Minimalizace kvadratické funkce s kvadratickými ... - FEI VŠB
Minimalizace kvadratické funkce s kvadratickými ... - FEI VŠB Minimalizace kvadratické funkce s kvadratickými ... - FEI VŠB
34 gradf = 0 ⇔ [ 2x1 − x 2 − 1 2x 2 − x 1 − 1 ] [ 0 = 0 ] a řešením této soustavy je vektor [ 1 x = 1 ] který však není z množiny Ω 1 = {x = (x, y) : x 2 + y 2 < 1} 2. Funkce f nabývá na množině Ω 2 = {x = (x, y) : x 2 + y 2 = 1} minimum v bodě x 0 = [ √2 1 ] √ 1 2 (viz Příklad (4.2.2)) 3. Funkce f nabývá globálního minima na množině Ω = Ω 1 ∪ Ω 2 v bodě x 0 = [ √2 1 ] √ 1 2 Obrázek 18: Vrstevnice kvadratické funkce s vyznačením kvadratické vazby
35 5.2 Modifikovaná metoda největšího spádu 5.2.1 Počáteční úvaha Mohou nastat dva případy: • min(f(x)) ∈ Ω Pak lze funkci f minimalizovat metodou nejvetšího spádu bez projekce na množinu • min(f(x)) /∈ Ω Pak minimum funkce f vzhledem k množině Ω leží na ohraničení množiny Ω - použijeme metodu největšího spádu s projekcí na množinu. Toto rozhodnutí bychom mohly učinit pokud známe umístnění minima funkce (14) vzhledem k mnoˇzině (15). Tedy řešení by mohlo být následující: 1. Nalezneme minimum funkce (14) algoritmem metody největšího spádu bez projekce na množinu. 2. Pokud min(f(x)) ∈ Ω Pak nalezené minimum je i minimum funkce (14) vzhledem k množině (15). 3. Pokud min(f(x)) /∈ Ω Pak minimum funkce (14) vzhledem k mnoˇzině (15) nalezneme algoritmem největšího spádu s projekcí na množinu Ω h = {x = (x, y) : x 2 + y 2 = c, c ∈ R} To ale znamená, že pokud min(f(x)) /∈ Ω, pak musíme aplikovat dvě iterační metody. Pokusme se tedy modifikovat algoritmus metody největšího spádu s projekcí na množinu tak, aby byl schopen najít minimum nejen na vnější kružnici, ale na celém kruhu. 5.2.2 Modifikovaná metoda největšího spádu s projekcí na množinu V každé iteraci algoritmu budeme rozlišovat zda • x i ∈ Ω Pak následující přiblížení x i+1 vypočteme jednou iterací algoritmu metody největšího spádu. • x i /∈ Ω Pak provedeme projekci na množinu a hledání x i+1 pokračujeme stejně jako při metodě největšího spádu s projekcí na množinu, přičemž nyní budeme vektor spádu zkoušet zkracovat do té doby, než bude x zkracene < x i nebo x zkracene ∈ Ω.
- Page 1 and 2: VŠB - Technická univerzita Ostrav
- Page 3 and 4: Rád bych na tomto místě poděkov
- Page 5 and 6: 1 Obsah 1 Úvod 4 2 Úvod do proble
- Page 7 and 8: 3 Seznam výpisů zdrojového kódu
- Page 9 and 10: 5 2 Úvod do problematiky 2.1 Kvadr
- Page 11 and 12: 7 Obrázek 1: Průběh funkce vlast
- Page 13 and 14: 9 |y| = √ c − x 2 y = ± √ c
- Page 15 and 16: 11 3 Globální extrémy 3.1 Globá
- Page 17 and 18: 13 1. Najdeme stacionární body fu
- Page 19 and 20: 15 4 Minimalizace kvadratické funk
- Page 21 and 22: 17 [ ] [ ] [ 2 −1 x1 1 grad F (x)
- Page 23 and 24: 19 V průběhu funkce f(α k ) nedo
- Page 25 and 26: 21 Příklad 4.2 Minimalizujte kvad
- Page 27 and 28: 23 Obrázek 10: MNS: Rěšení 2. p
- Page 29 and 30: 25 Obrázek 11: MNS: Rěšení 3. p
- Page 31 and 32: 27 while (norm(gradient)>e) % presn
- Page 33 and 34: 29 Obrázek 13: MNS s projekcí: R
- Page 35 and 36: Obrázek 15: MNS s projekcí: Rěš
- Page 37: 33 5 Minimalizace funkce s nerovnos
- Page 41 and 42: 37 5.2.3 Příklady f(x) = 1 (Ax, x
- Page 43 and 44: 39 Příklad 5.3 Minimalizujte kvad
- Page 45 and 46: 41 7 Reference [1] Z. Dostál Line
35<br />
5.2 Modifikovaná metoda největšího spádu<br />
5.2.1 Počáteční úvaha<br />
Mohou nastat dva případy:<br />
• min(f(x)) ∈ Ω<br />
Pak lze funkci f minimalizovat metodou nejvetšího spádu bez projekce na množinu<br />
• min(f(x)) /∈ Ω<br />
Pak minimum <strong>funkce</strong> f vzhledem k množině Ω leží na ohraničení množiny Ω -<br />
použijeme metodu největšího spádu s projekcí na množinu.<br />
Toto rozhodnutí bychom mohly učinit pokud známe umístnění minima <strong>funkce</strong> (14)<br />
vzhledem k mnoˇzině (15). Tedy řešení by mohlo být následující:<br />
1. Nalezneme minimum <strong>funkce</strong> (14) algoritmem metody největšího spádu bez projekce<br />
na množinu.<br />
2. Pokud min(f(x)) ∈ Ω<br />
Pak nalezené minimum je i minimum <strong>funkce</strong> (14) vzhledem k množině (15).<br />
3. Pokud min(f(x)) /∈ Ω<br />
Pak minimum <strong>funkce</strong> (14) vzhledem k mnoˇzině (15) nalezneme algoritmem největšího<br />
spádu s projekcí na množinu<br />
Ω h = {x = (x, y) : x 2 + y 2 = c, c ∈ R}<br />
To ale znamená, že pokud min(f(x)) /∈ Ω, pak musíme aplikovat dvě iterační metody.<br />
Pokusme se tedy modifikovat algoritmus metody největšího spádu s projekcí na množinu<br />
tak, aby byl schopen najít minimum nejen na vnější kružnici, ale na celém kruhu.<br />
5.2.2 Modifikovaná metoda největšího spádu s projekcí na množinu<br />
V každé iteraci algoritmu budeme rozlišovat zda<br />
• x i ∈ Ω<br />
Pak následující přiblížení x i+1 vypočteme jednou iterací algoritmu metody největšího<br />
spádu.<br />
• x i /∈ Ω<br />
Pak provedeme projekci na množinu a hledání x i+1 pokračujeme stejně jako při metodě<br />
největšího spádu s projekcí na množinu, přičemž nyní budeme vektor spádu<br />
zkoušet zkracovat do té doby, než bude x zkracene < x i nebo x zkracene ∈ Ω.
Change language