Minimalizace kvadratické funkce s kvadratickými ... - FEI VŠB

6
Věta 2.3 (Geršgorin)
Necht’ A = [a ij ] je čtvercová komplexní matice řadu n a necht’
r i = |a i1 | + . . . + ̂|a ii | + . . . + |a in |, S i = {x ∈ C : |x − a ii | ≤ r i }
kde stříška nad symbolem značí jeho vynechání.
Pak spektrum matice A leží v množině
S 1 ∪ . . . ∪ S n
Věta 2.4 (Sylvester)
Necht’ A = [a ij ] je čtvercová matice a necht’
⎡
⎤
a 11 . . . a 1i
⎢
A i = ⎣
.
. ..
⎥
. ⎦ , i = 1, . . . , n
a i1 . . . a ii
Pak matice A je pozitivně definitní, právě když
∀i = 1, . . . , n : detA i > 0
2.1.2 Příklady ověření pozitivní definitnosti matice
Příklad 2.1
A =
[ 2 −1
−1 2
]
Symetrická čtvercová matice A je pozitivně definitní, protože:
• její charakteristický polynom
ϕ(λ) = det(A − λI) =
∣ 2 − λ
−1
má kořeny 1 a 3.
−1
2 − λ
∣ = (2 − λ)(2 − λ) − (−1)(−1) = λ2 − 4λ + 3
• spektrum matice podle Geršgorinovy věty je obsaženo v množině
Ω = {x ∈ C : |x − 2| ≤ 1}
• podle Sylvestrova kritéria
[ ] 2 −1
detA 1 = det[2] = 2 > 0 ∧ detA 2 = det
= 2.2 − (−1).(−1) = 3 > 0
−1 2