Minimalizace kvadratické funkce s kvadratickými ... - FEI VŠB

VŠB – Technická univerzita Ostrava
Fakulta elektrotechniky a informatiky
Katedra aplikované matematiky
Minimalizace kvadratické funkce s
kvadratickými separovanými
vazbami
Bakalářská práce
2008 Lukáš Pospíšil

Prohlašuji, že jsem tuto bakalářskou práci vypracoval samostatně. Uvedl jsem všechny
literární prameny a publikace, ze kterých jsem čerpal.
V Ostravě 9. května 2008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Rád bych na tomto místě poděkoval především Prof. RNDr. Zdeňku Dostálovi, DrSc.
za pomoc a vynikající vedení mé práce, jakož i Doc. RNDr. Jiřímu Bouchalovi, Ph.D. za
poskytnutí potřebných materiálů.
Dále děkuji mé rodině a přátelům za pomoc a podporu morální i finanční, zvláště pak
mamince - díky ní jsem, vím a chci vědět.

Abstrakt
Tato práce popisuje jak lze nalézt minimum obecné kvadratické funkce v prostoru vzhledem
k množině definované kvadratickou separovanou rovnostní nebo nerovnostní vazbou.
Z finitních metod ukazuje využití převodu na funkci o jedné proměnné, obecného
algoritmu na hledání extrému pomocí stacionárních bodů a Lagranegovy funkce pro
hledání vázaných extrémů. Jako iterační metoda je použita modifikovaná metoda největšího
spádu implementována v Matlabu. Tato práce souvisí se škálovatelnými algoritmy pro
řešení 3D kontaktních úloh s Coulombovým třením.
Klíčová slova: kvadratická funkce, kvadratická separovaná vazba, metoda největšího
spádu, Lagrangeova funkce
Abstract
This work describes how to find minimum of common quadratic function in space with
regard to set defined by separated quadratic equal or unequal confinement. From finite
methods it shows utilisation of transfer to one-variable function, common algorythm of
searching for extrems by force of stationary points and Lagrange function for finding
bound extrems. As iterative method is used modificated method of greatest drop implemented
in Matlab. This work relates to scalable algorythm for solving 3D contact problems
with coulomb friction.
Keywords: quadratic function, separated quadratic confinement, method of greatest
drop, Lagrange function

1
Obsah
1 Úvod 4
2 Úvod do problematiky 5
2.1 Kvadratická funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2 Kvadratická vazba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3 Globální extrémy 11
3.1 Globální extrémy funkce jedné proměnné . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.2 Globální extrémy funkce více proměnných . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
4 Minimalizace kvadratické funkce s rovnostní vazbou 15
4.1 Převod na funkci o jedné proměnné . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
4.2 Lagrangeova funkce a vázané extrémy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
4.3 Metoda největšího spádu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5 Minimalizace funkce s nerovnostní vazbou 33
5.1 Globální extrémy na uzavřené oblasti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
5.2 Modifikovaná metoda největšího spádu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
6 Závěr 40
7 Reference 41
Přílohy 42

2
Seznam obrázků
1 Průběh funkce vlastního polynomu matice . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2 Lokalizace spektra matice pomocí Geršgorinovy věty . . . . . . . . . . . . 7
3 Geometrický obraz kvadratické rovnostní vazby . . . . . . . . . . . . . . . 8
4 Geometrický obraz kvadratické nerovnostní vazby . . . . . . . . . . . . . . 8
5 Explicitní substituce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
6 Polární souřadnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
7 Hledání globálních extremů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
8 Graf funkce sinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
9 MNS: Rěšení 1. příkladu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
10 MNS: Rěšení 2. příkladu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
11 MNS: Rěšení 3. příkladu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
12 Projekce na množinu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
13 MNS s projekcí: Rěšení 1. příkladu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
14 MNS s projekcí: Rěšení 1. příkladu, detail . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
15 MNS s projekcí: Rěšení 1. příkladu, mapa rychlosti konvergence . . . . . . 31
16 MNS s projekcí: Rěšení 2. příkladu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
17 MNS s projekcí: Rěšení 2. příkladu, detail . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
18 Vrstevnice kvadratické funkce s vyznačením kvadratické vazby . . . . . . 34
19 MNS s nerovnostní vazbou: Rěšení 1. příkladu . . . . . . . . . . . . . . . . 38
20 MNS s nerovnostní vazbou: Rěšení 2. příkladu . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3
Seznam výpisů zdrojového kódu
1 Algoritmus obecné metody největšího spádu . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2 MNS: Rěšení 1. příkladu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3 MNS: Rěšení 2. příkladu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4 MNS: Rěšení 3. příkladu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
5 Algoritmus projekce bodu na kružnici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
6 Algoritmus metody největšího spádu s projekcí na množinu . . . . . . . . 26
7 MNS s projekcí: Rěšení 1. příkladu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
8 MNS s projekcí: Rěšení 1. příkladu s počítadlem iterací . . . . . . . . . . . 28
9 MNS s projekcí: Rěšení 2. příkladu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
10 Algoritmus modifikované metody největšího spádu s projekcí na množinu
s nerovnostní vazbou . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
11 MNS s nerovnostní vazbou: Rěšení 1. příkladu . . . . . . . . . . . . . . . . 37
12 MNS s nerovnostní vazbou: Rěšení 2. příkladu . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4
1 Úvod
Minimalizaci kvadratické funkce s kvadratickými separovanými vazbami lze považovat
za jednu z úloh pocházejících z problému řešení 3D kontaktních úloh s coulombovým
třením (viz literatura [7]).
V této práci se zabývám hledáním minima funkce
vzhledem k množině
F (x) = 1 (Ax, x) − (b, x)
2
Ω = {x = (x, y) : x 2 + y 2 ≤ c, c ∈ R}
přičemž matice A je symetrická pozitivně definitní.
V první části definuji důležité pojmy nezbytné pro vyřešení této úlohy. Také uvádím
několik metod na zjištění pozitivní definitnosti matice A a píši o vlastnostech množiny
Ω.
Nezbytnou součástí je také definice globálních extrémů a způsobů, jak je lze nalézt.
Tyto věci jsou definovány v další kapitole.
V následující části se pokusím vyřešit úlohu s rovnostní vazbou převodem na funkci o
jedné neznámé a ukáži, že při řešení lze využít i Lagrangeovu funkci pro vázané extrémy,
která finitní řešení podstatně zjednoduší. Pro iterační řešení zvolím metodu největšího
spádu s projekcí na množinu.
V poslední kapitole se budu věnovat hledání minima vhledem k množině s nerovnostní
vazbou, pro tento účel ukáži, jak lze metodu největšího spádu modifikovat.

5
2 Úvod do problematiky
2.1 Kvadratická funkce
2.1.1 Úvodní definice
Věta 2.1 Množinu všech reálných čísel R budeme považovat za jednorozměrný vektorový prostor
nad reálnými čísly se všemi operacemi nad reálnými čísly (jako sčítání a násobení, opačný prvek)
s neutrálním prvkem 1 a nulovým prvkem 0 (splňuje všechny požadavky vektorového prostoru -
viz literatura [1], str. 53).
Definice 2.1 (bilineární forma)
Necht’ V je reálný vektorový prostor. Zobrazení B : V×V ↦→ R se nazývá bilineární forma,
jestliže pro libovolné u, v, w ∈ V a α ∈ R platí
• B(u + v, w) = B(u, w) + B(v, w)
• B(αu, v) = αB(u, v)
• B(u, v + w) = B(u, v) + B(u, w)
• B(u, αv) = αB(u, v)
Bilineární funkce je tedy při zvolené hodnotě jedné proměnné lineární funkcí druhé proměnné.
Definice 2.2 (kvadratická forma)
Necht’ V je vektorový prostor a necht’ B je bilineární forma na V. Zobrazení Q B definované pro
libovolné x ∈ V předpisem
Q B (x) = B(x, x)
se nazývá kvadratická forma příslušná k bilineární formě B. Kvadratickou formu stručně
nazýváme zobrazení Q definované na V, pro které existuje bilineární forma B na V tak, že Q =
Q B .
Definice 2.3 (pozitivně definitní kvadratická forma)
Kvadratická forma Q na vektorovém prostoru V se nazývá pozitivně definitní, jestliže
pro libovolné x ∈ V, x ≠ o platí Q(x) > 0. Jestliže pro libovolné x ∈ V platí Q(x) ≥ 0, pak se Q
nazývá pozitivně semidefinitní.
Definice 2.4 (symetrická matice)
Necht’ A = [a ij ] je čtvercová matice řádu n. Pak tuto matici nazýváme symetrická, pokud
∀i = 1, ..., n, ∀j = 1, ..., n : a ij = a ji
Věta 2.2 (o vlastních číslech pozitivně definitní matice)
Pro všechna vlastní čísla λ i každé symetrické pozitivně definitní čtvercové matice A
řádu n platí
∀i = 1, ..., n : λ i > 0

6
Věta 2.3 (Geršgorin)
Necht’ A = [a ij ] je čtvercová komplexní matice řadu n a necht’
r i = |a i1 | + . . . + ̂|a ii | + . . . + |a in |, S i = {x ∈ C : |x − a ii | ≤ r i }
kde stříška nad symbolem značí jeho vynechání.
Pak spektrum matice A leží v množině
S 1 ∪ . . . ∪ S n
Věta 2.4 (Sylvester)
Necht’ A = [a ij ] je čtvercová matice a necht’
⎡
⎤
a 11 . . . a 1i
⎢
A i = ⎣
.
. ..
⎥
. ⎦ , i = 1, . . . , n
a i1 . . . a ii
Pak matice A je pozitivně definitní, právě když
∀i = 1, . . . , n : detA i > 0
2.1.2 Příklady ověření pozitivní definitnosti matice
Příklad 2.1
A =
[ 2 −1
−1 2
]
Symetrická čtvercová matice A je pozitivně definitní, protože:
• její charakteristický polynom
ϕ(λ) = det(A − λI) =
∣ 2 − λ
−1
má kořeny 1 a 3.
−1
2 − λ
∣ = (2 − λ)(2 − λ) − (−1)(−1) = λ2 − 4λ + 3
• spektrum matice podle Geršgorinovy věty je obsaženo v množině
Ω = {x ∈ C : |x − 2| ≤ 1}
• podle Sylvestrova kritéria
[ ] 2 −1
detA 1 = det[2] = 2 > 0 ∧ detA 2 = det
= 2.2 − (−1).(−1) = 3 > 0
−1 2

7
Obrázek 1: Průběh funkce vlastního polynomu matice
Obrázek 2: Lokalizace spektra matice pomocí Geršgorinovy věty
2.2 Kvadratická vazba
2.2.1 Kvadratická rovnostní vazba
Definujme množinu uspořádaných dvojic (x, y) pro konkrétní c ∈ R
Ω = {(x, y) ∈ R 2 : x 2 + y 2 = c} (1)
Pokud bychom tyto uspořádané dvojice považovali za body v rovině, pak geometrickým
obrazem mnoˇziny (1) je kruˇznice se středem v bodě [x 0 , y 0 ] = [0, 0] a poloměrem
r = √ c.

8
Obrázek 3: Geometrický obraz kvadratické rovnostní vazby
2.2.2 Kvadratická nerovnostní vazba
Definujme množinu uspořádaných dvojic (x, y) pro konkrétní c ∈ R
Ω = {(x, y) ∈ R 2 : x 2 + y 2 ≤ c} (2)
Geometrickým obrazem množiny (2) je kruh se středem v bodě [x 0 , y 0 ] = [0, 0] a
poloměrem r = √ c včetně jeho hranice (hranici množiny tvoří body množiny, jejichž
všechna okolí obsahují body mimo množinu i body uvnitř množiny).
Obrázek 4: Geometrický obraz kvadratické nerovnostní vazby
2.2.3 Explicitní vyjádření
Pokud bychom chtěli vyjádřit obecnou rovnici kružnice v definici množiny (1) explicitně,
úpravou by sme dostali
∀x, y ∈ R : x 2 + y 2 = c
y 2 = c − x 2

9
|y| = √ c − x 2
y = ± √ c − x 2
což jsou funkce dvě
f 1 (x) = √ c − x 2 , f 2 (x) = − √ c − x 2 (3)
Pak geometrickým obrazem těchto funkcí jsou půlkružnice. Spojením půlkružnic je
kružnice celá, tedy geometrický obraz je totožný s geometrickým obrazem množiny (1).
Obrázek 5: Explicitní substituce
Tímto spůsobem lze provést v kvadratické funkci substituci
x = x, y = ± √ c − x 2 , x ∈ 〈− √ c, √ c〉 (4)
čímž vazbu v kvadratické vazbě ”zahrneme” do původní funkce.
2.2.4 Polární souřadnice
Poněkud efektivnějším způsobem, jak vzájemně provázat proměnné v kvadratické funkci
s ohledem na kvadratickou vazbu, je využití polárních souřadnic.
Definujme substituci
x = √ c. cos t, y = √ c. sin t, t ∈ 〈0, 2π) (5)
přičemž parametr t sice obecně může nabývat všech reálných hodnot, ale byl omezen
pouze na jednu periodu 2π.

10
Pak množina
Ω = {(x, y) ∈ R 2 : x = √ c. cos t, y = √ c. sin t, t ∈ 〈0, 2π)} (6)
má geometrický obraz totožný s geometrickým obrazem množiny (1), protože
∀x, y ∈ R : x 2 + y 2 = c
dosazením (5) a úpravou levé strany dostáváme
( √ c. cos t) 2 + ( √ c. sin t) 2 = c. cos 2 t + c. sin 2 t = c.(cos 2 t + sin 2 t) = c
Pokud by pro parametr t ∈ R neplatilo, že t ∈ 〈0, 2π), pak by geometrickým obrazem
množiny (6) bylo nekonečně mnoho vzájemně se překrývajících kružnic.
Obrázek 6: Polární souřadnice

11
3 Globální extrémy
3.1 Globální extrémy funkce jedné proměnné
3.1.1 Úvodní definice
Definice 3.1 (definice okolí)
• Okolím bodu x 0 ∈ R rozumíme otevřený interval (x 0 − δ, x 0 + δ), kde δ je kladné reálné
číslo. Značíme je O(x 0 ).
Dále definujme O(x 0 , δ) jako okolí bodu x 0 ∈ R s poloměrem δ ∈ R, δ > 0
• Prstencovým okolím bodu x 0 ∈ R ∗ rozumíme množinu O(x 0 ) \ {x 0 }. Značíme je
P(x 0 ).
Dále definujme P(x 0 , δ) jako prstencové okolí bodu x 0 ∈ R s poloměrem δ ∈ R, δ > 0
Definice 3.2 (definice lokálních extrémů)
• Řekneme, že funkce f má v bodě x 0 lokální minimum, resp. lokální maximum,
jestliže existuje okolí O(x 0 ) bodu x 0 takové, že pro všechna x ∈ O(x 0 ) je f(x) ≥ f(x 0 ) ,
resp. f(x) ≤ f(x 0 ).
• Řekneme, že funkce f má v bodě x 0 ostré lokální minimum, resp. ostré lokální
maximum, jestliže existuje prstencové okolí P(x 0 ) bodu x 0 takové, že pro všechna x ∈
P(x 0 ) je f(x) > f(x 0 ) , resp. f(x) < f(x 0 ).
Má-li funkce f v bodě x 0 lokální minimum, resp. lokalní maximum, říkáme, že f má v bodě x 0
lokální extrém.
Definice 3.3 (definice globálních extrémů)
Necht’ M ⊂ D(f) a x 0 ∈ M.
• Řekneme, že funkce f nabývá na množině M globalního maxima v bodě x 0 , jestliže
pro všechna x ∈ M platí f(x) ≤ f(x 0 ).
• Řekneme, že funkce f nabývá na množině M globalního minima v bodě x 0 , jestliže
pro všechna x ∈ M platí f(x) ≥ f(x 0 ).
Nabývá-li funkce f na množině M globalního maxima nebo minima v bodě x 0 , říkame, že funkce
f nabývá na množině M globalního extrému v bodě x 0 .
Věta 3.1 (Weierstrass)
Necht’ funkce f je spojitá na uzavřeném ohraničeném intervalu 〈a, b〉, a, b ∈ R. Pak funkce f
nabývá na 〈a, b〉 globalního maxima i globalního minima.

12
Věta 3.2 (kdy může nastat lokální extrém)
Je-li v x 0 globalní extrém a x 0 ∈ (a, b), je v x 0 i lokalní extrém.
Tedy globalní extrém může nastat
• bud’ v bodě lokálního extrému v intervalu (a, b),
• nebo v krajním bodě x = a, resp. x = b.
3.1.2 Hledání globálních extrémů funkcí jedné proměnné
Globální extrémy ”hezkých” funkcí lze nalézt tímto postupem:
1. Najdeme stacionární body funkce f ležící v intervalu (a, b), tj. body, v nichž je derivace
nulová. Vypočteme jejich funkční hodnoty.
Najdeme body z intervalu (a, b), v nichž neexistuje derivace. Vypočteme jejich funkční
hodnoty.
2. Vypočteme f(a) a f(b).
3. Vybereme bod, ve kterém má funkce f největší, resp. nejmenší funkční hodnotu.
V tomto bodě nabývá funkce f globálního maxima resp. minima.
Obrázek 7: Hledání globálních extremů
3.1.3 Příklady globálních extrémů
Příklad 3.1
Nalezněte globální extrémy funkce
na intervalu 〈− 1 4π, π〉
f(x) = sin x

13
1. Najdeme stacionární body funkce f
f ′ (x) = cos x
f ′ (x) = 0 ⇔ cos x = 0
x = 1 2 π + k.π, k ∈ Z
a z intervalu 〈− 1 4 π, π〉 je to bod x = 1 2 π, f(1 2 π) = 1
2. f(− 1 4 π) = − √
2
2
f(π) = 0
3. funkce nabývá globálního minima v bodě x = − 1 4 π, f(− 1 4 π) = − √
2
2
funkce nabývá globálního maxima v bodě x = 1 2 π, f(1 2 π) = 1
Obrázek 8: Graf funkce sinus

14
3.2 Globální extrémy funkce více proměnných
3.2.1 Vlastnosti extrémů funkce více proměnných
Definice 3.4 (lokální extrémy více proměnných)
Řekneme, že funkce f : R n → R má v bodě c ∈ R n lokální maximum (resp. ostré lokální
maximum), existuje-li δ > 0 takové, že pro každé
platí
x ∈ P(c, δ) = {x ∈ R n : 0 < ‖x − c‖ < δ}
f(x) ≤ f(c), (resp.f(x) < f(c))
Nahradíme-li nerovnosti f(x) ≤ f(c) a f(x) < f(c) nerovnostmi f(x) ≥ f(c) a f(x) > f(c),
dostaneme definici lokálního minima a ostrého lokálního minima.
Věta 3.3 (nutná podmínka existence lokálního extrému)
Necht’ funkce f : R n → R má v bodě c ∈ R n lokální extrém a necht’ existuje ∂f(c)
∂u (u ∈ Rn ,
‖u‖ = 1). Pak
∂f(c)
∂u = 0
Je-li funkce f v bodě c navíc diferencovatelná, je
grad f(c) = (0, 0, . . . , 0)
V takovém případě říkáme, že c je stacionárním bodem funkce f.
Věta 3.4 (postačující podmínky existence lokálního extrému)
Necht’ funkce f : R n → R má v bodě c ∈ R n spojité všechny parciální derivace druhého řádu a
necht’ c je stacionárním bodem funkce f. Pak platí
• Je-li kvadratická forma ∂ 2 f c pozitivně definitní, má f v bodě c ostré lokální minimum.
• Je-li kvadratická forma ∂ 2 f c negativně definitní, má f v bodě c ostré lokální maximum.
• Je-li kvadratická forma ∂ 2 f c indefinitní, nemá f v bodě c lokální extrém.

15
4 Minimalizace kvadratické funkce s rovnostní vazbou
4.1 Převod na funkci o jedné proměnné
4.1.1 Počáteční úvaha
Naším úkolem je najít takové x 1 , x 2 , pro které je hodnota funkce
F (x) = 1 [ ]
2 (Ax, x) − (b, x), x = x1
x 2
(7)
minimální a současně platí vztah daný kvadratickou vazbou
x 2 1 + x 2 2 = c, c ∈ R (8)
Tedy nejjednodušším nápadem je vyjádřit jednu proměnnou z kvadratické vazby (8),
dosadit ji do kvadratické funkce (7) a posléze minimalizovat funkci jako funkci o jedné
proměnné. Při výpočtu také můžeme použít polární souřadnice.
Při tomto postupu se ukáže, že problém může nastat při hledání stacionárních bodů
v derivaci, která vede k netriviální rovnici řešitelné pouze iterační metodou.
4.1.2 Substituce pomocí explicitního vyjádření
Použijeme substituci (4) a dosadíme do funkce (7)
F (x 1 ) = 1 2 (A [
x 1
± √ c − x 2 1
] [
,
x 1
± √ c − x 2 1
] [
) − (b,
x 1
± √ c − x 2 1
]
)
čímž ve skutečnosti dostaneme funkce dvě
F 1 (x 1 ) = 1 [ ] [
2 (A √c
x 1
− x
2
,
1
F 2 (x 1 ) = 1 2 (A [
x 1
− √ c − x 2 1
] [
,
[
√c
x 1
− x
2
]) − (b,
1
x 1
− √ c − x 2 1
] [
) − (b,
x 1 √c
− x
2
1
]) (9)
x 1
− √ c − x 2 1
]
) (10)
Pak tyto funkce lze minimalizovat stejným způsobem, jako reálnou funkci o jedné
reálné proměnné.
4.1.3 Substituce pomocí polárních souradnic
Použijeme substituci (5) a dosadíme do funkce (7)
F (t) = 1 [ √ ] [ √ [ √ c. cos t c. cos t
c. cos t
2 (A √ , √
]) − (b, √
])
c. sin t c. sin t c. sin t
Pak tuto funkci lze minimalizovat stejným způsobem, jako reálnou funkci o jedné
reálné proměnné.

16
4.2 Lagrangeova funkce a vázané extrémy
4.2.1 Lagrangeova funkce, Lagrangeův multiplikátor
Věta 4.1 (o vázaných lokálních extrémech)
Necht’ f, g : R n → R jsou třídy C 1 na otevřené množině Ω ⊂ R n , n > 1, necht’ grad g(x) ≠
(0, . . . , 0) pro každé x ∈ Ω a necht’ M = {x ∈ Ω : g(x) = 0}.
Pak platí:
1. (Nutná podmínka existence lokálního vázaného extrému)
Má-li f v bodě c ∈ M lokální extrém vzhledem k M, existuje λ ∈ R takové, že c je stacionárním
bodem funkce F (x) = f(x) + λg(x), x ∈ Ω.
2. (Postačující podmínky existence lokálního vázaného extrému)
Necht’ c ∈ M je stacionárním bodem funkce F (x) = f(x) + λg(x) pro nějaké λ ∈ R, necht’
f a g mají v bodě c spojité parciální derivace druhého řádu a necht’ d 2 F c (pro příslušné λ)
je positivně (resp. negativně) definitní kvadratická forma.
Pak f má v bodě c ostré lokální minimum (resp. ostré lokální maximum) vzhledem k M.
Číslu λ se říká Lagrangeův multiplikátor, funkci F Lagrangeova funkce.
4.2.2 Příklady využití Lagrangeovy funkce
Příklad 4.1
Nalezněte lokální minimum funkce
f(x) = 1 (Ax, x) − (b, x)
2
vzhledem k množině
A =
[ 2 −1
−1 2
] [ 1
, b =
1
]
Ω = {x = (x 1 , x 2 ) ∈ R 2 : x 2 1 + x 2 2 = 1}
• Definujme funkci kvadratické vazby
g(x) = x 2 1 + x 2 2 − 1, ∀x ∈ Ω : grad g(x) ≠ (0, 0)
a Lagrangeovu funkci
F (x) = f(x) + λ.g(x) = 1 2 (Ax, x) − (b, x) + λ.(x 1 2 + x 2 2 − 1)
• Nalezněme stacionární body funkce F
grad F (x) = grad f(x) + λ. grad g(x) = Ax − b + 2λx

17
[ ] [ ] [ 2 −1 x1 1
grad F (x) =
. −
−1 2 x 2 1
[ ] 0
grad F (x) = ⇔
0
a řešením této rovnice je stacionární bod
] [ 2λx1
+
[ 2x1 (1 + λ) − x 2 − 1
2x 2 (1 + λ) − x 1 − 1
x 0 =
[
1
2λ+1
1
2λ+1
Pro stacionární bod x 0 ∈ Ω platí g(x 0 ) = 0, proto
g(x 0 ) = 0 ∧ g(x 0 ) =
a řešením této rovnice je
] [ 2x1 (1 + λ) − x
=
2 − 1
2λx 2 2x 2 (1 + λ) − x 1 − 1
] [ ] 0
=
0
]
1
(2(1 + λ) − 1) 2 + 1
(2(1 + λ) − 1) 2 − 1
2
(2(1 + λ) − 1) 2 − 1 = 0
λ = ±√ 2 − 1
2
dosazením do stacionárního bodu x 0 získáváme stacionární body dva
x 01 =
[ 1 √2
]
√ 1
2
, x 02 =
[
−
1 √2
]
− √ 1
2
]
• Definujme kvadratickou formu
∂ 2 F (x) =
[
∂ 2 F
∂x 2 1
(x)
∂ 2 F
∂x 2 ∂x 1
(x)
]
∂ 2 F
∂x 1 ∂x 2
(x)
∂ 2 F
=
∂x 2 2
(x)
[ 2(1 + λ) −1
−1 2(1 + λ)
a zjistíme definitnost dané kvadratické formy pro stacionární body podle sylvestrova
kritéria
[ √ ]
∂ 2 2 + 1 −1
F (x 01 ) =
√
−1 2 + 1
det∂ 2 F (x 01 ) 1 = det[ √ 2 + 1] = √ 2 + 1 > 0
[ √ ]
det∂ 2 2 + 1 −1
F (x 01 ) 2 = det
√ = ( √ 2 + 1) 2 − (−1).(−1) = 2.(1 + √ 2) > 0
−1 2 + 1
[ √ ]
∂ 2 − 2 + 1 −1
F (x 02 ) =
−1 − √ 2 + 1
det∂ 2 F (x 02 ) 1 = det[− √ 2 + 1] = − √ 2 + 1 < 0
[ √ ]
det∂ 2 − 2 + 1 −1
F (x 02 ) 2 = det
−1 − √ = (− √ 2+1) 2 −(−1).(−1) = 2.(1− √ 2) < 0
2 + 1
Kvadratická forma ∂ 2 F (x 01 ) je pozitivně definitní.
]

18
• Lokální minimum nabývá funkce f v bodě
x 01 =
[
√2 1
]
√ 1
2
4.3 Metoda největšího spádu
4.3.1 Obecná metoda největšího spádu
Připomeňme si předpis kvadratické funkce:
F (x) = 1 (Ax, x) − (b, x)
2
Metoda největšího spádu je iterační metoda s předpisem x k+1 = x k + α k .v k , přičemž
α k , v k volíme tak, aby jsme se co nejvíce přiblížili ke konkrétnímu řešení.
Označme vektor r k = b − Ax k = −grad(F (x k )) jako reziduum v bodě x k vyjadřující
”velikost spádu” v daném bodě (tedy v dané iteraci).
• Vytvořme funkci definující skalár α k
f(α k ) = F (x k + α k .v k ) = 1 2 (A(x k + α k .v k ), x k + α k .v k ) − (b, x k + α k .v k ) =
= 1 2 (Ax k + α k .Av k , x k + α k .v k ) − (b, x k ) − (b, α k .v k ) =
= 1 2 (Ax k, x k )+ 1 2 (Ax k, α k .v k )+ 1 2 (α k.Av k , x k )+ 1 2 (α k.Av k , α k .v k )−(b, x k )−(b, α k .v k ) =
= 1 2 (Ax k, x k ) − (b, x k ) + 1 2 (Aα k.v k , α k .v k ) + (α k Ax k , v k ) − (b, α k .v k ) =
= F (x k ) + 1 2 (Aα k.v k , α k .v k ) + α k ((Ax k , v k ) − (b, v k )) =
= F (x k ) + 1 2 (Aα k.v k , α k .v k ) + α k (Ax k − b, v k ) = F (x k ) + 1 2 α k 2 (Av k , v k ) + α k (r k , v k )
Hledáme co nejvhodnější α k . Za tímto účelem minimalizujeme funkci f(α k ) jako
funkci o jedné proměnné α k
a stacionárním bodem je
f ′ (α k ) = α k (Av k , v k ) + (r k , v k )
f ′ (α k ) = 0 ⇔ α k = − (r k, v k )
(Av k , v k )

19
V průběhu funkce f(α k ) nedochází k žádným inflexím, protože
f ′′ (α k ) = (Av k , v k ) > 0
což plyne z pozitivní definitnosti matice A, tedy α k = − (r k,v k )
(Av k ,v k )
je opravdu minimum
funkce f.
• v k volíme tak, aby ∂F (x k)
∂v k
byla co nejmenší
∂F (x k )
∂v k
= (grad(F (x k )), v k ) = cosϕ.‖r k ‖.‖v k ‖
Tato hodnota bude nejmenší při volbě ϕ = π ⇔ cosϕ = −1 tedy úhel mezi vektory
−r k a v k je roven π, tedy r k = v k .
Po dosazení do předpisu dostáváme
x k+1 = x k + α k .v k = x k − (r k, v k )
(Av k , v k ) .r k = x k − (r k, r k )
(Ar k , r k ) .r k
4.3.2 Algoritmus obecné metody největšího spádu
Vstup:
- A (pozitivně definitní matice),
- b (vektor pravých stran),
- x 0 (počáteční aproximace),
- ε (přesnost, ε > 0)
Algoritmus obecně:
• r 0 = b − Ax 0
• α 0 = − ‖r 0‖ 2
(Ar 0 ,r 0 )
• x 1 = x 0 + α 0 .r 0
• cyklus: pokud ‖x k+1 − x k ‖ < ε opakuj:
– k = k + 1
– r k = b − Ax k
– α k = − ‖r k‖ 2
(Ar k ,r k )
– x k+1 = x k + α k .r k
• x k+1 je řešení

20
Algoritmus v matlabu:
function [x, it ,ex] = sd(A,b,x0,e)
% function [x, it ,ex] = sd(A,b,x0,e)
%
% funkce minimalizuje kvadratickou vazbu metodou nejvetsiho
% spadu
%
% x ... reseni
% it ... pocet iteraci
% ex ... chyby v iteracich
%
% A ... matice soustavy
% b ... vektor pravych stran
% x0 ... pocatecni aproximace
% e ... pozadovana presnost
n = max(size(A));
it = 0;
x = x0;
r = b − A∗x;
Ar = A∗r;
alfa = r ’∗ r /( r ’∗Ar);
xn = x + alfa∗r;
ex( it +1) = norm(xn−x,2);
while (ex( it +1)>=e) & (norm(r)>0)
it = it +1;
x = xn;
r = r − alfa∗Ar;
Ar = A∗r;
alfa = r ’∗ r /( r ’∗Ar);
xn = x + alfa∗r;
end
ex( it +1) = norm(xn − x,2);
x = xn;
Výpis 1: Algoritmus obecné metody největšího spádu
4.3.3 Příklady použití metody největšiho spádu
F (x) = 1 (Ax, x) − (b, x) (11)
2

21
Příklad 4.2
Minimalizujte kvadratickou funkci (1), pokud
V matlabu zavoláme funkci (6)
>> A = [2 −1; −1 2]
A =
2 −1
−1 2
>> b = [1; 1]
b =
1
1
>> e = 0.00001
e =
1.0000e−005
A =
>> nejvetsi spad(A,b,[−1;−2],e)
ans =
1.0000
1.0000
[ 2 −1
−1 2
] [ 1
, b =
1
Výpis 2: MNS: Rěšení 1. příkladu
V našem případě bylo potřebných 16 iterací.
Příklad 4.3
Minimalizujte kvadratickou funkci (1), pokud
V matlabu zavoláme funkci (6)
A =
[ 2 1
1 2
>> A = [2 1; 1 2];b = [−2; 2];e = 0.00001;
>> nejvetsi spad(A,b,[−1;−2],e)
ans =
−2.0000
] [ −2
, b =
2
]
]

22
Obrázek 9: MNS: Rěšení 1. příkladu
2.0000
Výpis 3: MNS: Rěšení 2. příkladu
V našem případě bylo potřebných 16 iterací.
Příklad 4.4
Minimalizujte kvadratickou funkci (1), pokud
A =
[ 6 −1
−1 3
] [ 0
, b =
0
V matlabu zavoláme funkci (6) pro různé počáteční aproximace
>> A = [6 −1; −1 3];b = [0; 0];e = 0.00001;
>> nejvetsi spad(A,b,[−1;−2],e)
it =
10
]
ans =

23
Obrázek 10: MNS: Rěšení 2. příkladu
1.0e−005 ∗
0.1018
−0.1758
>> nejvetsi spad(A,b,[−2;1],e)
it =
5
ans =
1.0e−006 ∗
−0.1327
0.0664
>> nejvetsi spad(A,b,[3;2],e)
it =

24
12
ans =
1.0e−005 ∗
0.0235
0.3121
>> nejvetsi spad(A,b,[1;0],e)
it =
6
ans =
1.0e−006 ∗
0.0719
0.2956
Výpis 4: MNS: Rěšení 3. příkladu
4.3.4 Metoda největšího spádu s projekcí na množinu
Metoda největšího spádu hledá lokální minimum funkce, my ale potřebujeme najít minimum
funkce vzhledem ke kvadratické vazbě, která popisuje kružnici. Tedy minimum
bude ležet na této kružnici, jakož i každá další aproximace v průběhu iterací. Potřebujeme
nalézt předpis pro projekci bodu mimo kružnice na kružnici tak, aby byl zachován úhel,
který svírají polohové vektory bodů s například x-ovou osou (chceme, aby měli polohové
vektory stejný směr).
Proměnné v obrázku:
z = (x z , y z ) (polohový vektor původního bodu),
p = (x p , y p ) (polohový vektor bodu po projekci),
x = (1, 0) (polohový vektor popisující x-ovou os),
Úhel který svírají polohové vektory s vektorem popisujícím x-ovou os
cos ϕ z =
cos ϕ p =
(z,x)
‖z‖.‖x‖
(p,x)
‖p‖.‖x‖

25
Obrázek 11: MNS: Rěšení 3. příkladu
Obrázek 12: Projekce na množinu

26
Porovnáním uhlů lze úpravou získat předpis
cos ϕ z = cos ϕ p
(z, x) (p, x)
=
‖z‖.‖x‖ ‖p‖.‖x‖
z
‖z‖ = p
‖p‖
p = ‖p‖
‖z‖ .z
Velikost polohového vektoru ‖p‖ je ve skutečnosti poloměr kružnice, která je popsaná
kvadratickou vazbou
Tedy předpis projekce je p =
Algoritmus v matlabu:
Ω = {x = (x, y) : x 2 + y 2 = c, c ∈ R}
√ c
‖z‖ .z
function [P] = na kruznici(Z,r)
% function [P] = na kruznici(Z,r)
%
% funkce zobrazi dany bod na bod, ktery
% lezi na kruznici
%
% P ... reseni
% Z ... vstupni bod
% r ... polomer kruznice
%
P = (sqrt(r) /norm(Z))∗Z;
Algoritmus v matlabu:
Výpis 5: Algoritmus projekce bodu na kružnici
function [reseni] = minimum(A,b,c,bod0,e)
% function [reseni] = minimum(A,b,bod0,e)
%
% reseni ... reseni
%
% A ... matice soustavy (2x2, pozitivne definitni , symetricka)
% b ... vektor pravych stran
% c ... kvadrat polomeru kruznice
% bod0 ... pocatecni aproximace
% e ... pozadovana presnost
bod=na kruznici(bod0,sqrt(c)); % pocatecni aproximace nemusi lezet na kruznici
zkracovac=1;
gradient=(b−A∗bod);
% pozn. jedna se o −grad

27
while (norm(gradient)>e) % presnost reseni lze urcit podle delky gradientu (je iteracne
skracovan)
stare z=vrat z(bod,A,b); % hodnota funkce pro stary bod
gradient=(b−A∗bod)∗zkracovac;
nove z=vrat z(na kruznici(bod+gradient,sqrt(c)),A,b); % hodnota funkce pro novy bod
while (nove z > stare z)
zkracovac=zkracovac/2;
nove z=vrat z(na kruznici(bod+gradient∗zkracovac,1),A,b);
end;
bod=na kruznici(bod+gradient∗zkracovac,sqrt(c));
end
reseni=[bod(1) bod(2) vrat z (bod,A,b)];
Výpis 6: Algoritmus metody největšího spádu s projekcí na množinu
4.3.5 Příklady použití metody největšiho spádu s projekcí na množinu
f(x) = 1 (Ax, x) − (b, x) (12)
2
Ω = {(x, y) ∈ R 2 : x 2 + y 2 = c} (13)
Příklad 4.5
Minimalizujte kvadratickou funkci (12) vzhledem k množině (13), pokud
A =
V matlabu zavoláme funkci (6)
>> A = [2 −1; −1 2]
A =
2 −1
−1 2
>> b = [1; 1]
b =
1
[ 2 −1
−1 2
] [ 1
, b =
1
]
, c = 1

28
1
>> c = 1
c =
1
>> e = 0.001
e =
1.0000e−003
>> minimum(A,b,c,[−1;−2],e)
ans =
0.7071 0.7071 −0.9142
Výpis 7: MNS s projekcí: Rěšení 1. příkladu
Přidáním zvyšujícího se iterátoru do algoritmu lze získat počet iterací potřebných k výpočtu
function [reseni] = minimum(A,b,c,bod0,e)
...
it =0;
while (norm(gradient)>e)
it = it +1;
...
end
reseni=[bod(1) bod(2) vrat z (bod,A,b) it ];
Výpis 8: MNS s projekcí: Rěšení 1. příkladu s počítadlem iterací
V našem případě bylo potřebných 24 iterací. Pokud bychom zkoušeli volit různé počáteční
aproximace, zjistily bychom, že pro různé počáteční aproximace je rychlost konvergence
(počet iterací potřebných pro provedení algoritmu) různá. Na obrázku níže jsou naznačeny
některé body, u kterých je vyznačen potřebný počet iterací.
Příklad 4.6
Minimalizujte kvadratickou funkci (12) vzhledem k množině (13), pokud
A =
V matlabu zavoláme funkci (6)
[ 6 −1
−1 3
] [ 1
, b =
−2
>> minimum([6 −1; −1 3],[1;−2],2,[−2;−1],0.0001)
]
, c = 2

29
Obrázek 13: MNS s projekcí: Rěšení 1. příkladu
ans =
−0.0917 −1.4112 0.1524 89.0000
Výpis 9: MNS s projekcí: Rěšení 2. příkladu
Tedy minimum je v bodě x 0 = [−0.09; −1.41], f(x 0 ) = 0.15 a bylo potřebných 89 iterací.
.

Obrázek 14: MNS s projekcí: Rěšení 1. příkladu, detail
30

Obrázek 15: MNS s projekcí: Rěšení 1. příkladu, mapa rychlosti konvergence
31

32
Obrázek 16: MNS s projekcí: Rěšení 2. příkladu
Obrázek 17: MNS s projekcí: Rěšení 2. příkladu, detail

33
5 Minimalizace funkce s nerovnostní vazbou
Nalezněte minimum funkce
vzhledem k množině
5.1 Globální extrémy na uzavřené oblasti
f(x) = 1 (Ax, x) − (b, x) (14)
2
Ω = {x = (x, y) : x 2 + y 2 ≤ c, c ∈ R} (15)
Hledání minima funkce (14) na množině (15) se pokusíme realizovat stejným algoritem,
jako při hledání globálních extrémů funkce více proměnných.
1. Najdeme lokální minimum funkce f ležící v množině
Ω 1 = {x = (x, y) : x 2 + y 2 < c}
Vypočteme funkční hodnoty těchto extrémů.
2. Minimalizujeme funkci f vzhledem k množině
Ω 2 = {x = (x, y) : x 2 + y 2 = c}
3. Globální minimum funkce f leží v množině Ω = Ω 1 ∪ Ω 2 . Vybereme bod z extrémů
množin Ω 1 a Ω 2 , ve kterém má funkce f nejmenší funkční hodnotu.
V tomto bodě nabývá funkce f minima vzhledem k množině Ω.
Příklad 5.1
Nalezněte lokální minimum funkce
f(x) = 1 (Ax, x) − (b, x)
2
vzhledem k množině
A =
[ 2 −1
−1 2
] [ 1
, b =
1
]
Ω = {x = (x 1 , x 2 ) ∈ R 2 : x 1 2 + x 2 2 ≤ 1}
1. Najdeme stacionární body funkce f
gradf = Ax − b =
[ 2 −1
−1 2
] [ 1
−
1
]

34
gradf = 0 ⇔
[ 2x1 − x 2 − 1
2x 2 − x 1 − 1
] [ 0
=
0
]
a řešením této soustavy je vektor
[ 1
x =
1
]
který však není z množiny Ω 1 = {x = (x, y) : x 2 + y 2 < 1}
2. Funkce f nabývá na množině Ω 2 = {x = (x, y) : x 2 + y 2 = 1} minimum v bodě
x 0 =
[
√2 1
]
√ 1
2
(viz Příklad (4.2.2))
3. Funkce f nabývá globálního minima na množině Ω = Ω 1 ∪ Ω 2 v bodě
x 0 =
[
√2 1
]
√ 1
2
Obrázek 18: Vrstevnice kvadratické funkce s vyznačením kvadratické vazby

35
5.2 Modifikovaná metoda největšího spádu
5.2.1 Počáteční úvaha
Mohou nastat dva případy:
• min(f(x)) ∈ Ω
Pak lze funkci f minimalizovat metodou nejvetšího spádu bez projekce na množinu
• min(f(x)) /∈ Ω
Pak minimum funkce f vzhledem k množině Ω leží na ohraničení množiny Ω -
použijeme metodu největšího spádu s projekcí na množinu.
Toto rozhodnutí bychom mohly učinit pokud známe umístnění minima funkce (14)
vzhledem k mnoˇzině (15). Tedy řešení by mohlo být následující:
1. Nalezneme minimum funkce (14) algoritmem metody největšího spádu bez projekce
na množinu.
2. Pokud min(f(x)) ∈ Ω
Pak nalezené minimum je i minimum funkce (14) vzhledem k množině (15).
3. Pokud min(f(x)) /∈ Ω
Pak minimum funkce (14) vzhledem k mnoˇzině (15) nalezneme algoritmem největšího
spádu s projekcí na množinu
Ω h = {x = (x, y) : x 2 + y 2 = c, c ∈ R}
To ale znamená, že pokud min(f(x)) /∈ Ω, pak musíme aplikovat dvě iterační metody.
Pokusme se tedy modifikovat algoritmus metody největšího spádu s projekcí na množinu
tak, aby byl schopen najít minimum nejen na vnější kružnici, ale na celém kruhu.
5.2.2 Modifikovaná metoda největšího spádu s projekcí na množinu
V každé iteraci algoritmu budeme rozlišovat zda
• x i ∈ Ω
Pak následující přiblížení x i+1 vypočteme jednou iterací algoritmu metody největšího
spádu.
• x i /∈ Ω
Pak provedeme projekci na množinu a hledání x i+1 pokračujeme stejně jako při metodě
největšího spádu s projekcí na množinu, přičemž nyní budeme vektor spádu
zkoušet zkracovat do té doby, než bude x zkracene < x i nebo x zkracene ∈ Ω.

36
function [reseni] = minimum(A,b,c,bod0,e)
% function [reseni] = minimum(A,b,c,bod0,e)
%
% reseni ... reseni
%
% A ... matice soustavy (2x2, pozitivne definitni , symetricka)
% b ... vektor pravych stran
% c ... kvadrat polomeru kruznice
% bod0 ... pocatecni aproximace
% e ... pozadovana presnost
%
xn=bod0; % pocatecni aproximace nemusi lezet na kruznici
it = 0; % pocet iteraci
r = b − A∗xn; % vektor spadu pocatecni aproximace
zkracovac=1; % koeficient zkraceni vektoru mimo kruznici
while (norm(r,2)>=e) % presnost reseni lze urcit podle delky gradientu (je iteracne zkracovan)
it = it +1;
if (je z mnoziny(xn,c) == 0) % pokud predesla iterace nelezi v mnozine
xn=na kruznici(xn,sqrt(c)) ; % projekce na kruznici
stare z=vrat z(xn,A,b); % hodnota funkce pro stary bod
r=(b−A∗xn)∗zkracovac; % zkraceni vektoru spadu
nove z=vrat z(na kruznici(xn+r,sqrt(c)) ,A,b); % hodnota funkce pro novy bod
while (nove z > stare z) && (je z mnoziny(xn+r∗zkracovac,c) == 0)
zkracovac=zkracovac/2;
nove z=vrat z(na kruznici(xn+r∗zkracovac,sqrt(c)),A,b);
end;
xn=xn+r∗zkracovac;
else % pokud predesla iterace lezi v mnozine
end;
end;
r = b − A∗xn;
alfa = (norm(r,2)ˆ2)/(dot(A∗r,r)) ;
xn = xn + alfa∗r;
reseni=[xn(1) xn(2) vrat z (xn,A,b) it ]
Výpis 10: Algoritmus modifikované metody největšího spádu s projekcí na množinu s
nerovnostní vazbou

37
5.2.3 Příklady
f(x) = 1 (Ax, x) − (b, x) (16)
2
Ω = {(x, y) ∈ R 2 : x 2 + y 2 ≤ c} (17)
Příklad 5.2
Minimalizujte kvadratickou funkci (16) vzhledem k množině (17), pokud
A =
V matlabu zavoláme funkci (10)
>> A = [2 −1; −1 2]
A =
2 −1
−1 2
>> b = [1; 1]
b =
1
1
>> c = 5
c =
5
>> e = 0.00001
e =
1.0000e−005
>> minimum(A,b,c,[−1;−2],e)
ans =
[ 2 −1
−1 2
1.0000 1.0000 −1.0000 6.0000
] [ 1
, b =
1
]
, c = 3
Výpis 11: MNS s nerovnostní vazbou: Rěšení 1. příkladu
Což znamená, že x 0 = [1; 1], f(x 0 ) = −1 a bylo potřebných 6 iterací.

Obrázek 19: MNS s nerovnostní vazbou: Rěšení 1. příkladu
38

39
Příklad 5.3
Minimalizujte kvadratickou funkci (16) vzhledem k množině (17), pokud
[ ] [ ]
6 −1 −2
A =
, b = , c = 4
−1 3
2
V matlabu zavoláme funkci (10)
>> minimum([6 −1; −1 3],[−2 ; 2],4,[−2;−2],0.00001)
ans =
−0.2353 0.5882 −0.8235 11.0000
Výpis 12: MNS s nerovnostní vazbou: Rěšení 2. příkladu
Což znamená, že x 0 = [−0.24; 0.59], f(x 0 ) = −0.82 a bylo potřebných 11 iterací.
Obrázek 20: MNS s nerovnostní vazbou: Rěšení 2. příkladu

40
6 Závěr
Nejlepší finitní metoda hledání minima kvadratické funkce pro rovnostní vazbu se ukazuje
být pouˇzití Lagrangeovy funkce. Nicméně tuto metodu lze použít pouze u ”hezkých”
funkcí, u funkcí s problematickou derivací, kdy například může vzniknout finitně neřešitelný
polynom, nelze ani tuto metodu použít.
Zejména při řešení větších úloh je jediným způsobem řešení problému řešení iterační.
Moje upravená metoda největšího spádu s projekcí na množinu pro hledání vázaného minima
však nefunguje ve všech případech volby různých počátečních aproximací stejně.
Proto by měla projít ještě procesem optimalizace, který by mohl odstranit většinu těchto
problémů.
Při hledání minima vzhledem k množině popsané nerovnostní separovanou vazbou
záleží na umístnění minima funkce vzhledem k vazbě, tedy volba použití finitních řešičů
záleží na této skutečnosti. Nicméně iterační metody lze upravit tak, aby fungovaly pro
jakékoliv umístnění minima.

41
7 Reference
[1] Z. Dostál Lineární algebra, Skripta VŠB-TU Ostrava, 2000.
[2] J. Bouchala, Matematika III pro bakalářské studium, Skripta VŠB-TU Ostrava, 2000.
[3] J. Bouchala, Vázané extrémy, Nepublikovaný materiál k [2].
[4] V. Vondrák, Numerická matematika I, Ručně psané a naskenované syllaby.
[5] V. Vondrák, Numerická matematika I, Soubor matlabovskych funkcí.
[6] J. Kuben, P. Šarmanová, L. Šimonová MATEMATICKÁ ANALÝZA I pro kombinované
a distanční studium, Skripta VŠB-TU Ostrava, 2004.
[7] Z. Dostál, D. Horák, R. Kučera, V. Vondrák, J. Haslinger, J. Dobiáš, S. Pták FETI based
algorithms for contact problems: scalability, large displacements and 3D Coulomb friction,
Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering 194, 2-5 (2005) 395-409.

42
Přiložené CD obsahuje tyto matlabovské funkce:
• rovnost
– minimum.m - minimalizace kvadratické funkce s kvadratickou rovnostní separovanou
vazbou
– draw_minimum.m - vykreslení průbehu minimalizace kvadratické funkce s
kvadratickou rovnostní separovanou vazbou
• nerovnost
• jiné
– minimum.m - minimalizace kvadratické funkce s kvadratickou nerovnostní
separovanou vazbou
– draw_minimum.m - vykreslení průbehu minimalizace kvadratické funkce s
kvadratickou nerovnostní separovanou vazbou
– nejvetsi_spad.m - algoritmus obecné metody největšího spádu
– draw_nejvetsi_spad.m - vykreslení průběhu algoritmu obecné metody největšího
spádu
– nejvetsi_spad.m - algoritmus obecné metody největšího spádu
– na_kruznici.m - algoritmus projekce na kružnici
– vrat_z.m - vrací funkční hodnotu kvadratické funkce v daném bodě
– draw_3D.m - vykreslí průběh kvadratické funkce v prostoru
– draw_spojnice.m - vykreslí spojnici dvou bodů
– draw_vektor.m - vykreslí vektor vycházející z počátečního bodu
– draw_vazba.m - vykreslí kvadratickou vazbu
– draw_vektor.m - vykreslí vektor vycházející z počátečního bodu
– draw_vrstevnice.m - vykreslí vrstevnice kvadratické funkce
– je_z_množiny.m - ověří, zda daný bod je z množiny