Minimalizace kvadratické funkce s kvadratickými ... - FEI VŠB

18
• Lokální minimum nabývá funkce f v bodě
x 01 =
[
√2 1
]
√ 1
2
4.3 Metoda největšího spádu
4.3.1 Obecná metoda největšího spádu
Připomeňme si předpis kvadratické funkce:
F (x) = 1 (Ax, x) − (b, x)
2
Metoda největšího spádu je iterační metoda s předpisem x k+1 = x k + α k .v k , přičemž
α k , v k volíme tak, aby jsme se co nejvíce přiblížili ke konkrétnímu řešení.
Označme vektor r k = b − Ax k = −grad(F (x k )) jako reziduum v bodě x k vyjadřující
”velikost spádu” v daném bodě (tedy v dané iteraci).
• Vytvořme funkci definující skalár α k
f(α k ) = F (x k + α k .v k ) = 1 2 (A(x k + α k .v k ), x k + α k .v k ) − (b, x k + α k .v k ) =
= 1 2 (Ax k + α k .Av k , x k + α k .v k ) − (b, x k ) − (b, α k .v k ) =
= 1 2 (Ax k, x k )+ 1 2 (Ax k, α k .v k )+ 1 2 (α k.Av k , x k )+ 1 2 (α k.Av k , α k .v k )−(b, x k )−(b, α k .v k ) =
= 1 2 (Ax k, x k ) − (b, x k ) + 1 2 (Aα k.v k , α k .v k ) + (α k Ax k , v k ) − (b, α k .v k ) =
= F (x k ) + 1 2 (Aα k.v k , α k .v k ) + α k ((Ax k , v k ) − (b, v k )) =
= F (x k ) + 1 2 (Aα k.v k , α k .v k ) + α k (Ax k − b, v k ) = F (x k ) + 1 2 α k 2 (Av k , v k ) + α k (r k , v k )
Hledáme co nejvhodnější α k . Za tímto účelem minimalizujeme funkci f(α k ) jako
funkci o jedné proměnné α k
a stacionárním bodem je
f ′ (α k ) = α k (Av k , v k ) + (r k , v k )
f ′ (α k ) = 0 ⇔ α k = − (r k, v k )
(Av k , v k )