Minimalizace kvadratické funkce s kvadratickými ... - FEI VŠB

14
3.2 Globální extrémy funkce více proměnných
3.2.1 Vlastnosti extrémů funkce více proměnných
Definice 3.4 (lokální extrémy více proměnných)
Řekneme, že funkce f : R n → R má v bodě c ∈ R n lokální maximum (resp. ostré lokální
maximum), existuje-li δ > 0 takové, že pro každé
platí
x ∈ P(c, δ) = {x ∈ R n : 0 < ‖x − c‖ < δ}
f(x) ≤ f(c), (resp.f(x) < f(c))
Nahradíme-li nerovnosti f(x) ≤ f(c) a f(x) < f(c) nerovnostmi f(x) ≥ f(c) a f(x) > f(c),
dostaneme definici lokálního minima a ostrého lokálního minima.
Věta 3.3 (nutná podmínka existence lokálního extrému)
Necht’ funkce f : R n → R má v bodě c ∈ R n lokální extrém a necht’ existuje ∂f(c)
∂u (u ∈ Rn ,
‖u‖ = 1). Pak
∂f(c)
∂u = 0
Je-li funkce f v bodě c navíc diferencovatelná, je
grad f(c) = (0, 0, . . . , 0)
V takovém případě říkáme, že c je stacionárním bodem funkce f.
Věta 3.4 (postačující podmínky existence lokálního extrému)
Necht’ funkce f : R n → R má v bodě c ∈ R n spojité všechny parciální derivace druhého řádu a
necht’ c je stacionárním bodem funkce f. Pak platí
• Je-li kvadratická forma ∂ 2 f c pozitivně definitní, má f v bodě c ostré lokální minimum.
• Je-li kvadratická forma ∂ 2 f c negativně definitní, má f v bodě c ostré lokální maximum.
• Je-li kvadratická forma ∂ 2 f c indefinitní, nemá f v bodě c lokální extrém.