Minimalizace kvadratické funkce s kvadratickými ... - FEI VŠB

15
4 Minimalizace kvadratické funkce s rovnostní vazbou
4.1 Převod na funkci o jedné proměnné
4.1.1 Počáteční úvaha
Naším úkolem je najít takové x 1 , x 2 , pro které je hodnota funkce
F (x) = 1 [ ]
2 (Ax, x) − (b, x), x = x1
x 2
(7)
minimální a současně platí vztah daný kvadratickou vazbou
x 2 1 + x 2 2 = c, c ∈ R (8)
Tedy nejjednodušším nápadem je vyjádřit jednu proměnnou z kvadratické vazby (8),
dosadit ji do kvadratické funkce (7) a posléze minimalizovat funkci jako funkci o jedné
proměnné. Při výpočtu také můžeme použít polární souřadnice.
Při tomto postupu se ukáže, že problém může nastat při hledání stacionárních bodů
v derivaci, která vede k netriviální rovnici řešitelné pouze iterační metodou.
4.1.2 Substituce pomocí explicitního vyjádření
Použijeme substituci (4) a dosadíme do funkce (7)
F (x 1 ) = 1 2 (A [
x 1
± √ c − x 2 1
] [
,
x 1
± √ c − x 2 1
] [
) − (b,
x 1
± √ c − x 2 1
]
)
čímž ve skutečnosti dostaneme funkce dvě
F 1 (x 1 ) = 1 [ ] [
2 (A √c
x 1
− x
2
,
1
F 2 (x 1 ) = 1 2 (A [
x 1
− √ c − x 2 1
] [
,
[
√c
x 1
− x
2
]) − (b,
1
x 1
− √ c − x 2 1
] [
) − (b,
x 1 √c
− x
2
1
]) (9)
x 1
− √ c − x 2 1
]
) (10)
Pak tyto funkce lze minimalizovat stejným způsobem, jako reálnou funkci o jedné
reálné proměnné.
4.1.3 Substituce pomocí polárních souradnic
Použijeme substituci (5) a dosadíme do funkce (7)
F (t) = 1 [ √ ] [ √ [ √ c. cos t c. cos t
c. cos t
2 (A √ , √
]) − (b, √
])
c. sin t c. sin t c. sin t
Pak tuto funkci lze minimalizovat stejným způsobem, jako reálnou funkci o jedné
reálné proměnné.