Minimalizace kvadratické funkce s kvadratickými ... - FEI VŠB

4
1 Úvod
Minimalizaci kvadratické funkce s kvadratickými separovanými vazbami lze považovat
za jednu z úloh pocházejících z problému řešení 3D kontaktních úloh s coulombovým
třením (viz literatura [7]).
V této práci se zabývám hledáním minima funkce
vzhledem k množině
F (x) = 1 (Ax, x) − (b, x)
2
Ω = {x = (x, y) : x 2 + y 2 ≤ c, c ∈ R}
přičemž matice A je symetrická pozitivně definitní.
V první části definuji důležité pojmy nezbytné pro vyřešení této úlohy. Také uvádím
několik metod na zjištění pozitivní definitnosti matice A a píši o vlastnostech množiny
Ω.
Nezbytnou součástí je také definice globálních extrémů a způsobů, jak je lze nalézt.
Tyto věci jsou definovány v další kapitole.
V následující části se pokusím vyřešit úlohu s rovnostní vazbou převodem na funkci o
jedné neznámé a ukáži, že při řešení lze využít i Lagrangeovu funkci pro vázané extrémy,
která finitní řešení podstatně zjednoduší. Pro iterační řešení zvolím metodu největšího
spádu s projekcí na množinu.
V poslední kapitole se budu věnovat hledání minima vhledem k množině s nerovnostní
vazbou, pro tento účel ukáži, jak lze metodu největšího spádu modifikovat.