Minimalizace kvadratické funkce s kvadratickými ... - FEI VŠB

5
2 Úvod do problematiky
2.1 Kvadratická funkce
2.1.1 Úvodní definice
Věta 2.1 Množinu všech reálných čísel R budeme považovat za jednorozměrný vektorový prostor
nad reálnými čísly se všemi operacemi nad reálnými čísly (jako sčítání a násobení, opačný prvek)
s neutrálním prvkem 1 a nulovým prvkem 0 (splňuje všechny požadavky vektorového prostoru -
viz literatura [1], str. 53).
Definice 2.1 (bilineární forma)
Necht’ V je reálný vektorový prostor. Zobrazení B : V×V ↦→ R se nazývá bilineární forma,
jestliže pro libovolné u, v, w ∈ V a α ∈ R platí
• B(u + v, w) = B(u, w) + B(v, w)
• B(αu, v) = αB(u, v)
• B(u, v + w) = B(u, v) + B(u, w)
• B(u, αv) = αB(u, v)
Bilineární funkce je tedy při zvolené hodnotě jedné proměnné lineární funkcí druhé proměnné.
Definice 2.2 (kvadratická forma)
Necht’ V je vektorový prostor a necht’ B je bilineární forma na V. Zobrazení Q B definované pro
libovolné x ∈ V předpisem
Q B (x) = B(x, x)
se nazývá kvadratická forma příslušná k bilineární formě B. Kvadratickou formu stručně
nazýváme zobrazení Q definované na V, pro které existuje bilineární forma B na V tak, že Q =
Q B .
Definice 2.3 (pozitivně definitní kvadratická forma)
Kvadratická forma Q na vektorovém prostoru V se nazývá pozitivně definitní, jestliže
pro libovolné x ∈ V, x ≠ o platí Q(x) > 0. Jestliže pro libovolné x ∈ V platí Q(x) ≥ 0, pak se Q
nazývá pozitivně semidefinitní.
Definice 2.4 (symetrická matice)
Necht’ A = [a ij ] je čtvercová matice řádu n. Pak tuto matici nazýváme symetrická, pokud
∀i = 1, ..., n, ∀j = 1, ..., n : a ij = a ji
Věta 2.2 (o vlastních číslech pozitivně definitní matice)
Pro všechna vlastní čísla λ i každé symetrické pozitivně definitní čtvercové matice A
řádu n platí
∀i = 1, ..., n : λ i > 0