Minimalizace kvadratické funkce s kvadratickými ... - FEI VŠB

16
4.2 Lagrangeova funkce a vázané extrémy
4.2.1 Lagrangeova funkce, Lagrangeův multiplikátor
Věta 4.1 (o vázaných lokálních extrémech)
Necht’ f, g : R n → R jsou třídy C 1 na otevřené množině Ω ⊂ R n , n > 1, necht’ grad g(x) ≠
(0, . . . , 0) pro každé x ∈ Ω a necht’ M = {x ∈ Ω : g(x) = 0}.
Pak platí:
1. (Nutná podmínka existence lokálního vázaného extrému)
Má-li f v bodě c ∈ M lokální extrém vzhledem k M, existuje λ ∈ R takové, že c je stacionárním
bodem funkce F (x) = f(x) + λg(x), x ∈ Ω.
2. (Postačující podmínky existence lokálního vázaného extrému)
Necht’ c ∈ M je stacionárním bodem funkce F (x) = f(x) + λg(x) pro nějaké λ ∈ R, necht’
f a g mají v bodě c spojité parciální derivace druhého řádu a necht’ d 2 F c (pro příslušné λ)
je positivně (resp. negativně) definitní kvadratická forma.
Pak f má v bodě c ostré lokální minimum (resp. ostré lokální maximum) vzhledem k M.
Číslu λ se říká Lagrangeův multiplikátor, funkci F Lagrangeova funkce.
4.2.2 Příklady využití Lagrangeovy funkce
Příklad 4.1
Nalezněte lokální minimum funkce
f(x) = 1 (Ax, x) − (b, x)
2
vzhledem k množině
A =
[ 2 −1
−1 2
] [ 1
, b =
1
]
Ω = {x = (x 1 , x 2 ) ∈ R 2 : x 2 1 + x 2 2 = 1}
• Definujme funkci kvadratické vazby
g(x) = x 2 1 + x 2 2 − 1, ∀x ∈ Ω : grad g(x) ≠ (0, 0)
a Lagrangeovu funkci
F (x) = f(x) + λ.g(x) = 1 2 (Ax, x) − (b, x) + λ.(x 1 2 + x 2 2 − 1)
• Nalezněme stacionární body funkce F
grad F (x) = grad f(x) + λ. grad g(x) = Ax − b + 2λx