 

∂r


Po provedení naznačených derivací dostaneme 

µ 

1 ∂U 

− 

2 √ E − U ∂r · r0 r 0 + √ E − Ur 00 1 

= − 

2 √ E − U 

To lze upravit dále do tvaru 

nebo do tvaru 

∂U 

∂r . 

r 00 = F − (F · r0 ) r 0 

2(E − U) , (5.23) 

d 2 r 

dl 2 = F n 

mv 2 , 

kde F n = F − (F · r 0 ) r 0 představuje normálovou složku působící síly F = −∂U/∂r. 

Rovnice (5.23) představuje hledanou rovnici trajektorie částice v konzervativním 

potenciálovém poli. Její fyzikální význam je zřejmý z následujícího. Z geometrie je 

známo, že 

d 2 r 

dl 2 = n R , 

kde R je poloměr křivosti dráhy a n jednotkový normálový vektor. Platí tedy 

mv 2 

R n = F n, 

tj. dostředivá síla je rovna normálové složce aktivní síly. 

Příklad 5.24 Najděte trajektorii částice v homogenním tíhovém poli U = mgy. 

Řešení: Podle JacobihoZprincipu hledáme minimum funkcionálu 

p2m 

Z 

W = (E − mgy)dl = K p h − y p 1 + x 02 dy. 

Podle Eulerovy rovnice dostaneme hned první integrál 

p 

√ 

x 0 h − y 

h − y √ = p =konst, 

1 + x 

02 1 + y 

02 

neboli po úpravě 

A (h − y) =1 + y 02 . 

Zvolíme-li počátek souřadnic v místě vrhu a úhel vrhu označíme jako α, pak počáteční podmínky 

jsou y 0 =tgα pro x =0a y =0a pro konstantu A dostaneme 

1 

A = 

h cos 2 α . 

Jestliže vyřešíme diferenciální rovnici 

h sin 2 α − y = hy 02 cos 2 α, 

dostaneme výsledek 

x 2 

y = x tg α − 

4h cos 2 α . 

Trajektorií částice v homogenním tíhovém poli je parabola. Dolet částice je D =2h sin 2α, 

maximální výška letu H = h sin 2 α. Parametr h má tedy význam maximální výšky, do které 

může částice vystoupat při svislém vrhu.


Příklad 5.25 Najděte trajektorii částice v coulombovském poli U = k/r (Keplerova úloha). 

Řešení: Podle Jacobiho principu hledáme minimum funkcionálu 

Z p2m 

Z 

W = (E − k/r)dl = K p q 

E − k/r 1 + r 2 φ 02 dr. 

Integrál upravíme substitucí u = 1/r adostaneme 

Z p2m q 

W = (E − ku) 1 + u 2 φ 02 du 

u . 2 

Podle Eulerovy věty máme hned první integrál 

s 

E − ku 

1 + u 2 φ 02 φ0 =konst, 

nebo t , φ je cyklická souřadnice. Odtud dostaneme řešení ve tvaru 

u = 1 r = 1 (1 + e cos φ) , 

p 

které představuje kuželosečkuvpolárníchsouřadnicích. 

5.4.11 Hamilton-Jacobiho rovnice 

Hamiltonův princip definuje účinek S = R t 2 

t 1 

Ldt s pevnými mezemi. Pokud však 

necháme horní mez volnou, pak účinek S (q k ,t)= R t 

t 1 

Ldt bude funkcí zobecněných 

souřadnic a času konečného stavu. Variace takového účinku pak bude rovna 

δS = 

" X 

k 

# t Z 

∂L 

t X 

µ ∂L 

δq k + 

− d ∂ ˙q k t 

t 1 

∂q k dt 

1 

k 

 

∂L 

δq k dt. 

∂ ˙q k 

Vzhledem k platnosti Lagrangeových rovnic integrál vpravo vymizí a dostaneme 

výsledek 

δS = X k 

∂L 

∂ ˙q k 

δq k , 

nebo , t δq k (t 1 )=0. Odtud plyne, že 

p k = ∂L 

∂ ˙q k 

= ∂S 

∂q k 

. 

Úplná časová derivace účinku S (q k ,t) je tedy rovna 

dS 

dt = X k 

∂S 

∂q k 

dq k 

dt + ∂S 

∂t = X k 

p k ˙q k + ∂S 

∂t . 

Zároveň zdefinice účinku platí 

dS 

dt = L,


takže porovnáním obou výrazů mámerovnici 

∂S 

∂t = L − X k 

p k ˙q k = −H. 

Pokud hamiltonián vyjádříme jako funkci zobecněných souřadnic q k a derivací 

účinku S podle zobecněných souřadnic,tj.pomocívztahup k = ∂S/∂q k ,dostaneme 

Hamilton-Jacobiho rovnici 

µ 

∂S 

∂t = −H q k , ∂S 

, 

∂q k 

kterou sestavil Karl Gustav Jacob Jacobi roku 1842. 

Pro konzervativní systém je současně H = E =konst, takže Hamilton-Jacobiho 

rovnice se rozpadne na dvě nezávislé rovnice 

µ 

∂S 

∂t = −E a H q k , ∂S 

= E. 

∂q k 

Účinek tedy můžeme v konzervativním poli rozdělit do dvou částí, první část W (q k ) 

je nezávislá od časuanazývásezkrácený účinek a druhá část −Et zase nezávisí 

od prostorových souřadnic. Účinek je tedy roven 

a pro zkrácený účinek platí stacionární rovnice 

µ 

H q k , ∂W 

= E. 

∂q k 

Diferencováním vztahu (5.24) dostaneme 

současně přitom platí 

S = W (q k ) − Et (5.24) 

dS =dW − Edt − tdE, 

dS = Ldt = X k 

p k dq k − Edt. 

Porovnáním obou výrazů dostaneme 

dW = X k 

p k dq k + tdE, 

a odtud 

p k = ∂W 

∂q k 

a t = ∂W 

∂E . (5.25)


Ukažme si použití Hamilton-Jacobiho rovnice na jednorozměrném problému 

částice v konzervativním poli. Příslušný hamiltonián je roven 

H (x, p) = p2 

+ U (x) =E, 

2m 

odtud nahrazením p =dW/dx dostaneme obyčejnou diferenciální rovnici pro zkrácený 

účinek 

Znínajdeme 

1 

2m 

µ 2 dW 

+ U (x) =E. 

dx 

W = 

Z p2m 

(E − U)dx a S = W − Et. 

Pohyb částice však najdeme jednoduše i bez přímého výpočtu zkráceného účinku 

W podle vzorců (5.25). Podle nich totiž platí 

p = ∂W 

∂x = p 2m (E − U) a t = ∂W 

∂E = Z r m 

2 

Například pro lineární oscilátor je 

dx 

√ E − U 

. 

odtud dostaneme 

H (x, p) = p2 

2m + 1 2 kx2 = E, 

r m 

t = 

2 

Z x 

0 

r 

dx 

k 

=arcsin 

qE − 1 2E x. 

2 kx2 

Obrácením vzorce tak máme řešení 

x = 

r 

2E 

k sin r 

k 

m t a p = √ 2mE cos 

r 

k 

m t 

představující harmonické kmity lineárního oscilátoru s frekvencí ω = p k/m a 

amplitudou A = p 2E/k. 

Příklad 5.26 Vyřešte pomocí Hamilton-Jacobiho principu volný pád hmotného bodu. 

Řešení: Hamiltonián částice je zřejmě roven 

H (x, p) = p2 

+ mgx = E, 

2m 

odtud dostaneme r 

m 

t = 

2 

Z x 

0 

dx 

√ E − mgx 

= −p 2mE − 2m 2 gx + √ 2mE 

mg


a obrácením vzorce máme řešení 

x = 

r 

2E 

m t − 1 2 gt2 a p = √ 2mE − mgt 

představující svislý vrh s počáteční rychlostí v = p 2E/m avýškouvrhuh = E/gm. 

5.4.12 Rovnice paprsku 

Rovnici paprsku v nehomogenním prostředí s indexem lomu n (r) najdeme z Fermatova 

principu δL = δ R ndl =0, kde l je geometrická a L optická dráha paprsku. 

Abychom mohli použít Eulerovu rovnici, upravíme integrál L = R ndl vložením 

výrazu √ r 0 · r 0 =1,kder 0 =dr/dl představuje jednotkový tečný vektor ve směru 

paprsku. Máme tedy variační problém 

Z 

δL = δ n (r) √ r 0 · r 0 dl =0. 

Eulerova rovnice pak dává rovnici paprsku 

d 

dl 

nr 

√ 0 

r0 · r − ∂n √ 

r0 · r 0 ∂r 

0 = 0. 

Vzhledem ke skutečnosti, že √ r 0 · r 0 = 1, rovnice se dále zjednoduší a nakonec 

dostaneme rovnici paprsku ve tvaru 

µ 

d 

n dr 

= ∂n 

dl dl ∂r . (5.26) 

Například v homogenním prostředí je n =konst, takže rovnicí paprsku je přímka 

d 2 r/dl 2 = 0. 

5.4.13 Eikonálová rovnice 

Hamilton definoval eikonálovou funkci jako funkci konečné polohy r paprsku 

vztahem 

Variace eikonálu je tudíž rovna 

δL = δ 

Z r 

0 

n √ r 0 · r 0 dl = 

L (r) = 

Z r 

0 

· 

n dr 

dl · δr¸r 

0 

+ 

ndl. 

Z r 

a vzhledem k rovnici paprsku (5.26) máme výsledek 

0 

δL = n dr 

dl · δr. 

·∂n 

∂r − d µ 

dl 

n dr 

dl 

¸ 

· δrdl


Odtud je zřejmé, že musí platit 

∂L 

∂r = ndr dl , 

tj. gradient eikonálové funkce má směr paprsku r 0 =dr/dl a velikost rovnu indexu 

lomu n. Hamilton proto správně interpretuje místa stejného eikonálu L (r) =konst 

jako vlnoplochu, k níž jsou paprsky vždy kolmé. Umocněním poslední rovnice konečně 

dostanemeeikonálovou rovnici 

µ ∂L 

∂r 

2 

= 

µ ∂L 

∂x 

2 

+ 

µ ∂L 

∂y 

2 

+ 

µ 2 ∂L 

= n 2 , 

∂z 

která plně definuje šíření světla v geometrické optice a která je optickou analogií 

Hamilton-Jacobiho rovnice v mechanice. 

5.4.14 Opticko-mechanická analogie 

Roku 1827 přisoudil William Rowan Hamilton účinkové funkci S význam vlnové 

funkce a poukázal tím na podobnost mezi rovnicemi mechaniky a optiky. 

Hamilton-Jacobiho rovnice představuje v tomto pojetí něco jako vlnovou rovnici 

pro S. Vlnoplochy mají podle Hamiltona v okamžiku t 0 rovnici S (q k ,t 0 )=konst, 

zatímco jednotlivé paprsky odpovídají možným trajektoriím q k (t) částic. Rovnici 

p k = ∂S/∂q k je pak možno geometricky interpretovat tak, že trajektorie, jejichž 

tečné vektory jsou dány směry vektorů zobecněných hybností p k , protínají vlnoplochy 

vždykolmo.Například bezčasová Hamilton-Jacobiho rovnice pro částici v 

potenciálovém poli 

µ 2 ∂W 

+ 

∂x 

µ 2 ∂W 

+ 

∂y 

µ 2 ∂W 

=2m (E − U) 

∂z 

je zcela analogická eikonálové rovnici pro světlo. 

Najdeme ještě souvislost vlnové a geometrické optiky. Vyjdeme z Helmholtzovy 

rovnice 

∆u + n 2 k 2 u =0, 

která platí pro monochromatické vlnění v nehomogenním prostředí s indexem lomu 

n (r). Komplexní amplitudu vlnění 

u = Ae ikL 

vyjádříme pomocí reálné amplitudy A apřeškálované fáze L = φ/k. Po dosazení 

do Helmholtzovy rovnice dostaneme komplexní rovnici 

∆A +ikA∆L +2ik ∂A 

∂r · ∂L µ 2 ∂L 

∂r − k2 A + n 2 k 2 A =0. 

∂r


Srovnáním reálné a imaginární části odtud máme dvě reálné rovnice pro A a L 

µ 2 

1 ∆A ∂L 

k 2 A − + n 2 =0, A∆L +2 ∂A 

∂r 

∂r · ∂L 

∂r =0. 

Pro velká k =2π/λ, tj. pro krátké vlnové délky, přejde první rovnice v rovnici 

eikonálu 

µ 2 ∂L 

− + n 2 =0, 

∂r 

tj. v geometrickou optiku. Tak roku 1827 William Rowan Hamilton dokázal, že 

mechanika i optika se řídí stejnými rovnicemi a že geometrická optika je speciálním 

případem optiky vlnové pro krátké vlnové délky. 

5.4.15 Schrödingerova rovnice 

Roku 1924 přišel Louis de Broglie s hypotézou, podle níž mákaždá částice také 

vlnové vlastnosti. Vlnová délka částice o hybnosti p je podle de Broglieho rovna 

λ = h/p, kde h Planckova konstanta. Příslušný vlnový vektor pak je k =2π/λ = 

p/~, kde ~ = h/2π. Pokudsečástice pohybuje ve volném prostoru, odpovídá jí 

rovinná vlna u = Ae ik·r , která splňuje Helmholtzovu rovnici 

∆u + k 2 u =0. 

Pokud se však částice pohybuje v konzervativním poli U, pakprojejíhybnosta 

vlnový vektor platí 

p 2 =2m (E − U) a k 2 = 2m (E − U) . 

~ 

2 

Dosadíme-li za k 2 do Helmholtzovy rovnice, dostaneme slavnou Schrödingerovu 

rovnici 

∆u + 2m (E − U) u =0. 

~ 

2 

Tuto rovnici sestavil roku 1924 Erwin Schrödinger. Rovnice popisuje kvantové 

objekty a jde o vůbec první rovnici kvantové mechaniky. Pomocí Schrödingerovy 

rovnice je možno vypočítat například spektrum atomu vodíku a prostorový tvar 

elektronových orbitalů.

Kapitola 6 

Úvod do astronomie 

6.1 Hvězdy a obloha 

6.1.1 Astronomie a astrologie 

Těžko se najde člověk, který by si nevšiml, že se Slunce a Měsíc po obloze pohybují 

apečlivější pozorovatel zjistí, že se pohybují i hvězdy. Vším, co se děje a hýbe 

na obloze, tj. za hranicemi zemské atmosféry, se zabývá astronomie. Zpočátku 

astronomie jevy na obloze pouze sledovala, později je začala úspěšně předvídat a v 

posledních staletích se astronomii daří jevy na obloze pochopit a vysvětlit. 

Lidé si odedávna všímali pravidelných pohybů Slunce, Měsíce, hvězd a planet po 

obloze. Protože věřili, že jejich pohyby mají vliv na osudy lidí a dění na zemi vůbec, 

chtěli je blíže poznat a pochopit. Měřením a výpočtem poloh nebeských těles se 

zabývá astronomie. Nevědeckým výkladem vlivu planet na dění na zemi se zabývá 

astrologie. Dnestěžko najdeme astronoma, který by ještě věřil na nebeská znamení, 

ale dříve byl každý astronom zároveň astrologem a fakticky se živil sestavováním 

a výkladem horoskopů. Proslulým astrologem byl i zakladatel moderní astronomie 

Johannes Kepler. 

6.1.2 Hvězdy a planety 

Hvězdy se pohybují s celou oblohou, ale nepohybují se vůči sobě navzájem, proto 

se jim říká také stálice. Pro lepší orientaci byly hvězdy na obloze seskupeny do 

souhvězdí. Tato seskupení byla vytvořena víceméně náhodněanemajížádný racionální 

základ. Různé kultury vytvořily pochopitelně různá souhvězdí, a proto se 

astrologie evropská liší například od astrologie mayské nebo čínské. I když původ 

našich souhvězdí spatřujeme v babylónské astronomii (kolem roku 2500 př. n. l.), 

současné názvy souhvězdí jsou spojeny s řeckou mytologií. 

V následujících kapitolách se budeme zabývat především stálicemi. Přesto si 

hned řekněme, že kromě stálic se na obloze nachází i několik putujících hvězd. Tyto 

hvězdy putují nerovnoměrně, ale pravidelně, mezi obyčejnými hvězdami na obloze 

251

252 KAPITOLA 6. ÚVOD DO ASTRONOMIE 

asoučasně přitom výrazně mění svůj jas. Nazývají se planety, česky oběžnice. 

Kromě nepřehlédnutelného Slunce a Měsíce, které dnes mezi planety už neřadíme, 

to jsou Merkur, Venuše, Mars, Jupiter a Saturn. Dohromady to je sedm planet, 

které jsou viditelné pouhým okem a které jsou známy již od úsvitu dějin. Od starověku 

budily úžas a strach svým dlouhým ohonem také vlasatice neboli komety, 

kterésenečekaně objevovaly a zase mizely z oblohy. 

Teprve za použití dalekohledu, který je znám až od sedmnáctého století, byly 

objeveny další objekty sluneční soustavy, které není možno pozorovat neozbrojeným 

okem. Tak byly objeveny postupně vzdálené planety Uran, Neptun a Pluto, 

měsíce Jupitera, prstenec Saturna, planetky mezi Marsem a Jupiterem. Pokud má 

planeta své souputníky, podobně jakoZeměmásvůj Měsíc, nazýváme je obecně 

satelity, česky měsíce nebo družice. Pomocíkosmickýchsondbylynakoncidvacátého 

století objeveny desítky dalších měsíců a také prstence ostatních vnějších 

planet. V devatenáctém a dvacátém století byly objeveny ještě vzdálenější vesmírné 

objekty, jako jsou mlhoviny, hvězdokupy, galaxie, kvazary, reliktní záření, 

neutronové hvězdy, černé díry aj. 

6.1.3 Nebeská sféra 

Od nepaměti lidem připadalo, že obloha má tvar klenby, která se dotýká země 

na vzdáleném obzoru. Zvláště zaoblačného dne připomíná obloha jakousi nízkou 

pokličku. To je způsobeno tím, že mraky plují jen několik set metrů nad zemí, 

zatímco obzor se táhne desítky kilometrů do dálky. Zato v noci se zdá, že hvězdná 

obloha má sférický tvar, nebo t , výška hvězd se jeví stejná jako vzdálenost obzoru. 

Starověcí astronomové se proto oprávněně domnívali, že hvězdná obloha má 

sférický tvar a že obloha se i s hvězdami, Sluncem a Měsícem otáčí kolem nehybné 

země. Dnes víme, že hvězdy neleží na žádné nebeské sféře, ale že jsou nepravidelně 

rozesety po celém vesmíru, a zdání toho, že se nebeská sféra otáčí kolem Země, je 

způsobeno rotací Země samé. 

Polohy a vzdálenosti hvězd na obloze se měří 

v úhlech. 

Hvězdy se tedy zdají ležet na vnitřní straně pomyslnésféricképlochy.Tutoplochu 

nazýváme nebeskou sférou. Objekty na obloze jsou velice vzdálené. Nejbližší 

hvězdy jsou například 10 10 zemských poloměrů daleko. Směr vybrané hvězdy na 

obloze je díky tomu pro různé pozorovatele na Zemi prakticky stejný a místo pozorovatele 

kdekoliv na zemi lze považovat bezpečně zastřed nebeské sféry. To další 

úvahy značně zjednodušuje.

6.1. HVĚZDYAOBLOHA 253 

6.1.4 Měření na sféře 

Pozorovatel na Zemi nevnímá vzdálenost objektu na obloze a často má dokonce 

zkreslenou představu o jeho vzdálenosti. Jen si zkuste odhadnout vzdálenost mraku, 

hvězdy nebo Měsíce. Proto jediné, co může pozemský pozorovatel objektivně vnímat 

a měřit, je průmět objektu na nebeskou sféru. Polohy a vzdálenosti nebeských 

těles proto určujeme pomocí úhlů. Pro úhlové vzdálenosti a úhly na sféře platí 

známé poučky sférické trigonometrie. 

Základní směr, který může pozorovatel definovat, je vertikální směr.Zdefinice 

je určen směrem působení zemské tíže a určujeme jej například pomocí olovnice. 

Vertikální směr protíná oblohu nad naší hlavou v zenitu (česky nadhlavníku) 

a dole pod našima nohama v nadiru (podhlavníku). Rovina kolmá k vertikále 

představuje horizontální rovinu a horizontální rovina procházející místem pozorovatele 

protíná oblohu v kružnici zvané obzorník nebo horizont.Pojemobzor pak 

představuje reálné rozhraní nebe a pozemské krajiny, sleduje obrysy kopců, budov, 

stromů atd. Obzor tedy vymezuje pozorování přístupnou část oblohy. 

Výška h a zenitová vzdálenost z hvězdy. 

Polohu objektu na obloze můžeme určit jeho vzdáleností od obzoru nebo od 

zenitu. Výškou h se rozumí úhel mezi horizontem a objektem. Výška hvězdy u 

obzoru je rovna nule, zatímco výška hvězdy u zenitu je 90 ◦ . Zenitová vzdálenost 

z je zase úhlová vzdálenost hvězdy a zenitu, nabývá rovněž hodnot 0 ◦ až 90 ◦ a 

platí jednoduchý přepočet 

z =90 ◦ −h. 

Kružnice bodů stejně vzdálených od zenitu, případně od obzoru, se nazývá almukantarát. 

6.1.5 Hvězdy na obloze 

Na obloze je možno za dobrých atmosférických podmínek a dostatečně dalekood 

pouličního osvětlení spatřit najednou asi dva ažtři tisíce hvězd. Na celé obloze, tedy 

včetně odvrácenéstrany,jemožno pouhým okem napočítat asi šest tisíc hvězd. Za 

použití dalekohledu však počet hvězd na obloze vzroste na miliardy! 

Opakovaným pohledem na oblohu se můžeme ujistit, že vzájemné polohy hvězd 

se nemění a že skutečně tvoří souhvězdí. Většinu souhvězdí poznáme podle obrazce 

jejich nejjasnějších hvězd. Celá obloha je rozdělena na 88 částí odpovídajících 

jednotlivým souhvězdím. Jejich názvy pocházejí převážně zestarověku, jen názvy


souhvězdí ležících poblížjižního pólu, které byly antickým astronomům nedostupné, 

pocházejí z počátku novověku. 

Na obloze jsou pouze dva body, severní a jižní nebeský pól, které se nepohybují 

akolemnichž všechny hvězdy krouží. Oba póly definují nebeskou osu, která 

prochází místem pozorovatele. Severní nebeský pól P S se nachází poblíž hvězdy 

Polárky a jižní nebeský pól P J se nachází poblíž Jižního kříže. Hvězdy se kolem 

severního pólu otáčejí proti směru hodinových ručiček a kolem jižního pólu ve směru 

hodinových ručiček. 

Pohled na severní noční oblohu. Všechny 

hvězdy krouží kolem severního nebeského pólu 

P S,uněhož senacházínejjasnější hvězda souhvězdí 

Malé medvědice — Polárka. 

Vertikální rovina procházející oběma nebeskými póly se nazývá rovinou místního 

poledníku. Na obloze tato rovina vytkne místní poledník neboli meridián. 

Místo, ve kterém rovina místního poledníku protne obzor, se nazývá severní bod, 

případně jižní bod.Vesměrech kolmých bychom pak nalezli západní a východní 

bod. Běžné zeměpisné směry sever, jih, východ a západ závisí na aktuálním 

místě pozorovatele na zemském glóbu. Rovina kolmá k nebeské ose protíná oblohu 

v nebeském rovníku. Pojmy zeměpisný rovník a zeměpisný pól jsou odvozeny z 

pojmů nebeský rovník a nebeský pól a jsou skutečně jejichprůmětem na zemský 

povrch. 

Nebeská osa a nebeský rovník jsou prodloužením 

zemské osy a zemského rovníku. 

Souhvězdí nacházející se poblíž severního pólu (Velký vůz,Malývůz, Kasiopeja) 

nikdy nezapadají za obzor, říkáme jim proto cirkumpolární souhvězdí, česky 

obtočnová souhvězdí. Ostatní souhvězdí vycházejí a zapadají, nad obzorem jsou 

jen po část noci. Nazývají se podle ročního období, ve kterém jsou pozorovatelné 

na večerní obloze. Například souhvězdí Orión je večer nejlépe vidět v zimě, patří 

proto mezi zimní souhvězdí. Podobně, mezi jarní souhvězdí patří souhvězdí Lva 

a Panny, mezi letní souhvězdí Labu t, , Orel a Lyra, mezi podzimní souhvězdí 

Pegas a Andromeda a mezi zimní souhvězdí již zmíněný Orión a dále Býk nebo 

Blíženci. 

Cirkumpolární hvězdy opisují na obloze soustředné kružnice kolem nebeského


pólu. Ostatní hvězdy na východním obzoru vycházejí, na místním poledníku kulminují 

a na západním obzoru zase zapadají pod obzor, podobně jako to činí Slunce 

nebo Měsíc. 

Poloha vertikály PN a nebeské osy PP S definuje 

místní poledník (meridián), severní S a 

jižní bod J a zeměpisnou šířku φ. 

Výška severního nebeského pólu nad obzorem definuje zeměpisnou šířku φ 

bez ohledu na tvar Země. Protože výška Polárky na naší obloze je rovna h ≈ 50 ◦ , 

leží Olomouc zhruba na 50 ◦ severní zeměpisné šířky. Na severním pólu bychom měli 

Polárku přímo nad hlavou a na rovníku bychom ji zase pozorovali na horizontu. Na 

severním pólu je Polárka přesně v zenitu, pojmy jako sever, jih, východ a západ zde 

ztrácejí smysl. A t , se vydáme kamkoliv, vždy to bude k jihu. Na rovníku je naopak 

Polárka přesně na severním obzoru. 

6.1.6 Rotace oblohy 

Pohyb hvězd na obloze je velmi jednoduchý, všechny hvězdy se otáčejí společně s 

celou oblohou kolem nebeské osy. Hvězdnáoblohavykonájednuotočku za jeden 

hvězdný den trvající T H ≈ 23 h 56 m 4.09 s neboli 23. 934 469 h .Hvězdný den je tedy 

asi o čtyři minuty kratší než střední sluneční den trvající dvacetčtyři hodin. Délku 

hvězdného dne můžeme změřit třeba tak, že si vybereme určitou hvězdu a určíme 

dobu mezi jejími dvěmaposobě jdoucími kulminacemi. Rotace oblohy je přitom 

velmi rovnoměrná. Že je délka hvězdného dne stálá s přesností lepší než jednasekunda, 

prokázal již roku 1678 John Flamsteed studiem pohybu Síria, nejjasnější 

hvězdy naší oblohy. Skutečná rovnoměrnost rotace hvězdné oblohy je ještě otři 

řády lepší. Hvězdný den by proto byl ideální jednotkou času. Protože však rytmus 

našeho života určuje Slunce, používáme za jednotku času asi o čtyři minuty delší 

sluneční den, jehoždélkasevšakbohužel během roku mění, což měření času 

komplikuje. 

Astronomický den 

sluneční den 24 h 86 400 s 

hvězdný den 23. 934 469 h 23 h 56 m 4.09 s 

siderický den 23. 934 472 h 23 h 56 m 4.10 s 

Všechny hvězdynaoblozeseotáčejí stejně rychle.Ztohojemožno soudit, že 

bu dleží , všechny hvězdy na společné sféře nebo naopak, kolem své osy rotuje sama 

Země. Zpočátku se zdála pravděpodobnější první teorie. Všechny hvězdy podle ní 

ležely na nejvzdálenější křiš tálové , sféře, která zároveň znamenala hranici celého 

kosmu. Teprve později se ukázalo, že správná je druhá teorie, podle níž seotáčí 

Země ahvězdy jsou rozesety nepravidelně po celém vesmíru. Denní pohyb hvězd


na obloze od východu na západ je tedy jen důsledkem rotace Země kolem osy od 

západu k východu. 

Odhlédneme-li od denního pohybu oblohy, pak se hvězdy na obloze téměř nepohybují, 

věrny svému jménu — stálice. Budeme-li však velmi pečlivými pozorovateli, 

několik malých pohybů hvězd přece jen zaznamenáme. Kromě vlastního pohybu 

hvězd (u Barnardovy šipky asi 10 00 za rok, ale u okem viditelných hvězd méně 

než 0.1 00 za rok) musí astronom počítat především s astronomickou refrakcí paprsků 

vatmosféře (u obzoru až 35 0 ), s precesí zemské osy (50 00 za rok), s roční 

aberací světla (asi 20 00 ), s nutací zemské osy (asi 9 00 )asroční paralaxou 

hvězd (méně než 1 00 ).Pouhýmokemjeztěchto pohybů patrná pouze atmosférická 

refrakce,ostatnípohybybylyobjevenyaž za pomoci výkonných dalekohledů afotografických 

technik. 

6.1.7 Obzorníkové souřadnice 

Polohu hvězd na sféře popisujeme sférickými souřadnicemi. Nejpřirozenějšími souřadnicemi 

pro pozemského pozorovatele jsou obzorníkové souřadnice (A, h). 

Polohu bodu na obloze určuje jeho výška a azimut. 

Obzorníkové souřadnice: azimut A avýškah 

hvězdy. Body SV JZ na obzoru představují sever, 

východ, jih a západ. 

Výšku h hvězdy měříme od horizontu směrem k zenitu po výškové kružnici, 

nabývá tedy hodnot od −90 ◦ do +90 ◦ .Výškahvězdy u obzoru je rovna nule, výška 

hvězdy u zenitu je nejvyšší, tj. h =90 ◦ .Hvězdy nacházející se pod obzorem mají 

výšku zápornou a nemohou být vidět. Druhou souřadnicí je azimut A, tenměříme 

podél obzorníku od místního poledníku (tj. od jižního bodu J) vesměru zdánlivého 

pohybu oblohy, tedy směrem na západ. Kulminující hvězda se nachází na místním 

poledníku, a má proto azimut A =0 ◦ . Směr západ má azimut A =90 ◦ , směr sever 

má azimut A =180 ◦ asměr východ má azimut A =270 ◦ . Astronomický azimut 

se tedy od zeměpisného azimutu liší právě o180 ◦ . 

6.1.8 Rovníkové souřadnice prvního druhu 

Protože se však obloha otáčí kolem nebeské osy a ne kolem vertikální osy, je vhodné 

zavést vedle obzorníkových souřadnic také rovníkové souřadnice. Jsou jimi deklinace 

a hodinový úhel. Rovníkové souřadnice (t, δ) určují polohu bodu na obloze 

vzhledem k nebeskému rovníku. Deklinaci δ měříme od nebeského rovníku po deklinační 

kružnici směrem k severnímu nebeskému pólu kladně asměrem k jižnímu 

nebeskému pólu záporně. Hodinový úhel t měříme podél nebeského rovníku od


místního poledníku směrem na západ, tedy ve směru zdánlivého pohybu oblohy. 

Deklinaci měříme ve stupních, ale hodinový úhel měříme zpravidla v hodinách. Poznamenejme 

proto, že 24 h odpovídá 360 ◦ , 12 h odpovídá 180 ◦ a 1 h odpovídá 15 ◦ . 

Naopak, 1 ◦ odpovídají 4 m a 1 0 odpovídají 4 s . 

Rovníkové souřadnice: hodinový úhel t, rektascenze 

α a deklinace δ. Jarní bod představuje 

bod označený symbolem g. 

6.1.9 Hodinový úhel a rotace oblohy 

Zatímco při otáčení nebeské sféry se vzdálenost hvězdy od rovníku nemění δ = 

konst, její hodinový úhel t roste rovnoměrně s plynoucím časem τ. Toho se využívá 

kdefinici hvězdného času, jak za chvíli uvidíme. Za čas τ se hodinový úhel libovolné 

hvězdy změní o úhel 

t − t 0 = Ω H τ = 2π τ, 

T H 

a pokud budeme měřit hodinový úhel v hodinách, pak platí 

kde 

t − t 0 = kτ, 

k = T S /T H ≈ 1. 002 737 909. 

Zde T H ≈ 23. 934 469 h představuje hvězdný den a T S =24 h představuje sluneční 

den. 

6.1.10 Hvězdný čas 

Při otáčení oblohy roste hodinový úhel všech hvězd stejně. Je proto přirozené definovat 

novou soustavu souřadnic spojenou s rotující oblohou. Takto definované 

souřadnice hvězd by již byly v čase neměnné. Historicky nebyla za referenční bod 

vybrána žádná hvězda, ale jarní bod g, což je místo na obloze, ve kterém Slunce 

vždy první jarní den vystupuje nad nebeský rovník. Hodinový úhel jarního bodu 

se značí Θ anazývásehvězdný čas. 

Hvězdný čas je roven hodinovému úhlu jarního bodu. 

Právě poloha jarního bodu na obloze určuje hvězdný čas. Prochází-li jarní bod 

g meridiánem, je hvězdný čas právě rovennuleΘ =0. Za jeden hvězdný den se


obloha otočí právě jednou kolem osy, hvězdný čas proto bude opět roven nule. Za 

jeden sluneční den se však celá obloha pootočí o 360 ◦ k ≈ 360. 985 64 ◦ , tedy asi 

o jeden stupeň více, než činí plný úhel 360 ◦ .Každý další den se tedy jarní bod 

posune o 

Θ 1 ≈ 0.985 65 ◦ /den 

směrem na západ oproti střednímu Slunci, takže až po uplynutí celého roku se 

jarní bod a Slunce opět sejdou. Doba, za kterou se vrátí jarní bod na stejné místo 

vzhledem ke Slunci, se nazývá sluneční rok nebo tropický rok, který tudíž trvá 

T T = 360 ◦ 

Θ 1 

= 1d 

k − 1 ≈ 365. 242 20d . 

Během jednoho tropického roku se tedy celý cyklus vzájemného pohybu Slunce a 

jarního bodu uzavře.Sluncezatudobuoběhne oblohu 365. 242 20 krát, zatímco 

jarní bod a hvězdy oběhnou oblohu 366. 242 20 krát, takže udělají přesně o jednu 

otočku více než Slunce. 

Nomograf pro orientační určení hvězdného času. 

Pro orientační určení hvězdného času se může hodit jednoduchý nomograf. Z 

něj najdeme, že například 1. ledna v 9 h SEČ jeasi16 h hvězdného času nebo 10. 

června ve 12 h SEČ (tj.13 h SELČ) je asi 5 h hvězdného času. 

6.1.11 Hodinový úhel a zeměpisná délka 

Hodinový úhel hvězdy závisí také na zeměpisné délce pozorovatele. Pozorovatel, 

který se nachází od nás 15 ◦ na východ, bude mít ve stejném okamžiku oproti nám 

celou oblohu pootočenou o 15 ◦ západně a hodinový úhel stejné hvězdy bude mít 

přesně o hodinu větší než my. Obecně pak platí 

t − t 0 = λ − λ 0 ,


pokud zeměpisnou délku λ vyjádříme rovněž v hodinách. Této skutečnosti je možno 

využít k určování zeměpisné délky. Hvězdný čas závisí stejně jako hodinový úhel 

libovolné hvězdy na zeměpisné délce λ pozorovatele. Platí tedy 

Θ − Θ 0 = λ − λ 0 , 

pokud zeměpisnou délku vyjádříme v hodinách. 

Hodinový úhel t stejné hvězdy H závisí na zeměpisné 

délce pozorovatele. Zatímco na nultém 

poledníku je t =0, vmístě o zeměpisné 

délce λ je t = λ. 

6.1.12 Výpočet hvězdného času 

Abychom co nejvíce omezili výpočet s velkými čísly a minimalizovali numerickou 

chybu, používáme pro výpočet hvězdného času předpis 

kde 

Θ ≈ Θ 0 +UT+λ, (6.1) 

UT = SEČ − 1 h =SELČ − 2 h 

představuje světový čas, SEČ a SELČ středoevropský a letní čas, λ zeměpisnou 

délku pozorovatele a kde 

Θ 0 ≈ 6. 697 374 558 h +2400. 051 337 h T +0. 000 026 h T 2 

je hvězdný čas v 0 h světového času na greenwichském poledníku. Malý kvadratický 

člen napravo představuje opravu na sekulární zpomalování rotace Země. Konečně 

veličina 

T = 

JD − 2 451 545 

36 525 

představuje čas uběhlý od epochy J2000 1 měřený v juliánských staletích, jde tedy 

o relativně maléčíslo. Výsledek upravíme vždytak,abyležel v intervalu 0 až 24 

hodin. 

1 Epocha J2000 představuje okamžik1.1.2000ve12hodinsvětového času, odpovídající juliánské 

datum JD = 2 451 545.


6.1.13 Rovníkové souřadnice druhého druhu 

Protože se obloha otáčí vzhledem k místnímu poledníku, a tím se neustále mění 

hodinový úhel všech hvězd na obloze, zavádí se další rovníková souřadnice zvaná 

rektascenze 

α = Θ − t, 

která určuje polohu hvězdy na obloze vzhledem k jarnímu bodu g. Rektascenzi 

měříme v opačném směru než hodinový úhel, tedy od jarního bodu směrem na východ. 

Rektascenze a deklinace tvoří dohromady rovníkové souřadnice druhého 

druhu (α, δ). 

Rektascenze a deklinace stálic jsou v čase neměnné veličiny, a můžemejeproto 

nalézt v astronomických tabulkách. Tam bychom nalezli, že například hvězda Rigel 

(ze souhvězdí Orión)másouřadnice α ≈ 5 h 15 m a δ = −8 ◦ 12 0 nebo Polárka z Malé 

medvědice (Malý vůz) má souřadnice α ≈ 2 h 36 m a δ ≈ 89 ◦ 16 0 ,takže leží skutečně 

velmi blízko, jen 44 0 , od severního nebeského pólu. Všimněte si, že nejen hodinový 

úhel a hvězdný čas, ale i rektascenzi je zvykem zapisovat v časových jednotkách. 

Souřadnice jarního bodu jsou z definice rovny nule α =0, δ =0. 

6.1.14 Transformace rovníkových a obzorníkových souřadnic 

Rovníkové a obzorníkové souřadnice je možno vzájemně přepočítat. Zavedeme pomocnou 

kartézskou soustavu souřadnic xyz tak, že osa z směřuje k zenitu, osa x k 

jižnímu bodu a osa y k západnímu bodu. Protože (A, h) jsou sférické souřadnice, 

platí 

x =cosh cos A, y =cosh sin A, z =sinh. 

Podobně zavedeme pomocnou souřadnou soustavu x 0 y 0 z 0 sosouz 0 směřující k severnímu 

nebeskému pólu, osou x 0 směřující k meridiánu a osou y 0 = y směřující k 

západnímu bodu. Pro rovníkové souřadnice (t, δ) platí podobně 

x 0 =cosδ cos t, y 0 =cosδ sin t, z 0 =sinδ. 

Zároveň jezřejmé, že čárkovanou soustavu os dostaneme pootočením nečárkované 

soustavy kolem osy y o sklon rovníku 90 ◦ −φ, takže platí 

x = x 0 sin φ − z 0 cos φ, y = y 0 , z = x 0 cos φ + z 0 sin φ. 

Pokud sem dosadíme za x, y, z a x 0 ,y 0 ,z 0 , dostaneme hledané transformační vztahy 

cos h cos A = − sin δ cos φ +cosδ cos t sin φ, 

cos h sin A = cosδ sin t, (6.2) 

sin h = sinδ sin φ +cosδ cos t cos φ. 

Protože −90 ◦ ≤ h ≤ 90 ◦ , stačí jediný vzorec pro určení výšky h. Pro výpočet 

azimutu A se ale uvádějí oba dva vzorce, jeden pro cos A a druhý pro sin A, protože 

z jediného vzorce bychom nemohli určit azimut A jednoznačně.


Ilustrace k zavedení kartézských souřadnic xyz 

a x 0 y 0 z 0 . 

Obráceně dostanemečárkovanou soustavu pootočením nečárkované soustavy o 

opačný úhel − (φ − 90 ◦ ) , a platí tedy 

x 0 = x sin φ + z cos φ, y 0 = y, z 0 = −x cos φ + z sin φ. 

Po dosazení odtud dostaneme inverzní transformační vztahy 

cos δ cos t = sinh cos φ +cosh cos A sin φ, 

cos δ sin t = cosh sin A, (6.3) 

sin δ = sinh sin φ − cos h cos A cos φ. 

Protože −90 ◦ ≤ δ ≤ 90 ◦ , stačí opět jediný vzorec pro deklinaci δ, ale pro výpočet 

hodinového úhlu potřebujeme oba dva vzorce. Pokud bychom chtěli přepočítat 

navzájem rovníkové souřadnice prvního (t, δ) a druhého druhu (α, δ), použijeme 

vzorec 

α = Θ − t nebo t = Θ − α. 

Přepočet ale vyžaduje znalost hvězdného času Θ. 

Nautický trojúhelník NP S H určuje vztah 

mezi obzorníkovými a rovníkovými souřadnicemi. 

6.1.15 Nautický trojúhelník 

Rovníkové a obzorníkové souřadnice lze vzájemně přepočítat také pomocí vzorců 

sférické trigonometrie. Jak plyne z obrázku, lze každé hvězdě H přiřadit nautický 

trojúhelník, tj. sférický trojúhelník NP S H,jehožvrcholytvoří nadhlavník N, 

severní nebeský pól P S ahvězda H. Strany a úhly nautického trojúhelníka vyjádříme 

pomocí obzorníkových a rovníkových souřadnic. Dostaneme tak trojúhelník se 

stranami a úhly, které jsou patrné z obrázku dole. Pomocí sínové, kosínové a sínuskosínové 

věty dostaneme opět výše uvedené transformační vztahy (6.2) a (6.3).


Strany a úhly nautického trojúhelníka NP S H 

jsou dány obzorníkovými a rovníkovými souřadnicemi 

hvězdy H. 

6.1.16 Kulminace hvězdy 

Okamžik kulminace (česky vrcholení) hvězdy je okamžik průchodu hvězdy místním 

poledníkem. V tom okamžiku je jak azimut, tak i hodinový úhel hvězdy roven 

nule. Pro okamžik horní kulminace hvězdy platí t =0, takže 

Říkáme, že 

Θ = α. 

hvězdný čas je roven rektascenzi právě kulminující hvězdy. 

Výška hvězdy při horní kulminaci nad obzorem je podle (6.2) rovna 

h = δ +(90 ◦ −φ) . 

Pokud naopak známe zeměpisnou šířku, je možno určit deklinaci libovolné hvězdy 

z výšky její kulminace. Pro deklinaci hvězdy platí 

δ = h − (90 ◦ −φ) , 

kde h je výška hvězdy při kulminaci. Pro A =180 ◦ a t =12 h dostáváme dolní 

kulminaci, 

h 0 = δ − (90 ◦ −φ) , 

která však pro δ +φ < 90 ◦ nastane až pod obzorem (spodní kulminace), takže není 

přístupná pozorování. 

Horní a dolní kulminace hvězdy při průchodu 

hvězdy místním poledníkem. 

Pokud naopak platí φ + δ > 90 ◦ , jde o cirkumpolární hvězdu, kteráje 

viditelná po celou noc. Pro naši zeměpisnou šířkujsouvšechnyhvězdy s deklinací 

větší než 40 ◦ cirkumpolární. V případě takové hvězdy mohou být pozorovány obě 

její kulminace. Horní kulminaci cirkumpolární hvězdy odpovídá výška h 2 = φ +


(90 ◦ −δ) ahodinovýúhelt =0 h , zatímco dolní kulminaci odpovídá výška h 1 = 

φ − (90 ◦ −δ) a hodinový úhel t =12 h . Sečtením obou rovnic pro výšky dostaneme 

vzorec pro zeměpisnou šířku pozorovacího místa z výšek obou kulminací 

φ = 1 2 (h 1 + h 2 ) . 

Vzorec se hodí k přesnému určování zeměpisné šířky a používá se v navigaci. Odečtením 

obou rovnic dostaneme h 2 − h 1 =2(90 ◦ −δ) , aodtud 

δ =90 ◦ − 1 2 (h 2 − h 1 ) . 

Tentovzorecsezasehodíkurčování deklinace neznámých cirkumpolárních objektů 

na obloze. 

Horní H 2 adolníH 1 kulminace cirkumpolární 

hvězdy. 

6.1.17 Východ a západ hvězdy 

Okamžik východu hvězdy nad obzor a západu hvězdy pod obzor najdeme z podmínky 

h =0. V tom okamžiku je hvězda právě na obzoru. Předpokládejme, že 

rovníkové souřadnice hvězdy jsou známy a jsou (α, δ) . Pomocí třetí z rovnic (6.2) 

dostaneme 

sin δ sin φ +cosδ cos t 0 cos φ =0. 

Odtud je hodinový úhel ±t 0 pro východ a západ hvězdy dán rovnicí 

cos t 0 = − tg δ tg φ. (6.4) 

Vzhledem k definici hvězdného času je okamžik východu hvězdy určen podmínkou 

Θ 1 = α − t 0 aokamžik západu hvězdy podmínkou Θ 2 = α + t 0 . Hvězda tedy setrvá 

na obloze 2t 0 hvězdného času a 2t 0 /k slunečního času. 

Východ, kulminace a západ hvězdy na obloze.


Vpřípadě, že φ + δ > 90 ◦ nebo φ + δ < −90 ◦ , žádný okamžik východu ani 

západu hvězdy nedostaneme, nebo t , problém vede na rovnici |cos t 0 | > 1, která 

nemá reálné řešení. První případ odpovídá cirkumpolární hvězdě useverníhopólu, 

která nikdy nezapadne, druhý případ odpovídá cirkumpolární hvězdě ujižního 

pólu, která nikdy nevystoupí nad obzor. Pro hvězdu ležící na nebeském rovníku je 

δ =0, aprotot 0 = ±90 ◦ = ±6 h . Taková hvězda vychází vždy přesně na východě, 

zapadá přesně nazápadě a na naší obloze setrvá přesně 12 hodin hvězdného času 

neboli 12/k ≈ 11 h 58 m slunečního času. 

Příklad 6.1 Jakdlouhosetrvánanašíobloze(Olomoucφ ≈ 49.6 ◦ , λ ≈ 17.3 ◦ )hvězda Rigel? 

Její rovníkové souřadnice jsou α ≈ 5 h 15 m a δ = −8 ◦ 12 0 . 

Řešení: Východ, kulminace a západ hvězdy se během roku posouvají do stále pozdějších hodin, 

jak plyne hvězdný čas. Doba setrvání hvězdy na obloze je však každý den stejná. Z rovnice 

(6.4) dostaneme t 0 ≈ 5. 383 h hvězdného času, tj. 5. 368 h slunečního času. Hvězda Rigel setrvá 

na obloze 2t 0/k ≈ 10 h 44 m . 

Příklad 6.2 Najděte hvězdný čas pro pozorovatele v Olomouci (φ ≈ 49.6 ◦ , λ ≈ 17.3 ◦ )dne 

1.1.2003 ve 22 hodin. 

Řešení: Odpovídajícísvětový čas je UT = 21 h , Juliánské datum je JD = 2452641.375, a 

proto T ≈ 3. 001 711 × 10 −2 . Dále Θ 0 ≈ 6. 739 983 h a λ = 1. 153 333 h , takže podle (6.1) je 

hledaný hvězdný čas roven Θ ≈ 4. 893 317 h =4 h 53 m 36 s . 

Příklad 6.3 Najděte obzorníkové souřadnice hvězdy Rigel dne 1.1.2003 ve 22 hodin. Hvězda 

Rigel má rovníkové souřadnice α ≈ 5 h 15 m a δ = −8 ◦ 12 0 . Předpokládejme opět pozorovatele 

v Olomouci, tj. φ ≈ 49.6 ◦ , λ ≈ 17.3 ◦ . 

Řešení: Protože zadání je stejné jako u předchozí úlohy, můžeme výsledky převzít. Hodinový 

úhel hvězdy je t = Θ − α ≈ 23 h 39 m . Podle vzorců (6.2) pak dostaneme pro obzorníkové 

souřadnice h ≈ 32 ◦ 1 0 ,A≈ 173 ◦ 45 0 . Všimněte si, že hvězda je blízko kulminace, protože 

její výška se blíží h =90 ◦ −φ + δ ≈ 32 ◦ 12 0 . 

Příklad 6.4 Najděte přesný okamžik horní kulminace hvězdy Rigel dne 1.1.2003. Hvězda má 

rovníkové souřadnice α ≈ 5 h 15 m a δ = −8 ◦ 12 0 . Předpokládejme opět pozorovatele v Olomouci, 

tj. φ ≈ 49.6 ◦ , λ ≈ 17.3 ◦ . 

Řešení: Hvězda kulminuje v okamžiku, kdy je její hodinový úhel roven nule. V tom okamžiku 

platí Θ = α ≈ 5 h 15 m . Ve 13 hodin (poledne světového času) dne 1.1.2003 je přitom JD = 

2452641 a T =3. 000 684 × 10 −2 , takže Θ 13 ≈ 19. 868 675 h . Protože však platí 

Θ − Θ 13 = k (τ − 13) , 

kde Θ = α, dostaneme odtud pásmový čas kulminace Rigelu τ ≈ 22 h 21 m . 

6.2 Slunce na obloze 

6.2.1 Slunce na obloze 

Pohyb Slunce a Měsícenaoblozejenápadnější nežpohybhvězd. Slunce určuje den 

anoc,osvětlujeadáváenergiivšemuživému.Doba,kdyjeSluncenadobzorem,se 

nazývá den,hvězdy i planety sice stále na obloze jsou, ale nejsou vidět, protože jsou 

přezářeny slunečními paprsky rozptýlenými v atmosféře. Na Měsíci, který nemá 

atmosféru, je možno hvězdy pozorovat i přes den.

6.2. SLUNCE NA OBLOZE 265 

Zatímco hvězda každou noc kulminuje ve stejné výšce a setrvá na obloze vždy 

stejnou dobu, Slunce, Měsíc a planety nikoli. Jak si jistě každýpovšiml,vystoupív 

létě Slunce na oblohu mnohem výše než vzimě. V létě u nás vystoupí Slunce až do 

výše 63.5 ◦ nad obzor, v zimě nejvýše 16.5 ◦ . Protože se poloha Slunce na obloze 

mění, není sluneční den stále stejně dlouhý.Vlétějedenmnohemdelší,trváaž 

16 hodin, než noc, která trvá jen 8 hodin. V zimě jetomunaopak.Vlétějetedy 

mnohem tepleji než vzimě, protože Slunce svítí kolměji a navíc, den je delší. 

PohybSluncenaoblozeběhem roku. Mění se 

jak poloha východu a západu Slunce, tak i 

výška,dokteréSluncevpolednevystoupí. 

Slunce vychází přibližně navýchodě, v poledne kulminuje přesně najihuavečer 

zapadá přibližně nazápadě. Celý koloběh Slunce na obloze se opakuje jednou za 

rok, který trvá přibližně 365 dní. Střídání ročních období má velký vliv na život 

lidí a přírody. Proto byl také pohyb Slunce po obloze od nepaměti sledován a 

zkoumán. Zjistilo se, že také místo východu Slunce na obzoru cestuje, nejvíce na 

východě vychází Slunce v létě, v den letního slunovratu. Naopak nejvíce na 

západě Slunce vychází v zimě, v den zimního slunovratu. Jen dvakrát za rok, v 

den jarní a podzimní rovnodennosti, vychází Slunce přesně na východě. 

DráhaSluncenaoblozeběhem roku. Místo východu 

a západu Slunce v zimě (V Z,Z Z), vlétě 

(V L,Z L), najařeanapodzim(V,Z). 

Cesta Slunce po obloze závisí podstatně nazeměpisné šířce místa pozorovatele. 

Čím severněji, tím je Slunce níže nad obzorem, a tím větší je rozdíl mezi dnem a 

nocívlétěazimě. Za polárním kruhem se v zimě Slunce po mnoho dní vůbec 

nevyhoupne nad obzor, mluvíme pak o polární noci. Vlétě naopak Slunce nezapadá 

a mluvíme o polárním dni a půlnočním slunci. Na rovníku stoupá Slunce 

po celý rok téměř svisle, v poledne je vždy téměř v nadhlavníku a den trvá po celý 

rok přibližně stejně dlouho, tj. 12 hodin. V tropech se proto roční doby nepozorují. 

Pohyb Slunce na jižní polokouli je podobný pohybu Slunce na severní polokouli. 

Jediný rozdíl je v tom, že v poledne je tu Slunce na severu a ne na jihu. Slunce a 

Měsíc cestují po obloze rovněž od východu na západ, ale zprava doleva, tedy proti 

směru hodinových ručiček.


6.2.2 Ekliptika a zvěrokruh 

Slunce se vzhledem ke hvězdám pohybuje po kružnici zvané ekliptika. Zadense 

po ní Slunce vůči hvězdám posune o necelý obloukový stupeň na východ, takže po 

uplynutí celého slunečního roku se vrátí zpět na původní místo. Rovina, ve které 

se Slunce pohybuje (ve skutečnosti se pohybuje Země kolem Slunce), se nazývá rovinou 

ekliptiky. Kolmicekrovině ekliptiky protne oblohu v severním a jižním 

pólu ekliptiky. Průsečíky ekliptiky a nebeského rovníku se nazývají jarní bod 

g a podzimní bod f. Slunce vychází nad rovník v jarním bodu kolem 21. března 

a v podzimním bodu se kolem 23. září vrací zpět na jižní polokouli. 

Ekliptika je vůči nebeskému rovníku skloněna, deklinace Slunce proto během 

roku kolísá, tím se i mění výška kulminujícího Slunce 16.5 ◦


Váhy, Štír, Střelec, Kozoroh, Vodnář a Ryby. Souhvězdí Hadonoše se už dovýčtu 

znamení nedostalo. Slunce vstupuje do znamení Skopce 21.3., do znamení Býka 

20.4, do znamení Blíženců 21.5., do znamení Raka 22.6., do znamení Lva 23.7., 

do znamení Panny 23.8., do znamení Vah 23.9., do znamení Štíra 24.10., do znamení 

Střelce 22.11., do znamení Kozoroha 22.12., do znamení Vodnáře 20.1. a do 

znamení Ryb 19.2. 

Babylónská astrologie byla převzata nejen Řeky a Evropany, ale ve 3. stol. 

př. n. l. také Egyp tany , a přes Indii a Malajsii se dostala v 6. stol. až doČíny. 

Jména znamení se cestou přizpůsobila, takže egyptský zodiak sestává popořadě ze 

znamení kočky, psa, hada, brouka, osla, lva, berana, býka, sokola, opice, ibise a 

krokodýla, zatímco čínský ze znamení myši (krysy), krávy (vola), tygra (pantera), 

zajíce, draka (krokodýla), hada, koně, berana (kozy), opice, slepice (kohouta), psa 

avepře (kance). 

Původně znameníalespoňpřibližně odpovídala příslušným souhvězdím, ale v 

důsledku precese jarního bodu došlo za poslední dva a půl tisíce let k posunu 

znamení a příslušných souhvězdí o více než jedno celé znamení, tj. asi o 35 ◦ . Takže 

ikdyž Slunce vstupuje 21. března do znamení Skopce, nachází se ve skutečnosti 

teprve v jarním bodu, který nyní leží na samém počátku souhvězdí Ryb a do 

souhvězdí Skopce vstupuje Slunce až kolem 18. dubna. 

6.2.3 Výška Slunce a pravé poledne 

Totéž, co pro hvězdu, platí pochopitelně i pro Slunce. Rozdíl je však v tom, že 

Slunce se na obloze mezi hvězdami pohybuje po ekliptice, takže deklinace Slunce 

během roku kolísá v intervalu 

−ε < δ < ε, 

kde ε ≈ 23.5 ◦ . Proto se mění i výška Slunce na obloze v poledne, a to v intervalu 

což unás(φ ≈ 50 ◦ ) znamená, že 

90 ◦ −φ − ε


Polární kruhy jsou od pólů nejvzdálenější rovnoběžky, na nichž aspoň jeden den 

v roce Slunce nevyjde nad obzor, takže zde nastává polární noc. Zdefinice snadno 

najdeme, že zeměpisná šířka polárního kruhu je rovna 

φ = ± (90 ◦ −ε) ≈ ±66.5 ◦ . 

Poloha zemské osy vůči Slunci v den zimního 

slunovratu. Kolmo dopadající paprsky definují 

obratník Kozoroha a tečně dopadající paprsky 

definují severní polární kruh. 

6.2.4 Východ a západ Slunce 

Hodinový úhel Slunce v okamžiku východu nebo západu Slunce je dán rovnicí 

cos t 0 = − tg δ tg φ. 

Okamžik východu Slunce je τ 1 =12 h −t 0 aokamžik západu Slunce je τ 2 =12 h +t 0 . 

Pro Slunce v době letního slunovratu, kdy je δ = ε ≈ 23.5 ◦ , dostaneme t 0 ≈ 

8 h 4 m . Odtud je okamžik východu Slunce τ 1 ≈ 3 h 56 m aokamžik západu Slunce 

τ 2 ≈ 20 h 4 m . Den tedy v létě trváivícenež šestnáct hodin. Azimut vycházejícího 

a zapadajícího Slunce je přitom roven A ≈ ±128 ◦ . Naopak v zimě jeδ = −ε ≈ 

−23.5 ◦ aokamžik východu a západu Slunce je určen hodinovým úhlem t 0 ≈ ±4 h 4 m . 

Odtud je okamžik východu Slunce τ 1 ≈ 7 h 56 m aokamžik západu Slunce τ 2 ≈ 

16 h 4 m . Nejkratší zimní den tedy trvá jen kolem osmi hodin. Azimut vycházejícího 

a zapadajícího Slunce o zimním slunovratu je A ≈ ±52 ◦ . 

Ikdyž Slunce zapadne pod obzor, neudělá se hned tma. Pokud je Slunce nízko 

pod obzorem, je ještě dostatek světla, které bylo rozptýleno v atmosféře a mluvíme 

o soumraku. Pokud je Slunce pod obzorem do 6 ◦ , jde o občanský soumrak, 

pokud je Slunce pod obzorem do 12 ◦ , jde o nautický soumrak a pokud je Slunce 

pod obzorem do 18 ◦ , jde o astronomický soumrak. Vdobě letního slunovratu 

je o půlnoci Slunce jen 16.5 ◦ pod obzorem a astronomický soumrak tedy trvá po 

celou noc. Tyto malé české bílé noci trvají asi čtyřicet dní po sobě. 

Východ a západ slunce a soumrak během roku 

na padesáté rovnoběžce (Olomouc).


Okamžik východu a západu hvězdy, jak ho vidí pozemský pozorovatel, je ještě 

dále ovlivněn ohybem paprsků v atmosféře. Jev se nazývá astronomická refrakce 

a astronomové s ní musí při přesných pozorováních počítat. Pro malé zenitové 

vzdálenosti z platí pro astronomickou refrakci vzorec 

θ ≈ 58 00 tg z. 

Důsledkem ohybu paprskůvatmosféře je, že hvězda je vidět nad obzorem, i když 

ve skutečnosti je již dávnopodním.Refrakcejenejsilnější u obzoru, kdy je dráha 

paprsků atmosférou nejdelší a ohyb je tak velký (až kolem35 0 ), že je dokonce vidět 

celý slunečnídiskještě v okamžiku, kdy je již geometricky celé Slunce schováno 

podobzorem!Ohybpaprskůtedyprodlužuje den na úkor noci o několik dalších 

minut. 

Astronomická refrakce θ. Hvězda H je v důsledku 

lomu paprsků vatmosféře viděna o úhel 

θ blíže k zenitu v místě H 0 . 

6.2.5 Světové strany podle Slunce 

Polohu světových stran je možno v noci určit podle Polárky, ve dne podle Slunce. 

Okamžik nejkratšího stínu odpovídá kulminaci Slunce na jižní obloze. Slunce je 

tedy v pravé poledne na jihu. Protože se však okamžik kulminace určuje obtížně, 

je možno postupovat takto: Do země zapíchneme svislou tyč (gnómón) a kolem ní 

namalujeme kružnici. Označíme na ní dva body A a B, vekterýchkružnici protne 

konec stínu tyče. Spojnice AB určuje směr východ-západ a směr kolmý určuje 

sever-jih. 

Polední směr, tj. směr sever-jih, je možno určit 

přesně podle Slunce. Do země zabodneme 

svislou tyč (gnómón), kolem ní narýsujeme do 

písku kružnici. Na ní vyznačíme dva body A 

a B, ve kterých se stín tyče dotkne kružnice. 

Směr AB pak určuje východ-západ a kolmý 

směr určuje sever-jih. 

6.2.6 Sluneční den 

Denního pohybu Slunce po obloze se od nepaměti využívá k měření času. Doba mezi 

dvěma kulminacemi Slunce na obloze se nazývá pravý sluneční den. Okamžik


průchodu Slunce místním poledníkem se nazývá pravé poledne. Sluneční den 

dělímenadenanoc,denpředstavuje dobu od východu do západu slunce a noc dobu 

od západu do východu slunce. Délka dne a noci se během roku, jak je všeobecně 

známo, výrazně mění. V létě u nás den trvá asi 16 hodin a noc asi 8 hodin, v zimě 

je tomu naopak. Součet délky dne a noci se však již takvýrazněnemění a sluneční 

den trvá zhruba 24 hodin. 

Přesná pozorování však ukazují, že ani délka slunečního dne není stálá, nebo t 

, 

během roku kolísá délka slunečního dne s chybou až ±28 s .Takéokamžik pravého 

poledne se během roku posouvá s odchylkou až ±17 m od středního poledne. Kolísání 

pravého a středního slunečního času popisuje sluneční rovnice. Nerovnoměrnost 

slunečního času není způsobena nerovnoměrnou rotací Země, ale nerovnoměrným 

pohybem Země po eliptické dráze kolem Slunce. V dubnu se Slunce na obloze předbíhá 

až o dva obloukové stupně avříjnu se naopak opož duje , až o dva obloukové 

stupně. Rovněž sklon zemské osy se na tomto jevu projevuje. Nerovnoměrnost pohybu 

Slunce je možno odhalit pečlivým studiem pohybu Slunce na pozadí hvězdné 

oblohy a byla známa už starověkým astronomům. 

Abychom odstranili tyto nerovnoměrnosti komplikující měření času, definujeme 

tzv. střední slunce, jehož pohyb odpovídá rovnoměrnému pohybu slunce po obloze. 

Střední sluneční den je doba mezi dvěma kulminacemi středního slunce. Za 

základ občanského kalendáře se bere střední sluneční den, od něj byla odvozena i 

jednotka času sekunda. Narozdílodpravéhoslunečního dne trvá střední sluneční 

den přesně 24 hodin neboli 86 400 sekund. 

6.2.7 Roční doby 

Nebeský rovník protíná ekliptiku ve dvou význačných bodech, v jarním a podzimním 

bodu. Jarní bod g je místo, ve kterém Slunce vystupuje nad nebeský rovník. 

K tomu dochází kolem 21. března. Podobně podzimní bod f je místo, ve kterém 

Slunce sestupuje pod nebeský rovník. K tomu dochází kolem 23. září. Sklon 

ekliptiky a nebeského rovníku je přibližně roven23.5 ◦ . Proto se Slunce může vzdálit 

od rovníku nanejvýš o 23.5 ◦ , což seděje právě vdenzimního nebo letního 

slunovratu, které nastávají kolem 21. prosince a 21. června. 

Roční období jsou způsobena sklonem zemské osy k ekliptice. Sklon osy se 

vůči hvězdám nemění, ale mění se směr slunečních paprsků vdůsledku pohybu 

Země kolem Slunce. Tak se stane, že jednou za rok je severní polokoule přikloněna 

ke Slunci a nastává zde léto, za půl roku je naopak ke Slunci přikloněna jižní 

polokoule a na severní polokouli nastává zima. 

Střídání ročních dob je způsobeno různou polohou 

zemské osy vzhledem ke slunečním paprskům.


Kdyby byla zemská osa kolmá k ekliptice, žádné sezónní změny bychom nepozorovali. 

Kolem rovníku by bylo stále teplo a kolem pólů bybylocelýrokchladno. 

Také délka dne by se neměnila a den i noc by trvaly přesně 12 hodin. Kdyby naopak 

zemská osa ležela v rovině ekliptiky, trval by den půl roku a noc také půl 

roku. Velký rozdíl teplot během dne by nejspíše zahubil většinu života na planetě. 

Mírný sklon, rychlá rotace a přítomnost hydrosféry a atmosféry způsobují, že průměrná 

teplota během dne kolísá na Zemi jen o ±8 ◦ C aběhem roku jen o ±15 ◦ C . 

Průměrná teplota na rovníku je jen o 40 ◦ C vyšší než napólech. 

Doba od jarní rovnodennosti až po letní slunovrat se nazývá jarem, dobaod 

slunovratu po podzimní rovnodennost se nazývá létem. Dobaodpodzimnírovnodennosti 

po zimní slunovrat se nazývá podzimem a doba od zimního slunovratu 

po jarní rovnodennost se nazývá zimou. Tojsouastronomické roční doby. Pro 

běžné potřeby se používají jednodušeji definované meteorologické roční doby, které 

začínají 1. března, 1. června, 1. září a 1. prosince. 

Pohyb Slunce po ekliptice není zcela rovnoměrný, odchylka pravého Slunce od 

rovnoměrně se pohybujícího středního Slunce dosahuje v dubnu a říjnu téměř dvou 

obloukových stupňů. Je to pochopitelně důsledek nerovnoměrného pohybu Země 

kolem Slunce. Také úhlová velikost Slunce na obloze kolísá v intervalu 31.5 0 (leden) 

až 32.5 0 (červenec), což jezasedůsledek proměnlivé vzdálenosti Země odSlunce. 

Vzhledem k eliptičnosti dráhy Země kolemSluncenejsouročnídobyanistejně 

dlouhé. Protože Země dosahuje perihélia kolem 3. ledna, je zima kratší než léto. 

Skutečně, jaro trvá 93 dny a léto 94 dny, zatímco podzim trvá 90 dníazimajen 

89 dnů. Léto na severní polokouli je tedy delší než létonajižní polokouli, proto je 

také na severní polokouli celkově oněco tepleji než na polokouli jižní. 

Vzhledem ke vzájemnému pohybu perihélia dráhy Země ajarníhoboduo62 00 

za rok se délky ročních dob pomalu mění. Léto a podzim se prodlužují, zatímco 

zima a jaro se dále zkracují. Začátek léta se přesouvá k počátku roku a začátek 

zimy ke konci roku. Za 1000 let bude Země v perihéliu až kolem 20. ledna. 

rok jaro léto podzim zima 

0 93.97 92.45 88.69 90.14 

1000 93.44 93.15 89.18 89.47 

2000 92.76 93.65 89.84 88.99 

3000 91.97 93.92 90.61 88.74 

6.2.8 Sluneční rok a kalendář 

Sluneční kalendář ctí roční doby. Vychází z délky tropického roku, který trvá 

365. 242 20 dne. Tropický rok je přitom doba, za kterou Slunce obejde ekliptiku 

jednou dokola a vrátí se zpět do jarního bodu. Je to tedy doba mezi dvěmaposobě 

jdoucími jarními rovnodennostmi. 

Sluneční kalendářodélce365 dní zavedli staří Egyp tané , roku 2776 př. n. l. Délku 

roku egyptští kněží odvodili ze svých pozorování heliaktického východu Síria. Později 

zjistili, že sluneční rok je o čtvrtinu dne delší než jejichkalendářnírok,alek 

reformě zavedeného kalendáře se již neodvážili. Teprve až králPtolemaios III.


Euergetés nechal zreformovat roku 238 př. n. l. kalendář zavedením přestupného 

roku, takže délka egyptského kalendářního roku se zvětšila na 365. 25 dne. Přednosti 

egyptského kalendáře rozpoznali i Římané, kteří jej roku 45 př. n. l. převzali, 

a tak vznikl juliánský kalendář. Juliánskýrokjevšakpříliš dlouhý (o 0. 007 80 

dne), takže za třináct století jeho užívání v křes tanské , Evropě narostla kalendářní 

chyba na 10 dní. To si v 16. století vynutilo další reformu, bylo nutno vypustit deset 

přebytečných dní, takže dny 5. až 14.října roku 1582 nikdy neexistovaly, a změnit 

délku kalendářního roku. Takto upravený kalendář senazývágregoriánským kalendářem 

apoužíváme jej dodnes. Přestupný den se vkládá jen v tom roce, který 

je dělitelný čtyřmi, ale současně nenídělitelný stem, pokud není zároveň dělitelný 

čtyřmi sty. Délka gregoriánského roku je tudíž 

365 + 1 4 − 1 

100 + 1 =365. 2425 dne. 

400 

Chyba kalendářníhoatropickéhorokutakpokleslana0. 000 30 dne a nutnost její 

další korekce zatím není na pořadu dne. 

Astronomický začátek jara nemusí začínat vždy 21. března, ale podle okolností 

může začínat i o den dříve nebo později. Gregoriánský kalendář byl sice navržen 

tak, aby jaro začínalo 21. března, ale gregoriánský kalendář sejiž více než stolet 

neliší od juliánského kalendáře, nebo t , rok 2000 byl také přestupný. Juliánský rok 

je však o 0. 007 80 dne delší než tropický rok, za celé minulé století se kalendářní 

chyba nasčítalaatvoří dnes již téměř jeden celý nadbytečný den. Chyba ještě dále 

poroste až do roku 2100, kdy bude konečně podle pravidel gregoriánského kalendáře 

tento nadbytečný den vypuštěn. Právě tatoskutečnost je příčinou toho, proč bude 

až dokonce21.stoletíjarozačínat spíše 20. března místo obvyklého 21. března. 

Příklad 6.5 Spočtěte délku nejkratšího a nejdelšího dne v místě ozeměpisné šířce 30 ◦ , 45 ◦ 

a 60 ◦ . 

Řešení: Omezíme se jen na severní polokouli. Nejkratší den zde nastává při zimním slunovratu, 

kdy je Slunce nejníže nad obzorem a platí δ = −ε. Podle rovnice (6.4) dostaneme pro okamžik 

t 1 západu Slunce 

cos t 1 =tgε tg φ. 

Délka dne je pak 2t 1 . Podobně nejdelší den odpovídá letnímu slunovratu, kdy je Slunce nejvýše 

nad obzorem a δ = ε. Podle rovnice (6.4) dostaneme 

cos t 2 = − tg ε tg φ. 

Zřejmě platít 1 + t 2 = π, apoměr nejdelšího a nejkratšího dne je proto 

t 2 

π 

arccos (tg ε tg φ) − 1. 

= π − 1 = 

t 1 t 1 

Dosazením za ε ≈ 23.5 ◦ dostaneme pro φ =30 ◦ výsledek t 2/t 1 ≈ 1. 385, pro φ =45 ◦ je 

t 2/t 1 ≈ 1. 803 aproφ =60 ◦ je t 2/t 1 ≈ 3. 375. Na šedesáté rovnoběžce je tedy den v létě 

více něž třikrát delší než denvzimě. 

Příklad 6.6 Spočtěte, kolikrát více tepla ohřeje za den povrch země při letním slunovratu než 

při zimním slunovratu. 

Řešení: Množství tepla dopadajícího ze Slunce kolmo na jednotkovou plochu je stálé a nazývá 

se solární konstata P S ≈ 1400 W / m 2 . Sezónní změny počasí jsou způsobeny pouze změnou 

sklonu slunečních paprsků. Množství energie dopadající na šikmou plochu je úměrné kosínu


úhlu dopadu, a protože úhel dopadu θ je doplňkem k výšce h Slunce nad obzorem, bude mírou 

dopadajícího výkonu ze Slunce veličina 

P = P S cos θ = P S sin h. 

Jestliže výkon přeintegrujeme přes celý den, dostaneme hledanou energii ohřívající jednotkovou 

plochu za jeden den. 

Známe-li deklinaci Slunce δ, spočtesevýškaSluncenadobzorempodlevzorce(6.2) 

sin h =sinδ sin φ +cosδ cos φ cos t, 

proto 

Z 

Z t0 

E = P S sin hdt = P S (sin δ sin φ +cosδ cos φ cos t)dt, 

−t 0 

kde cos t 0 = − tg δ tg φ určuje délku odpoledne. Integrací dostaneme výsledek 

E =2P S (t 0 sin δ sin φ +cosδ cos φ sin t 0) . 

Po dosazení zjistíme, že největší a nejmenší denní porce energie jsou pro naši zeměpisnou šířku 

φ ≈ 50 ◦ rovny 

E max ≈ 1. 790E 0 a E min ≈ 0. 297E 0, 

kde E 0 =2P S cos φ představuje denní porci energie pro jarní nebo podzimní rovnodennost. V 

létě tedyohřívá Slunce zemi až E max/E min ≈ 6. 031 krát více než vzimě. 

Pokud se neomezíme jen na naši zeměpisnou šířku, pak dostaneme pro množství sluneční 

energie dopadající na zemský povrch za jeden den následující graf: 

Množství sluneční energie dopadající za den na 

různé zeměpisné šířky se během roku mění. 

Všimněte si, že za polárním kruhem je množství 

této energie během zimního slunovratu rovno 

nule a během letního slunovratu je dokonce větší 

než na rovníku nebo na obratníku Raka! 

Všimněte si, že nezapadající Slunce ohřívá v létě pólvícenežrovník.Množství sluneční energie 

dopadající během letního slunovratu na severní pól je téměř o40 procent vyšší než množství 

energie ohřívající ve stejný den rovník! 

Množství sluneční energie dopadající na povrch 

země zacelýrokvzávislostinazeměpisné šířce. 

Jestliže však sečteme sluneční energii za celý rok, dostaneme monotónní pokles energie se 

zeměpisnou šířkou. Z výše uvedeného grafu plyne, že úhrnné množství sluneční energie na 

rovníku je asi 2.41 krát vyšší než napólua1.46 krát vyšší než unás(φ ≈ 50 ◦ ).


6.3 Precese 

6.3.1 Precese zemské osy 

Země jevpodstatě velký symetrický setrvačník a Měsíc na něj působí rušivým 

otáčivým momentem. Protože osa zemské rotace a osa oběžné dráhy Měsíce jsou 

navzájem skloněné, snaží se Měsíc zemskou osu narovnat. Výsledkem je vznik precese, 

kdy zemská osa opisuje v prostoru kužel kolem osy ekliptiky. 

Ukazuje se, že gravitační působení Měsíce má blahodárný vliv na stabilizaci 

zemské osy. Kdybychom neměli Měsíc, sklon zemské osy by se zřejměměnil mnohem 

výrazněji a během sto miliónů let by se osa rotace Země mohla položit do roviny 

ekliptiky. To by mělo katastrofální vliv na klima planety. Všimněte si, že například 

Venuše, která nemá žádný měsíc, má rotaci obrácenou oproti ostatním planetám a 

Uran, který má jen relativně maléměsíce, se odvaluje po své orbitě. 

Zemská osa opíše kolem osy ekliptiky precesní 

kužel jednou dokola za 25 770 let. Vrcholový 

úhel je roven přibližně 23.5 ◦ . 

Asi poloviční vliv na precesi ve srovnání s Měsícem má Slunce. V důsledku 

působení obou těles opíše zemská osa kužel o velikosti 23.5 ◦ jednou dokola za 

25 770 let. Tato perioda se nazývá platónský rok. Osa precesního kužele splývá s 

osou ekliptiky. Dnes leží severní nebeský pól necelý stupeň od Polárky. Nejblíže k 

ní bude v roce 2017. Za 12 tisíc let se však bude pól nacházet 47 ◦ od Polárky, asi 

pět stupňů odhvězdy Vega. 

Protože dráha Měsíce je skloněná k ekliptice o 5 ◦ , vykonává sama precesi (pohyb 

uzlů) s periodou 18.6 let. Tím se nepatrně měníisměr působení Měsíce na 

Zemi, takže zemská osa vykonává vedle precese ještě jeden menší, zato mnohem 

rychlejší pohyb, který se nazývá nutace. Amplituda nutačních kmitůjerovna9.2 00 , 

jejich perioda je 18.6 let. 

Příčinu precese, tj. gravitační působení Měsíce a Slunce na rotaci nesymetrické 

Země, objevil roku 1687 Isaac Newton. Hovoříme proto o lunisolární precesi. 

Nutaci objevil James Bradley roku 1748. 

6.3.2 Sklon ekliptiky 

Sklon ekliptiky vůči nebeskému rovníku byl na počátku epochy J2000.0 roven ε ≈ 

23 ◦ 26 0 , ale za posledních sto let klesl o 47 00 . Za časů starýchřeckých astronomů 

byl proto sklon ekliptiky o poznání vyšší ε ≈ 23 ◦ 45 0 , než jetomudnes.Jakjiž 

víme, nemá precese na sklon ekliptiky žádný a nutace jen malý vliv. Čím je tedy 

změna sklonu ekliptiky způsobena? Ukazuje se, že příčinou není pohyb zemské osy,

6.3. PRECESE 275 

ale pohyb roviny ekliptiky vůči hvězdám, který je způsoben gravitačními poruchami 

ostatních planet, které obíhají kolem Slunce po jinak skloněných drahách. Největší 

vliv na oběžnou dráhu Země majípředevším Jupiter a Venuše. Tak se stane, že 

oběžná dráha Země mění svůj sklon s amplitudou asi ±1. 2 ◦ aperiodou41 000 let 

kolem střední hodnoty. Podle výpočtů astronomů se sklon ekliptiky může měnit v 

intervalu 21 ◦ 55 0 až 24 ◦ 18 0 . 

6.3.3 Pohyb jarního bodu 

Jarní bod je místo, kde se protíná ekliptika s nebeským rovníkem a kde Slunce 

vždy kolem 21. března vystupuje na severní hvězdnou oblohu. Tímto okamžikem 

také začíná astronomické jaro. Jarní bod se značí astrologickým symbolem znamení 

Skopce g, protože v době, kdy vznikala astronomie, jarní bod skutečně ležel v 

souhvězdí Skopce. Jarní bod však není nehybný vůči hvězdám, ale v důsledku 

precese zemské osy se pomalu posouvá směrem na západ (tj. retrográdně), a to 

asi o 50.3 00 za rok a o jeden stupeň se posune za 72 let. Hovoříme o precesi 

jarního bodu. Za poslední dva tisíce let se jarní bod posunul na západ o celé 

jedno znamení a nachází se nyní ve znamení Ryb. Slunce je tedy dnes první jarní 

den, tj. 21. března, v souhvězdí Ryb, i když podle astrologů vstupuje do znamení 

Skopce. Z historických důvodů se však jarní bod značí stále symbolem g. Jarní 

bod oběhne ekliptiku jednou dokola za platónský rok trvající asi 25 770 let. 

Vlivem precese zemské osy se nebeský rovník 

i jarní bod posouvají po ekliptice směrem na 

západ o 50.3 00 za rok. 

Precesi jarního bodu objevil roku 140 př. n. l. Hipparchus z Nikáie. Když 

sestavoval katalog hvězd, všiml si, že jím naměřené rektascenze jsou větší o dva 

stupně odhodnot,kterénaměřili 159 let před ním Aristyllos a Timocharis. 

Hipparchos z toho správně usoudil, že na vině nejsouzmíněníastronomové,kteří 

by se takové nepřesnosti těžko dopustili, ale pohyb jarního bodu. Hipparchos tehdy 

odhadl pohyb jarního bodu na 45 00 za rok, Ptolemaios na 36 00 . 

6.3.4 Sluneční a hvězdný rok 

Precese jarního bodu má vliv na délku slunečníhoroku,vdůsledku precese musíme 

sluneční rok rozlišovat na tropický a siderický rok. Doba, za kterou se Slunce vrátí 

na rovník, tj. od jedné jarní rovnodennosti ke druhé, se nazývá tropický rok 

(sluneční rok) atrvá365. 242 20 dne.Tatodobaurčuje roční doby a je základní 

periodou pro tvorbu kalendáře. Naopak doba, za kterou se Slunce vrátí ke stejným 

hvězdám, se nazývá siderický rok (hvězdný rok) atrvá365. 256 36 dne. 

Dříve, než Slunce dorazí ke stejné hvězdě, dorazí k jarnímu bodu, který mu jde 

naproti rychlostí 50.3 00 za rok. Slunce se tedy dostane do jarního bodu dříve než


k výchozí hvězdě, a protože za den se Slunce posune po ekliptice zhruba o jeden 

stupeň, urazí těchto 50.3 00 asi za 20 minut, o které je tropický rok kratší než rok 

siderický. 

V souvislostí s precesí jarního bodu je třeba rozlišovat také hvězdný den a 

siderický den. Hvězdný den odpovídá době, za kterou se jarní bod vrátí na meridián, 

zatímco siderický den odpovídá době, za kterou se hvězda vrátí na meridián. 

Protože za jeden den se jarní bod posune asi o 0. 14 00 , bude hvězdný den asi o 9ms 

kratší než siderický den. Tento rozdíl je malý, takže se většinou hvězdný a siderický 

den nerozlišují a v angličtině jejedinýtermínprooba. 

Konečně anomalistický rok je doba, za kterou se Země dostane opět do svého 

perihélia a trvá 365. 612 36 dne. Anomalistický rok je asi o 5 minut delší než siderickýrok,protože 

se perihélium zemské dráhy stáčí prográdně rychlostí12 00 za 

rok a je o 25 minut delší než tropický rok, protože se vzdalují perihélium a jarní 

bod o 62 00 za rok. Okamžik přísluní se tedy posouvá každým rokem o 25 minut a o 

celý jeden den se posune za 58 let. Dnes je Země vpřísluní kolem 3. ledna, za tisíc 

let Země budevpřísluní až kolem 20. ledna. 

Astronomický a kalendářní rok 

tropický rok 365. 242 20 d 365 d 5 h 48 m 46 s 

siderický rok 365. 256 36 d 365 d 6 h 9 m 10 s 

anomalistický rok 365. 259 64 d 365 d 6 h 13 m 53 s 

juliánský rok 365. 25 d 365 d 6 h 

gregoriánský rok 365. 242 5 d 365 d 5 h 49 m 12 s 

6.4 Sluneční čas a sluneční hodiny 

6.4.1 Pohyb vzhledem ke hvězdám a vzhledem k zemi 

Hvězdy se otáčejí spolu s celou oblohou úhlovou rychlostí Ω H = 2π/T H , kde 

T H ≈ 23. 934 469 h je hvězdný den. Tentopohybpředstavuje tzv. denní pohyb 

oblohy. Vše ostatní, Slunce, Měsíc, planety atd., se vůči hvězdám pohybuje obvykle 

opačným směrem, tj. k východu. Jestliže se planeta pohybuje mezi hvězdami 

úhlovou rychlostí ω, tj. s periodou T, pak vůči zemi se tato planeta pohybuje absolutní 

rychlostí 

ω 0 = Ω H − ω. 

Aoběhne proto oblohu za periodu T 0 =2π/ω 0 . Vyjádřeno pomocí period platí 

1 

= 1 − 1 T 0 T H T . 

Relativní pohyb planety vzhledem ke hvězdám 

ω a absolutní pohyb vzhledem k zemi ω 0. Zde 

Ω H představuje pohyb hvězd.

6.4. SLUNEČNÍ ČAS A SLUNEČNÍ HODINY 277 

Například Měsíc oběhne celou nebeskou sféru jednou dokola za jeden siderický 

měsíc (hvězdný měsíc) trvající T ≈ 27. 321 661 d .Měsíc tedy oběhne kolem země 

jednou za 

T 0 = 

TT H 

T − T H 

≈ 24 h 50 m 28 s . 

To je střední doba mezi dvěma kulminacemi Měsíce na obloze, mezi dvěma východy 

Měsíce nebo dvojnásobek periody přílivu a odlivu. 

6.4.2 Sluneční den 

Podobně se pohybuje mezi hvězdami i Slunce, jednou dokola oběhne celou nebeskou 

sféru za jeden tropický rok trvající T ≈ 365. 242 20 d . Slunce tedy oběhne oblohu 

vzhledem k zemi za dobu 

T 0 = 

TT H 

T − T H 

=24 h , 

kterou nazýváme střední sluneční den. 2 Vzhledem k významu Slunce volíme 

tuto periodu za základ našeho kalendáře i časomíry. Střední sluneční den dělíme 

na 24 hodin a hodinu na 60 minut a minutu na 60 sekund. Tímto způsobem byla 

prakticky zavedena jednotka času — sekunda užpředdvaapůl tisícem let. Sluneční 

den tedy nemusíme měřit, nebo tjezdefinice , 

dlouhý 24 hodin přesně. 3 

Rozdíl hvězdného a slunečního dne. Z obrázku 

je zřejmé, že sluneční den T S je delší než 

hvězdný den T H, protože Zemi trvá asi o 4 

minuty déle, než zaujmestejnoupolohuvzhledem 

ke Slunci než vzhledemkehvězdám. 

Podobně sespočte délka slunečního dne na libovolné planetě.ZatímconaZemi 

rozdíl mezi hvězdným a slunečním dnem činí jen čtyři minuty, na jiným planetách 

může být rozdíl mnohem podstatnější. Například Merkur se otočí vzhledem ke 

hvězdám jednou za 59 dní a kolem Slunce oběhne jednou za sluneční rok, tj. 88 

dní, takže sluneční den na Merkuru trvá 176 dní. Jeden sluneční den na Merkuru 

tedy trvá dva sluneční roky. 

2 Stejný výsledek bychom pochopitelně dostali, kdybychom nahradili hvězdný den siderickým 

dnem a tropický rok siderickým rokem. 

3 Vzhledem k moderní definici sekundy a kolísání rychlosti rotace Země tojiž není tak úplně 

přesně pravda.Délkastředního slunečního dne totiž kolísá s chybou ±5ms/rok. Proběžné potřeby 

se užívá občanský den, který trvá přesně 24 hodin, tj. 86 400 s, pokud se pro sladění občanského 

dne se středním slunečním časem zrovna nevypustí nebo nepřidá přestupná sekunda, viz také 

Mechanika1,strana26.


6.4.3 Pohyb vzhledem ke Slunci, synodická perioda 

Podobně jemožno definovat i pohyb planety vůči Slunci. Tento pohyb se nazývá 

synodický a perioda T 0 pohybu planety vůči Slunci se nazývá synodickou periodou. 

Platízřejmě 

ω 0 = ω − ω S , 

kde ω S představuje pohyb Slunce a ω pohyb planety vzhledem ke hvězdám. Pomocí 

period zapsáno platí 

1 

T 0 = 1 T − 1 , 

T S 

kde T S ≈ 365. 256 36 d je siderický rok, oběžná perioda Slunce mezi hvězdami. 

Například synodický měsíc trvá 

T 0 = 

TT S 

T S − T ≈ 29d 12 h 44 m . 

To je doba mezi dvěma úplňky nebo dvěma novými měsíci. Podobně Marsoběhne 

oblohu a vrátí se do stejného znamení za siderickou periodu T ≈ 1. 880 89 roku. 

Synodická perioda je tedy rovna 

T 0 = 

TT S 

T S − T ≈−2. 135 roku ≈−779. 9d . 

To je doba, za kterou se opakují stejné aspekty Marsu, například opozice. Perioda 

vyšla záporně, protože pohyb Marsu je pomalejší než pohyb Slunce, Mars se tedy 

vzhledem ke Slunci pohybuje směrem na západ. 

Relativní (synodický) pohyb planety vzhledem 

ke Slunci ω 0 a absolutní pohyb planety vzhledem 

ke hvězdám ω. Zde ω S představuje pohyb 

Slunce mezi hvězdami. 

6.4.4 Pravý a střední sluneční čas 

Pravý sluneční čas je určen hodinovým úhlem Slunce na obloze. Je-li t =0, je 

pravé poledne τ =12 h , obecně pak platí 

τ =12 h + t. 

Pravý sluneční čas měří podle stínu Slunce sluneční hodiny. Okamžik průchodu 

Slunce místním poledníkem se nazývá pravé poledne. Doba mezi dvěma pravými 

poledni se nazývá pravý sluneční den. Pravé poledne nenastává na všech místech 

ve stejný okamžik, ale závisí na jejich zeměpisné délce. Pro okamžik τ pravého 

poledne v místě sezeměpisnou délkou λ platí 

τ = τ 0 + λ 0 − λ,


kde τ 0 je okamžik pravého poledne v místě se zeměpisnou délkou λ 0 . 

Pravý sluneční čas plyne nerovnoměrně, sluneční den, tj. doba mezi dvěma pravými 

poledni, kolísá ažo30 sekund na obě strany. Během roku se chyba nasčítá tak, 

že v listopadu činí až 17 minut. S rostoucí přesností mechanických hodin se místo 

pravého slunečního času začalodpoloviny19.stoletípoužívat rovnoměrný střední 

sluneční čas, který se odvozuje od rovnoměrného pohybu středního slunce. Doba 

mezi dvěma středními poledni se nazývá střední sluneční den a trvá 24 hodin. 

Jakonultýpoledníksevolípoledníkprocházejícígreenwichskoukrálovskouobservatoří, 

čas odpovídající tomuto poledníku se nazývá světový čas UT. Místní 

střední sluneční čas libovolného místa na zemi pak spočteme ze vzorce 

τ =UT+λ, 

pokud měříme i zeměpisnou délku v hodinách. 

6.4.5 Atomový a koordinovaný čas 

Rotace Země není dokonale rovnoměrná, vedle sezónních a dlouhoperiodických variací 

±5ms za rok se rotace Země soustavně zpomaluje vlivem slapových sil našeho 

Měsíce. Den se tak postupně prodlužuje o 0. 016 ms za rok. 

Se zpřesňováním atomových hodin se začal používativastronomiimezinárodní 

atomový čas TAI, ten se však pro občanské potřeby koriguje 1. července 

nebo 1. ledna přidáním nebo ubráním celé sekundy tak, aby se nerozešel se středním 

pohybem Slunce. Takto korigovaný atomový čas se nazývá světový koordinovaný 

čas UTC a je i základem všech časových signálů šířených rádiem nebo 

televizí. Přestupná sekunda se zavádí od roku 1972, rozdíl mezi atomovým a světovým 

časem postupně narůstá, například 1. ledna 2000 činil rozdíl již 32 sekund, 

takže platilo 

TAI = UTC + 32 s . 

Pro pohyby nebeských těles je rozhodující rovnoměrně plynoucí atomový čas 

TAI,zatímcomyvobčanském životěpoužíváme koordinovaný čas UTC. K výpočtu 

přesné polohy nebeských těles je nutno korekci koordinovaného a atomového času 

znát. Rozdíl obou časůvminulostilzejenpřibližně odhadnout studiem starověkých 

záznamů ozatměních Slunce nebo Měsíce. Rozdíl činil kolem roku 1000 asi 27 

minut, kolem roku 1 asi tři hodiny a kolem roku 1000 před naším letopočtem osm 

hodin. 

6.4.6 Pásmový a letní čas 

Zpočátku se používalvkaždém městě místní sluneční čas,kterýodpovídalpoloze 

Slunce na obloze. Pro potřeby sladění časů na území větších správních celků se 

začalo používat pásmového času. Jako základ pásmového času se bere střední 

sluneční čas vybraného poledníku. Pro střední Evropu je to 15. poledník východní 

délky. Tento jednotný pásmový čas se nazývá středoevropský čas SEČ nebo


anglicky CET a platí pro velkou část Evropy. Středoevropský čas je posunut o 

hodinu kupředu oproti času světovému a platí 

SEČ =UT+1 h . 

Vletníchměsících (duben až říjen) se používá středoevropský letní čas -SELČ 

nebo CEST, který odpovídá času na 30. poledníku východní délky. Pásmový čas se 

v našich zemích používá od roku 1891. Letní čas byl nejprve zaveden v době druhé 

světové války pro zvýšení úspory elektřiny, a pak znova trvale roku 1979. Dnes se 

používá téměř v celé Evropě. Přechod na letní čas se uskutečňuje jednotně mezi 

druhou a třetí hodinou ranní vždy poslední nedělivbřeznu a říjnu. 

6.4.7 Gnómón 

Sluneční hodiny měří čas podle slunečního stínu. Nejjednodušší variantou slunečních 

hodin je vertikální tyč, gnómón.Gnómónukazujepřesně poledne a lze pomocí 

něj určovat světové strany, čas ovšem ukazuje velmi nepřesně. Jednotlivé hodiny 

během dne nejsou stejné dlouhé, protože se stín pohybuje nerovnoměrně. Dokonce 

ani stejné hodiny během roku nejsou stejně dlouhé. Příčinou je závislost polohy 

stínu tyče na roční době. Pro každý den v roce bychom potřebovali zvláštní ciferník. 

Závislost na roční době odstraňují sluneční hodiny, které se konstrují s tyčí 

směřující k Polárce. 

Gnómón, délka stínu vertikální tyče měří 

výšku Slunce l = L cotg h a poloha stínu měří 

přímo azimut Slunce τ = A. 

Polohu Slunce na obloze určují obzorníkové souřadnice A a h nebo rovníkové 

souřadnice α a t. Pro polohu stínu však bude lepší zavést kartézské souřadnice. 

Pokud zvolíme osu z jako vertikální osu a osu x orientujeme k jihu, pak osa y 

směřuje k východu. Poloha pozorovatele je určena bodem P =[0, 0, 0], směr Slunce 

je určen jednotkovým vektorem 

s =(cosh cos A, − cos h sin A, sin h) 

asměr Polárky je určen jednotkovým vektorem 

p =(− cos φ, 0, sin φ) , 

kde φ je zeměpisná šířka místa pozorovatele. 

Poloha vertikální tyče PQdélky L je určena koncovým bodem tyče Q =[0, 0,L]. 

Sluneční paprsek jdoucí bodem Q má rovnici 

X = P − su,


kde u je parametr přímky. Paprsek dopadá na horizontální rovinu z =0vmístěo 

souřadnicích 

Délka stínu je tedy rovna 

x = −l cotg h cos A, y = l cotg h sin A, z =0. 

l = p x 2 + y 2 = L cotg h 

aměří přímo výšku Slunce nad obzorem. Poloha stínu měřená od severního (poledního) 

směru budiž označena τ, měřenavhodináchbyměla ukazovat sluneční čas. 

Platí 

atedy 

tg τ = − y x =tgA, 

τ = A. 

Stín svislé tyče měří tedy přímo azimut Slunce. Ten ovšem závisí nejen na hodinovém 

úhlu t, ale i na deklinaci δ Slunce, a tedy i na roční době. Pro přepočet je 

možno použít například vzorec 

cos δ sin t 

tg A = 

− sin δ cos φ +cosδ cos t sin φ , 

který jen pro malá t dává lineární závislost 

cos δ 

A ≈ 

sin (φ − δ) t. 

Odtud hned spočteme, že stín tyče v poledne v létě se pohybuje rychlostí 14 ◦ za 

hodinu, zatímco v zimě se pohybuje dvojnásobnou rychlostí 31 ◦ za hodinu. Pouze 

na pólech φ = ±90 ◦ by vertikální tyč ukazovalačas správně, nebo t , zde bude 

τ = A = t. 

6.4.8 Sluneční hodiny 

Vertikální tyč tedy nemůže sloužit k přesnému určování času. Pro konstrukci slunečních 

hodin je mnohem vhodnější použít tyč skloněnou ve směru zemské osy, tj. 

směřující k Polárce. Souřadnice koncového bodu tyče jsou nyní 

Q =[−L cos φ, 0,Lsin φ]. 

Podle směru roviny, na níž sestínpromítá,hovoříme pak o horizontálních slunečních 

hodinách, vertikálních slunečních hodinách a rovníkových slunečních hodinách. 

Horizontální hodiny konstruujeme na zemi, zatímco vertikální na stěnách budov. 

Rovníkové sluneční hodiny promítají stín tyče na rovník a ukazují přímo hodinový 

úhel τ = t.


Horizontální (a) , vertikální (b) a rovníkové (c) 

sluneční hodiny. 

Uvažujme pro konkrétnost horizontální sluneční hodiny. Konec stínu má 

souřadnice 

cos φ sin h +sinφ cos h cos A cos δ cos t 

x = −L = −L 

sin h 

sin h 

a 

sin φ cos h sin A sin φ cos δ sin t 

y = L = −L . 

sin h 

sin h 

Pro polohu stínu tak máme výsledek 

tg τ = − y =sinφ tg t, 

x 

zněhož jepatrné,že poloha stínu tentokrát skutečně nezávisí na deklinaci Slunce 

atedyaninaroční době, ale jen na hodinovém úhlu t. Tato závislost je však 

nelineární. Pouze pro sluneční hodiny na pólu φ =90 ◦ bude platit přímo τ = t. 

Horizontální sluneční hodiny pro naši zeměpisnou 

šířku. Horizontální čára odpovídá stínu v 

den jarní a podzimní rovnodennosti, čára nejdelšího 

stínu odpovídá zimnímu slunovratu a 

čára nejkratšího stínu odpovídá letnímu slunovratu. 

Zatímco poloha stínu už nezávisí na roční době, délka stínu ano. Slunce vrhá 

nejkratší stín v poledne t =0, jeho délka se spočte podle vzorce 

l = −x (0) = L cos δ 

sin h = L cos δ 

cos (φ − δ) . 

Tedy v létějedélkastínunejkratšíl ≈ 1. 0L, vziměnejdelšíl ≈ 3. 2L aběhem 

rovnodennosti je polední stín dlouhý l ≈ 1. 6L. Konec stínu tyče opisuje obecně 

hyperbolickou křivku, její tvar je patrný z ciferníku slunečních hodin. Pouze pro 

den jarní nebo podzimní rovnodennosti se konec stínu pohybuje po přímce. Protože 

je v tento den deklinace δ =0, máme pro výšku Slunce sin h =cost cos φ, aprotoje 

x = −L cos δ/ cos φ =konst. Konec stínu v den rovnodennosti tedy opisuje přímku, 

která je orientována ve směru východ-západ.


6.4.9 Časová rovnice 

Při konstrukci slunečních hodin se vychází z předpokladu, že hodinový úhel Slunce 

roste naprosto rovnoměrně. Ve skutečnosti to není zcela pravda. Kdybychom zaznamenávali 

pečlivě polohu Slunce na jižní obloze vždy přesně v poledne, tj. ve 

12:00 středoevropského času, zjistili bychom nejen, že Slunce cestuje nad i pod 

světový rovník, ale že cestuje i v horizontálním směru, tj. někdy se trochu předbíhá 

ajindytrochuopož duje , oproti střednímu Slunci. Polohu Slunce v poledne během 

roku zachycuje následující obrázek. 

Poloha Slunce na jižní obloze během celého 

roku v poledne místního času. 

Polohu Slunce na obloze, a tudíž ipravýsluneční čas, určuje hodinový úhel 

Slunce. Pravý sluneční čas je tedy roven 

τ =12 h + t, 

kde t = Θ − α. Zatímco hvězdný čas Θ roste rovnoměrně, ekliptikální délka Slunce 

roste nerovnoměrně. Tato nerovnoměrnost souvisí s excentricitou e ≈ 0. 017 dráhy 

Země kolem Slunce. Odchylka může činit na jařeanapodzimaž ±8 minut. Další 

nerovnoměrnost až ±8 minut v rektascenzi je dána nelinearitou převodních vztahů 

mezi ekliptikálními a rovníkovými souřadnicemi. Obě tyto nelinearity se sčítají do 

výsledné nerovnoměrnosti chodu slunečních hodin. 

Naopak střední sluneční čas plyne naprosto rovnoměrně asesvětovým a pásmovým 

časem souvisí jednoduchým vztahem 

τ 0 =UT+λ =SEČ − 1h + λ. 

Rozdíl plynutí obou časů (tj. chybu slunečních hodin) popisuje časová rovnice 

E = τ − τ 0 . 

ZteoriepohybuSluncejemožno najít přibližné vyjádření časové rovnice v sekundách 

kde 

E ≈ (592 s − 1 s T )sin2L − (103 s +13 s T )sinL − (448 s − 4 s T )cosL, 

L ≈ 280.5 ◦ +36 000.8 ◦ T


je střední délka Slunce a T je čas v juliánských stoletích uplynulých od epochy 

J2000.0. 

Časová rovnice. Rozdíl mezi pravým a středním 

Sluncem na obloze je příčinou nepřesnosti 

slunečních hodin. Sluneční hodiny ukazují 

správně jen 16. dubna, 14. června, 1. září 

a 22. prosince. V ostatní dny během roku se 

hodiny odchylují až o16minut. 

Časovou rovnici, tj. rozdíl mezi pravým a středním Sluncem na obloze, znali 

již staří Řekové. Z časové rovnice plyne, že i ty nejlépe navržené sluneční hodiny 

ukazují čas správně jen kolem 16. dubna, 14. června, 1. září a 22. prosince, kdy je 

časová rovnice rovna nule. V ostatní dny se sluneční hodiny zpož dují , (12. února až 

o 14 minut) nebo předbíhají (3. listopadu až o16 minut)! 

6.5 Měsíc na obloze 

6.5.1 Měsíc na obloze 

Měsíc je na obloze nápadný především svými fázemi. Je možno snadno vypozorovat, 

že fáze Měsíce závisí na vzájemné poloze Slunce a Měsíce. Je-li Slunce na opačné 

straně oblohy, je Měsíc v úplňku, je-li na stejné straně oblohy,jeMěsíc v novu. 

Je-li Měsíc vlevo, tedy na východ od Slunce, má srpek tvar písmene D, lidově 

se říká, že dorůstá, protože se jeho srpek zvětšuje. Je-li přesně vkvadratuře, je 

mezi Měsícem a Sluncem úhlová vzdálenost přesně 90 ◦ aMěsíc se nachází v první 

čtvrti.Naopak,je-liMěsícvpravo,tedynazápadodSlunce,másrpektvarpísmene 

C, lidově seříká, že couvá, protože se jeho srpek zmenšuje, jak se blíží do fáze nov. 

Je-li mezi Sluncem a Měsícem přesně úhel90 ◦ , Měsíc se nachází ve fázi zvané 

poslední čtvr t. , Měsíčnífázetedynásledujívpořadínovnebolinovýměsíc, první 

čtvr t, , úplněk a poslední čtvr t. , Do stejné fáze se Měsíc dostane přibližně jednou za 

29.5 dne, tato doba se nazývá synodický měsíc. 

Měsíc se vzhledem ke Slunci pohybuje zhruba 

rovnoměrně směrem na východ. Měsíční fáze 

proto následují v pořadí nový měsíc, první 

čtvr t, , úplněk a poslední čtvr t. 

, 

Měsíční fáze je možno jednoduše vysvětlit střídáním vzájemných poloh Slunce 

aMěsíce a předpokladem, že osvětlená část Měsíce září odraženým světlem slunečním. 

Z tvaru srpku a stínu je možno usoudit, že Měsíc má tvar koule a že musí být

6.5. MĚSÍC NA OBLOZE 285 

kZemiblíže než Slunce. Víceméně rovnoměrný pohyb Slunce i Měsíce a rovněž jejich 

stálá zdánlivá velikost vedou k domněnce, že obě tělesa obíhají kolem Země po 

přibližně kruhových drahách. Také vzhledem k možnosti zatmění Slunce Měsícem 

je zřejmé, že Měsíc je Zemi blíže než Slunce, a je tudíž imenšínež Slunce. 

Jednotlivé fáze Měsíce jsou způsobeny změnou 

úhlu osvětlení Sluncem. Země jeuprostřed, kolem 

obíhá Měsíc a sluneční paprsky přicházejí 

zprava. 

Měsíc ovlivňuje život na zemi mnohem méně než Slunce. Jeho poloha na obloze 

určuje dobu přílivu, jeho fáze pak velikost přílivu. Fáze Měsíce mají vliv také na 

život a rozmnožování mořských živočichů asnadinarůst hub v našich lesích a 

nespavost citlivějších lidí. 

Fáze Měsíce sloužily od nepaměti k počítání dní a synodický měsíc sloužil jako 

základní perioda pro lunární kalendáře. Při pokusech o sladění lunárních a solárních 

kalendářů měl rok nejprve 12 měsíců, tj. 354 dnů, později se zaváděl přestupný 

třináctý měsíc do přestupného roku, který měl 3 přestupné roky během 8 let nebo 

7 přestupných roků během 19 let (Metonův cyklus). 

Ze všech nebeských těles se Měsíc na obloze pohybuje nejrychleji, protože je 

Zemi nejblíže. Pohybuje se přibližně po stejné dráze jako Slunce, tedy poblíž ekliptiky, 

ale zatímco Slunce se posune za den jen o 1 ◦ ,Měsíc se posune o 13 ◦ . Mezi 

stejné hvězdy se tedy Měsíc dostane již za27.3 dne, což jetzv.siderický měsíc. 

Astronomický měsíc 

synodický měsíc 29. 530 588 d 29 d 12 h 44 m 03 s 

siderický měsíc 27. 321 661 d 27 d 07 h 43 m 12 s 

drakonický měsíc 27. 212 220 d 27 d 05 h 05 m 36 s 

anomalistický měsíc 27. 554 549 d 27 d 13 h 18 m 33 s 

6.5.2 Dráhové elementy Měsíce 

Střední orbitální parametry dráhy našeho Měsíce pro epochu J2000 jsou a = 

384 400 km, e=0. 055 4, ω =318.15 ◦ ,M=135.27 ◦ ,i=5.16 ◦ , Ω =125.08 ◦ , 

n =13. 176 358 ◦ /den. Siderická perioda je 27. 322 dní, perioda stáčení perihelu 8. 

851 let, perioda stáčení uzlové přímky 18. 600 let a perioda stáčení perihelu vůči 

uzlu 5. 997 let.


6.5.3 Nerovnoměrnosti pohybu Měsíce 

Měsíc se každý den posune vzhledem ke hvězdám asi o 13.2 ◦ a vzhledem ke Slunci 

asi o 12.2 ◦ východním směrem. Na první pohled velmi pravidelný pohyb Měsíce je 

ve skutečnosti velmi nerovnoměrný a nepravidelný s maximální odchylkou ±5 ◦ v 

novu nebo úplňku a ±8 ◦ v první nebo poslední čtvrti od polohy středního Měsíce. 

Pro srovnání, nerovnoměrnost pohybu Slunce činí jen ±2 ◦ .Vysvětlit pohyb Měsíce 

je proto mnohem těžší než pohyb planet. S dostatečnou přesností to astronomové 

umí až od devatenáctého století, a to jen na několik století dopředu! Příčinou velké 

nerovnoměrnosti je především rušivý vliv Slunce na pohyb Měsíce. 

Doba mezi dvěma po sobě následujícími kulminacemi Měsíce trvá 24 h 50 m 28 s . 

Vzhledem k nerovnoměrnosti pohybu Měsíce však doba mezi dvěmaposoběnásledujícími 

východy Měsíce kolísá v širokém intervalu 24 h 38 m až 25 h 6 m .Úhlová 

velikost Měsíce kolísá v intervalu 29.5 0 až 33.5 0 , což jedůsledek proměnlivé vzdálenosti 

Měsíce od Země. Vzdálenost Měsíce od Země kolísá v intervalu 356 000 km až 

407 000 km . Střední vzdálenost Měsíce je tedy 384 000 km a excentricita jeho dráhy 

je 0. 055. 

Měsíc v novu zapadá jednou západněji a jindy 

východněji než Sluncesperiodou18.6let.Příčinou 

je sklon dráhy Měsíce vzhledem k ekliptice. 

Dráha Měsíce je vzhledem k ekliptice skloněna o úhel 5 ◦ 9 0 . Body, kde měsíční 

dráha protíná ekliptiku, se nazývají výstupní a sestupní uzel. Jejich spojnici nazýváme 

uzlovou přímkou. Vlivem poruch způsobených Sluncem se uzlová přímka 

měsíční dráhy retrográdně stáčí, perioda tohoto pohybu je 18. 6 let. S touto periodou 

se mění i vzdálenost Měsíce od ekliptiky. Také přímka apsid, tj. spojnice 

perigea a apogea, se pomalu otáčí, jednu celou otočku uskuteční za 8. 85 let. 

6.5.4 Měsíc jako nebeské těleso 

Vlivem působení mohutných slapových sil došlo v dávné minulosti k synchronizaci 

rotace Měsíce kolem osy a oběhu kolem Země. V důsledku toho k nám Měsíc obrací 

stále stejnou tvář. Odvrácenou tvář Měsíce známe jen díky kosmickým sondám. V 

důsledku působení slapových sil se Měsíc postupně odZeměvzdalujeasio35 mm 

za rok a ze stejného důvodu se postupně zpomalujeirotaceZeměo0. 016 ms za 

rok. 

Díky libraci je možno ze Země pozorovat více než polovinu povrchu Měsíce, 

přesněji asi 59 % povrchu. Librací nazýváme složitý kývavý pohyb měsíčního tělesa 

kolem rovnovážného bodu. Tento pohyb objevil roku 1746 Johann Tobias 

Mayer. Libracevšířce má velikost ±6 ◦ 40 0 ajezpůsobená sklonem oběžné dráhy 

Měsíce 5 ◦ 9 0 a sklonem rovníku Měsíce 1 ◦ 31 0 vzhledem k ekliptice. Librace v délce 

má velikost ±7 ◦ 54 0 ajedůsledkem toho, že zatímco rotace Měsíce je rovnoměrná, 

pohyb Měsíce na oběžné dráze kolem Země jedostinerovnoměrný. Vedle toho


existuje ještě paralaktická librace o velikosti ±1 ◦ ,kterájezpůsobena tím, že při 

pohledu na Měsíc nelze zanedbat rozměr Země. Precesi rotační osy Měsíce objevil 

roku 1692 Gian Domenico Cassini. 

Rovníkový poloměr Měsíce je 1738 km, jeho hmotnost je 7.37 × 10 22 kg . Měsíc 

je tedy 81. 3 krát lehčí než Země. Odtud je hustota Měsíce 3. 34 kg / m 3 . Protože 

hustota Zeměje5. 52 kg / m 3 ,jeMěsíc evidentnětvořen lehčími materiály nežZemě. 

Měsíc svítí odraženým světlem, ale jeho odrazivost je malá, měsíční albedo je pouze 

0.073. 

Povrch Měsíce je důkladně zkoumán od roku 1609, kdy k němu obrátil svůj 

dalekohled Galileo Galilei. Měsíční povrch neobsahuje žádnou vodu, bizarní 

názvy jeho temných částí jako Mare Imbrium (Moře deš tů) , nebo Mare Nectaris 

(Moře nektaru) pocházejí z roku 1651 od Giovanni B. Riccioliho. PovrchMěsíce 

je rozbrázděn spoustou kráterů, největší mají průměr až 300 km . Odvrácená strana 

Měsíce je známá až od roku 1959, kdy její první snímek zaslala na zem družice Luna 

3. 16.července roku 1969 dosedl na povrch Měsíce přistávací modul Apolla 11. Na 

palubě byli astronauti Neil A. Armstrong a Edwin E. Aldrin Jr. Třetím 

členem posádky byl Michael Collins, kterývšakmuselzůstat na oběžné dráze 

Měsíce. 

Zatmění Slunce. Měsíc zakrývá Slunce, v místech 

plného stínu pozorujeme úplné zatmění 

Slunce, v místech polostínu pozorujeme částečné 

zatmění, na obloze vidíme jen sluneční 

srpek. 

6.5.5 Zatmění Slunce 

Protože dráhy Měsíce i Slunce jsou velmi podobné, stane se někdy, že Měsíc překryje 

na obloze Slunce. Nastává jev zvaný zatmění Slunce.Je-lizakrytíúplné,hovoříme 

o úplném zatmění Slunce, častějisevšakpozorujejenčástečné zatmění Slunce. 

Sluneční zatmění dokazují, že Měsíc je blíže než Slunce. Pokud označíme úhlový 

poloměr Slunce φ S aMěsíce φ M , pak poloměr stopy stínu úplného zatmění na Zemi 

je 

apoloměr stopy částečného zatmění 

r 1 = a M (φ M − φ S ) 

r 2 = a M (φ M + φ S ) , 

kde a M je vzdálenost Měsíce od Země. Zdánlivá velikost Slunce kolísá v intervalu 

31.5 0 −32.5 0 aMěsíce v intervalu 29.5 0 −33.5 0 . V optimálním případě mástopa 

úplného zatmění průměr 2r 1 ≈ 200 km, obvykle je však výrazně menší,případně 

zcela zaniká. To nastane tehdy, když jeMěsíc úhlově menšínež Slunce. V tom případě 

úplné zatmění ani nastat nemůže a pozorujeme jen částečné nebo prstencové 

zatmění Slunce. Stopa částečného zatmění je mnohonásobně většíamázhruba


velikost rovnu dvojnásobku průměru Měsíce 2r 2 ≈ 4R M ≈ 3500km. Stínová stopa, 

tj. oblast zatmění, cestuje v důsledku rotace Země od západu k východu rychlostí 

asi 460 m / s. Úplnézatmění tedy trvá nanejvýš sedm minut, obvykle ale netrvá 

déle než dvěminuty.Zatočástečné zatmění Slunce trvá přes dvě hodiny. 

Vzácné okamžiky zatmění Slunce, při němž se objevují na obloze hvězdy, slouží 

astronomům k pozorování sluneční koróny, ke zpřesňování astronomických konstant 

atd. Roku 1919 Arthur Stanley Eddington využil zatmění Slunce k úspěšnému 

ověření předpovědi teorie relativity o ohýbání paprsků v gravitačním poli Slunce. 

Klaudios Ptolemaios ve 2. stol. použil data nejstarších zatmění Slunce 19. 

3. 721, 8. 3. 720 a 11. 9. 720 př. n. l. z babylónských záznamů kpřesnému výpočtu 

synodické periody pohybu Měsíce. 

Úplné zatmění Měsíce. Měsíc se nachází zcela 

v zemském stínu. 

6.5.6 Zatmění Měsíce 

Podobně může dojít k zatmění Měsíce. Měsíc je zakryt stínem, který na něj vrhá 

naše planeta. Zatímco zatmění Slunce nastává za novu, zatmění Měsíce nastává 

vždy za úplňku. Zemský stín viditelný na povrchu Měsíce je asi třikrát větší než 

Měsíc samotný. Na rozdíl od zatmění Slunce je úplné zatmění Měsíce viditelné z 

celé přivrácené strany Země najednou. Úhlový poloměr zemského stínu na Měsíci 

je 

φ = φ Z − φ S ≈ 2.7φ M , 

kde φ Z = R Z /a M je úhlový poloměr Země zpohleduMěsíce. Zemský stín je tedy 

téměř třikrát větší než Měsíc, což jemožno ověřit přímým pozorováním. 

Během úplného zatmění Měsíc nezmizí, ale získá krvavě rudou až nahnědlou 

barvu. Příčinou je skutečnost, že Měsíc v zemském stínu je částečně osvětlen paprsky, 

které prošly zemskou atmosférou. Krvavou barvu Měsíce objasnil roku 1604 

Johannes Kepler. 

Jednotlivé fáze zatmění Měsíce. 

Měsíc se pohybuje v zemském stínu rychlostí kolem 0.5 ◦ za hodinu a zemský 

stín má rozměr asi 1.5 ◦ , takže úplné zatmění Měsíce trvá asi dvě hodinyačástečné 

zatmění asi čtyři hodiny. Přesným měřením doby trvání zatmění Měsícejemožno


určitvelikoststínuZeměatímtakéurčit velikost a vzdálenost Měsíce. Astronomové 

proto od nepaměti jevy zatmění Slunce i Měsíce pečlivě sledovali. 

6.5.7 Výpočet zatmění Měsíce 

Abydošlokzatmění Měsíce, musí být Měsíc v úplňku. Ten přitom nastane jednou 

za synodický měsíc, který trvá 29. 530 589 dne. Kdyby Měsíc obíhal ve stejné 

rovině jako Slunce, muselo by nastat zatmění Měsíce každý měsíc. Dráha Měsíce je 

však mírně skloněna k ekliptice asi o 5 ◦ , proto se většinou Měsíc a Slunce míjejí, 

aniž by došlo k zatmění Měsíce. Aby tedy skutečně došlo k zatmění, musí se Měsíc 

nacházet v úplňku a současně býtpoblíž svého uzlu. Do uzlu se přitom Měsíc 

dostane dvakrát za drakonický měsíc, který trvá asi 27. 212 220 dne. 

Zemský stín má zhruba rozměr 1.5 ◦ aMěsíc asi 0.5 ◦ . Aby nastalo úplné zatmění 

Měsíce, musí se k sobě střed Měsíce a zemského stínu přiblížit na vzdálenost 

0.5 ◦ . Vzhledem ke sklonu dráhy Měsíce to znamená, že Měsíc se musí v úplňku 

přiblížit k uzlu na vzdálenost 5 ◦ až 6 ◦ . Podobně, aby nastalo částečné zatmění, 

stačí vzdálenost středů Měsíce a stínu asi 1 ◦ , Měsíc v úplňku se tedy musí přiblížit 

kuzluna10 ◦ až 12 ◦ . 

Předpokládejme tedy, že právě nastalo zatmění Měsíce. Příští úplněk, tj. za 

jeden synodický měsíc, se Měsíc vzdálí od svého uzlu o 30. 67 ◦ , aprotojiž žádné 

zatmění nenastane. Po šesti měsících se však Měsíc nachází 184. 02 ◦ od původního 

uzlu, tedy pouze 4. 02 ◦ od opačného uzlu své dráhy, takže zatmění Měsíce opět 

nastane. Zatmění se opakují tak dlouho, než Měsíc proběhne celý interval ±12 ◦ 

kolem uzlu. Prakticky tedy nastane až šestzatmění po sobě (ztohojsouzhrubatři 

zatmění úplná), a to vždy po šesti úplňcích, tj. po 177 dnech. Teprve pak následuje 

delšíobdobíbezzatmění Měsíce. Cyklus pěti až šesti zatměnísezopakujekaždých 

47 synodických měsíců. 

Ilustrace k výpočtu zatmění Měsíce. Poloha 

Měsíce v osmi po sobě jdoucích pozicích vzdálených 

šest synodických měsíců. Měsíc se posune 

vždy o 184 ◦ východně, proto střídá pravidelně 

svou polohu v okolí vzestupného a 

sestupného uzlu. Pozicím 2, 3 a 7 odpovídá 

částečné a pozicím 4, 5 a 6 odpovídá úpné zatmění 

Měsíce. 

Zatmění Měsíce jsou tedy docela snadno předvídatelná a uměli to již babylónští 

kněžív8.stol.př. n. l. Situaci komplikuje jen skutečnost, že některá ze zatmění 

mohou nastat ve dne, takže nebudou na příslušném místě pozorovatelná. Proto 

některá zatmění z celého cyklu uniknou pozornosti. Poznamenejme závěrem, že 

především pohyb Měsíce je dosti nepravidelný, takže naše výpočty vycházející z 

rovnoměrného pohybu mohou být pochopitelně jenpřibližné.


6.5.8 Výpočet zatmění Slunce 

Abydošlokzatmění Slunce, musí být Měsíc v novu a samozřejmě takévesvém 

uzlu. Úhlový průměr Měsíce i Slunce je asi půl stupně, aby došlo k částečnému 

zatmění, musí se jejich středy přiblížit alespoň napůl stupně. Vzhledem k paralaxe 

Měsícesepohledyrůzných pozorovatelů na Zemi liší až o jeden stupeň. Částečné 

zatmění Slunce tedy někde na Zemi nastane tehdy, když sestředy obou nebeských 

těles k sobě přiblíží alespoň na jeden a půl stupně a úplné zatmění pak nastane 

tehdy, když sepřiblíží na jeden stupeň. K tomu může dojít jen poblíž uzluměsíční 

dráhy,tj.vmístě, kde dráha Měsíce protíná ekliptiku. Vzhledem k mírnému sklonu 

měsíční dráhy stačí, aby Měsíc v novu byl méně než 18 ◦ vzdálen od svého uzlu, 

a budeme moci někde na Zemi pozorovat částečné zatmění Slunce. Nastalo-li během 

úplňku zatmění Měsíce, pak za následujícího novu nastane nejspíše i zatmění 

Slunce, protože Měsíc se za polovinu synodického měsíce vzdálí jen o 15.3 ◦ od uzlu. 

Podobně, jako tomu bylo u zatmění Slunce, každých šest měsíců seMěsíc přiblíží 

ke svému uzlu a může znovu nastat zatmění Slunce. Někdy se ale může zatmění 

zopakovat i po jediném měsíci. 

Předpokládejme, že v čase nula nastalo zatmění Slunce, tj. Měsíc je v novu 

a ve svém výstupním uzlu. Měsíc se dostane znovu do novu za jednu synodickou 

periodu, tj. za 29. 531 dne. V tom okamžiku je však Měsíc již 30. 7 ◦ za výstupním 

uzlem, takže k zatmění Slunce nedojde. Každý další úplněk se Měsíc vzdálí o 

30. 7 ◦ od uzlu. Další úplňky tedy nastanou, když bude Měsíc 61. 3 ◦ , 92. 0 ◦ atd. 

za uzlem. Šestý úplněk bude již 184. 0 ◦ za výstupním uzlem, to však je jen 4. 

0 ◦ za sestupným uzlem, takže další zatmění Slunce nastane po šesti synodických 

měsících (asi za 177 dní) ve výstupním uzlu měsíčnídráhy.Podobněbychomspočetli, 

že další zatmění nastane po dvanácti, osmnácti, dvacetitřech, dvacetičtyřech, 

dvacetidevíti atd. synodických měsících. Takto je možno vypočítat všechna další 

zatmění Slunce. Zatmění Slunce tedy nastávají častěji, ale neopakují se s takovou 

jednoduchou pravidelností, jako tomu bylo u zatmění Měsíce. Navíc, závisí na poloze 

pozorovatele, zda půjde o úplné, prstencové nebo jen částečné zatmění Slunce. 

Přesný výpočet zatmění je samozřejmě mnohem komplikovanější, protože zahrnuje 

nerovnoměrnosti pohybu i změny vzdáleností Měsíce a Slunce od Země. 

6.5.9 Perioda saros 

Měsíc se dostaneme do uzlu dvakrát za drakonický měsíc, který trvá asi 27. 

212 220 dne. Slunce potká Měsíc na obloze jednou za synodický měsíc, který 

trvá 29. 530 589 dne. Za stejnou dobu se také vystřídají všechny fáze Měsíce. Obě 

periody se téměř přesně sejdou za 223 synodických měsíců, což je6585. 321 35 dne 

neboli 241. 998 6 drakonických měsíců. Příslušná perioda se nazývá saros aznali 

ji už babylónští astronomové v 8. stol. př. n. l. Pro moderní atronomii ji znovu 

objevil Edmond Halley roku 1715. Saros trvá přibližně 18 let a 10 nebo 11 dní 

(podle toho, zda na periodu připadne pět nebo čtyři přestupné roky) a 7 h 43 m . 

Po uplynutí této doby se vzájemné polohy Slunce, Měsíce a Země téměř přesně 

shodují. Vzhledem k tomu, že saros přesahuje zhruba o třetinu dne celočíselný 

násobek počtu dní, budou zatmění v následující periodě saros posunuta a budou

6.6. PRVNÍ ODHADY VELIKOSTI KOSMU 291 

pozorovaná v zeměpisných místech posunutých o 120 ◦ směrem na západ. 

Během jedné periody saros se uskuteční průměrně 43 slunečních zatmění, z toho 

15 úplných, a 28 měsíčních zatmění, z toho 13 úplných. Pro výpočet zatmění se 

používají i další periody jako je Metonův cyklus trvající 235 synodických měsíců 

neboli 19 tropických roků aperioda inex trvající 358 synodických měsíců neboli 

388.5 drakonických měsíců. 

Průměrně senaurčitém místě Země vyskytnou za celé století jen tři až čtyři 

zatmění Slunce a asi sto deset zatmění Měsíce. 

Během jednoho století se průměrně vyskytne 239 zatmění Slunce, z toho 85 

částečných, 84 prstencových, 65 úplných a 5 hybridních (na některých místech se 

bude jevit úplným, jinde prstencovým). Za stejnou dobu se objeví průměrně 154 

zatmění Měsíce. Ročnějetedymožno pozorovat průměrnědvěažtři zatmění Slunce 

a jedno až dvězatmění Měsíce. Výjimečně všakmůže nastat za jediný rok až pět 

zatmění Slunce! 

Nejstarší doložené pozorování zatmění Měsíce pochází z roku 1361 př. n. l. a 

nejstarší zatmění Slunce z roku 1216 př. n. l., obě pozorování pocházejí ze starověké 

Číny. První úspěšnou a písemně zaznamenanou předpově d , zatmění Slunce 

uskutečnil Thalés z Milétu roku 585 př. n. l. 

6.6 První odhady velikosti kosmu 

6.6.1 Počátky astronomie 

Kolem roku 4000 př. n. l. měli v Sumeru jasnou představu o pojmech sever, jih, 

východ a západ. V Egyptě ve stejné době věděli, že rok trvá 365 dní a že hvězda 

Sírius se vynořuje nad obzor chvíli předSluncemjenjednouzarok,vždy právě 

před záplavami na Nilu. SlunečníhodinyjsouvEgyptě známy od roku 3000 př. n. 

l. 

Babylónští astronomové znají vedle Slunce a Měsíce nejméně odroku2400př. 

n. l. pět dalších bludných hvězd, souhrnně jenazývajíplanety.Zestejnédobypochází 

i většina dnešních názvů souhvězdí. Z roku 2000 př. n. l. jsou první doklady 

oúspěšném předpovídání zatmění Slunce a Měsíce. Zdokonalená konstrukce pozorovacích 

přístrojů umožňovala určovat babylónským astronomům polohu hvězd s 

přesností na 6 0 aměřit časspřesností 45 minut. Souřadnice a vzdálenosti hvězd 

měří v hexadecimálních zlomcích, tedy v minutách a sekundách, právě takměříme 

úhly a čas dodnes. Byla určena přesná hodnota synodického měsíce a objevena 

periodicita zatmění Slunce a Měsíce. Tato perioda nese název saros atrvá223 

synodických měsíců neboli18leta11.3dne. 

Kolem roku 3100 př. n. l. byla v anglickém Stonehenge postavena první kamenná 

astronomická observatoř. Zbytky třetí kruhové kamenné observatořezroku1900 

př. n. l. je možno obdivovat dodnes.


6.6.2 Psí hvězda 

Astronomická pozorování hrála významnou roli v nejstarší historii Egypta. Tato 

suchá a písečná zem byla životně odkázána na každoroční záplavy Nilu. VodyNilu 

pocházejí z pravidelných letních monzunů, které naprší v etiopských horách. Velká 

voda přicházela do Memphisu, tehdejšího hlavního města říše, nejpozději 25. června. 

Osmimetrová záplavová vlna přinášela do vyprahlého údolí nezbytnou vláhu a živiny 

pro podzimní úrodu. Bez záplav by celou říši čekal hlad. 

Velkávodapřitom přicházela do letním sluncem vysušené země jakoby zázrakem. 

Není divu, že staří Egyp tané , uvěřili, že blahodárné záplavy má na svědomí 

bůh Sothis, kteréhoztotožňovali s hvězdou Sírius ze souhvězdí Velkého psa.Kněží 

si totiž všimli, že záplavám každý rok předchází heliaktický východ Síria (tj. východ 

hvězdy před východem Slunce) a ten tehdy (tj. kolem roku 3000 př. n. l.) nastával 

22. června. Tak mohli egyptští kněží celkem bezpečně předpovídat příchod záplav 

podle psí hvězdy několik dní předem. 

Heliaktický východ Síria se opakuje každý rok. 

Protože se východ Síria opakoval s periodou 365 dní, zavedli kněží roku 2776 př. 

n. l. sluneční staroegyptský kalendář o délce 365 dní. Rok začínal měsícem Thot, 

první den měsíce Thot odpovídal heliaktickému východu Síria. Kněží si brzy všimli, 

že východ Síria se každoročně opož duje, , za čtyři roky zhruba o jeden den. Sluneční 

rok tedy trvá spíše 365 a 1/4 dne, reformovat zavedený kalendář sevšakkněží 

neodvážili. Teprve roku 238 př. n. l. na příkaz krále Ptolemaia III. Euergeta 

kněží kalendář reformovali zavedením přestupného dne vkládaného do kalendáře 

každý čtvrtý rok. Když se s tímto kalendářem seznámil během svého egyptského 

tažení Julius Caesar, ihned poznal jeho přednosti a roku 45 př. n. l. jej zavedl 

jako státní kalendářvŘímské říši. Na císařovu počest byl egyptský kalendář nazván 

juliánským kalendářem, který se používalvkatolickéEvropěaž do 16. století, 

v pravoslavné a protestantské Evropě ještě mnohem déle. Například v Rusku se 

juliánský kalendář užíval až do 20. století a v pravoslavné církvi se jej užívá dodnes. 

Také kult psí hvězdy postupně ztratil na významu, když seposunulokamžik 

heliaktického východu Síria v důsledku precese zemské osy. Kolem roku 2000 př. 

n. l. totiž heliaktický východ nastával až 30.června a dnes nastává dokonce až 20. 

července. Psí hvězda tedy nemá se záplavami na Nilu nic společného a její kult 

vznikl ve starém Egyptě jen náhodnou koincidencí nebeských a pozemských jevů. 

6.6.3 Nejstarší názory na svět 

Podle indické mytologie je země plochá kruhová deska, kterou nesou na hřbetě tři 

sloni. Sloni stojí na krunýři obrovské želvy, která pluje na nekonečném moři.


Podle řecké mytologie zemi a nebe od sebe oddělují mohutné sloupy, které podpírá 

bájný obr Atlas, bratrPrométheův. Lidévěřili, že na kraji světa padají mořské 

vody jako nekonečný vodopád do hlubin a odvážný mořeplavec, který by se tam 

vydal, by byl vodním proudem stržen a zahuben. Pohyby vod na kraji světa jsou 

údajně taképříčinou přílivu a odlivu. Za Herkulovými sloupy prý slunce zapadalo 

do moře za sykotu páry. 

Čím více k jihu, tím více slunce spaluje zemi, proto se Řekové domnívali, že 

země jižně pod Saharou je jen spálenou neobyvatelnou zemí, kde nic neroste a nic 

nežije. Rozdíly v podnebí má podle řeckých bájí na svědomí nerozvážný Faëthon, 

syn boha slunce Hélia, kterýneuřídil sluneční vůz, takže severní země seproměnila 

v led, zatímco jižní byla spálena. Tak vznikly velké pouště ačerní obyvatelé Afriky 

dostali jméno Etiopané (tj. spálení). 

První názor neodvozený od mytologie měl Thalés z Milétu v6.stol.př. 

n. l. Tvrdil, že vesmír je tvořen vodou, nekonečným oceánem, na němž sevznáší 

Země. Thalés dokazoval, že hvězdy svítí vlastním světlem, zatímco Měsíc světlem 

odraženým.Zemipovažoval ještě za plochou desku. Jeho žák Anaximandros z 

Milétu si představoval oblohu jako sféry obklopující Zemi, s hvězdami na sféře 

vnější a se Sluncem a Měsícem na sféře vnitřní. Všechno pochází z pralátky, která 

se ničím nevyznačovalaajíž se nic nepodobalo. Za pozornost ale stojí především 

jiná moderní myšlenka, podle Anaximandra se život zrodil v moři, z ryb se vyvinuli 

živočichové, kteří osídlili souš, a z nich pak vznikli lidé. 

Smyšlenkou,že Země je vlastně koulenacházejícísevestředu vesmíru, přišel 

v6.stol.př. n. l. Pýthagorás ze Samu. Tentakéobjevil,že Večernice i Jitřenka 

jsou jedna a táž hvězda — planeta Venuše. Anaxagorás z Klazomen sev5.stol. 

domnívá, že Slunce je žhavý kámen trochu větší než Peloponés. Za spis o příčinách 

zatmění mu hrozí smrt. Další pýthagorovec Filoláos z Krotónu zformuloval 

světový systém s centrálním ohněm ve středu vesmíru, kolem něhož obíháZemě, 

Slunce, Měsíc a zbývající planety. Naproti Zemi, přesně naopačné straně odcentrálního 

ohně, se údajně nacházíProtizemě. Tu, z pochopitelných důvodů, není 

možno ze Země spatřit. Vyslovil také myšlenku, že Země rotuje kolem své osy. 

Démokritos z Abdér učil, že vesmír je nekonečnýavněm nekonečné množství 

světů. Kolem roku 450 př. n. l. přichází Empedoklés z Akragantu snázorem, 

že vše, co je věcné povahy, se skládá ze směsi vzduchu, půdy, ohně avody.Po 

prozkoumání meteoritu přišel s myšlenkou, že Země ihvězdy jsou tvořeny stejnými 

látkami. Kolem roku 450 př. n. l. Oenopidés z Kiosu objevil, že sklon ekliptiky 

je asi 24 ◦ . 

Ve 4. stol. př. n. l. tvrdí Platón ajehožák Eudoxos z Knidu, že nebesa 

jsou dokonalá. Hvězdy a planety proto musí okolo Země obíhat po dokonalých, tj. 

kruhových, drahách. To je umožněno tím, že hvězdy i planety jsou upevněny na 

obrovských křiš tálových , sférách. Platón byl přesvědčen, stejně jako Pýthagorás, že 

při otáčení těchto sfér vzniká hudba.


6.6.4 Aristotelés, Země jekulatáanehybná 

Další rozvoj astronomie a fyziky výrazně ovlivnily myšlenky génia starověku Aristotela 

ze Stageiry (4. stol. př. n. l.). Aristotelés byl rovněž žákem Platóna. 

Pozoroval geometrický stín Země při zatmění Měsíce a logicky z toho vyvodil, že 

Země musí mít tvar koule. Aristotelés nebyl první, kdo byl přesvědčen o tom, že 

Země je kulatá, věděl to před ním již Pythagoras a další řečtí učenci. Aristotelés 

uvádí tři jevy, které dokazují, že Země jekulatá: 

1. Stín, který vrhá Země při zatmění Měsíce na jeho povrch, má kulatý okraj. 

Země vrhápři zatmění Měsíce kulatý stín. 

2. Otevřené moře se zdá být mírně zakulacenéapři pozorování lodi, která 

vplouvá do přístavu, je nejdříve vidět její stožár a plachty a teprve později, až se 

lo d , více přiblíží, je vidět i její trup. Lo d , se tedy jakoby vynořuje zpoza obzoru. 

Lo , dpřibližující se k přístavu.Nejprvejevidět 

na obzoru její stožár, pak plachty a až nakonec 

trup lodi. 

3. Různá místa na Zemi jsou osvětlena Sluncem pod různým úhlem. V tropech 

dopadají sluneční paprsky na zem kolměji než v mírných pásmech a tam zase 

kolměji než v polárních oblastech. Je to způsobeno tím, že kulatá Země nastavuje 

Slunci svůj povrch v různých šířkách pod různým úhlem. 

S rostoucí vzdáleností od rovníku klesá výška 

Slunce na obloze. Zatímco na rovník dopadají 

paprsky kolmo, na póly dopadají tečně. 

Do svého geocentrického světového názoru skloubil Aristotelés empirické poznatkyisvéfilozofické 

představy. Nehybná Země jestředem vesmíru a kolem ní 

se majestátně, nehlučně anavěky otáčejí křiš tálové , sféry Měsíce, Slunce, Merkura, 

Venuše, Marsu, Jupitera a Saturna. Nejdále od Země je sféra nehybných 

hvězd. Aristotelés rozlišoval sublunární oblast, kterájesložena ze čtyř základních 

elementů: oheň, vzduch, voda a zem a supralunární oblast, kterájesložena jen z 

nehmotného éteru. Zněj jsou složeny Slunce i hvězdy. Komety považoval za krátkodobé 

atmosférické jevy a Mléčnou dráhu za éterické výpary vyvolané rychlým 

pohybem hvězd kolem Země. Jakýkoliv pohyb Země vevesmíruAristoteléskate-


goricky popíral! 

6.6.5 Aristotelova fyzika 

PodleAristotelajepříčinoupohybutěles stálý vnější popud, vnější hybatel, dnes 

bychom řekli síla. Pokud tato zaniká, těleso se okamžitě zastaví. To vysvětluje, proč 

se na moři zastaví lo d, , přestane-li foukat vítr a proč sezastavíkočár, přestane-li 

jej kůň táhnout. Pohyb letícího šípu, kdy na něj už nepůsobí síla napnuté tětivy, 

vysvětluje Aristotelés působením vzduchu na šíp během letu. Vzduch před šípem 

se zře dujeazanímzahuš , 

tuje, , a tím je šíp popoháněn vpřed. Aristotelés neznal 

pojem síly působící na dálku, ani tření, které pohyby brzdí. 

Některá tělesa se přestodávajídopohybuibezvnějšího hybatele. Například 

kámen nebo déš tpadákzemi,zatímcopáranebokouřstoupávzhůru. , 

Příčiny těchto 

pohybů spatřoval Aristotelés v přirozeném předurčení těles podle jejich povahy. 

Všechny pozemské látky se skládají ze čtyř základních substancí, elementů neboli 

živlů. Jsou jimi země, voda, vzduch a oheň.Tělesa a předměty, které obsahují hodně 

ohně a vzduchu, stoupají vzhůru, kde je jejich přirozené místo. Pátým elementem 

je nebeský éter, ten se však na zemi nenachází. Skládají se z něj jen Slunce, hvězdy 

aplanety. 

Vržená tělesa se bez dalšího působení síly, která je vymrštila do vzduchu, zastavují 

a padají zpět k zemi. Výjimkou jsou jen hvězdy a planety. Ty obíhají věčně 

kolem Země i bez neustálého působení vnějšího hybatele. To podle Aristotela jen 

dokazuje, že jsou jiné povahy než všechna pozemská tělesa. Jde o dokonalá božská 

tělesa, která jsou nepravidelně rozeseta na osmi křiš tálových , nebeských sférách, 

kteréseotáčejí majestátně, rovnoměrně a nehlučně navěky věků kolemstředu 

světa, kterým je Země. Dokonalá nebeská tělesa mají dokonalý tvar, tedy tvar 

koule a pohybují se po nejdokonalejších křivkách, tedy po kružnicích, bez tření a 

bez zpomalování, na věky. Proto také mají Slunce a Měsíc tvar koule. 

Přirozené místo všech pěti elementů vzhledem 

ke středu světa podle Aristotela (a) avlastnosti 

základních elementů (b) . 

Tělesa a předměty, které obsahují především zemi a vodu, padají přirozeně 

dolů, k zemi, a kdyby mohly, tak až dostředu světa,kdejejejichpřirozené místo. 

Vše pozemské se tedy nahromadilo kolem tohoto přirozeného středu světa. Proto 

je podle Aristotela logické, že Země je kulatá a nehybná. Aristotelova teorie není 

teorií gravitace, tělesa se v ní navzájem nepřitahují, ale jsou přitahována do jediného 

bodu — středu světa. 

Aristotelova fyzika byla později křes tanskými , scholastiky rozšířena i na metafyziku. 

Ta přirozeně dále vyvozovala, že místo dokonalých bohů, nehmotných 

étérických bytostí, andělů a duší je v nebi. Naopak místo pro vše nedokonalé a


špatné, tedy pro vše lidské, je dole zde na zemi. Ještě větší zlo se nachází pod zemí, 

to místo se nazývá peklo, sídlo zla. 

Aristotelés uměl čistě filozoficky dokázat, že Země musí být kulatá a nehybná, a 

že musí být středem světa, kolem nějž obíhají Slunce, planety i hvězdy. Aristotelova 

filozofie byla logicky velmi dobřepropracovanáanasvoudobumoderní.Svědčí o 

tom i to, že se udržela bez podstatných změn téměř dva tisíce let. Teprve pak se 

stala brzdou rozvoje astronomie i fyziky. 

6.6.6 Aristarchos, vzdálenost a velikost Měsíce 

Prvním skutečně velkým astronomem byl řecký učenec Aristarchos ze Samu. 

Již kolem roku 275 př. n. l. dokázal změřit vzdálenost a velikost Měsíce a Slunce. 

Vzdálenost a velikost Měsíce spočetl z velikosti zemského stínu vznikajícího při 

zatmění Měsíce. Nejprve zjistil, že úhlový poloměr Slunce φ S = R S /a S iMěsíce 

φ M = R M /a M jsou zhruba stejné a mají velikost φ S ≈ φ M ≈ 15 0 . Z geometrie 

plyne pro poloměr zemského stínu rovnice 

r = R Z − a M φ S ≈ R Z − R M . 

Aristarchos pozoroval zatmění Měsíce a odhadl při něm zemský stín na dvojnásobek 

velikosti Měsíce r ≈ 2R M . Po dosazení za r dostaneme R M ≈ R Z /3. Pokud jde 

o vzdálenost Měsíce, tu nalezneme snadno ze vztahu a M = R M /φ M ≈ 77R Z . To 

byly výsledky, ke kterým dospěl před dvěmatisíciletyAristarchos.Měsíc je podle 

něj třikrát menší než Země a obíhá kolem ní ve vzdálenosti 77 zemských poloměrů. 

Aristarchův odhad velikosti stínu Země nebyl úplně přesný, správná velikost 

zemského stínu je r ≈ 2.7R M . Pak bychom dostali také mnohem přesnější hodnoty 

pro velikost a vzdálenost Měsíce 

R M ≈ R Z /3.7 a a M ≈ 60R Z . 

Zatmění Měsíce, zemský stín 

Jinou originální metodu k určení vzdálenosti Měsíce použil Hipparchos roku 

189 př. n. l. Z informací od svých kolegů se dozvěděl, že v Hellespontu nastalo 

úplné zatmění Slunce, zatímco v Alexandrii bylo Slunce zastíněno jen z 80 %. 

Protože velikost Slunce je asi 30 0 , musí být z Měsíce vidět vzdálenost Hellespont 

— Alexandrie pod úhlem 6 0 . Odtud už Hipparchos odhadl vzdálenost Měsíce na 

62 až 74 zemských poloměrů. Ve druhém století zpřesnil vzdálenost Měsíce na 59 

poloměrů Země Klaudios Ptolemaios. 

6.6.7 Triangulační metody 

Aristarchos se pokoušel určit vzdálenost Měsíce také triangulační metodou. Metoda 

je založenanasoučasných pozorováních Měsícezedvourůzných míst A a B


vzdálených od sebe o jistou vzdálenost d = |AB| . Změříme-li úhel α mezi Měsícem 

M avybranouhvězdou H vmístě A a stejný úhel β na jiném místě B, pak 

vzdálenost Měsíce od místa A se spočte podle sínové věty 

sin (γ + β) 

|AM| = d 

sin (α − β) , 

kde γ je výška hvězdy H nad obzorem. Podobně lzeurčovat i výšku mraku či 

meteoru. Triangulační metoda se používá v astronomii a geodézii dodnes. Například 

Tycho Brahe pomocí ní dokázal, že komety se nacházejí hluboko za oběžnou 

dráhou Měsíce. 

Vzdálenost Měsícejemožno určit triangulační 

metodou. Metoda spočívá v pozorování Měsíce 

ze dvou bodů A a B dostatečně vzdálených od 

sebe. 

Svyužitím rotace Země lze metodu modifikovat a měřit azimuty pouze z jediného 

místa A. Za dobu ∆t se Země pootočí o úhel ωt abodA se posune o 

d ≈ ω∆tR Z cos φ, 

čímž se dostane do bodu B. Úhel φ zde představuje zeměpisnou šířku místa A. 

Vzdálenost d může nabýt maximálně průměru Země, rozdíl úhlů může dosáhnout 

maximálně α−β ≈ 2 ◦ (denní paralaxa). Metoda je však komplikovaná skutečností, 

že Měsíc se během měření pohybuje (vůči hvězdám asi o půl stupně zahodinu)a 

s jeho pohybem se proto musí rovněž počítat. 

6.6.8 Aristarchos, vzdálenost a velikost Slunce 

Když Aristarchos nalezl vzdálenost a velikost Měsíce, zaměřil se na Slunce. Vzdálenost 

Slunce od Země vypočetl takto. Je-li Měsíc v první čtvrti, leží Slunce a Země 

vůči Měsíci ve vzájemně kolmýchsměrech. Z pohledu Země je úhel mezi Sluncem 

aMěsícem menší od pravého úhlu o hodnotu γ. Úhelγ zřejmě představuje úhel, 

pod kterým je vzdálenost Země —Měsíc vidět ze Slunce (měsíční paralaxa) a platí 

sin γ = a M 

. 

a S 

Protože tento úhel měří asi 9 0 , je vzdálenost Slunce od Země 

a S = a M 

sin γ ≈ 380a M ≈ 23 000R Z . 

Z úhlové velikosti Slunce snadno spočteme jeho poloměr 

R S = a S φ S = a M 

sin γ φ S ≈ 380R M ≈ 110R Z .


Určení vzdálenosti a velikosti Slunce podle 

Aristarcha. 

Úhel γ je malý a měří se velmi špatně. Není tedy divu, že Aristarchos naměřil 

devatenáctkrát větší hodnotu γ ≈ 3 ◦ .Díkytétonepřesnosti byl také Aristarchův 

vesmír asi devatenáctkrát menší, nežjeveskutečnosti. I přes tuto velkou nepřesnost 

měla Aristarchova měření historický význam pro pochopení vztahů mezi Sluncem, 

Měsícem a planetami. Aristarchos totiž užve3.stol.př. n. l. dokázal, že Slunce 

je větší než Měsíc (19×) iZemě(7×) ataké,že je mnohem dál od Země, než se 

dosud soudilo. Ze svých měření proto logicky vyvodil, že menší Země musí obíhat 

kolem většího Slunce, které je středem vesmíru. Vysvětlil také správně střídání 

dne a noci i příčinu změny ročních dob. Aristarchos byl velkou postavou antické 

astronomie a přišel jako první s myšlenkou heliocentrismu. Jeho dílo se nám 

bohužel nezachovalo a víme o něm jen díky Archimédově citaci. Poznamenejme, že 

také Hérakleidés z Pontu se ve 4. stol. př.n.l.domnívalvreakcinakosmos 

podle Aristotela, že přinejmenším Merkur a Venuše obíhají kolem Slunce a ne kolem 

Země. 

Ještě Mikuláš Koperník se domníval, že Slunce je jen 18 krát dále než Měsíc. 

Vzdálenost Slunce zpřesnil na počátku 17. stol. Johannes Kepler, na základě 

měření Tychona Brahe dospělkhodnotě a S ≈ 59a M . Ke správné hodnotě se 

přiblížili až Gian Domenico Cassini a Jean Richer roku 1672. Změřili paralaxu 

Marsu při jeho opozici ze dvou vzdálených míst (Paříž a Cayenne), odtud spočetli 

vzdálenost Slunce a S ≈ 390a M . 

6.7 Měření Země, problém navigace 

6.7.1 Eratosthenés, velikost Země 

Aristarchos znal rozměry kosmu, ale neznal velikost Země. Tu dokázal určit až 

správce alexandrijské knihovny Eratosthenés Kyrénský. Využil třetího Aristotelova 

argumentu o kulatosti Země aroku250př. n. l. odhadl správně velikost 

naší planety. Při návštěvě města Syeny (tj. dnešní Asuán) si Eratosthenés povšiml, 

že sluneční paprsky se odrážejíodvodníhladinynadně hluboké studny. Sluneční 

paprsky zde tedy dopadaly kolmo na zemský povrch. Eratosthenés zároveň věděl, 

že ve stejný den v Alexandrii ležící o 5000 stadií severněji dopadaly paprsky na 

zem šikmo pod úhlem 7.2 ◦ od kolmice, což je1/50 plného úhlu. Za předpokladu, že 

Slunce je dostatečně daleko, musí všechny sluneční paprsky dopadat na zem rovnoběžně. 

Odtud Eratosthenés vypočetl, že obvod Zeměmá250 000 stadií. Vzhledem k 

tomu, že jeden starořecký stadión měřil pravděpodobně 185 m, dostal Erathostenés 

pro obvod Země hodnotu 46 000 km, která se liší od skutečného rozměru Země asi

6.7. MĚŘENÍ ZEMĚ, PROBLÉM NAVIGACE 299 

o 15 %. 

Ve stejný okamžik dopadaly sluneční paprsky 

vSyeně S kolmo na zem, zatímco v Alexandrii 

A šikmo pod úhlem α ≈ 7.2 ◦ od normály. Ze 

vzdálenosti obou měst a z rozdílu úhlu mezi 

paprsky odvodil Eratosthenés velikost Země. 

Když Eratosthenés poznal velikost Země, mohl určit i rozměryvesmíru.Podobnými 

úvahami jako Aristarchos určil vzdálenost Slunce jako 804 000 000 stadií 

(asi 150 000 000 km) avzdálenostMěsíce jako 780 000 stádií (asi 140 000 km). Tyto 

vzdálenosti spočetl pomocí hodnot získaných při vlastních pozorováních zatmění 

Měsíce. Eratosthenés změřil přesně také sklon ekliptiky 23 ◦ 51 0 a zavedl pojem 

geografie. Z matematiky je dobře známo Eratosthenovo síto, jednoduchá metoda 

pro hledání prvočísel. 

6.7.2 Další astronomické metody určení velikosti Země 

Podobně jako Eratosthenés o 150 let později určil velikost Země Poseidonios ze 

Rhodu. Pomocí výšky hvězdy Canopus měřené současně naRhodu avAlexandrii, 

dostal pro obvod Země 180 000 stadií. Vzdálenost Slunce odhadl na 140 zemských 

poloměrů, příčinu přílivu a odlivu viděl v Měsíci. 

Archimédés ze Syrakús, jemužvděčíme za veškeré dochované informace o 

Aristarchovi,seve3.stol.př. n. l. domníval, že obvod Země je300 000 stadií a 

vzdálenost Slunce 5 miliard stadií. 

Ovelmipřesné určení rozměru Země sezasloužil kalif Al-Mamún (Abu Al- 

Abbas Abd Allah Al-Mamun Ibn Ar-Rashid). Roku 827 nechal změřit v 

irácké stepi délku jednoho stupně zemského poledníku. Jeho astronomům vyšlo, že 

jeden stupeň měří 56 2 3 

míle, takže celý obvod Země má20 400 arabských mílí (asi 

40 000 km). To byl velmi přesný výsledek. 

Jiné přímé určení velikosti Země uskutečnil v 11. století al-Birúní (Abu Ar- 

Rayhan Muhammad Ibn Ahmad Al-Biruni). Změřil pokles horizontu způsobený 

výstupem na vysokou horu, a odtud spočetl obvod Země. Vyšlo mu, že obvod 

Země činí asi 45 000 km. Zgeometriejezřejmé, že výstupem na horu o výšce h 

klesne horizont o úhel γ, pro nějž platí 

cos γ = 

R 

R + h . 

Protože je h ¿ R, stačí se omezit na aproximaci 

γ ≈ 

r 

2h 

R 

, odtud R ≈ 

2h 

γ 2 .


Pokles horizontu o 1 ◦ naměříme při výstupu na horu o výšce asi 1km.Poznamenejme 

dále, že Al-Birúní byl přesvědčeným zastáncem pohybu Země. 

Povýstupunahoruovýšceh klesne horizont 

oúhelγ. 

Orientačně jemožno určitvelikostZeměsestopkamivruceipodlezápadu 

Slunce u tropického moře.Návodznítakto:Lehněte si na pláž při západu Slunce, 

pokud možno za klidného moře. V okamžiku, kdy Slunce zmizí za obzor, stiskněte 

stopky. Pak se rychle postavte a můžete pozorovat poslední fázi západu Slunce ještě 

jednou. Když Slunce zapadne za obzor podruhé, opět zmáčkněte stopky. Z doby 

∆t mezi oběma západy Slunce (trvá asi deset sekund) a z rozdílu h výšek vašich 

očí vleže a ve stoje je možno přibližně určit velikost Země. Pokud Slunce zapadá 

kolmo, bude pokles horizontu γ ≈ Ω∆t odpovídat úhlu, o který se pootočí Země. 

Odtud spočteme hledaný poloměr Země 

R ≈ 

kde Ω je úhlová rychlost rotace Země. 

6.7.3 Zeměpisné souřadnice 

2h 

Ω 2 ∆t 2 , 

Země má zhruba tvar koule, proto se pro popis polohy míst na zemi hodí nejlépe 

sférické souřadnice. Jsou jimi zeměpisné souřadnice (λ, φ) . Základní osou zeměpisných 

souřadnic je zemská osa, jejím prodloužením dostaneme nebeskou osu. 

Roviny rovnoběžné s touto osou vytknou na zemském glóbu poledníky, roviny 

kolmé k zemské ose dají zase vzniknout rovnoběžkám. 

Poledníky určují zeměpisnou délku, kterouznačíme obvykle písmenem λ a 

rovnoběžky určují zeměpisnou šířku, kterouznačíme φ. Zdánlivě nelogické názvy 

délka a šířka mají původ v protáhlém tvaru prvních map, které zachycovaly tehdy 

známý svět kolem Středozemního moře. 

Soustava poledníků (a) arovnoběžek (b). Zeměpisnými 

souřadnicemi (c) jsou zeměpisná 

délka λ a zeměpisná šířka φ. 

Zatímco zeměpisné šířky jsou jednoznačně definovány rovníkem, počátek zeměpisné 

délky (nultý poledník) je nutno definovat dohodou. Za nultý poledník


se bere od roku 1884 poledník, který prochází greenwichskou observatoří poblíž 

Londýna. Zeměpisnou šířku měříme na sever kladně a na jih záporně, zeměpisnou 

délku měříme na východ kladně a na západ záporně. Nejdelší rovnoběžkou 

je zemský rovník φ =0 ◦ . Dalšími významnými rovnoběžkami jsou obratník 

Raka φ ≈ 23.5 ◦ a obratník Kozoroha φ ≈ −23.5 ◦ adáleseverní a jižní 

polární kruh φ ≈ ±66.5 ◦ . 

6.7.4 Cesta kolem světa 

Rozmach osmanské říše v 15. století způsobil rozpad tradičních obchodních vazeb 

na Asii. Poptávka po vzácném koření vedla k rozvoji mořeplavby, jejímž cílem byly 

především na koření bohaté ostrovy zadní Indie. Cesta do Indie vedla kolem celé 

Afriky a byla příliš dlouhá. Kryštofa Kolumba proto napadlo, že když jeZemě 

kulatá, mohl by se do Indie dostat i netradiční západní cestou. Kolumbus při svých 

úvahách vycházel především z mapy, kterou roku 1474 sestavil Paolo Toscanelli 

pro portugalského krále a z poznatků cestovateleMarco Pola. Na Toscanelliho 

mapě tvoří délka Evropy a Asie téměř dvětřetiny obvodu Země atakésamotná 

Země jenanímenšínežveskutečnosti. Mapa čerpala především ze starých antických 

map. Většina učenců tyto mapy zcela oprávněně odmítala jako chybné a 

nedoporučovala přijmout Kolumbovy návrhy. Podle Toscanelliho mapy ležel Cipang 

(tj. Japonsko) asi 3000 námořních mil od Kanárských ostrovů. Kolumbus se 

dokonce domníval, že leží ještě blíže, snad jen 2400 mil, to je zhruba čtrnáct dní 

plavby. Ve skutečnosti leží japonské ostrovy asi 10 600 milodKanárskýchostrovů! 

Kdyby měl Kolumbus k dispozici správné mapy, zřejmě bysenasvouodvážnou 

plavbu nikdy nevydal. 

Po dlouhých osmi letech Kolumbus španělský dvůr přesvědčil. Byl jmenován 

admirálem a dostal tři lodi Niñu, Pintu a Santa Maríu, snimižsemohlvydat 

na cestu do neznáma. Rozhodující část plavby z Kanárských ostrovů ažnaprvní 

ostrov Nového světatrvalaKolumbově výpravě 33 dní, během ní námořníci neviděli 

pevninu a aby utlumil jejich nespokojenost, musel falšovat lodní záznamy. Dne 6. 

září 1492 objevil ostrov San Salvador, 24.října ostrov Kuba a 5. prosince ostrov 

Haiti. Protože nalezené ostrovy ležely zhruba ve vzdálenosti, kterou Kolumbus 

odhadoval na základě svých nepřesných map, byl skálopevně přesvědčen o tom, že 

doplul do Asie. Ostrovy proto nazval západní Indií a její obyvatele Indiány. 

Roku 1521 se Fernão de Magalhães (španělsky psáno Hernando de Magallanes) 

vydal pod španělskou vlajkou na cestu kolem světa. Obeplul Ameriku, 

objevil Magalhãesův průliv a úspěšně sepřeplavil přes Tichý oceán. Ačkoliv byl 

na Filipínách zabit, jeho lodi pokračovaly dál v plavbě na západ a pod vedením 

nového kapitána, jímž sestalJuan Sebastián de Elcano, dne 8. září roku 1522 

úspěšně dokončily první plavbu kolem světa. 

Během temného středověku byl poznatek o kulatosti Země téměř zapomenut. 

Díky objevu Ameriky a obeplutí světa vešel znovu ve známost. O kulatosti Země 

od té doby již nikdo vážně nepochyboval, zato o rotaci Země sevšakměl svést ještě 

tuhý boj.


6.7.5 Měření zeměpisné šířky 

Pro rozlehlost Země a neprostupnost hor a moří se musí zeměpisné souřadnice 

určovat pomocí astronomických metod. Je dobře známo, že výška poledního Slunce 

na obloze klesá od rovníku k polárním oblastem a naopak, že výška Polárky a 

zemského pólu na obloze stoupá. Toho se využívá při určování zeměpisné šířky. 

Výška nebeského pólu na noční obloze určuje přímo zeměpisnou šířku daného místa. 

Spřesností lepší jednoho stupně jetovýškaPolárky. 

Zeměpisnou šířku je možno určovat i z polohy jiných hvězd, pokud známe jejich 

deklinaci. Z výšky h hvězdy nad obzorem při kulminaci a její deklinace δ spočteme 

zeměpisnou šířku podle vzorce 

φ =90 ◦ −h + δ. 

K tomuto určení zeměpisné šířky musíme mít po ruce astronomické tabulky s hodnotami 

deklinace hvězd. Ve dne se použije místo hvězd Slunce, musíme ovšem znát 

deklinaci Slunce v příslušný den. 

Určení zeměpisné šířky φ z výšky horní H 2 a 

dolní H 1 kulminace cirkumpolární hvězdy. Zde 

P S představuje severní nebeský pól. 

Pokud nemáme tabulky po ruce, můžeme změřit výšku horní a dolní kulminace 

cirkumpolární hvězdy, z těchto výšek najdeme zeměpisnou šířku podle předpisu 

φ = 1 2 (h 1 + h 2 ) . 

Vtomtopřípadě se tedy bez astronomických tabulek obejdeme. Obě kulminace je 

možno naměřit během jediné noci jen v zimě, kdy jsou noci dostatečně dlouhé. 

6.7.6 Měření zeměpisné délky 

Určit zeměpisnou délku je mnohem složitější. Všechny klasické metody jsou založeny 

na skutečnosti, že Země rovnoměrně rotuje kolem své osy, a proto se okamžik 

místního poledne posouvá o celou hodinu při posunu poledníku o 15 ◦ na východ. 

Například, jestliže v určitém místě nastává poledne ve 14 hodin světového času, 

nachází se toto místo 2 × 15 ◦ východně od nultého poledníku. Jeho poloha je tedy 

30 ◦ východní délky. Jestliže nastane poledne v 8 hodin světového času, nachází se 

místo západně od nulového poledníku a jeho zeměpisná délka je 60 ◦ západní délky. 

Určení zeměpisné délky ovšem vyžaduje znalost přesného světového času, který 

mohla poskytnout jedině hvězdná obloha. O první určení zeměpisných souřadnic 

Nového světa se zasloužil roku 1499 mořeplavec Amerigo Vespucci. Jeho metoda 

byla zdokonalena a používána pak po několik století. Amerigo určil zeměpisné souřadnice 

své lodi nacházející se kdesi u pobřeží dnešní Venezuely. Zeměpisnou šířku


určil standardně metodou kulminace hvězd. Vyšlo mu 10 ◦ severní šířky. Při určování 

zeměpisné délky postupoval takto. V půl sedmé večer místního času pozoroval 

konjukci Marsu a Měsíce. Podle astronomických tabulek, nezbytné výbavy každého 

lodního navigátora, měla konjunkce nastat v Norimberku 4 kolem půlnoci. Odtud 

Amerigo správně usoudil, že se se svou lodí nachází asi pět a půl hodiny západně 

od Norimberku, tj. 82. 5 ◦ . Tak Vespucci dokázal, že Amerika není Čínou ani Indií, 

jak se domníval Kryštof Kolumbus. 

6.7.7 Problém přesné navigace 

Problémem přesnénavigaceseintenzívně zabývaly vlády všech námořních velmocí, 

především pak Angličané a Francouzi. Teoreticky to byl problém dávno vyřešený. 

Stačí sledovat oblohu, zeměpisnou šířku určíme z výšky Polárky na obloze a zeměpisnou 

délku z rozdílu slunečního času daného místa a času na nultém poledníku. 

Každá hodina slunečního času napřed znamená posun o 15 ◦ na východ. Kde však 

vzít na lodi světový čas? Problém přesné navigace přitom byl na konci 17. století již 

více než naléhavý. Námořní doprava se rozšířila natolik, že lodní společnosti ztrácely 

vdůsledku nepřesné navigace více lodí než následkemrozmarůpočasí, chamtivosti 

pirátů aválečných ztrát dohromady. Většina lodí té doby přitom ztroskotala jen 

proto, že neznala dostatečně přesně svoji polohu. Chyba jedné minuty v určení lodního 

času znamenala v určenípolohylodinepřesnost patnácti obloukových minut, 

to je patnácti námořních mil neboli 28 km. 

Myšlenka na sestrojení přesných mechanických hodin, které by po celou dobu 

plavby nesly čas domovského přístavu, se dlouho zdála naprosto nereálná. Rovnoměrný 

chod hodin rušilo jak kymácení lodi, tak značné výkyvy teplot. Jediným 

zdrojem světového času proto zůstávala hvězdná obloha. Nejslibnější metodou se 

nejprve zdálo být použití tabulek pro polohu Jupiterových měsíčků. Metodu navrhl 

roku 1616 samotný Galileo, zdokonalené praktické tabulky pro hrubé určení 

zeměpisné délky sestavil až roku 1679 Gian Domenico Cassini. Jinou slibnou 

metodou, kterou navrhl roku 1544 Orontius Finaae, bylo měření polohy Měsíce 

na obloze. Metoda se stala použitelnou ažnakonci18.století,dotédobybylypředpovědi 

poloh Měsíce málo přesné. První použitelný Námořní almanach spřesnými 

polohami Měsíce sestavil roku 1766 Nevil Maskelyne. Oběmetodyvšakbyly 

navíc příliš složité a nepraktické. 

Roku 1678 dokázal John Flamsteed pomocí nejpřesnějších kyvadlových hodin, 

že rotace Země kolemosyjeskutečně rovnoměrná, jak předpokládaly všechny 

navrhované metody měření poledníku. Protože pohyb Slunce na obloze není rovnoměrný, 

použil k proměření rotace Země nejjasnější hvězdu, Sírius. 

Naléhává potřeba přesnénavigacepřiměla britskou vládu vypsat roku 1714 veřejnou 

soutěž sodměnou 20 tisíc liber pro toho, kdo najde způsob, jak určit polohu 

lodi po šestitýdenní plavbě do západní Indie s přesností třicet námořních mil. Odměnatobylazávratná,prosrovnáníroční 

plat špičkového královského úředníka 

4 Amerigo Vespucci používal Almanach Regiomontanus. Šlo o navigační tabulky s denními 

pozicemi nebeských těles, které sestavil Johann Müller (známý také pod latinským jménem 

Regiomontanus) a vydal v Norimberku roku 1474.


činil tehdy 100 liber! Splnění těchto požadavků předpokládalo sestrojit námořní 

chronometr, který bude mít chybu menší než tři sekundy za den! Nakonec se však 

ukázalo, že sestrojit palubní hodiny odolné vůči problémům spojeným s plavbou na 

moři je přece jen možné. První chronometr splňující požadavky britské vlády sestrojil 

roku 1735 John Harrison. Roku 1773 veřejnou soutěž vyhrál a zaslouženou 

odměnu získal za svůj čtvrtý chronometr z roku 1759. Chronometr vybavil teplotně 

kompenzovaným kyvadlem, později setrvačkou a celý ho uložil do dvojitého 

závěsu na ložiscích, aby co nejlépe zachovával horizontální polohu i při kymácení 

lodi. Připrvnímtestuseroku1761cestounaJamajkuhodinyopozdilyjenopět 

sekund! Zjednodušenou verzí tohoto chronometru byly postupně vybavenyvšechny 

lodi britského královského námořnictva. 

Revolucivnámořní navigaci znamenal objev rádiových vln kolem roku 1900. 

Od té doby přestala být synchronizace námořních hodin problémem. 

6.7.8 Z historie geografie 

Podle nejstarších názorů byla Země v klidu, protože jinak bychom její pohyb pozorovali, 

byla plochá, protože jinak bychom z ní spadli a byla obrovská, protože 

nikdo jejího konce neviděl a cestovatelé objevovali stále jen nové neznámé země. 

Homér se v 9. stol. př. n. l. domnívá, že plochá země podpírá prohnutou nebeskou 

klenbu. Thalés siv6.stol.př. n. l. myslí, že země jedeskaplovoucína 

oceánu, který se na krajích dotýká klenby nebeské mající tvar koule. Anaximenés 

sev6.stol.př. n. l. domnívá, že se země vznáší na vzduchovém polštáři. Vzduch 

nemůže zpod země uniknout nahoru kvůli ohromné šířce zemského disku. Anaximandros 

siv6.stol.př. n. l. myslí, že země jeválec,jehožprůměr je třikrát větší 

než výška. Tento válec leží přesně vestředu nebeské sféry na vrstvách vzduchu, 

proto jej nemusí nic podpírat. Anaximandros podle Hérodota načrtl první mapu 

světa. Mapu světa ve tvaru disku vytvořil Hecateus. 

Hecateova mapa, země má tvar disku obklopený 

mořem. 

Zpočátku se lidé domnívali, že země je plochá a popisovali ji jen vzdálenostmi 

mezi jednotlivými městy. Velmi pečlivě například zaznamenal mnohé vzdálenosti 

mezi zeměmi antického světa otec dějepisu Hérodotos z Halikarnassu v5. 

století před naším letopočtem. 

Babylóňané zobrazovali svět jako plochý disk, ve 4. stol. př. n. l. se používaly 

protáhlé mapy zobrazující středomoří a jejich tvar dal jména zeměpisným souřadnicím. 

Pýthagorás kolem roku 500 př. n. l. spekuloval, že Země má tvar koule a že 

existuje deset planetárních těles, protože jen koule je dokonalé těleso a jen desítka


je dokonalé číslo. Aby vysvětlil pohyb nebeských těles, vymyslil osm soustředných 

křiš tálových , sfér. Při jejich otáčení údajně vznikáhudba sfér. 

Aristotelés ve 4. stol. př. n. l. dokazuje, že Země jekoule,protože všechna 

těžká tělesa padají do středu světa. Zároveň přidává další argumenty: připlouvající 

lo dsepostupně , 

vynořuje zpoza obzoru, Polárka stoupá k obloze při cestě na sever, 

Země vrhákulatýstínpři zatmění Měsíce. Aristotelés zavedl na zemský glóbus 

klimatické zóny. 

Eratostenés Kyrénský ve 3. stol. př. n. l. změřilrozdílvesměru slunečních 

paprsků v Alexandrii a Syeně, a odtud spočetl, že obvod Země měří 250 000 stadií. 

Protože velbloudí karavana ujede průměrně 100 stádií za den, obešla by karavana 

celý svět za 2500 dní,tj.asizasedmlet.KolikEratostenéspřesněnaměřil je nejisté, 

nevíme totiž, zda měřil v římských (185 m), attických (164 m) nebo egyptských 

(158 m) stadiích. Ale i v tom nejhorším případě bychybačinila jen 15 %. 

Od té doby, co je Země považována za kouli, je možno určovatpolohumístna 

zemi pomocí úhlové míry. Pro potřeby geografie zavedlve2.stol.př. n. l. sí t , zeměpisných 

souřadnic, tj. poledníků aknimkolmýchrovnoběžek Hipparchos 

zNikáie. Za nultý poledník volí ostrov Rhodos. Hipparchoszavádíkónickouprojekci,vastronomiiivgeodéziiužívá 

astroláb. Cratés zobrazuje svět poprvé na 

glóbus. 

První mapy světa zobrazovaly Středomoří, a 

měly proto protáhlý tvar. Zeměpisná souřadnice, 

která určovala polohu místa ve směru 

délky mapy, byla pojmenována přirozeně jako 

zeměpisná délka a podobně vzniklopojmenování 

zeměpisné šířky. 

Poseidónius v1.stol.př. n. l. znova změřilZemipomocíhvězdy Canopus. 

Zjistil, že hvězda se na Rhodu dotýká obzoru, zatímco v Alexandrii je o celou 1/4 

zodiakálního znamení výše, tj. o 7.5 ◦ . Odtud spočetl obvod Země jako180 000 

stadií. Tento výrazně menší odhad použil do svých map Ptolemaios apři svých 

výpočtech z něj později vycházel i Kolumbus. Tojetakédůvod, proč se Kolumbus 

mylně domníval,že Čína a Indie jsou jen tři až čtyři tisíce mil na západ od Evropy. 

Ptolemaios Alexandrijský ve své Geografii ve 2. stol. už zobrazovalsvět 

na kouli, pro mapy užíval válcovou nebo kuželovou projekci. Zatímco zeměpisné 

šířky jsou jednoznačně definovány polohou zemské osy, počátek zeměpisné délky je 

nutno definovat dohodou. Zeměpisnou délku měříme od zvoleného nultého poledníku. 

Hipparchos považoval za nultý poledník ten, který prochází ostrovem Rhodos. 

Později určoval nultý poledník maják na ostrově Ferro,patřící ke Kanárským ostrovům. 

Jako nultý poledník jej do svých map zanesl Ptolemaios již kolem roku 150. 

První moderní zemský glóbus však vytvořil až roku 1492 Martin Beheim. 

Kalif al-Mamún v9.stol.nechalzměřit délku obloukového stupně virácké 

poušti Sindjar poblíž Bagdádu. Pověření učenci zjistili, že jeden obloukový stupeň 

měří 56 2 3 

arabských mil. Odtud je obvod Země 20 400 arabských mil (40 000 km). 

Teprve v 16. století holandský kartograf Gerardus Mercator podstatně


zmenšil rozměry Středozemního moře, čímž prakticky zvětšil zeměkouli. Od roku 

1537 tiskne vynikající mapy. Roku 1544 byl obviněn z kacířství a sedm měsíců 

strávil ve vězení. Od roku 1569 začal postupně vydávat soubory map celého světa, 

nejprve přepracované staré mapy Ptolemaiovy, a pak nové mapy Francie, Německa, 

Holandska, Balkánu, Řecka a Anglie. Kompletní soubor map vyšel roku 1606 jako 

Mercator-Hondius Atlas. Podoznačením atlas se prodávají soubory map dodnes. 

Nesmrtelným se Mercatorovo jméno stalo díky speciální cylindrické projekci 

Země. Tzv. Mercatorova projekce byla poprvé použita na mapu světa roku 

1569. Velmi se osvědčila především v námořní navigaci, i když neúměrně zvětšuje 

polární oblasti. Čárou stálého azimutu (loxodromou neboli kosoběžkou) je totiž na 

mapě vMercatorověprojekcipřímka. Konečně mohlinámořníci spojovat přístavy 

na mapě úsečkou. 

Mapa světa v Mercatorově projekci. Všimněte 

si neúměrně zvětšených polárních území, například 

Grónska. 

Willebrord Snellius použilv16.stoletíjakoprvnítriangulační techniku k 

měření Země. Proměřil 33 trojúhelníků ležících podél poledníku mezi městy Alkmaar 

a Bergen op Zoom v Holandsku a určil jejich zeměpisné souřadnice s přesností 

jedné obloukové minuty. 

Roku 1669 změřil Jean Picard délku poledníku mezi Malvoisine a Amiens pomocí 

triangulace a astronomických měření. Roku 1683 změřil Philippe de Lahire 

délku poledníku mezi Collioure a Dunkerque. Jejichměření zopakovali roku 1716 

Gian Domenico Cassini ajehosynJacques Cassini. Znaměřených výsledků 

Cassini usoudil, že poledníkový obloukový stupeň se k severu zkracuje. Země má 

proto protáhlý tvar ve směru osy asi jako citrón. Naopak Christaan Huygens 

a Isaac Newton předpovídají, že v důsledku rotace musí být Země na pólech 

zploštělá. Země máprotopodlenichspíšetvarpomeranče. Tento vědecký spor je 

znám jako válka citrónu a pomeranče. 

Při astronomické expedici k rovníku do Cayenne vGuyaněroku1672zjistil 

Jean Richer, že se mu zde hodiny opož dují , o dvěapůl minuty denně aže jejich 

kyvadlo musí být zkráceno. To svědčí o tom, že rovník je dál od středu Země aže 

je Země na pólech zploštělá. Spor mezi Cassinim a Newtonem vyřešily další dvě 

výpravy. První výprava vedená Charles Marie de La Condamine směřovala 

roku 1735 do Peru a druhá vedená Pierre-Louis Moreau de Maupertuis roku 

1736 do Laponska. Obě výpravy prokázaly, že poledníkový jednotkový oblouk je v 

Laponsku delší než vPeruaže pravdu měl Newton. Země má tedy tvar pomeranče, 

tj. na pólech zploštělého elipsoidu. 

Dosavadní hrubé odhady zeměpisné délky přestávaly stačit, hledaly se nové 

apřesnější metody určení zeměpisné délky. Návod na její určení pochází z roku 

1530 od Gemma Frisia, je nutno porovnat místní čas a čas hodin ukazujících čas


domovského přístavu. Jejich rozdíl udává vzdálenost od domovského poledníku. 

Není problém změřit místní čas, ale problémem je mít na lodi přesný čas přístavu. 

Galileo Galilei navrhuje použít za astronomické hodiny Jupiterovy měsíce. Regiomontanus 

zase upřednostňuje Měsíc. Problém vyřešil až John Harrison, 

když roku 1735 sestrojil první přesný lodní chronometr. Jehočtvrtý chronometr 

v řadě bylmenšínežtypředchozí a udělal chybu menší než 2minutyzapět měsíců 

plavby. 

Johann Carl Friedrich Gauss vyvinul metodu nejmenších čtverců apoužiljikezpřesnění 

triangulačních měření. Roku 1818 vykonal důkladná geodetická 

měření ve státu Hannover. Prohlásil: Země nemá pravidelný geometrický tvar a 

to, co nazýváme povrchem Země, je matematická plocha, kterou protínají olovnice 

vevšechbodechkolmoajejížsoučástí jsou hladiny oceánů. Tuto nepravidelnou 

plochu nazýváme od roku 1872 geoidem. Friedrich R. Helmert definuje roku 

1884 ekvipotenciální plochu - geoid jako skutečný tvar Země. Tento tvar zaujímá i 

neporušená hladina oceánů (žádný vítr, žádné mořské proudy, žádný příliv atd.) 

Roku 1839 Gauss navrhl využít telegrafu k přenosu časového signálu a k přesnému 

určení zeměpisné délky. Metoda se začala masově využívat po objevu bezdrátové 

telegrafie ve dvacátém století. I dnes se přesnýhodinovýsignálšíří do všech domácností 

rádiem a televizí. 

Lodní doprava si vyžádala na počátku 19. století přesnější mapy, začal nový 

rozmach kartografie. Námořní mocnosti vyslaly mnoho expedic za účelem přesného 

zmapování moří i souší. 

Od roku 1883 se bere za nultý poledník poledník greenwichský, do té doby 

se většinou do map brával po vzoru Ptolemaia jako nultý poledník poledník ferrský, 

procházejícípoblíž ostrova Ferro (dnes součást Kanárských ostrovů). Ten byl 

starověkými učenci považován za nejzápadnější ostrov světa a jako takový jej již 

roku 150 zanesl do svých map Ptolemaios. 

Satelitní éra geodézie započala roku 1957 vysláním prvního Sputniku do kosmu. 

Přesné navigace se dnes dosahuje pomocí systému GPS (the Global Positioning 

System). Systém prvních vojenských satelitů Navstar byl vypuštěn roku 1978, dnes 

obsahuje 18 satelitůaumožňuje určovat polohu lodi, letadla či automobilu kdekoliv 

na zemi s přesností 16 m .

308 KAPITOLA 6. ÚVOD DO ASTRONOMIE

Kapitola 7 

Planety a modely kosmu 

7.1 Planety na obloze 

7.1.1 Planety na obloze 

Bludné hvězdy, tj. oběžnice neboli planety, jsou nebeská tělesa, která pouhým 

okem vypadají stejně jakoostatníhvězdy. Jediný rozdíl spočívá v tom, že planety 

se mezi nehybnými hvězdamipohybujíamění přitom svůj jas. 1 Podle řeckého 

slova πλανηται (cestovat, bloudit, vandrovat) dostaly planety i své jméno. Všechny 

planetysepohybujípoblíž stejné dráhy, po níž se pohybují i Slunce a Měsíc, tj. 

poblíž ekliptiky. Pohybují se přitom velmi nerovnoměrně,ikdyžjistýmzpůsobem 

pravidelně. 

planeta kov den italsky francouzky anglicky německy 

Měsíc stříbro pondělí lunedí lundi Monday Montag 

Mars železo úterý martedí mardi Tuesday Dienstag 

Merkur rtu t , středa mercoledi mercredi Wendsday Mittwoch 

Jupiter cín čtvrtek giovedi jeudi Thursday Donnerstag 

Venuše mě d , pátek venerdi vendredi Friday Freitag 

Saturn olovo sobota sabato samedi Saturday Samstag 

Slunce zlato neděle domenica dimanche Sunday Sonntag 

Všechny planety viditelné pouhým okem znali již babylónští astronomové nejméně 

odroku2400př. n. l. Vedle Slunce a Měsíce, které byly tehdy považovány 

rovněž za planety, to byl dále Merkur, Venuše, Mars, Jupiter a Saturn. Celkem tedy 

starověk znal sedm planet. Sedmička patří mezi magická čísla, její magičnost podtrhával 

nejen počet planet na obloze, ale i počet tehdy známých kovů. Astrologie 

přiřadila každé ze sedmi planet jeden ze sedmi známých kovů ajedendenvtýdnu. 

Tato pozoruhodná souvislost se v mnoha jazycích dodnes zachovala. Dnes již víme, 

že Slunce a Měsíc nejsou skutečnými planetami a navíc, že existují další planety 

1 Teprve za použití dalekohledu se dá pozorovat i změnavelikostiafázeplanet. 

309

310 KAPITOLA 7. PLANETY A MODELY KOSMU 

Uran, Neptun a Pluto, které jsou viditelné pouze dalekohledem. Počet známých 

planet je tedy roven devíti. 

Současné názvy planet pocházejí z římské mytologie, kde Merkur byl bůh 

obchodu a zisku, Venuše bohyně lásky, Mars bůh války, Jupiter nejvyšší bůh, 

Saturn bůh rolnictví, Uran bůh nebe, Neptun bůh moře a Pluto byl bohem podsvětí. 

Staří Řekové znali planety pod jinými jmény, zpočátku se Merkur nazýval 

Stilbon, Venuše byla Phosphorus nebo Hesperus (tj. Jitřenka nebo Večerka), Mars 

se nazýval Pyrois, Jupiter Phaeton a Saturn Phaenon. Později Řekové převzali 

doslovně babylónská jména planet a pouze je pořečtili, takže Merkur se nazýval 

Hermés, Venuše Afrodité, Mars Áres, Jupiter Zeus a Saturn Chronós. Bez půvabu 

nejsou ani česká jména planet: Dobropán, Krasopaní, Smrtonoš, Kralomoc, Hladolet, 

Nebeš tanka , a Vodopán. 

7.1.2 Prográdní a retrográdní pohyb planet 

Pohyb planet mezi hvězdami je složitější než pohyb Slunce a Měsíce. Zatímco Slunce 

aMěsíc se pohybují stále směrem na východ a téměř rovnoměrně, takže se zdá, 

že obíhají kolem Země, planety se mezi hvězdami pohybují velmi nerovnoměrně, 

občas se dokonce zastaví a vracejí se po určitoudobuzpátky.Zatímconormálnípohyb 

planety východním směrem nazýváme přímým nebo prográdním pohybem, 

opačný pohyb, tj. zpáteční pohyb západním směrem, nazýváme retrográdním 

pohybem. S retrográdním pohybem jsou spojeny smyčky a kličky, které planeta 

na obloze mezi hvězdami opisuje. I když seklička pokaždépozorujenajinémmístě 

oblohy, planeta se do ní dostane zhruba vždy za stejnou dobu zvanou synodická 

perioda. 

Retrográdní pohyb. Všechny planety občas 

opisují mezi hvězdami podobné smyčky. 

Nerovnoměrnost pohybu planet a tajemné smyčky spojené s retrográdním pohybem 

trápily mnoho generací astronomů, kteří se je snažili popsat a pochopit. 

Jejich snahy vedly ke vzniku prvních modelů kosmu (Eudoxos, Ptolemaios, Koperník, 

Kepler) a ve svém důsledku nakonec vedly ke vzniku moderní mechaniky. 

7.1.3 Aspekty planet 

Už nejstarší astronomové a astrologové rozlišovali zvláštní a významné pozice planet 

zvané aspekty. Pokud je planeta přesně naopačné straně než Slunce, říkáme, 

že je v opozici. Pokud je planeta na stejném místě jako Slunce, takže nemůže být 

vidět, říkáme, že je v konjunkci. Pokud se planeta nachází ve směru kolmém na 

směr Slunce, říkáme, že je v kvadratuře (východní nebo západní). Vnitřní planety 

nemohou být nikdy v kvadratuře, ale jen v maximální elongaci (východní nebo 

západní).

7.1. PLANETY NA OBLOZE 311 

Hlavní aspekty planety z geocentrického pohledu, 

Z představuje Zemi. 

Planety je možno rozdělit na dvě skupiny, na tzv. vnější planety, tj.Mars, 

Jupiter a Saturn, které se mohou vzdálit libovolně daleko od Slunce, a na vnitřní 

planety, tj. Merkur a Venuše, které se nacházejí vždy poblíž Slunce, a nikdy se 

proto nedostanou do opozice. Z heliocentrického modelu je rozdíl způsoben tím, že 

vnitřní planety obíhají blíže než Zeměavnější planety dále než Země od Slunce. 

Přijetím heliocentrického modelu kosmu je možno aspekty planet dělit ještěpřesněji 

a rozlišovat například horní a dolní konjunkci vnitřních planet apod. 

Hlavní aspekty vnitřních (šedé rámečky) a 

vnějších planet (bílé rámečky) z heliocentrického 

pohledu. Z zde opět představuje Zemi. 

Dalšími, z astronomického pohledu méně významnými aspekty, jsou trigon, sextil 

atd. V moderní astronomii se aspekty týkají pouze postavení planety a Slunce, 

astrologie však studovala rovněž vzájemné aspekty dvojice planet. Zmíněné aspekty, 

stejně jako postavení planet vůči zvěrokruhu a ascendentu, měly podle astrologů 

mocný vliv na všechna pozemská dění. 

7.1.4 Pohyb vnějších planet 

Všechny planety se pohybují poblíž ekliptiky, tedy poblíž dráhy Slunce. Vnější 

planety, tj. Mars, Jupiter a Saturn, se přitom mohou vzdálit od Slunce libovolně 

daleko a mohou tedy být často pozorovány po celou noc. Samotný pohyb planety 

mezi hvězdami je velmi nerovnoměrný, planeta se sice pohybuje převážně směrem 

na východ, ale občassetakézastavíanajistýčas dokonce změní směr svého pohybu 

na obrácený. Tento retrográdní pohyb se pozoruje vždy, když je planeta nejjasnější 

a v opozici. 

Ikdyž se planety pohybují velmi nerovnoměrně, trvá jeden oběh v průměru 

stále stejně dlouho. Přesná délka oběžnédobysenajdezprůměrováním pohybu 

planety za mnoho a mnoho cyklů. To je vlastně hlavní důvod, proč astronomové 

sledují pohyby planet po stovky a tisíce let a proč jejich polohy zapisují pro své


následovníky. Tak se jižpřed třemi tisíci lety přesněvědělo, že planeta Mars, Jupiter 

a Saturn se dostanou na stejné místo oblohy, tj. mezi stejné hvězdy, jednou za 687 

dní, 4333 dní a 10 759 dní (tj. 1. 88, 11. 86 a 29. 46 roku). Tuto oběžnou dobu planet 

nazýváme siderickou periodou. Vnější planety se tedy pohybují pomaleji než 

Slunce, kterému trvá jeden oběh 365 dní. Nejpomaleji se z nich pohybuje Saturn, 

který obejde celou oblohu jednou dokola teprve za třicet let. 

Astronomové mohou pohodlně měřit také dobu mezi stejnými aspekty planety 

vůči Slunci, například dobu, která uplyne mezi dvěma opozicemi, kdy je planeta 

nejlépe pozorovatelná ze Země akdynaoblozezáří nejjasněji. Z mnohaletých pozorování 

vychází, že synodické periody planet Mars, Jupiter a Saturn jsou 780 

dní, 399 dní a 378 dní. 

Denní pohyb planety ω aSlunceω S mezi hvězdami 

a relativní pohyb planety ω 0 vzhledem ke 

Slunci pro vnitřní a vnější planetu. 

Obě periody nejsou nezávislé, ale souvisí s délkou siderického roku, který trvá 

T S ≈ 365. 256 36 d .Protože synodická perioda odpovídá relativnímu pohybu planety 

ω 0 = ω S − ω 

vzhledem k pohybu Slunce ω S , které se samo mezi hvězdami pohybuje s periodou 

jeden siderický rok, platí mezi oběma periodami známý vzorec 

1 

T 0 = 1 − 1 T S T , 

kde T představuje siderickou a T 0 synodickou periodu. Synodické periody vzdálených 

planet T À T S se blíží délce siderického roku T 0 ≈ T S . 

7.1.5 Pohyb vnitřních planet 

Vnitřní planety, tj. Merkur a Venuše, se na rozdíl od vnějších planet pohybují 

jen v blízkém okolí Slunce. Chvíli se před ním předbíhají a chvíli se za ním zase 

opož dují.NikdysevšakodSluncenevzdálípříliš , 

daleko. Merkur se od Slunce 

vzdaluje v průměru o 28 ◦ aVenušeo46 ◦ . Tato výchylka se nazývá maximální 

elongace. Pokud se planeta nachází na východ od Slunce, tj. vlevo, pak ji můžeme 

pozorovat jen po západu Slunce. Pokud se planeta nachází západně od Slunce, tj. 

vpravo, pak ji můžeme pozorovat jen při východu Slunce. 

Zdánlivý pohyb vnitřní planety vzhledem ke 

hvězdám (a) nebo vzhledem ke Slunci (b). 

Zatímco Venuše je často nejjasnějším objektem na obloze, může být až stokrát 

jasnější než hvězdy první velikosti, menší Merkur je příliš blízko Slunce, takže je na


ranní nebo večerní obloze sotva vidět. Ze všech pouhým okem viditelných planet je 

Merkur nejhůře pozorovatelný, většina lidí jej zná jen podle jména a na obloze jej 

nikdy nespatřila. Přesto byl Merkur znám už starým Sumeřanům před pěti tisíci 

lety. 

Nápadně jasné Venuši nacházející se východně odSlunceseříká Večernice. 

Pokud se dostane Venuše na západ od Slunce, nazývá se Jitřenkou. Jdeostále 

stejnou hvězdu, přesněji stále stejnou planetu, jak věděl již Pýthagorás. Jižstaré 

civilizace Blízkého východu nebo Střední Ameriky si povšimly, že venušin cyklus 

se za osm let zopakuje téměř přesně pětkrát, synodická perioda tedy trvá 8/5 roku 

neboli 584 dny. Z toho se Venuše 263 dny objevuje na obloze jako Jitřenka, pak ji 

50 dní není možno pozorovat, protože je schovaná za Sluncem, dalších 263 dny ji 

pozorujeme jako Večernici, a nakonec je 8 dní opět neviditelná, protože se znovu 

příliš přiblíží ke Slunci. Celý cyklus se pravidelně opakuje a trvá celkem 584 dny, z 

této doby se Venuše zhruba 42 dny pohybuje retrográdně. 

JitřenkaaVečernice jsou jedna a táž hvězda — 

planeta Venuše. Jde po Slunci a Měsíci o třetí 

nejjasnější objekt na obloze. 

Protože obě vnitřní planety cestují po obloze spolu se Sluncem, oběhnou celou 

oblohu jednou dokola za stejný čas jako Slunce, tj. za jeden siderický rok 

T S ≈ 365. 256 36 d . Oběžná doba Slunce, Merkura a Venuše je tudíž stejnědlouhá. 

Pokud nás zajímá postavení planety vůči Slunci, pak to se opakuje se synodickou 

periodou, která trvá u Merkura 116 dní a u Venuše 584 dny. S touto periodou se 

opakuje například východní elongace, konjunkce nebo retrográdní pohyb planety. 

Retrográdní pohyb se přitom pozoruje jen při vnitřní konjunkci planety se Sluncem. 

Rovněž jas a zdánlivá velikost planet výrazně kolísá. Například magnituda Venuše 

kolísá v intervalu −2.5 m až −4.3 m , což jezpůsobeno jak změnou zdánlivé velikosti, 

která kolísá v intervalu 10 00 až 66 00 , tak změnou tvaru osvětlené části Venuše. 

Ztohojemožno usuzovat, že planety mění svoji vzdálenost od Země. Ovšem ani 

tak výrazná změna velikosti a tvaru srpku Venuše není pouhým okem vidět, protože 

to neumožňuje rozlišovací schopnost lidského oka, která se pohybuje kolem jedné 

obloukové minuty. 2 Srpek Venuše a jeho proměny objevil a potvrdil až roku 1610 

Galileo Galilei, když použil k pozorování Venuše dalekohledu. Tím současně 

dokázal, že Venuše obíhá kolem Slunce, jak tvrdil Koperník a ne před Sluncem, jak 

se domníval Ptolemaios. 

Užněkteré nejstarší modely slunečnísoustavysprávněpředpokládaly, že vnitřní 

planety obíhají kolem Slunce a ne kolem Země. Ale až pomocí dalekohledu bylo 

možno spatřit srpek a jednotlivé fáze Venuše a Merkuru, které jsou analogické 

fázím Měsíce. Srpek těchto planet dokazuje, že vnitřní planety skutečně obíhají 

2 Babylóňané nazývali Venuši sestrou Měsíce — Istar, což svádíkdomněnce, že její srpek přece 

jen nějak tušili.


kolem Slunce a svítí jen odraženým slunečním světlem. Také velikost srpku při 

konjunkci odpovídá největšímu přiblížení a největšímu oddálení planety od Země. 

Z velikosti elongací a oběžných dob je zřejmé, že Merkur je Slunci blíže než Venuše. 

Jednotlivé fáze Venuše, tak jak je možno je 

vidět v dalekohledu. 

Přičteme-li ke zdánlivému pohybu planety ω 0 pohyb Slunce ω S , dostaneme pohyb 

planety ω = ω 0 + ω S vzhledem ke hvězdám. Příslušná perioda se nazývá siderickou 

periodou T aplatí 

1 

T = 1 T 0 + 1 . 

T S 

Odtud je zřejmé, že pro vnitřní planety je siderická perioda vždykratšínežsynodická 

perioda, tj. platí T < T 0 . Pro Merkur a Venuši odtud dostaneme siderické 

periody 88 d a 224 d . Poznamenejme ještě, že pojmy siderická a synodická perioda 

plynou z kinematiky pohybu planet a nejsou spojeny s žádným konkrétním modelem 

kosmu. 

7.1.6 Vzdálenosti planet 

Pohyb planet na obloze je možno jednoduše vysvětlit pomocí Koperníkova modelu, 

ve kterém všechny planety obíhají rovnoměrně kolem Slunce po koncentrických 

drahách, vnitřní planety blíže ke Slunci a rychleji, zatímco vnější planety dále 

od Slunce a pomaleji než Země. Stejně tak dobře,ikdyžoněco komplikovaněji, 

je možno pohyby planet vysvětlit pomocí Ptolemaiova modelu s nehybnou Zemí 

uprostřed. Zdánlivé pohyby planet jsou pak pohybem složeným ze dvou rovnoměrných 

kruhových pohybů po deferentu a epicyklu. 

Oběžné periody umíme změřit,atovelicepřesně, podívejme se proto na problém, 

jak určit vzdálenosti planet od Slunce a Země. Pro konkrétnost budeme 

předpokládat Koperníkův heliocentrický model. Oběžná doba Slunce T S představuje 

současně oběžnou dobu Země T Z = T S . Pro měření oběžných dob se běžně 

používá jednotka slunečnírok,tj.oběžnádobaZemě, a pro měření vzdáleností se 

používá astronomická jednotka, tj.střední vzdálenost Země od Slunce, která 

se značí AU. Země se tedy pohybuje kolem Slunce úhlovou rychlostí ω Z = ω S ve 

vzdálenosti a Z , planeta se pohybuje úhlovou rychlostí ω ve vzdálenosti a od Slunce. 

Začněme vnitřními planetami. Pokud planeta obíhá kolem Slunce uvnitř dráhy 

Země, je pochopitelné, že její maximální elongace ε je určena poměrem vzdáleností 

planety a aZemě a Z od Slunce, takže platí 

sin ε = a 

a Z 

.


Změříme-li maximální elongaci, můžeme odtud určit relativní vzdálenost planety a 

Země od Slunce. Nemusíme přitom znát absolutní vzdálenost Země od Slunce, která 

je stejně známáaž od 17. století. Takto mohli spočíst správné relativní vzdálenosti 

planet již starověcí astronomové. 

Zelongaceε planety P je možno spočíst její 

vzdálenost od Slunce S nebo od Země Z. 

Například maximální elongace Venuše je ε V 

vzdáleností Venuše a Země od Slunce 

≈ 46 ◦ , odtud dostaneme poměr 

a V = a Z sin ε V ≈ 0. 72 AU. 

Poměr největší a nejmenší vzdálenosti Venuše od Země (apogeum a perigeum) se 

rovná 

r max 

r min 

= r Z + r V 

r Z − r V 

= 1+sinε V 

1 − sin ε V 

≈ 6. 1, 

tolikrát se změní nejen vzdálenost Venuše, ale i velikost jejího srpku! Doba od 

spodní kulminace do maximální elongace trvá 

t 1 = π/2 − ε 

ω − ω Z 

a doba od elongace do horní kulminace trvá 

= T 0 90 ◦ −ε 

360 ◦ ≈ 71 d 

t 2 = π/2+ε 

ω − ω Z 

= T 0 90 ◦ +ε 

360 ◦ ≈ 221 d . 

Podobně jemožno spočíst z elongace i vzdálenost Merkura od Slunce. Situace 

je tu však komplikována výraznou excentricitou jeho dráhy. Proto je maximální 

elongace Merkura pokaždé jiná a kolísá mezi hodnotami ε min ≈ 18 ◦ až ε max ≈ 28 ◦ . 

Odtud můžeme spočíst nejmenší a největší vzdálenost Merkura od Slunce 

a max = a Z sin ε max ≈ 0. 47 AU a a min = a Z sin ε min ≈ 0. 31 AU, 

takže střední vzdálenost a excentricita Merkurovy dráhy jsou 

a = 1 2 (a max + a min ) ≈ 0. 39 AU. 

e = a max − a min 

a max + a min 

= sin ε max − sin ε min 

sin ε max +sinε min 

≈ 0. 21.


Opozice P a kvadratura P 1 vnější planety. 

Ilustrace k výpočtu vzdálenosti planety od 

Země. 

Oněco složitější je situace u vnějších planet. Místo elongace je zde vhodným 

aspektem kvadratura. Za dobu t 1 , která uplyne od opozice do okamžiku východní 

kvadratury planety, se průvodiče Země a planety rozevřou na úhel 

přitom musí být 

φ =(ω Z − ω) t 1 =360 ◦ t 1 

T 0 , 

cos φ = a Z 

a . 

V tom okamžiku je Země v maximální západní elongaci z pohledu vnější planety. 

Jestliže změříme dobu t 1 , můžeme odtud dopočíst vzdálenost planety a. Například 

pro Jupiter je t 1 ≈ 87.5 d , odtud φ ≈ 78. 9 ◦ astřední vzdálenost Jupitera od Slunce 

je a J ≈ 5. 2AU. 

Zdánlivé parametry planet 1 

Zde A představuje albedo, φ úhlový průměr, m zdánlivou magnitudu, 

n max a n min největší a nejmenší denní pohyb planety na obloze. 

A φ m n max n min 

00 ◦ /den ◦ /den 

Slunce 31 až 32 −26. 8 m 

Měsíc 0. 07 29 až 34 −4 m až −12. 7 m 14. 7 11. 8 

Merkur 0. 11 5 až 13 +1.3 m až −2. 0 m 1. 85 −0. 97 

Venuše 0. 65 10 až 66 −2.5 m až −4. 3 m 1. 24 −0. 62 

Země 0. 37 1. 02 0. 96 

Mars 0. 15 3 až 25 +1.8 m až −2. 7 m 0. 71 −0. 36 

Jupiter 0. 52 30 až 50 −1.3 m až −2. 6 m 0. 23 −0. 13 

Saturn 0. 47 15 až 21 +1.5 m až −0. 3 m 0. 12 −0. 08 

Uran 0. 51 3 až 4 +6.0 m až +5. 5 m 0. 06 −0. 04 

Neptun 0. 41 2 +7.8 m až +7. 6 m 0. 04 −0. 03 

Pluto 0. 30 0.1 +14 m 0. 03 −0. 02


7.1.7 Retrográdní pohyb 

Za předpokladu rovnoměrných kruhových pohybů jemožno spočíst zdánlivé rychlosti 

planet na obloze. Pro největší a nejmenší rychlost planety na obloze dostaneme 

n max = ωa + ω Za Z 

a + a Z 

a n min = ωa − ω Za Z 

a − a Z 

, 

kde ω =2π/T a ω Z =2π/T Z jsou úhlové rychlosti pohybu planety a Země vůči 

hvězdám a a a a Z jsou vzdálenosti planety a Země od Slunce. Nejmenší rychlost 

n min vychází vždy záporně, jde tedy o retrográdní rychlost. Z těchto vzorců je 

možno zpětně odvodit vzdálenosti planet od Slunce, pokud určíme rychlosti n max 

a n min z pozorování planet na obloze. 

Pohyb planety P zpohleduZemě Z. Délka retrogádní 

smyčky 2ε 2, délka přímého pohybu 

2ε 3 aúhelmezidvěma opozicemi ε 0 planety. 

Úhel ε 0 , který planeta urazí mezi hvězdami za jednu synodickou periodu, spočteme 

podle předpisu 

ε 0 =min(ω, ω Z ) T 0 , 

kde min (ω, ω Z ) představuje tu pomalejší rychlost z úhlových rychlostí planety a 

Země aT 0 synodickou periodu. 

Dále můžeme spočíst také dobu trvání t 2 apříslušný úhel ε 2 retrográdního 

pohybu planety od okamžiku opozice, dostaneme 

cos (ω − ω Z ) t 2 = ωa2 + ω Z a 2 Z 

(ω + ω Z ) aa Z 

. 

Příslušný oblouk, který planeta za tuto dobu opíše mezi hvězdami, je roven 

ε 2 = α 2 − ωt 2 , kde sin 2 α 2 = ω2 Z a2 Z − ω2 a 2 

(ω 2 Z − ω2 ) a 2 . 

Celková doba retrográdního pohybu je pochopitelně dvojnásobná, tj. trvá 2t 2 a 

délka retrográdní smyčky je 2ε 2 . Konečně dobaadélkapřímého pohybu se pak 

rovná 

2t 3 = T 0 − 2t 2 a 2ε 3 = ε 0 +2ε 2 .


Zdánlivé parametry planet 2 

Zde T představuje siderickou periodu, T 0 synodickou periodu, ε 0 

vzdálenost mezi dvěma opozicemi, 2t 2 dobu trvání retrográdního 

pohybu, 2ε 2 délku retrográdní smyčky, 2t 3 dobu přímého pohybu, 

2ε 3 délku dráhy přímého pohybu. 

T T 0 ε 0 2t 2 2ε 2 2t 3 2ε 3 

den den 

◦ 

den 

◦ 

den 

◦ 

Slunce 365 360 

Měsíc 27. 3 29. 5 360 

Merkur 88 116 114 23 14 93 128 

Venuše 225 584 576 42 16 542 592 

Země 365 

Mars 687 780 409 73 16 707 425 

Jupiter 4 333 399 33 121 10 278 43 

Saturn 10 759 378 13 137 7 240 19 

Uran 30 686 370 4 152 4 218 8 

Neptun 60 191 367 2 158 3 209 5 

Pluto 90 467 367 1 162 2 205 4 

7.2 První modely kosmu 

7.2.1 Pýthagorás, křiš tálové , sféry 

Smyšlenkou,že Země mátvarkoule,kolemnížrotujeosmkřiš tálových, , tj. průhledných, 

soustředných sfér, přišel jako první Pýthagorás ze Samu v6.stol.př. 

n. l. Na těchto osmi sférách se nachází sedm planet a hvězdy. Každá sféra se pohybuje 

jinou rychlostí a má jiný rozměr. První sféra je nejblíže Zemi, vykoná svůj 

oběh za 27 dní a nese Měsíc. Druhá sféra nese Merkur, třetí Venuši a čtvrtá Slunce, 

tyto sféry se otáčející kolem Země speriodou365 dní. Pátou je sféra Martova, její 

oběh trvá 687 dní, šestou je sféra Jupiterova s oběžnou dobou 12 let a sedmá je 

sféra Saturnova, která se otočí jednou za 29 let. Poslední, osmá sféra nese všechny 

hvězdy, otáčí se opačným směrem a kolem své osy se otočí jednou za 24 hodin. 

Jejího pohybu se účastní i zbývající sféry planet. 

Pýthagorás ustanovil i rozměry jednotlivých sfér. Přitom vycházel z představy, 

že jejich rozměry musí být ve stejném poměru jako tóny uvnitř jedné oktávy. Jen 

tak bude hudba otáčejích se sfér nebeských znít lahodně. Na sedm oběžnic nahlížel 

Pýthagorás jako na sedm zlatých strun lyry nebeské. Vzdálenost Měsíce stanovil 

na 126 tisíc stadií, velikost dalších sfér je pak podle Pýthagora tato: Merkur 189, 

Venuše 252, Slunce 441, Mars567, Jupiter 630, Saturn 693 tisíc stadií. Pýthagorás 

se domníval, že výška tónu, který planeta vydává, závisí jen na její rychlosti, která 

závisí jen na vzdálenosti planety od Země. Hudba sfér je smrtelníkům neslyšitelna, 

protože ji slyšíme od narození a nerozlišíme ji od ticha, pouze Bohu a Pýthagorovi 

jest dáno ji vnímat.

7.2. PRVNÍ MODELY KOSMU 319 

Pýthagorovo učení završil jeho žák Filoláos z Krotónu v5.stol.př. n. l. tím, 

že zbavil Zemi jejího výhradního postavení uprostřed vesmíru. Na její místo postavil 

oheň, kolem něhož semusíotáčet Země stejně jako ostatní planety, a to jednou za 

24 hodin, čímž vzniká den a noc. Ústřední oheň nelze ze Země pozorovat, protože 

Země jeodněj vždy odvrácena. Filoláos se totiž domníval,že Země jeobydlenajen 

z jedné strany. Odlesk ohně tohoto však spatřujeme v záři sluneční. Filoláos dále 

tvrdil, že kromě osmiznámýchoběžnic (tj. včetně Země) jest ještě jedna, nazval 

ji Protizemě, která je vždy naproti Zemi skrz ústřední oheň. Spolu s ústředním 

ohněm tak Filoláos napočítal celkem deset nebeských těles, což bylo posvátné číslo 

pýthagorejců. 

7.2.2 Eudoxos, další sféry 

Naukaokřištálových sférách dovedla dobře vysvětlit zdánlivý pohyb hvězd, roční i 

denní pohyb Slunce a hlavní rysy pohybu Měsíce. Nedokázala však vysvětlit nerovnoměrnosti 

pohybu planet, ani jak vznikají kličky a zpětný pohyb v jejich dráze. 

Platónův žák Eudoxos Knidský ve 4. stol. př. n. l. tento problém vyřešil zavedením 

dalších koncentrických sfér. Jejich různou rychlostí a vhodným vzájemným 

natočením jejich os je možno dosáhnout pohybu v šířce planet i určité nerovnoměrnosti 

jejich pohybu. Například pohyb Měsíce určovaly tři sféry, každá z nich 

určovala jeden z pohybů Měsíce. První sféra zajiš tovala , denní pohyb Měsíce, druhá 

měsíční pohyb s periodou 27 dní a třetí pohyb uzlů speriodou18 let. Podobně i 

Slunci přiřadil tři sféry. U planet však se třemi sférami Eudoxos nevystačil. Aby 

vysvětlil kličky, přidal dvě nové sféry a vypustil sféru popisující pohyb uzlů, nebo t 

, 

tento pohyb u planet nebyl tehdy ještě znám.Každé planetě tedypříslušely čtyři 

sféry. K pohybu stálic stačila jediná sféra Primus nobile. Celkem tedy obsahovala 

Eudoxova teorie 27 sfér. Pohyb každé z planet byl řešen nezávisle, což se nelíbilo 

Aristotelovi, který vložil další pomocné sféry mezi jednotlivé planety, aby se 

jejich pohyb vzájemně přenášel z jedné na druhou a celá soustava tak činila jediný 

celek. Tím však Aristotelés rozšířil Eudoxovu soustavu na 55 sfér. 

Ačkoliv nerovnoměrnosti pohybu a tvar dráhy planet byly objasněny Eudoxovou 

teorií uspokojivě, měnící se vzdálenosti a jas planet teorie vysvětlit nedokázala. 

K tomu bylo zapotřebí sfér excentrických. Takové sféry do astronomie zavedl až 

Apollónios z Pergy ve 3. stol. př. n. l. Nerovnoměrný pohyb, retrográdní pohyb 

a kličky planet vysvětlil epicyklickým pohybem vznikajícím složením dvou 

rovnoměrných kruhových pohybů. Pohyb planet je podle Apollónia složen z pomalejšího 

pohybu po větším deferentu asoučasně z rychlejšího pohybu po menším 

epicyklu, jehožstřed leží na obvodu deferentu. 

7.2.3 Hipparchos, otec astronomie 

Za otce astronomie je považován Hipparchos z Níkaie žijící kolem roku roku 150 

př. n. l. Hipparchos sám byl neúnavným pozorovatelem oblohy a pro své potřeby si 

zkonstruoval nové a přesnější astronomické přístroje. Vzdálenost Měsíce určil na 59 

až 67 zemských poloměrů, tedy s přesností na 10 %. Hipparchos objevil retrográdní


pohyb jarního bodu po ekliptice, rychlost odhadl na 46 00 za rok, důsledkem čehož 

bylo nutno rozlišit rok slunečnívroktropickýaroksiderický.Změřil také přesně 

sklon ekliptiky, sestavil trigonometrické tabulky a vysvětlil roli periody saros pro 

vznik zatmění Slunce a Měsíce. 

Spřesností na jednu minutu, tj. relativní přesnost 2 × 10 −6 , určil Hipparchos 

délku siderického a s chybou šesti minut délku tropického roku. S přesností na 

sekundu, tj. relativní přesnost 4 × 10 −7 , znal délku synodického, drakonického, 

siderického i anomalistického měsíce. Hipparchos znal nejen přesně periodustáčení 

uzlové přímky měsíčnídráhy,tj.18.60 let, ale objevil také stáčení přímky apsid 

měsíční dráhy s periodou 8.84 let. 

Planeta se pohybuje po excentru rovnoměrně, 

zpohleduZemě Z je však pohyb planety P nerovnoměrný. 

V perigeu A je zdánlivá rychlost 

planety větší než vapogeuB, atoprávěvobráceném 

poměru těchto vzdáleností od Země. 

Nauka o křištálových sférách nedokázala vysvětlit, proč jednotlivé ročnídobya 

jednotlivé měsíční fáze nejsou stejně dlouhé. Hipparchos proto zavedl k vysvětlení 

nerovnoměrného pohybu Slunce a Měsíce excentrické kruhové dráhy. Zdánlivá nerovnoměrnost 

jejich pohybu na obloze je způsobena tím, že Země leží mimo střed 

jejich dráhy. Pohyb planet se mu však stejným způsobem uspokojivě vysvětlit nepodařilo. 

Bylo totiž třeba skloubit jak excentrické deferenty, tak epicyklický pohyb, 

což udělal až Ptolemaios o tři století později. Přesto Hipparchos stanovil na svou 

dobu velmi přesně periodytvoření se kliček a opakování se retrográdního pohybu 

planet. 

Kolem roku 130 př. n. l. sestavil Hipparchos první hvězdný katalog obsahující 

850 nejjasnějších hvězd. 3 Uspořádal je do pěti hvězdnýchmagnitudpodlejasu. 

Nejjasnější jsou hvězdy první velikosti (magnituda jedna neboli 1 m ), nejslabší okem 

viditelné jsou hvězdy páté velikosti (magnituda pět neboli 5 m ). Toto dělení hvězd 

podlejejichjasusepoužívá dodnes. 

Mezi významné starověké astronomy je nutno zařadit i Sósigena Alexandrijského, 

kterýnapříkaz Julia Caesara sestavil roku 46 př. n. l. juliánský 

kalendář. Tensevkřes tanském , světě běžně používal až do 16. století a někde až 

do20.století.Přestupný rok delší o jeden den a vkládaný jednou za čtyři roky se 

však v egyptském kalendáři používal již odroku238př. n. l., kdy jej zavedl král 

Ptolemaios III. 

7.2.4 Nerovnoměrnost ročních dob 

Už Callipus z Kyziku ve 4. stol. př. n. l. pozoroval nestejně dlouhé roční doby, 

jaro totiž tehdy trvalo 94, léto 92, podzim 89 a zima 90 dní. Vzhledem k pohybu 

3 Ještě staršíbylčínský katalog Ši-Šena ze 4. století př. n. l. obsahující 809 hvězd, ovšem ten 

nebyl ve Středozemí znám a neměl na rozvoj astronomie vliv.


jarního bodu i perihélia jsou dnes tyto hodnoty již poněkud jiné, jaro trvá 93, léto 

94,podzim90azima89dní. 

Hipparchos ve 2. stol. př. n. l. vysvětlil nestejnost ročních dob tím, že Zemi 

položil mimo střed dráhy Slunce. Hipparchos změřildobuodjarnírovnodennosti 

k letnímu slunovratu, tj. délku jara, na 94.5 dne, a dobu od letního slunovratu k 

podzimní rovnodennosti, tj. léto na 92.5 dne. Pozorované nerovnoměrnosti ročních 

dob pak uspokojivě objasnil tím (viz řešená úloha dole), že relativní výstřednost 

dráhy Slunce položil rovnu e ≈ 1/24 a délku jeho apogea 65.5 ◦ . 

Nerovnoměrnost pohybu Slunce během roku 

vysvětlil Hipparchos excentricitou jeho dráhy 

vůči Zemi. 

Později,v9.stol.Al Battání ze svých pozorování spočetl již mnohem přesněji, 

že excentricita sluneční dráhy je e ≈ 0.0346 a délka apogea je 82 ◦ 17 0 . Srovnáním 

těchto hodnot a svých vlastních pozorování usoudil správně v 16. stol. na pohyb 

apogea Mikuláš Koperník. PřímkaapsidatedyiapogeumSlunceseotáčejí 

zhruba rychlostí 62 00 za rok, dnes je délka apogea asi 102 ◦ 57 0 a excentricita 2e ≈ 

0.0334. 

Nerovnoměrnost ročních dob vysvětlil přesně až roku 1605 Johannes Kepler 

tím, že rovnoměrný kruhový pohyb nahradil nerovnoměrným pohybem po elipse. 

Příklad 7.1 Spočtěte z délky jara a léta parametry Hipparchova excentru. 

Řešení: PodleHipparchatrvájaroj ≈ 94.5 dne a léto l ≈ 92.5 dne, zatímco čtvrtina roku trvá 

r/4 ≈ 91.3 dne. Za předpokladu rovnoměrného pohybu Slunce po excentrické dráze, bude 

j = 1 4 r + x + y a l = 1 4 r − x + y, 

kde x a y jsou posunutí Země oprotistředu dráhy. Odtud najdeme x ≈ 1.0 d a y ≈ 2.2 d . 

Excentricita dráhy Slunce je tudíž p x 2 + y 2 a poloměr jeho dráhy ve dnech je r/2π, takže 

relativní excentricita dráhy Slunce je podle Hipparcha 

a délka apogea 

e = 2π p 

x2 + y 

r 

2 ≈ 1 24 

λ =arctg y x ≈ 65. 5 ◦ . 

7.2.5 Ptolemaios, geocentrismus 

Pro předvídání pohybů planet,zatmění, pro určování počátkurokuavneposlední 

řadě pro astrologii měla zásadní význam teorie deferentů aepicyklů Klaudia 

Ptolemaia ze 2. stol. n. l. Tato dokonalá geocentrická teorie byla vyvrcholením 

alexandrijské astronomie. Teorie byla publikována kolem roku 140 v pojednání 

známém pod názvem Megalé syntaxis (Velká stavba). Práce je dnes známá spíše


pod názvem arabského překladu Almagest. Ptolemaios v ní rozložil složité a nerovnoměrné 

pohyby všech planet, Slunce i Měsíce, do rovnoměrných kruhových, 

a tedy cyklických pohybů. Pohyby planet nejsou podle Ptolemaia úplně dokonalé, 

nejsou to totiž kružnice, jak se domníval ještě Aristotelés, ale jsou téměř dokonalé, 

protože jde o složené kruhové pohyby. 

Klaudios Ptolemaios 90 - 165 

Ptolemaiův model světa. Uprostřed světa je 

Země. Kolem Země krouží planety a také 

Slunce a hvězdy. Planety krouží po malých epicyklech, 

jejichž středy leží na příslušných deferentech. 

Hlavním pohybem každé planety je pohyb po velké kružnici zvané deferent. 

Na něm leží střed epicyklu, tj.kružnice, po které se teprve skutečné planety pohybují. 

Jen pohyb Slunce a Měsíce nevyžadoval epicyklus. Každé planetě přisoudil 

Ptolemaios jednu sféru, v pořadí podle velikosti to byla sféra Měsíce, Merkura, 

Venuše, Slunce, Marsu, Jupitera a Saturna. Poslední, nejvzdálenější sféra, která v 

sobě obklopovala všechny ostatní, nesla hvězdy. Tak se Ptolemaiovi v zásadě podařilo 

vysvětlit pomocí třinácti sfér retrográdní pohyb planet, nerovnoměrnost jejich


pohybu i změny jasu. 

Retrográdní pohyb Jupitera podle Ptolemaiovy 

teorie epicyklů. V době, kdy je Jupiter 

v opozici, a tedy nejblíže k Zemi, pohybuje se 

po jistý čas dozadu. 

V tomto stavu by ovšem teorie dokázala vysvětlit pohyb Slunce s nepřesností až 

2 ◦ a pohyb Marsu s nepřesností až 10 ◦ . Proto do své teorie zavedl Ptolemaios nejprve 

po vzoru Hipparcha excentr, jímžvysvětlil nerovnoměrnost pohybu Slunce a 

později také ekvant,jímž vysvětlil nerovnoměrnosti pohybu planet a Měsíce. Podle 

teorie ekvantu leží střed S deferentu přesně uprostřed mezi Zemí Z a ekvantem E, 

přičemž pohyb po deferentu je rovnoměrný vzhledem k ekvantu E. Tímsepochopitelně 

stanerovnoměrný pohyb po deferentu vzhledem k Zemi nerovnoměrným. 

Takto se podařilo předpovědi Ptolemaiova modelu výrazně zpřesnit a chyba činila 

už jen8 0 pro Mars. Dnes již nevíme, jak Ptolemaios na myšlenku ekvantu přišel, 

nicméně díky ní se mu podařilo skutečný pohyb planet aproximovat ještě přesněji, 

než tojemožné pomocí excentru. 

Pohyb středu T epicyklu je rovnoměrný vzhledem 

k ekvantu E. Tím se stane nerovnoměrnýmvzhledemkZemiZ. 

ZdeS představuje 

střed deferentu a P planetu. 

Další epicykly byly zavedeny pro popis pohybu planet v ekliptikální šířce. Původně 

měla Velká stavba celkem 40 epicyklů, později byla dalšími autory rozšířena 

azpřesněna až nakonec obsahovala kolem 80 epicyklů. Přílišná komplikovanost 

soustavy epicyklů byla hlavním nedostatkem teorie. Na stejné myšlence, tj. kombinaci 

rovnoměrných otáčivých pohybů, byly založeny i mechanické modely sluneční 

soustavy, tzv. orloje, znichžněkteré přežily až do dnešních časů. 

7.2.6 OběžnéperiodyvPtolemaiověmodelu 

Uvnějších planet je oběžná doba pohybu po deferentu rovna siderické periodě a 

oběžná doba pohybu po epicyklu trvá jeden slunečnírok.Uvnitřních planet trvá 

oběžná doba pohybu po deferentu sluneční rok a oběžná doba pohybu po epicyklu 

je rovna siderické periodě planety, jak ji známe z heliocentrického modelu. 

Pokud jde o periody pohybu planet po epicyklu a deferentu, ty určil Ptolemaios 

velmi přesně. Z astronomických záznamů pocházejících od Hipparcha i od starých 

Babylóňanů Ptolemaios věděl, že pro periody jednotlivých planet platí: 

Merkur: 145 synodických period = 46 roků +1 a 2/60 dne = 46 otoček + 1 ◦ , 

Venuše: 5 synodických period = 8 roků -2 a 18/60 dne = 8 otoček - 2 ◦ 15 0 ,


Mars: 37 synodických period = 79 roků +3 a 13/60 dne = 42 otoček + 3 ◦ 10 0 , 

Jupiter: 65 synodických period = 71 rok + 4 a 54/60 dne = 6 otoček - 4 ◦ 50 0 , 

Saturn: 57 synodických period = 59 roků +1 a 45/60 dne = 2 otočky + 1 ◦ 43 0 . 

Všimněte si, že Ptolemaios vyjadřuje v šedesátinných zlomcích nejen úhel, ale 

i délku dne. Odtud je možno spočíst odpovídající synodickou a siderickou periodu, 

příslušné hodnoty přináší následující tabulka, srovnejte Ptolemaiovy hodnoty s 

dnešními hodnotami! 

syn. perioda ve dnech sid. perioda v rocích 

Ptolemaios skutečnost Ptolemaios skutečnost 

Saturn 378. 0884 378. 0769 29. 4322 29. 4577 

Jupiter 398. 8815 398. 8663 11. 8621 11. 8622 

Mars 779. 9284 780. 0792 1. 880 77 1. 880 89 

Venuše 583. 9275 583. 9245 0. 615 20 0. 615 21 

Merkur 115. 8771 115. 8756 0. 240 85 0. 240 85 

7.2.7 Vzdálenosti v Ptolemaiově modelu 

Astronomie měří na obloze pouze úhly, proto Ptolemaios nemusel znát absolutní 

velikosti jednotlivých epicyklů, ale pouze jejich poměrné velikosti. Na základě pozorování 

a metodou postupného zpřesňování Ptolemaios odvodil poměr mezi poloměrem 

epicyklu a deferentu pro jednotlivé planety. Dostal tak hodnoty: Merkur 

0.376, Venuše 0.720, Mars 0.658, Jupiter 0.172 aSaturn0.103. Tyto údaje spolu 

se známými oběžnýmidobamimuumožnily vypočítat polohu planet na obloze v 

libovolný okamžik. Ptolemaios dokázal předvídat pohyby planet na staletí dopředu, 

atosdostatečnou přesností. Nedostatky Ptolemaiovy teorie deferentů a epicyklů 

byly rozpoznány až v 16. století, tedy až za 1400 let. 

Absolutní velikosti deferentů a epicyklů vybral Ptolemaios tak, aby se jednotlivé 

sféry navzájem nedotýkaly. Proto byly jeho představy o rozměrech kosmu velmi 

nepřesné. Na přesnost předpovědí poloh planet na obloze to však nemělo žádný 

vliv. 

Oběžné doby epicyklů vnějších planet a deferentů vnitřních planet jsou podle 

Ptolemaiastejnéatatodobatrvájedenrok.KdybyPtolemaiospřihlédl k hypotéze, 

že stejným periodám přísluší stejné poloměry a dále zaměnil deferenty a epicykly 

vnějších planet, zjistil by, že všechny planety obíhají kolem Slunce, a to v téměř 

správných vzdálenostech: Merkur 0.376, Venuše 0.720, Mars 1. 52, Jupiter 5. 81 a 

Saturn 9. 71. Vzdálenost Slunce od Země by byla v těchto jednotkách rovna jedné. 

Možná, že i tuto myšlenku Ptolemaios zvažoval, ale zřejmě ji zapudil, protože v 

tomto případě by se mu jednotlivé sféry navzájem prolínaly, a při pohybu by si 

nutně překážely. 

Ptolemaios se zasloužil také o rozvoj sférické trigonometrie, konstruoval nové 

měřící přístroje a rozšířil hvězdný katalog na 1025 hvězd. Vzdálenost Měsíce od 

Země zpřesnil na 59 zemských poloměrů, objevil evekci, nepravidelnost pohybu 

Měsíce s amplitudou 1 ◦ apoprvézmiňuje astronomickou refrakci.


Srovnání rozměrů kosmu podle Ptolemaia, Koperníka a podle 

skutečnosti. Vzdálenosti planet jsou vyjádřenyvpoloměrech Země 

R Z nebo ve vzdálenostech Země od Slunce a Z . 

Ptolemaios Koperník skutečnost 

a/R Z a/a Z a/R Z a/a Z a/R Z a/a Z 

Merkur 100 0. 08 430 0. 39 9 100 0. 39 

Venuše 600 0. 50 820 0. 75 16 900 0. 72 

Země (Slunce) 1 200 1. 00 1 100 1. 00 23 500 1. 00 

Mars 5 000 4. 17 1 700 1. 55 35 700 1. 52 

Jupiter 11 500 9. 58 6 000 5. 45 122 000 5. 20 

Saturn 17 000 14. 2 10000 9. 09 225 000 9. 58 

hvězdy 20 000 16. 7 neměřitelné 6. 4 × 10 9 270 000 

7.2.8 Středověk, astronomické tabulky, almanachy 

Přes zjevnou těžkopádnost sloužil Ptolemaiův model k dostatečněpřesným předpovědím 

všech jevů naoblozepocelýchčtrnáct dalších století. Středověk totiž napoli 

věd a astronomie nic převratného nepřinesl. Nejvýznamnějším středověkým astronomem 

byl Al-Battání (celým jménem Abu Abd Allah Muhammad Ibn Jabir 

Ibn Sinan Al-Battani Al-Harrani As-Sabi, latinsky Albatenius) žijící v 9. 

stol. Al-Battání opravil Ptolemaiovu hodnotu precese na 55 00 za rok, zpřesnil délku 

roku na 365 d 5 h 46 m 22 s , chybil jen o 2 m 24 s a zdokonalil trigonometrii. Jeho kompendium 

astronomických tabulek bylo přeloženo roku 1116 do latiny pod názvem 

De motu stellarum (O pohybu hvězd). Ve 13. století bylo přeloženodošpanělštiny 

a v 16. století vyšlo tiskem. Z 11. století pocházejí Toledské tabulky, které sestavil 

Arzachel (Ibn Al-Zarkálí). Ten se také jako první domníval, že trajektoriemi 

planet nejsou kružnice, ale ovály. 

Kolem roku 1250 svolal Alfons X. moudrý, král kastilský a leonský, nejlepší 

učence své doby, aby Ptolemaiovu soustavu opravili. Ti však do ní přidali další 

deferenty, epicykly, excentry, ekvanty a nepravé středy. Nespokojenost s příliš komplikovaným 

modelem kosmu lapidárně vystihl král Alfons X. výrokem: Kdyby mě 

byl Bůh při stvoření přibral ku poradě, věru, že bych mu byl doporučil větší jednoduchost. 

Tentovýrokmupozději velice přitížil, byl obviněn z rouhání a sesazen z 

trůnu. Král Alfons X. si získal přídomek moudrý za štědrou podporu věd. Nechal 

například přeložit bibli do španělštiny, sepsat nový zákoník a založil univerzitu v 

Salamance. Díky jeho štědré podpoře vznikly roku 1252 také Alfonsínské astronomické 

tabulky. Tabulky sestavili na jeho příkaz Jehuda ben Moses Cohen a 

Isaac ben Sid. Vycházely z Ptolemaiova geocentrického modelu, Toledských tabulek 

a nových měření. Umožňovaly vypočíst zatmění, fáze Měsíce a polohy planet 

pro libovolný okamžik. Po několik dalších století sloužily jako nejlepší astronomické 

tabulky a byly také základním zdrojem informací pro Mikuláše Koperníka. Od 

13. století se začínají používativastronomiimechanickéhodiny.


S objevem knihtisku a rozvojem mořeplavby význam a využití astronomických 

tabulek značně vzrostl. Prvými tištěnými tabulkami tohoto druhu se stal Almanach 

Regiomontanus. Šlo o navigační tabulky s denními pozicemi nebeských těles, které 

sestavil Johann Müller (známý také pod latinským jménem Regiomontanus) 

a vydal v Norimberku roku 1474. 

Kvalitativně byly Alfonsínské tabulky překonány až Rudolfínskými tabulkami, 

které sestavil roku 1627 Johannes Kepler na základě svých zákonů opohybu 

planet a na základě přesných pozorování Tychona Brahe. 

7.2.9 Mikuláš Koperník, heliocentrismus 

Obě zmíněné starověké teorie Aristotelova a Ptolemaiova byly geocentrickými 

teoriemi světa. Po kvantitativní stránce byla Ptolemaiova teorie více než uspokojivá, 

ale zdála se být příliš složitá a vyumělkovaná, což trápilo mnohé astronomy. 

V modernizovaném provedení obsahovala až kolem 80 epicyklů. S revoluční reformou 

přišel roku 1510 Mikuláš Koperník, který tvrdil, že pohyby planet dokáže 

jednodušeji vysvětlit za předpokladu, že středem světa je Slunce a planety včetně 

Země obíhají kolem něj. Tento pohled na svět se dnes nazývá heliocentrismus. 

Během let 1510 až 1514připravil Koperník krátký spis De hypothesibus motuum 

coelestium a se constitutis commentariolus (Komentář k teorii pohybu nebeských 

těles vzhledem k jejich uspořádání), ve kterém shrnul své myšlenky a který nechal 

kolovat mezi svými přáteli. Hlavní myšlenkou spisu byl názor, že denní pohyb 

hvězd je důsledkem denní rotace Země kolem její osy, zatímco roční pohyb Slunce 

a retrográdní pohyb planet je důsledkem ročního oběhu Země kolem Slunce, které 

stojí nehybně uprostřed celého planetárního systému. Země nenístředem světa, je 

pouze středem oběžné dráhy Měsíce. I kdyžmohlKoperníkpřenesením středu světa 

ze Země naSlunceněkteré epicykly zrušit, pro vysvětlení všech známých pohybů 

musel nakonec zavést 48 deferentů a epicyklů. Přesnost předpovědí na základě Koperníkova 

modelu se přitom nijak zásadně od Ptolemaiovu modelu nelišila, dá se 

říci, že byla dokonce spíše horší. 

Mikuláš Koperník 1473 - 1543 

Své názory Koperník přednesl v Římě roku1533před papežem Klementem


VII. a ten je schválil. Roku 1536 dal Koperník konečně pokyn k publikaci svých 

myšlenek. Pak ovšem začal znovu váhat. Jen díky naléhání jeho přátel a žáků Koperníkova 

kniha De revolutionibus orbium coelestium (O obězích sfér nebeských) 

nakonec opravdu vyšla. Roku 1540 konečně dostal Georg Joachim Reticus povolení 

vzít kompletní rukopis do Norimberku k tisku. Vzhledem k odporu Martina 

Luthera a dalších církevních reformátorů Reticus odjíždí do Lipska, kde žádá o 

publikaci Andrea Osiandera. Pravděpodobně zobavy,že revoluční myšlenky sklidí 

velkou kritiku, vložil Osiander na vlastní odpovědnost do knihy předmluvu, podle 

níž je nehybné Slunce jen užitečný matematický prostředek ke zjednodušení 

planetárních výpočtů anemácodělat se skutečností. 

Uspořádání světa podle Koperníka. Slunce je 

uprostřed, kolem něj krouží planety včetně 

Země, kolem níž krouží navíc ještě Měsíc. 

Koperník se oprávněně bálstřetu své teorie s náboženskými a filozofickými 

představami své doby a hrozilo mu vážné nebezpečí, že bude obviněn z kacířství. 

To se přihodilo o šedesát let později například Giordano Brunovi, kterýbylza 

podobné myšlenky upálen na hranici. První výtisk své knihy spatřil Koperník až v 

poslední den svého života 24. května roku 1543. 

Koperníkovynázorybylypokrokovéašlysprávnýmsměrem, jeho model však 

nadále pracoval jen s rovnoměrnými kruhovými pohyby, takže ve své podstatě 

zůstal prakticky stejně komplikovaný jako starý model Ptolemaiův. Pro praktickou 

astronomii a pro zpřesnění předpovědí pohybů planet Koperníkův model nic 

převratného nepřinesl, předpovědi odvozené podle jeho teorie byly nakonec méně 

přesné, než staletími prověřené předpovědi Ptolemaiovy. Přesto Koperníkova kniha 

ovlivnila mnoho následovníků a roku 1616, semdesát tři let po smrti Koperníka, se 

ocitla na předním místě indexu zakázaných knih, kde setrvala až do roku 1833. 

Dodejme ještě, že Koperník také objevil stáčení přímky apsid u planet a upravil 

dále teorii pohybu Měsíce tak, že snížil kolísání vzdálenosti Měsíce od Země z 

poměru 1:2, jak tomu mělo být podle Ptolemaia, na 3:4. Tak velké změny 

vzdálenosti by musely být patrné na změně velikosti Měsíce na obloze, což se,jak 

Koperník dobře věděl, nepozoruje. Skutečné kolísání je totiž ještě menší, úhlová


velikost Měsíce kolísá v intervalu 29.5 0 až 33.5 0 . Slunce je podle Koperníka 18 krát 

dále od Země nežMěsíc (ve skutečnosti 380 krát) a Měsíc je ve vzdálenosti 64 

zemských poloměrů (veskutečnosti 60 poloměrů). Délku tropického roku Koperník 

určil s chybou 28 sekund. 

Vysvětlení retrográdního pohybu podle Koperníka.Jupitersepohybujerovnoměrně 

po 

kružnici stejně jakoZemě, jenže jeho průmět 

na obloze vytvoří smyčku, když jeZeměprávě 

na stejné straně od Slunce jako Jupiter. 

7.2.10 Giordano Bruno 

Významným myslitelem a pokračovatelem Koperníkových myšlenek byl Giordano 

Bruno. Roku 1584 ve svém spise Cena de le Ceneri (Večeře o popeleční středě) 

tvrdí, že ani Slunce není středem vesmíru, ale že je obyčejnou hvězdou jako mnoho 

ostatních na obloze. Domníval se dále, že vesmír je nekonečný, že i ostatní hvězdy 

mají své planetární soustavy a na nich, že jsou mnohé obydlené světy podobné 

našemu. Bible má podle Bruna sloužit jako zdroj morálního poučení, ale nemůže 

sloužit jako zdroj poučení pro astronomy. 

Bruno, původně katolický kněz, kvůli pronásledování procestoval celou Evropu. 

Přestoupil dokonce i ke kalvinismu. Ale brzy zjistil, že je stejně pronásledováni 

zde. Byl postupně exkomunikován z kalvínské i luteránské církve. Roku 1591 přijel 

na pozvání bohatého měš tana , Giovanni Moceniga do Benátek, aby zde přednášel 

a diskutoval o své filozofii. Benátky byly tehdy svobodným a svobodomyslným 

městem. Roku 1592 byl po osobních neshodách s mocným Mocenigem zatčen a 

předán místní inkvizici, roku 1593 byl předán inkvizici do Říma. Zde strávil sedm 

let ve vězení obhajobou svého učení. Unaven bezvýchodností své situace Bruno 

před inkvizičním soudem nakonec prohlásil, ženemá,cobyodvolalaže vlastně 

ani neví, co se ještě čeká, že odvolá. V tomto okamžiku jej papež Clement VIII. 

prohlásil za zatvrzelého a neústupného kacíře. Dne 8. února 1600 mu byl formálně 

přečten rozsudek a nedlouho na to byl převezen na náměstí Campo de’ Fiori s 

roubíkem v ústech a tam zaživa upálen. 

7.2.11 Tycho Brahe, paralaxa 

Největším astronomem od dob antického Ptolemaia byl jednoznačně Tycho Brahe. 

Jako čtrnáctiletý mladík byl 21. srpna 1560 svědkem úplného zatmění Slunce, které 

jej ovlivnilo na celý život. V roce 1563 pozoroval zákryt Saturna Jupiterem. Srovnáním 

s astronomickými almachy a tabulkami zjistil, že tyto jsou naprosto nedostatečné. 

Například Koperníkovy tabulky předpovídaly jev až oněkolik dní později.


Rozhodl se tehdy, že svůj život zasvětí přesnému pozorování oblohy a zpřesnění 

astronomických tabulek. 

Roku 1572 objevil novou hvězdu - supernovu, jasnější než Venuše, v souhvězdí 

Kasiopeje v místech, ve kterém předtím žádná hvězda nebyla. Dokázal o ní, že 

leží dále než Měsíc a že tedy patří do sféry hvězd. To ovšem znamenalo, že sféra 

hvězd není tak neměnná a ani tak dokonalá, jak se tradovalo od dob Aristotela. 

Braheserázemstalnejslavnějším astronomem a dánský král Frederick II. mu 

věnoval šlechtický tilul a ostrov Hven, kde si Brahe vybudoval svoji první observatoř 

Uraniborg. 

Roku 1577 pozoroval Brahe kometu, kterou dnes známe pod jménem Halleyova 

kometa. Pozorováním její paralaxy dokázal, že se nachází od Země dálenežMěsíc. 

Svým pozorováním tak naráz vyvrátil středověké představy o křiš tálových , sférách 

planet.Kometajimitotiž pronikala bez jakéhokoliv zřetelného odporu! Po smrti 

Frederika II. a sporech s jeho následníkem se roku 1599 Brahe přestěhoval do Prahy, 

kde se stal dvorním astronomem císaře Rudolfa II. Svou novou observatoř vybudoval 

v Benátkách nad Jizerou a další pak i v Praze. 

Tycho Brahe 1546 - 1601 

Brahe byl vynikající astronom, pro své potřeby vymyslel nové metody a zkonstruoval 

spoustu nových astronomických přístrojů, které nemělyvtédobě konkurenci. 

Pomocí nich dosáhl samé meze astronomické přesnosti. Jeho měření dosahovala 

chyby jediné obloukové minuty, což seblíží rozlišovací schopnosti lidského 

oka! Pro srovnání, přesnost astronomických měření u Ptolemaia činila asi 30 0 a 

u Koperníka asi 20 0 . Další zpřesněníastronomickýchpozorovánímohlpřinést až 

objev dalekohledu. 

Brahe důkladně využíval měření paralaxy k určování vzdálenosti nebeských 

objektů. Podobně, jako se pohybuje telegrafní sloup na pozadí krajiny při pohledu 

z jedoucího vlaku, tak se musí pohybovat i kometa na pozadí nejvzdálenějších 

hvězd v důsledku pohybu Země. Tady je nutno rozlišovat denní paralaxu, kteráje 

způsobena rotací Země kolem osy a roční paralaxu,kterájezpůsobena orbitálním 

pohybem Země kolem Slunce. Například denní paralaxa Měsícejeasi1 ◦ aSlunceasi 

9 00 . Sluneční denní paralaxa byla tehdy zcela mimo možnosti měření a poprvé byla 

naměřena až roku 1672. Roční paralaxa však měla být podle tehdejších představ


pohodlně vidět i u hvězd. 

Hvězdná paralaxa. Při pohybu Země kolem 

Slunce se mění směr, v němž jevidět hvězda 

H. Je-li Země vmístě Z 1 , je hvězda ve směru 

s 1. Je-li Země naopačném konci své dráhy v 

bodě Z 2, zdá se být hvězda ve směru s 2. Z 

pohledu ze Země to tedy vypadá tak, jakoby 

hvězda opisovala na obloze malou elipsu. 

Tycho Brahe důkladně studoval Koperníkovu teorii a znal její přednosti i nedostatky. 

Na rozdíl od svých předchůdců všaknezůstal jen u studia, ale provedl důkladná 

měření, která měla potvrdit, případně vyvrátit, Koperníkův systém. Brahe 

věděl, že kdyby se Země pohybovala kolem Slunce, musely by se na obloze během 

roku nepatrně měnit i polohy hvězd. Blízké hvězdybymuselynaoblozeopisovat 

malé elipsy. Velká poloosa této elipsy se pak nazývá hvězdná paralaxa. Jeto 

úhel, pod nímž by byla vidětzdanéhvězdy vzdálenost dráhy Země odSlunce. 

Žádnou paralaxu se mu však nepodařilo naměřit, a tak Brahe roku 1588 prohlásil, 

že Země jepevnýmstředem světa a že Země senepohybujekolemSlunce,jaktvrdil 

Koperník. Na krátkou dobu tím Brahe uklidnil své současníky. Vše je v pořádku, 

Aristotelés měl přece jen pravdu. 

Svět podle představy Tychona Braha. Planety 

obíhají kolem Slunce, a to vše, včetně Slunce 

aMěsíce, kolem nehybné Země. 

Brahe uvažoval naprosto vědecky a ani dnes mu nemůžeme nic vytknout. Pokud 

by měl Koperník pravdu, pak by se během roku měnila poloha Země vevesmíru.V 

souladu s tehdejšími představami očekával Brahe roční periodické změny v polohách 

hvězd v řádu několika obloukových stupňů. Brahe však ani při opakovaném měření 

žádnou paralaxu nepozoroval. Proto byl jeho závěr v neprospěch heliocentrismu 

naprosto opodstatněný a logický. Vědom si jednoduchosti Koperníkova modelu i 

nulové paralaxy hvězd sestavil roku 1588 Tycho Brahe svůj vlastní model sluneční


soustavy. V tomto modelu tvoří všechny planety dohromady jakýsi roj obíhající 

kolem Slunce, a celý tento roj pak obíhá kolem nehybné Země. Pouze Měsíc obíhá 

kolem Země přímo. 

S ohledem na přesnost svých měření tak Brahe vlastně dokázal, že bu dZemě 

, 

neobíhá kolem Slunce anebo je náš vesmír větší než 3400astronomických jednotek. 

Z obou variant si Brahe vybral tu zdánlivě pravděpodobnější, nicméně, jak dnes 

již víme,nesprávnoumožnost. I ty nejbližší hvězdy jsou od nás totiž mnohem dál 

(270 000 AU), než mohl tušit, Brahe proto neměl nejmenší šanci roční paralaxu 

hvězd naměřit. I paralaxy nejbližších hvězd mají velikost zlomku úhlové vteřiny, 

případně ještěméně. Největší paralaxu má naše nejbližší hvězda Alfa Centauri. Její 

paralaxa činí 0.76 00 adásezměřit jen pomocí velmi kvalitních dalekohledů! První 

paralaxu změřil až roku 1838 Friedrich Wilhelm Bessel uhvězdy 61 Cygni, 

která se od nás nachází asi 11 světelných let daleko. 

7.2.12 Galileo Galilei, revoluce v astronomii a fyzice 

Galileo ani Kepler zatím nemohli podat rozumnou alternativu k Aristotelovi. Jestliže 

se Země otáčí kolem osy (na rovníku rychlostí 460 m / s, tj. 1700 km / h), jak to, že 

tělesa na jejím povrchu neodlétnou? A proč tělesa puštěna z věže nedopadají na 

zem daleko na západ od ní, když seZeměsvěží mezitím pootočila notný kus na 

východ. Jak je možné, že Země zavěšená v prázdném prostoru obíhá kolem Slunce, 

aniž ji cokoliv pohání? Kdyby Země nebylastředem světa, co by potom drželo 

protinožce na zemi? Na podobné otázky odpovědi dosud nikdo neznal. 

Galileo Galilei zaútočil nejprve na problém spojený s rotací Země. Tělesa 

podle něj neodlétají ze Země, protože ta se otáčí relativně pomalu. 4 Tělesa padají k 

základům věže, z níž jsou puštěna, protože sdílejí spolu s věží rotační pohyb Země. 

Tělesa, která jsou již v pohybu, zachovávají svůj pohyb, i kdyždalšípohybpřidáme. 

Podobně Galileo dedukuje, že koule puštěná ze stožáru plující lodi dopadne k patě 

stožáru. Kdyby se míč pohyboval po horizontální rovině beztření, pohyboval by se 

věčně. Odtud Galileo vyvozuje, že planety, které jsou již jednou v rotačním pohybu, 

budou v něm pokračovat navěky. 

Galileo bohužel nikdy nepřijal Keplerovy elipsy, které by mu vážně narušily jeho 

vlastní řešení Koperníkova problému. Galileo byl od mládí přesvědčen o pravdivosti 

Koperníkova modelu vesmíru, ale obával se projevit svůj názor kvůli posměchu. Při 

pobytu v Benátkách na jaře 1609 se Galileo dozvídá o nejnovějším objevu dalekohledu. 

Po návratu do Padovy si staví vlastní teleskop zvětšující asi třikrát, rychle 

jej vylepšuje, až jeho nový dalekohled dosahuje zvětšení asi dvaatřicetinásobné. 

Díky metodě prokontrolukřivosti čoček, kterou Galileo vynalezl, byly jeho teleskopy 

prvními, které mohly být použity k astronomickým pozorováním. Brzy byly 

žádané po celé Evropě. 

Roku 1609 obrátil Galileo, jako vůbec první člověk, svůj dalekohled k nebesům 

a počátkem roku 1610 oznámil celou řadu astronomických objevů. Zjistil, že 

4 Za jednu sekundu se Země pootočí o 460 m, vdůsledku zakřivení Země sepovrchpoduvažovaným 

tělesem propadne asi o 17 mm . Volným pádem ale za stejnou dobu spadne každé těleso o 

5 m! Rotace Země jetedypřílišpomalánato,nežabydošlokodmrštění těles z jejího povrchu.


Měsíc není hladké dokonalé těleso, jak se dosud soudilo, ale že má nepravidelný 

povrch s množstvím hor a kráterů. Objevil, že Mléčná dráha se skládá z mnoha 

hvězd a že existuje daleko více hvězd, než jevidět neozbrojenýma očima. Galileo 

pozoroval, že planety mají v dalekohledu tvar malých kotoučků, zatímco hvězdy 

zůstávaly malými jasnými body. Dne 7. ledna 1610 objevil Jupiterovy měsíce, čímž 

jasně prokázal,že ne všechna tělesa ve vesmíru obíhají kolem Země. Jupiter a jeho 

měsíce představovaly zmenšený model sluneční soustavy. Pozoroval Saturn, skvrny 

na Slunci a objevil, že planeta Venuše má fáze právě takjakoMěsíc, čímž prokázal, 

že Venuše září jen proto, že se od ní odráží sluneční světlo. Z tvaru srpku je zřejmé, 

že Venuše obíhá kolem Slunce. Své první astronomické objevy publikoval roku 1610 

ve spisku Sidereus Nuncius (Hvězdný posel). 

Galileo poslal jeden dalekohled Keplerovi, aby mohl spatřit Jupiterovy měsíce 

na vlastní oči. Kepler je nazval satelity, což jeslovooznačující lidi obklopující 

mocnější osobu. Kepler pak zjistil, že pro ně platí stejné zákony jako pro planety 

až nato,že obíhají kolem Jupitera a ne kolem Slunce. 

Galileo Galilei 1564 - 1642 

Galileo měl dar psát a vysvětlovat, své spisy vydává v italštině a jeho myšlenky 

se stávají populární i za hranicemi univerzit a mají obrovský dopad na veřejné mínění. 

Toho se báli aristoteliánští profesoři, jimž hrozilo, že brzy nebudou mít koho 

učit. Sjednotili se spolu s dominikánskými kazateli a tajně udali Galilea u inkvizice 

za smyšlené rouhačské názory. Galileo se šel dokonce osobně doŘíma nejvyšším 

autoritám omluvit. Někteří církevní představitelé byli na jeho straně, bohužel kardinál 

Robert Bellarmine, hlavní teolog církve, nebyl schopen ocenit význam nových 

teorií a lpěl na časem osvědčené víře, že matematické hypotézy nemají nic společného 

s fyzikální realitou. Jediné, čeho se bál, bylo nebezpečí skandálu, který mohl 

oslabit katolíky v jejich boji s protestanty. Podle toho se také rozhodl a prohlásil 

Koperníkův názor za falešný a nesprávný. Koperníkovu knihu dal dekretem z 5. 

března 1616 na index zakázaných knih. Ještěpředtím, 26. února, jako akt zvláštního 

osobního uznání přijal kardinál Bellarmine k audienci Galilea, aby jej informoval 

o nadcházejícím dekretu a osobně jej varoval, že od nynějška nesmí zastávat ani 

obhajovat zakázané Koperníkovo učení. 

Dalších sedm let tráví Galileo studiem doma. Konečně, roku 1623 odpovídá na


pamflet O. Grassiho o podstatě komet, který otevřeně Galilea napadá. Jeho odpově 

d , vychází pod názvem Saggiatore ... (Zkoušející ...) a obsahuje mimo jiné slavný 

výrok kniha přírody je ... psána matematickým jazykem. Spis je věnován novému 

papeži Urbanu VIII. (vlastním jménem Maffeo Barberini ), který byl dlouholetým 

přítelem a ochráncem Galilea. Papež Urban přijal věnování s nadšením. Roku 1624 

Galileo přijíždí znovu do Říma, doufajíce v odvolání zákazu z roku 1616. Nedostal 

jej, ale dostal od papeže svolení psát o obou systémech světa, tj. ptolemaiovském i 

koperníkovském. 

Galileo se vrací do Florencie a několik dalších let pracuje na své velké knize 

Dialogo sopra i due massimi sistemi del mondo, tolemaico e copernicano (Dialog 

týkající se obou systémůsvěta — Ptolemaiova a Koperníkova). Vydává ji roku 1632 s 

plným svolením cenzorů. Byla přijata s velkým nadšením a chválou po celé Evropě 

jako mistrovské literární i filozofické dílo. U papeže byla kniha záhy pomluvena 

jako nestydatá obhajoba Koperníka. Jezuité naléhali tvrdíce, že kniha bude mít 

horší důsledky pro stávající učení než Luther a Kalvín dohromady. Autorovi bylo 

odebráno povolení publikovat a kniha byla zakázána. Galileo nesměl nyní učit ani 

diskutovat o Koperníkovi žádným způsobem pod hrozbou trestu Svaté stolice. Galileo 

nebyl ještě nikdy v tak velkém nebezpečí, církevní autority ho obžalovaly ze 

silného podezření z kacířství. Nepomohly prosby o přihlédnutí k pokročilému věku 

(68 let) a špatnému zdraví, Galileo musel znovu odcestovat do Říma v únoru 1633. 

Dostalo se mu zvláštní úlevy a prozatím nebyl uvězněn. Hlavní inkviziční komisař 

sympatizoval s Galileem a navrhoval jej propustit jen s důtkou, ale inkviziční tribunál 

prohlásil, že musí být odsouzen. Rozsudek byl přečten 21. června, Galileo 

jím byl uznán vinen z obhajoby a výuky Koperníkova učení a přinucen odvolat. 

Galileo Galilei musel odpřisáhnout před římskou inkvizicí, že nebude dále tvrdit, 

že Země setočí okolo Slunce. Tímto tvrzením byl totižvzřejmém rozporu s Písmem, 

které jasně praví, že při Jozuově dobývání Jericha se slunce zastavilo na obloze. 

Galileo odrecitoval větu, v níž sezříká svých ohavných omylů. Rozsudek inkvizice 

nařizoval uvěznění, ale papež jej zmírnil v domácí vězení v Arcetri u Florencie, 

kam se Galileo vrátil v prosinci 1633. Trest domácího vězení trval po zbývajících 

osm let jeho života. Galileova duševní aktivita však neutuchala a v roce 1634 dokončil 

Discorsi e dimostrazioni mathematiche intorno a due nuove scienze attenenti 

alla meccanica (Dialog o dvou vědách ...), ve které shrnuje své časné experimenty i 

zralé úvahy o principech mechaniky. Tuto v mnoha ohledech nejhodnotnější Galileiho 

knihu vytiskl Louis Elzevirs v Leidenu roku 1638. Svůj poslední objev, libraci 

Měsíce, uskutečnil Galileo pouze několik měsíců před tím, než zcela oslepl. I pak 

pokračoval ve vědecké korespondenci, přemýšlelokyvadleajehovyužití při konstrukci 

hodin a diktoval nové objevy svým žákům. Galileo zemřel 8. ledna 1642. 

Galileo byl první, kdo spojil síly matematiky a fyziky dohromady. Sjednotil 

nebeské a pozemské jevy do jedné teorie, odstranil tradiční dělení na svět sublunární 

a supralunární. Jeho metoda spočívala v kombinaci experimentu a výpočtu, v 

transformaci konkrétního v abstraktní a v soustavném porovnávání výsledků. Vytvořil 

tak moderní myšlenku fyzikálního experimentu, který sám nazýval cimento 

(tj. boží soud, těžká zkouška). 

Církev trvala na dogmatu, že Země jestředem vesmíru a že se vše otáčí kolem


ní až do roku 1822, kdy bylo dogma o geocentrické soustavě zrušeno usnesením 

kardinálů. Nicméně samotný Galileo byl oficiálně rehabilitován až roku 1992 za 

pontifikátu současného papeže Jana Pavla II. Současná katolická církev se tedy zdá 

být již mnohem tolerantnější k novým myšlenkám než středověká inkvizice, o čemž 

svědčí i výrok stejného papeže, který roku 1996 prohlásil, že Charles Darwin 

svou evoluční teorií dosáhl významného vědeckého poznání. 

7.3 Kuželosečky 

Pro potřeby Keplerových zákonů budeme potřebovat základní informace o kuželosečkách, 

především pak o elipse. Budeme jim proto věnovat několik následujících 

odstavců. 

7.3.1 Elipsa 

Elipsu můžeme definovat mnoha způsoby. Nejznámější je zahradnická definice:Zvolíme 

dva pevné body F 1 a F 2 , ty nazýváme ohnisky elipsy. Množina bodů X, 

jejichž součet vzdáleností r 1 a r 2 od obou ohnisek je roven konstantě 2a, paktvoří 

elipsu. Zapsáno vzorcem platí 

r 1 + r 2 =2a, (7.1) 

kde r 1 = |F 1 X| ,r 2 = |F 2 X| . Elipsu lze podle uvedené definice snadno zkonstruovat. 

Do země zapíchneme dva kolíky, ty tvoří ohniska a mezi ně natáhneme provázek 

o délce 2a, která je větší než vzdálenost ohnisek |F 1 F 2 |. Pak provázek napneme a 

třetím kolíkem X, při stále napnutém provázku, vyryjeme do země uzavřenou čáru, 

kterou bude právě elipsa. 

Zahradnická konstrukce elipsy. Do země zabodneme 

dva kolíky F 1 a F 2, natáhneme mezi 

ně provázek a třetím kolíkem X, kterým provázek 

vypneme, vyryjeme do země čáru — elipsu. 

Pokud elipsu takto zkonstruujeme, zjistíme, že elipsa má střed S, čtyři vrcholy 

A, B, C, D advě osy souměrnosti, velkou osu AB a malou osu CD. Parametr 

a = |AB| /2 je tzv. velká poloosa elipsy a parametr b = |CD| /2 je malá poloosa 

elipsy. Číslo e = |F 1 F 2 | / |AB| je relativní výstřednost nebo numerická excentricita.Vgeometriisepoužívá 

i lineární výstřednost (vzdálenost ohniska od středu 

elipsy), ale v astronomii se používá jen numerická výstřednost, proto budeme dále 

hovořit pouze o výstřednosti. Protože bod C je také bodem elipsy, musí platit pro 

výstřednost vzorec 

e = p 1 − b 2 /a 2 . 

Tři parametry elipsy a, b a e tedy nejsou navzájem nezávislé.

7.3. KUŽELOSEČKY 335 

Elipsa a její parametry, vrcholy A, B, C a D, 

střed S, velká poloosa a = |SA|, malá poloosa 

b = |SC| , excentricita e = |F 1F 2| / |AB| . 

Zavedeme-li kartézské souřadnice středem elipsy S, pak z definice (7.1) platí 

q 

q 

(x − ea) 2 + y 2 + (x + ea) 2 + y 2 =2a, 

odtud po umocnění a úpravě dostanemekanonický tvar rovnice elipsy 

x 2 

a 2 + y2 

b 2 =1. 

Pro a = b dostaneme z elipsy kružnici o poloměru a. Pro málo výstřednou 

elipsu a ≈ b je rozdíl mezi elipsou a kružnicí velmi malý, relativní odchylka je řádu 

e 2 . Například u Země jee 2 ≈ 3 × 10 −4 auMarsujee 2 ≈ 9 × 10 −3 , chyba mezi 

elipsou a kružnicí je zde pořád menší než jedno procento. To zároveň vysvětluje, 

proč tvůrci prvních modelů kosmutakúspěšně aproximovali eliptické dráhy planet 

excentrickými kruhovými deferenty. 

Elipsu dostaneme také prostým stlačením kružnice, takže její poloměr a přejde 

v malou poloosu b. Odtud budou parametrické rovnice elipsy 

x = a cos t, y = b sin t, 

kde t je parametr. Z deformační definice elipsy je dále zřejmé, že plocha elipsy se 

dostane jako b/a násobekplochykruhuπa 2 , takže platí 

P = πab. 

Ilustrace k odvození polární rovnice elipsy. 

Pro potřeby mechaniky pohybu planet potřebujeme nejčastěji rovnici elipsy, ve 

které vystupuje vzdálenost r od jednoho ohniska F 1 .Takovýtvarmárovniceelipsy 

v polárních souřadnicích. Najdeme ji opět z definice elipsy (7.1) a z kosínové věty 

(2a − r) 2 = r 2 +(2ae) 2 +4aer cos φ


pro trojúhelník XF 1 F 2 . Odtud po malé úpravě dostanemepolární rovnici elipsy 

p 

r = 

1+e cos φ , (7.2) 

kde 

p = a ¡ 1 − e 2¢ 

je parametr elipsy. Z rovnice elipsy (7.2) je zřejmé, že parametr p je roven vzdálenosti 

bodu elipsy od ohniska pro azimut φ = ±π/2 kolmý na hlavní osu. Je možno 

dokázat, že parametr p je také roven poloměru křivosti elipsy v jejím vrcholu A a 

B, tj. pro φ =0a φ = π. 

Elipsy se stejným ohniskem F astejnýmparametrem 

p, ale s různou výstředností e. 

7.3.2 Hyperbola 

Hyperbola je rovinná křivka, jejíž každý bod X má rozdíl vzdáleností od obou 

ohnisek F 1 ,F 2 stejný. Platí tedy definice 

r 1 − r 2 = ±2a, 

kde r 1 = |F 1 X| ,r 2 = |F 2 X| . Každé znaménko odpovídá jednomu z ramen hyperboly. 

Excentricita hyperboly je definována stejně jako u elipsy předpisem e = 

|F 1 F 2 | / |AB| aplatí 

e = p 1+b 2 /a 2 . 

Kanonická rovnice hyperboly má tvar 

x 2 

a 2 − y2 

b 2 =1, 

odtud jsou rovnice asymptot y = ±bx/a a úhel asymptot je 2θ, kde tg θ = b/a 

nebo cos θ =1/e. Parametrické rovnice hyperboly mají tvar 

x = ±a cosh t, y = b sinh t. 

Obě větve hyperboly, její střed S, vrcholy A a 

B, ohniska F 1 a F 2 aasymptoty.

7.3. KUŽELOSEČKY 337 

Zdefinicehyperbolyazkosínovévěty 

(r ± 2a) 2 = r 2 +(2ae) 2 − 4aer cos φ 

pro trojúhelník XF 1 F 2 dostaneme polární rovnice přivrácené a odvrácené větve 

hyperboly 

r = 

p 

±1+e cos φ , 

kde parametr p = a ¡ e 2 − 1 ¢ . Směrnice asymptot dostaneme pro r →∞, odtud 

cos φ = ±1/e. 

7.3.3 Parabola 

Limitní případ křivky s excentricitou e =1dostaneme z elipsy stejně jakozhyperboly. 

Touto křivkou je parabola. Parabola je rovinnou křivkou, jejíž každý bod 

je stejně vzdálen od ohniska F a řídící přímky d. Parabola má jen jediné ohnisko 

F ajedinývrcholA. Místo velké a malé poloosy definuje parabolu jediný parametr 

p =2|AF | , který představuje vzdálenost ohniska a řídící přímky. Vrcholová 

kanonická rovnice paraboly je 

x 2 =2py 

a polární rovnice paraboly je 

r = 

p 

1+cosφ . 

7.3.4 Kuželosečky 

Všechny výše zkoumané křivky, tj. elipsu, parabolu i hyperbolu, znali již starověcí 

učenci. Spolu s kružnicí je všechny nazývali kuželosečkami, protože všechny 

tyto křivky se dostanou rovinným řezem z kuželové plochy. Uvažujme například 

kuželovou plochu 

z 2 = x 2 + y 2 

srotační osou z. Ve , dme touto kuželovou plochou rovinný řez o rovnici 

z = z 0 + x tg θ. 

Normála této roviny svírá s rotační osou z kužele úhel θ. Rovina protne kuželovou 

plochu v kuželosečce, jejíž excentricita je rovna 

e = √ 2sinθ. 

Pro kolmý řez θ =0je e =0a řezem je kružnice. Pro θ < 45 ◦ je řezem elipsa e 45 ◦ je řezem hyperbola


e>1. Podle úhlu řezu tedy z kužele dostaneme jak kružnici, tak elipsu, parabolu 

nebo hyperbolu. Všechny tyto křivky proto správně nazýváme kuželosečkami. 

Polární rovnice všech kuželoseček má tvar 

r = 

p 

1+e cos φ , 

kde p = ±a ¡ 1 − e 2¢ > 0 je parametr kuželosečky. 

Existuje ještě jedna obecná definice kuželoseček. Podle této definice je kuželosečkou 

množina bodů X, pro které platí: Poměr vzdáleností bodu X od ohniska F 

a řídicí přímky q (direktrix) je stálý a je roven excentricitě e. Vyjádřeno vzorcem 

tedy platí 

r 

d − r cos φ = e, 

kde d je vzdálenost ohniska a řídicí přímky. Tato rovnice vede snadno na polární 

rovnici kuželoseček, kde pro parametr platí p = ed. 

Ilustrace k definici kuželoseček pomocí řídicí 

přímky q (direktrix). 

Kuželosečky definoval ve 4. stol. př.n.l.Menaechnus, názvy jednotlivých 

kuželoseček, tj. elipsa, parabola, hyperbola, zavedl Apollónios z Pergy ve 3. 

stol. př. n. l. Johannes Kepler jako první použil elipsy v mechanice k popisu 

pohybu planet, objevil vzorec pro obsah elipsy a obsah eliptické úseče, zavedl název 

ohniska. 

Ilustrace k Dandelinovu důkazu, že elipsa je 

kuželosečkou. 

Elegantní důkaz netriviálního tvrzení, že elipsa (parabola, hyperbola) je skutečně 

kuželosečkou, pochází od Germinal Pierre Dandelina z roku 1822. Ukážeme 

nyní, že rovinný řez AB kuželovou plochou VAB skutečně dává elipsu s 

ohnisky F 1 a F 2 , které jsou zároveň body dotyku roviny AB soběma vepsanými 

Dandelinovými koulemi. Menší koule se dotýká kuželovéplochyvkružnici P 1 Q 1 R 1 

avětší koule v kružnici P 2 Q 2 R 2 . Označíme-li obecný bod řezu roviny a kuželové 

plochy jako X, pak platí |XF 1 | = |XQ 1 | , nebo t , XF 1 i XQ 1 jsou tečny vedené 

stejným bodem X ke stejné kouli. Podobně musíplatiti|XF 2 | = |XQ 2 | , takže

7.4. JOHANNES KEPLER 339 

platí rovněž 

|XF 1 | + |XF 2 | = |XQ 1 | + |XQ 2 | = |Q 1 Q 2 | =konst, 

kde XQ 1 ,XQ 2 a Q 1 Q 2 jsou části společné tečny VX obou koulí. Vyšla nám zahradnická 

definice elipsy, příslušná kuželosečka je proto elipsou. Podobně byse 

dokázalo, že řezem může být i hyperbola nebo parabola. 

7.4 Johannes Kepler 

7.4.1 Život 

Někdy se trochu zlomyslně tvrdí,že skutečně největším objevem Tychona Brahe 

byl Johannes Kepler, matematik, jehož si vybral za svého asistenta. Ten totiž 

na počátku 17. století záhadu pohybu planet konečně vyřešil. Ačkoliv byl Kepler 

jen mizerným pozorovatelem oblohy, měl totiž slabýzrak, 5 stal se největším astronomem 

své doby díky matematickým schopnostem, jimiž předčil všechny své 

kolegy. Pečlivým studiem astronomických záznamů, které mu Brahe po své smrti 

zanechal, dokázal, že všechny planety skutečně obíhají kolem Slunce, ovšem ne po 

kružnicích nebo po epicyklech, ale po elipsách. Tím současně vysvětlil i záhadnou 

nerovnoměrnost pohybu planet. 

Johannes Kepler 1571 - 1630 

Kepler se narodil 27. prosince roku 1571 ve Weil der Stadt poblíž Stuttgartu. 

Otec byl pijan a nerozvážný dobrodruh, vychovávala jej proto matka Katharina. 

Sama byla bez vzdělání, ale Johanna vedla k pozorování přírodních jevů a seznámila 

jej se základy lidového léčitelství. Roku 1575 prodělal neštovice, díky nimž 

se mu zhoršil zrak. Nadaný student vystudoval na náklady obou dědečků, města 

a würtenberského vévody. Pak studoval pět let teologii na Univerzitě v Tübingen, 

zde se seznámil s učitelem a pozdějšímdobrýmpřítelem Michaelem Mästlinem. 

Ten u Keplera probudil zájem o matematiku a astronomii. Veřejně sicepřednášel 

5 Sám říkal, že vidí kolo Měsíce a Venuše stejně veliké.


Ptolemaia, soukromě ale Keplera seznámil s modernějšímKoperníkovýmučením, 

ve který Kepler záhy uvěřil. 

Již jako student měl Kepler problémy s ortodoxními protestanty. Není divu, že 

od profesorů nedostal doporučení stát se knězem luteránské církve, a proto Kepler 

přijal místo zemského matematika a učitele matematiky na gymnáziu ve Štýrském 

Hradci, zde se i poprvé žení. Jeho úkolem je propagovat reformovaný gregoriánský 

kalendář, který protestanti nepřijali. Roku 1594 vydává svůj první astronomickoastrologický 

kalendář. Do almanachu vkládal pranostiky i různé astrologické předpovědi, 

z nichž některé se i vyplnily, takže dosáhl jisté proslulosti. 

Na konci šestnáctého století zesílila v Rakousku protireformace, a protože Kepler 

nehodlal změnit víru, dostal příkazdo45dníŠtýrskoopustit.Roku1600přichází 

do Prahy na pozvání Tychona Brahe. Zde v atmosféře tolerance a mezi přáteli prožil 

nejplodnější období svého života. 

Roku 1601 umírá Brahe, Kepler po něm přebírá závazek dokončit Rudolfínské 

tabulky, na nichž pracoval dalších 27 let a současně se stává nejvyšším císařským 

matematikem. Pro zajímavost poznamenejme, že Keplerovi byla za stejnou práci 

přiznána jen šestina platu Tychonova, který navíc dostával velmi nepravidelně ase 

značným zpožděním. Není divu, že si finančně vypomáhal vydáváním kalendářů a 

sepisováním horoskopů. 

Kepler již během studií uvěřilvjednoduššíKoperníkův systém. Protože však 

chyba předpovědí polohy Marsu podle Koperníka byla horší než podle Ptolemaia 

a činila často více než jeden stupeň, 6 rozhodl se Kepler, že se na pohyby planet 

sám důkladně podívá. Pomineme-li pohyb Měsíce, pak přesná předpově defemerid 

, 

Marsu činila jak Ptolemaiovi, tak Koperníkovi největší problém. Dnes víme, že za 

to může značná excentricita jeho dráhy. Pohyb Marsu se tak stal hlavním úkolem, 

na který Kepler upřel svoji pozornost. Problému, o kterém se domníval, že jej vyřeší 

za osm dní, věnoval osm let svého života. Tak Kepler v letech 1601,1605 a 1618 

objevil tři slavné a po něm nazvané zákony, jimiž konečně vyřešil záhadu pohybu 

planet. 

Čímvícesemudařilo na poli vědy, tím smutnější byl jeho život rodinný. Nemoci 

a úmrtí stíhaly jeho rodinu a k tomu se přidala i nouze. Císař Rudolf i pozdější císař 

Matyáš nevypláceli přislíbené důchody, a když práce na Rudolfínských tabulkách 

vázla, Kepler otevřeněpíše:Aby netrpěla čest císaře, při jehož rozkazech komornímu 

důchodu bych hladem umřel, psal jsem ničemné kalendáře s pranostikami. Je to 

poněkud lepší než žebrota ... Myšlenka mne sílí, že nesloužím jedinému císaři, nýbrž 

celému lidstvu, že nepracuji toliko pro nynější pokolení, nýbrž i pro potomstvo ... 

Roku 1611 mu umírá šestiletý syn Friedrich, o několik měsíců později i žena 

Barbora. Císař Rudolf abdikuje a roku 1612 umírá. Keplera už vPrazenicnedrží 

apo12letechveslužbách císaře Rudolfa Prahu opouští. Stěhuje se do Lince, kde 

přijal místo zemského matematika. Podruhé se žení, příprava svatební hostiny jej 

inspiruje k sepsání knížečky o výpočtu objemu sudů. Kepler byl dvakrát ženat, a i 

když semunarodilo12dětí a jednu dceru vyženil, pouze čtyři se dožily dospělosti. 

6 Například v letech 1593 nebo 1608 činila chyba Pruténských tabulek z roku 1551 u polohy 

Marsu čtyři až pět stupňů. Tabulky sestavil Erasmus Reinhold, který jimi vylepšil originální 

Koperníkovy tabulky z roku 1543.

7.4. JOHANNES KEPLER 341 

Roku 1615 byla ve Würtenbersku Keplerova matka, sedmdesátiletá Katharina, 

obviněna ze spolčování s dáblem. , Svalovali na ni všechny místní pohromy, do kouzelnického 

uměníjiprýzasvětila její teta, jež bylapřed časem rovněž upálena za 

čarodějnictví. Tvrdili, že Katharina se nikdy nepodívá lidem zpříma do očí a že ji 

nikdo neviděl plakat. Pět let Kepler bojoval za její nevinu a propuštění. I když se 

mu to nakonec podařilo, žalář již natolik podlomil její zdraví, že roku 1622 umírá. 

Ve stejné době seKeplerdostalopět do nesnází ohledně svého náboženského 

přesvědčení. Představitelé jeho vlastní církve ho v Linci vyloučili z účasti na večeři 

Páně. Protireformace dorazila do Horního Rakouska a Kepler musel i s rodinou 

opustit roku 1626 Linec. 

Roku 1628 vyšlo první vydání Rudolfínských tabulek. Kepler odjel do Prahy 

předat dílo Ferdinandu II., již třetímu císaři, pro kterého pracoval, v naději, že 

dostane zasloužený honorář. Na staroměstské mostecké věži dosud visely vybělené 

lebky Keplerových přátel popravených na Staroměstském náměstí po bitvě na Bílé 

hoře. 

Stejně jako Matyáš, ani Ferdinand se o astronomii nijak nezajímal, navíc usiloval 

o vyhlazení protestantů ve svých zemích. Postavení Keplera, který se zkompromitoval 

s českými protestanty a nechtěl přestoupit ke katolictví, bylo velmi vratké, 

proto roku 1627 přijal nabídku vstoupit do služeb Albrechta z Valdštejna. Za 

svou finanční podporu požadoval Valdštejn nové horoskopy. Kepler pro něj sestavil 

známý, v podstatě málo lichotivý horoskop, ale Valdštejn se v něm poznal. Za 

zmínku stojí Keplerova pozoruhodně přesná předpověd hrozných událostí v životě 

Valdštejna, které měly nastat v březnu roku 1634. Tato předpově dtotiž , vyšla, Valdštejn 

byl v Chebu, jak dobře známo, 25. února 1634 úkladně zavražděn ve své 

ložnici. 

Jen císař dlužil Keplerovi přes 12 tisíc zlatých, dlužnymubylyihornorakouské 

stavy a Valdštejn. Roku 1630 se Kepler vydává do Řezna na říšský sněm pokusit 

se získat na císaři alespoň část dlužné částky. Když semkoňmo dorazil, byl sněm 

ukončen a Kepler už neměl příležitost setkat se s císařem.Navícseponamáhavé 

cestě roznemohl a ulehl. Když secísařdozvědělojehonemoci,poslalmujako 

příspěvek při nemoci 25 dukátů. 15. listopadu Kepler umírá na zápal plic. Nutno 

přiznat, že vdova Susanna nakonec dostala dlužnou částku i s úroky, tj. 12 694 

zlatých. 

Keplerova pozůstalost byla rozprodána, na doporučení Leonharda Eulera koupila 

později podstatnou část pozůstalosti pro Sanktpetěrburskou akademii věd Kateřina 

Veliká. Tato část Keplerových rukopisůsenynínacházínahvězdárně Pulkovo 

u Moskvy. 

7.4.2 Dílo 

Roku 1596 vydává Kepler ve Štýrsku svoje první vědecké dílko Mysterium Cosmographicum. 

Vněm dokazuje, že mezi sféry šesti planet Merkura, Venuše, Země, 

Marsu, Jupitera a Saturna je možno vepsat právěpět platónských dokonalých těles, 

atovpořadí osmistěn, dvacetistěn, dvanáctistěn, čtyřstěn a krychle. Takto vypočtené 

vzdálenosti planet od Slunce se nelišily od Koperníkem hodnot uváděných více


než o10 %. Keplerova formule popisující harmonii světa tedy zněla 

M-8-V-20-Z-12-M-4-J-6-S. 

Keplerova první pražská publikace De Fundamentis Astrologiae Certioribus (Spolehlivější 

základy astrologie) z roku 1601 výslovně odmítározšířenou pověru, že 

hvězdy řídí osudy lidí. Nicméně prosvojimimořádnou znalost astronomie i astrologie 

je nadále vyhledávaným sestavovatelem a vykladačem horoskopů. 

Ve spisku De stella nova in pede Serpentarii z roku 1606 popisuje novou hvězdu 

a mimo jiné zde dokazuje, že Ježíš Kristus se narodil již čtyři roky před naším 

letopočtem. 

Ve své práci skromně nazvanéAd Vitellionem Paralipomena, Quibus Astronomiae 

Pars Optica Traditur (Dodatek k Witelovi, vysvětlující optické části astronomie) 

z roku 1604 a věnovanéopticeKeplervysvětlil funkci oka, čočky a camery 

obscura. Již 300 let používají lidé brýle ke čtení, ale teprve až Kepler dokázal vysvětlit, 

jak vlastně brýle fungují. Kepler uvádí, že světla ubývá se čtvercem vzdálenosti. 

Věnoval se dále astronomické optice, vysvětluje vznik stínu Země aMěsíce 

při zatmění, paralaxu, astronomickou refrakci. 

Roku 1611 v Dioptrice, další své velké práci věnované optice, zkoumá Kepler 

hranol a lom na něm. Velmi se přitom přiblížil k objevu zákona lomu. Kepler 

objevil totální reflexi a zabýval se rovněž vznikem dvojité duhy. Dále zkoumá účinek 

několika čoček, navrhl čtyři nové konstrukce dalekohledu, jedna z nich se používá 

dodnes a je známá jako Keplerův dalekohled nebo hvězdářský dalekohled. 

Kepler pozoroval sférickou vadu čoček, pro její odstranění navrhuje hyperbolické 

čočky. Pro potřeby astronomie sestavil také velmi přesné refrakční tabulky. 

Inspirován vánoční procházkou po Karlově mostě vydává Kepler roku 1611 průkopnickou 

práci o krystalografi Strena seu De nive sexangula (Novoroční dárek aneb 

O šestiúhelníkovém sněhu). 

Významným spisem se stala Astronomia Nova (Nová astronomie), která vyšla 

roku 1609. Jsou v ní obsaženy základy mechaniky planet, včetně prvního a druhého 

Keplerova zákona. Kniha obsahuje i další moderní myšlenky, například, že příliv 

a odliv je způsoben přitažlivostí Měsíce, že přitažlivost ubývá se vzdáleností jako 

světlo (tj. se čtvercem vzdálenosti), že dva kameny, na něžbynepůsobila jiná tělesa, 

přitahovala by se k sobě a setkala by se v místě, které dělí jejich původní vzdálenost 

vpoměru jejich vah. Příčinu přitažlivosti Kepler hledá v magnetismu. 

Roku 1615 vydává v Linci spisek Stereometria Doliorum Vinariorum (O stereometrii 

vinných sudů), ve kterém vypočítává objem těles vzniklých rotací kuželoseček. 

Jeho metoda navazuje na Archiméda apředjímá vznik infinitezimálního 

počtu. 

Svůj třetí zákon publikuje Kepler o deset let později v Harmonice Mundi (Harmonie 

světa) z roku 1619. V letech 1618-1622 Kepler sepsal a vydal první moderní 

učebnici astronomie Epitome Astronomiae Copernicanae libri I-VII (Shrnutí Koperníkovy 

astronomie). Ta se pochopitelně ocitlazáhynaindexuzakázanýchknih. 

Roku 1627 vydává astronomické Rudolfínské tabulky Tabulae Rudolphinae. Podotkněme 

ještě, že Kepler byl zřejmě prvním matematikem, který začal soustavně

7.5. KINEMATIKA POHYBU PLANET 343 

používat při svých výpočtech nedávno objevené logaritmy. První logaritmické tabulky 

si musel dokonce sám sestavit. Osmimístné tabulky vydal roku 1624 pod 

názvem Chilias logarithmorum (Tisíc logaritmů). Keplerovy logaritmy souvisí s 

přirozenými logaritmy vztahem 

log N =10 5 ln 105 

N . 

Na titulním listě výtisku, který dnes najdeme například v olomoucké knihovně, 

čteme s překvapením pod jménem autora: Auctor damnatus, hoc opus tamen permittitur. 

(Autor je zatracen, ale toto dílo se připouští.) Přípiseksedostaldoknihy 

vdobě, kdy se stala součástí knihovny jezuitské akademie. Keplerovi vděčíme za 

takové běžné termíny jako satelit, dioptrika a fokus neboli ohnisko. 

Kepler byl také zakladatelem fantastické literatury. V letech 1609 až 1630ve 

volných chvílích sepisoval Sen neboli Měsíční astronomii, vekterémpopisujepohyby 

těles na obloze z pohledu obyvatel Měsíce. I přes odlehčený žánr byla kniha 

významným příspěvkem do aktuální diskuze ohledně geocentrické a heliocentrické 

astronomie. Připomeňme, že nedlouho nato, roku 1633, byl Galileo souzen inkvizicí 

a byl přinucen odvolat své názory ohledně pohybuZemě. Povídka vyšla až po 

Keplerově smrti roku 1634. 

7.5 Kinematika pohybu planet 

Ačkoliv Kepler vycházel z Koperníkova modelu, některé názory Koperníka odmítl. 

Nemohl se například smířit s myšlenkou, že pohyb planet ovládá excentr nebo 

ekvant,tj.pomocnýabstraktnímatematickýbod.Příčinu pohybu planet spatřoval 

ve Slunci, které jedině může určovat jejich pohyb. Z toho důvodu nahradil u drah 

jednotlivých planet střední Slunce rovnou Sluncem pravým. Díky tomu zjistil, že 

sklondráhyMarsujevůči hvězdám neměnný a činí asi 1 ◦ 50 0 . Koperník přitom 

tvrdil, žesklondráhyMarsuseneustálemění podle polohy Země. Současně tím 

Kepler sjednotil pohyb Marsu v ekliptikální délce i šířce, a tím se jeho pohyb 

matematicky velmi zjednodušil. 

V tomto okamžiku se Kepler ještě domníval,že drahami planet jsou excentrické 

kružnice. Od samého počátku však měl výhrady vůči teorii ekvantu a hledal vysvětlení 

proměnlivé rychlosti planety ve změně její vzdálenosti od Slunce. A skutečně 

se mu podařilo pečlivým zkoumáním svých nákresů zjistit,že rychlost planety je 

nepřímo úměrná její vzdálenosti od Slunce. To ho jen utvrdilo v přesvědčení, že je 

na správné cestě aže Slunce skutečně řídí pohyb Země anenějaký excentr nebo 

ekvant. Když své výpočty dále zpřesnil, zjistil, že pohyb všech planet splňuje zákon 

o stálých plošných rychlostech, který říká, že průvodič planety opíše za stejný čas 

stejnou plochu. Druhý Keplerův zákon je tedy historicky nejstarší a pochází již z 

roku 1601. 

Kepler tedy nejprve opustil myšlenku rovnoměrných pohybů, zatímco dráhy 

považoval ještě zakruhové.Teprvepozději opustil i myšlenku kruhových drah. Pokud 

jde o předpovědi pohybu Marsu, již vtomtookamžiku dosáhl přesnosti kolem


8 0 , která by každého jiného astronoma nejpíše uspokojila, protože byla na hranici 

přesnosti tehdejších měření. Tato přesnost však neuspokojila Keplera, který disponoval 

nejpřesnějšími záznamy Tychona Brahe. Protože žádný systém epicyklů 

nedával lepší výsledky a zkusil přitom více než 70modelů, zbavil se Kepler posledních 

předsudků omožné Marsově drázeazačaljihledatpřímo z naměřených 

dat. 

7.5.1 Dráha Země 

Jak přišel Kepler na to, že drahami planet jsou elipsy? V dějinách astronomie se 

dočteme, že nejprve Kepler zastavil Mars, aby určil dráhu Země. Vyšla mu excentrická 

kružnice. Když nalezl dráhu Země, určilpomocínídráhuMarsu.Kdyžmu 

dráha Marsu vyšla eliptická, vrátil se znovu k výpočtu dráhy Země apři podrobnějším 

zkoumání zjistil, že i ta je eliptická. Pak Kepler prozkoumal i ostatní planety 

a zjistil, že i ony mají eliptické dráhy. 

Asi se zeptáte, jak se dá zastavit Mars? Budete se divit, ale docela jednoduše. 

Stačí znát siderickou oběžnou dobu, tedy dobu, za kterou se Mars dostane znovu 

na stejné místo své dráhy vzhledem ke hvězdám. Budeme-li znát polohu Marsu i 

Slunce v okamžicích 

t k = t 0 + kT, kde k =0, 1, 2, ..., 

kde T ≈ 687 dní je siderická oběžnádobaMarsu,můžeme zakreslit polohu Země, 

atímurčit její dráhu. 

Ilustrace k postupu, jímž Kepler našel dráhu 

Země. 

Kepler vzal papír, ten představoval rovinu ekliptiky, doprostřed namaloval Slunce. 

Z tabulek si vybral den t 0 , kdy je Mars v opozici a spolu se Sluncem a Zemí leží 

na jediné přímce SM. Směr SM určil podle tabulek, z nichž například plynulo, že 

Mars se zrovna nachází v souhvězdí Střelce. Na přímce SM směřující do Střelce namaloval 

bod M představující Mars, zatím v neznámém měřítku. Někde na úsečce 

SM ležíiZemě Z 1 , ale zatím nevíme kde. Pak se Kepler podíval do tabulek a 

zjistil, že v den t 1 = t 0 + T , se Mars nacházel ve směru m 1 aSluncevesměru 

s 1 . Protože Mars musel být v ten den zase na stejném místě určeném bodem M, 

mohl Kepler dokreslit polohu Země Z 1 jako průsečík směrů m 1 a s 1 . Vzal další den 

t 2 = t 0 +2T a dostal novou polohu Země Z 2 . Tento postup mnohokrát opakoval, 

až dostal celou dráhu Země s jednotlivými polohami Z 0 ,Z 1 ,Z 2 , ... ispříslušnými 

časy t 0 ,t 1 ,t 2 , ... Když se Kepler podíval na výsledek, nebyl nijak překvapen. Vyšlo 

mu, že dráhou Země je málo excentrická kružnice, jejíž střed je od Slunce vychýlen


o 0.017 poloměru její dráhy. To prakticky tvrdil již Hipparchosaponěm mnozí 

jiní, včetně Koperníka. Popsaná metoda se glosuje výrokem, že: Kepler se odebral 

na Mars, aby odtamtud proměřil dráhu Země. 

Z takto získané dráhy Země Kepler zjistil, že její excentricita je jen poloviční 

oproti hodnotě 0.034 udávané Koperníkem a že pohyb Země nenírovnoměrný. Je-li 

Země blíže Slunci, pohybuje se o 1.7 % rychleji, je-li dále, pohybuje se pomaleji 

o 1.7 %. Vzhledem k proměnlivé vzdálenosti Slunce od Země pakpozorujemena 

obloze rychlost Slunce v perigeu o 3.4 %větší a v apogeu o 3.4 % menší. Tato nerovnoměrnost 

je tedy napůl způsobena změnou vzdálenosti a napůl změnou rychlosti 

planety. To znamenalo, že Koperník ani Ptolemaios nemají pravdu, pokud jde o 

pohyb Země, a že nejspíše i pro Zemi platí Ptolemaiova teorie ekvantu stejně jako 

pro ostatní planety. 

7.5.2 Dráha Marsu 

Když Kepler takto získal dráhu Země, začal se zajímat o dráhu Marsu. Zvolil libovolný 

okamžik t 1 , pro který znal polohu Země Z 1 . Z tabulek znal i směr Marsu m 1 

v ten den. Aby dostal také polohu Marsu, podíval se znovu do tabulek a přikreslil 

ještě polohuZemě Z 2 vokamžiku t 2 = t 1 + T. Dokreslil směr Marsu m 2 v ten okamžikavprůsečíku 

obou směrů m 1 a m 2 našel polohu Marsu M. Pro větší přesnost 

nebo pro kontrolu mohl přimalovat i další polohu Země Z 3 asměr Marsu m 3 v čase 

t 3 = t 1 +2T. Postup opět mnohokrát zopakoval, a tak dostal další a další polohy 

planety Mars. Když seKeplerkonečně podívalnasvůj výsledek, poznal, že i Mars 

se pohybuje nerovnoměrně aže jeho dráha není kruhová, ale je mírně zploštělá. 

Výpočet mnohokrát zopakoval, ale stále mu vycházelo totéž, poměr obou průměrů 

Marsovy dráhy je roven 1. 004 29. 

Ilustrace k postupu, jímž Keplerobdržel eliptickou 

dráhu Marsu. 

Keplera znepokojovala také skutečnost, že poloha kruhového excentru mohla 

být kdekoliv, excentr neměl ke kruhové dráze žádný vztah. Kepler proto doufal, že 

když nalezne správný tvar dráhy, objasní tím i zároveň polohuSlunce.Jakjsmejiž 

uvedli, Kepler určil poměr velké a malé poloosy Marsovy dráhy jako a/b ≈ 1. 004 29. 

Už jen toto číslo svědčí o neobyčejné přesnosti, s níž Kepler problém zkoumal. 

Při tak malé výstřednosti je ale velmi obtížné dokázat, že jde skutečně o elipsu. 

Nejprve se Kepler domníval, že by mohlo jít o ovál, ale zkoušel i elipsu. Ještě roku 

1604 nevěřil, že elipsa může být hledanou křivkou, protože se domníval, že v tom 

případě byproblémoběžnýchdrahdávnovyřešil Archimédés nebo Apollónios. Ale


o Velikonocích roku 1605 už víjistě, že hledanou křivkou je elipsa. Rozhodující 

zvratnastalvokamžiku, když siKepleruvědomil, že poměr poloos je přesně roven 

sekantě úhlu β ≈ 5 ◦ 18 0 , pod nímž jezMarsuvidět vzdálenost Slunce a středu 

Marsovy excentrické dráhy. Pokud by dráhou Marsu skutečně byla elipsa, pak by 

muselo platit cos β = b/a a sin β = e. Vyloučením excentricity e odtud dostaneme 

rovnici a/b =secβ aprávě numerická rovnost 

sec 5 ◦ 18 0 ≈ 1. 004 29 

tuto rovnici potvrzuje. Dráhou Marsu je tedy skutečně elipsa, přitom Slunce leží v 

jednom ohnisku této elipsy. Vše do sebe dokonale zapadlo, Kepler již nepochyboval, 

že záhadu pohybu Marsu konečně vyřešil! 

Kepler zjistil, že dráha Marsu je mírně zploštělá.Pokudjedráhouelipsa,pakmusíplatit 

cos β = b/a a sin β = e. 

Rozdíl mezi eliptickou a excentrickou kruhovou dráhou se na obloze projeví chybou 

nanejvýš 8 0 . To je zároveňdůvod, proč jej mohl odhalit až Kepler, který jediný 

tehdy disponoval dostatečně přesnými pozorováními Tychona Brahe. Podotkněme, 

že čistě grafickynenímožné dokázat, že oběžná dráha Marsu je eliptická. Vzhledem 

k malé excentricitě e ≈ 0. 092 činí zploštění dráhy Marsu o průměru jeden 

metr jen nepatrné čtyři milimetry! U Země pak dokonce jen sedminu milimetru! 

Kepler tedy musel dráhu Marsu numericky propočítat, a to mnohem přesněji než 

umožňuje grafická konstrukce. To pochopitelně znamenalo neuvěřitelné množství 

velmi přesných výpočtů za pomoci sférické trigonometrie, logaritmických tabulek 

a astronomických záznamů. Z té doby se v Keplerově pozůstalosti zachovalo tisíce 

stran pracných pomocných výpočtů. 

7.5.3 Keplerovy zákony 

Jak jsme již uvedli, měl Kepler dráhu Země původně zakruhovou.Kdyžvšak 

zjistil, že dráha Marsu je eliptická, podrobil zemskou dráhu ještě jednou bedlivému 

studiu, aby nakonec poznal, že i ta je mírně eliptická. Stejný postup pak použil 

i na zbývající planety a zjistil, že všechny planety obíhají po eliptických drahách 

kolem Slunce a že Slunce tvoří společné ohnisko jejich eliptických drah. Tak dospěl 

ke svému druhému zákonu. Spolu s prvním zákonem, který, jak ověřil, platí i pro 

eliptické dráhy, vyřešil záhadu nerovnoměrného pohybu planet. 

Kepler pevně věřil, že ve sluneční soustavě existuje řád, a usilovně jej hledal. 

Mimo jiné zkoušel najít i vztah mezi velikostmi drah planet a jejich oběžnými 

dobami. Po řadě nezdarů a deset let trvajícímu tápání se mu to nakonec podařilo, 

čímž objevil svůj třetí zákon o pohybu planet. První dva zákony Kepler publikoval


ve spise Astronomia Nova (Nová astronomie) již roku 1609, třetí zákon pak o deset 

let později v Harmonice Mundi (Harmonie světa) roku 1619. Kepler zde shrnul 

všechny své objevy o pohybech planet do tří zákonů. Slovy je vyjadřujeme nejčastěji 

takto: 

První Keplerův zákon (Praha 1605): 

Planety obíhají kolem Slunce po jen málo výstředných elipsách. Společným 

ohniskem všech eliptických drah je Slunce a všechny dráhy 

leží přibližně v jediné rovině. 

První Keplerův zákon, planety obíhají po 

málo výstředných elipsách, Slunce je společnýmohniskemdrahvšechplanet. 

Druhý Keplerův zákon (Praha 1601): 

Průvodič planety, tj. spojnice planety a Slunce, opíše za stejnou dobu 

stejnou plochu. 

Druhý Keplerův zákon. Za stejný čas ∆t opíše 

průvodič planetyvždy stejnou plochu ∆P 1 = 

∆P 2 = ∆P 3 = ... =konst. 

Třetí Keplerův zákon (Linec 1618): 

Druhé mocniny oběžných dob planet jsou ve stejném poměru jako 

třetí mocniny jejich velkých poloos. 

Třetí Keplerův zákon. Jestliže přiřadíme planetám 

souřadnice [a, T ], kde a představuje velkou 

poloosu a T oběžnou periodu, pak v logaritmickém 

grafu leží všechny planety na přímce 

T 2 = a 3 . 

Vzorcem je možno první Keplerův zákon zapsat například takto 

r = 

p 

1+e cos φ ,


kde r je vzdálenost planety od Slunce, φ je anomálie (azimut) planety měřená od 

perihélia, dále e je excentricita elipsy a p je parametr elipsy. Druhý Keplerův zákon 

můžeme vyjádřit vzorcem 

∆P 

∆t = πab 

T 

=konst, 

kde πab je plocha celé elipsy s poloosami a, b a T je perioda oběhu planety kolem 

Slunce. Konečně třetí Keplerův zákon zapisujeme vzorcem 

a 3 1 

T1 

2 

= a3 2 

T 2 2 

=konst, 

kde T k značí oběžné doby a a k velké poloosy oběžných drah jednotlivých planet. 

Keplerovy zákony jsou výsledkem pečlivého zpracování tisíce záznamů poloh 

planet na obloze. Záznamy pocházely od mnoha slavných astronomů, ty nepřesnější 

pak přímo od Tychona Brahe. Keplerovy zákony nevycházejí z žádné teorie, 

jsou precizním matematickým vyjádřením odpozorované skutečnosti. Byly objeveny 

ještě dlouhopřed vznikem moderní mechaniky a staly se jedním ze základních 

pilířů, na nichž Newton o osmdesát let později vybudoval svoji mechaniku a teorii 

gravitace. 

Ačkoliv pátrání po tajemství pohybu planet trvalo několik tisíc let, je možno 

směle konstatovat, že Keplerův revoluční objev zákonů o pohybech planet na počátku 

sedmnáctého století přišel doslova jako blesk z čistého nebe. Keplerovy nečekané 

výsledky byly přijímány dlouho s nedůvěrou. Ani geniální Galileo nepřijal 

představu eliptických drah planet za svou a nadále trval na kruhových pohybech. 

Zákon o plošných rychlostech byl astronomy ignorován zhruba 80 let, pouze třetí 

Keplerův zákon byl přijat ostatními astronomy již záhy po svém objevu, zvláště 

když seukázalo,že platí i pro Jupiterovy měsíce. 

Kepler popsal kinematiku planetárních pohybů, ale nedokázal vysvětlit, proč 

planety při svém pohybu jeho zákony splňují. Kepler tušil, že příčinou jejich pohybů 

je Slunce, ale jeho silové působení hledal v magnetismu, protože nedlouho předtím, 

roku 1600, prokázal William Gilbert, že i Země je velkým magnetem. 

Správnou příčinu pohybu planet vysvětlil až Isaac Newton roku 1684, když 

objevil univerzální gravitační zákon. Planety obíhají kolem Slunce po eliptických 

drahách v důsledku přitažlivé gravitační síly, která klesá se čtvercem jejich 

vzdálenosti od Slunce. Newton by však nemohl gravitační zákon objevit, kdyby od 

Keplera neznal jeho zákony o pohybu planet. Ty, jak se ukázalo později, platí nejen 

pro planety, ale i pro další tělesa ve sluneční soustavě. Platí tedy i pro planetky, 

komety nebo kosmické sondy. Po příslušném zobecnění platí Keplerovy zákony i 

pro měsíce planet a jejich umělé satelity. Všechny tři Keplerovy zákony platí jen 

pro uzavřené dráhy, druhý zákon je však obecnější a platí i pro otevřené trajektorie 

aplatilbydokonceitehdy,kdybygravitační síla klesala podle jiného zákona, než 

jaký pro gravitaci postuloval Newton. 

Pomocí zákonů dynamiky a gravitačního zákona, později roku 1687, Newton 

ukázal, že tělesa se nemusí v gravitačním poli Slunce pohybovat vždy po elipse, 

ale mohou se pohybovat také po parabolické nebo hyperbolické dráze. Trajektorií


tělesa v gravitačním poli Slunce je obecně kuželosečka. Pokud je dráha uzavřená, 

jde o kružnici nebo elipsu, pokud je dráha otevřená, musí jít o parabolu nebo 

hyperbolu. 

Příklad 7.2 Najděte střední vzdálenost Marsu od Slunce, je-li jeho siderická oběžná doba 1.88 

roku. 

Řešení: Podle třetího Keplerova zákona platí 

TM 

2 

TZ 

2 = a3 M 

a 3 , 

Z 

aprotože T Z = 1 rok a a Z = 1 AU, dostaneme 

a M = T 2/3 

M 

= 1.882/3 = 1. 52 AU. 

Porovnejte s údaji v tabulce. 

Příklad 7.3 Odhadněte vzdálenost, ze které k nám přichází Halleyova kometa, když víte,že 

její perioda je T ≈ 76.7 roku. 

Řešení: Podle třetího Keplerova zákona je velká poloosa její velmi výstředné dráhy 

a = T 2/3 ≈ 18AU, 

takženejdálejekometaodSluncevevzdálenosti 

d ≈ 2a ≈ 36 AU, 

což jeažnasamémokrajisluneční soustavy, za dráhou Neptuna a Pluta. 

Příklad 7.4 Za jak dlouho by spadla Země napovrchSlunce,kdybysenáhlepři svém pohybu 

kolem Slunce zastavila? 

Řešení: Kdyby se Země náhle zastavila, přestalabynanipůsobit odstředivásílaaZeměby 

začala padat přímo na Slunce. Její trajektorií by byla úsečka Země - Slunce, tu je však možno 

považovat za velmi protáhlou elipsu s velkou poloosou rovnou polovině současné vzdálenosti 

Země — Slunce, proto platí a =0.5AU. Nyní už můžeme úlohu pohodlně dořešit pomocí 

třetího Keplerova zákona. Doba pádu t se rovná polovině oběžné doby T ,takže odtud 

t = 1 2 a3/2 . 

Země dopadne na Slunce za 

t ≈ 0.18 roku ≈ 65 dní. 

Příklad 7.5 Jak dlouho poletí sonda na Jupiter? Vzdálenost Jupitera od Slunce je a J ≈ 

5.2AU. 

Řešení: Sonda poletí po energeticky nejvýhodnější dráze, poletí tedy po eliptické dráze takové, 

že její perihélium se dotýká dráhy Země a Z ≈ 1 AU a afélium dráhy Jupitera a J ≈ 5.2AU. 

Odtud velká poloosa dráhy sondy je 

a =(a Z + a J ) /2 ≈ 3. 1 AU. 

Pro dobu letu tak máme podle třetího Keplerova zákona 

t = T/2=a 3/2 /2 ≈ 2. 7roku.


7.5.4 Pohyb planety po elipse 

Podle prvního Keplerova zákona obíhají planety kolem Slunce po elipsách, jejichž 

jedním společným ohniskem je Slunce. Vzdálenost planety od Slunce se tedy mění 

podle rovnice (7.2). Nejmenší vzdálenost od Slunce má planeta v perihéliu (přísluní), 

kdy je φ =0a 

r P = 

p = a (1 − e) . 

1+e 

Naopak největší vzdálenosti dosahuje v aféliu (odsluní), kdy je φ =180 ◦ a 

r A = 

p = a (1 + e) . 

1 − e 

Je-liplanetavkvadratuře, pak je φ =90 ◦ a její vzdálenost od Slunce je rovna 

parametru 

r K = p = a ¡ 1 − e 2¢ . 

Střední vzdálenost planety od Slunce je rovna průměru největší a nejmenší vzdálenosti. 

Snadno se ukáže, že je to zároveň velikost velké poloosy, nebo tplatí 

, 

a = r A + r P 

. 

2 

Například pro Zemi je e ≈ 0.017, takže vzdálenost od Slunce během roku kolísá 

o ±e ≈ ±1.7 %. Vzdálenost Země odSluncesetedymění od 147 do 152 miliónů 

kilometrů, stejně tak i zdánlivá velikost Slunce na obloze se mění od 31 0 31 00 do 

32 0 35 00 .Podobněvýstřednost dráhy Měsíce je e ≈ 0.055, takže vzdálenost Měsíce 

od Země kolísá o ±e ≈ ±5.5 %. Vzdálenost Měsíce proto kolísá v intervalu 356 až 

406 tisíc kilometrů a jeho zdánlivá velikost v intervalu 29 0 20 00 až 33 0 32 00 . 

Plocha ∆P opsaná průvodičem r planety P za 

čas ∆t. 

Okamžitou polohu planety na oběžné dráze určuje druhý Keplerův zákon. Ten 

určuje i okamžitou rychlost pohybu planety, jak hned ukážeme. Podle druhého 

Keplerova zákona platí 

w = ∆P 

∆t = πab 

T 

=konst, 

kde w nazýváme plošnou rychlostí. Okamžitou plošnou rychlost můžeme vyjádřit 

pomocí průvodiče r a úhlové rychlosti ω = ˙φ planety. Plocha ∆P ,kterouprůvodič 

planety opíše za krátký časový interval ∆t, se jednoduše spočtejakoplochaúzkého, 

téměř rovnoramenného trojúhelníka o výšce r a základně r∆φ, platí tedy 

∆P ≈ 1 2 r2 ∆φ.


Odtud je okamžitá plošná rychlost planety 

∆P 

w = lim 

∆t→0 ∆t = 1 2 r2 ˙φ. 

Podle druhého Keplerova zákona tedy pro úhlovou rychlost planety platí 

˙φ = 2w 

r 2 

a pro azimutální složku rychlosti 

v φ = r ˙φ = 2w r . 

Odtud má zřejmě původ tvrzení, že rychlost planety je nepřímo úměrná její 

vzdálenosti od Slunce. Takto vyslovené tvrzení však není pravdivé, protože Keplerův 

zákon neříká nic o radiální složce rychlosti ṙ a pro rychlost platí 

q 

v = 

qv r 2 + v2 φ = ṙ 2 + r 2 ˙φ 2 . 

Věta proto platí pouze v perihéliu a aféliu, kde je ṙ =0a v = v φ . 

Nejrychleji se planeta zřejmě pohybuje v perihéliu a nejpomaleji v aféliu, přitom 

platí 

v P,A = 2w 2w 

= 

r P,A a (1 ∓ e) . 

Pro úhlovou rychlost planety pak platí 

˙φ P,A = 2w 2w 

rP,A 

2 = 

a (1 ∓ e) 2 . 

Například rychlost denního pohybu Slunce na obloze kolísá s chybou ±2e ≈ 

±3.4 %, která je hlavní příčinou nerovnoměrnosti chodu slunečních hodin a rychlost 

pohybu Měsíce kolísá s chybou ±2e ≈ ±11 %. Tato nerovnoměrnost je napůl 

způsobena změnou vzdálenosti a napůl změnou rychlosti planety. 

7.5.5 Plošná rychlost a moment hybnosti 

Z hlediska mechaniky je zákon stálé plošné rychlosti přímým důsledkem skutečnosti, 

že Slunce působí na planety centrální silou a že pro každou planetu platí zákon 

zachování momentu hybnosti ve tvaru 

L = r × mv = r 0 × mv 0 = konst. 

Z tohoto zákona totiž plyne,že rovina, v níž se planeta pohybuje, je určena počátečními 

vektory r 0 a v 0 , adálesenemění. Trajektorií planety proto musí být 

rovinná křivka. Také velikost momentu hybnosti se nemění 

L = mrv φ =2mw =konst,


atojevlastně zákon stálé plošné rychlosti. 

Platí i opak: Z prvního a druhého Keplerova zákona lze dokázat, že síla, která 

udržuje planety na jejich drahách, směřuje stále do Slunce, a má proto zcela nepochybně 

svůj původ ve Slunci. Toho později využil Newton při hledání gravitačního 

zákona. 

Příklad 7.6 Protože Země procházípočátkem ledna přísluním,kdesepohybujenejrychleji, 

je zima na severní polokouli kratší než léto. Pomocí druhého Keplerova zákona odhadněte o 

kolik dní je odsluní delší než přísluní. 

Ilustrace k výpočtu doby přísluní a odsluní. 

Řešení: Doba, po kterou se Země nacházívpřísluní, je úměrná ploše P 1 ≈ 1 2 πa2 − 2ea 2 a 

doba, kdy je v odsluní, je úměrná ploše P 2 ≈ 1 2 πa2 +2ea 2 . Obě plochydostanemeodečtením a 

přičtením plochy obdélníka o výšce 2a ašířce ea k polovině plochykruhuπa 2 . Opsaná plocha 

je podle Keplera úměrná času, proto polovina roku, kdy je Země vpřísluní, je o 4e/π ≈ 2.1 

% kratší a trvá 179 dní, zatímco doba, kdy je Země v odsluní, je o 4e/π ≈ 2.1 %delšíatrvá 

186 dní. Zimní období je tedy na severní polokouli asi o 7 dní kratší než letní období. 

7.5.6 Keplerova rovnice 

Kepler konečně nalezl i metodu, jak spočíst přesnou polohu planety v libovolném 

čase.Nasvoudobutobylproblémhodněobtížný. Základem je pochopitelně zákon 

stálých plošných rychlostí. Pokud bude planeta v čase t =0v perihéliu A av 

obecném čase t vmístě P, pak pro plochu opsanou za dobu t průvodičem platí 

P AF P = πab 

T t, 

kde πab je plocha celé elipsy a T siderická perioda planety. Problém spočívá praktickyvtom,jakvyjádřit 

plochu P AF P pomocí azimutu φ. Úloha se výrazně zjednoduší, 

zavedeme-li si pomocnou veličinu E, která se nazývá excentrická anomálie. 

Její definice je zřejmá z obrázku. Podobně azimutφ astronomové obvykle nazývají 

pravou anomálií. 

Ilustrace k zavedení excentrické anomálie E a 

pravé anomálie φ.


Pomocí excentrické anomálie již plochuP AF P dokážeme vyjádřit. Nejprve najdeme 

plochu na opsané kružnici 

a odtud už snadno dostaneme 

P AF P ∗ = 1 2 a2 (E − e sin E) , 

P AF P = b a P AF P ∗ = 1 ab (E − e sin E) , 

2 

nebo t , elipsu dostaneme z kružnice o poloměru a prostým stlačením všech souřadnic 

y vpoměru b/a. Porovnáním obou vyjádření pro P AF P dostáváme Keplerovu 

rovnici 

M = E − e sin E, 

kde M =2πt/T je střední anomálie. 

Abychom mohli považovat problém pohybu planet za vyřešený, musíme najít 

ještě vztah mezi excentrickou a pravou anomálií. Poloha planety je určena vzdáleností 

r a pravou anomálií φ. Pokud zavedeme kartézské souřadnice ohniskem F 

elipsy, pak pro souřadnice planety platí 

x = r cos φ a y = r sin φ. 

Zároveň lzesouřadnice vyjádřit pomocí excentrické anomálie 

x = a cos E − ea a y = b sin E = a p 1 − e 2 sin E. 

Porovnáním obou soustav rovnic dostaneme hledané vzorce 

r = a (1 − e cos E) a cos φ = cos E − e 

1 − e cos E . 

Druhý vzorec je možno ještě upravit do vhodnějšího tvaru 

tg φ r 

1+e 

2 = 1 − e tg E 2 . 

Těmito vztahy byla Keplerem vyřešena záhada nepravidelného pohybu planet. 

Poprvé byla přesnost teoretického řešení lepší než přesnost měření. Nezbývá než v 

úžasu obdivovat Keplerovu schopnost poradit si s tak komplikovaným pohybem, 

když ještěneměl k dispozici aparát matematické analýzy ani pohybové rovnice. 

Při výpočtu polohy planety postupujeme tedy tak, že nejprve zjistíme okamžik 

t 0 posledního průchodu planety perihéliem. Pak spočteme střední anomálii planety 

M =2π (t − t 0 ) /T, 

z ní pomocí Keplerovy rovnice excentrickou anomálii E a z ní pak pravou anomálii 

φ. Ikdyž je Keplerova rovnice transcendentní vzhledem k E, řeší se celkem pohodlně 

iterační metodou, nebo t , excentricity planet jsou obvykle velmi malé. Pokud


položíme nultou aproximaci rovnu střední anomálii, tj. E 0 = M, pak další iterace 

dostaneme ze vzorce 

Tak dostaneme rozvoj 

E n+1 = M + e sin E n . 

E ≈ M + e sin M + 1 2 e2 sin 2M + ... 

Podobně, aproximativní vztah mezi pravou a střední anomálií plynoucí z výše uvedených 

vzorců je 

φ ≈ M +2e sin M + 5 4 e2 sin 2M + ... 

Tento vzorec už popíše pohyb planet včetně Marsuspřesností lepší než jedna 

oblouková minuta. Ze vzorce je také zřejmé, že pohyb planety je skutečně nerovnoměrný, 

pro sin M>0 se planeta předbíhá, nebo t , φ >M,anaopakprosin M


Ptolemaia i Koperníka by toto kolísání mělo být dvakrát větší. Cassini prováděl 

měření velikosti Slunce v katedrále San Petronio v Bologni pomocí meridiánu, tj. 

zařízení sestávajícího z malého otvoru v jižní stěně chrámu a přesné měřící čáry na 

podlaze. Cassini jím během celého roku několikrát promítal sluneční kotouč aměřil 

jeho velikost. Je ironií, že ani sám Cassini neuvěřil v Keplerovy elipsy, ale domníval 

se, že planety obíhají po oválných křivkách, které mají součin vzdáleností od obou 

ohnisek stálý r 1 r 2 = a 2 a nazývají se dnes Cassiniho křivky 1680. 

7.5.8 Nové planety 

Roku 1647 zhotovil pomocí dalekohledu Johannes Hevelius první podrobnou 

mapu Měsíce. Dodnes nesou některá měsíční pohoří, například Alpy, jména, která 

jim dal Hevelius. 

Roku 1655 objevil Christiaan Huygens Titan, první měsíc Saturna a roku 

1659 objasnil strukturu Saturnových prstenců. Ta byla dlouho pro astronomy záhadou. 

Vinou nekvalitních dalekohledů azměnou sklonu roviny prstence vůči Zemi 

byl dlouho považován za dvojici Saturnových měsíců. 

Roku 1675 pozoroval Ole Rømer záhadný posun okamžiků konjunkce Jupiterových 

měsíců během roku. Když byl Jupiter v opozici, nastávaly zákryty o deset 

minut dříve a když byl Jupiter v konjunkci, nastávaly o deset minut později. Roku 

1676 Rømer jev správně vysvětlil konečnou rychlostí šíření světla. Získal tak první 

odhad rychlosti světla c ≈ 225 000 km. 

Zásluhou Johna Flamsteeda je roku 1725 publikován první hvězdný katalog 

Historia Coelestis Britannica vycházející již z pozorování hvězdné oblohy dalekohledem. 

Katalog obsahoval asi 3000 hvězd, jejichž poloha byla určena s mnohem 

větší přesností než upředchozích katalogů. Pomocí tohoto přesného katalogu mohl 

Edmond Halley roku 1718 objevit vlastní pohyb u hvězd Aldabaran, Sírius a Arcturus. 

V letech 1859-62 vychází katalog Bonner Durchmusterung obsahující více 

než 324 000 hvězd, jeho autorem je Friedrich W.A. Argelander. 

Od nepaměti bylo známo sedm planet. Podle heliocentrického modelu (tj. se 

započtením Země a po vyloučení Slunce a Měsíce) to je šest planet v pořadí Merkur, 

Venuše, Země, Mars, Jupiter a Saturn. Nikoho proto nenapadlo, ani po objevu 

dalekohledu, hledat další planety. Proto byl Uran objeven víceméně náhodou.Objeviljejroku1781William 

Herschel při mapování hvězdné oblohy. Herschel 

objevil roku 1787 i dva Uranovy měsíce Titania a Oberon. Když byla určena vzdálenost 

nové planety, bylo s překvapením zjištěno, že přesně odpovídá vzdálenosti 

předpovězené Titius-Bodeho zákonem. 

Empirický zákon pro vzdálenosti planet od Slunce objevil roku 1766 Johann 

Daniel Titius. Zákon uvedl ve známost roku 1772 Johann Elert Bode ve svých 

pracech o sluneční soustavě. Podle Titius-Bodeho zákona jsou velké poloosy 

drah planet vyjádřené v astronomických jednotkách přibližně určeny jednoduchým 

vzorcem 

a n ≈ 0.4+0.3n, kde n =0, 1, 2, 4, 8, 16,... 

odpovídá postupně planetám Merkur, Venuše, Země, Mars, X, Jupiter a Saturn.


Po dosazení dostaneme tyto hodnoty vzdáleností planet od Slunce: 

planeta M V Z M X J S U N P 

Titius-Bode 0. 40 0. 70 1. 00 1. 60 2. 80 5. 20 10. 0 19. 6 38. 8 − 

skutečnost 0. 39 0. 72 1. 00 1. 52 − 5. 20 9. 58 19. 3 30. 2 39. 9 

Bode tak předpověděl existenci nové planety X nacházející se mezi Marsem a 

Jupiterem ve vzdálenosti 2. 8 AU od Slunce, kde byl později skutečně nalezen celý 

pás planetek a také správnou vzdálenost 19. 6 AU planety Uran. Pro Neptun a 

Pluto však Titius-Bodeho zákon už mocpřesný odhad nedává. 

Až doobjevuUranusemělo zato, že všechny planety už byly objeveny ve 

starověku. Teprve nyní se začaly intenzívně hledat další planety, mocným vodítkem 

ktomuměl být Titius-Bodeho zákon. Místo planety X však byly mezi Marsem a 

Jupiterem nalezeny jen tisíce malých planetek. První a největší z nich, planetku 

Ceres, objevil roku 1801 Giuseppe Piazzi. Mezi největší planetky dále patří 

Palas a Vesta, které objevil roku 1802, resp. 1807, Heinrich W. Olbers. Ceres 

má rozměr asi 1000 km azpůsobuje dokonce měřitelné aberace v pohybu Marsu. 

Roku 1843 začal John Couch Adams hledat příčinu v nepravidelnostech pohybu 

planety Uran v existenci nové planety kroužící za drahou Uranu. Roku 1846 

se stejnými myšlenkami začal zaobírat i Urbain-Jean-Joseph Le Verrier. Nezávisle 

i on předpověděl polohu nové planety, která se dnes nazývá Neptun, a 

zaslal své výpočty berlínským astronomům Johann Gottfried Galleovi a 

Heinrich Louis d’ Arrestovi, kteří Neptun skutečně napředpovězeném místě 

23. září roku 1846 nalezli. Konečně planetuPluto objevil roku 1930 Clyde W. 

Tombaugh, rovněž na základě matematické předpovědi Percival Lowella a 

William Henry Pickeringa. 

Všimněte si, že dráhy všech planet jsou téměř 

kruhové,ikdyž pro Merkur, Mars a Pluto silně 

excentrické. Postavení planet odpovídá datu 

26. června 2004. 

Relativní velikosti drah planet sluneční soustavy a jejich vzájemná poloha v 

rovině ekliptiky jsou zobrazeny na předchozím obrázku. Dráhy vnitřních planet 

jsou zobrazeny vpravo 22× zvětšeně. Všimněte si, že dráhy všech planet jsou téměř 

kruhové, i když pro Merkur, Mars a Pluto silně excentrické. Všechny planety obíhají 

proti směruhodinovýchručiček, směr vpravo odpovídá směru jarního bodu, tj. 

směřuje do souhvězdí Ryb. Postavení planet na obrázku odpovídá datu 26. června 

2004.


7.5.9 Tabulky 

Pro úplnost uvádíme základní parametry planet naší slunečnísoustavyuspořádaných 

do tří přehledných tabulek. 

Orbitální parametry planet 

Zde T představuje siderickou periodu, T 0 synodickou periodu, a velkou 

poloosu dráhy, v střední rychlost planety, e excentricitu dráhy 

a i sklon dráhy vzhledem k ekliptice. 

T T 0 a v e i 

rok den AU km / s 

Merkur 0. 240 85 115. 9 0. 387 096 47. 37 0. 205 622 7 ◦ 00 0 

Venuše 0. 615 21 583. 9 0. 723 342 35. 02 0. 006 783 3 ◦ 24 0 

Země 1. 000 04 − 0. 999 987 29. 78 0. 016 684 0 ◦ 00 0 

Mars 1. 880 89 779. 9 1. 523 705 24. 08 0. 093 404 1 ◦ 51 0 

Jupiter 11. 862 2 398. 9 5. 204 529 13. 06 0. 047 826 1 ◦ 18 0 

Saturn 29. 457 7 378. 1 9. 575 133 9. 65 0. 052 754 2 ◦ 20 0 

Uran 84. 013 9 369. 7 19. 303 75 6. 81 0. 050 363 0 ◦ 46 0 

Neptun 164. 793 367. 5 30. 206 52 5. 44 0. 004 014 1 ◦ 48 0 

Pluto 247. 686 366. 7 39. 911 36 4. 67 0. 256 695 17 ◦ 08 0 

Fyzikální parametry planet 1 

Zde m představuje hmotnost planety, R rovníkový poloměr, ε zploštění 

planety, ρ střední hustotu, i sklon rovníku planety vzhledem k 

rovině oběžné dráhy planety a T dobu rotace kolem osy. 

m R ε ρ i T 

kg m % kg/ m 3 

Slunce 1. 989 × 10 30 6. 960 × 10 8 0 1408 7.3 ◦ 25 d 09 h 

Měsíc 7. 347 × 10 22 1. 738 × 10 6 0 3347 1.3 ◦ 27 d 08 h 

Merkur 3. 302 × 10 23 2. 437 × 10 6 0 5440 0 ◦ 58 d 15 h 

Venuše 4. 869 × 10 24 6. 052 × 10 6 0 5245 177 ◦ 243 d 00 h 

Země 5. 974 × 10 24 6. 378 × 10 6 0. 34 5 520 23.5 ◦ 23 h 56 m 

Mars 6. 419 × 10 23 3. 397 × 10 6 0. 52 3 960 25.2 ◦ 24 h 37 m 

Jupiter 1. 899 × 10 27 7. 140 × 10 7 6. 49 1 422 3.1 ◦ 9 h 56 m 

Saturn 5. 685 × 10 26 6. 033 × 10 7 9. 80 748 25.1 ◦ 10 h 39 m 

Uran 8. 683 × 10 25 2. 556 × 10 7 2. 29 1 598 97.9 ◦ 17 h 14 m 

Neptun 1. 024 × 10 26 2. 477 × 10 7 1. 71 1 675 28.3 ◦ 16 h 07 m 

Pluto 1. 314 × 10 22 1. 150 × 10 6 ? 2060 123 ◦ 6 d 09 h


Fyzikální parametry planet 2 

Zde g představuje rovníkové tíhové zrychlení na povrchu planety, 

v II únikovou rychlost, A představuje albedo, S kolmé osvětlení od 

Slunce, T teplotu na povrchu a n počet dosud známých přirozených 

měsíců. 

g v II A S T n 

m / s 2 km / s lx ◦ C 

Slunce 273. 96 617. 5 1.7 × 10 9 5500 9 

Měsíc 1. 62 2. 4 0. 07 137 000 −170 až 130 0 

Merkur 3. 71 4. 3 0. 11 900 000 −160 až 340 0 

Venuše 8. 87 10. 4 0. 65 258 000 450 až 480 0 

Země 9. 78 11. 2 0. 37 137 000 −40 až 30 1 

Mars 3. 71 5. 0 0. 15 58 000 −90 až 30 2 

Jupiter 22. 65 59. 6 0. 52 5 000 −140 až 100 16 

Saturn 8. 81 35. 5 0. 47 1 500 −170 18 

Uran 8. 62 21. 3 0. 51 370 −217 20 

Neptun 10. 91 23. 6 0. 41 150 −214 8 

Pluto 0. 66 1. 2 0. 30 90 −223 1 

7.6 Výpočet polohy planety na obloze 

7.6.1 Ekliptikální souřadnice 

Slunce, Měsíc a planety se pohybují poblíž ekliptiky, pro jejich popis jsou proto 

velmi vhodné ekliptikální souřadnice (λ, β). Ekliptikální délka λ je měřena 

po ekliptice od jarního bodu směrem k východu, tedy ve směrupohybuplanet 

po obloze. Ekliptikální šířka β je měřena od ekliptiky na sever kladně a na jih 

záporně. Pro přepočet ekliptikálních a rovníkových souřadnic je možno odvodit 

vzorce 

cos β sin λ = sinδ sin ε +cosδ sin α cos ε, 

cos β cos λ = cosδ cos α, 

sin β = sinδ cos ε − cos δ sin α sin ε. 

Ekliptikaarovníknaobloze.ZdeP S představuje 

severní světový pól, Π S pól ekliptiky, ε 

sklon ekliptiky a g jarní bod.

7.6. VÝPOČET POLOHY PLANETY NA OBLOZE 359 

Pro obrácenou transformaci pak platí inverzní vztahy 

cos δ sin α = − sin β sin ε +cosβ sin λ cos ε, 

cos δ cos α = cosλ cos β, 

sin δ = sinβ cos ε +cosβ sin λ sin ε. 

Rovníkové souřadnice severního pólu ekliptiky Π S jsou α =270 ◦ a δ =90 ◦ −ε. 

Zdefinice ekliptiky je zřejmé, že ekliptikální šířkaSluncejevždy rovna nule β =0. 

Odtud dostaneme pro rovníkové souřadnice Slunce vzorce 

sin δ =sinλ sin ε a tg α =tgλ cos ε. 

Pokud je ekliptikální délka Slunce λ =0, nastává jarní rovnodennost (21. 3.) a platí 

dále α =0a δ =0. Pokud je λ =90 ◦ , nastává letní slunovrat (21. 6.) a platí dále 

α =90 ◦ a δ = ε ≈ 23.5 ◦ .Pokudjeλ =180 ◦ , nastává podzimní rovnodennost (23. 

9.) a platí dále α =180 ◦ a δ =0 ◦ . Pokud je λ =270 ◦ , nastává zimní slunovrat 

(21. 12.) a platí dále α =270 ◦ a δ = −ε ≈−23.5 ◦ . 

7.6.2 Galaktické souřadnice 

Naše sluneční soustava je součástígalaxie,kterásenazýváMléčná dráha nebo 

jen Galaxie. Ta obsahuje zhruba 10 11 hvězd a váží 10 42 kg . Galaxie má tvar čočky, 

která v průměru měří 100 tisíc světelných let a na výšku 15 tisíc světelných let. 

Naše sluneční soustava se nachází asi 33 tisíc světelných let od středu Galaxie, tedy 

spíše na jejím okraji, a obíhá kolem středu Galaxie rychlostí 250 km / s, takže jeden 

oběh trvá asi 250 miliónů let. 

Pro popis Galaxie a jejího okolí se používají galaktické souřadnice (l, b) . 

Galaktická délka l a galaktická šířka b jsou definovány polohou galaktického 

rovníku nebo galaktického pólu a středem Galaxie. Pól Galaxie má rovníkové souřadnice 

α ≈ 12 h 49 m a δ ≈ 27 ◦ 24 0 astřed Galaxie má souřadnice α ≈ 17 h 42 m a 

δ ≈−28 ◦ 55 0 . Pro pohyb těles ve sluneční soustavě nejsougalaktickésouřadnice 

důležité a nebudeme se jimi více zabývat. 

7.6.3 Dráhové elementy 

Poloha planety je určena vzdáleností r od Slunce a azimutem φ měřeným od perihélia 

Π, tedypravou anomálií φ. Velikost a tvar eliptické dráhy jsou určeny 

velkou poloosou a a excentricitou e. Poloharovinydráhyplanetyvprostoruje 

dána sklonem dráhy i vzhledem k ekliptice a polohou uzlové přímky AD. Úhel 

Ω určuje polohu výstupního uzlu A dráhy a nazývá se délka výstupního uzlu. 

Poloha elipsy je dále určena argumentem perihélia ω, cožjeúhelurčený perihéliem 

Π a výstupním uzlem A dráhy. Místo argumentu perihélia používáme častěji 

rovnou lomenou délku perihélia. 

eω = Ω + ω.


Šestice parametrů a, e, i, Ω, eω, φ tedy jednoznačně popisuje polohu planety a představuje 

klasické Keplerovy dráhové elementy. Jestliže známe jejich hodnoty, můžeme 

spočíst polohu planety vůči Slunci v prostoru i na obloze. 

Dráhové elementy planety. S představuje 

Slunce, P planetu a g jarníbod.RovinaAP D 

je rovinou dráhy planety, i je sklon dráhy, A je 

výstupní a D sestupný uzel, Ω délka výstupního 

uzlu, Π představuje perihélium a ω argument 

perihélia, konečně φ je pravá anomálie 

planety. 

Vsoučasné době jenejpřesnější analytickou teorií pohybu planet Bretagnonova 

teorie. Bretagnon používá elementy a, k, h, q, p, L, které nemají na rozdíl od 

klasických Keplerových elementů a, e, i, Ω, eω,L singulární hodnoty ani pro kruhovou 

dráhu, ani pro dráhu s nulovým sklonem vůči ekliptice. Jeho elementy jsou 

definovány vzorci 

k = e cos eω, h = e sin eω, q =sin i 2 cos Ω a p =sini sin Ω. 

2 

Zbylé dva elementy a a L jsou totožné s klasickými Keplerovými elementy. 

7.6.4 Poruchy dráhových elementů 

Kdyby ostatní planety neexistovaly, byly by dráhové elementy v čase neměnné. 

Planeta by obíhala periodicky po stále stejné dráze, takže orientace dráhy planety 

vprostorubybylaneměnná, výstřednost a velikost dráhy by byla stálá a rovněž 

poloha perihélia na dráze by se neměnila. Ve sluneční soustavě všakexistujíidalší 

planety a mnohá jiná kosmická tělesa. Ty všechny působí na pohyb zkoumané planety 

rušivě. Tím se stane, že dráhové elementy planety už nebudou stálé, ale budou 

se v čase měnit. Některé poruchy jsou periodické, jinénarůstají rovnoměrně s 

časem, ty pak nazýváme sekulárními poruchami. Prodostatečně přesné určení 

polohy planety je nutno tyto korekce započíst. Nestačí tedy znát střední dráhové 

elementy, ale musíme znát zároveň alespoňjejichsekulární změny. Proještě 

přesnější určení polohy planety na obloze (lepší než oblouková minuta) je nutno 

zahrnout i periodické poruchy. 

Dráhovéelementyseurčují především z astronomických pozorování, jejich poruchy 

se většinou vypočítávají z poruchové teorie vycházející z gravitačního zákona. 

Následující dvě tabulky udávají střední dráhové elementy a lineární změnu těchto 

elementů. Pomocí těchto tabulek například najdeme délku perihélia planety Merkur 

eω ≈ 77.45645 ◦ +573.57 00 T, 

jak se mění s časem. Zde T je měřeno v juliánských stoletích od epochy J2000. 

Změna tohoto elementu je způsobena především poruchami ostatních planet, která 

činí dohromady asi 531 00 za sto let, částečněmávšakpůvod i v relativistické korekci

7.6. VÝPOČET POLOHY PLANETY NA OBLOZE 361 

gravitačního zákona, která má hodnotu asi 43 00 za sto let. Všimněte si rovněž 

velkého pohybu u poloos vnějších planet. To svědčí o silných poruchách, jimiž na 

sebe tyto planety vzájemně působí. 

V tabulkách není vliv pohybu jarního bodu zahrnut, protože jsou počítány na 

pevnou epochu J2000 a nehybný jarní bod g J2000 . Pokud bychom chtěli znát délky 

planet vzhledem na aktuální jarní bod, museli bychom připočíst ke změnám veličin 

L, Ω a eω ještě hodnotu 5030 00 za století odpovídající precesi jarního bodu. 

Střední elementy planet k epoše J2000 = 2000 leden 1.5 

a e i Ω eω L 

◦ ◦ ◦ ◦ 

AU 1 

Merkur 0.38709893 0.20563069 7.00487 48.33167 77.45645 252.25084 

Venuše 0.72333199 0.00677323 3.39471 76.68069 131.53298 181.97973 

Země 1.00000011 0.01671022 0.00005 −11.26064 102.94719 100.46435 

Mars 1.52366231 0.09341233 1.85061 49.57854 336.04084 355.45332 

Jupiter 5.20336301 0.04839266 1.30530 100.55615 14.75385 34.40438 

Saturn 9.53707032 0.05415060 2.48446 113.71504 92.43194 49.94432 

Uran 19.19126393 0.04716771 0.76986 74.229881 70.96424 313.23218 

Neptun 30.06896348 0.00858587 1.76917 131.72169 44.97135 304.88003 

Pluto 39.48168677 0.24880766 17.14175 110.30347 224.06676 238.92881 

Změna elementů planetza juliánské století 

a e i Ω eω L 

µAU/stol. µ1/stol. 

00 /stol. 

00 /stol. 

00 /stol. 

00 /stol. 

Merkur 0.66 25.27 −23.51 −446.30 573.57 538101628.29 

Venuše 0.92 −49.38 −2.86 −996.89 −108.80 210664136.06 

Země −0.05 −38.04 −46.94 −18228.25 1198.28 129597740.63 

Mars −72.21 119.02 −25.47 −1020.19 1560.78 68905103.78 

Jupiter 607.37 −128.80 −4.15 1217.17 839.93 10925078.35 

Saturn −3015.30 −367.62 6.11 −1591.05 −1948.89 4401052.95 

Uran 1520.25 −191.50 −2.09 −1681.40 1312.56 1542547.79 

Neptun −1251.96 25.10 −3.64 −151.25 −844.43 786449.21 

Pluto −769.12 64.65 11.07 −37.33 −132.25 522747.90 

7.6.5 Výpočet polohy planety 

Kdyby se planeta pohybovala rovnoměrně, pak by byla její délka rovna střední 

délce L = eω + M. Střední anomálie planety je tudíž rovna 

M = L − eω. 

Excentrická anomálie se spočte řešením Keplerovy rovnice 

M = E − e sin E.


Odtud se pak spočte pravá anomálie pomocí vzorce 

tg φ 2 = r 

1+e 

1 − e tg E 2 

a vzdálenost planety od Slunce se dostane ze vzorce 

r = a (1 − e cos E) . 

Dále spočteme argument šířky planety podle vzorce 

u = φ + eω − Ω. 

Ten se využije k výpočtu heliocentrických ekliptikálních souřadnic λ a β podle 

vzorců 

tg (λ − Ω) =cosi tg u, sin β = sin i 

sin u . 

Konečně kartézské souřadnice heliocentrické pak dostaneme ze vzorců 

x = r cos β cos λ, y = r cos β sin λ, z = r sin β. 

Osa z je přitom orientována k severnímu pólu ekliptiky a osa x k jarnímu bodu. 

Pokud nás zajímají geocentrické souřadnice planety, tj. vztažené vůči Zemi, 

musíme stejným způsobem spočíst ještě polohuZemě. Dostaneme tak souřadnice 

x Z ,y Z a z Z . Odtud je poloha planety vůči Zemi dána souřadnicemi 

x 0 = x − x Z , y 0 = y − y Z , z 0 = z − z Z . 

Znichpakspočteme geocentrické souřadnice rovníkové nebo obzorníkové. Například 

pro rovníkové souřadnice (α, δ) platí 

∆ cos δ cos α = x 0 , ∆ cos δ sin α = y 0 , ∆ sin δ = z 0 , 

kde ∆ = p x 02 + y 02 + z 02 je vzdálenost planety od Země. Z těchto tří vztahů 

najdeme geocentrické rovníkové souřadnice α a δ.

Kapitola 8 

Gravitace 

8.1 Gravitační zákon 

8.1.1 Isaac Newton a objev gravitačního zákona 

Kepler objevil své revoluční zákony o pohybu planet v roce 1609 a 1619. Dlouho 

však byly jeho výsledky přijímány s nedůvěrou. Například samotný Galileo nikdy 

nepřijal představu eliptických drah planet za svou a trval na kruhových pohybech. 

Zákon o plošných rychlostech byl ignorován zhruba 80 let, pouze třetí Keplerův 

zákon byl přijat ostatními astronomy záhy po svém objevu. 

V roce 1679 napsal Robert Hooke dopis Isaacu Newtonovi, vněmž vysvětloval, 

že pohyb planet může souviset s přitažlivou silou, která planety trvale 

odchyluje od jejich pohybu po přímce. Newton se tehdy ještě domníval,že dráhou 

částice vrženézvysokévěže bude spirála, Hooke naopak správně tvrdil, že dráhou 

bude elipsa, stejně jako u planet. Newton uznal, že jeho vlastní představa není 

správná, ale tvrdil, že Hookovo řešení předpokládá, aby gravitace byla konstantní. 

Hooke odpověděl, že jeho teorie vychází ze zákona, podle něhož gravitace klesá se 

čtvercem vzdálenosti od zdroje. Později Hooke tvrdil, že gravitační zákon objevil 

jako první on sám a nikoliv Newton. 

Že přitažlivá síla Slunce klesá se čtvercem vzdálenosti planety od Slunce, dokázal 

také roku 1683 Edmond Halley. Dokázal to s použitím třetího Keplerova zákona, 

ovšem jen pro kruhové dráhy. Od správně tušeného zákona až k jeho objevu bylo v 

tuto chvíli ještě daleko. Především bylo třeba dokázat, že přitažlivá síla klesá podle 

stejného zákona i pro eliptické dráhy planet. 

V roce 1684 Christopher Wren, Hooke a Halley diskutovali v Královské 

společnosti, zda eliptický tvar drah planet je důsledkem zákona poklesu intenzity 

gravitace s druhou mocninou vzdálenosti od Slunce. V srpnu 1684 Halley navštívil 

Newtona v Cambridge, aby se ho dotázal na jeho názor. Newton potvrdil, že 

dráha bude eliptická, příslušné výpočty, které to dokazují, sice už někam založil, 

ale pokud si Halley přeje, dokáže to znova. Newton na základě své korespondence 

s Hookem v roce 1680 své důkazy přepracoval a Halleymu poslal devítistránkový 

363

364 KAPITOLA 8. GRAVITACE 

článek De motu corporum in gyrum (O pohybu těles na dráze). Tento spisek se 

později rozrostl v Newtonovo stěžejní dílo Philosophiae Naturalis Principia Mathematica 

(Matematické principy filozofie přírody). Halley se značně zasloužil o to, 

že Principia roku 1687 opravdu vyšla. V tomto díle Newton předložil univerzální 

gravitační zákon a dokázal, že gravitační zákon vede k pohybu těles po elipse, parabole 

nebo hyperbole. Předložil v něm rovněž základy mechaniky se svými třemi 

slavnými pohybovými zákony. Newton zavedl také označení gravitas (latinsky váha, 

tíha) pro univerzální přitažlivost těles. 

14. listopadu 1680 byla objevena jasná kometa, která byla viditelná až do5. 

prosince, kdy se přiblížila ke Slunci. Pak se znovu objevila za dva týdny, kdy se od 

Slunce vzdalovala. Newton ukázal, že její dráhou je parabola. 

Newton v Principiích odvodil také třetí Keplerův zákon a pokoušel se řešit problém 

tří těles. Pozdějitohovšaknechalspoznámkou,že tento problém překračuje 

možnosti lidského myšlení. 

Halley použil Newtonovu metodu a zjistil u většiny komet parabolické dráhy. 

Když roku 1705 počítal dráhy tří komet, které se objevily postupně v letech 1531, 

1607 a v roce 1682, kdy pozorování provedl sám, zjistil, že jejich dráhy jsou téměř 

identické. Halley odtud správně usoudil, že jde o jedinou kometu a určil, že kometa 

musela být viditelná také v letech 1456 a 1378. Vypočetl eliptickou dráhu této 

komety a uvedl, že planety Jupiter a Saturn ideální dráhu komety slabě narušují. 

Halley započetl perturbace těchto planet a předpověděl, že kometa bude opět v 

perihéliu 13. dubna 1759. Halleyova kometa byla znovu pozorována v prosinci 1758 

a perihéliem prošla 12. března 1759. Šlo tak o první matematicky předpovězenou 

kometu. 

8.1.2 Gravitace 

Vše na zemi podléhá působení tíže, potýkáme se s ní tak často, že si ji ani patřičně 

neuvědomujeme. Zemská tíže nás drží na povrchu Země, stejně jako vodu a atmosféru. 

Nakonec i Zemi samotnou utváří gravitace, a proto má Země sférickýtvar. 

Totéž platí i o jiných planetách a hvězdách. Gravitace je zodpovědná za vesmírný 

řád, udržuje planety na jejich dráhách a také Zemi udržuje v optimální vzdálenosti 

od životadárného Slunce. Gravitace formuje hvězdy, galaxie a celý vesmír. Bez 

zemské tíže by život nemohl vzniknout. Jak ale dosvědčuje zkušenost kosmonautů, 

člověk může bez zemské tíže žít. 

Co je příčinou zemské tíže, dlouho nebylo známo. Podle antického učence Aristotela 

byla příčinou zemské tíže přirozenost věcí dostat se do středu světa. Nešlo 

tedy podle něj o žádné vzájemné působení těles. Pohyby planet kolem Slunce byly 

popsány Keplerovými zákony, ty se však zdály být naprosto odlišnými od pozemských 

zákonů mechaniky. Připomeňme si, že v té době stáleještěnebyladefinitivně 

překonána aristotelovská představaotom,že zákony pohybu na zemi jsou zcela jiné, 

než zákony pohybu na nebesích. A ti, kdož hlásali opak, jako například Galileo Galilei, 

byli pronásledováni. V 17. století nebylo známo dokonce ani to, že stejná síla, 

která nutí všechny předměty padat na zem, nutí také obíhat Měsíc kolem Země. 

Gravitační zákon byl nejprve objeven v kosmu a až pak na Zemi. Největší zá-

8.1. GRAVITAČNÍ ZÁKON 365 

sluhu na jeho objevu má geniální zakladatel moderní mechaniky Isaac Newton. 

Někteří fyzikové, především Huygens a Hooke, už dříve tušili, že gravitace ubývá 

se čtvercem vzdálenosti, ale nemohli to dokázat, protože neznali diferenciální a integrální 

počet. Ten objevil až Newtonněkdy v letech 1665 až 1670. Bez znalosti 

matematické analýzy není možné spojit Keplerovy zákony se zákonem gravitačním. 

8.1.3 Silové působení Slunce na planety 

Ukažmesinyní,jakNewtonovisoučasníci dospěli k přesvědčení, že sluneční přitažlivost 

ubývá se čtvercem vzdálenosti. Předpokládejme planetu, která obíhá rovnoměrně 

po kruhové dráze o poloměru r kolem Slunce rychlostí v. Je-li T oběžná 

doba planety, pak platí 

v = 2πr 

T . 

Planetu přidržuje na kruhové dráze přitažlivá síla Slunce F, která je rovna dostředivé 

síle, proto platí 

F = mv2 

r 

Podle třetího Keplerova zákona však platí 

=4π 2 mr 

T 2 

T 2 ∼ r 3 , 

∼ mr 

T 2 . 

takže po dosazení za T 2 odtud dostaneme pro přitažlivou sílu závislost 

F ∼ m r 2 . 

Přitažlivá síla Slunce je tedy nepřímo úměrná čtverci vzdálenosti planety od Slunce 

ajetakéúměrná hmotnosti planety. 

Ilustrace k odvození gravitačníhozákonapro 

planetu obíhající po kruhové dráze kolem 

Slunce. 

Tento výsledek pro kruhové dráhy odvodil Edmond Halley roku 1683. Dokázat 

jej pro obecnou eliptickou dráhu je ovšem mnohem složitějšíanatomvšichni 

ztroskotali. Teprve až Newtonovi se podařilo matematicky dokázat, že i pro eliptické 

oběžnédráhyvyjdestejnýgravitační zákon. 

Příklad 8.1 Dokažte, že síla působící na planetu v perihéliu a aféliu je nepřímo úměrná čtverci 

její vzdálenosti od Slunce.


Řešení: Elementárně se to dá dokázat pomocí druhého Keplerova zákona 

v A r A = v P r P =2w. 

Dostředivá síla působící na planetu v perihéliu a aféliu je 

F P = ma P = m v2 P 

R = 4mw2 

R 

1 

r 2 P 

a 

F A = ma A = m v2 A 

R = 4mw2 

R 

kde R je poloměr křivosti elipsy v perihéliu a aféliu. Jak je tedy vidět, přitažlivá síla klesá 

skutečně sečtvercem vzdálenosti planety od Slunce i v případě vrcholů eliptické dráhy. 

1 

, 

r 2 A 

8.1.4 Měsíc a zemská tíže 

Kromě toho,že Newton objevil matematickou podstatu sil, které řídí pohyby nebeských 

těles, dokázal také, že tato síla je stejného druhu, jako běžná přitažlivost 

zemská. Rozhodující nápad dostal údajně vokamžiku, kdy mu spadlo na hlavu 

jablko ze stromu, pod nímž vesvézahraděseděl. Přemýšlel právě o tom, jaká síla 

nutí Měsíc, aby stále obíhal kolem Země. Newton dostal nápad, že by to mohla být 

síla stejného druhu, která nutí padat na zem jablko, tedy síla zemská tíže. Měsíc, na 

rozdíl od jablka, nespadne na zem, protože má dostatečně velkou rychlost. Newton 

uvažoval dále, jsou-li obě tělesa podřízena stejnému přitažlivému působení Země, 

pak dostředivé zrychlení Měsíce a M musí být rovno zemskému tíhovému zrychlení 

g M . Spočetl tedy nejprve dostředivé zrychlení Měsíce a M . Průměrná vzdálenost 

Měsíce od středu Země jer ≈ 380 000 km ajehooběžnádobavzhledemkehvězdám 

je T ≈ 27.3 dne, proto 

a M = v2 

r = 4π2 r 

T 2 ≈ 0.0027 m / s 2 . 

Dále spočetl přitažlivé tíhové zrychlení g M , kterým Země působí na Měsíc. Newton 

věděl, že gravitace ubývá se čtvercem vzdálenosti. Měsíc obíhá ve vzdálenosti asi 60 

poloměrů Země, proto tam bude zemská tíže asi 60 2 krát menší, než je na zemském 

povrchu, kde je g ≈ 9.81 m / s 2 . Newton tedy dostal výsledek 

g M ≈ 

aprotože mu vyšla obě zrychlení stejná 

g 

60 2 ≈ 0.0027 m / s2 , 

a M ≈ g M , 

dospěl Newton k nezvratnému přesvědčení, že zemská tíže je stejného původu jako 

síla, která drží Měsíc na oběžné dráze kolem Země aže obě síly se dají popsat 

jediným univerzálním gravitačním zákonem, který platí pro pohyby těles na zemi 

stejně jakonanebi.


Síla, která nutí jablko i Měsíc padat k Zemi, 

je tatáž sílagravitační. 

8.1.5 Gravitační zákon z Keplerových zákonů 

Dokažme nyní, že z Keplerových zákonů skutečně plyne, že na planety obíhající po 

eliptických dráhách působí centrální síla F ∼ 1/r 2 . To byl zároveň ten nejdůležitější 

matematický krok, který musel Newton udělat, aby roku 1684 konečně dospěl k 

objevu gravitačního zákona. 

Hledáme zrychlení planety ze známé kinematiky planet určené Keplerovými 

zákony. Jako nejvhodnější se ukazuje popis pohybu v polárních souřadnicích, tam 

totiž nejlépevyužijeme faktu, že Slunce ležívohniskuelipsy.Připomeňme, že 

zrychlení má v polárních souřadnicích dvě složky, radiální a azimutální, pro které 

platí 

a r =¨r − r ˙φ 2 a a φ =2ṙ ˙φ + r¨φ. 

Podle druhého Keplerova zákona platí 

r 2 ˙φ =2w, (8.1) 

kde plošná rychlost w je konstantou pro danou planetu. Protože za periodu T musí 

být průvodičem opsána celá elipsa o ploše πab, platí také 

w = πab 

T . 

Vzhledem ke druhému Keplerovu zákonu (8.1) je azimutální složka zrychlení 

rovna nule 

a φ =2ṙ ˙φ + r¨φ = 1 ³ 

r 2 ´· 1 

˙φ = 

r r ẇ =0. 

To však znamená, že na planetu působí síla směřující do Slunce. 

Nyní spočteme radiální složku zrychlení planety 

a r =¨r − r ˙φ 2 =¨r − 4w2 

r 3 . 

Chceme ji vyjádřit jako funkci polohy, proto musíme vyloučit všechny výrazy obsahující 

derivace. Výraz ˙φ jsme podle (8.1) nahradili 2w/r 2 .Ještěmusímenahradit


¨r. Podle prvního Keplerova zákona platí 

1 

r = 1 (1 + e cos φ) , (8.2) 

p 

což je rovnice elipsy v polárních souřadnicích. Odtud derivací podle času dostaneme 

neboli 

1 

r 2 ṙ = 1 p e ˙φ sin φ, 

ṙ = 1 2ew sin φ, 

p 

kde jsme opět využili (8.1). Další derivací podle času pak dostaneme 

¨r = 1 p 2ew ˙φ cos φ. 

Výraz e cos φ odstraníme pomocí definice elipsy (8.2) a ˙φ pomocí (8.1), tak dostaneme 

µ 

¨r = 4w2 1 

r 2 r − 1 

. 

p 

Radiální složka zrychlení planety je tedy 

a r = 4w2 

r 2 

µ 1 

r − 1 p 

 

− 4w2 

r 3 

= − 4w2 

p 

1 

r 2 . 

Vyšlo nám, že zrychlení planety 

a = a r = − k r 2 

je skutečně závislé jen na vzdálenosti planety od Slunce a že planeta je přitahována 

ke Slunci silou, která klesá se čtvercem vzdálenosti. Konstanta úměrnosti 

k = 4w2 

p = 4π2 a 3 

T 2 =konst (8.3) 

je navíc vzhledem ke třetímu Keplerovu zákonu pro všechny planety obíhající kolem 

Slunce stejná a nezávisí ani na velikosti planety, ani na její vzdálenosti od Slunce. 

Při poslední úpravě jsme dosadili za plošnou rychlost w = πab/T a za parametr 

p = b 2 /a. Planeta je tedy přitahována ke Slunci silou 

F = ma = −k m r 2 .


Ze symetrie silového působení obou těles, tj. planety o hmotnosti m a Slunce o 

hmotnosti M S , se dá očekávat, že výsledná síla bude mít tvar symetrický vzhledem 

koběma tělesům. To splňuje jen gravitační zákon ve tvaru 

F = −κ mM S 

r 2 . 

Pro konstantu k tedy máme vyjádření k = κM S , kde κ je univerzální gravitační 

konstanta. 

Stručnější odvození přitažlivé síly se dostane také z Binetova vzorce 

u 00 + u = − m F 

L 2 u 2 , (8.4) 

který platí pro centrální silová působení. Pro eliptickou dráhu platí 

podosazenído(8.4)takmáme 

a odtud je gravitační síla 

u = 1 r = 1 (1 + e cos φ) , 

p 

1 

p = − m 

L 2 u 2 F, 

F = − L2 u 2 

mp 

= − L2 

mpr 2 . 

Protože L =2mw, dostaneme odtud opět výsledek 

kde k je dáno (8.3). 

F = −k m r 2 , 

8.1.6 Univerzální gravitační zákon 

Jakmile se Newton ujistil, že silové působení Slunce na planety, silové působení 

Země naMěsíc a zemská tíže jsou všechny popsány stejným zákonem, formuloval 

roku 1684 univerzální gravitační zákon: 

Libovolná dvě tělesa se přitahují silou, která je přímo úměrná součinu 

jejich hmotností a nepřímo úměrná čtverci jejich vzdálenosti. 

Newtonův gravitační zákon platí v celém vesmíru a určuje pohyby planet, komet, 

umělých satelitů, stejně jakohvězd a galaxií. Gravitace způsobuje sférický 

tvar velkých nebeských těles. Gravitace umožňuje hvězdám dosáhnout dostatečného 

tlaku a teploty k zapálení termojaderné reakce. Gravitace přidržuje vodu a 

vzduchkpovrchuZemě. Proměnná gravitace způsobená pohybem Měsíce a Slunce 

způsobuje pravidelná dmutí hladiny všech moří, tzv. přílivy a odlivy.


Univerzální gravitační zákon vyjádřen vzorcem zní 

Ilustrace ke gravitačnímu zákonu 

F G = κ m 1m 2 

r 2 , 

kde konstanta úměrnosti κ se nazývá gravitační konstanta amáhodnotu 

κ ≈ 6. 673 2 × 10 −11 N m 2 / kg 2 . 

Velikost gravitační konstanty Newton neznal, poprvé ji naměřil až Henry Cavendish 

roku 1798 pomocí přesných torzních vah. Podařilo se mu poprvé změřit 

malé přitažlivé síly, kterými na sebe působí dvě velkéadvě malé olověné koule. 

Konstanta κ je dodnes jednou z nejméně přesných fyzikálních konstant. 

Schéma uspořádání Cavendishova experimentu. 

ZreakcetorzníhovláknanasilovýmomentM 

je možno určit gravitačnísíluaodtudgravitační 

konstantu. 

O nepatrné velikosti gravitačních sil svědčí například tato skutečnost. Kdybychom 

měli ve volném prostoru dvě stejné olověné koule, každou o průměru jeden 

metr ve vzdálenosti jeden kilometr od sebe a na počátku v klidu, pak by se obě 

koule vzájemným gravitačním přitahováním uvedly do pohybu a srazily by se až 

za 460 dní! 

Směr přitažlivé síly je určen spojnicí obou těles, jak to vyžaduje zákon akce a 

reakce. Proto je možno zapsat gravitační zákon také v obecném vektorovém tvaru 

F G = −κ m 1m 2 

r 3 r, (8.5) 

kde r je polohový vektor tělesa m 2 vzhledem k m 1 a F G je síla, jakou je hmotný 

bod m 2 přitahován k m 1 . 

Až do objevu gravitačního zákona působily všechny známé síly kontaktem těles, 

tedy na blízko. Gravitace byla první silou, která působí na dálku, ad distantio, 

atopodleNewtonaokamžitě. Všechna astronomická pozorování to skutečně potvrzují. 

Nicméně ani sám Newton silovému působení na dálku nerozuměl a pokud 

byl dotázán na podstatu své gravitační síly, odpovídal výrokem: Hypotheses non 

fingo (Hypotézy nevymýšlím). Moderní výklad silového působení na dálku spočívá 

v zavedení hmotného silového pole v prostoru, kde se tělesa nacházejí. Ukazuje se 

také, že silové působení není okamžité, ale má konečnou rychlost, kterou je rychlost 

světla. Tato většinou malá zpřesnění popisuje teorie gravitace Alberta Einsteina 

z roku 1916, známá spíše pod názvem obecná teorie relativity.


Jeden krásný, ale nesprávný model gravitace 

Jak jsme již uvedli, Newton nepodal ke svému gravitačnímu zákonu žádné vysvětlení 

původu gravitace. Proto se objevilo mnoho pokusů o mechanické vysvětlení 

toho, odkud se gravitace bere. Jedna z populárních teorií je založena na představě, 

že celý vesmír je naplněn mořem velmi rychlých a drobných částic, které se pohybují 

náhodně všemisměry a občas narážejí do kosmických těles. Tím jim udělují 

silový impulz, který působí podobně jakotlakvplynuzevšechstranstejně, a 

nemá proto žádného mechanického účinku. Pokud však přiblížíme k sobě dvětělesa, 

budou se před tímto proudem částic navzájem stínit, čímž dojde k narušení 

izotropnosti tlaku částic a ve výsledku se budou obětělesa k soběpřitahovat. Silový 

efekt stínění bude pochopitelně tímvětší, čím budou obě tělesa větší a čím budou 

ksoběblíže. Snadno se také ukáže, že výsledná přitažlivá síla bude skutečně klesat 

se čtvercem vzdálenosti obou těles. 

Podle modelu je přitažlivost těles způsobena 

vzájemným odstíněním obou těles před nárazy 

drobných a rychlých částeček přicházejících 

rovnoměrně zevšechmožných stran kosmu. 

Skutečně, mějme dvě koule o velikostech R 1 a R 2 ve vzdálenosti r od sebe. Koule 

napravo odstíní částice, které by jinak dopadly na levou kouli, a to z prostorového 

úhlu o velikosti 

Ω 2 ≈ πR2 2 

r 2 . 

Odstíněná (bílá) plocha na levé kouli bude mít velikost 

S 1 ≈ Ω 2 R 2 1 ≈ πR2 1 R2 2 

r 2 . 

Pokud jako p označíme velikost izotropního tlaku částic, které bombardují obě naše 

tělesa, pak výsledná síla působící na levou kouli bude rovna 

F 1 ≈ pS 1 ≈ p πR2 1 R2 2 

r 2 . 

Výsledná síla tedy bude silou přitažlivou a bude mít směr spojnice obou těles. 

Snadno se ukáže, že stejně veliká síla působí i na druhé těleso a je tedy splněn 

zákon akce a reakce. Pokles přitažlivé síly se čtvercem vzdálenosti plyne naprosto 

přirozeně z uvedeného modelu. Model by fungoval i případě více než dvoutěles. 

Bohužel, uvedený model není skutečným mechanismem gravitace. Nesprávně 

totiž předpokládá, že gravitační síla nezávisí na hmotnostech, ale jen na geometrických 

rozměrech těles. Současně zmodeluplynedalšínesprávnýzávěr, při pohybu 

tělesa v moři částic by měla vznikat odporová síla. Protože planety obíhají kolem 

Slunce po miliardy let, aniž bysejejichpohybnějak zpomalil, je zřejmé, že žádná 

odporová síla neexistuje.


8.1.7 Hmotnost Země a Slunce 

Velikost gravitační konstanty Newton neznal, poprvé ji naměřil až Henry Cavendish 

roku 1798. Do té doby byl znám z pohybu Měsíceazměření tíhového zrychlení 

jen součin gravitační konstanty a hmotnosti Země κM Z , případně zpohybůplanet 

součin gravitační konstanty a hmotnosti Slunce κM S . Zjednodušeně, ale vcelku 

správně, se proto říká, že Cavendish ve své laboratoři zvážil Zemi a Slunce. 

Hmotnost Země můžeme určit například pomocí tíhového zrychlení na povrchu 

Země. Z gravitačního zákona plyne vzorec 

g = F G 

m = κ M Z 

. 

Velikost Země R Z známe, stejně tak tíhové zrychlení g, a proto najdeme 

R 2 Z 

M Z = gR2 Z 

κ ≈ 5.98 × 1024 kg . 

Newton sám odhadl hmotnost Země z velikosti a hustoty Země. Porovnáním 

hustoty běžných minerálů odhadlhustotuZemě jako ρ Z ≈ 5000kg/ m 3 , atak 

dostal pro hmotnost Země odhad 

vzorec 

M Z ≈ ρ Z V Z ≈ 4 3 πρ ZR 3 Z ≈ 5 × 1024 kg . 

Pro hmotnost Slunce dostaneme z rovnosti odstředivého a přitažlivého zrychlení 

v 2 

r = κ M S 

r 2 

M S = 4π2 r 3 

κT 2 ≈ 1.99 × 1030 kg, 

kde r ≈ 1.50 × 10 11 m je střední vzdálenost Země odSlunceaT ≈ 365 dní ≈ 

3.15 × 10 7 s je oběžná doba. 

8.1.8 Zákon zachování energie a potenciální energie 

Dva hmotné body m 1 a m 2 se vzájemně přitahují podle Newtona gravitační silou 

G 1 = κ m 1m 2 

r 3 12 

r 12 a G 2 = −κ m 1m 2 

r12 

3 r 12 . 

Pokud chceme tělesa od sebe oddálit, musíme vykonat práci. Vykonaná práce zvyšuje 

energii soustavy A = ∆E = ∆T + ∆U. Spočteme nyní potřebnou práci. Pohybové 

rovnice obou těles jsou 

m 1 a 1 = F 1 + G 1 a m 2 a 2 = F 2 + G 2 .


Přírůstek práce obou sil je tedy 

dA = F 1 · dr 1 + F 2 · dr 2 =(m 1 a 1 − G 1 ) · dr 1 +(m 2 a 2 − G 2 ) · dr 2 =dT +dU, 

kde přírůstek kinetické energie je 

 

dT = m 1 a 1 · dr 1 + m 2 a 2 · dr 2 =dµ 1 

2 m 1v 2 1 + 1 2 m 2v 2 2 

apřírůstek potenciální energie je 

dU = −G 1 · dr 1 − G 2 · dr 2 = −κ m µ 

1m 2 

r12 

3 r 12 · dr 12 =d −κ m 

1m 2 

, 

r 12 

kde r 12 = r 2 −r 1 je relativní vzdálenost obou těles. Potenciální gravitační energie 

U = −κ m 1m 2 

r 12 

obou těles je tedy závislá jen na relativní vzdálenosti a hmotnostech obou těles. 

Ilustrace k odvození potenciální energie gravitačních 

sil. 

Potenciální gravitační energie vychází vždy záporně, největší potenciální energii 

mají od sebe nekonečně vzdálenátělesa, jejich potenciální energie je rovna nule 

U =0. Pokud na soustavu těles nepůsobí vnější síly, je vložená práce rovna nule 

A =0amusíplatitzákon zachování energie soustavy dvou hmotných bodů 

E = 1 2 m 1v 2 1 + 1 2 m 2v 2 2 − κ m 1m 2 

r 12 

=konst. 

Často je jedno z těles mnohem hmotnější než druhéatéměř se nepohybuje, 

například Slunce je 300 tisíkrát hmotnější než Země nebo Země jeodvacetřádů 

těžší než satelit. V tom případě bude mít zákon zachování energie jednodušší tvar 

E = 1 2 mv2 − κ mM r 

=konst, 

kde m je hmotnost malého a M hmotnost velkého tělesa. Pokud se vzdálenost 

obou těles příliš nemění, tak jako například při šikmém vrhu kamene, můžeme psát 

r = R Z + h ,kdeR Z je poloměr Země ah výška tělesa nad povrchem Země. Podle 

předpokladu platí h ¿ R Z , takže vzorec pro potenciální energii můžeme rozvinout 

do Taylorovy řady. Pokud se omezíme na první dva členy, dostaneme 

U = −κ mM Z 

R Z + h ≈−κ mM Z 

R Z 

+ κ mM Z 

RZ 

2 h = −U R + mgh,


kde g = κM Z /RZ 2 . Potenciální energie roste přibližně lineárně s výškou od zemského 

povrchu, stejně jako tomu bylo v homogenním tíhovém poli, veličinu g proto můžeme 

interpretovat jako tíhové zrychlení Země. Zákon zachování energie pak má 

známý tvar 

E ≈ 1 2 mv2 + mgh =konst. 

8.2 Keplerova úloha 

8.2.1 Formulace Keplerovy úlohy 

Poté, co Newton postuloval gravitační zákon, obrátil úlohu a začal zkoumat pohyb 

tělesa, na které působí Slunce podle gravitačního zákona (8.5). Protože podle zákona 

akce a reakce působí také planeta na Slunce stejně velikou silou jako Slunce 

na planetu, musí se i Slunce pohybovat. I pro tu největší planetu sluneční soustavy 

však platí, že její hmotnost je ve srovnání s hmotností Slunce téměř zanedbatelná. 

Například Jupiter je tisíckrát a Země dokonce třistatisíckrát lehčí než Slunce. Proto 

lze v prvním přiblížení předpokládat, že Slunce se vůbec nepohybuje. Pohyb planety 

v gravitačním poli nehybného centrálního tělesa řeší tzv. Keplerova úloha. 

Řešením Keplerovy úlohy Newton zjistil, že těleso se v gravitačním poli Slunce 

nemusí pohybovat vždy po elipse, ale může se pohybovat obecně po jakékoliv kuželosečce. 

Kuželosečky jsou všechny křivky, které dostaneme při rovinném řezu 

kuželovéplochy.Podlesklonuřezu dostaneme kružnici, elipsu, parabolu nebo hyperbolu. 

Konkrétní typ kuželosečky—dráhyjeurčen mechanickou energií planety. 

Je-li energie planety záporná, trajektorií je elipsa nebo kružnice a těleso obíhá 

periodicky kolem Slunce. Je-li energie rovna nule, trajektorií je parabola. Konečně, 

je-li energie tělesa kladná, trajektorií je hyperbola a těleso proletí kolem Slunce jen 

jedinkrát a zase se vzdálí do nekonečného kosmu. Takto se chovají například některé 

komety. V každém případě jevšakspolečným ohniskem všech těchto kuželoseček 

Slunce. 

Všechny kuželosečky dostaneme řezem kuželové 

plochy, tak vznikne (a) kružnice, (b) 

elipsa, (c) parabola a (d) obě větve hyperboly. 

8.2.2 Řešení Keplerovy úlohy 

Budeme tedy zkoumat, podobně jako Newton, pohyb planety nebo komety o hmotnosti 

m vgravitačním poli nehybného Slunce o hmotnosti M S . Pohyb planety je

8.2. KEPLEROVA ÚLOHA 375 

popsán pohybovou rovnicí 

¨r = −κ M S 

r 3 r. 

Trajektorii planety můžeme pohodlněnajítnapříklad pomocí Binetova vzorce, jako 

jsme to dělali již dříve v dynamice. Nás však zajímá i časový průběh pohybu. 

Ukážeme si proto jiné řešení, které využívá integrálů pohybu, tj. zákona zachování 

energie 

E = 1 2 mv2 − κ mM S 

r 

a zákona zachování momentu hybnosti planety 

který je jen jiným vyjádřením druhého Keplerova zákona. 

L = mr 2 ˙φ, (8.6) 

Průběh efektivního potenciálu U ef (r) a celková 

energie E určují, zda bude pohyb planety 

omezen na interval r 1 ≤ r ≤ r 2 (pohyb po 

elipse) nebo omezen jen zdola r 0 ≤ r (pohyb 

po hyperbole). 

V polárních souřadnicích je možno psát mechanickou energii planety ve tvaru 

E = 1 ³ 

2 m ṙ 2 + r ˙φ2´ 

2 − κ mM S 

. 

r 

Vyloučením ˙φ pomocí (8.6) dostaneme 

L 2 

E = 1 2 mṙ2 + 1 2 mr 2 − κ mM S 

= 1 r 2 mṙ2 + U ef (r) , 

kde U ef (r) představuje efektivní potenciální energii. Tato rovnice představuje 

diferenciální rovnici pro funkci r (t) , kterou můžeme upravit do tvaru 

ṙ 2 = 2E m + 2κM S 

− 

L2 

r m 2 r 2 . 

Tuto rovnici však není možno vyřešit v analyticky uzavřeném tvaru. Hledejme tedy 

nejprve rovnici trajektorie r (φ) . Čas z rovnice vyloučíme opět pomocí (8.6). Platí 

ṙ = dr 

dt = dr dφ 

dφ dt = r0 ˙φ = r 

0 L 

mr 2 , 

zde čárkou označujeme derivace podle azimutu φ. Substituce 

u = 1 r 

dává ṙ = −u 0 L m ,


a odtud 

u 0 = du 

r 

2mE 

dφ = ± L 2 + 2κM Sm 2 

L 2 u − u 2 . 

Tuto diferenciální rovnici umíme vyřešit například separací proměnných. Označímeli 

kořeny kvadratické funkce pod odmocninou jako u 1 a u 2 , pak bude řešení u (φ) 

reálné, jen pokud platí 

u 1 ≥ u ≥ u 2 . 

Pomocí kořenů u 1 a u 2 lze diferenciální rovnici zapsat ve tvaru 

u 0 = ± p (u 1 − u)(u − u 2 ). 

Které znaménko u odmocniny skutečně platí, to rozhodnou počáteční podmínky. 

Pro kořeny u 1 a u 2 platí známé Viètovy věty 

u 1 + u 2 = 2κM Sm 2 

L 2 a u 1 u 2 = − 2mE 

L 2 . 

Oba kořeny jsou tudíž kladné, jen když jeE ≤ 0. Planeta je pak vázána v gravitačním 

poli Slunce r 1 ≤ r ≤ r 2 anemůže jej opustit. V případě E =0vychází u 2 =0, 

takže planeta se může vzdálit až donekonečna r 2 →∞. Konečně vpřípadě, že 

E>0, bude u 2 i r 2 záporné a pohyb planety je rovněž omezen jedinou podmínkou 

r 1 ≤ r. 

Keplerova úloha. Planeta obíhá po elipse v prstenci 

vymezeném dvěma extrémními hodnotami 

vzdálenosti r 1 a r 2 od Slunce. 

Separací proměnných dostaneme nejprve rovnici 

±dφ = 

a odtud její integrací dostaneme 

du 

p 

(u1 − u)(u − u 2 ) , 

∓ (φ − φ 0 ) = arccos u − u 1+u 2 

2 

u 1−u 2 

. 

2 

Obvykle volíme počátek měření azimutu φ v perihéliu, tj. tam, kde je u = u 1 = 

u max , resp. r = r 1 = r min , proto je φ 0 =0. Zároveň azimutměříme obvykle na tu 

stranu, na kterou azimut přirozeným pohybem planety skutečně roste. Proto platí 

jen znaménko plus. Řešení rovnice má tedy tvar 

u = u 1 + u 2 

2 

+ u 1 − u 2 

2 

cos φ, (8.7)


což jeobecnárovnice kuželosečky 

1 

r = 1 (1 + e cos φ) . (8.8) 

p 

Z geometrie kuželoseček je známo, že pro e =0dostaneme r = p = a, tj. kružnici, 

pro e1 

dostaneme jednu větev hyperboly. 

Porovnáním řešení (8.7) s rovnicí elipsy (8.8) dostaneme pro parametr p rovnici 

a pro excentricitu e rovnici 

e = u 1 − u 2 

u 1 + u 2 

= 

1 

p = u 1 + u 2 

= κM Sm 2 

2 L 2 (8.9) 

s 

s 

1 − 4u 1u 2 

(u 1 + u 2 ) 2 = 1+ 2EL2 

κ 2 MS 2 . (8.10) 

m3 

Tím jsme dokázali první Keplerův zákon pro pohyb planet. Zároveň jsmejej 

rozšířili o poznatek, že dráha tělesa nemusí být eliptická, pokud má těleso dostatečnou 

energii. V případě, že je celková energie E tělesa kladná, je jeho dráha 

hyperbolická, protože pak je e>1. Vpřípadě, že energie tělesa je přesně rovna 

nule,pohybujesetěleso po parabole, nebo tjee , =1. 

Speciálně pro elipsu je velká poloosa rovna 

Obráceně platí také 

a = r 1 + r 2 

2 

= u 1 + u 2 

2u 1 u 2 

= − κmM S 

2E ≥ 0. 

E = − κmM S 

, (8.11) 

2a 

takže celková energie závisí jen na velké poloose oběžné dráhy. Podobně vyjádříme 

i orbitální moment pomocí dráhových elementů (8.9) 

Plošná rychlost planety je přitom 

L 2 = κM S m 2 p. (8.12) 

w = 1 L 

2 r2 ˙φ = 

2m , 

aprotože za periodu T opíše planeta celou elipsu o ploše πab, musí také platit 

w = πab 

T . 

Odtud pak máme 

L = 2πabm . 

T


Po umocnění na druhou spolu s rovnicí (8.12) a vztahem p = b 2 /a dostaneme třetí 

Keplerův zákon ve tvaru 

a 3 

T 2 = κM S 

4π 2 . 

Pomocí univerzálního gravitačního zákona jsme tak dokázali všechny tři Keplerovy 

zákony. 

8.2.3 Rychlost planety 

Celková energie planety je podle (8.11) rovna 

E = 1 2 mv2 − κ mM S 

r 

odtud se spočte okamžitá rychlost planety jako 

s 

v = 

κM S 

µ 2 

r − 1 a 

= −κ mM S 

2a , 

 

. 

Například pro perihélium r P = a (1 − e) a afélium r A = a (1 + e) vycházejí rychlosti 

r r 

κMS 1+e 

κMS 1 − e 

v P = 

a v A = 

a 1 − e 

a 1+e . 

Vpřípadě kruhové dráhy r = a je zřejmě 

r 

κMS 

v = 

a . 

8.2.4 Keplerova rovnice 

Trajektorii planety r (φ) už známe, musíme ještě najít závislost polohy planety na 

čase, hledáme tedy dále funkce φ (t) a r (t) . Z (8.6) a (8.12) máme 

˙φ = 

L √ √ 

mr 2 = κMS p κMS p 

r 2 = 

p 2 (1 + e cos φ) 2 , 

takže separací proměnných a integrací odtud dostaneme 

Z φ 

0 

Z 

dφ 

t 

(1 + e cos φ) 2 = 

0 

s 

κM S 

p 3 dt = 

Integrál vlevo upravíme pomocí vhodné substituce 

r 

1 − e 

y = 

1+e tg φ 2 

s 

κM S 

p 3 t.


aspočteme. Tak dostaneme 

µ 

 

y 

M =2 arctg y − e 

1+y 2 , 

kde výraz na levé straně rovnice 

r 

κMS 

M = t = nt (8.13) 

a3 se nazývá střední anomálie a n = p κM S /a 3 střední denní pohyb planety. 

Pro praktické výpočty v astronomii je tento vzorec nevhodný, protože se jedná o 

relativně složitou transcendentní rovnici vzhledem k y. Proto se zavádí dále excentrická 

anomálie E vztahem 

y =tg E 2 , pak je y 

1+y 2 = 1 sin E. 

2 

Tak dostaneme mnohem vhodnější vzorec k výpočtu excentrické anomálie známý 

jako Keplerova rovnice 

M = E − e sin E. (8.14) 

Při výpočtu polohy planety se tedy v praxi postupuje takto: Pro dané parametry 

elipsy a, e spočteme v daný okamžik t nejprve střední anomálii planety podle (8.13). 

Odtud pak pomocí Keplerovy rovnice (8.14) najdeme excentrickou anomálii E az 

ní pak spočteme pravou anomálii (azimut) φ pomocí vzorce 

tg φ r 

1+e 

2 = 1 − e tg E 2 . 

Vzdálenost planety pak spočteme bu djižzeznámépravéanomálieφ , 

a z rovnice 

elipsy (8.8) anebo s pomocí excentrické anomálie E ze vztahu 

r = a (1 − e cos E) , 

který dostaneme úpravou vzorce (8.8), kam dosadíme za výraz 

8.2.5 Hyperbolická dráha 

cos φ = 1 − tg2 (φ/2) 

1+tg 2 (φ/2) = cos E − e 

1 − e cos E . 

Je-li celková energie tělesa, například komety, kladná, vychází excentricita větší 

než jedna e>1 avelkápoloosadráhyzáporně a


odvozené vzorce nadále v platnosti. Pokud definujeme nové reálné veličiny M ∗ a 

E ∗ vztahy M =iM ∗ a E =iE ∗ avyužijeme známých komplexních identit 

sin (ix) =isinhx, cos (ix) =coshx a tg (ix) =itghx, 

dostaneme pro výpočet polohy tělesa na hyperbolické dráze následující mírně upravené 

vztahy. Pro střední anomálii 

s 

M ∗ κM S 

= 

|a| 3 t, 

pro excentrickou anomálii upravenou Keplerovu rovnici 

pro pravou anomálii rovnici 

a pro výpočet vzdálenosti máme 

M ∗ = e sinh E ∗ − E ∗ , 

tg φ r 

e +1 

2 = E∗ 

tgh 

e − 1 2 

r = |a| (e cosh E ∗ − 1) 

nebo stále platící (8.2). Geometrický význam parametru p = a ¡ 1 − e 2¢ > 0 se nemění 

a nadále platí, že parametr p určuje vzdálenost tělesa od Slunce v kvadratuře 

p = r (π/2) nebo poloměr křivosti dráhy ve vrcholu hyperboly p = R (0). 

Asymptoty hyperbolické dráhy svírají navzájem 

úhel 2φ A . 

Pohyb po hyperbole už není periodický, protože harmonické funkce nahradily 

funkce hyperbolické. Polohu asymptot, to jest přímek,knimžsedráhatělesa v 

nekonečnu přimyká, najdeme snadno z rovnice hyperboly. Asymptoty odpovídají 

takovým směrům φ = ±φ A , kdy vzdálenost r jde do nekonečna a tedy, kdy jmenovatel 

1+e cos φ jde k nule. Odtud máme 

cos φ A = − 1 e . 

Pro e ≈ 1 máme parabolu a asymptoty jsou maximálně rozevřené, nebo , tpakje 

φ A ≈ π.


8.2.6 Parabolická dráha 

Parabolický pohyb odpovídá limitnímu případu, kdy celková energie tělesa je rovna 

nule. Příslušné rovnice popisující pohyb dostaneme třeba limitním přechodem z 

eliptické dráhy. Místo parametru a, který roste do nekonečna, je v tomto případě 

vhodnější užívat konečného parametru p. Pro e ≈ 1 dostaneme místo Keplerovy 

rovnice přímo rovnici pro pravou anomálii 

M =tg φ µ 

1+ 1 φ 

2 3 tg2 , (8.15) 

2 

kde střední anomálii definujeme vztahem 

s 

4κM S 

M = 

p 3 t. 

V dobách, kdy ještě nebyly počítače, nebylo snadné numericky vyřešit kubickou 

rovnici (8.15), proto se hledaly způsoby, jak numerické řešení kubické rovnice obejít. 

Vnašempřípadě takový způsob existuje, a nyní si jej ukážeme. Metoda je založena 

na goniometrické identitě 

cotg 2x = 1 (cotg x − tg x) . 

2 

Zave dme , tedy pomocný argument γ vztahem 

tg φ 2 =2cotgγ =cotgγ 2 − tg γ 2 

a dosa dme , do pravé strany rovnice (8.15). Po jednoduché úpravě dostaneme 

tg φ µ 

1+ 1 φ 

2 3 tg2 = 1 γ 2 3 cotg3 2 − 1 γ 3 tg3 2 . 

Pokud dále zavedeme ještě argumentβ vztahem 

tg γ 2 =tg3 β 2 , 

můžemepravoustranudáleupravit 

1 γ 3 cotg3 2 − 1 γ 3 tg3 2 = 1 3 cotg β 2 − 1 3 tg β 2 = 2 cotg β, 

3 

takže máme nakonec výsledek 

M = 2 cotg β. 

3 

Dostali jsme tak přímou souvislost mezi střední anomálií M aargumentemβ, z 

něhož pohodlněnajdemeγ azněho pak pravou anomálii φ. Vzdálenost tělesa od 

Slunce pak už snadno spočteme třeba podle vzorce 

r = 

p 

1+cosφ = p sec2 φ 2 .


8.2.7 Lambert-Eulerův vzorec 

Známe-li parametry dráhy, můžeme spočíst vzdálenost a polohu planety v libovolném 

čase. Obrácenou úlohou je problém řešený poprvé Johann Heinrich Lambertem 

1 roku 1761. Z astronomických pozorování jsou známy vzdálenosti r 1 a r 2 

stejné planety ve dvou různých místech P 1 a P 2 odpovídající časovým okamžikům 

t 1 a t 2 a dále je známa úhlová vzdálenost planety ∆φ = φ 2 − φ 1 . Pomocí kosínové 

věty tedy dokážeme určit také vzdálenost 

q 

s = r1 2 + r2 2 − 2r 1r 2 cos ∆φ 

mezi oběma polohami P 1 a P 2 .Předpokládejme tedy, že známe r 1 ,r 2 a s adále, 

že známe poloosu a dráhy planety a hmotnost centrálního tělesa M S nebo střední 

denní pohyb planety n = p κM S /a 3 . Máme určit, jaký časový interval ∆t = t 2 −t 1 

mezi oběma pozorováními P 1 a P 2 uběhl. Vzhledem k transcendentnosti Keplerovy 

rovnice je problém netriviální. 

Ilustrace k Lambertově větě. Máme určit 

dobu, za kterou se planeta přemístí z P 1 do 

P 2. 

Z řešení Keplerovy úlohy víme, že platí 

nt 1 = E 1 − e sin E 1 , nt 2 = E 2 − e sin E 2 , 

kde E 1 a E 2 jsou excentrické anomálie. Odtud 

n∆t = E 2 − E 1 − 2e sin E 2 − E 1 

2 

Pomocí substituce 

cos E 2 + E 1 

. 

2 

g = E 2 − E 1 

2 

to lze upravit do tvaru 

a cos h = e cos E 2 + E 1 

2 

Pro vzdálenosti planety platí 

n∆t =2g − 2sing cos h. (8.16) 

r 1 = a (1 − e cos E 1 ) a r 2 = a (1 − e cos E 2 ) , 

1 Johann Heinrich Lambert se zabýval vedle mechaniky také optikou a termodynamikou. V 

matematice dokázal roku 1768 iracionálnost čísla π, jako první se systematicky zabýval studiem 

hyperbolických funkcí.


odtud je 

takže platí 

r 1 + r 2 =2a − 2ea cos E 2 − E 1 

2 

cos E 2 + E 1 

, 

2 

r 1 + r 2 =2a (1 − cos g cos h) . (8.17) 

Konečně pro vzdálenost s z geometrického významu excentrické anomálie platí 

Tuto rovnici upravíme do tvaru 

s 2 =4a 2 sin 2 E 2 − E 1 

2 

anebodotvaru 

s 2 = a 2 (cos E 2 − cos E 1 ) 2 + b 2 (sin E 2 − sin E 1 ) 2 . 

sin 2 E 2 + E 1 

2 

s 2 =4a 2 sin 2 E 2 − E 1 

2 

µ 

+ b 2 sin 2 E 2 − E 1 

2 

1 − e 2 cos 2 E 2 + E 1 

2 

cos 2 E 2 + E 1 

2 

což můžeme přepsat pomocí výše definovaných parametrů g a h jako 

 

, 

s =2a sin g sin h. (8.18) 

Sečtením a odečtením rovnic (8.17), (8.18) a známých trigonometrických vzorců 

dostaneme 

cos (h ± g) =cosg cos h ∓ sin g sin h =1− r 1 + r 2 

2a 

Odtud veličiny λ 1 = h + g a λ 2 = h − g splňují rovnice 

cos λ 1 =1− r 1 + r 2 + s 

2a 

a 

∓ s 

2a . 

cos λ 2 =1− r 1 + r 2 − s 

, 

2a 

takže podle (8.16) spočteme hledaný časový interval ∆t zrovnice 

n∆t = λ 1 − λ 2 − 2sin λ 1 − λ 2 

2 

cos λ 1 + λ 2 

2 

=(λ 1 − sin λ 1 ) − (λ 2 − sin λ 2 ) . 

Těmito vztahy je problém vyřešen, poslední rovnice přitom představuje hledaný 

Lambertův vzorec. 

Pro hyperbolickou dráhu bychom dostali podobný vzorec 

kde 

n∆t =(sinhλ 1 − λ 1 ) − (sinh λ 2 − λ 2 ) ,


cosh λ 1 =1+ r 1 + r 2 + s 

2 |a| 

a 

cosh λ 2 =1+ r 1 + r 2 − s 

. 

2 |a| 

Pro parabolickou dráhu je e → 1 a a →∞, vzorce se výrazně zjednoduší 

∆t ≈ 1 ¡ λ 

3 

6n 1 − λ 3 ¢ 

2 , 

kde 

r r 

r1 + r 2 + s 

r1 + r 2 − s 

λ 1 ≈ 

a λ 2 ≈ 

. 

a 

a 

Po dosazení a malé úpravě tak dostáváme Eulerův vzorec 

∆t ≈ 1 h 

(r 1 + r 2 + s) 3/2 − (r 1 + r 2 − s) 3/2i . 

6 

8.2.8 Laplace-Runge-Lenzův vektor 

Při zkoumání Keplerovy úlohy jsme využili zákonů zachování, tedy integrálu energie 

a momentu hybnosti. Ukazuje se, že existuje ještě jeden nezávislý integrál pohybu, 

který objevil roku 1799 Pierre-Simon Laplace a ten nyní najdeme. Pohyb planety 

je popsán Newtonovou pohybovou rovnicí 

ṗ = − κmM S 

r 3 r. 

Spočtěme nejprve derivaci součinu p × L. Vzhledem k tomu, že L = r × p se 

zachovává, dostaneme hned 

d 

dt (p × L) =ṗ × L = −κmM S 

r 3 r × (r × p) = κm2 M S 

£ r 2 

r 3 v− (r · v) r ¤ . 

Nyní se podívejme na derivaci jednotkového vektoru r/r. Derivováním dostaneme 

d 

³ r 

´ 

= v µ 

dt r r + r − 1 

r 

r 2 r · v = 1 £ r 2 

r 3 v− (r · v) r ¤ . 

Porovnáním obou výsledků jezřejmé, že vektor 

A = p × L − κm 2 r 

M S 

r 

je v čase neměnný. Tento integrál se nazývá Laplace-Runge-Lenzův vektor 

nebo stručněji Laplaceův vektor. 

Snadno se ukáže, že Laplaceův vektor A je kolmý na L aleží tudíž vrovině 

trajektorie planety. Skutečně platí 

A · L =(p × L) · L − κm 2 r 

M S · (r × p) =0. 

r


Vektor A má totiž směr rovnoběžný s vektorem −→ CP, kde C je silové centrum a P 

je pericentrum. Skutečně, když dosadíme za r P a v P , máme 

A = mv P × (r P × mv P ) − κm 2 M S 

r P 

r P 

= m 2 v 2 P r P − κm 2 M S 

r P 

r P 

, 

nebo t , r P a v P jsou v pericentru vzájemně kolmé, odtud dostaneme 

µ v 

A = m 2 2 

r P P − κM 

S 

r P rP 

2 r P , 

přičemž vždy platí 

v 2 P 

r P 

− κM S 

r 2 P 

> 0. 

Moment hybnosti L = r × p jekolmýkrovině 

dráhy planety, zatímco Laplaceův vektor A leží 

vrovinětrajektorieamásměr spojnice SP (tj. 

přímky apsid). 

Konečně, spočtěme ještě skalárnísoučin 

kde jsme dosadili za 

A · r =(p × L) · r − κm 2 M S r = L 2 − κm 2 M S r, 

(p × L) · r =(r × p) · L = L 2 . 

Vzhledem k tomu, že úhel mezi vektorem A a r představuje přímo azimut φ, platí 

také A · r = Ar cos φ, aprotomusíbýt 

Ar cos φ = L 2 − κm 2 M S r. 

Odtud už máme hned rovnici trajektorie planety 

1 

r = κm2 M S + A cos φ 

L 2 , 

znížjezřejmé, že jde o kuželosečku 

1 

r = 1 (1 + e cos φ) 

p 

s parametrem p = L 2 /κM S m 2 a excentricitou e = A/κM S m 2 .


8.3 Umělé satelity a kosmické sondy 

8.3.1 První kosmická rychlost 

Již Newton zkoumal, jak by se měnil pád koule vystřelené horizontálně zděla na 

věži o výšce H nad zemským povrchem, kdybychom zvyšovali počáteční rychlost 

koule. Galileo ukázal, že pro malé rychlosti v by se koule pohybovala po parabole 

a na zem by dopadla za čas 

přitom by doletěla do vzdálenosti 

t 0 = p 2H/g, 

D = vt 0 = v p 2H/g. 

Trajektorie dělové koule při zvyšování rychlosti. 

Kdybychom rychlost koule dále zvyšovali, dopadala by koule dál a dál od věže, 

až bysepočalo výrazněji projevovat zakulacení povrchu Země. Při určité rychlosti 

by koule padala k Zemi právě tak rychle, jak rychle by pod ní povrch Země ubíhal. 

To by nastalo právěvtomokamžiku, kdy by se křivost dráhy koule rovnala křivosti 

povrchu Země. A protože poloměr křivosti dráhy koule při vodorovném vrhu je 

r = v 2 /g apoloměr Země jeR Z , dostaneme z podmínky r = R Z rychlost 

v I = p r 

gR Z = κ M Z 

≈ 7.9km/ s . (8.19) 

R Z 

Tato rychlost se nazývá první kosmickou rychlostí a je to nejmenší rychlost, 

kterou musíme satelitu udělit, aby nespadl zpět na povrch Země. Pochopitelně, zde 

neuvažujeme odpor atmosféry. 

První kosmickou rychlost můžeme pohodlně získat také úvahou, že koule bude 

obíhat kolem Země po kruhové dráze o poloměru R Z , pokud bude mít takovou 

rychlost v I , že jeho dostředivé zrychlení a = vI 2/R Z bude právě rovno tíhovému 

zrychlení g. Odtud opět dostaneme vzorec (8.19). 

Oběžná doba satelitu, případně kosmické lodi, obíhající kolem Země jetedy 

rovna 

T = 2πR Z 

v I 

=2π 

s 

R Z 

g 

=2π s 

Jestliže sem dosadíme za hmotnost Země výraz 

M Z = 4 3 πρ ZR 3 Z, 

R 3 Z 

κM Z 

≈ 83 min .

8.3. UMĚLÉ SATELITY A KOSMICKÉ SONDY 387 

dostaneme pro oběžnou dobu překvapivě vzorec 

s 

3π 

T = , 

κρ Z 

podle kterého nezávisí perioda oběhu satelitu na velikosti planety, ale jen na její 

střední hustotě ρ Z ! Zoběžné doby nízkoletících satelitů můžeme naopak spočítat 

hustotu planety podle vzorce 

ρ = 

3π 

κT 2 . 

ReálnésatelitymusíobíhatZeminadatmosférou,tedyvevýškáchnad200 km . 

Má-li satelit obíhat ve výšce H, bude poloměr jeho kruhové dráhy r = R Z + H. 

Dostředivá síla na kruhové oběžné dráze se musí rovnat přitažlivé síle gravitační, 

odtud je potřebná kruhová rychlost satelitu rovna 

v K = 

r 

κ M Z 

r 

= 

r 

M Z 

κ 

R Z + H ≤ v I. 

Kruhová rychlost je tedy vždy menší než první kosmická rychlost. 

8.3.2 Obecná dráha satelitu 

Vra , tmesezpátkykNewtonovudělu. Jestliže vystřelíme dělovou kouli rychlostí v 0 

horizontálně vevzdálenostir 0 = R Z + H od středu Země, pak moment hybnosti 

koule je roven 

a energie koule je rovna 

L = mr 0 v 0 

E = 1 2 mv2 0 − κ mM Z 

r 0 

= 1 2 m ¡ v0 2 − 2vK 

2 ¢ 

. 

Pro excentricitu její dráhy platí vzorec (8.10), jestliže tam dosadíme za L a E podle 

posledních dvou vzorců, dostaneme po úpravě výsledek 

e = ¯ 

¯1 − v2 0 

¯ , (8.20) 

v 2 K 

kde 

r 

v K = κ M Z 

r 0 

je kruhová rychlost příslušná dané vzdálenosti r 0 od středu Země.


Závislost excentricity e avelképoloosya dráhy 

koule na její počáteční rychlosti v 0.Všimněte 

si dvou významných bodů v 0 = v K, kde je 

trajektorií kružnice a v 0 = √ 2v K , kdejetrajektorií 

parabola. 

Velká poloosa dráhy se najde ze vzorce (8.11) 

r 0 

a = 

2 − v0 2 . (8.21) 

/v2 K 

Pro v 0 > √ 2v K vychází poloosa a záporná, elipsa tedy přechází v hyperbolu. 

Parametr p však zůstává kladný a stále monotónně rostespočáteční rychlostí 

koule. Parametr p se spočte pohodlně ze vzorce (8.9), odtud po dosazení za orbitální 

moment L najdeme 

v0 

2 p = r 0 

vK 

2 . 

Parametr p je na obrázku zobrazen pro každou trajektorii kvadraturou, tj. úsečkou 

SP, která je kolmá na vertikálu AS. Vzorec je možno přepsat také do tvaru 

v 2 0 

p = v2 K 

r 0 

= g, 

zněhož jezřejmé, že parametr p má význam poloměru křivosti trajektorie koule 

ve vrcholu A dráhy. 

Trajektorie koule v závislosti na počáteční 

rychlosti v 0. 

Nyní provedeme stručnou diskuzi těchto výsledků. Pro malé rychlosti bude e → 

1 a a → r 0 /2. Dráhoukoulebudevelmivýstředná elipsa, téměř parabola AS, jak 

věděl již Galileo. Pro v 0


Dráhou koule bude parabola a jde o pohyb druhou kosmickou rychlostí. Konečně 

pro v 0 > √ 2v K bude excentricita větší než jedna e > 1 a velká poloosa bude 

záporná a


světlo, a proto bude její povrch absolutně černý. Černou díru není možno pozorovat, 

její existenci může potvrdit jen její gravitační působení na okolní tělesa. 

Popis černé díry nevystačí s Newtonou teorií gravitace, musí se použít Einsteinova 

teorie relativity. Poloměr černé díry přesto Newtonova teorie dokáže přesně 

předpovědět. Jestliže úniková rychlost z povrchu černé díry je rovna rychlosti světla 

r 

v II = 2κ M R = c, 

pak odtud poloměr černé díry musí být 

R = 2κM 

c 2 . 

Stejný výsledek pro poloměr černé díry, přesněji pro poloměr jejího horizontu událostí, 

plyne z teorie relativity. Nazývá se Schwarzschildův poloměr a odvodil jej 

již roku 1916 Karl Schwarzschild. Pro Slunce vychází tento Schwarzschildův 

poloměr asi 3km a pro Zemi asi 9mm. Skutečné rozměry těchto těles jsou tedy 

velmi vzdálené parametrům černé díry. 

8.3.6 Třetí kosmická rychlost 

Země obíhá kolem Slunce přibližně po kruhové dráze. Její rychlost najdeme jako 

příslušnou kruhovou rychlost podle vzorce 

r 

v IS = κ M S 

≈ 30 km / s . 

r S 

Tutorychlostnajdemetakétak,že využijeme znalosti o délce oběžné dráhy a délce 

oběžné doby Země kolem Slunce. Zřejmě je 

v IS = 2πr S 

T 

≈ 30 km / s, 

kde r S ≈ 1AU≈ 1.5×10 8 km je vzdálenost Země odSlunceaT ≈ 1 rok je perioda. 

Pokud bychom chtěli, aby Země opustila sluneční soustavu, museli bychom ji udělit 

rychlost v IIS takovou, aby se mohla vzdálit do nekonečna po parabolické dráze, 

tedy jakousi druhou kosmickou sluneční rychlost. Zřejmě platí 

v IIS = v IS 

√ 

2 ≈ 42 km / s . 

Pokud ji budeme urychlovat ve směru její nynější obvodové rychlosti v IS , stačí jí 

udělit dodatečnou rychlost 

v IIS − v IS ≈ 12 km / s . 

Totéž platí pro kosmické sondy, které chceme vyslat pryč ze sluneční soustavy. 

Pokud bychom naopak chtěli poslat umělou kosmickou sondu ke Slunci, museli 

bychom ji zpomalit na nulovou rychlost a ona by pak volným pádem dopadla na


Slunce. K tomu je zapotřebí dodat brzdící rychlost v IS ≈ 30 km / s . Jak vidíme, 

je tato rychlost 2. 5× vyšší než rychlostpostačující k opuštění sluneční soustavy. 

Z toho paradoxně plyne,že je energeticky mnohem obtížnější dostat se ke Slunci, 

než uniknout z jeho přitažlivosti pryč. 

Nejmenší rychlost, která kosmické sondě dovolí opustit sluneční soustavu, se 

nazývá třetí kosmická rychlost. Kdyby se sonda nacházela ve stejné vzdálenosti 

od Slunce, jako se nachází Země, potřebovalabykopuštění gravitačního pole Slunce 

rychlost v IIS ≈ 42 km / s . Protože sondu vypustíme ze Země, která obíhá kolem 

Slunce rychlostí v IS ≈ 30 km / s, stačí jí udělit dodatečnou rychlost v IIS − v IS ≈ 

12 km / s . Alezevšehonejdříve musíme udělit sondě druhou kosmickou rychlost, 

aby se dostala z dosahu gravitace Země. Celková požadovaná energie je tedy dána 

součtem 

v 2 III = v 2 II +(v IIS − v IS ) 2 . 

Odtud pro třetí kosmickou rychlost máme hodnotu 

8.3.7 Gravitační asistence 

v III ≈ 16.6km/ s . 

Kosmonautika je velmi drahá, k urychlení každého užitečného kilogramu sondy až 

na třetí kosmickou rychlost spotřebujeme zhruba tunu nejkvalitnějšího paliva. Pokud 

by existovala možnost, jak sondu urychlit levněji,mohlobytokosmautiku 

výrazně zlevnit. Jedna taková možnost skutečně existuje a nazývá se gravitační 

asistence. Spočívá v tom, že sondu urychlí gravitační pole pomocné planety. Pokud 

sonda proletí kolem planety dostatečnou rychlostí ∆v, bude se pohybovat po 

hyperbolické dráze a svůj směr může změnit téměř o180 ◦ .Alespoň tak to vypadá 

zpohledupomocnéplanety.Protože planeta se sama pohybuje rychlostí v 2 kolem 

Slunce a sonda se blížíkplanetěrychlostív 1 vzhledem ke Slunci, je relativní 

rychlost sondy vzhledem k planetě ∆v = v 1 − v 2 . Po zachycení sondy a popsaném 

manévru je sonda odmrštěna planetou v opačném směru, má tedy rychlost −∆v 

vzhledem k planetě a vzhledem ke Slunci bude mít sonda rychlost 

v 0 1 ≈ v 2 − ∆v =2v 2 − v 1 . 

Výsledkem manévru je urychlení sondy ve směrupohybuplanetyo 

v 0 1 − v 1 ≈ 2(v 2 − v 1 ) . 

Gravitační asistence se využívá například k urychlení sond směřujících do vzdálených 

oblastí sluneční soustavy. Sonda, která ztrácí rychlost tím, jak se vzdaluje 

od Slunce, získá přesným navedením své dráhy ke vhodné planetě až dvojnásobek 

rozdílu její orbitální rychlosti a rychlosti sondy. Například Jupiter může urychlit 

sondu až o11.4km/ s. Urychlená sonda pak může pokračovat dál a také znatelně 

rychleji ve své pouti do hlubin vesmíru.


Sonda odstartovala ze Země Z, a pokud se 

potká v místě S s Jupiterem, dojde k jejímu 

urychlení z rychlosti v 1 ≈ 7.4km/ s na 

v1 0 ≈ 18.8km/ s . 

Označme r 1 ≈ 1AU vzdálenost Země odSluncear 2 ≈ 5.2AU vzdálenost 

Jupitera od Slunce. Pro rychlost Jupitera pak platí 

v 2 = 

r 

κM 

r 2 

≈ 13.1km/ s . 

Pro rychlost kosmické sondy, která se blížíkJupiteru,platí 

s µ 2 

v 1 = κM − 1 r 2 a 

= v 2 

r 

2r1 

r 1 + r 2 

≈ 7.4km/ s, 

nebo , t sonda se pohybuje po eliptické dráze s velkou poloosou 

a = 1 2 (r 1 + r 2 ) ≈ 3.1AU. 

Jupiter je tedy schopen urychlit sondu na rychlost 

v 0 1 =2v 2 − v 1 ≈ 18. 8km/ s . 

Tato rychlost je větší než únikovárychlost18.5km/ s ze slunečnísoustavyzoběžné 

dráhy Jupitera, a proto popsaný mechanismus skutečněumožňuje vystřelovat sondy 

do mezihvězdného prostoru. 

Příklad 8.2 Popište parametry letu sondy ze Země na Venuši. Poloměr dráhy Venuše je r V = 

0. 723 AU aZemě r Z = 1. 000 AU. 

Řešení: Energetickynejvýhodnější je dráha, která se v perihéliu dotýká oběžné dráhy Venuše 

avaféliuoběžné dráhy Země. Platí tedy r 1 = r V a r 2 = r Z. Odtud je 

a = 1 (rZ + rV ) ≈ (0.723 + 1) /2 =0. 862 AU 

2 

a 

rZ − rV 

e = ≈ 0. 161. 

r Z + r V 

Pokud jde o rychlosti 

r s 

κM 1 + e 

v 1 = 

a 1 − e = 2κMr Z 

≈ 37. 8km/ s, 

r V (r Z + r V ) 

r s 

κM 1 − e 

v 2 = 

a 1 + e = 2κMr V 

≈ 27. 4km/ s . 

r Z (r Z + r V )


Aby se sonda dostala na tuto dráhu, musí po opuštění gravitačního pole Země zpomalit z 

29. 9km/ s, což je orbitální rychlost Země kolem Slunce, na 27. 4km/ s . Doba letu sondy je 

polovinou oběžné periody T, která je podle třetího Keplerova zákona 

t = 1 2 T = 1 µ 3/2 

a 

2 T Z ≈ 0. 400 roku ≈ 146 dní. 

r Z 

Příklad 8.3 Za předpokladu, že planeta obíhá po eliptické dráze s velkou poloosou a a excentricitou 

e, spočtěte jen za pomoci zákonů zachování energii E amomenthybnostiL planety, 

rychlost planety v perihéliu v 1 avaféliuv 2 a rychlost planety v ve vzdálenosti r od Slunce. 

Řešení: Protože se planeta pohybuje po elipse, je vzdálenost planety od Slunce v perihéliu 

rovna r 1 = a (1 − e) avaféliur 2 = a (1 + e). Ze zákona zachování momentu hybnosti 

L = mr 1v 1 = mr 2v 2 

vyjádříme rychlost v aféliu 

1 − e 

v 2 = v 1 

1 + e . 

Nyní dosadíme do zákona zachování energie 

E = 1 2 mv2 1 − κmM = 1 r 1 2 mv2 2 − κmM 

r 2 

za r 2 a v 2, po úpravě odtud dostaneme vzorec 

r 

pro rychlost planety v perihéliu 

κM 

v 1 = (1 + e). 

r 1 

Dosadíme za r 1 a v 1 do vzorce pro energii a dostaneme 

E = 1 2 mv2 1 − κmM = − κmM 

r 1 2a . 

Ze zákona zachování energie 

pak snadno dostaneme vzorec 

1 

2 mv2 − κmM 

r 

s 

v = κM 

= − κmM 

2a 

µ 2 

r − 1 a 

 

aodtud 

r r 

κM 1 + e 

κM 

v 1 = 

a 1 − e , v 1 − e 

2 = 

a 1 + e . 

Pro orbitální moment pak dostaneme 

L = mr 1v 1 = m p κMa(1 − e 2 )=m p κMp. 

Příklad 8.4 Pomocí integálů pohybuE a L vyjádřete velkou poloosu a a excentricitu e planety. 

Řešení: Použijeme výsledky předchozí úlohy 

E = − κmM a L = m p κMa(1 − e 

2a 

2 ), 

odtud pro poloosu a excentricitu dostaneme 

a = − κmM 

2E 

a e = 

r 

1 + 2EL2 

κ 2 M 2 m 3 . 

Příklad 8.5 Spočtěte rychlost satelitu v pericentru a apocentru a periodu oběžné dráhy satelitu, 

znáte-li vzdálenost pericentra r 1 a apocentra r 2. 

Řešení: Ze zadání je zřejmé, že známe také poloosu a excentricitu 

a = 1 2 (r1 + r2) a e = r 2 − r 1 

r 2 + r 2 

.


Odtud jsou rychlosti 

aperioda 

v 1 = 1 r 

κM 2r 1r 2 

, 

r 1 r 1 + r 2 

r s 

κMS 

T =2π =2π 

a 3 

v 2 = 1 r 2 

r 

κM 2r 1r 2 

r 1 + r 2 

8κM S 

(r 1 + r 2) 3 . 

Příklad 8.6 Jestliže světelné paprsky dopadají na povrch tělesa, působí na něj jistým malým 

tlakem. Světelný tlak slunečních paprsků jemožno v principu využít k pohonu kosmické sondy. 

Uvažujte sondu, která obíhá kolem Slunce po kruhové dráze o poloměru r 0. Vjistémokamžiku 

sonda rozprostře velkou plachtu o ploše S a automatika zajistí, aby byla plachta po celou dobu 

orientována kolmo ke slunečním paprskům. Popište pohyb sondy. Úloha je známá jako sluneční 

plachetnice, F. A. Cander 1924. 

Řešení: Sondaseaždookamžiku rozevření plachty pohybuje rychlostí v 0 = p κM/r 0. Po 

rozevření plachy působí na sondu vedle přitažlivé gravitační síly G = κM/r 2 také odpudivý 

světelný tlak p, který klesá se vzdáleností stejně jako gravitace. Tlaková síla je tedy rovna 

T = pS = p 0Sr0/r 2 2 , 

kde p 0 je tlak slunečního záření ve vzdálenosti r 0 od Slunce a S plocha plachty. Celková síla 

působící na sondu je tedy rovna 

F = G − T = κM/r 2 − p 0Sr0/r 2 2 = κM 0 /r 2 . 

Síla má nadále charakter coulombovské síly, takže trajektorií sondy bude kuželosečka. Vliv světelného 

tlaku můžeme chápat jako oslabení gravitační síly Slunce, jako zmenšení její hmotnosti 

z M na 

M 0 = M − p 0Sr0/κ 2


(a) Odporová síla F agravitační síla G působící 

na satelit S. (b) Pokles výstřednosti orbity 

způsobený odporem vzduchu. 

Pohybové rovnice satelitu můžeme vyjádřit v přirozených složkách síly a zrychlení 

mv 2 

m ˙v = −F + G sin θ a = G cos θ, 

ρ 

kde G = κM Z /r 2 je tíha satelitu, F odpor vzduchu, ρ poloměr křivosti dráhy a θ 

sklon dráhy. Z geometrie dále platí tg θ = −ṙ/v. Pro přibližně kruhovouorbituje 

sklon θ malý, pak platí aproximace θ ≈−ṙ/v, ρ ≈ r a pohybové rovnice mají tvar 

m ˙v ≈−F + κM Z θ/r 2 , 

mv 2 ≈ κM Z /r. 

Derivací normálové složky pohybové rovnice dostaneme 2 ˙v/v ≈−ṙ/r, odtud je 

θ ≈−ṙ/v ≈ 2 ˙vr/v 2 . Po dosazení do tečné složky pohybové rovnice dostaneme 

m ˙v ≈ F, nebo t , Gθ ≈ 2m ˙v. Rychlosttedyskutečně rosteúměrně velikosti odporové 

síly F. To však znamená, že platí také vzorec θ ≈ 2F/G. SrostoucímodporemF 

se úhel poklesu θ zvětšuje a pád satelitu se zrychluje. Při stálém θ platí pro výšku 

satelitu 

odtud je doba pádu zhruba 

h ≈ h 0 + ṙt ≈ h 0 − vθt, 

t 0 ≈ h 0 /vθ. (8.22) 

V první aproximaci můžeme počítat hustotu atmosféry podle barometrické fomule 

ρ ≈ ρ 0 e −h/H , 

kde H ≈ 8km je charakteristická výška atmosféry. Skutečná hustota atmosféry 

závisí ovšem výrazně nateplotě, která je dána především denní dobou. Například 

ve výšce 300 km je ve dne hustota vzduchu asi dvakrát a ve výšce 1000 km až 

třicetkrát vyšší než v noci. Také proto mohou být naše další výpočty jen hrubé 

aorientační. Pro satelit o rozměru a a hmotnosti m je podle Newtonova vzorce 

odporová síla F ≈ 1 2 ρv2 a 2 . Úhel klesání je tedy přibližně dán vzorcem 

θ ≈ 2F G ≈ ρv2 a 2 

mv 2 /r ≈ ρ 0a 2 r 

m e−h/H .


Numericky pro satelit o rozměru a ≈ 1 m a hmotnosti m ≈ 100 kg vychází pro 

h 1 ≈ 100 km sklon θ 1 ≈ 0. 2, proh 2 ≈ 200 km je sklon θ 2 ≈ 9 × 10 −7 apro 

h 3 ≈ 300 km je sklon θ 3 ≈ 3 × 10 −12 . Příslušná doba života satelitu na oběžné 

dráze je dána vzorcem (8.22), odtud dostaneme t 1 ≈ 50 sekund, t 2 ≈ 320 dní a 

t 3 ≈ 350 000 let. Z těchto hrubých odhadů jezřejmé, proč musí být výška satelitu 

alespoň dvěstěkilometrůnadpovrchemZemě. Podobný problém však odpadá 

například u Měsíce, který žádnou atmosféru nemá. 

Je-li oběžná dráha eliptická, projeví se odpor vzduchu především v oblasti perigea. 

Pokles rychlosti má za následek pokles excentricity, takže dráha satelitu se 

postupně stává kruhovou. 

Přesný popis vlivu odporu atmosféry je obtížný pro neznalost přesné hustoty 

vzduchu. Odhad zbývající doby života satelitu se proto provádí z měření oběžné 

doby satelitu. Pokud se oběžnádobasatelituzkrátío∆T, pak tomu odpovídá podle 

třetího Keplerova zákona pokles výšky o ∆h =2r∆T/3T. Satelit proto spadne na 

zem za čas 

t 0 ≈ h 0T 

∆h ≈ 3h 0T 2 

2r∆T . 

Pokud například naměříme u satelitu ve výšce h 0 ≈ 200 km nepatrné zkrácení 

oběžné doby o ∆T ≈ 1 s, pak satelit klesne při každém oběhu o výšku ∆h ≈ 800 m . 

Zbývající doba života satelitu pak činí už jent 0 ≈ 15 dní, tj. asi 250 obletů. 

8.3.9 Brzděníkosmickélodivatmosféře 

Nejnebezpečnější manévr kosmických lodí je bezesporu okamžik průletu atmosférou. 

Při neopatrném navedení na brzdnou dráhu může dojít ke shoření lodi nebo 

zabití posádky obrovským přetížením. Na obrázku je zachycen typický průběh 

rychlosti a přetížení kosmické lodi v závislosti na čase. Počáteční rychlost lodi 

v ≈ 8km/ s apřetížení a ≈ 0 m / s 2 (beztížnýstav).Pozapnutíbrzdnýchmotorů 

sesníží rychlost lodi asi o 1 − 2%.Všimněte si, že po zahájení brzdného 

manévru to trvá ještě řádově dvacetminut,neždojdekproniknutílodidonižších 

vrstev atmosféry. Poklesem výšky lodi její rychlost mírně stoupne a lo dsepřemístí 

, 

ještě o dobrou čtvrtinu oběžné dráhy dál od místa, kde byl manévr zahájen. Pak 

během krátkých dvou minut dojde k prudkému nárůstu aerodynamického odporu 

atmosféry a vzniku silného přetížení a ≈ 9g. Během této krátké doby se lo dtéměř 

, 

zastaví a dále padá už jenrovnoměrnou rychlostí odpovídající odporu prostředí. 

Typický průběh rychlosti v apřetížení a kosmické 

lodi při brždění v atmosféře,dolejeuveden 

čas v minutách od zahájení brzdného manévru. 

Všimněte si, že během dvou minut se 

lo d , téměř zastaví a její zrychlení naroste až 

na devítinásobek normálního tíhového zrychlení 

g.


Podívejme se podrobněji na dynamiku brzděnívatmosféře. Předpokládejme lo , d 

o hmotnosti m vnikající rychlostí v 0 do atmosféry pod úhlem α k horizontále. Pro 

hustotu atmosféry předpokládáme barometrickou formuli ρ = ρ 0 e −y/H , kde ρ 0 je 

hustota na povrchu, y je výška měřená od povrchu a H je charakteristická výška atmosféry, 

přitom zhruba platí H ≈ 8km. Pro odpor vzduchu budeme předpokládat 

platnost Newtonova vzorce 

F = 1 2 c xρv 2 S, 

podle něhož roste odpor vzduchu s druhou mocninou rychlosti lodi a lineárně s 

hustotou vzduchu. Pro jednoduchost neuvažujme zakřivení zemského povrchu ani 

tíhu lodi. Pohyb je pak jednodimenzionální a probíhá po přímce určené úhlem 

sklonu θ. Pohybová rovnice lodi je 

dv 

³ 

dt = kv2 exp − y ´ 

, 

H 

kde k = c x Sρ 0 /2m jestálýodporovýsoučinitel. Pro lo d , bez padáku je zhruba 

k ≈ 10 −2 m −1 aprolo d , s padákem je k ≈ 1 m −1 .Lo d , klesá, ale zrychlení směřuje 

proti pohybu, je proto kladné. Vynásobme pohybovou rovnici elementem dráhy 

ds =dy/ sin θ, tak dostaneme 

dv 

³ 

dt ds = vdv = kv2 exp − y ´ dy 

H sin θ . 

Odtud lze odseparovat v a y a rovnici integrovat, dostaneme tak 

· 

v = v 0 exp − 2kH ³− 

sin θ exp y ´¸ 

. 

H 

Lo , d vlétá do atmosféry pod úhlem θ rychlostí 

v 0 . Zkoumáme brzdění kosmické lodi v atmosféře. 

Zrozboruřešení plyne, že rychlost lodi se mění prudce až vjistévýšceabrzdění 

trvá jen relativně krátkoudobu.Důsledkem pak je to, že lo d , je podrobena 

krátkému, ale obrovskému přetížení, které ohrožuje nejen lo d, , ale především její 

posádku. Zpomalení lodi se spočtezevzorce 

a = dv · 

dt = kv2 0 exp − 2kH ³− 

sin θ exp y ´ 

− y ¸ 

. 

H H 

Maximální zpomalení 

a max = v 2 0 

sin θ 

2eH


překvapivě nezávisí na odporovém součiniteli k, tj. ani na tvaru, ani na velikosti 

lodi a je dokonce úplně jedno, zda lo dmánebonemáotevřený , 

padák. Maximálního 

zpomalení dosáhne lo d , ve výšce 

µ 2kH 

y max = H ln , 

sin θ 

která zase nezávisí na velikosti počáteční rychlosti v 0 . Brzdné zpomalení lze snížit 

jen zmenšením sklonu dráhy θ, tj. zvýšením brzdné výšky y max . 

Numericky, pro vlet kolmo do atmosféry θ =90 ◦ rychlostí v 0 =8km/ s vychází 

a max ≈ 150g, kde g je normální tíhové zrychlení. Ke zbrzdění dojde ve výšce y max ≈ 

40 km, brzdění přitom trvá jen 

∆t ≈ v 0 

≈ 5 s, 

a max 

za tu dobu lo durazíasi20 , 

km . Při úhlu θ =5 ◦ bude přetížení ještě stálea max ≈ 

13g, bude trvat 60 s adojdekněmu ve výšce kolem 60 km . 

Rychlost při dopadu lodi na povrch země zdevycházítéměř nulová, protože 

neuvažujeme tíhu. Pokud bychom gravitaci započetli, dostali bychom pro rychlost 

dopadu v ≈ p g/k. Pro lo d , bez padáku vyjde v ≈ 32 m / s, což znamenázničení 

lodi, za použití padáku vyjde rychlost v ≈ 3 m / s . 

Nehomogenita hustoty vzduchu může způsobit rotaci lodi, pokud tato není dostatečně 

stabilizována. Jednoduchý odhad rychlosti rotace zapříčiněné odporem 

vzduchu dává 

ω ≈ 4v 0 cos θ/H ≈ 40 otáček za minutu. 

To se například stalo osudné Vladimíru Michajloviči Komarovovi, kterému 

se roku 1967 zamotal přistávací modul do hlavního padáku. 

Celkové množství tepla, které se třením kosmické lodi během kritické minuty 

o atmosféru uvolní, je zhruba rovno počáteční kinetické energii lodi. Toto teplo je 

schopno ohřát satelit na teplotu 30 000 ◦ C, naštěstí proudění vzduchu zároveň zajiš 

tuje , účinný odvod tepla z povrchu lodi. Přesto je tepelný štít standardní výbavou 

přistávacích modulů kosmických lodí a raketoplánů. 

8.3.10 Pád meteoru 

Meteoroidy jsou tělesa, která vlétají do atmosféry Země z okolního kosmického 

prostoru, kde většinou ve výšce kolem 100 km shoří. Jejich rozměry se pohybují od 

zlomků milimetrůaž po desítky metrů. Jejich rychlost se pohybuje v intervalu 10 až 

70 km / s . Pokud meteoroid zazáří na obloze, hovoříme o meteoru. Pokud meteoroid 

dopadne až na zem, hovoříme o meteoritu. Za jasné noci je možno pozorovat 

na obloze kolem deseti meteorůzahodinu.Vpřípadě meteorických rojůtentopočet 

vzrůstá až na desetinásobek. Meteor jasnější než Měsíc nazýváme bolidem. 

Ročně dopadne na zem kolem 20 tisíc meteoritů, každý z nich je větší než 100 g . 

Menší meteory shořívatmosféře, větší se rozpadají na menší části. Největší známý


meteorit váží 60 tun. Občas dopadne na zem i meteorit větší než sto metrů, takový 

meteorit vytvoří kruhový kráter oprůměru asi jeden kilometr. Kráterů větších než 

kilometr je známo na zemi více než sto, ostatní vlivem eroze již zanikly. Odhaduje 

se ale, že za poslední miliardu let jich muselo vzniknout přes 100 tisíc. Takový 

meteorit se však při dopadu na zem i s okolním materiálem vypaří, a někdy dává 

vzniknout přetaveným tektitům, jakýmijsounapříklad naše vltavíny. 

Po dopadu meteoritu (b) se odpaří tisícinásobek 

hmoty samotného meteoritu. Vzniklý hluboký 

kráter se až následně (c) zanese v důsledku 

eroze. 

Velký meteorit (kometa nebo asteroid) se nestačí v atmosféře vypařit ani zbrzdit 

a dopadne na zem průměrnou rychlostí v 0 ≈ 40 km / s . Tato energie stačí na 

ohřátí hmoty meteoritu o milión stupňů Celsia. Proto se při dopadu odpaří nejen 

samotný meteorit, ale i stokrát větší množstvíokolnípozemskéhorniny.Takvzniká 

typický dopadový kráter, jehož rozměr je zhruba o řád větší než rozměr samotného 

meteoritu. Například meteorit o rozměru sto metrů vytvoří kráter o průměru jeden 

kilometr. Odborníci se domnívají, že zánik dinosaurů před 65 milióny let má na 

svědomí pád asteroidu o průměru asi 10 km . Přitom se uvolnila energie srovnatelná 

s miliónem atomových bomb svržených na Hirošimu. Obrovské množství prachu, 

kterésepřitom dostalo do atmosféry, způsobilo globální ochlazení celé planety a 

následné vymření mnoha druhů živočichů a rostlin. 

Podívejme se nyní na pád malého meteoru v atmosféře. Můžeme k tomu použít 

přibližných vzorců odvozenýchpři studiu brzdění kosmické lodě v atmosféře. 

Meteor vlétá do atmosféry rychlostí v 0 pod úhlem θ k horizontu. Za předpokladu, 

že hustota vzduchu klesá podle barometrické formule, je meteor zbrzděn zhruba ve 

výšce 

µ 

ρ0 a 2 

H 

h ≈ H ln . 

m sin θ 

Zpomalení meteoru je přitom a 0 ≈ v 2 0 sin θ/H, takže brzdění trvá asi t 0 ≈ v 0 /a 0 ≈ 

H/v 0 sin θ a brzdná dráha je dlouhá asi s ≈ v 0 t 0 /2 ≈ H/2sinθ. Doba brzdění ani 

brzdná dráha nezávisí na velikosti meteoru, ovšem výška h, vnížkzbrzdění dojde, 

na velikosti meteoru závisí. Dráha zářícího meteoru na obloze je tedy dlouhá asi 

α ≈ s/h. 

Pro meteor o rychlosti v 0 ≈ 40 km / s vlétající do atmosféry pod malým úhlem 

θ ≈ 5 ◦ vychází zpomalení a 0 ≈ 2000g, doba brzdění t 0 ≈ 2 s a brzdná dráha 

s ≈ 50 km . Pro meteor o typické hustotě 3000kg/ m 3 aprůměru jeden milimetr 

vychází výška brzdění 80 km adélkastopynaoblozeasi30 ◦ , pro meteor o průměru 

jeden centimetr vychází výška brzdění asi 60 km adélkastopynaoblozeasi40 ◦ , 

konečně pro meteor o průměru jeden metr vychází výška brzdění asi 30 km adélka 

stopy na obloze asi 100 ◦ .Větší meteory se v atmosféře prakticky zbrzdit nestačí 

vůbec a dopadnou na povrch Země plnou rychlostí. 

Tepelný a zářivý výkon meteoru je možno odhadnout vzorcem P ≈ mv 2 0 /2t 0.


Meteor o průměru tří milimetrů a hmotnosti m ≈ 1 g zazáří výkonem P ≈ 400 kW 

a meteor o průměru tří centimetrů a hmotnosti m ≈ 1kg výkonem P ≈ 4GW, 

což je výkon obou našich jaderných elektráren dohromady. Tak jasný meteor by 

zazářil na obloze jako velmi jasný bolid, jehož svítivost odpovídá čtyřiceti miliónům 

stowattových žárovek! 

Vzhledem k tomu, že doba brzdění, a tím i doba ohřevu meteoru, trvá jen 

sekundy, musí být meteor dostatečně malý, aby se mohl celý prohřát a odpařit. 

Vzhledem ke konečné tepelné vodivosti λ aměrné tepelné kapacitě c meteoru je 

charakteristický čas ohřevu meteoru o průměru a roven 

τ ≈ mc/aλ ≈ ρa 2 c/λ. 

Pro typický meteor o průměru a ≈ 1mm je τ ≈ 1 s, takže meteor bezpečně celý 

shořívatmosféře. Naopak prohřívání meteoru o průměru 100 mm už trváasitři 

hodiny, takže meteor nestačí během průletuatmosféroushořet. Odpaří se z něj jen 

povrchová vrstva a jádro meteoru dopadne na zem jako meteorit. 

8.4 Gravitační pole 

8.4.1 Silové pole 

Vezměme malé zkušební těleso o hmotnosti m aumís , tujme jej do různých bodů v 

prostoru. Tak zjistíme sílu, která v daném místě nazkušebnítěleso působí. Souhrn 

všech těchto sil nazýváme silovým polem. Jesicepravda,že gravitační síla vzniká 

jen vzájemným působením dvojice těles a obě tělesa jsou nezbytně nutná ke vzniku 

silové interakce, přesto je pojem silového pole velmi užitečný, především pro svoji 

geometrickou názornost. O přijetí koncepce silového pole se zasloužil v polovině 

devatenáctého století především Michael Faraday, který pomocí geometricky 

názorných siločar úspěšně studoval elektrická a magnetická pole. 

Každé silové pole si lze názorně představit pomocí siločar. Siločáry jsou myšlené 

orientované prostorové křivky, které získáme tak, že v každém bodě prostoru 

vyneseme malou šipku orientovanou ve směru vektoru síly a všechny tyto šipky 

pospojujeme. Směr siločáry určuje v každém bodě směr silového působení a hustota 

siločar intenzitu silového působení v daném místě. Každým bodem prochází 

vždy jen jedna siločára a z definice se siločáry nikde nemohou křížit ani protínat. 

Rovnice siločar silového pole závisí jen na směru silového pole F 0 = F/F a nezávisí 

na velikosti F = |F| silového pole. Tečný vektor siločáry je tedy roven vektoru F 0 

a rovnice siločar je dána předpisem 

dr 

ds = F0 , 

kde s je přirozený parametr siločáry. Tuto rovnici je možno přepsat rovněž do 

složkového tvaru 

dx 

F x 

= dy 

F y 

= dz 

F z 

.

8.4. GRAVITAČNÍ POLE 401 

Podle tvaru siločar rozlišujeme homogenní silové pole nebo radiální (centrální) 

silové pole. Homogenní silové pole dostaneme v případě, že síla je všude stejná, 

jako je tomu například v zemském tíhovém poli. Zde je F 0 = g 0 , takže rovnice 

siločar budou 

r = a + g 0 s, 

jde tedy o vertikální přímky ve směru tíhového zrychlení. Radiální silové pole 

vzniká v okolí hmotného bodu, podle gravitačního zákona má síla centrální směr 

F 0 = −r 0 , kde r 0 = r/r, rovnice siločar mají tedy tvar r = r 0 s. Siločáry centrálního 

silového pole jsou tedy přímky směřující do zdroje pole. V důsledku přitažlivého 

charakteru gravitace vycházejí siločáry vždy z nekonečnaakončí ve zdrojích gravitačního 

pole. 

Homogenní a radiální silové pole. 

Příklad 8.7 Najděte rovnice siločar v případě poleF = k (x, y, 2z) . 

Řešení: Zdefinice je 

dx 

x = dy 

y = dz 

2z , 

odtud jsou rovnice siločar pole r = ¡ x 0s, y 0s, z 0s 2¢ , jde zřejmě oparaboly. 

8.4.2 Princip superpozice 

Podle Newtonova gravitačního zákona působí každé hmotné těleso na tělesa ve svém 

okolí gravitační silou F G . Pokud na těleso působí současně přitažlivost dvou nebo 

více těles, jejich silové působení se sčítá stejně, jako se sčítá současné působení 

ostatních sil v mechanice a tyto síly se navzájem neovlivňují. Tuto zkušenost s 

gravitační silou vyjadřuje princip superpozice: 

Gravitační silové působení několika hmotných bodů na zkušební těleso 

se dostane jako vektorový součet silových působení všech těles 

působících nezávisle od sebe. 

Princip superpozice. Gravitační síla F = F 1 + 

F 2 je rovna součtu sil, jimiž jepřitahováno těleso 

m ke každému z těles M 1 a M 2 nezávisle 

na sobě.


Pokud tedy na zkušební těleso (hmotný bod) o hmotnosti m působí současně 

přitažlivá síla od několika těles o hmotnostech M k , pak pro výslednou gravitační 

sílu platí podle principu superpozice 

F G = X k 

F k = − X k 

κ mM k 

rk 

3 r k , (8.23) 

kde r k jsou vzdálenosti jednotlivých těles M k od zkušebního tělesa m. Pro lepší 

odlišení těles vytvářejících gravitační pole budeme jejich hmotnosti značit velkým 

písmenem, zatímco hmotnost zkušebního tělesa, které se v tomto poli pohybuje, 

budeme značit nadále malým písmenem. Podobně jsmejiždříve rozlišovali hmotnost 

planety m a hmotnost Slunce M S nebo hmotnost satelitu m ahmotnostZemě 

M Z . 

8.4.3 Intenzita gravitačního pole 

Síla a silové pole je pro každé zkušební těleso jiné. Protože výsledná gravitační síla 

je vždy úměrná hmotnosti zkušebního tělesa m, jak je to vidět z rovnice (8.23), je 

možno definovat intenzitu gravitačního pole nezávisle od vlastností zkušebního 

tělesa. Definujeme ji jako sílu gravitačního pole vztaženou na jednotku hmotnosti 

zkušebního tělesa 

K = F G 

m . 

Vzhledem k principu superpozice platí pro soustavu těles 

K = X k 

K k = − X k 

κ M k 

rk 

3 r k . 

Jednotkou intenzity gravitačníhopolejezřejmě N / kg . Známe-li intenzitu gravitačního 

pole, snadno spočteme sílu 

F G = mK, 

kterou bude působit pole na zkušební těleso o hmotnosti m. 

Centrální gravitační pole kolem sférického tělesa, 

siločáry a ekvipotenciální hladiny.


Nejjednodušší gravitační pole vytváří osamocený hmotný bod o hmotnosti M. 

Jeho silové pole je popsáno přímo gravitačním zákonem 

K = −κ M r 3 r. 

Všechny siločáry směřují radiálně do bodového zdroje gravitace. V okolí zdroje pole 

se siločáry přirozeně zahuš tují, , což znamená, že je tam pole nejsilnější. 

Siločáry a ekvipotenciální plochy gravitačního 

pole dvou stejně hmotnýchbodů. Všimněte si, 

že siločáry jsou v každém bodě kolmékekvipotenciálním 

plochám. 

Vpřípaděpoledvouhmotnýchbodů M 1 a M 2 jsou již analytické rovnice silokřivek 

příliš složité, omezíme se proto jen na grafické zobrazení silokřivek pole. Na následujících 

obrázcích jsou zobrazena silová pole pro případ M 1 = M 2 a M 1 =2M 2 . 

Siločáry a ekvipotenciální plochy gravitačního 

pole dvou nestejně hmotnýchbodů. Hmotný 

bod vlevo je dvakrát těžší než hmotný bod 

vpravo. 

8.4.4 Potenciální energie 

Silové pole nazýváme konzervativním polem, pokud práce pole po libovolné 

uzavřené křivce je rovna nule, tj. pokud platí 

I 

F G · dr = 0. 

Coulombovské pole tuto vlastnost má, proto je i superpozice coulombovských polí 

konzervativní. Z toho plyne, že gravitačnípolesoustavynehybnýchtěles je konzervativní 

a můžeme v něm definovat potenciální energii U zpráceA potřebné k 

přemístění zkušebního tělesa předpisem 

∆U = U B − U A = A = 

Z B 

A 

−F G · dr.


Potenciální energie fyzikálních polí se obvykle normuje na nekonečno, pak je 

U (∞) =0a 

U (r) = 

Z r 

∞ 

−F G · dr. (8.24) 

Potenciální energie tělesa v obecném tíhovém poli je rovna práci, 

kterou musíme vykonat při přemístění tělesa z nekonečna do daného 

místa. 

Vpřípadě gravitačního pole bodového zdroje M dostaneme pro potenciální 

energii zkušebního tělesa m vzorec 

Z r 

Z r 

U = −F G · dr = κ mM 

∞ 

∞ r 3 r · dr = −κ mM r . 

Izvýpočtu tohoto integrálu je zřejmé, že U nezávisí na integrační cestě. Potenciální 

gravitační energie je vždy záporná, je to obecná vlastnost všech přitažlivých sil. 

Potenciální energie tělesa dostatečně vzdáleného je přitom rovna nule. Potenciální 

energie zkušebního tělesa v gravitačním poli soustavy hmotných bodů M k je podle 

principu superpozice rovna součtu dílčích potenciálních energií 

U = X k 

U k = − X k 

κ mM k 

r k 

. 

8.4.5 Potenciál gravitačního pole 

Všimněte si, že podobně jako síla i potenciální energie závisí lineárně nahmotnosti 

m zkušebního tělesa. Má proto smysl definovat relativní hodnotu potenciální 

energie 

χ = U m = − X k 

κ M k 

r k 

, 

kterou nazýváme potenciál gravitačního pole. Jeho jednotkou je J / kg . Ipro 

gravitační potenciál platí princip superpozice, platí tedy 

χ = X k 

χ k , kde χ k = −κ M k 

r k 

představuje gravitační potenciál jednoho gravitujícího hmotného bodu. 

Všechny body prostoru, které mají stejný potenciál 

χ (r) =konst, 

tvoří plochu, kterou nazýváme ekvipotenciální plochou nebo ekvipotenciální 

hladinou. Podobně jako siločáry i ekvipotenciální plochy nám pomáhají představit


si názorně geometricky tvar konkrétního gravitačního pole. Například ekvipotenciální 

plochy gravitačníhopolehmotnéhobodudostanemezpodmínky 

χ = κ M r 

=konst, odtud r =konst. 

Ekvipotenciální plochy radiálního gravitačního pole jsou tedy soustředné sféry se 

společným středem v místě zdrojepole. 

Potenciální energie a potenciál jsou z definice na celé ekvipotenciální ploše 

stejné. Při přemís tování , tělesa podél ekvipotenciální plochy proto nekonáme žádnou 

práci. Z toho však plyne, že gravitační síla i intenzita gravitačního pole jsou na 

ekvipotenciální plochu vždy kolmé. Siločáry proto protínají ekvipotenciální plochy 

vždy kolmo. 

8.4.6 Vztah mezi potenciálem a intenzitou 

Jestliže definici potenciální energie (8.24) vykrátíme hmotností m zkušebního tělesa, 

dostaneme vzorec svazující potenciál a intenzitu gravitačního pole 

χ = − 

Z r 

∞ 

K · dr. (8.25) 

Potenciál gravitačního pole tedy najdeme integrací přes intenzitu gravitačního pole. 

Pro přírůstek potenciálu platí dχ = −K·dr asoučasně z matematiky pro diferenciál 

jakékoliv funkce platí 

kde výraz 

dχ = ∂χ 

∂x 

dx + 

∂χ 

∂y 

∂χ 

dy + dz = ∇χ · dr, 

∂z 

∇χ = ∂χ µ ∂χ 

∂r = ∂x , ∂χ 

∂y , ∂χ 

∂z 

se nazývá gradient potenciálu χ asymbol∇ se nazývá operátor nabla ∇. Porovnáním 

obou vzorců pro diferenciál dχ a vzhledem k libovolnosti posunutí dr 

odtud máme důležitý výsledek 

K = −∇χ. 

Vzorec je přímou analogií vzorce F = −∇U. 

Intenzita gravitačníhopolejerovnazáporně vzatému gradientu z 

potenciálu gravitačního pole. 

Známe-li potenciál pole, najdeme intenzitu stejného pole celkem snadno pomocí 

gradientu (tj. derivování). Tento postup se velmi často používá, protože výpočet 

skalárního potenciálu je obvykle mnohem jednodušší než výpočet vektorové intenzity, 

která má tři složky. Díky tomu stačí obvykle spočíst jediný integrál namísto 

tří integrálů.


Příklad 8.8 Najděte intenzitu gravitačního pole, je-li zadán potenciál pole χ = 1+x 2 +y 2 +z 4 . 

Řešení: Podle definice je 

K = −∇χ = − ¡ 2x, 2y, 4z 3¢ . 

Příklad 8.9 Ukažte, že 

∇r = r a ∇f (r) = df r 

r 

dr r , 

kde r = p x 2 + y 2 + z 2 . 

Řešení: Protože platí r = √ r · r a ∇ = ∂/∂r, můžeme psát rovnou 

∇r = ∂ ∂r (r · r)1/2 = r r . 

Druhý vzorec plyne ze vzorce pro derivování složené funkce 

∂ df ∂r 

f (r) = 

∂r dr ∂r = df r 

dr r . 

Vzorec dostaneme pochopitelně ipřímým derivováním, protože platí 

∂r 

∂x = ∂ p x 

x2 + y 

∂x 

2 + z 2 = p 

x2 + y 2 + z = x 2 r 

apodobně pro další složky 

∂r 

∂y = y ∂r 

a 

r ∂z = z r , 

složením všech tří výsledků mámeµ ∂r 

∇r = 

∂x , ∂r 

∂y , ∂r 

(x, y, z) 

= = r ∂z r r . 

Podobně platí 

∂f 

∂x = ∂f ∂r 

∂r ∂x = df x 

dr r , 

atedy 

∇f (r) = df ³ x 

dr r , y r , z ´ 

= df r 

r dr r . 

Příklad 8.10 Najděte intenzitu gravitačního pole, je-li zadán potenciál pole 

χ 1 = −κ M a χ 

r 

2 = − 1 2 ω2 r 2 . 

Řešení: Podle definice je µ 

µ 

κM 1 

K 1 = ∇ 

a K 2 = ∇ 

r 

2 ω2 r · r 

Využijeme výsledku předchozí úlohy a pohodlně dostaneme výsledek 

K 1 = d µ κM r 

dr r r = −κ M r r a 3 K2 = ∂ µ 1 

∂r 2 ω2 r · r 

= ω 2 r. 

8.4.7 Gravitační pole obecného tělesa 

Pokud máme spočíst gravitační pole generované spojitě rozloženou hmotou, nahradíme 

jednoduše sumy 

K = − X k 

κ M k 

rk 

3 r k a χ = − X k 

κ M k 

r k 

integrálem a dostaneme 

Z 

K = − 

κ dm 

r 3 r a χ = − Z 

κ dm r .


Pomocí těchto vzorců můžeme spočíst intenzitu a potenciál libovolného gravitačního 

pole. Podíváme se proto na nejjednodušší příklady těles se spojitě rozloženou 

hmotou, jako je sférická slupka nebo homogenní a nehomogenní koule. 

8.4.8 Gravitační pole slupky 

Začněme příkladem gravitačního pole tenké homogenní kulové slupky poloměru R 

ahmotnostiM. Hledáme potenciál 

Z 

χ = − κ dm r 

gravitačního pole slupky v bodě A, který leží ve vzdálenosti a = |SA| od středu 

slupky. Celou sféru rozdělíme na prstence, jejichž všechnybodyX mají od zvoleného 

bodu A stejnou vzdálenost r = |AX| , takže přispívají k potenciálu rovným 

dílem. Abychom však mohli integrovat, musíme vhodně vyjádřithmotnostprstence. 

Z obrázku je zřejmé, že platí S =4πR 2 a dS =2π sin θ dθ, atedy 

Zkosínovévěty současně platí 

diferencováním tohoto vztahu máme 

dm = M S dS = 1 M sin θdθ. 

2 

r 2 = a 2 − 2aR cos θ + R 2 , 

rdr = aR sin θdθ, 

takže vyloučením θ dostaneme vyjádření dm jako funkce r 

dm = M 

2aR rdr. 

Ilustrace k výpočtu intenzity gravitačního pole 

homogenní kulové slupky v bodě A. Slupkamá 

hmotnost M a poloměr R. 

Nyní již můžeme přikročit k elementární integraci, vzdálenost r se měnívintervalu 

a − R až a + R, takže 

χ = − 

Z a+R 

a−R 

κ M 

2aR dr = −κ M a .


Tento výsledek platí za předpokladu, že bod A leží vně sféry,tedyproa ≥ R. 

Intenzita gravitačního pole vně slupky se dostane nejpohodlnějipomocívzorce 

K = −∇χ = −κ M a 3 a, 

kde jen místo r máme vektor a = −→ SA. 

Gravitační pole vně homogenní slupky je stejné jako gravitační pole 

hmotného bodu o stejné hmotnosti ležícího ve středu slupky. 

Pokud by bod A ležel uvnitř slupky, tedy pro a


Za předpokladu, že je sféra homogenní, bude výsledná intenzita rovna 

∆K = κ M µ ∆S1 

S r1 

2 − ∆S 

2 

r2 

2 . 

Zdefinice kuželů je zároveň zřejmé, že obě plochy budou viděny z bodu A pod 

stejným prostorovým úhlem ∆Ω a že tedy platí 

∆S 1 

r 2 1 

Protože však je zároveň θ 1 = θ 2 , bude 

cos θ 1 = ∆S 2 

r 2 2 

cos θ 2 . 

∆S 1 

r 2 1 

= ∆S 2 

r2 

2 , 

aprotovyjde 

∆K =0. 

Gravitační síla od sdružených elementů ∆S 1 a ∆S 2 homogenní slupky se v bodě 

A vzájemně přesně ruší. Uvnitř slupkytedyskutečně žádné gravitační pole nebude. 

Intenzita K apotenciálχ gravitačního pole 

homogenní slupky o poloměru R. 

8.4.10 Gravitačnípoleplnékoule 

Nyní jsme dostatečně připravenikvýpočtu gravitačního pole plné nehomogenní 

sféricky symetrické koule o hmotnosti M apoloměru R. Takovou kouli můžeme 

rozložit do homogenních slupek dM opoloměru r. Připomeňme, že každá slupka 

vytváří pole, které je vně slupky ekvivalentní gravitačnímu poli hmotného bodu 

ležícího ve středu slupky, zatímco uvnitř slupkyjepolenulové. Složením polí všech 

slupek podle principu superpozice dostaneme výsledné gravitační pole koule. 

Ilustrace k výpočtu gravitačního pole plné 

koule o hmotnosti M apoloměru R vbodě 

A. Kouli rozdělíme na tenké sférické slupky o 

poloměru r, hmotnosti dM atlouš tce , dr.


Bod vně koule 

Uvažujme nejprve bod A ležící vně koule ve vzdálenosti a ≥ R od středu koule. V 

tom případě k výslednému poli přispějí všechny slupky, takže platí 

Z 

K = − κdM 

a 3 a = − κM 

a 3 a. 

Podobně propotenciáldostaneme 

Z 

χ = − κdM = − κM a a , 

kde M = R dM je celková hmotnost koule. 

Gravitační pole nehomogenní sféricky symetrické koule je vně koule 

stejné jako gravitační pole hmotného bodu o hmotnosti celé koule, 

který se nachází v místě geometrickéhostředu koule. 

Vzorce platí nejen pro homogenní kouli, ale i pro nehomogenní kouli, jejíž hustota 

ρ (r) se mění se vzdáleností od středu koule. Právě planetyahvězdy (pokud 

zanedbáme jejich zploštění) jsou typickými představiteli takových nehomogenních 

sféricky symetrických těles. Je všeobecně známo,že například Země máželezné 

jádro, jehož hustota je pětkrát vyšší než hustota povrchových vrstev. Je tedy 

zřejmé, že gravitační pole planet a Slunce je možno nahradit gravitačním polem 

hmotných bodů, a tím se výpočty pohybůplanetsamozřejměpodstatně zjednoduší. 

Bod uvnitř koule 

Nyní zkoumejme pole v bodě A ležícím uvnitř koule ve vzdálenosti a < R od 

středu koule. V tom případě k výslednému poli přispějí jen ty slupky, které jsou 

blíže ke středu než uvažovaný bod A. Naopak slupky, uvnitř kterýchbodA leží, k 

výslednému poli nepřispějí. Integrací tedy dostaneme výsledek 

Z a 

K = − κdM κM (a) 

0 a 3 a = − 

a 3 a, 

kde M (a) = R a 

dM je hmotnost všech slupek ležících hlouběji než bodA. 

0 

Závislost intenzity pole na vzdálenosti nemůžeme určit, dokud není známá hustota 

ρ (r) jednotlivých slupek. Například pro homogenní kouli ρ =konstje 

M (a) =ρV = ρ 4 3 πa3 = M a3 

R 3 , 

takže intenzita pole 

K = − κM 

R 3 a = −K a 

R 

R 

roste lineárně sevzdálenostía od středu koule, kde je rovna nule K (0) = 0, až 

na maximální hodnotu K R = −κM/R 2 , kterou dosahuje na povrchu koule a = R.


Také Zemi můžeme považovat v určitém přiblížení za homogenní kouli, intenzita 

gravitačního pole uvnitř Zemějetedydánavzorcem 

K (r) =g r R , 

kde g je tíhové zrychlení na povrchu Země. 

Ke gravitačnímu poli uvnitř nehomogenní sféricky symetrické koule 

přispívají jen ty vrstvy, které leží hlouběji nežbod,vněmž gravitační 

pole zkoumáme. 

Intenzita K apotenciálχ gravitačního pole 

homogenní koule o poloměru R. 

Podobně spočteme potenciál v místě a


Příklad 8.11 Spočtěte gravitační pole uvnitř nehomogenní koule, jejíž hustota od středu klesá 

lineárně podlepředpisu ρ = ρ 0 (1 − r/R) . 

Řešení: Gravitační pole uvnitř kouleje 

κM (a) 

K (a) =− = − κ Z a 

ρ4πr 2 dr = − 1 a 2 a 2 0 

3 πκρ 4R − 3a 

0a = − κM (4R − 3a) a, 

R R4 intenzita pole tedy klesá kvadraticky. Uprostřed koule je K (0) = 0 anapovrchujeK (R) = 

−κM/R 2 , kde 

Z R 

M = 4πρr 2 dr = 1 

0 

3 πρ 0 R3 

je celková hmotnost koule. Potenciál pole je 

Z a 

Z a 

χ (a) =− Kda = χ R − Kda = − κM ¡ 

2R 3 − 2Ra 2 + a 3¢ . 

∞ 

R 

R 4 

Uprostřed koule je χ (0) = −2κM/R anapovrchujeχ (R) =−κM/R. 

Příklad 8.12 Spočtěte gravitační pole uvnitř nehomogenní koule, jejíž hustota od středu klesá 

podle předpisu ρ = A/r 2 . 

Řešení: Gravitační pole uvnitř kouleje 

K (a) =− 

κM (a) 

a 2 

= − κ a 2 Z a 

0 

4πρr 2 dr = − κM 

Ra , 

kde M = R R 

A4πdr =4πAR je celková hmotnost koule. Pole tedy roste směrem do středu 

0 

koule. Potenciál pole je 

Z a 

Z a 

χ (a) =− Kda = χ R − Kda = − κM 

∞ 

R 

R 

− κM 

Ra ln R a . 

POZNÁMKA: Uvažujme sférickou galaxii složenou z miliardy hvězd. Počet hvězd nech tklesá 

, 

podle stejného předpisu ρ = A/r 2 . Jednotlivé hvězdy musí obíhat kolem středu galaxie, z rovnosti 

dostředivého zrychlení a gravitační intenzity dostaneme zajímavý výsledek, totiž že orbitální 

rychlost hvězd nezávisí na jejich vzdálenosti od středu galaxie v = √ Ka = p κM/R = 

konst. Podobné chování hvězd se u galaxií skutečně pozoruje, odtud pak plyne, že rozložení 

hvězdvgalaxiimusíklesatpřibližně sečtvercem vzdálenosti od středu. 

Příklad 8.13 Skrz zeměkouli byl vyvrtán tunel procházející středem Země. Do tunelu spadl 

kámen. Za předpokladu, že Země je homogenní koule, spočtěte, za jak dlouho se kámen vrátí 

zpět. Odpor vzduchu a rotaci Země zanedbejte. 

Popište pád kamene tunelem, který prochází skrz 

naskrz celou zeměkoulí. 

Řešení: Na kámen působí tíhová síla, která slábne podle rovnice 

F = mK = −mg r R . 

Pohybovárovnicekamenejetedy 

¨r + g R r =0,


což je rovnice harmonických kmitů. Řešením úlohy je tedy r (t) =R cos ωt, kde ω = p g/R 

je úhlová frekvence kmitů. Kámen se vrátí přesně zajednuperiodu 

T = 2π r 

R 

ω =2π ≈ 84 min . 

g 

Všimněte si, že jde o stejnou dobu, za kterou satelit obletí Zemi jednou dokola. 

Příklad 8.14 Vyvrtat tunel skrz žhavé a tekuté jádro je technicky nemožné. Zvažte však 

možnost, že vyvrtáme přímýtuneljenvpláštimeziměsty A a B, které jsou vzdáleny od sebe 

na vzdálenost d. Pokudbysedotunelupoložily koleje, vlak by se rozjel v jedné stanici vlastní 

vahou a vyjel by ve stanici druhé a zastavil, aniž by to stálo jakoukoliv energii. Určete, jak 

dlouho by cesta vlaku (bez tření) trvala. 

Přímýtunelmeziměsty A a B má sloužit jako 

metro, které nepotřebuje ke svému pohonu žádnou 

energii. Vlak se rozjede vlivem zemské gravitace. 

Řešení: Na vlak působí tíhová síla G = mgr/R, jejísložka ve směrupohybujeG sin θ, takže 

zrychlení vlaku bude 

a = − g R r sin θ = − g R x. 

Zrychlení nezávisí na úhlu θ avedeopět na rovnici kmitů. Řešení má tvar 

x = d r 

g 

2 cos R t, 

zněhož jezřejmé, že doba jízdy bude rovna polovině periody 

R 

t = πr 

≈ 42 min . 

g 

Stavba takového tunelu by se tedy mohla vyplatit už při vzdálenosti měst nad 100 km . 

Příklad 8.15 Kosmonauti přistáli na asteroidu o průměru d ≈ 10km. Odhadněte gravitaci a 

únikovou rychlost na povrchu asteroidu. 

Řešení: Předpokládejme, že asteroid má tvar koule a homogenní hustotu ρ. Tíhové zrychlení 

na jeho povrchu pak bude 

g = κM 

R = 2πκρ d. 

2 3 

Pro obvyklou hustotu ρ ≈ 3000 kg / m 3 dostaneme g ≈ 4 × 10 −3 m / s 2 . Tíha na povrchu 

asteroidu bude dvaapůltisícekrát menší než jenapovrchuZemě a bude prakticky zanedbatelná. 

Pokud jde o únikovou rychlost r r 

2κM 2πκρ 

v II = 

R 

= d, 

3 

tak ta bude mít velikost asi v II ≈ 6. 5 m / s . To je už dostatečná rychlost k tomu, aby se 

kosmonaut nemusel obávat, že při neopatrném pohybu skončí někde v hlubinách kosmu. Při 

pořádném výskoku na Zemi je možno vyskočit zhruba do výše h ≈ 0.5 m, při odrazu je 

tedy možno dosáhnout rychlosti maximálně v ≈ √ 2gh ≈ 3 m / s . S touto rychlostí by mohl 

kosmonaut na asteroidu vyskočit do výše asi 

d/2 

H = 

vII 2 /v2 − 1 ≈ 1.4km, 

ale pak by se vždy zase vrátil na povrch asteroidu. Jeden skok by trval asi půl hodiny.


8.4.11 Gravitační energie 

Zpředchozího výkladu již víme, že gravitační potenciální energie dvou hmotných 

bodů m 1 a m 2 je dána vzorcem 

U = −κ m 1m 2 

, 

r 12 

kde r 12 je vzdálenost obou těles. Potenciální energie je vždy záporná a jsou-li tělesa 

od sebe nekonečně daleko, je rovna nule. Energie soustavy tří hmotných bodů 

dostaneme jako součet gravitačních energií všech tří párů (1, 2), (1, 3) a (2, 3), tedy 

U = −κ m 1m 2 

− κ m 1m 3 

− κ m 2m 3 

. 

r 12 r 13 r 23 

Zobecněním těchto úvah dostaneme potenciální energii libovolné soustavy hmotných 

bodů 

U = − 1 X 

κ m im k 

, 

2 r ik 

i6=k 

kde faktor 1/2 opravuje skutečnost, že zde sčítáme energii každé dvojice bodů (i, k) 

právě dvakrát. 

Je-li hmota rozložena spojitě, pak nezbývá než sumu nahradit integrálem přes 

veškerou hmotu tělesa 

U = − 1 Z Z 

κ dm 1dm 2 

. (8.26) 

2 r 12 

Pomocí potenciálu je možno výraz pro energii (8.26) přepsat do tvaru 

U = 1 Z 

χdm = 1 Z 

χρdV, 

2 2 

který se mnohem lépe hodí pro výpočty, protože zde máme už jen jeden integrál. 

Například pro homogenní slupku a homogenní kouli o hmotnosti M apoloměru R 

dostaneme (viz příklady na konci kapitoly) 

U = − 1 κM 2 

2 R 

a U = − 3 κM 2 

5 R . 

Gravitační energie tedy roste se čtvercem hmotnosti tělesa a nepřímo úměrně s 

rozměrem tělesa. 

Příklad 8.16 Spočtěte gravitační energii homogenní kulové slupky o hmotnosti M a poloměru 

R. 

Řešení: Využijeme vzorec pro potenciál χ = χ R = −κM/R uvnitř homogenní slupky. Pro 

potenciální energii gravitačního pole pak platí 

U = 1 Z 

χdM = 1 2 

2 

2 χ R M = −κM 2R . 

M


Příklad 8.17 Spočtěte gravitační energii homogenní koule o hmotnosti M apoloměru R. 

Řešení: Použijeme vzorec pro potenciál 

χ = − κM µ3 − a2 

2R R 2 

uvnitř homogenní koule, pro potenciální energii koule pak platí 

U = 1 Z 

χdM = κ M Z R 

µ a 

2 

2 M 4R 0 R − 3 4πρa 2 da 

2 

a po integraci a malé úpravě dostaneme výsledek 

U = − 4π 5 κMR2 ρ = − 3 κM 2 

5 R . 

8.4.12 Gravitační kontrakce 

Gravitační potenciální energie hraje velmi důležitou roli v evoluci kosmických těles. 

Pokud se kosmické těleso gravitačně smrš tuje, , klesá jeho gravitačníenergieatase 

podle zákona zachování energie mění na kinetickou energii. Ta obvykle není navenek 

příliš patrná, protože jde o kinetickou energii jednotlivých atomů tělesa, ale projeví 

se ohřevem tělesa. Teplo, které se uvolní, je rovno rozdílu počáteční a konečné 

gravitační energie 

takže příslušný ohřev tělesa je 

Q = −∆U = U 1 − U 2 , 

∆T = 

Q 

Mc P 

= U 1 − U 2 

Mc P 

, 

kde c P je měrné teplo tělesa při stálém tlaku. 

Například teplo, které se uvolnilo gravitačním kolapsem naší planety z původní 

beztvaré mlhoviny velkého rozměru R 1 ≈∞na současný rozměr R 2 ≈ R Z , způsobilo 

ohřev nitra Země oteplotu 

∆T ≈ κM 

R Z c P 

≈ v2 I 

c P 

≈ 60 000 K . 

Od té doby Země pochopitelně postupně chladne a dnešní teplota uvnitř Zeměje 

jen 5000K . To je však stále teplota postačující k roztavení zemských hornin a 

bohaté tektonické činnosti naší planety. Menší planety, stejně jako náš Měsíc, již 

za miliardy let své existence stačily vychladnout, a jsou proto tektonicky mrtvé. 

Takové planety nemohou mít ani atmosféru, ani volné oceány. Ze znalosti gravitační 

energie je možno odhadnout i tlak uvnitř Země vzorcem 

p ≈ U V ≈ κM 2 

R 4 ≈ 10 11 Pa . 

Pokud se hvězda smrš , tuje a její teplota neroste, pak musí hvězda do okolí vyzařovat 

tepelný výkon, který je roven záporně vzaté derivaci potenciální energie


podle času 

P = − dU 

dt = −3 κM 2 dR 

5 R 2 dt . 

Celkový tepelný výkon, který naše Slunce vyzařuje, se dá vysvětlit pouhým smrš továním 

Slunce o deset centimetrů za den. Slunce by proto mohlo zářit tímto mecha- 

, 

nismem, stejně vydatně jakodnes,počtyřicet miliónů let.Skontrakční hypotézou 

přišel roku 1854 Hermann Helmholz. Tehdy se soudilo, že Země nenístarší 

než dvacet miliónů let,takže Helmholtzova hypotéza se zdála být docela rozumnou. 

Dnes však již víme, že Slunce září nepřetržitě téměř pět miliard let, takže je 

zřejmé, že hlavním zdrojem sluneční energie musí být něco mnohem vydatnějšího, 

nežjegravitační kontrakce. Zdrojem sluneční energie jsou termonukleární reakce 

probíhající v nitru Slunce při teplotách 1.5 × 10 7 K atlacích2 × 10 15 Pa . Ovšem 

kpočátečnímu zažehnutí jaderné fúze bylo teplo z gravitační kontrakce nezbytně 

nutné, bez něj by byly hvězdy navždy jen studenými plynnými koulemi, tak jako 

jimi zůstaly dodnes velké planety naší sluneční soustavy. Jejich smrštění a zahřátí 

nestačilo ke spuštění jaderné fúze. 

8.4.13 Gravitační síla mezi dvěma koulemi 

Nebeská tělesa, hvězdy a planety nejsou hmotnými body, ale obrovskými koulemi. 

Naštěstí přitažlivá síla mezi dvěma středově symetrickými koulemi je stejná jako 

mezi dvěma hmotnými body, které se nacházejí v místech těžiš t , obou koulí. Platí to 

nejen pro homogenní koule, ale i pro nehomogenní koule, jejichž hustota závisí jen 

na vzdálenosti od středu koule. Tato podmínka je naštěstí pro nebeská tělesa dobře 

splněna, a proto v nebeské mechanice vystačíme s představou hmotných bodů. 

Nejen dva hmotné body, ale i dvě nehomogenní sféricky symetrické 

koule o hmotnostech m 1 a m 2 , se přitahují silou 

F = κ m 1m 2 

a 2 , 

kde a je vzdálenost jejich středů. 

Dvě symetrickékoulekonečných rozměrů setedypřitahují stejnými silami, jakýmibysepřitahovaly, 

kdyby se smrskly ve dva hmotné body. Význam zákona si 

uvědomoval již Newton, a proto také otálel s publikací teorie gravitace, dokud jej 

neuměl dokázat. Dokážeme si nyní jeho platnost. 

Ilustrace k odvození přitažlivé síly F 2 mezi 

dvěma středově symetrickými koulemi o hmotnostech 

m 1 a m 2, vzdálenost jejichž středů je 

a.


Budeme počítat sílu F 2 , kterou působí koule vpravo na kouli vlevo. Gravitační 

pole vně prvnístředově symetrickékoulem 1 známe. Je stejné jako pole hmotného 

bodu, který se nachází ve středu S 1 první koule a jeho intenzita je pro r 1 >R 1 

dána vzorcem 

K 1 = −κ m 1 

r1 

3 r 1 , 

kde r 1 představuje polohový vektor obecného bodu vzhledem ke středu koule S 1 . 

Intenzita K 1 působí na všechny elementy dm 2 druhé koule a výsledná síla je podle 

principu superpozice dána jejich součtem. Po dosazení a přeskupení dostaneme 

Z 

Z 

F 2 = K 1 dm 2 = m 1 

−κ dm 2 

r1 

3 r 1 . 

Protože intenzita gravitačního pole od levé koule v bodě S 1 je dána výrazem 

Z 

K 2 = −κ dm Z 

2 

r2 

3 r 2 = κ dm 2 

r1 

3 r 1 , 

kde r 2 = −r 1 , můžeme hledanou sílu přepsat také do tvaru 

F 2 = −m 1 K 2 (S 1 ) . 

Ovšem velikost intenzity gravitačního pole druhé koule již takéznáme,vbodě S 1 

je rovna 

K 2 = −κ m 2 

a 3 a, 

kde a = −−→ S 2 S 1 . Můžeme tedy rovnou napsat výsledek pro sílu 

F 2 = κ m 1m 2 

a 3 a, 

aniž bychom museli integraci skutečně provést. Koule se tedy přitahují stejnou silou 

jako dva hmotné body ležící uprostřed každé z obou koulí a soustře dující , v sobě 

veškerou hmotnost každé z obou koulí. Směr síly je dán spojnicí středů oboukoulí. 

Tím je důkaz hotov. 

8.4.14 Singularity a elementární kulička 

Intenzita gravitačního pole hmotného bodu M je popsána vzorcem 

K = −κ M r 3 r. 

Všimněte si, že pro r → 0 je pole singulární, tj. v bezprostřední blízkosti hmotného 

bodu je gravitační pole nekonečně silné. Také energie gravitačního pole hmotného 

bodu vychází nekonečně velká.


Nekonečna tohoto druhu nemají pochopitelně vefyzicecodělat a jsou jen důsledkem 

přílišné idealizace. Ve skutečnosti totiž nic takového jako hmotný bod neexistuje, 

každé těleso má konečné rozměry a konečnou energii. Jako reálnou částici 

generující gravitační pole můžeme vzít malou elementární homogenní kuličku (jakýsi 

atom) o poloměru R a hmotnosti M. Intenzita gravitačního pole generovaného 

homogenní kuličkou je, jak již víme, vně kuličky rovna 

a uvnitř kuličky 

K = −κ M r 3 r 

K = −κ M R 3 r = −4 3 πκρr, 

kde ρ je hustota hmoty, z níž jekulička tvořena. Pokud to bude potřeba, můžeme 

rozměr a hmotnost elementární kuličky limitně zmenšovat k nule při konečné 

hustotě ρ. V tom případě již žádné singularity nevzniknou. I gravitační energie 

elementární kuličky bude vždy konečná 

U = − 3 5 κ M 2 

R 

= −16 15 π2 κρ 2 R 5 . 

8.4.15 Gaussova a Poissonova věta 

Podobnějakojsmedefinovali gradient pomocí operátoru nabla,můžeme definovat 

divergenci. Výraz 

µ ∂ 

∇ · K = 

∂x , ∂ ∂y , ∂ 

· K = ∂K x 

∂z ∂x + ∂K y 

∂y 

+ ∂K z 

∂z 

nazýváme divergencí vektoru K. Například platí 

∇ · r = ∂x 

∂x + ∂y 

∂y + ∂z 

∂z =3. 

Spočtěme nyní divergenci gravitačního pole elementární kuličky. Vně kuličky je 

divergence pole všude rovna nule 

µ 

r 

∇ · r 

∇ · K = −κM∇ · 

r 3 = −κM r 3 + r · ∇ 1 

r 3 =0, 

nebo t 

, 

∇ · r =3 a ∇ 1 r 3 = −3 r 

r 5 . 

Pouze uvnitř kuličky je divergence pole nenulová a je zde rovna 

∇ · K = − 4 πκρ∇ · r = −4πκρ. 

3


Pokud si uvědomíme, že hustota hmoty vně kuličky je rovna nule, platí poslední 

vzorec jak uvnitř, tak i vně kuličky. 

Reálnou hmotu můžeme poskládat z elementárních kuliček (atomů) a podle 

principu superpozice libovolné gravitační pole můžeme poskládat z jednotlivých 

polí generovaných elementárními kuličkami. Jestliže takto složíme gravitační pole, 

bude v místě, kde se právě nachází kulička M, divergence pole dána pouze hustotou 

této kuličky a ostatní kuličkynanínemajížádný vliv. Vzorec 

∇ · K = −4πκρ 

tudíž platí naprosto obecně anazýváseGaussova věta (v diferenciálním tvaru). 

Často se Gaussova věta uvádí v integrálním tvaru. 

Tok intenzity gravitačního pole uzavřenou plochou je roven −4πκ 

násobku součtu hmotností všech těles uzavřených plochou, vzorcem 

I 

K · dS = −4πκ X m k . 

S 

k 

Pokud za intenzitu dosadíme její potenciál podle předpisu K = −∇χ,dostaneme 

z Gaussovy věty rovnici pro potenciál 

což jePoissonova rovnice 

∇ · ∇χ = ∇ 2 χ =4πκρ, 

∇ 2 χ =4πκρ. 

Rovnici odvodil Siméon Denis Poisson roku 1813. Její řešení už pochopitelně 

známe, obecně mátvar 

Z 

χ (r) =−κ 

ρ (r 0 ) 

dV 0 

|r − r 0 | , 

kde integrujeme přes objem tělesa generujícího gravitační pole. Intenzitu gravitačního 

pole najdeme podle obecného předpisu 

Z 

K (r) =−∇χ (r) =−κ 

ρ (r 0 ) (r − r0 ) 

|r − r 0 | 3 dV 0 . 

8.4.16 Hustota energie gravitačního pole 

Potenciální energie tělesa se spojitě rozloženou hmotou se spočte podle vzorce 

U = 1 Z 

χρdV, 

2


kde integrujeme jen přes místa, kde je součin χρ nenulový. Tento vzorec nyní 

upravíme do tvaru, ve kterém bude vystupovat jen intenzita gravitačního pole K. 

Pokud za ρ dosadíme podle Gaussovy věty, dostaneme 

U = − 1 Z 

χ∇ · KdV. 

8πκ 

Dále vezměme identitu 

χ∇ · K = ∇ · (χK) −∇χ · K 

aintegrujmepřes celý prostor 

Z 

Z 

χ∇ · KdV = 

Z 

∇ · (χK)dV − 

∇χ · KdV. 

Prvníintegrálvpravojemožno pomocí Gaussovy integrální věty převést na integraci 

přes nekonečnou uzavřenou plochu 

Z 

I 

∇ · (χK)dV = χK · dS. 

Snadno lze ukázat, že tento integrál musí být roven nule, protože pro nekonečnou 

sféru poloměru R klesá χ jako R −1 a K jako R −2 , zatímco S roste jen jako R 2 . 

Velikost integrálu je tedy možno odhadnout jako χKS ∼ R −1 , atojdeknule. 

Druhý integrál je roven 

Z 

Z 

∇χ · KdV = − K 2 dV, 

takže pro potenciální energii máme nové vyjádření 

U = − 1 Z 

K 2 dV. 

8πκ 

Integrand 

w = U V = − K2 

8πκ ≤ 0 

je možno interpretovat jako objemovou hustotu energie gravitačního pole. 

Tato hustota je vždy záporná, což je obecná vlastnost všech přitažlivých sil. 

Příklad 8.18 Spočtěte hustotu energie gravitačního pole homogenní slupky o poloměru R a 

hmotnosti M. 

Řešení: Intenzita pole je nenulová jen vně slupky,kdejeK = −κ M . Hustota energie je tedy 

r 2 

w = − K2 

8πκ = − κ M 2 

8π r 4 

a celková energie gravitačního pole je 

Z 

U = wdV = − κ Z ∞ 

M 2 

8π r 4 4πr2 dr = −κ M 2 

2R . 

R

8.5. PROBLÉMDVOUAVÍCETĚLES 421 

Příklad 8.19 Spočtěte hustotu energie gravitačního pole homogenní koule o poloměru R a 

hmotnosti M. 

Řešení: IntenzitapolevněkoulejeK 1 = −κ M auvnitřkouleK 

r 2 

2 = −κ M r. Hustota energie 

R 3 

je tedy 

w 1 = − κ M 2 

8π r , w 4 2 = − κ M 2 

8π R 6 r2 

a celková energie gravitačního pole je 

Z ∞ 

Z R 

U = w 1dV + w 2dV = − 3 5 κ M 2 

R . 

8.5 Problém dvou a více těles 

8.5.1 Problém dvou těles 

R 

0 

Nejjednodušší dynamická úloha v teorii gravitace je problém dvou těles, tj.pohybdvouhmotnýchbodů 

pod vlivem vzájemného gravitačního působení. Označme 

hmotnosti těles m 1 a m 2 a jejich polohy v prostoru r 1 a r 2 . Pohybové rovnice obou 

těles jsou 

m 1 a 1 = F 12 = κm 1m 2 

r 3 r a m 2 a 2 = F 21 = − κm 1m 2 

r 3 r, 

kde r = r 2 − r 1 je relativní vzájemná poloha obou těles. Po vykrácení hmotností 

m 1 a m 2 je možno obě rovniceodečíst a dostaneme jedinou rovnici pro r 

a = − κ (m 1 + m 2 ) 

r 3 r, 

kde a = a 2 − a 1 je relativní zrychlení obou těles. 

Problém dvou těles m 1 a m 2, obětělesa obíhají 

kolem společného těžiště T 

Jestliže oběpohybovérovnicesečteme, dostaneme rovnici pro pohyb společného 

těžiště T obou těles 

m 1 a 1 + m 2 a 2 =(m 1 + m 2 ) a T = 0. 

Zníplyne,že a T = 0 nebo v T = konst, tj. těžiště soustavyjevrovnoměrném 

setrvačném pohybu. Poloha těžiště jepřitomdánaznámýmvýrazem 

r T = m 1r 1 + m 2 r 2 

m 1 + m 2 

,


takže pokud najdeme r, budeme znát i pohyb obou těles 

m 2 

m 1 

r 1 = r T − r a r 2 = r T + r. 

m 1 + m 2 m 1 + m 2 

Stačí tedy vyřešit pohybovou rovnici pro r, kterámátvar 

¨r = − κ (m 1 + m 2 ) 

r 3 r. 

Tato rovnice odpovídá Keplerově úloze, jen hmotnost centrálního tělesa M S je zde 

nahrazena součtem hmotností obou těles m 1 + m 2 . Řešení rovnice tudíž známe, 

relativní pohyb obou těles je popsán stejnými rovnice jako Keplerova úloha. Z toho 

plyne, že obě tělesa obíhají kolem společného těžiště T po sdružených eliptických 

dráhách se stejnými periodami. Pro obě tělesa platí Keplerovy zákony, takže například 

třetí Keplerův zákon má nyní tvar 

a 3 

T 2 = κ (m 1 + m 2 ) 

4π 2 , (8.27) 

kde a = a 1 + a 2 .Polohaoboutěles vůči těžišti soustavy je dána vektory 

R 1 = r 1 − r T = − m 2 

m 1 

r a R 2 = r 2 − r T = r. 

m 1 + m 2 m 1 + m 2 

Pro velké poloosy obou drah proto platí 

a 1 = 

m 2 

m 1 

a a a 2 = a. 

m 1 + m 2 m 1 + m 2 

Problém dvou těles m 1 a m 2, obě tělesa obíhají 

kolem společného těžiště T po eliptických 

dráhách. Společným ohniskem obou elips je těžiště 

soustavy. 

Protože hmotnost Slunce výrazněpřevyšuje hmotnosti planet, je chyba v periodě 

planet, které se dopustil Kepler tím, že neuvažoval pohyb Slunce, i u Jupitera dostatečně 

maláajeřádu 

M J 

≈ 10 −3 . 

M S 

Pro soustavu Země —Měsíc je tento poměr relativně veliký 

M M 

M Z 

≈ 1 

81


anemávesluneční soustavě obdoby.VtétosouvislostiseoZemiaMěsíci mluví 

častojakoodvojplanetě. Pohyb samotné Země kolemtěžiště soustavyZemě— 

Měsíc proto nelze zanedbat. Jde zhruba o kruhový pohyb s poloměrem 4700km a 

periodou 27. 3 dne. 

Upohybudvojhvězd je pohyb obou složek stejně významný. Někdy dochází 

k částečným zákrytům hvězd a tím i k periodickému kolísání jasu dvojhvězdy. Je 

možno měřit i Dopplerovské posuny spekter obou složek. Odtud mohou astronomové 

určit periodu a hmotnost obou složek dvojhvězdy. Nedávno objevili astronomové 

první planety u vzdálených hvězd. Objevili je pozorováním periodických 

změn polohy mateřské hvězdy, která spolu s planetami obíhá kolem společného 

těžiště. 

Příklad 8.20 Astronomové objevili dvojhvězdu, obě jejísložky jsou tvořeny hvězdami o stejné 

hmotnosti, jako má naše Slunce a obíhají kolem společného těžiště popřibližně kruhových 

dráhách. Obě hvězdy jsou od sebe vzdáleny právě o1 AU. Určete periodu oběhu dvojhvězdy. 

Řešení: Podletřetího Keplerova zákona (8.27) platí 

T 2 4π 2 a 3 

= 

κ (m 1 + m = 4π2 a 3 

, 

2) 2κM S 

kde M S je hmotnost Slunce, a protože pro Zemi platí podobně 

TZ 2 = 4π2 a 3 

, 

κM S 

máme hned výsledek T = T √ Z/ 2 ≈ 8. 5 měsíce. 

Příklad 8.21 Za jak dlouho se srazí dvě koule o hmotnostech m 1 a m 2, nacházejí-li se na 

počátkuvkliduvevzdálenostir od sebe? 

Řešení: Obětělesa se budou pohybovat po velmi protáhlé elipse. Podle třetího Keplerova 

zákona (8.27) platí 

T 2 4π 2 a 3 

= 

κ (m 1 + m , 2) 

kde a = r/2 je poloosa relativního pohybu jednoho tělesa vzhledem ke druhému. Doba pádu 

je zároveň rovnapoloviněoběžné doby t = T/2, takže 

s 

t = 

π 2 r 3 

8κ (m 1 + m 2 ) . 

Například pro dvě stejnéolověné koule o průměru 1 m a vzdálené 1 km dostaneme t ≈ 460 

dní. 

Příklad 8.22 Najděte periodu a rychlost rotace soustavy dvou hmotných bodů m 1 a m 2 

obíhající kolem společného těžiště po kruhových drahách. Vzdálenost obou těles je r. 

Řešení: Zdefinice těžiště jepoloměr dráhy prvního tělesa r 1 = rm 2/ (m 1 + m 2) . Tělesa se 

přitahují gravitační silou 

F G = κ m1m2 

, 

r 2 

ta se musí rovnat dostředivé síle 

F D = m 1 ω 2 r 1 = ω 2 r 

m1m2 

. 

m 1 + m 2 

Odtud je 

ω 2 m1 + m2 

= κ a T =2π 

r 3 

s 

r 3 

κ (m 1 + m 2) .


Příklad 8.23 Uvažujte soustavu dvou těles m 1 a m 2 obíhajících kolem společného těžiště T 

po kruhových drahách. Vzdálenost obou těles je r. Vypočtěte hmotnost M 1,jakoubymuselo 

mít nehybné centrum T, aby kolem něj těleso m 1 obíhalo se stejnou periodou. 

Řešení: Zdefinice těžiště je poloměr dráhy prvního tělesa r 1 = rm 2/ (m 1 + m 2) . Tělesa se 

přitahují gravitační silou 

F = κ m1m2 

= κ m1 m 3 2 

r 2 r1 

2 (m 1 + m 2 ) 2 , 

kdejsmedosadilizar = r 1 (m 1 + m 2) /m 2. Tato síla může být chápána jako gravitační síla 

od centra, které je ve vzdálenosti r 1 amáhmotnost 

m 3 2 

M 1 = 

(m 1 + m 2) 2 . 

8.5.2 Problém tří a více těles 

Pohyb tří hmotných bodů podrobených vzájemným přitažlivým silám se nedá vyřešit 

v uzavřeném analytickém tvaru tak jako problém dvou těles, který kompletně 

vyřešil již Johann Bernoulli roku 1710. Příčinou není ani tak počet rovnic, jako 

především skutečnost, že pohybové rovnice jsou nelineární. Právě z tohoto důvodu 

je pohyb tří a více těles analyticky neřešitelný, takže je nutno spoléhat na přibližná 

řešení nebo numerické výpočty. Příkladem komplikované dynamiky tří těles je následující 

obrázek dvou možných trajektorií lehkého tělesa v okolí dvojice těžkých 

těles. 

Typický průběh chaotické dynamiky pohybu 

třetího tělesa kolem dvou stejně těžkých těles. 

Vpřípadě (a) byla energie zkušebního tělesa 

menší než vpřípadě (b). 

8.5.3 Poruchový počet 

Pohyby planet a Měsíce však představují důležitý praktický problém, který je nutno 

řešit. Od 18. století jsou známá přibližná analytická řešení, která využívají poruchového 

počtu. Použitelnost poruchových rozvojů jezaložena na skutečnosti, že vliv 

ostatních planet na pohyb zkoumané planety je mnohem slabší než vliv Slunce. 

Změny elementů oběžných drah planet jsou funkcemi poloh ostatních planet. 

Příslušné rovnice mají tvar Fourierovy řady obsahující stovky poruchových členů 

tvaru 

ȧ 1 = X kl 

C kl cos Ω kl t + S kl sin Ω kl t, 

kde a 1 je studovaný dráhový element planety P 1 ,například velká poloosa, C kl a S kl 

jsou amplitudy poruch, Ω kl = kω 1 +lω 2 jejich frekvence, k, l jsou celá čísla a ω 1 , ω 2 

představuje denní pohyb studované planety a rušící planety. Pro jednoduchost jsme


se zde omezili na jedinou rušící planetu P 2 . Integrací dostaneme periodické řešení 

rovněž vetvaruFourierovyřady 

a = X kl 

C kl 

sin Ω kl t 

Ω kl 

+ S kl 

1 − cos Ω kl t 

Ω kl 

. 

Problém nastane, když seněkterá z frekvencí přibližně rovná nule, tj. pro určitá k 

a l platí 

Ω kl = kω 1 + lω 2 ≈ 0. 

Příslušný člen pak již není periodický, ale sekulární 

C kl 

sin Ω kl t 

Ω kl 

≈ C kl t, 

tj. roste monotónně sčasem. Dráha planety se díky této sekulární poruše soustavně 

odchyluje od původního tvaru či polohy v prostoru. V tom případěhovoříme 

o rezonanci. Důsledkem rezonance může být mezera v pásu asteroidů nebonaopak 

zachycení planety nebo měsíce. Například rezonance typu 1:2, 3:7, 2:5 

a 1:3oběžných dob asteroidů soběžnou dobou Jupitera měly za následek postupné 

odstranění všech asteroidů z jinak homogenně obsazeného širokého pásu 

mezi Marsem a Jupiterem. Takto vzniklé prázdné pásy se nazývají Kirkwoodovými 

mezerami. 

Máme-li být úplně přesní, dokonalá rezonance neexistuje. Existují však rezonance 

s velmi dlouhou periodicitou a velkou amplitudou. V případě rezonance 

Ω kl ≈ 0 je amplituda poruchy C kl /Ω kl mnohem větší než amplituda ostatních 

poruch. Příkladem je rezonance 2:5mezi oběžnými dobami Jupitera a Saturna. 

Výsledná perioda 2π/Ω 25 této poruchy je asi 880 let a amplituda poruchy je asi 

49 0 u Saturna a 21 0 u Jupitera. Saturn se tak vlivem Jupitera na obloze čtyři 

století předbíhá a další čtyři století zase opož duje , oproti Keplerovým zákonům s 

maximální odchylkou až dvacet pět dní. 

Problém tří těles je zkoumán více než 200let,nejvíceseoněj zasloužili Leonhard 

Euler, Joseph Louis Lagrange, Pierre-Simon Laplace v 18. století, 

Urbain-Jean-Joseph Le Verrier, Simon Newcomb, Charles-Eugene Delaunay, 

William Rowan Hamilton, Karl Gustav Jacob Jacobi, George 

William Hill a Henri Poincaré v19.století,Tulio Levi-Civitá a George 

David Birkhoff ve 20. století. Výsledkem jejich bádání byly poruchové rozvoje 

umožňující předvídat polohy planet s dostatečnou přesností v omezeném časovém 

intervalu trvajícím řádově 10 4 let. Ve srovnání s Ptolemaiem to není příliš významný 

pokrok! I dnes platí, snad ještě vícenežtomubylovminulosti,že astronomická 

pozorování jsou daleko před možnostmi teoretických předpovědí. Například 

polohu Měsíce dnes určujeme pomocí laserových dálkoměrů spřesností ±40 cm, 

srovnatelnou přesnost mají předpovědi jeho poloh jen v intervalu asi jednoho tisíce 

let!


8.5.4 Numerická řešení 

Vpřípadě pohybu soustav srovnatelných hmotností, typickým příkladem je soustava 

Země aMěsíc, sekulární poruchové rozvoje přestávají konvergovat a nedají 

se použít. Taktéž vpřípadě rezonancí Ω kl ≈ 0 přestávají mít tyto rozvoje smysl. 

Jediným východiskem se pak stává moderní výpočetní technika a numerické metody 

řešení pohybů planet.Pomocítěchto metod je možno určovat polohy planet 

zhruba na sto miliónů letdopředu. Delší předpovědi není možno získat ze stejného 

důvodu, proč nenímožno předvídat počasí. Řešení nelineárních rovnic je totiž exponenciálně 

citlivé na počáteční podmínky a poruchy. To však znamená, že i naše 

sluneční soustava je velmi nestabilním útvarem, který se neustále dynamicky vyvíjí. 

V delším časovém horizontu tedy není možno zaručit stabilitu dráhy žádné z 

planet, mění se i dráhy měsíců planet a dokonce i jejich počty. 

Podobně jemožno numericky předpovídat vlastní rotaci, případně sklon os planet. 

Výpočty ukazují, že například za dvě miliardy let se vzdálí Měsíc od Země 

natolik, že nastane rezonance s orbitálními poruchami, Měsíc přestane dostatečně 

stabilizovat zemskou osu, následkem čehožjemožno očekávat změny polohy zemské 

osyvintervalu±60 ◦ . To bude mít pochopitelně na planetu nedozírné klimatické 

důsledky. Numerické modely také vysvětlují vznik a stabilitu planetárních prstenců, 

diskovitý tvar a vznik spirálních ramen galaxií a další jevy, které není možno objasnit 

analyticky. 

8.5.5 Speciální řešení problému tří těles 

Roku 1772 zkoumal problém tří těles Joseph Louis Lagrange. Zajímal se o 

pohyb tří těles m 1 ,m 2 a m 3 , které by se gravitačně přitahovaly a zároveň bypři 

pohybu neměnily vzájemné vzdálenosti r 12 ,r 23 a r 31 .Lagrangeukázal,že takový 

pohyb je možný, ale jen za předpokladu, že všechna tři tělesa leží ve vrcholech 

rovnostranného trojúhelníka, tj. platí 

r 12 = r 23 = r 31 = a. 

Všechna tři tělesa pak rotují kolem společného těžiště T úhlovou rychlostí 

ω 2 = κ (m 1 + m 2 + m 3 ) 

a 3 . 

Tři hmotné body rotující kolem společného 

těžiště T udržují vzájemné vzdálenosti, jen 

pokud tvoří vrcholy rovnostranného trojúhelníka.


Lagrangeovy výsledky nyní dokážeme. Hmotný bod bude rovnoměrně rotovat, 

pokud bude v rovnováze přitažlivost od zbývajících těles a odstředivá síla vzhledem 

ktěžišti soustavy. Podmínka silové rovnováhy pro bod m 1 zní 

κm 2 

r 3 12 

r 12 − κm 3 

r31 

3 r 31 + ω 2 r 1 =0. 

Poloha hmotného bodu m 1 vzhledem k těžišti T je 

r 1 = −m 2r 12 + m 3 r 31 

. (8.28) 

m 1 + m 2 + m 3 

Dostaneme ji pohodlně zdefinice těžiště vzhledem k bodu m 1 . Po dosazení (8.28) 

do podmínky pro rovnováhu sil dostaneme po malé úpravě rovnici 

µ κ ω 2 µ κ 

− 

m 2 r 12 = − 

m 1 + m 2 + m 3 

r 3 12 

r 3 31 

ω 2 

m 3 r 31 . 

m 1 + m 2 + m 3 

Vzhledem k tomu, na každé straně rovnice je vektor jiného směru, je možno rovnici 

splnit, jen když budou obě závorky rovny nule. Odtud máme r 12 = r 31 (a cyklickou 

záměnou bychom dostali zbývající relace r 12 = r 23 = r 31 = a) a 

ω 2 = κ (m 1 + m 2 + m 3 ) 

a 3 . 

Přitažlivá síla F 1 je rovna odstředivé síle 

F 1 = m 1 ω 2 κ (m 1 + m 2 + m 3 ) 

r 1 = m 1 

a 3 r 1 . 

Po umocnění (8.28) dostaneme 

p 

m 

2 

r 1 = 2 + m 2 3 + m 2m 3 

a. 

m 1 + m 2 + m 3 

Odtud vyjádříme a adosadímedovzorceproodstředivou sílu a dostaneme 

κ ¡ m 2 2 

F 1 = m + m2 3 + m ¢ 3/2 

2m 3 

1 

(m 1 + m 2 + m 3 ) 2 . 

r1 

2 

Hmotný bod m 1 tedy obíhá rovnoměrně kolem společného těžiště, jakoby by toto 

mělo hmotnost 

¡ ¢ m 

2 

M 1 = 2 + m 2 3/2 

3 + m 2 m 3 

(m 1 + m 2 + m 3 ) 2 . 

Jedna z možných stabilních konfigurací tří těles, 

které budou stále ležet na jediné přímce.


Předtím zkoumal omezený problém tří těles ležících na jediné přímce Leonhard 

Euler. Problém vede na algebraické rovnice pátého stupně. Speciálně pro 

m 1 = m 2 = m a m 3 = M bude třetí těleso ležet přesně uprostřed v těžišti soustavy, 

zatímco první a druhé těleso budou obíhat kolem třetího tělesa ve stejných 

vzdálenostech a úhlovou rychlostí 

ω 2 = 

8.5.6 Orbitální rezonance 

κ (m +4M) 

4a 3 . 

Všechna tělesa ve sluneční soustavě na sebe navzájem působí a ovlivňují své dráhy. 

Toto působení je relativně slabé vzhledem ke gravitační síle Slunce, ale protože trvá 

miliardy let, má viditelné následky. Hlavním výsledkem vzájemného působení jsou 

rezonance v oběžných dobách a dobách rotace těles. Například doby oběhu Jupitera 

a Saturna jsou v poměru 2:5,VenušeaZeměvpoměru 8:13, resp. 8:5pro 

synodické periody, Neptun a Pluto jsou svázány rezonancí 2:3. Jupiterovy měsíce 

Io a Europa obíhají v rezonaci 1:2stejně jako Europa a Ganimedes, zatímco 

Ganimedes a Kallisto jsou v rezonanci 3:7. Podobné rezonance se dají najít u 

Saturnových měsíců MimasaTethys1:2aTyataaHyperion3:4. 

Planetky ze skupiny Trajánů aŘeků jsouvrezonanci1:1s Jupiterem a obíhají 

téměř po Jupiterově dráze v úhlové vzdálenosti 60 ◦ od něj. Planetky ze skupiny 

Hildy a Thule jsou seskupeny kolem rezonancí 2:3a 4:3.Naopakvětšina planetek 

se vyhýbá poměru 1:3s Jupiterem, a proto v pásu planetek vzniká Kirkwoodova 

mezera, podobná mezera vzniká i pro poměry 2:5, 3:7a 1:2. Pokud planetka 

dosáhla některé z výše uvedených rezonancí, byla Jupiterem tak silně ovlivněna, že 

byla nakonec vychýlena ze své dráhy. 

Měsíc k nám obrací stále jednu tvář, je to proto, že jeho oběžnádobaarotace 

jsou v rezonanci 1:1, uMerkurujetentopoměr 3:2auVenušečiní poměr mezi 

synodickou oběžnou periodou a synodickou dobou rotace 1:2, tj.naVenušitrvá 

jeden sluneční den přesně dva sluneční roky! 

Existence orbitálních rezonancí dokazuje, že Pýthagorás měl přece jen kus 

pravdy, když před dva a půl tisícem let hovořil o hudbě sfér. Akordy a rezonance 

skutečně hrajívživotě sluneční soustavy významnou roli. 

8.5.7 Tlak záření 

Na každé těleso působí tlak slunečního záření ve směru pryč od Slunce. V okolí 

Země jetentotlakřádově 

p = P S 

c 

≈ 5 × 10−6 Pa, 

kde P S je solární konstanta a c je rychlost světla. Tento tlak má pochopitelně tím 

větší vliv na pohyb částice, čím je tato částice menší. Díky tomuto tlaku vyčistilo 

Slunce prostor uvnitř sluneční soustavy již záhy po vzniku Slunce od prachových


částic. Z podmínky rovnováhy přitažlivých a tlakových sil působících na částici 

κM S 

a 2 m ≈ pS 

je možno spočíst, že částice o rozměru menším než r ≈ 0.1 µm budou vymeteny z 

prostoru kolem Země. Na větší částice však nemá tlak záření větší vliv. Existuje ale 

další mechanismus čistící kosmický prostor, a tím je záchyt kosmického prachu planetami. 

Pokud je prachové zrnko zachyceno planetou, bude se pohybovat po oběžné 

dráze kolem ní. Ovšem tlak slunečního záření způsobí, že dráha prachového zrnka 

se bude postupně protahovatvesměru kolmém na slunečnípaprsky,až nakonec 

bude částice zachycena v atmosféře planety, kde jednoduše shoří. Přesný výpočet 

dráhy prachového zrnka je obtížný, jde o zvláštní případ problému tří těles, ale 

můžemesivypomocipočítačem. Numerický výpočet ukazuje průběh dráhy částice 

při rovnoměrném působení tlaku slunečního záření, které je asi 250 krát slabší než 

přitažlivé dostředivé zrychlení od planety. 

Vliv tlaku slunečního záření na původně kruhovou 

dráhu částice. Dráha se vlivem tlaku 

protahuje ve směru kolmém na směr tlaku p 

záření tak dlouho, až ječástice zachycena atmosférou 

planety, v níž shoří. 

Pokusíme se odhadnout čas, za který je částice zachycena planetou. Označme 

periodu oběhu T a rychlost částice v. Částice původně obíhá po kruhové dráze 

opoloměru r. Tlak záření působí na částici zrychlením a ≈ pS/m. Tlak záření 

po dobu poloviny oběhu částici urychluje a po druhou polovinu zpomaluje. Tím 

naroste rozdíl rychlostí na opačných koncích dráhy o ∆v ≈ aT a excentricita dráhy 

naroste o 

∆e ≈ ∆v/v ≈ aT/v. 

Dráha částice se tedy stává eliptickou, zvětšuje se její excentricita, ale velká poloosa, 

ani energie její dráhy se nemění. Pokud dosáhne excentricita hodnoty e ≈ 1, bude 

dráhou natolik protáhlá elipsa, že prachová částice bude nutně zachycena planetou. 

K tomu dojde za 1/∆e oběhů, tedy za čas 

t ≈ T ∆e ≈ v a ≈ ρrv 

p . 

Pro naši prachovou částici r ≈ 0.1 µm vychází doba pobytu na oběžné dráze kolem 

Země jen asi 10 dní. Dokonce i velká tělesa o velikosti r ≈ 1 m budou vymetena z 

okolí Země za astronomicky krátkou dobu zhruba 100 tisíc let. Sluneční záření je 

tedy hlavním mechanismem, který čistí prostor kolem Země ajemužvděčíme za 

klidný spánek, který neohrožují větší padající meteory. 

Tlak záření je zodpovědný také za nádherný nebeský jev, jímž jsoukomety. 

Jádra komet jsou tělesa o velikosti kolem deseti kilometrů. Jsou to jakési neforemné


slepence z kamení a ledu a pocházejí z okraje slunečnísoustavy.Praktickyjsou 

jádra komet tvořena materiálem, ze kterého vznikla před pěti miliardami let i naše 

sluneční soustava. Tento dosud nevyužitý zárodečný materiál tvoří dnes Oortův 

oblak, kterýmározměr 100 000 astronomických jednotek. Vnitřní část oblaku o 

rozměru kolem 3000 astronomických jednotek se nazývá Cooperův pás. Zněj 

se občas vlivem vzájemných gravitačních poruch uvedou některá tělesa na dráhu 

směřující blíže ke Slunci a stávají se kometami. Když se taková kometa přiblíží 

ke Slunci, její povrch se zahřeje a uvolní se plyny, vodní páry a prachové částice. 

Takto vzniklý oblak plynů a prachu pak tlak slunečního záření vyfukuje až dosto 

miliónů kilometrů dlouhého kometárního ohonu! 

Existuje ještě jeden slabší druh záření nazývaný sluneční vítr. Jde o korpuskulární 

záření tvořené především protony, elektrony a částicemi alfa, které jsou 

vymrš továny , nepravidelně bouřemi ve sluneční koróně. Rychlost proudu částic je 

řádově 300 km / s ajehotlak10 −9 Pa . Tlak tohoto záření může vytvořit druhý ohon 

komety. 

8.5.8 Lagrangeovy librační body 

Částečný úspěch analýzy problému tří těles je založen na předpokladu, že třetí těleso 

má zanedbatelnou hmotnost oproti zbývajícím dvěma těžším tělesům, která se 

tudíž pohybují bez ohledu na pohyb třetího tělesa. Jejich pohyb je určen v prvním 

přiblížení řešením problému dvou těles. Zbývající třetí lehké těleso, to může být měsíc, 

planetka, kometa nebo umělýsatelit,všakmůže konat nejrůznější typ pohybu. 

Těleso může obíhat po miliardy let kolem planety nebo se může pomalu vzdalovat 

jako náš Měsíc. Kometa se může nepravidelně vracet ke Slunci, planetka se může 

dostat do rezonance s Jupiterem anebo může být jednou provždy vymrštěna ven 

ze sluneční soustavy. 

Dvě tělesa m 1 a m 2 obíhající kolem společného 

těžiště T. 

Podívejme se na zjednodušený problém tří těles, jehožanalýzavedenaLagrangeovy 

librační body. Uvažujme dvě tělesa m 1 a m 2 obíhající kolem společného 

těžiště po kruhové dráze. To je i v praxi nejběžnější případ. Těmito tělesy mohou 

být třeba Slunce a Jupiter. Vzdálenost obou těles je a, od těžiště mají vzdálenosti 

kde 

m 2 

m 1 

a 1 = a = aµ a a 2 = a = a (1 − µ) , 

m 1 + m 2 m 1 + m 2 

µ = 

m 2 

m 1 + m 2 

(8.29) 

je relativní hmotnost menšího z obou těles. Úhlová rychlost otáčení celé soustavy


těles je dána třetím Keplerovým zákonem 

ω 2 = κ (m 1 + m 2 ) 

a 3 . 

Nyní zkoumejme pohyb třetího malého tělesa m 3 vpolioboutěles. Třetí těleso 

je tak malé, že neruší pohyb těles m 1 a m 2 . Pohybová rovnice pro třetí těleso v 

soustavě spojené s rotující soustavou obou velkých těles je 

a = −2ω × v + ω 2 r − κm 1 

r 3 1 

r 1 − κm 2 

r2 

3 r 2 . 

První člen představuje Coriolisovo zrychlení, druhý člen odstředivé zrychlení a 

poslední dva členy gravitační zrychlení od obou velkých těles. Pohybová rovnice 

třetího tělesa může být zapsána také ve tvaru 

kde 

a = −2ω × v −∇Ω, 

Ω = − 1 2 ω2 r − κm 1 

r 1 

− κm 2 

r 2 

představuje efektivní potenciál. Pomocí něj je možno vyjádřit integrál pohybu 

1 

2 v2 + Ω = C, 

kde C je Jacobiho integrál. Protože musí být v 2 ≥ 0, je pohyb tělesa omezen jen 

na oblasti Ω ≤ C. 

Hladiny efektivního potenciálu Ω a Lagrangeovy 

librační body L 1 až L 5 pro m 2 = 10m 1. 

Hledejme nyní rovnovážnébody,tj.body,vnichžnatěleso m 3 nepůsobí žádná 

síla. Za předpokladu a =0a v =0dostaneme podmínky pro složky zrychlení 

a x = ω 2 x − κm 1 

r 3 1 

a y = ω 2 y − κm 1 

r 3 1 

(x − a 1 ) − κm 2 

r 3 2 

(x + a 2 )=0, (8.30) 

y − κm 2 

r2 

3 y =0. (8.31)


Z rovnice (8.31) máme hned bu , d y =0nebo 

ω 2 = κm 1 

r 3 1 

+ κm 2 

r2 

3 . (8.32) 

Řešme nejprve případ y 6= 0. Pak platí současně (8.30) a (8.32). Obě rovniceje 

možno splnit současně jentehdy,když bude 

r 1 = r 2 = a. 

Tak dostáváme poslední dva Lagrangeovy librační body L 4 a L 5 , které leží ve 

vrcholech rovnostranných trojúhelníků se základnou a tvořenou oběma tělesy. 

Nyní se podívejme na řešení y = 0. Tato podmínka znamená, že zbývající 

rovnovážné body leží na ose x. Najdemejezrovnice(8.30),kdepoložíme y =0. 

Odtud také platí r 1 = x − a 1 a r 2 = x + a 2 . Máme tedy rovnici 

ω 2 x − κm 1 

|x − a 1 | 3 (x − a 1) − κm 2 

|x + a 2 | 3 (x + a 2)=0. 

Jestliže zde zavedeme bezrozměrný parametr µ podle (8.29), dostaneme pro ε = x/a 

rovnici třetího stupně 

ε =(1− µ) ε − 1+µ 

|ε − 1+µ| 3 + µ ε + µ 

|ε + µ| 3 , 

která má tři kořeny odpovídající dalším třem libračním bodům L 1, L 2 a L 3 .Bod 

L 1 přitom leží za m 2 ,L 2 mezi m 1 a m 2 a L 3 za m 1 . Jestliže se omezíme na případ, 

kdy je první těleso mnohem těžší než druhé těleso, a platí tedy předpoklad µ ¿ 1, 

pak přibližná řešení je možno vyjádřit ve tvaru 

ε 1 ≈−1+µ − (µ/3) 1/3 , ε 2 ≈−1+µ +(µ/3) 1/3 a ε 3 ≈ 1+5µ/12. 

Všimněte si, že body L 1 a L 2 leží souměrně kolemmenšíhotělesa m 2 ve vzdálenosti 

³ µ 

´1/3 

r H = a , 

3 

která představuje poloměr Hillovy sféry. Třetí těleso, které se nachází uvnitř 

sféry přitažlivosti (George William Hill 1877), je poutáno gravitačními silami 

menšího tělesa m 2 . Pokud se těleso dostane ven z Hillovy sféry, bude přitaženo 

silnějším tělesem m 1 . Konečně bodL 3 leží napravo od většího tělesa ve vzdálenosti 

a (1 − 7µ/12) . 

Hillova sféra Ω < Ω 1 umenšíhozoboutěles 

aoblastivolnéhopohybuΩ < Ω k vymezené 

potenciály Ω 1 < Ω 2 < Ω 3 .

8.6. GRAVITACE ROTAČNÍHO ELIPSOIDU 433 

Nalezli jsme tedy pět libračních bodů, pouze dva z nich L 4 a L 5 jsou však 

stabilní, a to ještě jenproµ < 0.0385. Ve sluneční soustavě je tato podmínka 

bezpečně splněna pro všechny planety včetně Jupitera. Zbývající librační body 

L 1 ,L 2 a L 3 odpovídají sedlovým bodům efektivního potenciálu a žádné těleso se v 

nich neudrží. 

Příklad stabilní polohy (a) tělesa v libračním 

bodě L 4 pro poměr hmotností 1 :30anestabilní 

polohy (b) pro poměr hmotností 1 :20. 

V místech odpovídajících stabilním libračním bodům L 4 a L 5 se pro soustavu 

Slunce — Jupiter skutečně nacházejí shluky planetek Řeků a Trojánů, které obíhají 

kolem Slunce se stejnou periodou jako Jupiter. Své názvy dostaly shluky planetek 

podle toho, že se nacházejí na stejné oběžné dráze a přesto se k sobě nikdynepřiblíží. 

Jakoby je poutalo podobné věčné nepřátelství, které trápilo antické Řeky a 

obyvatele Tróje. 

Librační body objevil roku 1772 Joseph-Louis Lagrange při studiu problému 

tří těles. 

Příklad 8.24 Určete poloměr Hillovy sféry Země, tj. vzdálenost, ve které jsou tělesa poutána 

gravitací Země. 

Řešení: Poloměr Hillovy sféry je dán vzorcem r H = a (µ/3) 1/3 ,kdea ≈ 1 AU je vzdálenost 

Slunce a µ = M Z/M S ≈ 3. 0 × 10 −6 je poměr hmotnosti Země a Slunce. Po dosazení 

dostaneme r H ≈ 0. 01AU, sféra zemské přitažlivosti tedy sahá asi do jedné setiny vzdálenosti 

Slunce nebo do čtyřnásobku vzdálenosti Měsíce od Země. Tělesa za touto hranicí již není 

možno považovat za družice Země. 

8.6 Gravitace rotačního elipsoidu 

8.6.1 Rotace kosmických těles 

Každékosmickétěleso rotuje kolem své osy, odtud vzniká přirozeně otázka, zda 

existuje nějaké omezení na velikost rychlosti rotace? Odpově d , zní ano, existuje. 

Mezní úhlovou rychlost rotace nebeského tělesa dostaneme jako důsledek rovnováhy 

gravitačního přitahování a odstředivých sil na povrchu tělesa. Při rotaci tělesa musí 

být na povrchu tělesa odstředivé zrychlení a O = ω 2 R menší než gravitační zrychlení 

a G = κM/R 2 ,vopačném případě setěleso rozletí na kusy. Platí tedy 

ω ≤ ω max , 

kde maximální rychlost rotace je dána vzorcem 

r r 

κM 4π 

ω max = 

R 3 = 3 κρ.


Rychlost maximální rotace závisí jen na průměrné hustotě tělesa a ne na jeho 

velikosti. Pro nejmenší možnou periodu rotace T min dostaneme výraz 

T min = 

2π r 3π 

= 

ω max κρ . 

Odtud pro těleso o hustotě ρ ≈ 1000 kg / m 3 (voda, běžná hvězda) je T min ≈ 

200 min . Pro Zemi ρ ≈ 5500 kg / m 3 je T min ≈ 84 min . 

Roku 1967 pozorovali astronomové Antony Hewish a Jocelyn Bell pravidelné 

rádiové záblesky, které se opakovaly s periodou menší než jedna tisícina 

sekundy. Zdroje záblesků nazvalipulsary. Později byly nalezeny stovky podobných 

těles, především v rovině Mléčné dráhy. Hewish a Bell dedukovali správně, 

že pravidelnost rádiových pulsů jezpůsobena rotací tělesa. Podle výše odvozených 

vzorců všaktěmto periodám T ≈ 10 −3 s odpovídá neuvěřitelná hustota 

ρ > 

3π 

κT 2 ≈ 1017 kg / m 3 . 

Ztohojezřejmé, že tyto hvězdy nemohou být obyčejnými hvězdami, ale musí být 

složeny z mimořádně hustého materiálu. Jediná forma látky, která by mohla dosahovat 

této hustoty a přitom ještězářit, je neutronová hvězda.Neutronováhvězda 

je závěrečné stádium ve vývoji velké hvězdy, která již spotřebovala své jaderné palivo 

a v důsledku své vlastní gravitace zkolabovala do malé koule o velikosti několika 

málo kilometrů. Elektronové obaly atomů byly obrovským tlakem vmáčknuty do 

atomových jader. Protony a elektrony se přeměnily na neutrony a celá hvězda se 

proměnila v jediné gigantické atomové jádro. 

8.6.2 Gravitační pole rotačního elipsoidu 

Většina nebeských těles rotuje kolem vlastní osy, a má proto tvar mírně zploštělého 

rotačního elipsoidu. Taková tělesa nemají sféricky symetrický tvar a ani jejich gravitačnípolenenísférickysymetrické.Čím 

rychleji bude těleso rotovat a čím více 

bude zdeformované, tím více se jeho gravitační pole bude odlišovat od gravitačního 

pole hmotného bodu. Znalost odchylky gravitačního pole od symetrického pole 

hmotného bodu je pro mnoho aplikací velmi důležitá. Spočteme nyní gravitační 

pole kolem rotačního elipsoidu. 

Ilustrace k výpočtu gravitačního pole rotačního 

elipsoidu v bodě A. 

Hledáme tedy gravitační potenciál v určitém bodě A daleko od rotačního elipsoidu. 

Poloha bodu je určena jeho polohovým vektorem r = −→ SA, kde bod S je střed


elipsoidu a zároveň počátek souřadné soustavy xyz. Polohu obecného elementu dm 

tělesa označme vektorem R. Gravitační potenciál v bodě A se spočte podle vzorce 

kde 

χ = −κ 

Z dm 

r 0 , 

r 0 = r − R a r 0 = p r 2 − 2R · r + R 2 . 

Za předpokladu, že bod A je daleko od tělesa, platí R ¿ r. V tom případě můžeme 

výraz 1/r 0 rozvinout v řadu podle R/r 

Ã 

! 

1 

r 0 ≈ 1 1+ R · r 

r r 2 − 1 R 2 

2 r 2 + 3 (R · r) 2 

2 r 4 + ... . 

Po dosazení tohoto rozvoje do integrálu dostaneme 

Ã 

χ ≈−κ M R R 2 dm 

1 − 

r 2Mr 2 + 3 R ! 

(R · r) 2 dm 

2Mr 4 + ... , 

kde M = R dm je hmotnost celého elipsoidu. Druhý člen v rozvoji vypadl, protože 

jsme vhodně zvolili počátek souřadné soustavy splývající s těžištěm elipsoidu. V 

tom případějetotiž R Rdm = 0. Zbylé integrály můžeme vyjádřit pomocí momentů 

setrvačnosti. Zvolíme-li dále osu z za rotační osu elipsoidu, pak polární moment 

setrvačnosti je definován předpisem 

J p = 

Z ¡X 2 + Y 2¢ dm, 

zatímco rovníkový moment setrvačnosti je roven 

Jejich rozdíl je tedy roven 

J e = 

Z ¡X 2 + Z 2¢ dm = 

Z ¡Y 2 + Z 2¢ dm. 

∆J = J p − J e = 

Z ¡X 2 − Z 2¢ dm. 

Zvolíme-li dále bod A tak, že jeho vektor bude ležet v rovině xz a bude svírat s 

osou x úhel φ, pak pro jeho souřadnice platí 

x = r cos φ, y =0 a z = r sin φ. 

První integrál v rozvoji gravitačního potenciálu je roven 

Z 

R 2 dm = 

Z ¡X 2 + Y 2 + Z 2¢ dm = 3 2 J p − ∆J


a druhý integrál je roven 

Z 

Z ¡X 

(R · r) 2 dm = r 2 2 cos 2 φ + Z 2 sin 2 φ ¢ µ 

1 

dm = r 2 2 J p − ∆J sin 2 φ . 

Výsledný potenciál gravitačního pole rotačního elipsoidu je tedy dán rozvojem, 

jehož prvníčleny jsou 

χ ≈−κ M r + 1 2 κ ∆J 

r 3 ¡ 3sin 2 φ − 1 ¢ + ..., 

neboli 

χ ≈−κ M r 

Ã 

µ 

Re 

1 − 1 2 I 2 

r 

2 

¡ 3sin 2 φ − 1 ¢ + ...! 

, 

kde jsme zavedli bezrozměrný parametr 

I 2 = 

∆J 

MR 2 e 

arovníkovýpoloměr tělesa R e . Uvedený rozvoj představuje kvadrupólovou aproximaci 

gravitačního potenciálu rotačního elipsoidu. Pro sféricky symetrické těleso 

je ∆J =0, aproto 

χ = −κ M r . 

Gravitační pole symetrické koule je tedy stejné, jako gravitační pole hmotného 

bodu, který se nachází ve středu koule. Pro sféricky nesymetrické těleso ∆J 6= 0je 

potenciál obecně anizotropní a závisí nejen na vzdálenosti, ale i na směruodrotační 

osy tělesa. Pro rotační elipsoid zploštělý na pólech je ∆J >0, a proto je jeho 

gravitační potenciál ve směru rotační osy větší než vesměru rovníku. Anizotropie 

gravitačního pole je řádu ∆J/Mr 2 , ve velkých vzdálenostech od tělesa proto anizotropie 

gravitačního pole rychle klesá. Daleko od tělesa je možno gravitační pole 

každého tělesa aproximovat gravitačním polem hmotného bodu, v blízkém okolí 

tělesa však asymetrii tělesa ignorovat nelze. 

8.6.3 Precese planety 

Nebeská tělesa jsou mírně deformovánaodstředivými silami a mají tvar zploštělého 

rotačního elipsoidu. Zploštění těles způsobuje, že působení mezi tělesy není centrální. 

To se obecně projeví jak poruchami drah planet, tak i pohybem rotační osy 

planety. Rovnoměrnému pohybu rotační osy planety říkáme precese.Jezpůsobena 

především Sluncem a velkými satelity planety. U Země je vliv Slunce i Měsíce srovnatelný, 

hovoříme pak o lunisolární precesi. Nyní si odvodíme velikost precese 

rotační osy planety.


Uvažujme planetu o hmotnosti M, která rotuje kolem své vlastní osy z úhlovou 

rychlostí Ω. Její moment hybnosti je tudíž roven 

L = J p Ω, 

kde J p označuje polární moment setrvačnosti planety. Kolem planety nech tobíhá 

, 

malý satelit o hmotnosti m po kruhové dráze o poloměru r skloněné k rovníku 

planety o úhel θ. 

Z teorie pohybu setrvačníku je známo, že precesi způsobuje stálý otáčivý silový 

moment N, který je kolmý na osu rotace. Ten způsobí, že vektor momentu 

hybnosti L setrvačníku se začne pomalu otáčet kolem precesní osy, a to stálou úhlovou 

rychlostí Ω P .Zpohybovérovnicesetrvačníku konajícího regulární precesi 

dostáváme 

N = d dt L ≈ Ω P × L, 

a odtud máme pro rychlost precese vzorec 

Ω P = 

N 

L sin θ . 

Satelit o hmotnosti m působí na planetu nenulovým 

otáčivýmsilovýmmomentemN asnaží 

se sklopit její osu rotace z do směru osy své 

orbitální roviny. 

Satelit působí na planetu nenulovým otáčivým momentem, který je důsledkem 

zploštění planety. Z definice otáčivého momentu vzhledem ke středu planety je 

Z Z 

N = R × dF = R × κm r − R Z 

|r − R| 3 dM = κm R × r 

|r − R| 3 dM, 

kde r = (r cos φ cos θ,rsin φ,rcos φ sin θ) představuje průvodič satelitu a R = 

(x, y, z) průvodič elementudM planety. Pokud je satelit dostatečně daleko od planety, 

můžeme jmenovatel aproximovat výrazem 

1 

|r − R| 3 ≈ 1 µ 

r 3 1+3 r · R 

r 2 + ... . 

Protože je precese obvykle pomalá, nemusíme počítat silový moment v každý okamžik, 

ale stačí jej zprůměrovat přes celý jeden oběh satelitu kolem planety. Pro 

průměrnou hodnotu silového momentu vystředovanou rovnoměrně přes úhel φ dostaneme 

výsledek 

¯N x =0, 

¯N y = − 3κm 

2r 3 sin θ cos θ Z ¡x 2 − z 2¢ dM, ¯N z =0.


Jedinou nenulovou složkou otáčivého momentu je složka ¯N y , otáčivý moment má 

tedy směr osy y, což jesměr uzlové přímky. Otáčivý silový moment satelitu má 

tendenci pohnout osou rotace planety tak, aby momenty hybnosti satelitu a planety 

splynuly. Pro velikost tohoto momentu tedy vychází 

atenzpůsobuje precesi 

Ω P = 

N = − 3κm∆J 

2r 3 sin θ cos θ, (8.33) 

N 

L sin θ = − 3κm ∆J 

2Ωr 3 cos θ. 

J p 

8.6.4 Lunisolární precese 

Země másvůj přirozený satelit, Měsíc, který má na precesi Země rozhodující vliv. 

Protože pro Zemi je poměr ∆J/J p ≈ 0.00327, je rychlost precese způsobená naším 

Měsícem asi Ω P ≈ 36 00 /rok. Podobně jakoMěsíc působí na zemskou osu i Slunce. 

Přestože je mnohem větší než Měsíc, je zároveň mnohem dále než Měsíc, takže vliv 

Slunce na zemskou precesi je zhruba poloviční Ω P ≈ 14 00 /rok. Oba vlivy se sčítají, 

takže rychlost lunisolární precese pozorovaná astronomy činí Ω P ≈ 50.25 00 /rok. 

Zemská osa tedy vykoná jednu otočku kolem pólu ekliptiky asi za T =2π/Ω P ≈ 

25 700 let. Tato perioda se nazývá Platónský rok.Zatutodobusezemskáosavrátí 

zpět k Polárce, kde se shodou okolností nachází právě nyní. Amplituda precesního 

pohybu je zhruba rovna sklonu ekliptiky, tj. ε ≈ 23.5 ◦ . 

Precesi zemské osy objevil roku 140 př. n. l. Hipparchos z Nikáie. Ten 

si totiž všiml,že polohy všech hvězd se liší od poloh určených o 150 let dříve 

Timocharisem Alexandrijským. Rozdíl činil asi 2 ◦ ve směru ekliptikální délky. 

Z toho Hipparchos správně usoudil, že jarní bod, tj.průsečík nebeského rovníku s 

ekliptikou, se po ekliptice pomalu posouvá směrem na západ. Za časů Hipparcha se 

jarníbodnacházelvsouhvězdí Skopce, dnes se nachází v souhvězdí Ryb a během asi 

100 let se dostane do souhvězdí Vodnáře. Posuv jarního bodu je přímým důsledkem 

precese zemské osy. Dnes směřuje zemská osa velmi přesně k Polárce, ale za 13 tisíc 

let od ní bude vzdálena o 47 ◦ ! Přehlížení precese zemské osy způsobuje rozdíl mezi 

astrologickým a astronomickým určením polohy Slunce. Podle astrologů vstupuje 

Slunce do znamení Skopce 21. března, ve skutečnosti je Slunce toho dne v jarním 

bodě a ten se dnes nachází na začátku souhvězdí Ryb. 

Zemská osa vykonává vedle precese ještě jeden menší a rychlejší pohyb nazývaný 

nutace. Nutace má amplitudu 9.2 00 aperiodu18.6 let. Nutace je způsobena 

pohybem roviny oběžné dráhy Měsíce, která má rovněž periodu18.6 let. Nutaci 

objevil v 18. století James Bradley. 

8.6.5 Stáčení uzlové přímky 

Nejen satelit ovlivňuje pohyb planety, ale i naopak planeta ovlivňuje pohyb svého 

satelitu. Způsobuje nejen precesi osy satelitu, ale ruší i jeho oběžnou dráhu. Například 

způsobuje malý pohyb roviny jeho oběžné dráhy. Tento pohyb se nazývá


stáčením uzlové přímky. Uzlová přímka je spojnice vzestupného a sestupného 

uzlu dráhy neboli průnikrovinyoběžné dráhy a referenční roviny, tj. ekliptiky. Naopak 

zploštění planety nemá podstanější vliv na velkou poloosu, excentricitu ani 

sklon dráhy. 

Rychlost stáčení uzlové přímky dostaneme podobnými úvahami jako precesi. 

Především, stáčení uzlové přímky je relativně pomalé, můžeme proto opět zprůměrovat 

polohu satelitu přes celou jednu periodu. Satelit se tak rozprostře rovnoměrně 

po celé oběžné dráze a vytvoří prstenec délky 2πr. Momenty setrvačnosti prstence 

jsou J p = mr 2 a J e = 1 2 mr2 , takže ∆J = 1 2 mr2 . Moment hybnosti prstence je 

roven L ≈ mr 2 n, kde n = p κM/r 3 představuje úhlovou rychlost oběhu satelitu 

kolem planety podle třetího Keplerova zákona. Silový otáčivý moment, jímž působí 

planetanasatelit,užznáme,jeurčen vzorcem (8.33). Když sem dosadíme hodnoty 

odpovídající rozprostřenému satelitu, dostaneme pro rychlost stáčení uzlové 

přímky satelitu vzorec 

Ω P = 

N 

L sin θ = −3nI 2 

2 

µ 2 Re 

cos θ, (8.34) 

r 

kde jsme zavedli bezrozměný koeficient anizotropie gravitačního pole planety I 2 = 

∆J/MR 2 e. Stáčeníbudevýznamnépředevším pro blízké satelity, jakými jsou například 

umělé družice Země. Pro ně vycházírychloststáčení uzlové přímky až 10 ◦ 

za den. Jak plyne z měření precese drah umělých satelitů Země, je pro Zemi 

I 2 ≈ 0.001083 a J p ≈ 0.332M Z R 2 e . 

Napohybuzluměsíční dráhy však má Země jen nepatrný vliv, způsobí jen asi 

Ω P ≈ 7 00 za rok. Přesto se uzel Měsíce pohybuje s rychlostí asi Ω P ≈ 19 ◦ za rok, 

tj. s periodou 18.6 let. Tento pohyb je však způsoben vlivem Slunce. Vliv Slunce 

můžeme odhadnout také podle vzorce (8.33), kde ovšem musíme dosadit za m 

hmotnost Slunce M S ,zar vzdálenost Slunce r S aza∆J anizotropii rozprostřeného 

Měsíce ∆J = 1 2 mr2 . Tak dostaneme výsledek 

Ω P = 

N S 

L sin θ = −3n2 S 

cos θ, 

4n 

kde n S = p κM S /rS 3 je střední pohyb Slunce. 

Vdůsledku slapových sil na sebe navíc planeta a satelit působí tak, že satelit je 

postupně urychlovánatímsepostupně vzdaluje od své mateřské planety. Naopak 

planeta svoji rotaci zpomaluje tak, aby byl zachován součet jejích momentů hybností. 

Například náš Měsíc se vzdaluje každým rokem od Země asio35 mm aZemě 

zpomaluje svoji rotaci, takže jeden den dnes trvá asi o 16 sekund déle, než trval 

před jedním miliónem let. Slapové síly mají tendenci rychlosti obou rotací vyrovnat, 

aby nakonec Země aMěsíc měly k sobě přivráceny stále stejné tváře. Dříve, 

než k tomu dojde, však Měsíc unikne ze sféry přitažlivosti Země. Celý děj bude 

trvat několik desítek miliard let. Do té doby se můžeme na noční obloze kochat 

popelavým svitem vzdalujícího se Měsíce.


8.6.6 Stáčení pericentra satelitu 

Zploštění planety má vliv i na stáčení pericentra neboli přímky apsid oběžné dráhy 

jejího satelitu. Přímka apsid je spojnice pericentra a apocentra oběžné dráhy satelitu. 

Pro rychlost stáčení pericentra málo výstředné dráhy satelitu je možno odvodit 

vzorec 

µ 

Re 

2 

¡ 5cos 2 θ − 1 ¢ , 

ω P = 3nI 2 

4 r 

kde θ je sklon dráhy satelitu vzhledem k rovníku planety, r vzdálenost satelitu a 

n jeho střední pohyb. Dále R e je rovníkový poloměr planety a I 2 její parametr 

výstřednosti. Pohyb pericentra umělých družic Země může činit až 20 ◦ za den. 

Podle sklonu oběžné dráhy může mít dopřednýizpětný směr. Všimněte si, že 

stáčení pericentra vymizí pro sklon cos 2 θ =1/5, tedy pro úhel sklonu dráhy θ ≈ 

63 ◦ 26 0 . Toho se využívá u těch umělých satelitů Země, u nichž sinepřejeme, aby 

docházelo ke stáčení jejich pericentra. 

Pokud bychom provedli obdobné výpočty pro eliptické dráhy, dostali bychom 

obecnější vzorce 

Ω P = − 3nI 2 

2 

µ 2 Re 

cos θ a ω P = 3nI 2 

p 

4 

µ 2 Re ¡ 5cos 2 θ − 1 ¢ , 

p 

kde p = a ¡ 1 − e 2¢ je parametr elipsy a n = p κM/a 3 střední pohyb satelitu. 

8.6.7 Stáčení perihelia Merkuru 

Nejen pohyb satelitů, ale také pohyb planet je rušen, a proto neplatí Keplerovy 

zákony přesně. Planety se navzájem ovlivňujíatytomaléporuchyzpůsobují pomalé 

změny elementů jejich drah. Astronomové například zjistili, že perihélium všech 

planet se vlivem vzájemných poruch stáčí. Vliv dalších planet na pohyb perihélia 

zkoumané planety je zhruba popsán vzorcem 

ω P = − X P 

3n 2 P 

4n 

m P 

M S 

. 

Například stáčení perihélia Merkuru činí 573 00 zastolet.Pomocíporuchové 

teorie je možno vysvětlit stáčení perihélia Merkuru o velikosti asi 532 00 působením 

ostatních planet, především Jupitera a Venuše. To ukázal již roku 1859 Urbain- 

Jean-Joseph Le Verrier. Zbytek,tj.stáčení o velikosti 41 00 , však Newtonova 

teorie gravitace vysvětlit nedokáže. Je totiž způsobeno relativistickou korekcí gravitačního 

zákona. Albert Einstein ukázal roku 1915, že toto podivné chování Merkura 

je možno přirozeně vysvětlit pomocí jeho obecné teorie relativity. Podle ní je stáčení 

perihélia oběžné dráhy planety způsobeno zakřivením prostoročasu v okolí Slunce 

ajerovno 

ω P =3n κM S 

pc 2 ,


kde p = a ¡ 1 − e 2¢ je parametr elipsy a n je střední pohyb planety. Pro Merkur 

odtud vychází relativistický posun perihélia 42.98 00 za sto let. 

8.6.8 Tvar Země, Clairautův sféroid 

Chceme-li popsat tíhové pole na zemském povrchu, musíme započítat rotaci planety. 

To lze udělat jednoduše tak, že přidáme potenciál odstředivých sil 

χ O = − 

Z r 

0 

a O dr = − 1 2 Ω2 ¡ x 2 + y 2¢ = − 1 2 Ω2 r 2 cos 2 φ. 

Protože se pohybujeme na povrchu Země, značí zde φ zeměpisnou šířku a r vzdálenost 

bodu od středu Země. Výsledný potenciál je roven 

χ = χ G + χ O = −κ M r + 1 2 κ ∆J ¡ 3sin 2 

r 3 φ − 1 ¢ − 1 2 Ω2 r 2 cos 2 φ. (8.35) 

Po zavedení bezrozměrných parametrů 

α = Ω2 Re 

3 

κM ≈ 0. 0035 a I 2 = ∆J 

MRe 

2 ≈ 0. 0011, 

kde R e je rovníkový poloměr Země, dostaneme jiné vyjádření 

χ = −κ M · µ 1 

1 − I 2 + 

r 

2 α + 3 ¸ 

2 I 2 cos 2 φ . 

Země rotuje kolem své osy SP, tvar zemského 

glóbu je přibližně rotační elipsoid s rovníkovým 

poloměrem R e a polárním poloměrem R p . 

Kdyby Země byla dokonale tuhá, zachovala by si sférický tvar i při rotaci, a 

pakbybyloI 2 =0. Ve skutečnosti však víme, že Země je zploštělá, což svědčí o 

její tekutosti. Pokud připustíme, že Země jedokonaletekutástejně jako kapalina, 

pakmusítvarZemě odpovídat ekvipotenciální hladině stejného tíhového potenciálu 

χ =konst.Taktodefinovaný povrch Země představuje sféroid. Pokud skutečný 

gravitační potenciál nahradíme kvadrupólovým rozvojem, pak takto definovaná 

plocha představuje Clairautův sféroid. Jde o první teoretický model tvaru Země 

pojmenovaný podle Alexis Claude Clairauta, který jej zkoumal roku 1743. 

Zvolíme-li potenciál na rovníku 

χ e = −κ M µ1+ 1 R e 2 α + 1 

2 I 2


za referenční potenciál, pak pro tvar Země dostaneme podmínku χ (r) =χ e , neboli 

−κ M r 

· µ 1 

1 − I 2 + 

2 α + 3 ¸ 

2 I 2 cos 2 φ = −κ M µ 

1+ 1 R e 2 α + 1 

2 I 2 . 

Odtud je možno ukázat, že Clairautův sféroid je plocha šestého stupně aže to tedy 

není elipsoid. Pokud se omezíme na první aproximaci, pak pro tvar Zemědostaneme 

výraz 

Veličina 

r = R e 

¡ 1 − ε sin 2 φ ¢ . (8.36) 

ε = 1 2 α + 3 2 I 2 

představuje geometrické zploštění zemského glóbu, nebo , tplatí 

ε = R e − R p 

R e 

. 

Protože zploštění Země můžeme změřit astronomickými metodami ε ≈ 1/298 ≈ 

0. 0034 a rychlost rotace α ≈ 0. 0035 známe, dostaneme odtud pro parametr výstřednosti 

I 2 = 2ε − α ≈ 0. 0011. (8.37) 

3 

Tento údaj vypovídá o nehomogenním rozložení hmoty uvnitř Země. Za předpokladu, 

že Země má tvar rotačního elipsoidu, spočteme snadno momenty setrvačnosti 

Země. Pro homogenní elipsoid platí 

J x = M 5 

¡ b 2 + c 2¢ , J y = M 5 

¡ a 2 + c 2¢ a J z = M 5 

¡ a 2 + b 2¢ 

a pro Zemi odtud dostaneme 

J p = 2 5 MR2 e , J e = M 5 

¡ R 

2 

e + Rp 

2 ¢ . 

Rozdíl obou momentů setrvačnosti je 

∆J = J p − J e = M 5 

¡ R 

2 

e − Rp¢ 2 2 R e − R p 

≈ 

5 MR2 e ≈ J p ε. (8.38) 

R e 

Protože vzorec platí přibližně i pro nehomogenní elipsoidy, dostaneme z definice I 2 

skutečný moment setrvačnosti Země 

J p ≈ ∆J 

ε ≈ MR2 eI 2 

≈ 1 ³ 

2 − α ´ 

MR 2 

ε 3 ε 

e.


Po dosazení naměřených hodnot za α a ε dostaneme J p ≈ 1 3 MR2 e , zatímco pro 

homogenní kouli by bylo J = 2 5 MR2 e . Odtud vidíme, že hmota musí být v Zemi 

rozložena nehomogenně aže větší hustota hmoty musí být ve středu Země než 

u jejího povrchu. Stejný závěr plyne samozřejmě izfaktu,že průměrná hustota 

Země jevětší než hustota hornin v zemské kůře. Za předpokladu lineárního nárůstu 

hustoty s hloubkou vyjde, že hustota uprostřed Země jeasipětkrát vyšší než na 

povrchu a průměrná hustota Země jeasidvakrátvyššínežnapovrchu.Podrobněji 

se tomuto problému věnuje příklad na konci kapitoly. Nehomogenita Země sedá 

přirozeně vysvětlit tekutostí zemského jádra a miliardy let trvající sedimentací 

těžších složek z roztaveného pláště donitraplanety. 

Gravitační zrychlení na povrchu Země, tj. na Clairautově sféroidu (8.36), najdeme 

derivací potenciálu (8.35) 

µ ∂χ 

g = −∇χ = − 

∂r , ∂χ 

. 

r∂φ 

Protože odklon gravitačního pole od radiálního směru je malý, postačí aproximace 

g ≈ ∂χ 

∂r ≈ κ M r 2 − 3 2 κ ∆J ¡ 3sin 2 

r 4 φ − 1 ¢ − Ω 2 r cos 2 φ. 

Když sem dosadíme za r podle (8.36), dostaneme po úpravě výsledek 

kde 

g = g e 

¡ 1+γ sin 2 φ ¢ , 

γ =2α − 3 2 I 2 ≈ 0. 0051 

je gravitační zploštění. Pokud sem dosadíme za I 2 podle (8.37), dostaneme vztah 

mezi měřitelnými parametry α, ε a γ 

γ + ε = 5 2 α, 

který je znám jako Clairautova věta. Tíhové zrychlení na rovníku φ =0 ◦ je tedy 

rovno 

g e = κ M µ 

Re 

2 1 − α + 3 

2 I 2 ≈ 9. 78 m / s 2 

anapóluφ =90 ◦ g p = κ M Re 

2 (1 + α) ≈ 9. 83 m / s 2 . 

Příklad 8.25 Za předpokladu, že hustota klesá lineárněsevzdálenostíodstředu Země, najděte 

hustotu uprostřed Země. Využijte známé průměrné hustoty Země ¯ρ ≈ 5500 kg / m 3 afaktu 

plynoucího z pozorovaného zploštění Země, že moment setrvačnosti Země jeJ ≈ 1 3 mR2 , kde 

R je poloměr Země am její hmotnost.


Řešení: Předpokládejme, že hustota Země jedánalineárnímpředpisem 

ρ = ρ 0 − ∆ρ r R . 

Pak celková hmotnost Země je 

Z R 

M = ρ4πr 2 dr = 

µρ 0 − 3 

4 ∆ρ V 

a její moment setrvačnosti 

J = 

Z R 

0 

0 

ρ 2 3 r2 4πr 2 dr = 2 5 

µρ 0 − 5 6 ∆ρ 

V. 

Zdejsmevyužili skutečnosti, že moment setrvačnosti kulové slupky je J =2mr 2 /3 aintegrovali 

jsme jen přes tyto slupky. Odtud vyloučením objemu V dostaneme 

J = 2 ρ 5 MR2 0 − 5 6 ∆ρ 

ρ 0 − 3 ∆ρ. 4 

Zároveň všakvíme,že 

J ≈ 1 3 MR2 , 

porovnáním obou vzorců najdeme 

∆ρ ≈ 4 5 ρ 0. 

Akonečně, protože 

¯ρ = ρ 0 − 3 4 ∆ρ ≈ 2 5 ρ 0 a ρ R = ρ 0 − ∆ρ ≈ 1 5 ρ 0 , 

dostaneme odtud numerické hodnoty 

ρ 0 ≈ 5 2 ¯ρ ≈ 13750 kg / m3 a ρ R ≈ 1 2 ρ 0 ≈ 2750 kg / m 3 . 

Hustota uprostřed Země je tedy zhruba stejná jako hustota rtuti. Proto se v geofyzice předpokládá, 

že jádro obsahuje především stlačené kovy jako železo a nikl. Zemská kůra je naopak 

tvořena křemičitany, granitem, žulou a pískovcem, jejichž hustota je blízká k námi vypočtené 

hodnotě ρ R ≈ 2750 kg / m 3 . 

8.7 Slapy 

8.7.1 Slapy, mikrogravitace 

Díky televizním přenosům je všeobecně známo,že kosmonauti na oběžné dráze 

uvnitř ivněkosmickélodinepoci tují , žádnou gravitaci a že se nacházejí v beztížném 

stavu. Stejný stav je možno pocítit na krátkou dobu i zde na zemi při 

volném pádu. Beztížnýstavjetotižpřímým důsledkem skutečnosti, že se kosmická 

lo d , pohybuje v tíhovém poli Země volným pádem. 

Protože však tíhové pole Země není zcela homogenní, není ani síla působící na 

objekty uvnitř kosmické lodi úplně přesně rovna nule. Gravitační síla vznikající 

jako důsledek nehomogenity gravitačníhopolesenazýváslapovou silou. Slapy 

jsou příčinouvznikupřílivu a odlivu, synchronní rotace našeho Měsíce, vzniku 

Saturnových prstenců atd.Vpřípadě kosmické lodi jsou však tyto slapové síly 

slabé, říká se jim proto mikrogravitace. 

Podívejme se nyní na problém slapových sil podrobněji. Uvažujme gravitační 

působení velkého a vzdáleného kosmického tělesa o hmotnosti M na zkoumaný

8.7. SLAPY 445 

objekt o hmotnosti m, jímž může být třeba kosmická lo d. , Na tuto lo d , působí 

výsledná gravitační síla 

Z 

F G = Kdm 

auděluje jí zrychlení 

a = F G 

m = 1 Z 

Kdm. 

m 

Výsledná gravitační síla působí přibližněvtěžišti T kosmické lodi, proto je zrychlení 

kosmické lodi přibližně rovno intenzitě gravitačního pole v jejím těžišti 

a ≈ K T . 

Z pohledu pozorovatele spojeného s padající kosmickou lodí působí na libovolný 

další objekt, třeba jablko o hmotnosti m 0 , kromě gravitační síly F G = m 0 K i 

setrvačná síla F i = −m 0 a, takže celková síla působící na jablko je rovna 

F S = F G + F i = m 0 (K − K T ) . (8.39) 

Pokud je objekt malý, platí dosti přesně K ≈ K T , a proto je slapová síla zanedbatelná 

F S ≈ 0. Libovolný objekt uvnitř kosmickélodisetedynacházítéměř 

v beztížném stavu a prakticky žádná slapová síla na něj nepůsobí. Předmět, je-li 

upuštěn, řídí se při svém pohybu uvnitř lodijenzákonysetrvačnosti. 

Slapové působení tělesa M ve vzdálenosti R 0. 

Je-li však objekt rozlehlejší nebo gravitační pole dostatečně intenzivní, nelze už 

rozdíl K − K T zanedbat a na jablko bude působit slapová síla (8.39). Pokud je 

zdrojem gravitace sférické těleso nebo hmotný bod M, pak intenzity jeho gravitačního 

pole v bodech R a R T jsou dány vzorci 

K = − κM 

R 3 R, 

K T = − κM 

R 3 R T . 

T 

Výsledné slapové zrychlení je rovno jejich rozdílu 

a S = F S 

m 0 = K − K T = − κM 

R 3 R + κM R T . 

Označme relativní polohu jablka vzhledem k těžišti lodi jako 

r = R − R T . 

R 3 T


Předpokládejme dále, že objekt kosmické lodi je mnohem menší než vzdálenost 

gravitujícího centra a že tedy platí r ¿ R T . Pak lze vzdálenost R = |R T + r| 

aproximovat výrazem 

µ 

R ≈ R T 1+ R 

T · r 

, 

a odtud spočteme gravitační intenzitu 

K ≈− κM µ 

R 3 (R T + r) 1 − 3 R 

T · r 

T 

RT 

2 

Slapové zrychlení je tedy rovno 

a S ≈ κM µ 

RT 

3 

R 2 T 

≈− κM 

R 3 T 

3 R T · r 

R 2 T 

µ 

 

R T − r . 

R T + r − 3 R T · r 

R 2 T 

R T 

 

. 

Jak odtud vidíme, roste slapové zrychlení s hmotností M zdroje a klesá se třetí 

mocninou vzdálenosti R T od zdroje gravitace. V těžišti je pochopitelně slapové 

zrychlení rovno nule, všude jinde je však nenulové. Směr slapového působení je nečekaně 

dost komplikovaný. Například slapové zrychlení v podélném směru r k (tj. ve 

směru spojnice R T )působí směrem ven z kosmické lodi, zatímco slapové zrychlení 

vpříčném směru r ⊥ (tj. ve směru kolmém na spojnici R T )působí dovnitř kosmické 

lodi. Slapy tedy mají tendenci těleso v radiálním směru protahovat, zatímco v příčném 

směru mají tendenci těleso stlačovat. Výsledkem soustavného hnětení tělesa 

vlivem slapových sil je konečné roztrhání tělesa na malé kousky. Snadno najdeme, 

že platí 

a k S ≈ κM 

R 3 T 

2r k a a ⊥ S ≈−κM R 3 r ⊥ , 

T 

a že tedy ani velikost slapového působení není ve všech směrech stejná. 

Slapové síly mají tendenci roztrhat každé těleso. 

Slapové zrychlení má potenciál 

χ S = − 

Z r 

0 

a S · dr = κM 

R 3 T 

µ−r k2 + 1 2 r⊥2 

, 

pokud označíme úhel mezi vektorem r aspojnicíR T jako úhel θ, pak je r k = r cos θ 

a r ⊥ = r sin θ, a tudíž platí také 

χ S = κM µ 

RT 

3 r 2 − 3 2 cos2 θ + 1 

. 

2

8.7. SLAPY 447 

Velikost slapového zrychlení lze odhadnout výrazem a S ≈ K T r/R T . Například pro 

malou kosmickou lo dorozměru , 

r ≈ 10 m obíhající kolem Země R T ≈ 6400 km je 

K T ≈ g ≈ 10 m / s 2 , takže slapové zrychlení má velikost řádově a S ≈ 10 −5 m / s 2 ≈ 

10 −6 g. Slapové síly jsou v tomto případě skutečně zanedbatelně maléakosmonauti 

je v žádném případě nepocítí. Nicméně i tato mikrogravitace se projeví jižpři trochu 

delších časech, takže těleso i s nulovou počáteční rychlostí nakonec vždy spadne na 

podlahu ve směru spojnice kosmická lo d , — Země, jen mu to bude trvat několik 

minut. 

Příklad 8.26 Popište pohyb satelitu tvaru činky o hmotnosti 2m a délce a, který se nachází 

na kruhové oběžné dráze ve vzdálenosti R 0 kolem centrálního tělesa o hmotnosti M. 

Satelit tvaru činky obíhá kolem centrálního tělesa 

M a kývá vlivem slapových sil kolem rovnovážné 

polohy α =0. 

Řešení: Těžiště satelitu obíhá rovnoměrně kolem s planety úhlovou rychlostí 

κM 

ω = . 

Na satelit působí silový moment M S způsobený slapovým zrychlením, spočtesepodlevzorce 

M S = κmM 

R0 

3 6xy = 3 κmM 

4 R 3 a 2 sin 2α, 

0 

kde α je úhel mezi průvodičem R 0 a polohou činky. Označíme-liúhelnatočení činky vzhledem 

k inerciálnímu pozorovateli jako φ, pak platí α = φ − ωt. Silový moment slapových sil je 

největší pro náklon α = ±45 ◦ , nejmenší pro α =0, ±π, kdy je roven nule. Poloha činky 

α = 0 je stabilní, jde o rovnovážnou polohu. Moment setrvačnosti činky kolem vlastního 

těžiště jeJ = ma 2 /2, a proto je úhlové zrychlení otáčení satelitu kolem těžiště podledruhé 

věty impulzové 

¨φ = − MS 

J = − 3 κM 

2 R 3 sin 2α = − 3 

0 

2 ω2 sin 2α 

a je tedy nezávislé od velikosti i hmotnosti činky. Protože ¨α = ¨φ, máme pohybovou rovnici 

2¨α = −3ω 2 sin 2α, 

což je rovnice anharmonických kmitů známá z teorie matematického kyvadla. Rovnovážná 

poloha činky je α =0. Řešení lze psát obecně vetvaru 

sin α =sinα 0 sn √ 3ωt, 

kde α 0 je maximální odklon α a parametr eliptické funkce sn je k =sinα 0. Pro malé kmity 

lze rovnici linearizovat a dostaneme 

¨α = −3ω 2 α, 

což je rovnice harmonických kmitů sřešením 

α = α 0 sin √ 3ωt. 

Odtud je zřejmé, že činka se bude periodicky kývat mezi krajními polohami −α 0 a α 0 s 

periodou 

T = 

2π 

ω √ 3 . 

R 3 0


Stejný pohyb vykonává i náš Měsíc, který koná kývavý librační pohyb kolem rovnovážné polohy 

a ukazuje nám stále stejnou tvář. Je to způsobeno centrální nesymetrií rozložení hmoty uvnitř 

Měsíce a slapovými silami Země. 

8.7.2 Příliv a odliv, dmutí oceánů 

Zatímco slapové působení se na palubě kosmické lodi projeví jen mikrogravitací, 

u nebeských těles je síla slapů nepřehlédnutelná. Například slapová síla našeho 

Měsíce způsobuje pravidelný příliv a odliv moře. Díky přitažlivosti Měsícejev 

každý okamžik zvedáno o půl metru na přivrácené a odvrácené straně asi10 17 kg 

mořské vody. Protože příliv nastává zhruba dvakrát denně, tj. dvakrát během jedné 

otočky Země kolem osy, je z toho možno soudit na slapový původ přílivu. Kdyby 

byla perioda přílivu rovna přesně 12 h , bylo by příčinou přílivu Slunce. Protože má 

příliv periodu o něco delší, a trvá asi 12 h 25 m , je zřejmé, že příčinou přílivu je Měsíc, 

nebo t , doba mezi jeho dvěma východy trvá asi 24 h 50 m . 

Slapové působení Měsíce pravidelně zvedáhladinu 

oceánů dvakrát denně zhruba o půl 

metru. 

Spočteme velikost přílivové vlny na otevřeném oceánu. Ekvipoteciální plocha 

je určena součtem potenciálů χ = χ G + χ S , kde χ G odpovídá gravitačnímu potenciálu 

a χ S potenciálu slapových sil. Stacionární vodní hladina je určena tvarem 

ekvipotenciální plochy. Nebýt slapů a rotace, bude mít přesně tvarkulovéplochy, 

vlivem rotace Země se zdeformuje v elipsoid a vlivem slapů sepromění tak trochu 

v prostorovou osmičku. Směr protažení osmičky je určen spojnicí Země —Měsíc. 

Zvednutí hladiny o ∆r = r − r 0 najdeme z přírůstku potenciálu ∆χ = χ − χ 0 , 

kde χ 0 = −κm/r 0 je neporušený gravitační potenciál Země ar 0 je poloměr Země. 

Protože pro ekvipotenciální plochu platí 

∆χ ≈ κm 

r 2 0 

∆r + κM 

R0 

3 r0 

2 

µ 

− 3 2 cos2 θ + 1 

≈ 0, 

2 

dostaneme odtud pro zvednutí hladiny oceánu výraz 

µ 

∆r ≈ Mr3 0 3 

mR0 3 r 0 

2 cos2 θ − 1 

. 

2 

Numericky pro Měsíc dostaneme zvednutí hladiny o 36 cm apokleso18 cm, takže 

kolísání hladin mezi přílivem a odlivem činí na volném moři asi 54 cm . Rovněž 

Slunce působí na Zemi slapovými silami, které jsou oproti Měsíci asi dvakrát slabší, 

takže zvedají hladinu jen o 23 cm. Jsou-liobě nebeská tělesa na jedné přímce se 

Zemí, jejich vliv se sčítá, příliv dosahuje hodnoty 77 cm anazýváseskočným 

přílivem. Ktomudocházípři úplňku nebo při novu Měsíce. Naopak, kdyžjeMěsíc

8.7. SLAPY 449 

v první nebo poslední čtvrti, slapové působení obou nebeských těles se odečítá a 

příliv dosahuje jen 31 cm. Takovýpříliv se nazývá hluchým přílivem. 

Skutečná velikost a také doba, kdy nastane mořský příliv, závisí na dalších 

faktorech, protože jde o složitý dynamický děj. Jednotlivé přílivové vlny se v různých 

místech moře skládají s různou fází a výsledkem je různá velikost přílivu. 

Vuzavřených vnitrozemských mořích a jezerech není příliv téměř patrný. Naopak 

rezonanční mechanismy v některých úzkých zálivech mohou příliv mnohonásobně 

zvětšit oproti jeho velikosti na širém oceánu. Rekordní příliv o velikosti 19.6 m naměřili 

v Zálivu Fundy v Novém Skotsku v Kanadě a jen o málo menší příliv vysoký 

18.0 m mají v ústí řeky Gallegos vArgentině. 

Záliv Fundy má přibližně tvar obdélníka o délce l ≈ 270 km ahloubceH ≈ 70 m . 

Šíří se jím tedy přílivová mořská vlna rychlostí 

c = p gH ≈ 25 m / s . 

Protože perioda slapových sil je zhruba T ≈ 12 hodin, bude příslušná vlnová délka 

vybuzené vlny v zálivu 

λ = cT ≈ 1100 km . 

Rychlost přílivové vlny je na pobřeží rovna nule, vzniká tam proto uzel stojaté vlny, 

zatímconaotevřeném konci zálivu vzniká kmitna. Délka zálivu musí být proto 

rovna λ/4 ≈ 270 km, což odpovídá skutečné délce zálivu. Z tohoto jednoduchého 

rozboru je vidět, že příliv v zálivu Fundy má výrazně rezonanční charakter, a tím 

se vysvětluje i jeho mimořádná velikost. 

8.7.3 Slapy ve sluneční soustavě 

Slapová síla Měsíce nejen pravidelně zvedá oceány, ale deformuje i plastický vnitřek 

naší planety. V dávné minulosti měl proto Měsíc zásadní vliv na tektonickou aktivitu 

Země. Uvážíme-li fakt, že Měsíc se od srážky se Zemí stále vzdaluje a před 

čtyřmi miliardami let byl čtyřikrát blíže k Zemi, než jenyní,jezřejmé, že slapové 

působení Měsíce bylo tehdy 4 3 krát větší než dnes, takže přílivová vlna na volném 

oceánu byla tehdy vysoká kolem 35 metrů! Stejné pohyby musela vykonávat 

i zemská kůra. Tyto pohyby se navíc opakovaly častěji než dnes, nebo t , den tehdy 

trvaljenkolemosmihodinaMěsíc. 

Stejně jakoMěsíc působí na Zemi, působíiZeměnaMěsíc. Protože je Země 81 

krát hmotnější než Měsíc a 3.7 krát větší, bude slapová vlna na měsíční kůře vysoká 

19 metrů. Stejná slapová síla však již dávno v minulosti, kdy slapová vlna měřila 

kolem kilometru, rotaci Měsíce kolem zcela zastavila. To, že nám Měsíc ukazuje 

každou noc stejnou tvář, je nejzřetelnější důkaz o mohutnosti slapových sil naší 

planety. 

Slapové síly velkých planet doslova hnětou hmotu svých blízkých satelitů. Výsledkem 

jejich působení je silná tektonická činnost, v tom lepším případě, nebo 

rozdrcení planety na prach, v tom horším případě. Výsledkem práce slapových sil 

je i vznik prstenců kolem Jupitera, Saturna, Uranu a Neptuna.


Naprosto nepředstavitelné slapové síly vládnou v okolí neutronových hvězd a 

černých děr. Hmota, která dopadá na jejich povrch, je přetvořená drtivým tlakem k 

nerozeznání od hmoty původně zachycené jejich gravitací. Podle předpovědí teorie 

relativity dochází poblíž horizontu černé díry ke zpomalení času.Tobypozorovateli 

padajícímu k horizontu černé díry teoreticky umožňovalo spatřit zrychleně celou 

budoucnost vesmíru. Zmíněné slapové síly však neš tastného , pozorovatele rozmačkají 

na elementární částice, a proto můžeme tuto lákavou myšlenku na nahlédnutí 

do budoucnosti vesmíru zase pohřbít. 

8.7.4 Rocheho mez 

Slapové síly vysvětlují stabilitu nádherných Saturnových prstenců. Pokud se rozpadne 

nějaké těleso poblíž planety, vyplní jeho úlomky velmi rychle rovníkovou 

oblast. Podle numerických modelů dojde ke vzniku prstence řádově během jednoho 

roku. Kdyby neexistovaly slapové síly, počaly by se kameny a skály tvořící prstence 

ihned gravitačně shlukovat a během několika tisíců letbyutvořily nový Saturnův 

měsíc. 

Soudržnost těles vzhledem ke slapovým silám 

od tělesa M. 

Najdeme podmínku, za které se budou trvale přitahovat dvě koule (úlomky) o 

hmotnostech m apoloměru r v poli slapových sil mateřské planety o hmotnosti M. 

Koule drží pohromadě gravitačnísíla,tamůže nabýt maximálně velikosti 

F G = κm2 

4r 2 , 

a to tehdy, když sebudoukoulenavzájemdotýkat.Zároveňnaobětělesa působí 

slapová síla, která se je snaží oddělit. Čím budou koule dál od sebe, tím bude 

slapová síla větší a nejmenší velikost bude mít při vzájemném doteku obou koulí. 

Pro její velikost platí 

F S = ma k S = κmM 

R 3 2r. 

Se zvětšováním velikosti koulí slapová síla roste, zatímco gravitační síla klesá. Gravitace 

udrží obě koule pohromadě, jen pokud bude F G >F S , a odtud 

neboli 

m 

r 3 > 8 M R 3 

R>2r 3 r 

M 

m =2R 0 3 r 

ρ0 

ρ ,

8.7. SLAPY 451 

kde R 0 je poloměr centrálního tělesa a ρ 0 jeho hustota, zatímco ρ je hustota úlomků. 

Například pro ρ ≈ ρ 0 vychází R>2R 0 . Všimněte si, že tato mez už nezávisí na 

velikosti úlomků. 

Tento výsledek vysvětluje, pročsenemůže v nejbližším okolí planety, tj. ve vzdálenostech 

menších než zhruba dva její poloměry, nacházet žádná stabilní družice. 

Místo toho se tu vyskytují jen pásy z rozlámaných kamenů akusů ledu, které zbyly 

po roztrhání měsíce, který se dostal příliš blízko k planetě. Například roku 1992 

pozorovali astronomové kometu Shoemaker-Levy, jak vnikla do Rocheovy sféry Jupitera 

a jak se rozpadla na 21 úlomků. Naopak ve větší vzdálenosti od planety 

už nejsou prstence stabilní a z úlomků sebrzyopět poskládá kompaktní těleso, 

vznikne nový měsíc. 

Poloměr vymezující oblast převahy slapových sil planety nad silami gravitačními 

se nazývá Rocheho mez. Objevil ji roku 1848 Édouard Roche. Zapředpokladu 

dokonalé tekutosti bude družice stabilní ve vzdálenosti 

R>2.456R 0 

3 

r 

ρ0 

Například pro Zemi je Rocheho mez rovna 18 470 km . 

ρ . 

Temné pásy v prstencích vnějších planet jsou 

způsobeny existencí malých měsíčků, které 

obíhají uvnitř Rocheovy meze. 

Všechny velké planety (Jupiter, Saturn, Uran a Neptun) mají své prstence. 

Nejnápadnější a nejkrásnější je prstenec Saturnův. Prstence mají bohatou vnitřní 

strukturu pozorovatelnou obvykle až zbezprostřední blízkosti. Uvnitř planetárních 

prstenců jsou pozorovány četné temné pásy, ty jsou způsobeny nepřítomností 

úlomků tvořících prstence. Temné pásy vznikají jako důsledek rezonance oběžných 

dob prstence s rotací planety nebo s oběžnými dobami jejich měsíců, takže trajektorie 

v temných pásech jsou nestabilní. Temný pás vznikne také jako důsledek 

přítomnosti většího kusu skály, který svou dráhu důkladně vyluxuje a zachytí nebo 

odhodí všechny drobné úlomky stojící mu v cestě. Tyto miniaturní měsíčky mají 

rozměry do 10 km adrží je pohromadě síly soudržnosti, takže jejich stabilita není 

závislá na vlastní gravitaci. Ze stejného důvodu také mají obvykle velmi nepravidelný 

tvar. 

8.7.5 Slapové tření 

Je známo, že Měsíc se od nás vzdaluje o 35 mm za rok a den se prodlužuje o 16 µs za 

rok. I to je důsledek slapových sil, jimiž nasebeMěsíc a Země působí. V důsledku 

plasticity Země jejejítvardeformovánanepatrněfázověopožděn oproti slapovým 

silám Měsíce, a právě tozpůsobuje vznik brzdícího otáčivého momentu M S .


Vlivem plasticity zaostává deformace Země 

za slapovými silami Měsíce o úhel δ, což v 

důsledkuvedekevznikumomentuslapového 

tření M S. 

Odhadneme nyní rychlost zpomalování rotace Země. Moment slapového tření je 

dán otáčivým momentem dvojice slapových sil ∆F ≈ ∆ma S ,kterýmipůsobí Měsíc 

na obě slapové vlny o výšce h a hmotnosti ∆m ≈ M Z h/2R Z .Zdea S ≈ 2gh/R Z 

je velikost slapového zrychlení. Rameno dvojice slapových sil odhadneme jako d ≈ 

2R Z δ, kde δ ≈ 10 −2 je fázové zpoždění slapové vlny. Moment slapového tření je 

tedy roven 

M ≈ ∆Fd ≈ 2M Zgh 2 

δ. 

Tento moment zmenšuje moment hybnosti Země a podle druhé věty impulzové 

platí 

ε ≈ M J ≈ 5gh2 

RZ 

3 δ, 

kde J ≈ (2/5) M Z R 2 Z je moment setrvačnosti Země. Rotace Zeměsetedyzpomaluje 

podle předpisu Ω = Ω 0 − εt, kde Ω je její úhlová rychlost rotace. Za dobu t se den 

prodlouží o 

R 2 Z 

∆T = 2π Ω − 2π 

Ω 0 

≈ 1 

2π T 2 0 εt ≈ 1 

2π T 2 0 

5gh 2 

R 3 δt, 

Z 

kde T 0 je délka dne. Pro výšku slapové vlny h ≈ 0.5 m afázovézpoždění δ ≈ 10 −2 

vyjde prodloužení dne za t ≈ 1 rok neuvěřitelně přesně 

∆T ≈ 18 µs . 

Vzdalování Měsíce a brzdění rotace Země budou probíhat tak dlouho, až se 

srovná oběžnádobaMěsíce a rotace Země. Nakonec bude mít i Země přivrácenu 

kMěsíci stále stejnou tvář, takže měsíc bude stejně dlouhý jako den a oba budou 

trvat asi 50 současných dní, jak je možno snadno spočíst ze zákona zachování 

momentu hybnosti. První teorii slapového tření podal roku 1879 George Darwin, 

syn slavného Charlese Darwina. 

Příklad 8.27 Měsíc se vzdaluje od Země arotaceZemě se zpomaluje vlivem vzájemných 

slapových sil. Najděte rychlost synchronní rotace soustavy Země —Měsíc. 

Řešení: Měsíc se od nás vzdaluje v důsledku momentu sil slapového tření, jimiž nasebeMěsíc 

aZeměpůsobí. Děj bude probíhat tak dlouho, až sesrovnáoběžnádobaMěsíce a rotace 

Země. Srovnání periody rotace Měsíce již proběhlo, a Měsíc k nám proto přivrací stále stejnou

8.7. SLAPY 453 

tvář. Aniž budeme znát přesnou dynamiku tohoto procesu, můžeme najít rychlost synchronní 

rotace ze zákona zachování momentu hybnosti. Zákon zachování momentu hybnosti soustavy 

je možno psát ve tvaru 

µ 

2 

5 MR2 Ω + mr 2 2 

ω = 

5 MR2 + mr0 

2 ω 0 , 

kde M, R jsou hmotnost a poloměr Země, Ω je úhlová rychlost rotace Země, m, r hmotnost 

avzdálenostMěsíce a ω je úhlová rychlost oběhu Měsíce kolem Země. Konečně ω 0 je úhlová 

rychlost a r 0 vzdálenost Měsíce po ukončení synchronizace. Druhou rovnici dostaneme ze 

třetího Keplerova zákona 

r 3 ω 2 = r0ω 3 2 0. 

To vede na obtížně řešitelnou transcendentní rovnici. Pokud si však uvědomíme, že moment 

hybnosti Země budepři synchronní rotaci zanedbatelný ve srovnání s momentem hybnosti, je 

možno zákon zachování hybnosti zjednodušit vynecháním členu (2/5) MR 2 ω 0. Tím se problém 

natolik zjednoduší, že pohodlně najdeme analytické řešení 

µ 

ω 

≈ 1 + 2 

MR 2 3 

Ω 

≈ 1. 91. 

ω 0 5 mr 2 ω 

Oběžná doba Měsíce, stejně jako pozemský den, budou trvat přibližně 50 dní. Vzdálenost 

Měsíce od Země přitom bude asi o polovinu větší, než je dnes.

Index 

Aristarchos ze Samu, 296 

Aristotelés ze Stageiry, 9, 294 

bod 

jarní, 266 

body 

librační, Langrangeovy, 430 

brachistochrona, 230 

Brahe, Tycho, 328 

čára 

geodetická, 237 

čas 

absolutní, 16 

hvězdný, 257 

letní, 280 

pásmový, 279 

sluneční, 278 

středoevropský, 279 

světový, 279 

den 

hvězdný, 255, 257 


doby 

roční, 270 

ekliptika, 266 

elementy 

dráhové, 359 

elipsa, 334 

elipsoid 

setrvačnosti, 98 

energie 

gravitačního pole, 414 

kinetická, 59, 67, 97 

kinetická, rotační, 71 

potenciální, 60 

vnitřní, 62 

zobecněná, 206 

Eratosthenés Kyrénský, 298 

funkce 

eliptické, Jacobiho, 116 

Hamiltonova, 215 

Lagrangeova, 205 

Galileo Galilei, 12, 331 

geocentrismus, 9, 10 

geoid, 42 

gnómón, 280 

gyrokompas, 125 

gyroskop, 16, 124 

hamiltonián, 215 

heliocentrismus, 9, 12 

hmotný střed, 53 

hodiny 


hybnost 


integrál 

akce, účinek, 242 

pohybu, 56 

intenzita 


kalendář, 271 

Kepler, Johannes, 339 

konstanta 

gravitační, 370 

Koperník, Mikuláš, 326 

kulečník, 167 

454

INDEX 455 

kulminace, 262 

kyvadlo 

Foucaultovo, 47 

sférické, 212 

mechanika 

analytická, 187 

meridián, 254 

Měsíc, 284 

měsíc 

drakonický, 289, 290 

siderický, 285, 289 

synodický, 284, 289, 290 

mez 

Rocheho, 450 

moment 

deviační, 87 

hybnosti, 68, 95 


setrvačnosti, hlavní, 100 

vzhledem k ose, 78 

nadhlavník, zenit, 253 

Newton, Isaac, 15, 363 

nutace, 274 

obzorník, 253 

osa setrvačnosti 

hlavní, 99 

paralaxa hvězdy, 330 

planety, 309 

počasí, 46 

podnebí, 46 

pohyb 


rovinný, 88 

setrvačný, 19 

vázaný, 187 

volný, 19 

pole 

gravitační, 400 

poloměr setrvačnosti, 76 

posunutí 

reálné, 191 

virtuální, 191 

potenciál 


práce, 85 

precese 

lunisolární, 274 

osyplanety,436 

pseudoregulární, 115, 120 

regulární, 110 

volná, 109, 115 

příliv a odliv, 448 

princip 

d’Alembertův, 27, 194, 200 

ekvivalence, 27 

Fermatův,228,231 

Gaussův, 217 

Hamiltonův, 214 

Hertzův, 218 

Jacobiho, 243 

Machův, 17 

minimálního účinku, 242 

relativity, Einsteinův, 22 

relativity, Galileiho, 21 

superpozice, 401 

virtuální práce, 189 

problém 

dvou těles, 421 

tří těles, 424 

prostor 


fázový, 220 

konfigurační, 222 

Ptolemaios, Klaudios, 321 

ráz 

mimostředný, excentrický, 154 

přímý, čelní, 154 

šikmý, 154 

středový, centrální, 154 

reliktní záření, 17 

rok 

anomalistický, 276 

hvězdný, siderický, 275 

sluneční, tropický, 271, 275 

rotátor, 107 

rovnice

456 INDEX 

časová, 283 

Eulerova, 236 

Eulerovy dynamické, 106 

Eulerovy kinematické, 107 

Hamilton-Jacobiho, 245 

Keplerova, 353, 379 

Lagrangeovy, druhého druhu, 203 

Lagrangeovy, prvního druhu, 201 

Poissonova, 419 

rovnodennost, 265, 270 

rozpad částice, 143 

rychlost 

kosmická, 386, 389 

kruhová, 387 

precese, 111 

úniková, 389 

saros, 290 

setrvačník 

aplikace, 123 

asymetrický, 107 

izotropní, 100, 107 

Maxwellův, 108 

rychlý, 120, 121 

symetrický, 100, 107 

těžký, 119, 126 

volný, 108 

vyvážený, 87 

sféroid 

Clairotův, 441 

síla 

Coriolisova, 31, 37, 45—48 

Eulerova, 31 

gravitační, 370, 416 

odstředivá, 31, 32 

setrvačná, 25, 29 


skládání pohybů, 2, 8 

slapy, 444 

Slunce, 264 

slunovrat, 265, 270 

souřadnice 

astronomické, ekliptikální, 358 

astronomické, obzorníkové, 256 

astronomické,rovníkové,256,260 

zeměpisné, 300 


soustava 

hmotných bodů, 51 

srážka 

dokonale nepružná, 138 

dokonale pružná, 134 

nedokonale pružná, 140 

přímá, čelní, 132, 134 

šikmá, 132, 148 

střed rázu, 152 

tenzor 


transformace 

Galileiho, 21 

kanonická, 223 

trojúhelník 

nautický, 261 

účinek, integrál akce, 242 

účinný průřez, 180 

diferenciální, 180 

úhel 

nutační, 106 

precesní, 106 

rotační, 106 

úhly 

Eulerovy, 106 

úloha 

Keplerova, 374 

variační počet, 236 

vazba 

holonomní, 188 

rheonomní, 188 

skleronomní, 188 

věta 

druhá impulzová, 54 

Huygens-Steinerova, 77, 102 

Königova, 62, 68 

momentová, 69 

první impulzová, 52 

těžiš tová, , 53, 69 

viriálový teorém, 64 

východ a západ Slunce, 268

INDEX 457 

vzpruživost,140,142,156 

vztažná soustava 

inerciální, 20 

neinerciální, 20 

zákon 

gravitační, Newtonův, 369 

odrazu, 158 


skládání rychlostí, 3 

Titius-Bodeho, 355 

zachování energie, 59 

zachování hybnosti, 57, 63 

zachování momentu hybnosti, 58, 

64, 80 

zákony 

Keplerovy, 346 

zatmění Slunce a Měsíce, 287 

závorky 

Poissonovy, 219 

zenit, nadhlavník, 253 

zrychlení 

setrvačné, 29 

tíhové, 40

MECHANIKA 2

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?