Minimalizace kvadratické funkce s kvadratickými ... - FEI VŠB

33
5 Minimalizace funkce s nerovnostní vazbou
Nalezněte minimum funkce
vzhledem k množině
5.1 Globální extrémy na uzavřené oblasti
f(x) = 1 (Ax, x) − (b, x) (14)
2
Ω = {x = (x, y) : x 2 + y 2 ≤ c, c ∈ R} (15)
Hledání minima funkce (14) na množině (15) se pokusíme realizovat stejným algoritem,
jako při hledání globálních extrémů funkce více proměnných.
1. Najdeme lokální minimum funkce f ležící v množině
Ω 1 = {x = (x, y) : x 2 + y 2 < c}
Vypočteme funkční hodnoty těchto extrémů.
2. Minimalizujeme funkci f vzhledem k množině
Ω 2 = {x = (x, y) : x 2 + y 2 = c}
3. Globální minimum funkce f leží v množině Ω = Ω 1 ∪ Ω 2 . Vybereme bod z extrémů
množin Ω 1 a Ω 2 , ve kterém má funkce f nejmenší funkční hodnotu.
V tomto bodě nabývá funkce f minima vzhledem k množině Ω.
Příklad 5.1
Nalezněte lokální minimum funkce
f(x) = 1 (Ax, x) − (b, x)
2
vzhledem k množině
A =
[ 2 −1
−1 2
] [ 1
, b =
1
]
Ω = {x = (x 1 , x 2 ) ∈ R 2 : x 1 2 + x 2 2 ≤ 1}
1. Najdeme stacionární body funkce f
gradf = Ax − b =
[ 2 −1
−1 2
] [ 1
−
1
]