Typy homotopijne przestrzeni Aleksandrowa - Wydział Matematyki i ...

Uniwersytet Mikoªaja Kopernika 

Wydziaª Matematyki i Informatyki 

Katedra Nieliniowej Analizy Matematycznej i Topologii 

Michaª Kukieªa 

numer albumu: 218160 

Praca magisterska 

na kierunku matematyka 

Typy homotopijne przestrzeni 

Aleksandrowa 

Opiekun pracy dyplomowej 

dr hab. Dariusz Miklaszewski 

Katedra Nieliniowej Analizy 

Matematycznej i Topologii 

Toru« 2010 

Prac¦ przyjmuj¦ i akceptuj¦ 

.............................................. 

data i podpis opiekuna pracy 

Potwierdzam zªo»enie pracy dyplomowej 

.............................................. 

data i podpis pracownika dziekanatu

Podzi¦kowania 

Pragn¦ gor¡co podzi¦kowa¢ wszystkim, dzi¦ki którym udaªo mi si¦ w »yciu dotrze¢ 

do momentu obrony niniejszej pracy magisterskiej i dzi¦ki którym owo docieranie byªo 

takie, jakie byªo (a wi¦c caªkiem miªe i interesuj¡ce). Osób, którym co± zawdzi¦czam jest 

zdecydowanie zbyt wiele, by je tu wszystkie wymieni¢. Nale»¡ do nich przede wszystkim 

moi rodzice, nauczyciele, rodzina, przyjaciele, koledzy i znajomi. Liczni s¡ jednak tacy, 

których do powy»szych grup zaliczy¢ nawet na siª¦ nie mo»na, a którzy na ró»ne 

sposoby dbali o mnie i mój rozwój. 

Profesorowi Markowi Golasi«skiemu dzi¦kuj¦ za prowadzenie seminarium, dzi¦ki któremu 

zainteresowaªem si¦ tematyk¡ przestrzeni sko«czonych i przestrzeni Aleksandrowa. 

Mojemu promotorowi jestem wdzi¦czny za niezwykle miªe i przyjazne podej±cie do 

mojej osoby, liczne sªowa zach¦ty, gotowo±¢ do pomocy oraz za to, »e zdecydowaª si¦ na 

odrobin¦ szale«stwa i zainteresowaª tematyk¡ do±¢ odlegª¡ od jego dotychczasowej pracy 

naukowej. 

Podczas studiów otrzymywaªem ró»nego rodzaju stypendia; mam nadziej¦, »e speªni¦ 

pokªadane we mnie przez podatników nadzieje i b¦d¦ potraª odwdzi¦czy¢ si¦ Ojczy¹nie. 

Szczególnie podzi¦kowa¢ chciaªbym pani El»biecie ›ukowskiej, która u pocz¡tku mojej 

przygody ze studiami wspomogªa mnie zupeªnie za darmo znaczn¡ ilo±ci¡ matematycznej 

literatury. Poniewa» wówczas nie odwdzi¦czyªem si¦ nawet bombonierk¡, niniejsz¡ prac¦ 

jej wªa±nie dedykuj¦. 

1

Spis tre±ci 

Wst¦p 5 

I. Preliminaria 9 

I.1. Porz¡dki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 

I.1.1. Denicje i oznaczenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 

I.1.2. Standardowe lematy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 

I.2. Przestrzenie Aleksandrowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 

I.2.1. Podstawowe fakty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 

I.2.2. Funktor X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 

I.3. Izomorzm kategorii Al i Preorder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 

I.3.1. Funktor P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 

I.3.2. X = P −1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 

I.4. Koªmogorykacja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 

I.4.1. Dziaªanie koªmogorykacji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 

I.4.2. Wªasno±ci zachowywane przez koªmogorykacj¦ . . . . . . . . . . . . 17 

II. Topologiczne wªasno±ci przestrzeni Aleksandrowa 19 

II.1. Podprzestrzenie i produkty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 

II.2. Spójno±¢ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 

II.3. Zwarto±¢ i dziedziczna zwarto±¢ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 

II.4. Przestrzenie funkcyjne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 

II.4.1. Opis topologii na C(X, Y ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 

II.4.2. Kiedy topologia zwarto-otwarta jest Aleksandrowa? . . . . . . . . . 23 

II.5. Pewne klasy przestrzeni Aleksandrowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 

II.6. Problemy otwarte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 

III. Typy homotopijne przestrzeni Aleksandrowa 29 

III.1. Narz¦dzia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 

III.1.1. Konstrukcja homotopii przez sklejanie dróg . . . . . . . . . . . . . 29 

III.1.2. Pewna rodzina przestrzeni ±ci¡galnych . . . . . . . . . . . . . . . . 31 

III.1.3. Rdzenie i rozbieralno±¢ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 

III.1.4. C-rozbieranie indukuje retrakcj¦ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 

III.1.5. Ci¡g standardowy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 

III.2. Klasykacja typów homotopijnych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 

III.2.1. Rozbieranie fp-przestrzeni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 

III.2.2. Twierdzenie klasykacyjne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 

3

4 SPIS TRE‘CI 

III.3. Zastosowania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 

III.3.1. Homotopijna dominacja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 

III.3.2. H-przestrzenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 

III.3.3. G-przestrzenie Aleksandrowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 

III.4. Wi¦cej o rdzeniach i rozbieralno±ci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 

III.4.1. Ogólnie o rozbieralno±ci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 

III.4.2. Rozbieralno±¢ przestrzeni lokalnie sko«czonych . . . . . . . . . . . 45 

III.5. Problemy otwarte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 

Bibliograa 49

Wst¦p 

W ostatnich latach pewne zainteresowanie wzbudziªy sko«czone przestrzenie topologiczne. 

Miaªa na to wpªyw seria notatek sporz¡dzonych przez J.P. Maya [17], [18], [19]. 

Prezentuj¡ one wyniki uzyskane w 1966 przez R.E. Stonga [27] i M. McCorda [21] oraz 

w 1978 przez D. Quillena [24], którzy od ró»nych stron podeszli do teorii homotopii sko«- 

czonych przestrzeni topologicznych. Kluczow¡ rol¦ w zrozumieniu tych prac odgrywa zauwa»ona 

w 1937 przez P. Aleksandrowa [1] wzajemnie jednoznaczna odpowiednio±¢ pomi¦dzy 

sko«czonymi przestrzeniami topologicznymi a sko«czonymi praporz¡dkami oraz 

mi¦dzy sko«czonymi przestrzeniami topologicznymi speªniaj¡cymi aksjomat oddzielania 

T 0 a sko«czonymi porz¡dkami cz¦±ciowymi. Odpowiednio±¢ ta ma charakter funktorialny. 

Wiedz¡c o tej zale»no±ci, omówmy pokrótce opisane w notatkach Maya artykuªy. 

Korzystaj¡c z odkrycia Aleksandrowa, Stong w swojej pracy [27] uzyskuje mi¦dzy 

innymi pewnego rodzaju klasykacj¦ typów homotopijnych sko«czonych przestrzeni topologicznych. 

Poniewa» typ homotopijny przestrzeni topologicznej X nie speªniaj¡cej aksjomatu 

T 0 jest równy typowi homotopijnemu przestrzeni T 0 powstaªej z X przez wybranie 

po jednym elemencie z ka»dej klasy elementów topologicznie nierozró»nialnych, Stong 

mógª ograniczy¢ si¦ do badania przestrzeni speªniaj¡cych ten aksjomat oddzielania, a wi¦c 

do badania cz¦±ciowych porz¡dków. Ka»dy sko«czony porz¡dek cz¦±ciowy mo»na w prosty 

sposób, poprzez usuwanie specjalnego rodzaju elementów zwanych nieredukowalnymi, 

sprowadzi¢ do postaci tzw. rdzenia; przeksztaªcenie cz¦±ciowego porz¡dku w rdze« nazywamy 

rozbieraniem (ang. dismantling) tego porz¡dku. Okazuje si¦, »e dwie sko«czone 

przestrzenie topologiczne maj¡ ten sam typ homotopijny wtedy i tylko wtedy, gdy ich 

rdzenie s¡ homeomorczne. 

Inne podej±cie do tematyki przestrzeni sko«czonych odnale¹¢ mo»na w pracy McCorda 

[21]. Autor stowarzysza z cz¦±ciowym porz¡dkiem P abstrakcyjny kompleks symplicjalny 

K(P ), którego sympleksami s¡ sko«czone ªa«cuchy zawarte w P. Wykazuje nast¦pnie, »e 

realizacja geometryczna tego kompleksu jest sªabo homotopijnie równowa»na przestrzeni 

topologicznej odpowiadaj¡cej P. Przykªadowo, dla ka»dej liczby naturalnej n ∈ N istnieje 

odwzorowanie ze sfery n-wymiarowej w przestrze« topologiczn¡ o 2n + 2 elementach 

indukuj¡ce izomorzm na wszystkich grupach homotopii. Podobna zale»no±¢ zachodzi 

pomi¦dzy dowolnym kompleksem symplicjalnym K a cz¦±ciowym porz¡dkiem T (K) wyznaczanym 

przez inkluzj¦ na jego sympleksach. 

Prawdopodobnie niezale»nie od Stonga i McCorda badaniem wy»ej opisanych kompleksów 

symplicjalnych K(P ) stowarzyszonych z cz¦±ciowymi porz¡dkami zaj¡ª si¦ Quillen 

[24]. W swojej pracy udowodniª on, nie odwoªuj¡c si¦ explicite do topologii Aleksandrowa 

na cz¦±ciowym porz¡dku, wiele twierdze«, które okazaªy si¦ istotnymi narz¦dziami 

w badaniu wspomnianych kompleksów oraz postawiª do dzi± nie rozstrzygni¦t¡ hipotez¦ 

5

6 WST†P 

wi¡»¡c¡ ±ci¡galo±¢ kompleksu symplicjalnego wyznaczonego przez cz¦±ciowy porz¡dek na 

nietrywialnych p-podgrupach grupy G z istnieniem normalnej p-podgrupy Sylowa w G. 

Kompleksom symplicjalnych stowarzyszonym z cz¦±ciowymi porz¡dkami po±wi¦cono 

w literaturze wiele uwagi. Przegl¡d tej tematyki odnale¹¢ mo»na w [30]. Natomiast wyniki 

w duchu podobnym do prac Stonga i McCorda uzyskane zostaªy dopiero w ostatnich 

latach. Wymieni¢ tu nale»y osi¡gni¦cia J.A. Barmaka i E.G. Miniana, zebrane s¡ one 

w pracy doktorskiej [3], oraz artykuª T. Osaki [23]. Autorzy ci deniuj¡ szczególne rodzaje 

elementów sko«czonego cz¦±ciowego porz¡dku (elementy nieredukowalne z pracy 

Stonga s¡ ich szczególnym przypadkiem) i badaj¡ wpªyw usuwania tych punktów na wªasno±ci 

homotopijne stowarzyszonej przestrzeni sko«czonej. Uzyskane wyniki pozwalaj¡ 

m.in. na przeniesienie na grunt przestrzeni sko«czonych poj¦cia prostego typu homotopijnego. 

Interesuj¡ce wydaj¡ si¦ równie» prace [5] i [10], w których autorzy wykazuj¡, »e 

zwarty wielo±cian jest homotopijnie równowa»ny granicy odwrotnej systemu odwrotnego 

sko«czonych przestrzeni topologicznych uzyskanego przez iterowanie wy»ej opisanych operacji 

K i T oraz »e zbiór klas homotopii odwzorowa« ci¡gªych mi¦dzy dwoma zwartymi 

wielo±cianami mo»na przedstawi¢ jako granic¦ prost¡ ci¡gu zbiorów klas homotopii odwzorowa« 

mi¦dzy przestrzeniami sko«czonymi. 

O ile przestrzenie sko«czone nabraªy znaczenia, w cieniu pozostaje ich naturalne uogólnienie, 

czyli tak zwane przestrzenie Aleksandrowa. S¡ to przestrzenie posiadaj¡ce t¦ wªasno±¢, 

»e przekrój dowolnej rodziny ich podzbiorów otwartych jest zbiorem otwartym. 

Przestrzeniom sko«czonym, oczywi±cie, wªasno±¢ ta przysªuguje. Aleksandrow w [1] wªa- 

±nie tego rodzaju przestrzeniom, a nie tylko przestrzeniom sko«czonym, przyporz¡dkowaª 

w sposób bijektywny praporz¡dki. 

Z punktu widzenia topologii ogólnej przestrzenie Aleksandrowa badane byªy np. w [16], 

[29], [2]. S¡ stosowane w topologii cyfrowej [20] i zyce (podej±cie do kwantowej teorii grawitacji 

przez tzw. causal sets). O topologii algebraicznej przestrzeni Aleksandrowa wiadomo 

natomiast niewiele. W klasie tej pozostaj¡ prawdziwe wyniki McCorda, w zwi¡zku 

z czym sªaby typ homotopijny niesko«czonych przestrzeni Aleksandrowa mo»e by¢ badany 

dzi¦ki narz¦dziom wypracowanym dla kompleksów symplicjalnych. Pewne rezultaty dla 

przestrzeni niesko«czonych uzyskali równie» Hardie i Vermeulen [10]. 

Niewiele jest jednak wyników dotycz¡cych typu homotopijnego niesko«czonych przestrzeni 

Aleksandrowa. Prób¦ uogólnienia klasykacji uzyskanej przez Stonga podj¡ª w 1999 

F.G. Arenas [2], jednak jego artykuª zawiera istotny bª¡d. Autor niniejszej pracy magisterskiej 

ow¡ pomyªk¦ zauwa»yª i postanowiª j¡ poprawi¢, co cz¦±ciowo si¦ udaªo. Zaowocowaªo 

to publikacj¡ [11]. Klasykacja typów homotopijnych przestrzeni sko«czonych uzyskana 

przez Stonga zostaªa w niej rozszerzona na pewn¡ klas¦ niesko«czonych przestrzeni Aleksandrowa. 

Zostaªy przy tym udowodnione równie» fakty dotycz¡ce przestrzeni funkcji ci¡- 

gªych mi¦dzy przestrzeniami Aleksandrowa oraz rozbieralno±ci niesko«czonych porz¡dków 

cz¦±ciowych, interesuj¡ce z punktu widzenia teorii porz¡dku. Niniejszej praca magisterska 

opiera si¦ na artykule [11], lecz jest od niego bogatsza, przede wszystkim o wersj¦ 

ekwiwariantn¡ twierdzenia klasykacyjnego, uogólniaj¡c¡ prac¦ Stonga [28] z 1984, oraz 

przykªady zastosowa« wypracowanych metod. 

Praca magisterska ma nast¦puj¡cy ukªad. W rozdziale I wprowadzamy terminologi¦ 

i odnotowujemy podstawowe fakty zwi¡zane z porz¡dkami i przestrzeniami Aleksandrowa 

oraz wykazujemy izomorzm kategorii praporz¡dków i kategorii przestrzeni Aleksandrowa,

który po ograniczeniu wyznacza izomorzm kategorii cz¦±ciowych porz¡dków i kategorii 

przestrzeni T 0 Aleksandrowa. 

Rozdziaª II po±wi¦cony jest wªasno±ciom przestrzeni Aleksandrowa nale»¡cym do przedmiotu 

bada« topologii ogólnej, w tym spójno±ci i zwarto±ci, oraz opisowi topologii zwartootwartej 

na przestrzeni odwzorowa« ci¡gªych mi¦dzy dwoma przestrzeniami Aleksandrowa. 

Udowodniony zostaje warunek konieczny i dostateczny na to, aby topologia ta 

byªa topologi¡ Aleksandrowa. Na koniec przedstawione zostaj¡ pewne klasy przestrzeni 

Aleksandrowa, istotne w dalszej cz¦±¢ pracy. W tym rozdziale wyja±niony zostaje równie» 

bª¡d w artykule Arenasa [2]. 

W ostatnim, III rozdziale, wypracowane zostaj¡, bazuj¡ce na wynikach rozdziaªu II, 

narz¦dzia, które pozwalaj¡ na powi¡zanie poj¦cia rozbieralno±ci cz¦±ciowego porz¡dku 

do rdzenia z istnieniem retrakcji deformacyjnej tego porz¡dku na rdze«. S¡ one wykorzystywane 

w celu podania klasykacji ekwiwariantnych typów homotopijnych pewnej 

klasy niesko«czonych przestrzeni Aleksandrowa, a tak»e w innych sytuacjach, m.in. przy 

charakteryzacji ±ci¡galnych przestrzeni Aleksandrowa wysoko±ci 1, badaniu poj¦cia homotopijnej 

dominacji i opisie pewnej klasy H-przestrzeni. Prac¦ zamykaj¡ fakty i przykªady 

dotycz¡ce rozbieralno±ci porz¡dków lokalnie sko«czonych. Na ko«cu rozdziaªów II i III 

postawione s¡ problemy otwarte, mog¡ce wyznacza¢ kierunek dalszych bada«. 

7

8 WST†P

Rozdziaª I 

Preliminaria 

Rozdziaª niniejszy po±wi¦cony jest wprowadzeniu terminologii zwi¡zanej z praporz¡dkami 

oraz przestrzeniami Aleksandrowa. Przedstawiamy w nim równie» dowody podstawowych 

faktów dotycz¡cych tych ostatnich i cytujemy wykorzystywane w dalszej cz¦±ci 

pracy lematy zwi¡zane z cz¦±ciowymi porz¡dkami. Wykazujemy istnienie izomorzmu kategorii 

cz¦±ciowych porz¡dków i przestrzeni T 0 Aleksandrowa oraz sprowadzamy badanie 

typu homotopijnego do badania typu homotopijnego przestrzeni speªniaj¡cych aksjomat 

T 0 , co stanowi w dalszej cz¦±ci pracy spore uªatwienie techniczne. 

Dobre wprowadzenie w stosunkowo mªod¡ i nie nale»¡c¡ do gªównego nurtu matematyki 

teori¦ cz¦±ciowych porz¡dków stanowi ksi¡»ka B. S. W. Schrödera [25]. Zwi¡zki 

mi¦dzy cz¦±ciowymi porz¡dkami a topologi¡ zbli»one do rozwa»anych w tym rozdziale s¡ 

szczegóªowo analizowane z punktu widzenia teorii kategorii w pracy [7]. 

I.1. 

Porz¡dki 

I.1.1. 

Denicje i oznaczenia 

Praporz¡dkiem nazywamy par¦ (P, ), gdzie P jest zbiorem, za± ⊆ P × P relacj¡ 

zwrotn¡ i przechodni¡. Je±li (P, P ), (Q, Q ) s¡ praporz¡dkami, to mówimy, »e odwzorowanie 

f : P → Q zachowuje porz¡dek (jest rosn¡ce), o ile dla ka»dych p, p ′ ∈ P takich, »e 

p P p ′ , zachodzi f(p) Q f(p ′ ). Nietrudno sprawdzi¢, »e praporz¡dki wraz z odwzorowanimi 

rosn¡cymi i zwykª¡ operacj¡ zªo»enia funkcji tworz¡ kategori¦, któr¡ oznaczanamy 

przez Preorder. 

Praporz¡dek (P, ) nazywamy cz¦±ciowym porz¡dkiem (lub posetem), je±li relacja 

jest sªabo antysymetryczna (tzn. dla wszystkich p, p ′ ∈ P je±li p p ′ i p ′ p, to p ′ = p). 

Peªn¡ podkategori¦ kategorii Preorder indukowan¡ przez wszystkie cz¦±ciowe porz¡dki 

oznaczamy przez Poset. 

W dalszym ci¡gu b¦dziemy przy oznaczaniu praporz¡dków pomija¢ relacj¦ , tzn. 

przez napis P jest praporz¡dkiem rozumie¢ b¦dziemy (P, ) jest praporz¡dkiem. Ponadto, 

kiedy nie b¦dzie to prowadziªo do nieporozumie«, tym samym symbolem oznacza¢ 

b¦dziemy relacj¦ porz¡dkuj¡c¡ ró»nych praporz¡dków. 

Niech P b¦dzie praporz¡dkiem oraz p, p ′ ∈ P. Przez p p ′ , p p ′ rozumiemy 

odpowiednio: p ′ p, p p ′ i p ≠ p ′ , p p ′ i p ≠ p ′ . Elementy p, p ′ nazywamy porównywalnymi 

i piszemy p ∼ p ′ , o ile p p ′ lub p ′ p. W przeciwnym wypadku, elemnty p, p ′ 

9

10 ROZDZIAŠ I. PRELIMINARIA 

s¡ nieporównywalne, co oznaczamy przez p ≁ p ′ . Przyjmijmy nast¦puj¡ce oznaczenia: 

p↓= {q ∈ P : q p}, 

p↑= {q ∈ P : q p}. 

Je±li A ⊆ P, to b¦dziemy równie» pisa¢: 

A↓= ⋃ a↓= {p ∈ P : ∃ a∈A p a}, 

a∈A 

A↑= ⋃ a∈A 

a↑= {p ∈ P : ∃ a∈A p a}. 

P nazwamy porz¡dkiem liniowym (lub ªa«cuchem), o ile jest cz¦±ciowym porz¡dkiem 

oraz ka»de dwa elementy nale»¡ce do P s¡ porównywalne. P nazywamy antyªa«cuchem, 

o ile ka»de dwa elementy z P s¡ nieporównywalne. Praporz¡dkiem dualnym do P nazywamy 

praporz¡dek P d = (P, d ) taki, »e q d q ′ wtedy i tylko wtedy, gdy q ′ q dla 

wszystkich q, q ′ ∈ P. 

Element p nazywamy maksymalnym w P, o ile nie istnieje q ∈ P takie, »e q > p. 

Element p nazywamy minimalnym w P, o ile jest maksymalny w P d . Zbiory elementów 

maksymalnych i minimalnych w P oznacza¢ b¦dziemy przez, odpowiednio, max(P ) 

i min(P ). Element p nazywamy najmniejszym w P, o ile p < q dla wszystkich q ∈ P {p}. 

Element p jest kresem górnym podzbioru A ⊆ P, o ile jest elementem najmniejszym zbioru 

{q ∈ P : ∀ a∈A q a}. Dualnie deniujemy kres dolny. 

Je±li Q ⊆ P, to relacja ograniczona do Q wyznacza struktur¦ praporz¡dku na Q. 

Mówimy, »e zbiór Q wyposa»ony w t¦ relacj¦ jest podporz¡dkiem P lub »e porz¡dek na Q 

jest indukowany przez porz¡dek na P. 

Mówimy, »e p ′ jest pokryciem górnym p i piszemy p ′ ≻ p, o ile p ′ jest elementem 

minimalnym w p↑ {p}. Dualnie deniujemy pokrycie dolne. 

Mówimy, »e P speªnia warunek ci¡gu wst¦puj¡cego (ACC, od ang. ascending chain 

condition), o ile nie istnieje ci¡g (p i ) i∈N elementów P taki, »e p i 

i ∈ N (tzn. niesko«czony ci¡g wst¦puj¡cy). Innymi sªowy, P nie zawiera podporz¡dku 

izomorcznego ze zbiorem liczb naturalnych ze standardowym porz¡dkiem, który uto»samia¢ 

mo»na z liczb¡ porz¡dkow¡ ω. P speªnia warunek ci¡gu zst¦puj¡cego (DCC), o ile 

P d speªnia warunek ci¡gu wst¦puj¡cego. 

Dla punktu p ∈ P i liczby n ∈ N >0 deniujemy zbiór 

{ 

{q : q ∼ p} dla n = 1 

B(p, n) = 

. 

⋃q∈B(p,n−1) 

B(q, 1) dla n > 1 

Diagramem Hassego cz¦±ciowego porz¡dku P nazywamy graf skierowany G = (V, E), 

gdzie V = P oraz E =≺, tzn. w grae G istnieje kraw¦d¹ z p do q wtedy i tylko wtedy, 

gdy p ≺ q. Rysuj¡c diagram Hassego zazwyczaj nie zaznacza si¦ orientacji strzaªek, rozumiej¡c, 

»e elementy narysowane ni»ej s¡ mniejsze od elementów narysowanych wy»ej. 

Przykªadowo, diagram Hassego porz¡dku podzielno±ci na zbiorze {2, 3, 4, 6, 12} jest przedstawiony 

na rysunku I.1.

I.1. PORZ DKI 11 

• 12 

 

 

• 4 • 

 

6 

• 2 • 3 

Rysunek I.1: Diagram Hassego porz¡dku podzielno±ci na zbiorze {2, 3, 4, 6, 12}. 

Nietrudno zauwa»y¢, »e je±li porz¡dek P nie zawiera podzbioru izomorcznego z ω + 1 

ani z porz¡dkiem dualnym do ω + 1, to relacja jest przechodnim domkni¦ciem relacji 

≺. Zatem w tym wypadku diagram Hassego P jednoznacznie opisuje porz¡dek P. 

Dªugo±ci¡ ªa«cucha sko«czonego {x 0 < x 1 < . . . < x n } nazywamy liczb¦ n. Je±li porz¡- 

dek P zawiera ªa«cuchy dowolnej dªugo±ci, to mówimy, »e wysoko±¢ P jest niesko«czona. 

W przeciwnym wypadku, przez wysoko±¢ P rozumiemy maksymaln¡ dªugo±¢ ªa«cucha 

zawartego w P. 

Palisad¡ (ang. fence) sko«czon¡ nazywamy zbiór cz¦±ciowo uporz¡dkowany izomor- 

czny ze zbiorem o elementach {x 1 , . . . , x n } dla pewnego n 2 takim, »e x 1 < x 2 > 

x 3 < x 4 > . . . < x n gdy n jest parzyste i x 1 < x 2 > x 3 < x 4 > . . . > x n albo 

x 1 > x 2 < x 3 > x 4 < . . . < x n gdy n jest nieparzyste, oraz nie zachodzi »adna nierówno±¢ 

x i > x j nie wymieniona powy»ej. Rozwa»a¢ b¦dziemy równie» palisady jedno- i dwustronnie 

niesko«czone. S¡ to zbiory izomorczne odpowiednio ze zbiorem {x 1 , x 2 , x 3 , . . .} 

z porz¡dkiem x 1 < x 2 > x 3 < x 4 > . . . albo porz¡dkiem do niego dualnym i ze zbiorem 

{. . . , x −2 , x −1 , x 0 , x 1 , x 2 , . . .} z porz¡dkiem . . . < x −2 > x −1 < x 0 > x 1 < x 2 > . . . 

Sko«czony zbiór cz¦±ciowo uporz¡dkowany C n o elementach {x 1 , x 2 , . . . , x n } taki, »e 

x 1 < x 2 > x 3 < x 4 > . . . < x n > x 1 oraz nie zachodzi »adna nierówno±¢ x i > x j nie 

wymieniona w tym ci¡gu nazywamy koron¡. 1 Diagramy Hassego korony oraz sko«czonej 

palisady s¡ przedstawione na rysunku I.2. 

• x 2 

• x 4 

• x 6 

 

• x 1 

• x 3 

• x 5 

• x 2 

• x 4 

• x 6 

 

 

• x 1 

• x 3 

• x 5 

Rysunek I.2: Sze±cioelementowa palisada i sze±cioelementowa korona. 

Zauwa»my, »e korony i palisady (sko«czone i niesko«czone) s¡ przykªadami cz¦±ciowych 

porz¡dków wysoko±ci 1. 

1 Nazw¦ najlepiej chyba uzasadnia wygl¡d diagramu Hassego korony narysowanego w trójwymiarze 

tak, aby elementy C n le»aªy na bocznej powierzchni walca.


I.1.2. 

Standardowe lematy 

W podsekcji tej dla wygody czytelnika zacytujemy szereg standardowych w teorii cz¦- 

±ciowych porz¡dków lematów. Pierwsze dwa uznajemy za ogólnie znane, przy pozostaªych 

podajemy odno±niki do przykªadowych ¹ródeª. 

Lemat I.1.1. Cz¦±ciowy porz¡dek P speªnia ACC wtedy i tylko wtedy, gdy ka»dy niepusty 

zbiór Q ⊆ P posiada element maksymalny. 

Lemat I.1.2. Ka»dy niesko«czony ªa«cuch C zawiera podzbiór izomorczny z ω lub podzbiór 

izomorczny z ω d . 

Lemat I.1.3 ([25], Wniosek 2.5.10). Ka»dy niesko«czony cz¦±ciowy porz¡dek zawiera niesko«czony 

ªa«cuch lub niesko«czony antyªa«cuch. 

Lemat I.1.4 ([13], Rozdziaª VI, Ÿ3 ,Twierdzenie 3). Ka»dy przeliczalny ªa«cuch jest izomorczny 

z pewnym podzbiorem liczb wymiernych ze standardowym porz¡dkiem. 

Lemat I.1.5 ([25], Lemat 4.4.4). Niech P b¦dzie cz¦±ciowym porz¡dkiem wysoko±ci 1, za± 

C ⊆ P koron¡ minimalnej mocy zawart¡ w P . Wówczas C jest retraktem P . 

I.2. 

Przestrzenie Aleksandrowa 

I.2.1. 

Podstawowe fakty 

Przestrze« topologiczn¡ X nazywamy przestrzeni¡ Aleksandrowa, o ile dla dowolnej 

rodziny {U i } i∈I otwartych podzbiorów X zbiór ⋂ i∈I U i jest otwarty w X. 

Przykªad I.2.1. Przestrzeniami Aleksandrowa s¡: ka»da przestrze« sko«czona, ka»da 

przestrze« dyskretna, ka»da przestrze« antydyskretna. 

Stwierdzenie I.2.2. Niech X b¦dzie przestrzeni¡ topologiczn¡. Nast¦puj¡ce warunki s¡ 

równowa»ne. 

1. X jest przestrzeni¡ Aleksandrowa. 

2. Dla dowolnej rodziny {F i } i∈I domkni¦tych podzbiorów X zbiór ⋃ i∈I F i jest domkni¦ty 

w X. 

3. Dla ka»dego elementu x ∈ X istnieje najmniejsze (w sensie inkluzji) otoczenie 

otwarte punktu x. 

Dowód. Warunek 2. wynika z warunku 1., gdy» zbiór ⋃ i∈I F i jest domkni¦ty wtedy i tylko 

wtedy, gdy zbiór X ⋃ i∈I F i = ⋂ i∈I (X F i) jest otwarty. Podobnie wykazujemy, »e 

warunek 1. wynika z warunku 2. 

Warunek 3. wynika z warunku 1., gdy» przekrój wszystkich otocze« otwartych punktu 

x ∈ X jest wobec warunku 1. zbiorem otwartym. Jest zatem najmniejszym otoczeniem 

otwartym x. Z drugiej strony, warunek 3. poci¡ga warunek 1. Je±li bowiem ka»dy punkt 

x ∈ X posiada najmniejsze otoczenie otwarte U x , to dla y ∈ ⋂ i∈I V i, gdzie {V i } i∈I jest 

rodzin¡ zbiorów otwartych, mamy U y ⊆ V i dla ka»dego i ∈ I, wi¦c U y ⊆ ⋂ ⋂ 

i∈I V i. Zatem 

i∈I V i jest zbiorem otwartym.

I.2. PRZESTRZENIE ALEKSANDROWA 13 

Je±li X jest przestrzeni¡ Aleksandrowa, to najmniejsze otoczenie otwarte punktu 

x ∈ X b¦dziemy oznacza¢ przez U x . Zauwa»my, »e rodzina {U x } x∈X jest baz¡ otwart¡ 

przestrzeni X. 

Stwierdzenie I.2.3. Niech X b¦dzie przestrzeni¡ Aleksandrowa. Wówczas: 

1. X speªnia aksjomat oddzielania T 1 wtedy i tylko wtedy, gdy X jest przestrzeni¡ dyskretn¡. 

2. X speªnia aksjomat oddzielania T 0 wtedy i tylko wtedy, gdy dla ka»dej pary elementów 

x, y ∈ X takiej, »e x ≠ y, zachodzi U x ≠ U y . 

Dowód. Przestrze« Aleksandrowa X jest przestrzeni¡ T 1 wtedy i tylko wtedy, gdy ka»dy 

jednoelementowy zbiór {x} ⊆ X jest domkni¦ty, co wobec warunku 2 stwierdzenia I.2.2 

jest równowa»ne temu, »e dowolny zbiór A ⊆ X jest domkni¦ty, gdy» A = ⋃ a∈A {a}. 

Udowodnili±my punkt 1. 

Dla dowodu 2. zaªó»my najpierw, »e przestrze« Aleksandrowa X speªnia aksjomat T 0 . 

We¹my dowolne punkty x, y ∈ X, x ≠ y. Istnieje otoczenie otwarte U punktu x takie, »e 

y ∉ U, lub istnieje otoczenie otwarte V punktu y takie, »e x ∉ V . Dla ustalenia uwagi 

zaªó»my, »e zachodzi pierwsza z tych mo»liwo±ci. Wówczas U x ⊆ U, ale y ∈ U y ⊈ U, 

zatem U x ≠ U y . Je±li za± zaªo»ymy, »e U x ≠ U y dla wszystkich par x, y ∈ X, x ≠ y, to 

dla dowolnej pary x, y ∈ X, x ≠ y mamy x ∉ U y lub y ∉ U x . W przeciwnym bowiem 

wypadku mieliby±my U x ⊆ U y i U y ⊆ U x , co przeczyªoby zaªo»eniu U x ≠ U y . 

I.2.2. 

Funktor X 

Kategori¦ przestrzeni Aleksandrowa i odwzorowa« ci¡gªych oznacza¢ b¦dziemy przez 

Al, za± kategori¦ przestrzeni Aleksandrowa speªniaj¡cych aksjomat T 0 przez T 0 Al. 

Zdeniujemy teraz funktor X : Preorder → Al. Je±li P jest praporz¡dkiem, to 

zbiór elementów przestrzeni X (P ) pokrywa si¦ ze zbiorem elementów praporz¡dku P, 

za± baz¦ otwart¡ X (P ) stanowi rodzina {x ↓} x∈X . Odwzorowaniu rosn¡cemu f : P → Q 

przyporz¡dkowujemy odwzorowanie ci¡gªe X (f) : X (P ) → X (Q) o tym samym co 

f wykresie, tzn. X (f)(p) = f(p) dla ka»dego p ∈ P. 

Stwierdzenie I.2.4. Wy»ej opisany funktor jest poprawnie zdeniowany, tzn. przestrze« 

X (P ) jest Aleksandrowa oraz odwzorowanie X (f) : X (P ) → X (Q) jest ci¡gªe dla wszystkich 

praporz¡dków P, Q i ka»dego odwzorowania rosn¡cego f : P → Q. 

Dowód. 

⋃ 

Poniewa» {x↓} x∈X jest baz¡ przestrzeni X (P ), zbiory otwarte w X (P ) s¡ postaci 

a∈A 

a ↓= A ↓, gdzie A ⊆ X. Zauwa»my, »e je±li y ∈ x ↓, to y ↓⊆ x ↓. Wobec tego 

x ↓⊆ A ↓ dla x ∈ A ↓. Zatem dla dowolnego x ∈ X (P ) i dowolnego otoczenia otwartego 

U ↓⊆ X (P ) punktu x mamy x ↓⊆ U ↓, czyli x ↓ jest najmniejszym otoczeniem otwartym 

punktu x ∈ X (P ). Zgodznie ze stwierdzeniem I.2.2 oznacza to, »e X (P ) jest przestrzeni¡ 

Aleksandrowa. 

Niech teraz f : P → Q b¦dzie odwzorowaniem rosn¡cym. We¹my element bazy X (Q), 

tzn. zbiór q ↓ dla pewnego q ∈ Q. Ustalmy element p ∈ X (f) −1 (q ↓). Dla p znajdziemy 

teraz otoczenie otwarte zawarte w X (f) −1 (q ↓). Je±li p ′ ∈ P jest takie, »e p ′ p, to 

f(p ′ ) f(p), wi¦c p ′ ∈ X (f) −1 (q ↓). Zatem p ↓⊆ X (f) −1 (q ↓), czyli X (f) −1 (q ↓) jest 

zbiorem otwartym. Funkcja X (f) jest ci¡gªa.


Stwierdzenie I.2.5. Je±li P jest praporz¡dkiem, to X (P ) jest przestrzeni¡ T 0 wtedy 

i tylko wtedy, gdy P jest cz¦±ciowym porz¡dkiem. 

Dowód. Wiemy ze stwierdzenia I.2.3 i dowodu stwierdzenia I.2.4, »e X (P ) jest przestrzeni¡ 

T 0 wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych p ≠ q, p, q ∈ P zachodzi p↓̸= q ↓. Równowa»nie, 

p ↓⊈ q ↓ lub q ↓⊈ p ↓, co oznacza z kolei, »e p ̸ q lub q ̸ p, czyli »e P jest cz¦±ciowym 

porz¡dkiem. 

Zanotujmy jeszcze istotny wniosek z dowodu stwierdzenia I.2.4. 

Wniosek I.2.6. Je±li P jest praporz¡dkiem, to zbiór U ⊆ P jest otwarty w X (P ) wtedy 

i tylko wtedy, gdy dla ka»dej pary elementów x, y ∈ P takiej, »e x y i y ∈ U, zachodzi 

x ∈ U (tzn. U jest zamkni¦ty ze wzgl¦du na branie elementów mniejszych). 

Zbiór F ⊆ P jest domkni¦ty w X (P ) wtedy i tylko wtedy, gdy dla ka»dej pary elementów 

x, y ∈ P takiej, »e x y i x ∈ F , zachodzi y ∈ F (tzn. F jest zamkni¦ty ze wzgl¦du na 

branie elementów wi¦kszych). 

Dowód. Wiemy z dowodu stwierdzenia I.2.4, »e ka»dy zbiór otwarty U ⊆ X (P ) jest 

zamkni¦ty ze wzgl¦du na branie elementów mniejszych. Z drugiej strony, je±li zbiór 

U ⊆ X (P ) jest zamkni¦ty ze wzgl¦du na branie elementów mniejszych, to U = ⋃ u∈U u ↓ 

jest zbiorem otwartym. 

Zauwa»my teraz, »e zbiór F ⊆ X (P ) jest zamkni¦ty ze wzgl¦du na branie elementów 

wi¦kszych wtedy i tylko wtedy, gdy dla x ∉ F i y x mamy y ∉ F. Oznacza to, »e X F 

jest zamkni¦ty ze wzgl¦du na branie elementów mniejszych, czyli jest otwarty. 

I.3. 

Izomorzm kategorii Al i Preorder 

I.3.1. 

Funktor P 

Oznaczmy przez Top kategori¦ przestrzeni topologicznych i odwzorowa« ci¡gªych. 

Istnieje funktor P : Top → Preorder przyporz¡dkowuj¡cy przestrzeni topologicznej 

X praporz¡dek P(X), zwany praporz¡dkiem specjalizacji 2 . Zbiór elementów praporz¡dku 

specjalizacji P(X) pokrywa si¦ ze zbiorem elementów przestrzeni X, za± relacja porz¡dkuj¡ca 

zadana jest w nast¦puj¡cy sposób: 

x y wtedy i tylko wtedy, gdy y ∈ {x}. 

Funkcji ci¡gªej f : X → Y przyporz¡dkowujemy funkcj¦ rosn¡c¡ P(f) : P(X) → P(Y ) 

o tym samym co f wykresie, tzn. P(f)(x) = f(x) dla ka»dego punktu x ∈ X. 

Stwierdzenie I.3.1. Wy»ej opisany funktor jest poprawnie zdeniowany, tzn. P(X) jest 

praporz¡dkiem oraz odwzorowanie P(f) : P(X) → P(Y ) zachowuje porz¡dek dla wszystkich 

przestrzeni topologicznych X, Y oraz dla ka»dego odwzorowania ci¡gªego f : X → Y . 

Dowód. Niech x ∈ X. Wówczas x ∈ {x}, wi¦c x x. Zatem jest zwrotna. Wyka»emy 

teraz przechodnio±¢ . Niech x, y, z ∈ X b¦d¡ takie, »e x y i y z, tzn. y ∈ {x} 

i z ∈ {y}. Poniewa» {y} ⊆ {x}, mamy {y} ⊆ {x}, wi¦c z ∈ {x}, czyli x z. 

2 Cz¦sto praporz¡dkiem specjalizacji nazywa si¦ porz¡dek dualny do tutaj zdeniowanego.

I.3. IZOMORFIZM KATEGORII AL I PREORDER 15 

Niech f : X → Y b¦dzie odwzorowaniem ci¡gªym oraz x, y ∈ X b¦d¡ takie, »e x y, 

tzn. y ∈ {x}. Poniewa» f jest ci¡gªe, f(y) ∈ f({x}) ⊆ f({x}) = {f(x)}, czyli f(x) f(y). 

Zatem f zachowuje porz¡dek. 

Stwierdzenie I.3.2. Przestrze« topologiczna X speªnia aksjomat oddzielania T 0 wtedy 

i tylko wtedy, gdy P(X) jest cz¦±ciowym porz¡dkiem. Przestrze« topologiczna X speªnia 

aksjomat oddzielania T 1 wtedy i tylko wtedy, gdy P(X) jest antyªa«cuchem. 

Dowód. Przestrze« X jest T 0 wtedy i tylko wtedy, gdy dla ka»dych x, y ∈ X zachodzi 

y ∉ {x} lub x ∉ {y}, tzn. y ̸ x lub x ̸ y. (Wynika to natychmiast z faktu, »e x ∈ {y} 

wtedy i tylko wtedy, gdy dla ka»dego otoczenia otwartego U punktu x zachodzi y ∈ U.) 

Przestrze« topologiczna X speªnia aksjomat T 1 wtedy i tylko wtedy, gdy zbiory jednoelementowe 

w X s¡ domkni¦te. Innymi sªowy, dla ka»dych x, y ∈ X je±li y ∈ {x}, to 

y = x. Jest to równowa»ne stwierdzeniu, »e x y implikuje x = y w P(X), tzn. P(X) 

jest antyªa«cuchem. 

I.3.2. 

X = P −1 

Niech P| Al : Al → Preorder oznacza funktor P : Top → Preorder ograniczony 

do kategorii przestrzeni Aleksandrowa, za± P| T0 Al : T 0 Al → Poset ten sam funktor 

ograniczony do kategorii przestrzeni T 0 Aleksandrowa. Niech X | Poset : Poset → T 0 Al 

oznacza funktor X : Preorder → Al zdeniowany w sekcji I.2 ograniczony do kategorii 

cz¦±ciowych porz¡dków. 

Stwierdzenie I.3.3. Funktory P| Al : Al → Preorder i X : Preorder → Al s¡ wzajemnie 

odwrotne. Funktory P| T0 Al : T 0 Al → Poset i X | Poset : Poset → T 0 Al s¡ wzajemnie 

odwrotne. 

Dowód. Niech P b¦dzie praporz¡dkiem. Poka»emy, »e P(X (P ))=P.Z denicji P i X zbiory 

elementów P i P(X (P )) s¡ równe. Niech x, y ∈ P i x y w P. Oznacza to, »e x ∈ U y . 

Poniewa» U y jest najmniejszym otoczeniem otwartym y, dla ka»dego otoczenia otwartego 

U punktu y mamy x ∈ U y ⊆ U, czyli y ∈ {x}. Wobec tego x y w P(X (P )). 

Niech teraz X b¦dzie przestrzeni¡ Aleksandrowa. Zbiory elementów X i X (P(X)) s¡ 

równe. Niech U x b¦dzie najmniejszym otoczeniem otwartym pewnego punktu x ∈ X. 

Podobnie jak w poprzedniej cz¦±ci dowodu otrzymujemy 

{y ∈ X : y ∈ U x } = {y ∈ X : x ∈ {y}} = {y ∈ X : y x w P(X)}. 

Ostatni spo±ród zbiorów w powy»szym ci¡gu jest najmniejszym otoczeniem otwartym 

x w X (P(X)). Topologie przestrzeni X i X (P(X)) s¡ zatem identyczne. 

Mo»liwo±¢ zªo»enia funktorów P| T0 Al : T 0 Al → Poset i X | Poset : Poset → T 0 Al wynika 

ze stwierdze« I.2.3 i I.3.2. Fakt, »e s¡ one wzajemnie odwrotne, wynika z powy»szego 

rozumowania. 

Wykazali±my, »e kategorie Al i Preorder oraz kategorie T 0 Al i Poset s¡ izomor- 

czne. W dalszym ci¡gu b¦dziemy uto»samia¢ praporz¡dki ze stowarzyszonymi z nimi 

przestrzeniami Aleksandrowa, tzn. pomija¢ w zapisie funktory X , P.


I.4. 

Koªmogorykacja 

I.4.1. 

Dziaªanie koªmogorykacji 

Niech X oznacza przestrze« topologiczn¡. Wprowad¹my na zbiorze elementów przestrzeni 

X relacj¦ dwuargumentow¡ K = {(x, y) ∈ X × X : x ∈ {y} i y ∈ {x}}. Nietrudno 

zauwa»y¢, »e K jest relacj¡ równowa»no±ci oraz »e X jest przestrzeni¡ T 0 wtedy i tylko 

wtedy, gdy K jest relacj¡ identyczno±ciow¡. Przez [x] oznaczmy klas¦ abstrakcji elementu 

x ∈ X wzgl¦dem relacji K. Przestrze« ilorazow¡ X 0 = X/K nazywa¢ b¦dziemy koªmogorykacj¡ 

przestrzeni X. Niech p : X → X 0 oznacza odwzorowanie ilorazowe. 

Lemat I.4.1. Przy powy»szych oznaczeniach prawdziwe s¡ nast¦puj¡ce stwierdzenia. 

1. Je±li U ⊆ X jest zbiorem otwartym oraz x ∈ U, to [x] ⊆ U. 

2. Je±li U ⊆ X jest zbiorem otwartym, to p −1 (p(U)) = U. 

3. Odwzorowanie p : X → X 0 jest otwarte. 

4. Ka»de odwzorowanie j : X 0 → X takie, »e p ◦ j = Id X0 jest ci¡gªe. 

Dowód. Rozwa»my sytuacj¦ z punktu 1. Przypu±¢my, »e istnieje x ′ ∈ X takie, »e 

x ′ ∈ [x] U. Wówczas x ∈ {x ′ } ⊆ X U, co jest sprzeczne z zaªo»eniem x ∈ U. 

Przejd¹my do dowodu stwierdzenia 2. Oczywi±cie U ⊆ p −1 (p(U)). Z drugiej strony, 

niech x ∈ p −1 (p(U)). Oznacza to, »e p(x) ∈ p(U), czyli x ∈ [x ′ ] dla pewnego x ′ ∈ U. 

Z punktu 1. wynika, »e x ∈ U. 

Dla dowodu 3. zaªó»my, »e U ⊆ X jest zbiorem otwartym. Z denicji topologii ilorazowej 

zbiór p(U) jest otwarty wtedy i tylko wtedy, gdy p −1 (p(U)) jest otwarty. Ale z 2. 

wiemy, »e p −1 (p(U)) = U. 

Aby udowodni¢ 4. rozwa»my zbiór otwarty U ⊆ X. Równo±¢ p ◦ j = Id X0 oznacza, »e 

dla ka»dego x ∈ X zachodzi j([x]) ∈ [x]. Ze punktu 1. wynika, »e 

j −1 (U) = {[x] ∈ X 0 : j([x]) ∈ U} = {[x] : x ∈ U} = p(U) 

i zbiór ten jest otwarty, gdy» odwzorowanie p jest, zgodnie z punktem 3., otwarte. 

Wniosek I.4.2. Dla ka»dej przestrzeni X jej koªmogorykacja X 0 jest przestrzeni¡ T 0 . 

Dowód. Je±li [x], [y] ∈ X 0 s¡ ró»nymi klasami abstrakcji relacji K, to x ∉ {y} lub 

y ∉ {x}. Mo»emy zaªo»y¢, »e zachodzi pierwszy z tych warunków. Wówczas y ∈ X {x}. 

Zauwa»my, »e wobec punktu 2. lematu I.4.1 zachodzi [x] ∉ p(X {x}) ∋ [y]. Ponadto, 

p(X {x}) jest otwarty, gdy» odwzorowanie p jest otwarte na mocy punktu 3. lematu 

I.4.1. 

Zauwa»my, »e w przypadku gdy X jest przestrzeni¡ Aleksandrowa, tzn. praporz¡dkiem, 

odwzorowanie ilorazowe X → X 0 uto»samia elementy x, y ∈ X takie, »e x y 

i y x. Koªmogorykacja X 0 jest wi¦c cz¦±ciowym porz¡dkiem powstaªym przez sklejenie 

tych elementów.

I.4. KOŠMOGORYFIKACJA 17 

I.4.2. 

Wªasno±ci zachowywane przez koªmogorykacj¦ 

Wiele wªasno±ci topologicznych zachowuje si¦ przy koªmogorykacji. Poni»sze dwa 

stwierdzenia, szczególnie dla nas istotne, dobrze ilustruj¡ ten fakt. 

Stwierdzenie I.4.3. Przestrze« topologiczna X jest homotopijnie równowa»na swojej 

koªmogorykacji X 0 . 

Dowód. Niech p : X → X 0 b¦dzie odwzorowaniem ilorazowym. Dla ka»dej klasy abstrakcji 

A i ∈ X 0 relacji K na X ustalmy jej reprezentanta x i ∈ A i = [x i ]. Odwzorowanie 

j : X 0 → X zadane wzorem j([x i ]) = x i jest ci¡gªe na mocy punktu 4 lematu I.4.1, bo 

p ◦ j = Id X0 . Rozwa»my odwzorowanie F : X × I → X zadane wzorem 

{ 

x dla t = 0 

F (x, t) = 

j ◦ p(x) dla t ≠ 0 

dla x ∈ X i t ∈ I. Poka»emy, »e F jest ci¡gªe, czyli jest homotopi¡ mi¦dzy Id X a j ◦ p, co 

zako«czy dowód. Niech U ⊆ X b¦dzie zbiorem otwartym. Mamy 

F −1 (U) = {(x, t) : F (x, t) ∈ U} = 

= {(x, 0) : x ∈ U} ∪ {(x, t) : t ≠ 0, j(p(x)) ∈ U} = 

= U × {0} ∪ U × (0, 1] = 

= U × I. 

Stwierdzenie I.4.4. Przestrze« topologiczna X jest zwarta 3 [spójna, ªukowo spójna] 

wtedy i tylko wtedy, gdy zwarta [spójna, ªukowo spójna] jest jej koªmogorykacja X 0 . 

Dowód. Zwarto±¢, spójno±¢ i ªukowa spójno±¢ s¡ zachowywane przez odwzorowania ci¡gªe, 

w szczególno±ci przez odwzorowanie ilorazowe p : X → X 0 . 

Z drugiej strony, zaªó»my, »e X 0 jest zwarta. Niech {U j } j∈J b¦dzie otwartym pokryciem 

X. Wówczas z {p(U j )} j∈J mo»na wybra¢ podpokrycie sko«czone {p(U j1 ), . . . , p(U jn )} 

przestrzeni X 0 . Zbiory {U j1 , . . . , U jn } tworz¡ pokrycie X, gdy» dla dowolnego x ∈ X mamy 

p(x) ∈ p(U ik ) dla pewnego k ∈ {1, . . . , n}, co wobec lematu I.4.1 oznacza, »e x ∈ U ik . 

Dalej, je±li X jest niespójna, to istniej¡ niepuste zbiory otwarte U, V ⊆ X takie, »e 

U ∪ V = X i U ∩ V = ∅. Ale wówczas ich obrazy p(U), p(V ) ≠ ∅ s¡, na mocy lematu I.4.1, 

zbiorami otwartymi takimi, »e p(U) ∪ p(V ) = X 0 i p(U) ∩ P (V ) = ∅ (ponownie lemat 

I.4.1), czyli X 0 jest niespójna. 

Wreszcie, je±li X 0 jest ªukowo spójna i x, y ∈ X, to istnieje droga h : I → X 0 taka, »e 

h(0) = p(x), h(1) = p(y). Niech j : X 0 → X b¦dzie funkcj¡ przyporz¡dkowuj¡c¡ ka»dej 

klasie abstrakcji relacji K pewien jej element. Nietrudno zauwa»y¢, »e ci¡gªa jest funkcja 

h ′ : I → X zadana wzorem 

⎧ 

⎪⎨ x dla t = 0 

h ′ (t) = j(h(x)) dla t ∈ (0, 1) . 

⎪⎩ 

y dla t = 1 

3 Przez zwart¡ przestrze« topologiczn¡ rozumiemy przestrze« tak¡, »e z ka»dego pokrycia otwartego 

tej przestrzeni mo»na wybra¢ podpokrycie sko«czone. Nie »¡damy, aby przestrze« ta speªniaªa aksjomat 

oddzielania T 2 . Przestrzenie takie s¡ czasem w literaturze nazywane quasi-zwartymi.


Ze wzgl¦du na powy»sze stwierdzenia w dalszym ci¡gu rozwa»a¢ b¦dziemy, bez zmniejszenia 

ogólno±ci, jedynie przestrzenie T 0 . Zabieg ten oszcz¦dzi nam technicznych niedogodno±ci 

przy formuªowaniu twierdze«. W przypadku gdy zachodziªaby potrzeba stosowania 

którego± z wyników niniejszej pracy do przestrzeni nie speªniaj¡cych aksjomatu T 0 , nale»y 

zast¡pi¢ je ich koªmogorykacjami.

Rozdziaª II 

Topologiczne wªasno±ci przestrzeni 


W rozdziale tym przedstawimy charakteryzacj¦ w klasie przestrzeni Aleksandrowa 

kilku standardowych wªasno±ci topologicznych: zwarto±ci, spójno±ci i ªukowej spójno±ci. 

Omówione zostan¡ produkty i podprzestrzenie przestrzeni Aleksandrowa. Zajmiemy si¦ 

równie» badaniem przestrzeni funkcji ci¡gªych mi¦dzy przestrzeniami Aleksandrowa z topologi¡ 

zwarto-otwart¡. Oka»e si¦, »e na ogóª nie s¡ one przestrzeniami Aleksandrowa. 

Fakt ten b¦dzie miaª istotne konsekwencje w dalszej cz¦±ci pracy. Na koniec omówimy 

wybrane klasy przestrzeni Aleksandrowa, do pewnego stopnia bliskie klasie przestrzeni 

sko«czonych. 

Przypomnijmy, »e zakªadamy, i» wszystkie rozwa»ane przestrzenie s¡ T 0 . 

II.1. 

Podprzestrzenie i produkty 

Rozpocznijmy od dwóch prostych obserwacji 

Stwierdzenie II.1.1. Podprzestrze« A przestrzeni Aleksandrowa X jest przestrzeni¡ 

Aleksandrowa wyznaczon¡ przez porz¡dek na X ograniczony do zbioru A. 

Dowód. Niech A b¦dzie podprzestrzeni¡ przestrzeni Aleksandrowa X. Ustalmy punkt 

a ∈ A. Wówczas a ↓ ∩A jest zbiorem otwartym w A. Poka»emy, »e jest to najmniejsze 

otoczenie otwarte punktu a w przestrzeni A. Niech U ⊆ A b¦dzie otwarty, tzn. U = V ∩A 

dla pewnego zbioru otwartego V ⊆ X. Poniewa» a↓⊆ V , mamy a↓ ∩A ⊆ V ∩ A = U. 

Stwierdzenie II.1.2. Niech X, Y b¦d¡ przestrzeniami Aleksandrowa. Wówczas X × Y 

jest przestrzeni¡ Aleksandrowa wyznaczon¡ przez nast¦puj¡cy porz¡dek: (x, y) (x ′ , y ′ ) 

dla x, x ′ ∈ X, y, y ′ ∈ Y wtedy i tylko wtedy, gdy x x ′ i y y ′ . 

Dowód. Wystarczy pokaza¢, »e dla dowolnej pary (x, y) ∈ X × Y zbiór x ↓ ×y ↓ jest jej 

najmniejszym otoczeniem otwartym. Rozwa»my w tym celu otoczenie otwarte U punktu 

(x, y). Mo»emy zakªada¢, »e jest ono postaci U X ×U Y , gdzie U X ⊆ X, U Y ⊆ Y s¡ zbiorami 

otwartymi. Mamy zatem: x↓⊆ U X , y ↓⊆ U Y , wi¦c x↓ ×y ↓⊆ U. 

Ze stwierdzenia powy»szego wynika poprzez indukcj¦, i» sko«czone produkty przestrzeni 

Aleksandrowa s¡ Aleksandrowa. Nie jest to jednak prawd¡ dla produktów niesko«czonych. 

19

20 ROZDZIAŠ II. TOPOLOGICZNE WŠASNO‘CI 

Stwierdzenie II.1.3. Produkt (z topologi¡ Tichonowa) rodziny {X i } i∈I niepustych przestrzeni 

Aleksandrowa jest przestrzeni¡ Aleksandrowa wtedy i tylko wtedy, gdy X i jest zbiorem 

jednoelementowym dla prawie wszystkich i ∈ I. 

Dowód. Oczywi±cie ∏ i∈I X i jest izomorczny z ∏ i∈I,|X i |̸=1 X i. Je±li zatem X i jest zbiorem 

jednoelementowym dla prawie wszystkich i ∈ I, to produkt ∏ i∈I X i jest w istocie 

produktem sko«czonym i stosujemy ostatnie stwierdzenie. 

Z drugiej strony, przypu±¢my, »e |X i | 2 dla niesko«czenie wielu, czyli bez zmniejszenia 

ogólno±ci dla wszystkich i ∈ I. Dla ka»dego i ∈ I ustalmy zbiór otwarty U i X i . 

Niech 

{ 

X i dla i ≠ j 

A j (i) = 

U j dla i = j . 

Wówczas zbiory A j = ∏ i∈I A j(i) s¡ otwarte w ∏ i∈I X i. Ale ∏ i∈I U i = ⋂ j∈I Aj nie jest 

zbiorem otwartym. 

Zatem w istocie tylko sko«czone produkty (z topologi¡ Tichonowa) przestrzeni Aleksandrowa 

s¡ przestrzeniami Aleksandrowa. Nale»y jednak odnotowa¢, »e w kategorii Al 

(czyli Preorder) istniej¡ produkty w sensie teorii kategorii porz¡dek ustala si¦ po wspóªrz¦dnych. 

Topologia Aleksandrowa indukowana na produkcie przez ten porz¡dek to tzw. 

box topology. W dalszej cz¦±ci nie b¦dziemy tego rodzaju produktów wykorzystywa¢. 

II.2. 

Spójno±¢ 

Lemat II.2.1. Niech X b¦dzie przestrzeni¡ Aleksandrowa. Je±li x, y ∈ X oraz x ∼ y, to 

istnieje droga z x do y w X, tzn. odwzorowanie ci¡gªe h : I → X takie, »e h(0) = x oraz 

h(1) = y. 

Dowód. Mo»emy zaªo»y¢, »e x y. Zdeniujmy odwzorowanie h : I → X wzorem: 

{ 

x dla t ∈ [0, 1) 

h(t) = 

. 

y dla t = 1 

Nale»y wykaza¢ ci¡gªo±¢ odwzorowania h. W tym celu rozwa»my zbiór otwarty U ⊆ X. 

Je±li y ∈ U, to x ∈ y ↓⊆ U, wi¦c h −1 (U) = I. Je±li x ∈ U, y ∉ U, to h −1 (U) = [0, 1). Je±li 

za± x, y ∉ U, to h −1 (U) = ∅. Poniewa» powy»sze przeciwobrazy s¡ zbiorami otwartymi 

w I, odwzorowanie h jest ci¡gªe. 

Wniosek II.2.2. Ka»da przestrze« Aleksandrowa X jest lokalnie ªukowo spójna. 

Dowód. Z ostatniego lematu wynika, »e zbiór x ↓= U x jest ªukowo spójny dla ka»dego 

x ∈ X. Zatem X posiada baz¦ otwart¡ zªo»on¡ ze zbiorów ªukowo spójnych. 

Stwierdzenie II.2.3. Niech X b¦dzie przestrzeni¡ Aleksandrowa. Skªadow¡ spójno±ci 

punktu x ∈ X jest zbiór S x = ⋃ n∈N 

B(x, n). Jest on równie» skªadow¡ ªukowej spójno±ci 

punktu x.

II.3. ZWARTO‘‚ I DZIEDZICZNA ZWARTO‘‚ 21 

Dowód. Je±li y ∈ S x , to istnieje ci¡g x = x 0 , x 1 , . . . , x n = y elementów S x taki, »e 

x 0 ∼ x 1 ∼ . . . ∼ x n . Istnieje zatem droga z x 0 do x n b¦d¡ca sklejeniem dróg z x i do x i+1 , 

i = 0, . . . , n − 1, których istnienie gwarantuje lemat II.2.1. Wobec tego zbiór S x jest ªukowo 

spójny. Z drugiej strony, je±li y ∈ S x , to y ↑⊆ S x i y ↓⊆ S x , wi¦c zbiór S x jest 

domkni¦to-otwarty. 

II.3. 

Zwarto±¢ i dziedziczna zwarto±¢ 

O ile interpretacja poj¦cia spójno±ci w klasie przestrzeni Aleksandrowa jest zgodna 

z intuicj¡, przedstawiona ni»ej charakteryzacja zbiorów zwartych mo»e wydawa¢ si¦ nieco 

zaskakuj¡ca. 

Stwierdzenie II.3.1. Przestrze« Aleksandrowa X jest zwarta wtedy i tylko wtedy, gdy 

max(X) jest zbiorem sko«czonym oraz dla ka»dego y ∈ X istnieje x ∈ max(X) takie, »e 

x y. 

Dowód. Zaªó»my najpierw, »e max(X) jest zbiorem sko«czonym oraz dla ka»dego y ∈ X 

istnieje x ∈ max(X) takie, »e x y. Niech {V i } i∈I b¦dzie dowolnym pokryciem otwartym 

X. Wówczas dla ka»dego x ∈ max(X) istnieje i x ∈ I takie, »e x ∈ V ix . Zauwa»my, »e 

sko«czona rodzina {V ix } x∈X jest podpokryciem pokrycia {V i } i∈I . Istotnie, je±li y ∈ X, to 

istnieje x ∈ max(X) takie, »e y x, tzn. y ∈ x↓⊆ V ix . 

Zaªó»my teraz, »e X jest przestrzeni¡ zwart¡. Przypu±¢my, »e zbiór max(X) jest niesko«czony. 

Wówczas pokrycie otwarte {y ↓} y∈X nie ma podpokrycia sko«czonego, gdy» 

dla ka»dego elementu x ∈ max(X) jedynym elementem pokrycia {y ↓} y∈X go zawieraj¡cym 

jest x ↓. Przypu±¢my teraz, »e istnieje y ∈ X takie, »e y ∉ x ↓ dla wszystkich 

x ∈ max(X). Ponownie rozwa»my pokrycie {x ↓} x∈X przestrzeni X. Przypu±¢my, »e posiada 

ono podpokrycie sko«czone {x k ↓} 0kn . Wówczas istnieje 0 i 0 n takie, »e 

x i0 ∈ max({x 0 , x 1 , . . . , x n } ∩ y ↑}). Ale x i0 ∉ max(X), wi¦c istnieje z ∈ X o tej wªasno±ci, 

»e z > x i0 . Z wyboru i 0 oznacza to jednak, »e z ∉ ⋃ n 

k=0 x k ↓, co jest sprzeczne z faktem, 

»e {x k ↓} 0kn jest pokryciem. 

Przestrze« topologiczn¡ X nazywamy dziedzicznie zwart¡ wtedy i tylko wtedy, gdy 

ka»dy podzbiór A ⊆ X jest przestrzeni¡ zwart¡. 

Stwierdzenie II.3.2. Przestrze« Aleksandrowa X jest dziedzicznie zwarta wtedy i tylko 

wtedy, gdy speªnia ACC oraz nie zawiera niesko«czonych antyªa«cuchów. 

Dowód. Ze stwierdzenia II.3.1 wynika natychmiast, »e niesko«czony antyªa«cuch oraz 

zbiór izomorczny z N nie s¡ przestrzeniami zwartymi. Zatem sformuªowany w tre±ci 

stwierdzenia warunek jest warunkiem koniecznym dziedzicznej zwarto±ci. 

Z drugiej strony, przypu±¢my »e X speªnia ten warunek i rozwa»my zbiór A ⊆ X. 

Wówczas zbiór max(A) jest antyªa«cuchem w X, jest wi¦c sko«czony. Zbiór A speªnia 

ACC jako podzbiór X. Z lematu I.1.1 wynika zatem, »e dla ka»dego a ∈ A zbiór a ↑ ∩A 

posiada element maksymalny, który oczywi±cie nale»y do max(A). Wobec stwierdzenia 

II.3.1, A jest zbiorem zwartym. 

Wypada w tym momencie wspomnie¢, »e zbiory cz¦±ciowo uporz¡dkowane dualne 

do przestrzeni dziedzicznie zwartych, tzn. porz¡dki speªniaj¡ce DCC i nie zawieraj¡ce


niesko«czonych antyªa«cuchów, nazywa si¦ czasem zbiorami cz¦±ciowo dobrze uporz¡dkowanymi. 

Okazuje si¦, »e posiadaj¡ one liczne dobre wªasno±ci i cz¦sto pojawiaj¡ si¦ 

w literaturze; por. [12]. 

II.4. 

Przestrzenie funkcyjne 

II.4.1. Opis topologii na C(X, Y ) 

Przypomnijmy, »e je±li A, B s¡ przestrzeniami topologicznymi, to na zbiorze C(A, B) 

odwzorowa« ci¡gªych z A do B wprowadzi¢ mo»na topologi¦, zwan¡ topologi¡ zwartootwart¡, 

której podbaz¦ otwart¡ stanowi rodzina 

{[K, U] : K ⊆ A jest zwarty, U ⊆ B jest otwarty}, 

gdzie [K, U] = {f : A → B : f(K) ⊆ U}. Je±li a ∈ A, to zamiast [{a}, U] pisa¢ b¦dziemy 

[a, U]. W dalszym ci¡gu zapis C(A, B) b¦dzie zawsze oznaczaª przestrze« odwzorowa« 

ci¡gªych z A do B z topologi¡ zwarto-otwart¡. 

Niech teraz A b¦dzie dowoln¡ przestrzeni¡ topologiczn¡, za± Y przestrzeni¡ Aleksandrowa. 

Na zbiorze C(A, Y ) mo»na zdeniowa¢ w naturalny sposób porz¡dek: f g dla 

f, g : A → Y , o ile f(a) g(a) dla ka»dego a ∈ A. Okazuje si¦, »e porz¡dek ten ma 

zwi¡zek z topologi¡ przestrzeni C(A, Y ). 

Stwierdzenie II.4.1. Niech f ∈ C(A, Y ), gdzie Y jest przestrzeni¡ Aleksandrowa, za± 

A dowoln¡ przestrzeni¡ topologiczn¡. Wówczas przekrój wszystkich zbiorów otwartych 

w C(A, Y ) zawieraj¡cych f jest równy f ↓. 

Dowód. Niech Z b¦dzie przekrojem wszystkich zbiorów otwartych w C(A, Y ) zawieraj¡- 

cych f. Wówczas 

Z = ⋂ {[K, U] : f ∈ [K, U], K ⊆ A jest zwarty, U ⊆ Y jest otwarty}. 

Je±i g ∈ Z, to g ∈ [a, f(a)↓] dla ka»dego a ∈ A, czyli g f. 

Z drugiej strony, niech g ∈ f ↓. Wówczas g(a) f(a) dla ka»dego a ∈ A. Niech U ⊆ Y 

b¦dzie otwarty i niech K ⊆ A. Je±li f(K) ⊆ U, to g(K) ⊆ f(K) ↓⊆ U ↓= U, czyli 

g ∈ [K, U]. Wobec tego g ∈ Z. 

Ze stwierdzenia powy»szego wynika, »e g f wtedy i tylko wtedy, gdy f ∈ {g}. 

Zatem powy»szy porz¡dek na C(A, Y ) pokrywa si¦ z porz¡dkiem specjalizacji przestrzeni 

C(A, Y ). Podkre±li¢ nale»y jednak, »e nie oznacza to, i» przestrze« C(A, Y ) jest 

Aleksandrowa. Kontrprzykªadów dostarczy twierdzenie II.4.6. Wprowad¹my oznaczenie 

C(A, Y ) Al = X P(C(X, Y )), tzn. C(A, Y ) Al jest przestrzeni¡ odwzorowa« ci¡gªych z A do 

Y z topologi¡ Aleksandrowa wyznaczon¡ przez powy»szy porz¡dek na C(A, Y ). 

Odnotujmy w tym miejscu, i» praca [2], o tematyce zbli»onej do niniejszej pracy magisterskiej, 

zawiera bª¡d. W Twierdzeniu 3.1 cytowanego artykuªu autor stwierdza, i» 

powy»sza przestrze« C(A, Y ) jest Aleksandrowa. W dalszej cz¦±ci cytowanej pracy znajduj¡ 

si¦ kolejne nieprawdziwe stwierdzenia, b¦d¡ce konsekwencj¡ tej pomyªki. Zauwa»enie 

wspomnianego bª¦du stanowiªo zacz¡tek bada«, których wyniki zawarte s¡ w niniejszej 

pracy magisterskiej.

II.4. PRZESTRZENIE FUNKCYJNE 23 

Przyjrzyjmy si¦ sytuacji, w której X, Y s¡ przestrzeniami Aleksandrowa. Okazuje si¦, 

i» mo»na poda¢ do±¢ bezpo±redni opis topologii przestrzeni C(X, Y ). 

Stwierdzenie II.4.2. Niech X, Y b¦d¡ przestrzeniami Aleksandrowa. Wówczas rodzina 

{[x, y ↓] : x ∈ X, y ∈ Y } stanowi podbaz¦ otwart¡ topologii zwarto-otwartej na C(X, Y ). 

Dowód. Niech K ⊆ X b¦dzie zwarty, za± U ⊆ Y b¦dzie otwarty. Udowodnimy, »e [K, U] = 

[max(K), U]. Oczywi±cie [K, U] ⊆ [max(K), U]. Z drugiej strony, niech f ∈ [max(K), U]. 

Je±li y ∈ K, to ze stwierdzenia II.3.1 wynika, i» istnieje x ∈ max(K) takie, »e y x. 

Wówczas f(y) f(x) ∈ U, wi¦c f(y) ∈ U. Zatem f ∈ [K, U]. 

Na mocy stwierdzenia II.3.1 zbiór max(K) jest sko«czony dla ka»dego K ⊆ X zwartego. 

Poniewa» [K, U] = [max(K), U] = ⋂ x∈max(K) 

[x, U], zbiory postaci [x, U], gdzie 

x ∈ X za± U ⊆ Y jest otwarty, tworz¡ podbaz¦ topologii na C(X, Y ). Elementy zwi¡zanej 

z ni¡ bazy s¡ postaci ⋂ n 

i=1 [x i, U i ]. Zauwa»my: 

n⋂ 

[x i , U i ] = 

i=1 

n⋂ ⋃ 

[x i , u↓] = ⋃ 

u∈U i 

i=1 

u 1 ∈U 1 

. . . 

⋃ 

n 

⋂ 

u n∈U n i=1 

[x i , u i ↓]. 

Zbiory postaci [x, u↓], gdzie x ∈ X, u ∈ Y , tworz¡ zatem podbaz¦ C(X, Y ). 

Wniosek II.4.3. Je±li X, Y s¡ Aleksandrowa, to topologia zwarto-otwarta w C(X, Y ) 

pokrywa si¦ z topologi¡ podprzestrzeni C(X, Y ) ⊆ ∏ x∈X Y . 

Dowód. Wniosek wynika natychmiast z poprzedniego twierdzenia i denicji topologii produktowej. 

Zauwa»my, »e poniewa» podprzestrzenie i sko«czone produkty przestrzeni Aleksandrowa 

s¡ przestrzeniami Aleksandrowa, C(X, Y ) jest Aleksandrowa gdy X jest przestrzeni¡ 

sko«czon¡ oraz Y jest Aleksandrowa. (W przypadku gdy Y jest równie» sko«czona, 

fakt ten jest oczywisty: C(X, Y ) jest wówczas sko«czona.) 

Wniosek II.4.4. Je±li X, Y s¡ Aleksandrowa, to topologia zwarto-otwarta C(X, Y ) jest 

sªabsza od topologii Aleksandrowa C(X, Y ) Al . 

Dowód. Zauwa»my, »e [K, U] = [K, U] ↓ dla K ⊆ X i U ⊆ Y otwartego. Istotnie, je±li 

f(K) ⊆ U, to g(K) ⊆ f(K) ↓⊆ U ↓= U dla g f. Zatem elementy podbazy C(X, Y ) s¡ 

otwarte w C(X, Y ) Al , co ko«czy dowód. 

II.4.2. 

Kiedy topologia zwarto-otwarta jest Aleksandrowa? 

Poni»sze stwierdzenie podaje warunek dostateczny na to, by topologia zwarto-otwarta 

na zbiorze C(X, Y ), gdzie Y jest przestrzeni¡ Aleksandrowa, byªa topologi¡ Aleksandrowa. 

Stwierdzenie II.4.5. Niech X b¦dzie przestrzeni¡ topologiczn¡ dziedzicznie zwart¡, za± 

Y przestrzeni¡ Aleksandrowa. Je±li zbiór f(X) ⊆ Y jest sko«czony dla ka»dej funkcji 

f ∈ C(X, Y ), to C(X, Y ) jest przestrzeni¡ Aleksandrowa.


Dowód. Wiadomo z wniosku II.4.4, »e topologia zwarto-otwarta na C(X, Y ) jest sªabsza 

od topologii Aleksandrowa. Wobec tego wystarczy zbada¢ kiedy jest ona równie» mocniejsza. 

Ma to miejsce dokªadnie wtedy, gdy f ↓ jest zbiorem otwartym w C(X, Y ) dla ka»dego 

f ∈ C(X, Y ). Ustalmy zatem f ∈ C(X, Y ). Poniewa» X jest dziedzicznie zwarta i f(X) 

jest sko«czony, zbiór f ↓= ⋂ y∈f(X) [f −1 (y), y ↓] jest otwarty w C(X, Y ) jako sko«czony 

przekrój zbiorów otwartych. 

Okazuje si¦, »e je±li X jest przestrzeni¡ Aleksandrowa, stwierdzenie to mo»na odwróci¢. 

Ni»ej sformuªowane twierdzenie, charakteryzuj¡ce sytuacje, w których topologie 

zwarto-otwarta i Aleksandrowa na przestrzeni odwzorowa« ci¡gªych mi¦dzy dwoma przestrzeniami 

Aleksandrowa pokrywaj¡ si¦, stanowi jeden z gªównych wyników niniejszej 

pracy. 

Twierdzenie II.4.6. Niech X b¦dzie przestrzeni¡ topologiczn¡, za± Y przestrzeni¡ Aleksandrowa 

o co najmniej dwóch elementach. Prawdziwe s¡ nast¦puj¡ce stwierdzenia. 

1. Je±li Y jest dyskretna, to C(X, Y ) jest Aleksandrowa (oraz dyskretna) wtedy i tylko 

wtedy, gdy X ma sko«czenie wiele skªadowych spójno±ci. 

2. Je±li Y nie jest dyskretna oraz X jest Aleksandrowa, to C(X, Y ) jest Aleksandrowa 

wtedy i tylko wtedy, gdy X jest dziedzicznie zwarta oraz zbiór f(X) ⊆ Y jest sko«- 

czony dla ka»dej funkcji f ∈ C(X, Y ). 

Dowód. Podobnie jak w dowodzie stwierdzenia II.4.5 bada¢ b¦dziemy otwarto±¢ w C(X, Y ) 

zbiorów postaci f ↓, gdzie f ∈ C(X, Y ). 

Dla dowodu 1. zaªó»my, »e Y jest dyskretna i f ∈ C(X, Y ). Zatem f przeprowadza 

skªadowe spójno±ci X na zbiory jednopunktowe. Je±li X ma sko«czenie wiele skªadowych 

spójno±ci, powiedzmy S 1 , . . . , S n , to dla ka»dego i = 1, . . . , n wybra¢ mo»emy element 

s i ∈ S i i wówczas f ↓= ⋂ n 

i=1 [s i, f(s i ) ↓] jest zbiorem otwartym jako przekrój sko«czonej 

rodziny zbiorów otwartych. 

Przypu±¢my teraz, »e X ma niesko«czenie wiele skªadowych spójno±ci. Poka»emy, »e 

ka»dy element ⋂ n 

i=1 [x i, y i ↓] bazy otwartej przestrzeni C(X, Y ) zawiera element nie nale- 

»¡cy do f ↓. W istocie, dla ka»dego zbioru bazowego powy»szej postaci istnieje skªadowa 

spójno±ci S ⊆ X taka, »e S ∩ {x 1 , . . . , x n } = ∅. Poniewa» |Y | 2, istnieje y ∈ Y taki, »e 

f nie przeprowadza skªadowej S na punkt y. Niech f 0 : X → Y b¦dzie zadane wzorem 

{ 

f(x) dla x ∉ S 

f 0 (x) = 

y dla x ∈ S . 

Wówczas f ↓∌ f 0 ∈ ⋂ n 

i=1 [x i, y i ↓]. Punkt 1. jest udowodniony. 

By udowodni¢ 2. zaªó»my, »e Y nie jest dyskretna oraz X jest Aleksandrowa. Przypu±¢my 

najpierw, »e X nie jest dziedzicznie zwarta. Istnieje zatem zbiór A ⊆ X, który 

nie jest zwarty. Poniewa» Y nie jest dyskretna, zawiera pewien ªa«cuch dwuelementowy 

{z 0 , z 1 } ⊆ Y, z 0 < z 1 . Odwzorowanie f : X → Y zadane wzorem 

{ 

z 0 dla x ∈ A↓ 

f(x) = 

dla x ∈ X (A↓) 

z 1

II.4. PRZESTRZENIE FUNKCYJNE 25 

jest ci¡gªe. (Je±li U ⊆ Y jest otwarty, to albo z 0 ∉ U i wtedy f −1 (U) = ∅, albo z 1 ∈ U 

i f −1 (U) = X, albo wreszcie z 0 ∈ U ∌ z 1 i f −1 (U) = A ↓.) Ustalmy x 1 , . . . , x n ∈ X, 

y 1 , . . . , y n ∈ Y takie, »e ⋂ n 

i=1 [x i, y i ↓] jest elementem bazy otwartej C(X, Y ) zawieraj¡cym 

f. Mamy wówczas y i z 1 dla wszystkich x i ∉ A ↓. Poniewa» A nie jest zwarty, ze 

stwierdzenia II.3.1 wynika, »e istnieje a ∈ A takie, »e a ̸ x j dla wszystkich j takich, »e 

x j ∈ A↓. Zadajmy f 0 : X → Y wzorem 

{ 

f(x) dla a ̸ a 

f 0 (x) = 

z 1 dla x a . 

Ci¡gªo±¢ f 0 wynika z ci¡gªo±ci f, poniewa» f0 −1 (z 0 ) = f −1 (z 0 )a↑ jest zbiorem otwartym. 

Mamy f 0 ∈ ⋂ n 

i=1 [x i, y i ↓]. Ale f 0 ∉ f ↓. 

Zaªó»my teraz, »e X jest dziedzicznie zwarta. Przypu±¢my, »e istnieje g ∈ C(X, Y ) 

takie, »e g(X) jest zbiorem niesko«czonym. Zbiór g(X) jest dziedzicznie zwarty jako obraz 

przestrzeni dziedzicznie zwartej przez odwzorowanie ciagªe. Ze stwierdzenia II.3.2 g(X) 

speªnia ACC i nie zawiera niesko«czonych antyªa«cuchów. Na mocy lematu I.1.3 zawiera 

on wi¦c niesko«czony ªa«cuch. Zatem, wobec lematu I.1.2, g(X) zawiera niesko«czony 

ci¡g zst¦puj¡cy c 0 > c 1 > . . . Dla ka»dego n ∈ N wybierzmy a n ∈ g −1 (c n ). Wówczas 

{a n : n ∈ N} jest niesko«czonym, dziedzicznie zwartym podzbiorem X, wi¦c równie» 

zawiera¢ musi niesko«czony ci¡g zst¦puj¡cy a k0 > a k1 > . . . Zdeniujemy odwzorowanie 

f ∈ C(X, Y ). Dla x ∈ X niech 

⎧ 

⎪⎨ g(a k0 ) dla x ∈ X (a k0 ↓) 

f(x) = g(a kn ) dla x ∈ (a kn ↓) (a kn+1 ↓), n = 0, 1, . . . 

⎪⎩ 

g(x) dla x ∈ ⋂ . 

∞ 

n=1 (a k n 

↓) 

Nietrudno sprawdzi¢, »e f zachowuje porz¡dek. Ustalmy x 1 , . . . , x n ∈ X, y 1 , . . . , y n ∈ Y 

takie, »e ⋂ n 

i=1 [x i, y i ↓] jest bazowym otoczeniem otwartym funkcji f w C(X, Y ). Niech L 

oznacza najwi¦ksz¡ liczb¦ l tak¡, »e x i ∈ (a kl ↓) ⋂ ∞ 

n=1 (a k n 

↓) dla pewnego i = 1, . . . , n, 

o ile liczba l o tej wªasno±ci istnieje. W przeciwnym wypadku, niech L = 0. Zadajmy 

f 0 : X → Y wzorem 

{ 

g(a kL ) dla x ∈ (a kL+1 ↓) ⋂ ∞ 

n=1 

f 0 (x) = 

(a k n 

↓) 

. 

f(x) w przeciwnym wypadku 

Ponownie nietrudno sprawdzi¢ ci¡gªo±¢ f 0 . Ponadto f 0 ∈ ⋂ n 

i=1 [x i, y i ↓], ale f 0 > f, gdy» 

g(a kL ) = c L > c m = g(a km ) dla L < m. 

Wreszcie, je±li X jest dziedzicznie zwarta i f(X) jest sko«czony dla ka»dego f ∈ 

C(X, Y ), to teza wynika ze stwierdzenia II.4.5. 

Wniosek II.4.7. Je±li X jest niesko«czon¡ przestrzeni¡ Aleksandrowa, to C(X, X) nie 

jest Aleksandrowa. 

Dowód. Przypu±¢my, »e X i C(X, X) s¡ przestrzeniami Aleksandrowa. Je±li X jest dyskretna, 

to z twierdzenia II.4.6 wynika, i» przestrze« X ma sko«czenie wiele skªadowych 

spójno±ci, zatem jest sko«czona. Je±li za± X nie jest dyskretna, to z twierdzenia tego 

otrzymujemy, i» Id X (X) = X jest przestrzeni¡ sko«czon¡.


Przykªad II.4.8. Je±li przestrze« Aleksandrowa X jest dziedzicznie zwarta oraz przestrze« 

Aleksandrowa Y speªnia warunek ci¡gu zst¦puj¡cego, to C(X, Y ) jest przestrzeni¡ 

Aleksandrowa. 

Istotnie, X ma sko«czenie wiele skªadowych spójno±ci jako przestrze« dziedzicznie 

zwarta, wi¦c je±li Y jest dyskretna, to C(X, Y ) jest Aleksandrowa. Ponadto, je±li 

f : X → Y jest odwzorowaniem ci¡gªym, to f(X) jest dziedzicznie zwarta i wobec tego 

speªnia warunek ci¡gu wst¦puj¡cego oraz nie zawiera niesko«czonych antyªa«cuchów. Ale 

f(X) ⊆ Y , wi¦c f(X) speªnia równie» warunek ci¡gu zst¦puj¡cego. Zatem, wobec lematu 

I.1.2, wszystkie ªa«cuchy w X s¡ sko«czone. Z lematu I.1.3 wynika teraz, »e f(X) 

jest zbiorem sko«czonym. 

Uwaga ta pokazuje nieco zaskakuj¡ce zachowanie topologii na przestrzeniach funkcyjnych 

znika wyst¦puj¡ca w przestrzeniach Aleksandrowa symetria zbiorów otwartych 

i domkni¦tych. Przykªadowo, z powy»szego rozumowania wynika, »e C(N, N d ) jest przestrzeni¡ 

Aleksandrowa, ale C(N d , N) ju» ni¡ nie jest, gdy» N d nie jest zbiorem dziedzicznie 

zwartym. 

II.5. 

Pewne klasy przestrzeni Aleksandrowa 

W dalszym ci¡gu szczególnie interesowa¢ nas b¦d¡ wybrane klasy niesko«czonych przestrzeni 

Aleksandrowa, pod ró»nymi wzgl¦dami przypominaj¡ce klas¦ przestrzeni sko«czonych. 

Zdeniujemy teraz te klasy oraz podamy zwi¡zki mi¦dzy nimi. 

Niech X b¦dzie przestrzeni¡ Aleksandrowa. Ci¡g (x i ) (sko«czony b¡d¹ niesko«czony) 

parami ró»nych elementów x i ∈ X nazywamy ±cie»k¡ prost¡ w X, o ile x i−1 ∼ x i dla 

wszystkich indeksów i 1. Dªugo±ci¡ sko«czonej ±cie»ki prostej s = (x 0 , . . . , x n ) nazywamy 

liczb¦ n; mówimy, »e jest to ±cie»ka prosta z x 0 do x n . Przestrze« X nazwiemy 

przestrzeni¡ o sko«czonych ±cie»kach lub fp-przestrzeni¡ (od ang. nite paths), o ile ka»da 

±cie»ka prosta w X jest sko«czona. X nazywamy przestrzeni¡ o ograniczonych ±cie»kach 

lub bp-przestrzeni¡ (od ang. bounded paths), o ile istnieje liczba M ∈ N taka, »e ka»da 

±cie»ka prosta w X jest sko«czona i ma dªugo±¢ mniejsz¡ ni» M. 

Mówimy, »e przestrze« Aleksandrowa X jest lokalnie sko«czona 1 , o ile dla ka»dego 

elementu x ∈ X zbiór B(x, 1) = {y ∈ X : y ∼ x} jest sko«czony. 

Przestrze« Aleksandrowa X jest ªa«cuchowo zupeªna, o ile ka»dy niepusty ªa«cuch 

w X posiada kres górny i kres dolny w X. X jest przestrzeni¡ o sko«czonych ªa«cuchach, 

o ile ka»dy ªa«cuch w X jest sko«czony. 

Stwierdzenie II.5.1. Ka»da bp-przestrze« jest fp-przestrzeni¡. Ka»da fp-przestrze« 

i ka»da przestrze« lokalnie sko«czona jest przestrzeni¡ o sko«czonych ªa«cuchach. Przestrzenie 

o sko«czonych ªa«cuchach s¡ ªa«cuchowo zupeªne. 

Dowód. Oczywisty. 

Je±li x, y ∈ X, to przez dist X (x, y) oznacza¢ b¦dziemy minimaln¡ dªugo±¢ ±cie»ki 

prostej z x do y zawartej w X. Mówimy, »e palisada F ⊆ X jest izometryczna, o ile 

dist F (x, y) = dist X (x, y) dla wszystkich x, y ∈ F. Palisad¦ F ⊆ X nazywamy rozpinaj¡c¡, 

o ile F ⊆ max(X) ∪ min(X). 

1 Uwaga: w literaturze nazwa lokalna sko«czono±¢ przysªuguje kilku ró»nym wªasno±ciom.

II.5. PEWNE KLASY PRZESTRZENI ALEKSANDROWA 27 

Stwierdzenie II.5.2. Niech X b¦dzie niesko«czon¡, spójn¡, lokalnie sko«czon¡ przestrzeni¡ 

Aleksandrowa. Wówczas X zawiera niesko«czon¡ izometryczn¡ palisad¦ rozpinaj¡c¡. 

Dowód. Ustalmy punkt x 0 ∈ max(X) ∪ min(X). Poniewa» X jest spójna, dla ka»dego 

y ∈ X istnieje izometryczna palisada x 0 = a y 0 ∼ a y 1 ∼ . . . ∼ a y n(y) = y, n(y) = d X(x 0 , y). 

Bez zmniejszenia ogólno±ci mo»emy zaªo»y¢, »e a y m ∈ max(X) ∪ min(X) dla wszystkich 

m < n(y). Niech f : X {x 0 } → X b¦dzie dane wzorem f(y) = a y n(y)−1 

. Dla ka»dego 

y ∈ X zbiór f −1 (y) jest sko«czony, jako podzbiór sko«czonego zbioru B(y, 1). Ponadto 

nietrudno zauwa»y¢, i» zbiór F y = {x 0 = f n(y) (y), f n(y)−1 (y), . . . , y} jest izometryczn¡ palisad¡. 

Poniewa» X jest lokalnie sko«czona, B(x 0 , n) jest sko«czona i st¡d X ⊈ B(x 0 , n) 

dla ka»dego n ∈ N. Wobec tego, dla ka»dego n ∈ N istnieje y ∈ X taki, »e d X (x 0 , y) = n. 

Z lematu Königa (patrz [13], Rozdziaª III, Ÿ5, Twierdzenie 1) istnieje niesko«czony ci¡g 

F = (a 0 , a 1 , a 2 , . . .) taki, »e a 0 = x 0 i a n−1 = f(a n ) dla wszystkich n 1. Jest on izometryczn¡ 

palisad¡, gdy» zbiory F y s¡ izometrycznymi palisadami. Zaªo»yli±my ponadto, »e 

f(y) ∈ max(X) ∪ min(X) dla wszystkich y ∈ X, wi¦c F jest rozpinaj¡ca. 

Wniosek II.5.3. Je±li przestrze« Aleksandrowa X jest spójn¡ fp-przestrzeni¡ i X jest 

lokalnie sko«czona, to X jest sko«czona. 

Dowód. Niesko«czona, spójna, lokalnie sko«czona przestrze« Aleksandrowa zawiera, wobec 

stwierdzenia II.5.2, niesko«czon¡ palisad¦, która wyznacza niesko«czon¡ ±cie»k¦ prost¡. 

Taka przestrze« nie jest zatem fp-przestrzeni¡. 

Wniosek II.5.4. Niesko«czona, lokalnie sko«czona przestrze« Aleksandrowa X nie ma 

wªasno±ci punktu staªego. 

Dowód. Je±li X jest niespójna, to X nie ma wªasno±ci punktu staªego. Je±li za± X jest 

spójna, to ze stwierdzenia II.5.2 wynika, »e X zawiera niesko«czon¡, izometryczn¡ palisad¦ 

rozpinaj¡c¡. Niesko«czona palisada nie ma wªasno±ci punktu staªego. Wystarczy 

rozwa»y¢ przesuni¦cie wzdªu» palisady x i ↦→ x i+2 (przy oznaczeniach sekcji I.1.1). [6], 

Twierdzenie 3 orzeka, »e izometryczna, rozpinaj¡ca palisada zawarta w zbiorze cz¦±ciowo 

uporz¡dkowanym jest retraktem tego zbioru. Poniewa» retrakt przestrzeni posiadaj¡cej 

wªasno±¢ punktu staªego równie» ma t¦ wªasno±¢, ko«czy to dowód. 

We wst¦pie wspominali±my o konstrukcji stowarzyszaj¡cej z cz¦±ciowym porz¡dkiem 

P abstrakcyjny kompleks symplicjalny K(P ), którego sympleksami s¡ sko«czone ªa«cuchy 

zawarte w P (patrz np. [21]). Przestrzenie lokalnie sko«czone oraz fp-przestrzenie maj¡ 

w tym kontek±cie ciekaw¡ interpretacj¦. Standardowym faktem jest, »e porz¡dek P jest 

lokalnie sko«czony wtedy i tylko wtedy, gdy realizacja geometryczna kompleksu K(P ) jest 

lokalnie zwarta. Dzi¦ki funktorialno±ci przyporz¡dkowania P ↦→ K(P ) ªatwo udowodni¢ 

korzystaj¡c z wniosku II.5.4, »e niezwarty, lokalnie zwarty wielo±cian nie posiada wªasno±ci 

punktu staªego. 

Mo»na te» wykaza¢, »e P jest fp-przestrzeni¡ wtedy i tylko wtedy, gdy realizacja geometryczna 

kompleksu K(P ) nie zawiera domkni¦tych podzbiorów izomorcznych z póªprost¡ 

rzeczywist¡. Przestrzenie o tej wªasno±ci nosz¡ w literaturze angielsk¡ nazw¦ rayless spaces. 

Jak si¦ okazuje (patrz [22]) wielo±ciany nie b¦d¡ce rayless nie posiadaj¡ wªasno±ci 

punktu staªego. Wi¦cej na ten temat w problemie 3.


II.6. 

Problemy otwarte 

Problem 1. Poda¢ charakteryzacj¦ topologii zwarto-otwartej na przestrzeni C(A, Y ), 

gdzie A jest dowoln¡ przestrzeni¡ topologiczn¡, za± Y przestrzeni¡ Aleksandrowa. Kiedy 

C(A, Y ) jest przestrzeni¡ Aleksandrowa? 

Problem 2. Przy jakich zaªo»eniach skªadowe spójno±ci i ªukowej spójno±ci przestrzeni 

C(X, Y ), gdzie X, Y s¡ przestrzeniami Aleksandrowa, pokrywaj¡ si¦? 

Problem 3. W pracy [22] Okhezin wykazuje, »e ±ci¡galny kompleks symplicjalny posiada 

wªasno±¢ punktu staªego wtedy i tylko wtedy, gdy nie zawiera domkni¦tych podzbiorów 

izomorcznych z póªprost¡ rzeczywist¡. Wynika st¡d, dzi¦ki funktorialno±ci przyporz¡dkowania 

P ↦→ K(P ), »e sªabo ±ci¡galne fp-przestrzenie posiadaj¡ wªasno±¢ punktu staªego. 

Czy istnieje prostszy dowód tego (lub ogólniejszego) faktu, nie korzystaj¡cy z rezultatów 

Okhezina?

Rozdziaª III 

Typy homotopijne przestrzeni 


W rozdziale tym przejdziemy do badania typów homotopijnych przestrzeni Aleksandrowa. 

Na pocz¡tku poka»emy, w jaki sposób homotopie mo»na uto»samia¢ z drogami 

w przestrzeni przeksztaªce« oraz jak konstruowa¢ takie drogi poprzez sklejenie niesko«- 

czonej rodziny prostszych dróg. Jako zastosowanie wykazana zostanie ±ci¡galno±¢ cz¦±ciowych 

porz¡dków nie zawieraj¡cych ω + 1 ani (ω + 1) d których diagram Hassego jest drzewem. 

W dalszej cz¦±ci narz¦dzia te pozwol¡ na zdeniowanie retrakcji deformacyjnej indukowanej 

przez tzw. proces rozbierania cz¦±ciowego porz¡dku, dzi¦ki której badanie wªasno- 

±ci homotopijnych przestrzeni zostanie w wielu wypadkach sprowadzone do badania wªasno±ci 

homotopijnych przestrzeni prostszej, zwanej rdzeniem. W przypadku fp-przestrzeni 

oraz bp-przestrzeni pozwoli to na wprowadzenie swego rodzaju klasykacji typów homotopijnych, 

rozszerzaj¡cej klasykacj¦ podan¡ dla przestrzeni sko«czonych przez R.E. Stonga 

[27]. Otrzymane twierdzenia zastosujemy przy badaniu H-przestrzeni, poj¦cia homotopijnej 

dominacji oraz odwzorowa« ekwiwariantnych mi¦dzy przestrzeniami Aleksandrowa. 

W ostatniej cz¦±ci rozdziaªu przedstawione zostan¡ wyniki dotycz¡ce rdzeni przestrzeni 

lokalnie sko«czonych. 

III.1. 

Narz¦dzia 

III.1.1. 

Konstrukcja homotopii przez sklejanie dróg 

Poniewa» odcinek jednostkowy I speªnia pierwszy aksjomat przeliczalno±ci, poni»szy 

lemat, który cytujemy bez dowodu, pokazuje, i» w wielu przypadkach homotopie odwzorowa« 

uto»samia¢ mo»emy z drogami w przestrzeniach funkcyjnych. 

Lemat III.1.1 (R. H. Fox, [9]). Niech X, T b¦d¡ przestrzeniami speªniaj¡cymi pierwszy 

aksjomat przeliczalno±ci. Wówczas, dla dowolnej przestrzeni topologicznej Y , ci¡gªo±¢ odwzorowania 

h : X × T → Y jest równowa»na ci¡gªo±ci odwzorowania h ∗ : T → C(X, Y ) 

zadanego wzorem h ∗ (t)(x) = h(x, t). 

Zauwa»my, »e przestrzenie Aleksandrowa speªniaj¡ pierwszy aksjomat przeliczalno±ci, 

gdy» ka»dy punkt posiada jednoelementow¡ baz¦ otocze« skªadaj¡c¡ si¦ z minimalnego 

29

30 ROZDZIAŠ III. TYPY HOMOTOPIJNE 

otoczenia otwartego tego punktu. Powy»szy lemat mo»emy stosowa¢ w sytuacji gdy X 

jest przestrzeni¡ Aleksandrowa, za± T = I. 

Przypu±¢my teraz, »e X, Y s¡ przestrzeniami Aleksandrowa oraz f 0 , . . . , f n ∈ C(X, Y ) 

s¡ takie, »e f i ∼ f i+1 dla i = 1, . . . , n − 1. Korzystaj¡c z lematu II.2.1 konstruujemy drog¦ 

h : I → C(X, Y ) Al tak¡, »e h(0) = f 0 i h(1) = f n . Poniewa», zgodnie z wnioskiem II.4.4, 

topologia zwarto-otwarta jest sªabsza od topologii Aleksandrowa na C(X, Y ), h mo»emy 

traktowa¢ jako drog¦ h : I → C(X, Y ). Wobec lematu III.1.1 wyznacza ona homotopi¦ 

h ∗ : X × I → Y z f 1 do f n . Co wi¦cej, z dowodu lematu II.2.1 i denicji h ∗ wynika, i» 

jest to homotopia relatywna wzgl¦dem zbioru {x ∈ X : f 1 (x) = f 2 (x) = . . . = f n (x)}. 

W przypadku gdy C(X, Y ) jest przestrzeni¡ Aleksandrowa, z lematów II.2.3 i III.1.1 

wynika ponadto, i» je±li odwzorowania f, g : X → Y s¡ homotopijne, to istnieje ci¡g 

odwzorowa« f = f 0 ∼ f 1 ∼ . . . ∼ f n = g ∈ C(X, Y ). W dalszym ci¡gu wyka»emy, »e je±li 

C(X, Y ) nie jest Aleksandrowa, nie musi by¢ to prawd¡. 

Twierdzenie III.1.2. Niech X, Y b¦d¡ przestrzeniami Aleksandrowa, γ przeliczaln¡ liczb¡ 

porz¡dkow¡, za± {f α : X → Y } αγ rodzin¡ odwzorowa« ci¡gªych o nast¦puj¡cych wªasno- 

±ciach: 

1. f α (x) ∼ f α+1 (x) dla wszystkich α < γ i wszystkich x ∈ X, 

2. je±li α γ jest liczb¡ graniczn¡, to dla ka»dego x ∈ X istnieje liczba β α x < α taka, 

»e f β (x) f α (x) dla wszystkich β α x β α. 

Wówczas f 0 ≃ f γ rel {x ∈ X : ∀ αγ f α (x) = f 0 (x)}. 

Dowód. Mo»emy zaªo»y¢, »e f α ∼ f α+1 dla α < γ. W przeciwnym wypadku zast¦pujemy 

ci¡g (f α ) αγ ci¡giem (g α ) αγ ′ zbudowanym w nast¦puj¡cy sposób. Wiadomo, »e 

γ = α 0 + n 0 dla pewnej liczby granicznej α 0 i pewnej sko«czonej liczby porz¡dkowej n 0 . 

Przyjmujemy γ ′ = α + 2n 0 . Je±li β = 0 lub β jest liczb¡ graniczn¡, to g β+2n (x) = f β+n (x) 

oraz g β+2n+1 (x) = min(f β+n (x), f β+n+1 (x)) dla wszystkich sko«czonych liczb porz¡dkowych 

n i wszystkich x ∈ X. Šatwo sprawdzi¢, »e tak zdeniowany ci¡g speªnia zaªo»enia 

twierdzenia oraz g α ∼ g α+1 dla ka»dej liczby porz¡dkowej α. Ponadto, f 0 = g 0 i f γ = g γ ′. 

Wobec lematu I.1.4, poniewa» liczby wymierne s¡ izomorczne z pewnym podporz¡dkiem 

odcinka jednostkowego I ⊆ R, mo»emy uto»samia¢ zbiór uporz¡dkowany {α} αγ 

z pewnym podzbiorem {t α } αγ odcinka I. Ponadto mo»emy zaªo»y¢, »e t γ = 1 i t 0 = 0. 

Zdeniujemy teraz odwzorowanie ci¡gªe H : I → C(X, Y ) takie, »e H(0) = f 0 

i H(1) = f γ . Z lematu III.1.1 wynika, »e wyznaczy ono homotopi¦ mi¦dzy f 0 i f γ . Dla 

ka»dej liczby porz¡dkowej α < γ niech h α : I → C(X, Y ) oznacza drog¦ z f α do f α+1 

postaci przedstawionej w lemacie ( II.2.1. ) Niech H| [tα,tα+1 ] : [t α , t α+1 ] → C(X, Y ) b¦dzie 

t−t 

dane wzorem H| [tα,tα+1 ](t) = h α 

α t α+1 −t α 

. Przyjmijmy H(tγ ) = f γ . 

Wystarczy wykaza¢ ci¡gªo±¢ H. Nietrudno zauwa»y¢, »e H jest ci¡gªe jako zªo»enie 

dróg w ka»dym t ∈ I nie odpowiadaj¡cym liczbie porz¡dkowej granicznej. Niech α b¦dzie 

liczb¡ graniczn¡, a [x, U] pewnym otoczeniem H(t α ) = f α nale»¡cym do podbazy otwartej 

C(X, Y ). Oznacza to, »e f α (x) ∈ U. Wiemy, »e istnieje βx 

α < α takie, »e f β (x) f α (x) 

(i wobec tego f β (x) ∈ U) dla wszystkich βx α β α. Je±li α < γ, to H((t β α x 

, t α+1 )) ⊆ 

[x, U]. Je±li za± α = γ, to H((t β α x 

, t γ ]) ⊆ [x, U]. Zatem H jest ci¡gªe w punkcie t α .

III.1. NARZ†DZIA 31 

III.1.2. 

Pewna rodzina przestrzeni ±ci¡galnych 

Z twierdzenia III.1.2 nietrudno wywnioskowa¢ kolejne, charakteryzuj¡ce du»¡ rodzin¦ 

±ci¡galnych przestrzeni Aleksandrowa. 

Twierdzenie III.1.3. Niech X b¦dzie przestrzeni¡ Aleksandrowa nie zawieraj¡c¡ podzbioru 

izomorcznego z ω + 1 ani z (ω + 1) d . Je±li diagram Hassego X jest drzewem, to 

ka»dy element x ∈ X jest mocnym retraktem deformacyjnym X. 

Dowód. Niech x ∈ X. Poniewa» diagram Hassego X jest spójny, za± X nie zawiera podzbiorów 

izomorcznych z ω + 1 ani z porz¡dkiem dualnym do ω + 1, dla ka»dego y ∈ X 

istnieje ±cie»ka prosta 

S y = (s y 0, s y 1, . . . , s y n y 

), x = s y 0, y = s y n y 

o tej wªasno±ci, »e dla ka»dych dwóch kolejnych elementów ±cie»ki s y i , sy i+1, i = 0, . . . , n y −1, 

jeden jest pokryciem drugiego. ‘cie»ka ta jest wyznaczona jednoznacznie, gdy» diagram 

Hassego X jest drzewem. Deniujemy f k : X → X dla k ∈ N wzorem 

f k (y) = 

{ 

s y k 

y 

dla k n(y) 

dla k > n(y) 

oraz przyjmujemy f ω = Id X . 

Poka»emy, »e funkcje f k zachowuj¡ porz¡dek. Niech y y ′ ∈ X i niech C oznacza 

maksymalny w sensie inkluzji ªa«cuch w X taki, »e {y} = min(C) i {y ′ } = max(C). 

Ša«cuch C jest sko«czony, co wynika z twierdzenia I.1.2. Je±li x ∈ C, to oczywi±cie 

f k (y) f k (y ′ ) dla wszystkich k ∈ N. Zaªó»my zatem, »e x ∉ C. Jedna ze ±cie»ek prostych 

S y , S y ′ stanowi pierwsze min(n(y), n(y ′ )) elementów drugiej, a pozostaªe elementy dªu»szej 

z tych ±cie»ek pochodz¡ z ªa«cucha C. W przeciwnym wypadku mogliby±my skonstruowa¢ 

inne od S y , S y ′ ±cie»ki proste ª¡cz¡ce x z y, y ′ . Mo»emy zaªo»y¢, bez zmniejszenia ogólno±ci 

rozwa»a«, »e n(y) n(y ′ ). Je±li k n(y), to f k (y) = f k (y ′ ). Je±li za± k n(y), to 

f k (y) = y oraz f k (y ′ ) ∈ C, wi¦c f k (y) f k (y ′ ). 

Z twierdzenia III.1.2 otrzymujemy homotopi¦ z odwzorowania f 0 staªego w x do odwzorowania 

f ω = Id X relatywn¡ wzgl¦dem {x}. 

Poni»szy wniosek charakteryzuje ±ci¡galne przestrzenie Aleksandrowa wysoko±ci 1. 

Wniosek III.1.4. Niech X b¦dzie przestrzeni¡ Aleksandrowa wysoko±ci 1. Nast¦puj¡ce 

warunki s¡ równowa»ne. 

1. Element x ∈ X jest mocnym retraktem deformacyjnym X. 

2. X jest ªukowo spójna i grupa podstawowa X jest trywialna. 

3. X jest ªukowo spójna i pierwsza grupa homologii singularnych X jest trywialna. 

4. X jest spójna i nie zawiera koron.


Dowód. Warunek 1. poci¡ga 2., za± 2. poci¡ga 3. dla dowolnej przestrzeni topologicznej X. 

Zaªó»my teraz, »e prawdziwy jest warunek 3. Wówczas X jest przestrzeni¡ spójn¡. Gdyby 

X zawieraª koron¦, to z lematu I.1.5 wynikaªoby, »e istnieje korona b¦d¡ca retraktem 

X. Wiadomo jednak, »e pierwsza grupa homologii singularnych korony jest izomorczna 

z Z (patrz [3], [18] lub [21]), wi¦c jest to niemo»liwe. Zaªó»my wreszcie, »e prawdziwy 

jest warunek 4. Wówczas diagram Hassego X jest drzewem i wobec twierdzenia III.1.3 

prawdziwy jest warunek 1. 

III.1.3. 

Rdzenie i rozbieralno±¢ 

Przypomnijmy, »e odwzorowanie ci¡gªe r : X → r(X), gdzie i : r(X) ↩→ X, nazywamy 

retrakcj¡, o ile r ◦ i = Id r(X) . Poni»sze denicje nale»¡ do folkloru teorii cz¦±ciowych 

porz¡dków, patrz np. [25], Rozdziaª 4, ‚wiczenie 24. 

Niech X b¦dzie przestrzeni¡ Aleksandrowa, za± R pewn¡ klas¡ retrakcji w kategorii 

przestrzeni Aleksandrowa. Mówimy, »e X jest R-rdzeniem, je±li nie istnieje ró»na od 

identyczno±ci retrakcja okre±lona na X i nale»¡c¡ do R. 

Niech X b¦dzie przestrzeni¡ Aleksandrowa, γ liczb¡ porz¡dkow¡, za± 

{r α : X α → X α+1 } α


Je±li za± ci¡g {r α } α


Przykªad III.1.7. Niech Q oznacza zbiór liczb wymiernych ze standardowym porz¡dkiem. 

Wówczas Q jest I-rdzeniem, ale nie jest C-rdzeniem, gdy» odwzorowanie staªe 

w 0 jest retrakcj¡ porównywaln¡. 

Innego, mniej trywialnego przykªadu na to, »e poj¦cia I-rdzenia i C-rdzenia ró»ni¡ si¦, 

dostarcza nast¦puj¡ca konstrukcja. Niech X = {(a, b) : a ∈ {0, 1}, b ∈ N} z porz¡dkiem 

(a, b) < (a ′ , b ′ ) wtedy i tylko wtedy, gdy b 

jednak retrakcje f 1 , f 2 : X → X zadane wzorami: f 1 (a, b) = (0, a + b), f 2 (a, b) = (0, 0) dla 

(a, b) ∈ X. Mamy Id X < f 1 , wi¦c X nie jest C-rdzeniem. Ponadto, f 1 > f 2 , wi¦c X jest 

C-rozbieralna do punktu. 

Poniewa» w dalszej cz¦±ci zajmowa¢ si¦ b¦dziemy przede wszystkim C-rozbieralno±ci¡, 

przyjrzyjmy si¦ pewnym intuicjom zwi¡zanym z tym poj¦ciem. W ka»dym kroku procesu 

C-rozbierania elementy przestrzeni przesuwaj¡ si¦ na elementy z nimi porównywalne, 

zatem drogi przebyte przez elementy podczas caªego procesu s¡ spójne. Ka»dy element 

od pewnego momentu nie zmienia ju» pozycji; mo»na pokaza¢, »e przebyta przez niego 

droga jest sko«czona. Proces ten mo»emy rozumie¢ jako w pewnym sensie ci¡gªe kurczenie 

si¦ przestrzeni wokóª jakiego± niekurczliwego rdzenia. 

W przypadku gdy X C-rozbiera si¦ do zbioru pustego, intuicja jest nieco inna. Elementy 

równie» przesuwaj¡ si¦ po spójnych drogach, ale drogi te s¡ niesko«czone. Ka»dy 

element od pewnego momentu zaczyna si¦ porusza¢ i jego pozycja nie stabilizuje si¦. Co 

wi¦cej, poniewa» ⋂ α


Dowód. Pierwsza cz¦±¢ stwierdzenia to natychmiastowy wniosek z twierdzenia III.1.2. 

Dla dowodu drugiej cz¦±ci, dotycz¡cej przypadku ekwiwariantnego, oznaczmy przeliczalny 

ci¡g G-retrakcji (U ∪ D)-rozbieraj¡cy X do X ′ przez {r α : X α → X α+1 } α s α+n . Je±li n jest nieparzyste, to przyjmujemy 

s α+n+1 < s α+n . Ponadto, dla ka»dej liczby porz¡dkowej granicznej α przyjmujemy 

S α = {s α } ∪ ∐ β


nieredukowalnym w ka»dym kroku otrzymamy po sko«czenie wielu krokach przestrze« nie 

zawieraj¡c¡ punktów nieredukowalnych, która wobec stwierdzenia III.1.6 jest C-rdzeniem. 

W wielu przypadkach, aby otrzyma¢ rdze« wystarczy zastosowa¢ podej±cie stanowi¡ce 

uogólnienie usuwania punktów nieredukowalnych w przestrzeniach sko«czonych. 

Je±li X jest przestrzeni¡ Aleksandrowa o sko«czonych ªa«cuchach [z punktem wyró»- 

nionym p], to przez u X : X → X oznaczamy odwzorowanie ci¡gªe zadane dla x ∈ X 

w nast¦puj¡cy sposób: 

u X (x) = 

{ 

u x 

x 

je±li u x jest jedynym pokryciem górnym x ≠ p 

. 

w przeciwnym wypadku 

Poniewa» dla ka»dego x ∈ X zachodzi u X (x) x oraz X jest przestrzeni¡ o sko«czonych 

ªa«cuchach, istnieje najmniejsza liczba naturalna N x taka, »e (u X ) n (x) = (u X ) Nx (x) dla 

wszystkich n N x . Niech U X : X → U X (X) b¦dzie zadane wzorem U X (x) = (u X ) Nx (x) 

dla x ∈ X. Šatwo zauwa»y¢, »e U X jest retrakcj¡ górn¡. Dualnie deniujemy retrakcj¦ 

doln¡ D X : X → D X (X). 

Przypu±¢my, »e X jest przestrzeni¡ Aleksandrowa [z punktem wyró»nionym p] o sko«- 

czonych ªa«cuchach, za± γ jest liczb¡ porz¡dkow¡. Ci¡giem standardowym X o dªugo±ci 

γ nazywamy ci¡g (U ∪ D)-retrakcji {r α : X α → X α+1 } α

III.2. KLASYFIKACJA TYPÓW HOMOTOPIJNYCH 37 

Dowód. Niech X b¦dzie fp-przestrzeni¡ i niech Ω oznacza najmniejsz¡ niesko«czon¡ liczb¦ 

porz¡dkow¡ mocy przewy»szaj¡cej moc X. Oznaczmy przez {r α : X α → X α+1 } α


Dowód. Niech X b¦dzie rdzeniem lokalnie. Dla ka»dego x ∈ X zbiór ⋂ y∈A x 

[y, y ↓] jest 

otwartym otoczeniem Id X . Poka»emy, »e f| Ax = Id Ax dla ka»dego f ∈ ⋂ y∈A x 

[y, y ↓] 

oraz »e otoczenie to jest równie» domkni¦te. Oznaczaªo to b¦dzie, »e przekrój 

wszystkich zbiorów domkni¦to-otwartych w C(X, X) zawieraj¡cych Id X jest zawarty 

w ⋂ ⋂ 

x∈X y∈A x 

[y, y ↓] = {Id X }. Poniewa» implikuje to, »e skªadowa ªukowej spójno±ci Id X 

w C(X, X) jest jednoelementowa, dzi¦ki lematowi III.1.1 zako«czy to dowód. 

Niech x ∈ X i niech f ∈ ⋂ y∈A x 

[y, y ↓]. Przypu±¢my, »e istnieje a 0 ∈ A x takie, 

»e f(a 0 ) < a 0 . Je±li znale¹li±my {a n } m n=0 ⊆ A x o tej wªasno±ci, »e f(a n ) < a n dla 

wszystkich 0 n m oraz a n+1 < a n dla wszystkich 0 n < m, to, poniewa» 

f(a m ) < a m , mamy a m ∉ min(X). Zatem istnieje a m+1 ∈ A x takie, »e a m+1 < a m oraz 

a m+1 ̸ f(a m ). Poniewa» f zachowuje porz¡dek, f(a m+1 ) f(a m ). Ale f ∈ [a m+1 , a m+1 ↓], 

wi¦c f(a m+1 ) < a m+1 . Przez indukcj¦ zdeniowali±my w ten sposób niesko«czony, ±ci±le 

malej¡cy ci¡g {a n } n∈N ⊆ A x , co przeczy sko«czono±ci zbioru A x . Zatem f(a) = a dla 

wszystkich a ∈ A x , tzn. f| Ax = Id Ax . 

Dla ka»dego x ∈ X i g ∈ C(X, X) takiego, »e g ∉ ⋂ y∈A x 

[y, y ↓] znajdziemy teraz otoczenie 

otwarte U o tej wªasno±ci, »e U ∩ ⋂ y∈A x 

[y, y ↓] = ∅. Ustalmy x i g. Jak pokazali±my 

wy»ej, g ∉ ⋂ y∈A x 

[y, y ↓] wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje a 0 ∈ A x takie, »e g(a 0 ) ≠ a 0 . 

Je±li g(a 0 ) < a 0 lub g(a 0 ) ≁ a 0 , mo»emy przyj¡¢ U = [a 0 , g(a 0 ) ↓]. Zaªó»my zatem, »e 

g(a 0 ) > a 0 . Poka»emy, »e istnieje a ∈ A x takie, »e g(a) ≁ a i b¦dziemy mogli przyj¡¢ 

U = [a, g(a) ↓]. Przypu±¢my, »e takie a nie istnieje. Je±li zdeniowali±my {a n } m n=0 ⊆ A x 

o tej wªasno±ci, »e g(a n ) > a n dla wszystkich 0 n m oraz a n+1 > a n dla 0 n < m, 

to a m ∉ max(X). Zatem istnieje a m+1 ∈ A x takie, »e a m+1 > a m oraz a m+1 ̸ g(a m ). 

Poniewa» g(a m+1 ) ∼ a m+1 i g(a m+1 ) g(a m ), musi zachodzi¢ g(a m+1 ) > a m+1 . Poprzez 

indukcj¦ zdeniowali±my niesko«czony, ±ci±le rosn¡cy ci¡g w A x , co jest sprzeczne ze 

sko«czono±ci¡ A x . 

Wniosek III.2.4. Je±li X,Y s¡ G-przestrzeniami Aleksandrowa [z punktami wyró»nionymi 

p, q] za± C-rdzenie X C , Y C s¡ im G-homotopijnie równowa»ne i s¡ rdzeniami lokalnie, 

to X jest G-homotopijnie równowa»na Y [(X, p) jest G-homotopijnie równowa»na 

(Y, q)] wtedy i tylko wtedy, gdy X C i Y C [(X C , p) i (Y C , q)] s¡ G-homeomorczne. 

Dowód. Niech f X : X → X C i g Y : Y C → Y b¦d¡ G-homotopijnymi równowa»no±ciami. 

Je±li h : X C → Y C jest G-homeomorzmem, to g Y ◦ h ◦ f X : X → Y jest G-homotopijn¡ 

równowa»no±ci¡. 

Z drugiej strony, je±li przestrze« X jest G-homotopijnie równowa»na przestrzeni 

Y , to X C jest G-homotopijnie równowa»na Y C . Istniej¡ zatem G-odwzorowania ci¡gªe 

h : X C → Y C oraz k : Y C → X C takie, »e k ◦ h ≃ G Id X C i h ◦ k ≃ G Id Y C. Ale wobec 

twierdzenia III.2.3 otrzymujemy k ◦ h = Id X C, h ◦ k = Id Y C, co ko«czy dowód. 

Twierdzenie III.2.5. Je±li fp-przestrze« X [z punktem wyró»nionym p] jest C-rdzeniem, 

to X [(X, p)] jest rdzeniem lokalnie. 

Dowód. Dla ka»dego x ∈ X skonstruujemy zbiór A x o »¡danych w denicji lokalnego 

rdzenia wªasno±ciach. Konstrukcja jest indukcyjna. Elementowi x przypiszmy kod () b¦d¡cy 

ci¡giem pustym. Niech A 0 = {x}. Przypu±¢my, »e dla wszystkich 0 m < n 

zdeniowali±my zbiory A m ⊆ X, oraz »e elementy zbioru A m posiadaj¡ kody b¦d¡ce ci¡- 

gami m-elementowymi o wyrazach ze zbioru {1, 2, 3, 4}. W szczególno±ci, zdeniowany

III.2. KLASYFIKACJA TYPÓW HOMOTOPIJNYCH 39 

zostaª zbiór A n−1 = {x 1 , . . . , x k } oraz ka»dy element x i ∈ A n−1 , i = 1, . . . , k, posiada 

kod (x 1 i , . . . , x n−1 

i ). Dla i = 1, . . . , k zdeniujemy kolejno zbiory A i n. Je±li p ≠ x i ∈ A n−1 

nie jest maksymalny w X, to, poniewa» X jest I-rdzeniem, istniej¡ dwa ró»ne elementy 

w min(x i ↑ {x i }). Przypiszmy im kody (x 1 i , . . . , x n−1 

i , 1) i (x 1 i , . . . , x n−1 

i , 2). Podobnie, 

je±li p ≠ x i ∉ min(X), istniej¡ dwa ró»ne elementy w max(x i ↓ {x i }). Przypiszmy im 

kody (x 1 i , . . . , x n−1 

i , 3), (x 1 i , . . . , x n−1 

i , 4). Niech 

( ⋃ 

A i n = {y ∈ X : y ma kod (x 1 i , . . . , x n−1 

i , k), 1 k 4} A r ∪ ⋃ ) 

A j n . 

rn−1 j


Korzystaj¡c z faktu, »e dwa odwzorowania mi¦dzy przestrzeniami sko«czonymi s¡ homotopijne 

dokªadnie wtedy, gdy istnieje sko«czony ci¡g funkcji porównywalnych rozpoczynaj¡cy 

si¦ w jednym, a ko«cz¡cy w drugim spo±ród nich (czego nie mo»na powiedzie¢ 

o odwzorowaniach mi¦dzy dowolnymi przestrzeniami Aleksandrowa), Stong uzyskaª analogon 

twierdzenia III.2.3, co z kolei daªo podstaw¦ do udowodnienia odpowiednika wniosku 

III.2.4. Gªówn¡ innowacj¡ niniejszej pracy w stosunku do pracy Stonga jest zapanowanie 

do pewnego stopnia nad homotopiami odwzorowa« mi¦dzy niesko«czonymi przestrzeniami 

Aleksandrowa, wykorzystanie poj¦cia niesko«czonej rozbieralno±ci oraz wprowadzenie lokalnych 

rdzeni. 

Warto mo»e wspomnie¢, »e Stong w [27] oprócz typów homotopijnych przestrzeni 

sko«czonych bada homotopie mi¦dzy odwzorowaniami ci¡gªymi ze zwartego wielo±cianu 

w przestrze« sko«czon¡. Wyniki Stonga przenosz¡ si¦ bez zmian w dowodzie na przypadek 

odwzorowa« ze zwartego wielo±cianu w przestrze« Aleksandrowa. 

III.3. 

Zastosowania 

Poka»emy teraz przykªady zastosowa« wyników niniejszej pracy do zagadnie« zwi¡zanych 

z poj¦ciem homotopii, lecz innych ni» klasykacja typów homotopijnych cz¦±ciowych 

porz¡dków. 

III.3.1. 

Homotopijna dominacja 

Mówimy, »e przestrze« topologiczna X homotopijnie dominuje nad przestrzeni¡ topologiczn¡ 

Y i piszemy X H Y o ile istniej¡ odwzorowania ci¡gªe f : X → Y , g : Y → X 

takie, »e f ◦ g ≃ Id Y . Przykªadowo, X homotopijnie dominuje nad ka»dym swoim retraktem. 

Je±li X i Y s¡ homotopijnie równowa»ne, to X H Y oraz Y H X. Udowodnimy, 

»e je±li X, Y s¡ przestrzeniami sko«czonymi, to z homotopijnych dominacji X H Y 

i Y H X wynika homotopijna równowa»no±¢ X ≃ Y . Nast¦pnie wyka»emy, »e analogiczny 

fakt dla dowolnych przestrzeni Aleksandrowa nie jest prawdziwy. 

Stwierdzenie III.3.1. Niech X, Y b¦d¡ sko«czonymi przestrzeniami topologicznymi. Je±li 

X H Y i Y H X, to X ≃ Y . 

Dowód. Niech r X : X → X C , r Y : Y → Y C oznaczaj¡ retrakcje deformacyjne przestrzeni 

X, Y na ich C-rdzenie, za± i X : X C ↩→ X, i Y : Y C ↩→ Y wªo»enia. Poniewa» X H Y 

i Y H X, istniej¡ odwozorowania f, f ′ : X → Y i g, g ′ : Y → X takie, »e gf ≃ Id X , 

f ′ g ′ ≃ Id Y . Mamy zatem: 

(r X gi Y )(r Y fi X ) ≃ r X gfi X ≃ r X i X = Id X C, 

sk¡d, poniewa» X C jest rdzeniem, (r X gi Y )(r Y fi X ) = Id X C. Zatem r X gi Y : Y C → X C 

jest surjekcj¡. Analogicznie wykazuje si¦, »e r Y f ′ i X : X C → Y C jest surjekcj¡. Zatem 

|X C | = |Y C | i wobec sko«czono±ci rozwa»anych przestrzeni, r X gi Y , r Y f ′ i X s¡ bijekcjami. 

Oznaczmy (r X gi Y )(r Y f ′ i X ) = h. 

Poniewa» bijektywne endomorzmy X C tworz¡ zbiór sko«czony, istniej¡ liczby naturalne 

n 1 > n 0 takie, »e h n 1 

= h n 0 , sk¡d h 

n 1 −n 0 

= Id X C, czyli h n 1−n 0 −1 = h −1 

i h jest automorzmem (tzn. h −1 zachowuje porz¡dek). Ale h −1 = (r Y f ′ i X ) −1 (r X gi Y ) −1 .

III.3. ZASTOSOWANIA 41 

Zatem (r Y f ′ i X )(r Y f ′ i X ) −1 (r X gi Y ) −1 = (r X gi Y ) −1 zachowuje porz¡dek i odwzorowanie 

r X gi Y : Y C → X C jest izomorzmem. 

Poniewa» X C , Y C s¡ izomorczne, X, Y s¡ homotopijnie równowa»ne. 

Przykªad III.3.2. Skonstruujemy teraz nieizomorczne rdzenie lokalne X, Y takie, »e 

X H Y i Y H X. Na mocy wniosku III.2.4 nie b¦d¡ one homotopijnie równowa»ne. 

a 0 a 1 

 

 

 

 

 

 

a 2 a 3 

 

 

a 4 

a 5 

b 0 b 1 

 

 

 

 

 

b 2 b 4 

b 5 

b 3 

 

 

 

 

b 6 b 7 b 8 b 9 

Rysunek III.1: Cz¦±ciowe porz¡dki A i B. 

Niech A, B b¦d¡ cz¦±ciowymi porz¡dkami, których diagramy Hassego przedstawione 

s¡ na rysunku III.1. Niech x, y : Z → {A, B} b¦d¡ zadane nast¦puj¡co: 

x(n) = 

{ 

{ 

B dla 2|n 

A dla 2 ̸ |n , y(n) = B dla 3| n 

A dla 3 ̸ | n . 

Deniujemy: X = ⋃ n∈Z x(n) × {n}, Y = ⋃ n∈Z 

y(n) × {n} z porz¡dkiem na podzbiorach 

x(n) × {n}, y(n) × {n} indukowanym przez porz¡dek na A, B oraz z dodanymi 

nierówno±ciami (u i , n) < (v i , m) dla wszystkich u, v ∈ {a, b}, i ∈ {2, 3} i wszystkich liczb 

caªkowitych n < m. Porz¡dki X, Y nie s¡, jak ªatwo zauwa»y¢, izomorczne. S¡ one ponadto 

rdzeniami lokalnie: je±li x ∈ x(n) × {n}, to mo»emy przyj¡¢ A x = x(n) × {n} 

i podobnie dla y ∈ y(n) × {n} przyjmujemy A y = y(n) × {n}. X i Y nie s¡ zatem, na 

mocy wniosku III.2.4, homotopijnie równowa»ne. 

Zdeniujemy teraz odwzorowania ci¡gªe f, f ′ : X → Y oraz g, g ′ : Y → X takie, »e 

fg = Id Y i g ′ f ′ = Id X , co oznaczaªo b¦dzie, »e X H Y i Y H X. Niech h : B → A b¦dzie 

odwzorowaniem takim, »e h(b i ) = a i dla i 5 oraz h(b 6 ) = h(b 8 ) = a 4 , h(b 7 ) = h(b 9 ) = a 5 . 

Przyjmijmy dla b ∈ B, a ∈ A i n ∈ Z: 

f(b, 4n) = (b, 3n), f(a, 4n + 1) = (a, 3n + 1), 

f(b, 4n + 2) = (h(b), 3n + 1), f(a, 4n + 3) = (a, 3n + 2), 

g(b, 3n) = (b, 4n), g(a, 3n + 1) = (b, 4n + 1), g(a, 3n + 2) = (b, 4n + 3), 

f ′ (b, 2n) = (b, 3n), f ′ (a, 2n + 1) = (a, 3n + 1), 

g ′ (b, 3n) = (b, 2n), g ′ (a, 3n + 1) = g ′ (a, 3n + 2) = (a, 2n + 1). 

III.3.2. 

H-przestrzenie 

H-przestrzeni¡ nazywamy przestrze« topologiczn¡ X z punktem wyró»nionym p i odwzorowaniem 

µ : X × X → X tak¡, »e przemienny z dokªadno±ci¡ do homotopii jest


diagram 

X × X µ X 

i 

 

c 

 

X ∨ X 

gdzie X ∨ X = {(x, y) ∈ X × X : x = p lub y = p} oraz c(x, p) = x, c(p, y) = y. 

Je±li przestrzenie z punktami wyró»nionymi (X, p) i (Y, q) s¡ homotopijnie równowa»ne, 

to struktura H-przestrzeni na X indukuje struktur¦ H-przestrzeni na Y . Istotnie, 

je±li µ : X × X → X oraz f : X → Y , g : Y → X s¡ homotopijnie odwrotne, to dziaªanie 

f ◦ µ ◦ (g × g) : Y × Y → Y wyznacza struktur¦ H-przestrzeni na Y . Ponadto, je±li skªadowa 

spójno±ci S p punktu p ∈ X jest ±ci¡galna, to na (X, p) ªatwo mo»na wprowadzi¢ 

dziaªanie µ : X × X → X takie, »e (X, p, µ) jest H-przestrzeni¡. W istocie, wystarczy 

przyj¡¢ µ(x, p) = x, µ(p, y) = y, µ(x, y) = µ(p, p) = p dla x, y ≠ p. Z rozwa»a« tych 

wynika, »e je±li skªadowa spójno±ci S p punktu p ∈ X jest ±ci¡galna, to na (X, p) istnieje 

w pewnym sensie trywialna struktura H-przestrzeni. 

Stong wykazuje w [27], Sekcja 5, »e jedyne sko«czone H-przestrzenie s¡ powy»szego 

typu, tzn. skªadowa spójno±ci punktu bazowego jest ±ci¡galna. Okazuje si¦, »e dowód przenosi 

si¦ bez wi¦kszych zmian na bp-przestrzenie oraz przeliczalne fp-przestrzenie. Wystarczy 

wykorzysta¢ uzyskane w niniejszej pracy wyniki oraz przy dowodzie odpowiednika 

[27], Stwierdzenie 13 zauwa»y¢, »e sumy zbiorów D r , D ′ r nie tylko s¡ niesko«czone, ale 

zawieraj¡ niesko«czone ±cie»ki proste. Otrzymujemy nast¦puj¡ce twierdzenie. 

Twierdzenie III.3.3. Niech X b¦dzie bp-przestrzeni¡ lub przeliczaln¡ fp-przestrzeni¡. 

Warunkiem koniecznym i dostatecznym na to, by istniaªa struktura H-przestrzeni (X, p, µ) 

jest istnienie mocnej retrakcji deformacyjnej skªadowej spójno±ci punktu p na przestrze« 

jednoelementow¡ {p}. 

III.3.3. 

G-przestrzenie Aleksandrowa 

Niniejsze stwierdzenia stanowi¡ uogólnienie wyników Stonga [28]. 

Stwierdzenie III.3.4. Niech X, Y b¦d¡ G-przestrzeniami Aleksandrowa [z punktami wyró»nionymi 

p, q] b¦d¡cymi bp-przestrzeniami lub przeliczalnymi fp-przestrzeniami. Wówczas 

G-odwzorowanie f : X → Y jest G-homotopijn¡ równowa»no±ci¡ wtedy i tylko wtedy, 

gdy f jest homotopijn¡ równowa»no±ci¡. 

Dowód. Oczywi±cie je±li f jest G-homotopijn¡ równowa»no±ci¡, to jest homotopijn¡ równowa»no±ci¡. 

Z drugiej strony, niech r X : X → X C , r Y : Y → Y C oznaczaj¡, istniej¡ce 

wobec wniosku III.2.2, G-retrakcje deformacyjne przestrzeni X i Y na ich C-rdzenie, za± 

i X : X C ↩→ X, i Y : Y C ↩→ Y wªo»enia. Wówczas G-odwzorowanie r Y fi X jest równowa»- 

no±ci¡ homotopijn¡. Niech g : Y C → X C oznacza homotopijn¡ odwrotno±¢ r Y fi X . Wobec 

twierdzenia III.2.3, g jest homeomorzmem odwrotnym do G-odwzorowania r Y fi X . Wynika 

st¡d, »e g jest G-odwzorowaniem. Zatem i X gr Y jest G-odwzorowaniem. Zauwa»my: 

oraz 

(i X gr Y )f ≃ G (i X gr Y )f(i X r X ) = i X (g(r Y fi X ))r X = i X r X ≃ G Id X 

f(i X gr Y ) ≃ G (i Y r Y )f(i X gr Y ) = i Y ((r Y fi X )g)r Y = i Y r Y ≃ G Id Y ,

III.4. WI†CEJ O RDZENIACH I ROZBIERALNO‘CI 43 

czyli i X gr Y jest G-odwrotno±ci¡ homotopijn¡ odwzorowania f. 

Stwierdzenie III.3.5. Je±li X jest ±ci¡galn¡ G-przestrzeni¡ Aleksandrowa b¦d¡c¡ 

bp-przestrzeni¡ lub przeliczaln¡ fp-przestrzeni¡, to istnieje punkt staªy dziaªania G na 

X, tzn. taki punkt x ∈ X, »e gx = x dla wszystkich g ∈ G. W szczególno±ci, istnieje 

x ∈ X b¦d¡cy punktem staªym ka»dego automorzmu przestrzeni X. 

Dowód. Ze ±ci¡galno±ci przestrzeni X wynika wobec twierdzenia III.2.6, »e X posiada 

rdze« jednoelementowy {x} b¦d¡cy G-mocnym retraktem deformacyjnym X. Zatem x jest 

punktem staªym dziaªania G na X. Drugie zdanie tezy wynika teraz z faktu, »e grupa 

automorzmów Aut(X) dziaªa na X. 

III.4. 

Wi¦cej o rdzeniach i rozbieralno±ci 

III.4.1. 

Ogólnie o rozbieralno±ci 

Niezale»nie od wyników Stonga, poj¦cie rdzenia znalazªo zastosowanie w teorii cz¦±ciowych 

porz¡dków. W szczególno±ci interesuj¡ce jest ono z punktu widzenia teorii punktów 

staªych, zachodzi bowiem nast¦puj¡ce twierdzenie. 

Twierdzenie III.4.1 ([25], Rozdziaª 4, ‚wiczenie 24). Niech X b¦dzie ªa«cuchowo zupeªnym 

cz¦±ciowym porz¡dkiem. Je±li X jest C-rozbieralny do Y (w dowolnej liczbie kroków), 

to X ma wªasno±¢ punktu staªego wtedy i tylko wtedy, gdy Y ma wªasno±¢ punktu staªego. 

Z twierdzenia III.2.6 wynika zatem, »e wªasno±¢ punktu staªego jest niezmiennikiem 

homotopijnym w klasie przeliczalnych fp-przestrzeni oraz bp-przestrzeni; w szczególno±ci, 

jest niezmiennikiem homotopijnym w klasie przestrzeni sko«czonych 2 W teorii cz¦±ciowych 

porz¡dków znane jest równie» zaskakuj¡ce twierdzenie B. Li i E.C. Milnera, które 

podajemy, aby unikn¡¢ wprowadzania terminologii zwi¡zanej z tzw. ci¡gami perfekcyjnymi 

(ang. perfect sequences), w wersji nieco sªabszej od oryginalnej. 

Twierdzenie III.4.2 ([8], [15]). Niech X b¦dzie przestrzeni¡ Aleksandrowa ªa«cuchowo 

zupeªn¡ i nie zawieraj¡c¡ niesko«czonych antyªa«cuchów. Wówczas X jest C-rozbieralna 

do sko«czonego C-rdzenia w sko«czonej liczbie kroków. 

Wynika z niego, »e wªasno±¢ punktu staªego jest niezmiennikiem homotopijnym w kategorii 

porz¡dków ªa«cuchowo zupeªnych nie zawieraj¡cych niesko«czonych antyªa«cuchów. 

Nie jest to jednak niezmiennik homotopijny w klasie przestrzeni lokalnie sko«czonych. 

Ilustruje to, jak równie» kilka innych fenomenów, poni»szy przykªad. 

Przykªad III.4.3. Jak wiadomo z wniosku II.5.4, dwustronnie niesko«czona palisada nie 

ma wªasno±ci punktu staªego. Na mocy wniosku III.1.4 jest ona jednak ±ci¡galna. 

Przykªad niniejszy pokazuje równie», »e twierdzenie III.2.3 nie jest prawdziwe dla 

rdzeni, które nie s¡ rdzeniami lokalnie. Istotnie, dwustronnie niesko«czona palisada jest 

rdzeniem, ale jej odwzorowanie to»samo±ciowe jest homotopijne z odwzorowaniem staªym. 

2 Pami¦tajmy, »e zakªadamy, i» wszystkie rozwa»ane przestrzenie s¡ T 0 . Nietrudno zauwa»y¢, »e dowolna 

przestrze« nie b¦d¡ca T 0 nie ma wªasno±ci punktu staªego.


Wreszcie, dziaªanie grupy Z zadane wzorem gx i = x i+2g dla g ∈ Z (oznaczenia elementów 

palisady pochodz¡ z podsekcji I.1.1) nie posiada punktów staªych pomimo ±ci¡galno- 

±ci palisady. W szczególno±ci, palisada dwustronna z powy»szym dziaªaniem grupy Z nie 

jest Z-±ci¡galna. Pokazuje to, »e stwierdzenie III.3.5 nie jest prawdziwe dla dowolnych 

przestrzeni Aleksandrowa. Ekwiwariantna teoria homotopii przestrzeni Aleksandrowa jest 

zatem istotnie bogatsza od teorii nieekwiwariantnej. 

Nie jest równie» prawd¡, »e wszystkie przestrzenie Aleksandrowa s¡ C-rozbieralne. 

W istocie, zagadnieniu rozbieralno±ci cz¦±ciowych porz¡dków po±wi¦cono sporo uwagi. 

Jednym z najwa»niejszych, obok twierdzenia III.4.2, osi¡gni¦¢ w tej dziedzinie jest nast¦puj¡ce 

twierdzenie, udowodnione przez B.Li dla specjalnego rodzaju retrakcji i uogólnione 

przez B. Schrödera do niniejszej postaci. 

Twierdzenie III.4.4 ([26], Twierdzenie 2.4). Niech R ⊆ C b¦dzie pewn¡ klas¡ retrakcji. 

Je±li zbiór cz¦±ciowo uporz¡dkowany P nie zawiera podzbioru izomorcznego z niesko«- 

czon¡ palisad¡ ani z wie»¡ 3 , to P jest R-rozbieralny do R-rdzenia. 

Zauwa»my, »e twierdzenie III.4.4 mo»na byªo zastosowa¢ w dowodzie stwierdzenia 

III.2.1, gdy» fp-przestrzenie speªniaj¡ jego zaªo»enia. Nie mo»na tego powiedzie¢ o przestrzeniach 

lokalnie sko«czonych, które, jak orzeka stwierdzenie II.5.2, mog¡ zawiera¢ niesko«czone 

palisady. Okazuje si¦, »e istniej¡ przestrzenie lokalnie sko«czone, które nie s¡ 

rozbieralne do rdzenia. 

Przykªad III.4.5. Niech X b¦dzie jednostronnie niesko«czon¡ palisad¡ o elementach 

x 0 < x 1 > x 2 < x 3 > . . .. Jedyn¡ C-retrakcj¡ na X ró»n¡ od Id X jest odwzorowanie 

r 0 : X → r 0 (X), to»samo±ciowe na {x i : i 1} i przeprowadzaj¡ce x 0 w x 1 . Z kolei jedyn¡ 

nietrywialn¡ C-retrakcj¡ na r 0 (X) jest odwzorowanie r 1 : r 0 (X) → r 1 (X) to»samo±ciowe 

na {x i : i 2} i przeprowadzaj¡ce x 1 w x 2 . Ale przestrze« r 1 (r 0 (X)) = {x i : i 2} jest 

izomorczna z X. Zatem poprzez dziaªanie kolejnymi retrakcjami porównywalnymi nigdy 

nie otrzymamy C-rdzenia. 

Zauwa»my, »e palisada z powy»szego przykªadu jest C-rozbieralna do zbioru pustego. 

Jest te» ±ci¡galna, co jest przejawem nast¦puj¡cego, ogólniejszego faktu. 

Stwierdzenie III.4.6. Niech X b¦dzie przestrzeni¡ Aleksandrowa wysoko±ci 1, która jest 

C-rozbieralna do zbioru pustego (w dowolnej liczbie kroków). Wówczas X jest ±ci¡galna. 

Dowód. Poka»emy, »e X nie zawiera koron. Wniosek III.1.4 zako«czy wtedy dowód. Niech 

{r α } α x 2 < . . . < x m−1 > x 0 } ⊆ X jest koron¡. Przez x i+k rozumie¢ b¦dziemy 

x i+k mod m . Przyjmijmy n i = min{α < γ : R α (x i ) ≠ x i } dla 0 i < m. Niech i 0 b¦dzie 

takie, »e n i0 = min(n 0 , . . . , n m ). Mo»emy zaªo»y¢ bez zmniejszenia ogólno±ci rozwa»a«, »e 

x i0 ∈ min(X). Wówczas r ni0 (x i0 ) = y dla pewnego y > x i0 . Mamy x i0 +1, x i0 −1 x i0 , wi¦c 

r ni0 (x i0 +1) y r ni0 (x i0 −1). Ale y ∈ max(X), wi¦c r ni0 (x i0 +1) = y = r ni0 (x i0 −1). Zatem 

y ∼ x i0 +1, x i0 −1, co jest niemo»liwe, gdy» y, x i0 +1, x i0 −1 ∈ max(X) i x i0 +1 ≠ x i0 −1 

3 Wie»¡ nazywamy porz¡dek skªadaj¡cy si¦ z niesko«czonego ci¡gu wst¦puj¡cego x 0 < x 1 < x 2 < . . ., 

niesko«czonego ci¡gu zst¦puj¡cego y 0 > y 1 > y 2 > . . . oraz antyªa«cucha z 0 , z 1 , z 2 . . ., w którym zachodz¡ 

dodatkowo nierówno±ci z n < x n , z n < y n dla wszystkich n ∈ N oraz nierówno±ci wynikaj¡ce z nich przez 

przechodnio±¢ relacji porz¡dkuj¡cej.

III.4. WI†CEJ O RDZENIACH I ROZBIERALNO‘CI 45 

Dla przestrzeni wi¦kszej wysoko±ci fakt ten przestaje by¢ prawdziwy, co pokazuje poni»szy 

przykªad. 

Przykªad III.4.7. Oznaczmy przez X koron¦ 4-elementow¡ x 0 < x 1 > x 2 < x 3 > x 0 , za± 

przez Y jednostronnie niesko«czon¡ palisad¦ y 0 < y 1 > y 2 < y 3 > . . .. Wówczas przestrze« 

X × Y jest C-rozbierana do zbioru pustego poprzez ci¡g retrakcji {r n } n∈N , gdzie 

{ 

(x i , y j+1 ) dla j = n 

r n (x i , y j ) = 

(x i , y j ) dla j > n . 

Jednak zbiór X × {y 0 }, izomorczny z koron¡ 4-elementow¡, jest retraktem X × Y . Poniewa» 

korona 4-elementowa nie jest ±ci¡galna (patrz wniosek III.1.4), przestrze« X × Y 

nie mo»e by¢ ±ci¡galna. 

III.4.2. 

Rozbieralno±¢ przestrzeni lokalnie sko«czonych 

O rozbieralno±ci przestrzeni lokalnie sko«czonych mo»na wiele powiedzie¢. Zwi¡zanymi 

z ni¡ wynikami b¦dziemy zajmowa¢ si¦ do ko«ca tej sekcji. S¡ to rezultaty nowe, nie 

wynikaj¡ce z literatury wcze±niejszej od pracy autora [11]. 

Twierdzenie III.4.8. Niech X b¦dzie lokalnie sko«czon¡, spójn¡ przestrzeni¡ Aleksandrowa. 

Wówczas X jest C-rozbieralna w ω krokach do C-rdzenia lub do zbioru pustego. 

Dowód. Niech {r α :X α →X α+1 } α N, co wobec denicji ci¡gu standardowego jest niemo»liwe. 

Zaªó»my teraz, »e ci¡g {r α } nie jest niesko«czenie skªadalny. Udowodnimy, »e X ω = ∅. 

W tym celu pokaza¢ wystarczy, »e dla ka»dego y ∈ X i ka»dego n < ω istnieje n < m < ω 

takie, »e R n (y) ≠ R m (y). Poniewa» {r α } nie jest niesko«czenie skªadalny, jest to prawd¡ 

dla co najmniej jednego elementu x ∈ X. Niech y ∼ x, bez zmniejszenia ogólno±ci y > x. 

Zdeniujemy indukcyjnie ci¡g S(y) = (y n ) n∈N taki, »e y n = R k n(y 0 ) dla pewnego k n < ω, 

y n ≠ y n+1 oraz k n+1 > k n dla wszystkich n ∈ N. Niech y 0 = y, k 0 = 0. Przypu±¢my, 

»e dla wszystkich n m elementy y n = R k n(y 0 ) zostaªy ju» zdeniowane w ten sposób, 

»e y n R k n(x). Poniewa» zbiór y m ↓ jest sko«czony, istnieje k m+1 < ω takie, »e 

R k m+1(x) ∉ y m ↓. Zatem aby R k m+1 zachowywaªa porz¡dek musimy mie¢ 

R k m+1(y 0 ) ≠ y m = R k m(y 0 ). 

Przyjmijmy y m+1 = R k m+1(y 0 ). 

Ci¡g S(y) zostaª zatem zdeniowany dla y ∈ {z ∈ X : z ∼ x}. Poniewa» 

X = ⋃ n∈N 

B(x, n), prosty argument indukcyjny pokazuje, »e niesko«czony ci¡g S(y) 

o analogicznych wªasno±ciach mo»emy zdeniowa¢ dla wszystkich y ∈ X. Ko«czy to dowód 

twierdzenia.


Uwaga III.4.9. Prosta modykacja powy»szego dowodu pokazuje, »e je±li zrezygnujemy 

z ograniczenia na liczb¦ kroków w procesie rozbierania, twierdzenie pozostaje prawdziwe 

dla przestrzeni X o tej wªasno±ci, »e dla »adnego x ∈ X zbiory x ↓ i x ↑ nie zawieraj¡ 

niesko«czonych ±cie»ek prostych. W istocie, je±li ci¡g standardowy X dowolnej dªugo±ci 

jest niesko«czenie skªadalny, musi si¦ kiedy± stabilizowa¢. Je±li za± nie jest on niesko«- 

czenie skªadalny, przy konstrukcji S(y) wystarczy zauwa»y¢, »e poniewa» y m ↓ nie zawiera 

niesko«czonych ±cie»ek prostych, musi istnie¢ k m+1 takie, »e x k m+1 ∉ y m ↓. 

Wykaza¢ mo»na, »e je±li przestrze« lokalnie sko«czona jest C-rozbieralna do C-rdzenia, 

to nie jest C-rozbieralna do zbioru pustego. (Wynik ten mo»na traktowa¢ jako swoiste 

uogólnienie Twierdzenia 3.4 pracy [26] mówi¡cego o jednoznaczno±ci, z dokªadno±ci¡ do 

izomorzmu, C-rdzenia przestrzeni.) Posªu»y nam do tego nast¦puj¡cy lemat. 

Lemat III.4.10. Niech X = X 0 b¦dzie lokalnie sko«czon¡ przestrzeni¡ Aleksandrowa, za± 

{r α : X α → X α+1 } α

III.5. PROBLEMY OTWARTE 47 

Ale zgodnie z lematem III.4.10 zbiory R −1 

α f 

(f) s¡ sko«czone, wi¦c ⋃ f∈F R−1 α f 

(f) jest sko«- 

czony. Zatem {x ∈ C i : R α0 (x) ∈ C i } jest niepusty dla i = 1, 2. Wobec tego R α0 (X) ma co 

najmniej dwie skªadowe spójno±ci: R α0 (C 1 ) ∩ C 1 oraz R α0 (C 2 ) ∩ C 2 , co przeczy ci¡gªo±ci 

R α0 . 

Co ciekawe, rdze« niesko«czonej przestrzeni lokalnie sko«czonej nie mo»e by¢ zbiorem 

sko«czonym. 

Twierdzenie III.4.13. Je±li X jest niesko«czon¡, lokalnie sko«czon¡ przestrzeni¡ Aleksandrowa, 

to X nie jest C-rozbieralna do przestrzeni sko«czonej. 

Dowód. Przypu±¢my, »e {r α } α

48 ROZDZIAŠ III. TYPY HOMOTOPIJNE

Bibliograa 

[1] Alexandro, P.: Diskrete Räume. Mat. Sbornik 2, 1937, s. 501-518 

[2] Arenas, F.G.: Alexandro spaces. Acta Math. Univ. Comenianae 68, 1999, s. 17-25 

[3] Barmak, J.A.: Algebraic Topology of Finite Topological Spaces and Applications. 

Praca doktorska, Uniwersytet Buenos Aires, 2009 

[4] Barmak, J.A., Minian, E.G.: Simple homotopy types and nite spaces. Adv. Math. 

218, 2008, s. 87-104 

[5] Clader, E.: Inverse limits of nite topological spaces. Homology, Homotopy and Applications 

11, 2009, s. 223-227 

[6] Duus D., Rival I., Simonovits M.: Spanning retracts of a partially ordered set. Disc. 

Math. 32, 1980, s. 1-7 

[7] Erné, M.: The ABC of order and topology. W: Herrlich, H., Porst, H.E. (red.): Category 

Theory at Work. Berlin: Helderman 1990, s. 57-83 

[8] Farley, J. D.: Perfect sequences of chain-complete posets. Discr. Math. 167/168, 1997, 

s. 271-296 

[9] Fox, R. H.: On topologies for function spaces. Bull. Amer. Math. Soc. 51, 1945, s. 

429-432 

[10] Hardie, K.A., Vermeulen, J.J.C.: Homotopy theory of nite and locally nite T 0 - 

spaces. Expo. Math. 11, 1993, s. 331-341 

[11] Kukieªa, M.: On homotopy types of Alexandro spaces. Order 27, 2010, s. 9-21 

[12] Kruskal, J. B.: The theory of well-quasi-ordering: A frequently discovered concept. J. 

Comb. Theory, Series A 13, 1972, s. 297-305 

[13] Kuratowski K., Mostowski A.: Teoria mnogo±ci. Warszawa: PWN 1966 

[14] Li B.: The core of a chain complete poset with no one-way innite fence and no tower. 

Order 10, 1993, s. 349-361 

[15] Li B., Milner E.C.: A chain complete poset with no innite antichain has a nite 

core. Order 10, 1993, s. 5563 

49

50 BIBLIOGRAFIA 

[16] Mahdi, H.B., El Atrash, M.S.: On T 0 Alexandro spaces. Journal of the Islamic 

University 13, 2005, s. 19-46 

[17] May, J.P.: Finite topological spaces. Niepublikowane notatki 

(http://www.math.uchicago.edu/∼may/MISC/FiniteSpaces.pdf), 2008 

[18] May, J.P.: Finite spaces and simplicial complexes. Niepublikowane notatki 

(http://www.math.uchicago.edu/∼may/MISC/SimpCxes.pdf), 2008 

[19] May, J.P.: Finite groups and nite spaces. Niepublikowane notatki 

(http://www.math.uchicago.edu/∼may/MISC/nitegroups.pdf), 2008 

[20] Melin, E.: Digital Geometry and Khalimsky Spaces. Uppsala Dissertations in Mathematics 

54, 2008 

[21] McCord, M.C.: Singular homology groups and homotopy groups of nite topological 

spaces. Duke Math. J. 33, 1966, s. 465-474 

[22] Okhezin, V.P.: On the Fixed-Point Theory for Non-Compact Maps and Spaces. Top. 

Meth. Nonlin. Analysis 5, 1995, s. 83-100 

[23] Osaki, T.: Reduction of nite topological spaces. Interdiscip. Inform. Sci. 5, 1999, s. 

149-155 

[24] Quillen, D.: Homotopy properties of the poset of nontrivial p-subgroups of a group. 

Adv. Math. 28, 1978, s. 101-128 

[25] Schröder, B. S. W.: Ordered Sets: An Introduction. Boston : Birkhäuser, 2003 

[26] Schröder, B. S. W.: Uniqueness of the core for chain-complete ordered sets. Order 17, 

2000, s. 207-214 

[27] Stong, R.E.: Finite topological spaces. Trans. Amer. Math. Soc. 123, 1966, s. 325-340 

[28] Stong, R.E.: Group actions on nite spaces. Disc. Math. 49, 1984, s. 95-100 

[29] Uzcategui, C., Vielma, J.: Alexandro topologies viewed as closed subsets of the Cantor 

cube. Divulg. Mat. 13, 2005, s. 45-53 

[30] Wachs, M.L.: Poset Topology: Tools and Applications. W: Miller E., Reiner V., Sturmfels 

B. (red.): Geometric combinatorics. Providence: American Mathematical Society 

2007, s. 497-615

Typy homotopijne przestrzeni Aleksandrowa - Wydział Matematyki i ...

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?