3 na stran - Univerza v Ljubljani, Fakulteta za gradbeništvo in ...

- Samo Drobne (2012): Metode prostorskih analiz v GIS, Univerza v Ljubljani, Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo, Ljubljana - 

METODE PROSTORSKIH 

ANALIZ V GIS 

http://www.fgg.uni-lj.si/sdrobne/Pouk/MPAGIS/MPAGIS.htm 

Samo Drobne 

UL FGG, Jamova 2, Ljubljana 

(01) 4768 649 (telefon) 

(01) 4250 704 (faks) 

samo.drobne@fgg.uni-lj.si 

http://www.fgg.uni-lj.si/sdrobne/ 

Cilj predmeta 

• Študenti pridobijo 

• znanje in pregled nad metodami prostorskih analiz, 

• seznanijo se s postopki njihove izvedbe v geografskih 

informacijskih sistemih in njihove ustrezne uporabe. 

2 

Vsebina predavanj 

1. Osnovni pojmi in koncepti 

2. Metodologija 

3. Operacije prostorskih analiz 

4. Raziskovanje podatkov in prostorska statistika 

5. Analize ploskev in polj 

6. Mrežne in lokacijske analize 

3 

1


Vsebina vaj (1) 

• Uporaba GIS orodja ArcGIS (prikazi in kartografsko 

poizvedovanje, sestava karte, podatkovne strukture, 

rastrske in vektorske zbirke, SQL ukazi) 

• Kartografsko modeliranje (orodja za prostorske analize, 

scenariji, algebra karte) 

• Algebra karte (aritmetični operatorji, relacijski operatorji, 

Boolovi operatorji, kombinatorični operatorji, logični 

operatorji, lokalne funkcije, središčne funkcije, območne 

funkcije, conske funkcije, globalne funkcije) 

4 

Vsebina vaj (2) 

• Analitične operacije (reklasifikacija podatkov, logično in 

matematično prekrivanje podatkovnih slojev, operacije 

izračuna razdalj in povezanosti, metode analize površja) 

• Metode prostorskih interpolacij (lokalne in globalne, 

točkovne in arealne) 

• Metode ocenjevanja in upravljanja napak (vgrajenih in 

operativnih) 

• Metode statističnih prostorskih analiz (raziskovalne in 

potrjevalne) 

5 

Literatura 

• S. Drobne 2010: Metode prostorskih analiz v GIS, 

Prosojnice predavanj za 3. letnik VSŠ študija prve 

stopnje Tehnično upravljanje nepremičnin, UL FGG, 

Ljubljana. 

• S. Bobnar, S. Drobne in R. Šumrada, 2010: Vaje iz 

prostorskih analiz v GIS orodju ArcGIS, UL, FGG, 

Ljubljana. 

6 

2


Druga (priporočena študijska) literatura 

• M. J. de Smith, M. F. Goodchild in P. A. Longley 2010: 

Geospatial Analysis - Web Version (izbrana poglavja) 

http://www.spatialanalysisonline.com/output/. 

... več o drugi priporočeni študijski literaturi najdete na 

spletni strani predmeta: 

http://www.fgg.uni-lj.si/sdrobne/Pouk/MPAGIS/MPAGIS.htm 

7 

Predgovor 

To je delovna različica prosojnic iz metod prostorskih analiz v GIS, ki jo 

uporabljamo pri predavanjih pri istoimenskem predmetu v 3. letniku 

visokošolskega strokovnega študija prve stopnje Tehnično upravljanje 

nepremičnin. 

V prosojnicah so navedeni pomembnejši pojmi, definicije, formule, modeli in 

postopki. Dodatno razlago študent sliši na predavanjih in vajah, oziroma 

najde v priporočeni študijski literaturi. 

Prosojnice, ki so pred vami, služijo zgolj kot napotek, katere vsebine 

študirate v priporočeni študijski literaturi. 

Napisati dovolj preprost in strokovno neoporečen študijski pripomoček je 

težko. Zato bom zelo hvaležen vsem, ki me bodo opozorili na tipkarske, 

računske in druge napake. Prav tako bom hvaležen tudi za vse morebitne 

pripombe in komentarje. 

Večina gradiva za prosojnice je bila pridobljena na spletni strani 

http://www.spatialanalysisonline.com/output/ (Smith, Goodchild in Longley 

2010b). 

8 

Samo Drobne 

(samo.drobne@fgg.uni-lj.si) 

Kazalo 

1. OSNOVNI POJMI IN KONCEPTI 

1.1 Uvod 

1.2 Osnovni gradniki 

1.2.1 Prostor 

1.2.2 Atribut 

1.2.3 Objekt 

1.2.4 Karta 

1.2.5 Mnogovrstne lastnosti prostora 

1.2.6 Polje 

1.2.7 Prostorske uteži 

1.2.8 Mreža 

1.2.9 Gostota 

1.2.10 Detajl, ločljivost, merilo 

1.2.11 Topološka lastnost 

1.3 Prostorski odnosi 

1.3.1 Kolokacija 

1.3.2 Razdalja, smer in matrika prostorskih uteži 

1.3.3 Večrazsežno uteževanje 

1.3.4 Prostorska sovisnost 

9 

3


Kazalo / 2 

1.3.6 Prostorska raznolikost 

1.3.7 Prostorska odvisnost 

1.3.8 Prostorsko vzorčenje 

1.3.9 Prostorska interpolacija 

1.3.10 Glajenje in ostrenje 

1.3.11 Postopek prve- in druge stopnje 

1.4 Prostorska statistika 

1.4.1 Ocenjevanje napak 

1.4.2 Statistične domneve 

1.5 Prostorska podatkovna infrastruktura 

1.5.1 Geoportali 

1.5.2 Metapodatki in interoperabilnost 

2. METODOLOGIJA 

2.1 Prostorske analize kot postopek 

2.2 Analitična metodologija 

2.2.1 PPPAZ 

2.2.1.1 Problem (PPPAZ) 

2.2.1.2 Plan (PPPAZ) 

2.2.1.3 Podatki (PPPAZ) 

2.2.1.4 Analiza (PPPAZ) 

2.2.1.5 Zaključki (PPPAZ) 

10 


3. OPERACIJE PROSTORSKIH ANALIZ 

3.1 Prostorski podatkovni modeli in metode 

3.2 Geometrične in sorodne operacije 

3.2.1 Dolžina in površina vektorskih podatkov 

3.2.2 Dolžina in površina rastrskih podatkov 

3.2.3 Površina ploskve – TIN 

3.2.4 Površina ploskve - raster 

3.2.4.1 Zemeljska (neprojecirana) površina 

3.2.5 Glajenje linij 

3.2.5.1 Izpuščanje lomnih točk 

3.2.5.2 Enostavno glajenje 

3.2.5.3 Glajenje z zagozditvijo 

3.2.6 Centroid in središča 

3.2.6.1 Centroid in središča poligona 

3.2.6.2 Centroid in središča skupine točk 

3.2.6.3 Centroid in središča linij 

3.2.7 Točka (objekt) v poligonu 

3.2.8 Razstavljanje poligona 

3.2.9 Oblika 

3.2.10 Prekrivanje in operacije kombiniranja 

3.2.11 Območne interpolacije 

3.2.12 Združevanje poligonov 

11 


3.2.13 Klasifikacija in opredeljevanje skupin 

3.2.13.1 Univariatna klasifikacija 

3.2.13.2 Večvariatna klasifikacija 

3.2.13.3 Večpasovna klasifikacija rastrskih podob 

3.2.13.4 Negotovost in obdelava podob daljinskega zaznavanja 

3.2.13.5 Klasifikacija hiperspektralnih podob 

3.2.14 Meje in coniranje 

3.2.14.1 Konveksne lupine 

3.2.14.2 Nekonveksne lupine 

3.2.14.3 Minimalni očrtani pravokotniki 

3.2.14.4 Mehke meje 

3.2.14.5 Mejne linije in naravne meje 

3.2.15 Teselacija in triangulacija 

3.2.15.1 Delaunayeva triangulacija 

3.2.15.2 Nepravilna trikotniška mreža 

3.2.15.3 Voronoievi/Thiessenovi poligoni 

3.3 Poizvedbe, izračuni in gostote 

3.3.1 Prostorske izbire in prostorske poizvedbe 

3.3.2 Enostavni izračuni 

3.3.3 Razmerja, indeksi, normalizacija in standardizacija 

3.3.4 Gostota 

3.3.4.1 Gostota točkovnih objektov 

3.3.4.2 Metoda jedra 

12 

4



3.3.4.3 Gostota v mreži 

3.3.4.4 Gostota linij in presečišč 

3.3.4.5 Kartogrami 

3.4 Operacije izračuna razdalj 

3.4.1 Razdalja, mera, metrika 

3.4.1.1 Terestična razdalja 

3.4.1.2 Evklidska razdalja in metrična razdalja L p 

3.4.2 Stroškovna razdalja 

3.4.2.1 Akumulirana stroškovna razdalja in pot najmanjših stroškov 

3.4.2.2 Transformacija razdalje 

3.4.3 Mrežna razdalja 

3.4.4 Izdelava baferjev 

3.4.5 Modeli upadanja z razdaljo 

3.5 Operacije analize smeri 

3.5.1 Analize smeri linearnih podatkov 

3.5.2 Analize smeri točkovnih podatkov 

3.5.3 Analize smeri površja 

3.6 Rastrske operacije in algebra karte 

3.6.1 Linearno prostorsko filtriranje 

3.6.2 Nelinearno prostorsko filtriranje 

13 


4. RAZISKOVANJE PODATKOV IN PROSTORSKA STATISTIKA 

4.1 Statistične metode in prostorski podatki 

4.1.1 Opisna statistika 


4.1.2.1 Vrste prostorskega vzorčenja 

4.1.2.2 Prostorska deklasterizacija 

4.2 Raziskovalne analize prostorskih podatkov 

4.3 Statistike rastrskih podatkov 

4.3.1 Mere navzkrižnih odnosov 

4.3.2 Analize v kvadratih 

4.3.3 Mere strukture krajin 

4.4 Statistike točkovnih podatkov in razdalj 

4.4.1 Metode najbližjega soseda 

4.4.2 Razdalje v parih 

4.4.3 Analize žarišč in analize odkrivanja gruč 

4.4.3.1 Hierarhično razvrščanje v gruče po metodi najbližjega soseda 

4.4.3.2 Razvrščanje v gruče s K-povprečji 

4.4.3.3 Razvrščanje po metodi jedrne gostote 

4.4.3.4 Prostorsko-časovno razvrščanje v gruče 

14 


4.5 Prostorska avtokorelacija 

4.5.1 Avtokorelacija, časovne serije in prostorske analize 

4.5.2 Globalna prostorska avtokorelacija 

4.5.2.1 Sestavljeno štetje in analiza nominalnih vrednosti prostorskih podatkov 

4.5.2.2 Moranov I in Gearyjev C 

4.5.3 Lokalni indikatorji prostorske zveze 

5. ANALIZE PLOSKEV IN POLJ 

5.1 Modeliranje površja 

5.1.1 Površja in polja 

5.1.2 Rastrski modeli 


5.1.4 Matematični modeli 

5.1.5 Statistični modeli in modeli delcev 

5.2 Geometrija površja 

5.2.2 Gradient, naklon in usmerjenost 

5.2.1.1 Naklon 

5.2.1.2 Usmerjenost 

5.2.1.3 Profil 

5.3 Vidnost 

5.4 Razvodje 

15 

5



6. MREŽNE IN LOKACIJSKE ANALIZE 

6.1 Uvod 

6.1.1 Pregled mrežnih in lokacijskih analiz 

6.1.2 Osnovni pojmi 

6.1.3 Mere značilnosti grafov 

6.1.3.1 Premer grafa (d) 

6.1.3.2 Število krogov (u) 

6.1.3.3 Stopnja vozlišča ali valenca točke (d(v)) 

6.1.3.4 Indeks upora 

6.1.3.5 Gostota mreže (GM) 

6.1.3.6 Indeks (pi) 

6.1.3.7 Indeks (eta) 

6.1.3.8 Indeks (theta) 

6.1.3.9 Indeks (beta) 

6.1.3.10 Indeks (alfa) 

6.1.3.11 Indeks (gama) 

6.1.4 Podatkovni viri 

6.1.5 Kompleksnost izračunov 

16 


6.2 Mrežne analize 

6.2.1 Ključni problemi mrežnih analiz 

6.2.2 Parametri v mrežnih analizah 

6.2.3 Programska oprema za mrežne analize 

6.2.4 Izgradnja mreže 

6.2.4.1 Drevo najkrajših povezav 

6.2.4.2 Gabrielova mreža 

6.2.4.3 Steinerjeva drevesa 

6.2.5 Problemi najkrajših poti 

6.2.5.1 Dantzigov algoritem 

6.2.5.2 Dijkstrov algoritem 

6.2.5.3 Algoritem A* 

6.2.5.4 Izvedba analiz najkrajših povezav v GIS 

6.2.6 Problem trgovskega potnika 

6.3 Lokacijske analize 

6.3.1 Ključni problemi lokacijskih analiz 

6.3.2 Medianini problemi p 

6.3.3 Središčni problemi p 

6.3.4 Storitvena območja 

6.4 Usmerjanje povezav 

17 

Metode prostorskih 

analiz v GIS 

1. poglavje 

OSNOVNI POJMI IN KONCEPTI 

18 

6


1.1 Uvod 

• Prostorske analize nudijo poseben pogled na svet s 

proučevanjem dogodkov, vzorcev in postopkov, ki se 

izvajajo v prostoru. 

• Metode prostorskih analiz so metode, s katerimi 

analiziramo prostorske podatke in ustvarjamo nove 

informacije (Bailey 1994). 

● Iščemo povezave ali poskušamo ugotoviti različne zveze med 

podatki za neko območje. 

• Tradicionalno: Prostorske analize v GIS-u so skupek dveh 

dopolnjujočih se pristopov: 

• prepoznavanje prostorskih vzorcev oz. struktur, 

• kvantitativna analiza (ugotavljanje odnosov med prostorskimi vzorci). 

19 

1.1 Uvod / 2 

• Domena prostorskih analiz je zemeljsko površje 

(topografske analize), atmosfera in tudi notranjost zemlje 

(analize podtalnice, geološke analize itd.) 

• Področja uporabe prostorskih analiz: 

• Seizmologi: 

• Ali se potresni sunki za obravnavano območje pojavljajo po nekem vzorcu, ki ga lahko 

napovemo? 

• Epidemiologi: 

• Ali lokacije pojava bolezni predstavljajo nek prostorski vzorec? 

• Ali je obstaja povezava med pojavom bolezni z morebitno onesnaženostjo okolja? 

• Ali se bolezen na nekem območju prenaša iz enega človeka na drugega (ali je 

nalezljiva)? 

• Policija: 

• Ali število vlomov na nekem območju sovpada s socialno-ekonomskimi značilnostmi 

tega območja? 

• Okoljski strokovnjaki: 

• Ali lahko podatke daljinskega zaznavanja, ki vsebujejo motnje, prečistimo 

(prefiltriramo), tako da postanejo uporabni? 

20 

1.1 Uvod / 3 

• Področja uporabe prostorskih analiz - nadaljevanje: 

• Geologi: 

• Kako s podatki o geološki sestavi (dobljenih iz vzorčnih vrtin) dobiti objektivno oceno 

stopnje mineralnih usedlin za obravnavano območje? 

• Hidrologi: 

• Ali lahko z vzorci podtalnice, dobljenih na različnih lokacijah (vodnjakov), izdelamo 

karto onesnaženosti podtalnice na obravnavanem območju? 

• Podjetja: 

• Kako s družbeno-ekonomskimi podatki oceniti verjetno povpraševanje po izdelkih ter 

območja razvrstili oziroma klasificirali? 

• itd. 

21 

7


1.1 Uvod / 4 

• Ukvarjamo se z vprašanji “kaj” se je zgodilo/se dogaja 

“kje”. 

• Proučevanje objektov in pojavov v prostoru (atributi in lokacije). 

• Humano-računalniški vmesnik. 

• Prostorske analize so vmesnik med človekom in računalnikom, ko 

analiziramo prostorske podatke in pridobivamo nove informacije. 

22 

1.1 Uvod / 5 

• Analize prostorskih podatkov predstavljajo ožje področje 

kot prostorske analize (Bailey in Gatrell 1995): 

• Namen analiz prostorskih podatkov je predvsem 

testiranje domnev o prostorskih vzorcih in napovedovanje 

vrednosti za območja, za katera nimamo podatkov. 

• Statistično opisovanje in modeliranje prostorskih podatkov: 

• analiziramo podatke na podlagi položajev v prostoru, 

• opisujemo ali razlagamo vedenje posameznih prostorskih pojavov in možne zveze z 

drugimi prostorskimi pojavi. 

• Med prostorske analize pa štejemo analize prostorskih 

podatkov kot tudi različne metode matematičnih 

optimizacij: 

• npr. metode mrežnih analiz (iskanje optimalnih poti, minimizacija transportnih 

stroškov, optimalna namestitev storitev v mreži, itd.) 

23 

1.2 Osnovni gradniki 

1. Prostor (ang. place) 

2. Atribut (ang. attribute) 

3. Objekt (ang. object) 

4. Karta (ang. map) 

5. Mnogovrstne lastnosti prostora (ang. multiple properties of place) 

6. Polje (ang. field) 

7. Prostorske uteži (ang. spatial weights) 

8. Mreža (ang. network) 

9. Gostota (ang. density) 

10. Detajl, ločljivost, merilo (ang. detail, resolution and scale) 

11. Topološka lastnost (ang. topology) 

24 

8


1.2 Osnovni gradniki / 2 

1.2.1 Prostor 

• Merilo, oblika in velikost 

• Osrednji element proučevanja 

prostorskih analiz je zemeljsko 

površje (ca. 500.000.000 km 2 ). 

• Prepoznavamo in analiziramo prostor različnih oblik in velikosti: 

• soba, hiša, parcela, soseska, naselje, občina, regija, država … 

• Prostori se lahko prekrivajo, lahko pa so hierarhično urejeni. 

• Poimenovanje prostora 

• uradno in neuradno poimenovanje 

• Dinamika 

• Prostor se neprestano spreminja: 

• ljudje se selijo (dnevno, tedensko in za stalno), klima se spreminja, naselja se 

širijo, številni družbeni in fizični procesi nenehno vplivajo na vsak delček zemlje. 

• Čas v prostorskih analizah: 

• (ne)upoštevanje časovne komponente – odvisno od narave problema. 

25 


1.2.1 Prostor / 2 

• Potreba po koordinatnem sistemu in datumu 

• Konvencija o meridianih (1884) 

• Svetovni geodetski sistem 1984 - WGS84 (in prilagoditve) 

• Relativne in absolutne koordinate 

• GPS (ang. Global Positioning System) 

• 2D, 3D in 4D prostorske analize 

• Večina metod razvitih za 2D analize. 

• Analiza prostora nad- in pod zemeljskim površjem zahtev 3D metode. 

• Četrta dimenzija v prostorskih analizah je največkrat čas. 

• Proučevanje dinamike sprememb objektov in pojavov v prostoru. 

26 


1.2.2 Atribut 

• Atribut je osnovni nosilec podatkov o objektu (pojavu): 

• jih merimo; 

• ali pa so rezultat klasifikacije. 

• Vrste atributov (spremenljivk) glede na tip merjenja: 

• nominalni (vrednosti lahko le razlikujemo med seboj, ne moremo 

pa jih urediti po logičnem zaporedju; npr. vrsta rabe), 

• ordinalni (vrednosti lahko uredimo od najmanjših do največjih; 

npr. nadmorska višina), 

• intervalni (lahko primerjamo razlike med vrednostma dvojic enot; 

npr. temperatura v prostoru). 

• razmernostni (lahko primerjamo razmerja med vrednostma dvojic 

enot; npr. starost zgradb). 

Od tistih z najslabšimi merskimi lastnostmi (nominalne spremenljivke) do tistih z najboljšimi 

(razmernostne spremenljivke), ki zadoščajo lastnostim, ki jih imajo prve tri spremenljivke. 

27 

9


Atributi v GIS-u 


1.2.2 Atribut / 2 

28 


1.2.2 Atribut / 3 

• Za potrebe prostorskih analiz ločimo: 

• prostorsko ekstenzivne atribute – predstavljajo celoten 

analiziran prostor: 

• skupna populacija, 

• površina objekta, 

• obseg objekta, 

• itd. 

• prostorsko intenzivne atribute - predstavljajo celoten analiziran 

prostor samo v primeru, da je le-ta homogen: 

• gostota prebivalstva, 

• povprečni dohodek, 

• odstotek nezaposlenosti, 

• itd. 

29 


1.2.2 Atribut / 4 

Primer prostorsko intenzivnega atributa 

30 

10



1.2.3 Objekt 

• Točke (0D grafični objektni tipi podani s pari koordinat). 

• Linije (1D grafični objektni tipi podani z zaporedjem točk 

povezanih z daljicami). 

• Liki (areali: 2D grafični objektni tipi podani z zaključenim 

zaporedjem točk povezanih z daljicami). 

• Značilne točke (0D geometrični objektni tipi; npr. 

vozlišča, lomne točke ...). 

• Polilinija (1D geometrični objektni tipi; npr. niz robov ali 

vektorjev, veriga). 

• Poligon (2D geometrični objektni tip opredeljen z enim 

ali več obodnih robov). 

31 


1.2.3 Objekt / 2 

Primer karte s točkovnimi, linijskimi in 

arealnimi objekti 

(Vir: Smith in sod. 2010c) 

32 


1.2.4 Karta 

• Tradicionalno prikazovanje prostorskih podatkov temelji 

na analognih kartah. 

• Karta je pomanjšan, posplošen, pogojno deformiran 

in pojasnjen prikaz površine Zemlje ter vesoljskih teles 

na ravnini ter stanj in pojavov, ki so s temi površinami v 

zvezi. 

• Karta predstavlja posplošeno in statično upodobitev stvarnega 

prostora. 

• Digitalna kartografija – uporaba računalniške 

tehnologije v kartografiji. 

• Alternativne upodobitve – 3D in dinamične upodobitve. 

33 

11


3D upodobitev 


1.2.4 Karta / 2 

34 

(Vir: Google Earth 2010) 


1.2.5 

Mnogovrstne lastnosti prostora 

• Različne lastnosti prostora: 

• topografska ali tematska upodobitev. 

• Koncept podatkovnih slojev: 

• Podatkovni sloj je zbirka podatkov o 

objektih in pojavih iz stvarnega sveta (v 

primeru vektorskih podatkov: ene vsebine 

in enega grafičnega objektnega tipa). 

• Prostorski analitik se pri oblikovanju 

podatkovnih slojev ukvarja z 

različnimi razredi objektov. 

• Kombiniranje podatkovnih slojev 

• Prostorska analiza lahko temelji na: 

• enem podatkovnem sloju (npr. analiza vzorca), 

• dveh ali več podatkovnih slojih (npr. analiza 

korelacije obravnavanih spremenljivk). 

Koncept podatkovnih slojev 


35 

Koncept podatkovnih slojev 


1.2.5 Mnogovrstne lastnosti prostora / 2 

‣ Stvarni svet navpično razslojimo na 

vsebinske plasti. 

‣ Posamezne vsebinske plasti pa 

horizontalno v grafične objektne tipe. 

36 

12



1.2.6 Polje 

• Dva pristopa modeliranja prostora: 

• V diskretnem pristopu obravnave 

prostora, le-tega modeliramo z objekti. 

• Pri zveznem pristopu pa se poslužujemo 

polj. 

• Polja so zvezno spremenljive 

lastnosti obravnavanega objekta oz. 

pojava, ki jih modeliramo/merimo 

na celotnem obravnavanem 

območju. 

• Matematično: Polja so rezultat 

modeliranja lastnosti nekega objekta oz. 

pojava na vsaki lokaciji obravnavanega 

območja s pomočjo zvezne funkcije. 

Karta hrupa 


37 


1.2.6 Polje / 2 

• Podatkovno modeliranje (stvarnega sveta) kot oblika 

predstavitve. 

• Razhajanje med zveznimi polji in diskretnimi objekti je zgolj 

konceptualna. 

• Pretvorba med različnimi modelnimi pogledi: 

• točke lahko predstavljajo lokacije izvora lastnosti (kjer so bile 

izvedene meritve; npr. merjenje temperature), ali pa 

predstavljajo izolirane primere lastnosti nekih objektov (npr. 

lokacija pojava bolezni); 

• polilinije lahko predstavljajo lastnosti linijskega objekta (npr. 

transportne tokove), lahko pa predstavljajo zvezne lastnosti 

(npr. plastnice); 

• poligoni lahko predstavljajo posamezne objekte (npr. stavba), 

lahko pa predstavljajo zvezne pojave (npr. zapolnjena polja med 

plastnicami – višinski pasovi). 

38 

Primeri (analitičnih) polj 


1.2.6 Polje / 3 

Mreža 

Celična mreža 

Točkasta mreža 

Skalarno polje 

Analitično skalarno polje 

Vektorsko polje 

Podatkovni in bitni raster 

39 

13



1.2.7 Prostorske uteži 

• Prostorske uteži modeliramo 

predvsem v modelih soseščine. 

• Uporabljamo jih za uteževanje 

(prostorskih) lastnosti. 

• Sosedstvo (neposredna bližina) 

temelji na razdaljah med objekti. 

• Razdalje lahko definiramo zelo 

različno: 

• Evklidska ali zračna razdalja, 

• razdalja po linijskem objektu, 

• stroškovna razdalja (npr. potovalni čas) 

• Matrike prostorskih uteži (W): 

• npr. topološka matrika sosedstva 

lahko prevzamejo vlogo koordinat. 

Izračun prostorskih uteži 


40 


1.2.8 Mreža 

• Mreže so enodimenzionalne strukture, s katerimi 

modeliramo dvo- in tri dimenzionalne objekte in pojave 

iz stvarnega sveta: 

• ulice, ceste, avtoceste, železnice; 

• potoki, reke, kanali, ostali vodni tokovi; 

• prometni tokovi in selitveni tokovi; 

• itd. 

• Na mrežah se nahajajo diskretni točkovni objekti 

(vozlišča, lomne točke ...): 

• mejniki, 

• mostovi, 

• jaški, 

• itd. 

• Na (enodimenzionalnih) mrežah pa lahko izvedemo 

tudi zvezna polja: 

• potovalna hitrost, gostota prometa, 

• hitrost toka 

• itd. 

41 


1.2.8 Mreža / 2 

• Matematično: 

Mreža oblikuje graf. 

• Številne tehnike razvite za grafe so 

aplicirane na mrežah: 

• iskanje optimalne poti (najkrajše, 

najhitrejše poti ...), 

• analiza povezljivosti, 

• analiza prepustnosti, 

• itd. 

Gráf na sedmih točkah 

z osmimi povezavami. 

Gráf je v matematiki struktura in predstavlja abstraktno upodobitev množice objektov, v kateri so 

nekateri pari objektov povezani z vezmi. Medsebojno povezani objekti so upodobljeni z matematičnimi 

abstrakcijami, imenovanimi točke (ali tudi vozlišča), vezi, ki povezujejo nekatere pare točk, pa se 

imenujejo povezave. Običajno je graf prikazan v diagramski obliki kot množica pik za točke, ki jih 

povezujejo daljice ali krivulje za povezave. 

(vir: http://sl.wikipedia.org/) 

42 

14



1.2.8 Mreža / 3 

• Geometrične sestavine mrež modelov temeljijo na 

vozliščih, povezavah ter verigah: 

• Vozlišča definirajo začetno in končno točko veje v grafu. 

• Lomne točke definirajo obliko polilinijske povezave med dvema 

vozliščema. 

• Povezave povezujejo dve točki. 

• Verige pa so nizi povezav, ki spajajo vozlišča. 

43 

Primera mreže 


1.2.8 Mreža / 4 

(Vir: www.esri.com) 

(Vir: www.slo-zeleznice.si) 

44 


1.2.9 Gostota 

• Gostota je eden izmed najbolj uporabnih konceptov 

modeliranja stvarnega sveta v prostorskih analizah: 

• gostota kot povezava med diskretnimi objekti in zveznimi polji. 

• Matematično: gostota (g) je število objektov (n) na 

površino (p): g=n/p 

• Problem občutljivosti določitve gostote glede na 

izbrane objekte (n) in površino (p) → različne tehnike 

ocene gostote. 

45 

15



1.2.9 Gostota / 2 

Primer gostote 

46 

1.2.10 

Detajl, ločljivost, merilo 

• Resnična kompleksnost stvarnega sveta: 


• Zemeljsko površje je “skoraj neskončno” kompleksno z ogromno 

detajli (več detajlov, bližje kot smo površju). 

• Bistvena je odločitev o količini detajlov vključenih v analizo. 

• Prostorska ločljivost je definirana s pragom 

minimalne razdalje, pod katero objekti niso vključeni v 

prostorsko analizo. 

• V primeru izbora 250-metrske prostorske ločljivosti, lahko na kraškem svetu 

izgubimo detajle manjših kraških uval, vrtač ... 

• Karta ima merilo, ki je razmerje velikosti objekta na 

karti in velikosti objekta v naravi. 

47 

Na http://primaxstudio.com/stuff/scale_of_universe/ 

lahko merilo resnično „občutite“. 


1.2.10 Detajl, ločljivost, merilo / 2 

• Detajl digitalnih podatkov opisujemo z ločljivostjo 

podatkov: 

• Digitalni podatki, ki so rezultat analize podatkov, nimajo merila 

temveč so pogojeni s prostorsko ločljivostjo. 

• Časovna ločljivost je definirana s pragom minimalne 

časovne razdalje zajetih/analiziranih objektov. 

• npr. na dan, teden, mesec ali leto natančno zajeta časovna serija podatkov; 

• npr. analiza časovne serije 50-tih let povprečne letne temperature. 

48 

16




• Pomembna je odločitev o detajlu ter o generalizaciji 

(posplošitvi) objektov prikaza rezultatov analize. 

• Operatorji generalizacije (ESRI 1996): 

• izbor objektov (ki bodo vključeni v analizo), 

• odstranitev objektov (ki so pod pragom minimalnih dimenzij), 

• poenostavitev oblike objektov (predvsem glajenje linij), 

• združitev objektov (v skupine), 

• zrušitev objekta (prehod na objektne tipe), 

• tipizacija objekta (zamenjava velikega števila objektov z enim), 

• izpostavitev objektov (ki so pod pragom minimalnih dimenzij, 

vendar pomembni za analizo), 

• označitev objektov (uporaba kartografskih pogojnih znakov), 

• premikanje objektov (ki se staknejo zaradi ločljivosti prikaza), 

• očiščenje oblike objektov (za boljši estetski učinek). 

49 



Primeri generalizacije 

poenostavitev objektov 

združitev in označitev 

objektov 

premikanje objektov 

50 


1.2.11 Topološka lastnost 

• Splošni koncept topologije: 

• Topologija je veda o odnosih med objekti. 

• Topološka lastnost je tista lastnost med objekti, ki se pri afinih 

in izvedenih pretvorbah ohranja (premik, sprememba merila, 

zasuk, razteg, popačenje). 

• Topološke lastnosti so: 

• topološka dimenzija, 

• sosedstvo, 

• vsebovanje, 

• povezanost. 

51 

17



1.2.11 Topološka lastnost / 2 

• Topološka dimenzija se ohranja: 

• točke ostajajo 0D, linije 1D in liki 2d objekti. 

Lega Slovenije in sosednjih držav 

Z dodajanjem ali odvzemanjem detajlnih mejnih 

točk, ki niso vozlišča, se topološke povezave med 

geografskimi enotami ne spreminjajo. 

(vir: Kvamme in sod. 1997). 

52 



• Sosedstvo 

• Dva poligona sta sosednja poligona, če imata skupno mejo. 

• Sosedske lastnosti poligonov določimo s pregledovanjem vseh 

mejnih linij med izbranimi poligoni in zapisovanjem obstoječih 

sosedskih pogojev na mejnih linijah v posebne tabele. 

Linija Levo Desno 

1 Z A 

2 Z B 

3 Z C 

4 A B 

5 B C 

6 A C 

Z – zunaj 

53 



• Vsebovanje 

• Lega točke v ali izven poligona. 

Točka 

Leži 

v poligonu 

1 A 

2 A 

3 B 

4 C 

5 A 

6 Z 

1 

2 

3 

6 

Z – zunaj 

5 

4 

54 

18




• Povezanost 

• Dve liniji, ki si delita vsaj eno točko z enakima X in Y 

koordinatama, sta povezani. 

• Pogoji povezanosti se zapisujejo v posebne tabele (seznam 

vozlišč, ki ležijo na koncu linij, ali seznam linij, ki se končajo v 

vozliščih). 

Linija Od Do 

1 a b 

2 b c 

3 c a 

4 d b 

5 d c 

6 a d 

55 

1.3 Prostorski odnosi 

1. Kolokacija (ang. co-location) 

2. Razdalja, smer in matrika prostorskih uteži 

(ang. distance, direction and spatial weights matrices) 

3. Večrazsežno uteževanje (angl. multidimensional scaling) 

4. Prostorska sovisnost (ang. spatial context) 

5. Soseščina (ang. neighborhood) 

6. Prostorska raznolikost (ang. spatial heterogeneity) 

7. Prostorska odvisnost (ang. spatial dependence) 

8. Prostorsko vzorčenje (ang. spatial sampling) 

9. Prostorska interpolacija (ang. spatial interpolation) 

10. Glajenje in ostrenje (ang. smoothing and sharpening) 

11. Postopki prve- in druge stopnje 

(ang. first- and second-order process) 

56 

1.3 Prostorski odnosi / 2 

1.3 Prostorski odnosi - Uvod 

• Osnovni koncepti prostorskih analiz temeljijo na 

konceptu relativnega položaja. 

• Prava “moč” lokacije pride do izraza šele v odnosu do drugih 

lokacij: 

• V prostorskih analizah je relativni položaj je pomembnejši 

kot absolutni. 

• Lokacija objekta ali pojava sama po sebi še ni zanimiva (primer: 

geografska dolžina še ni pogoj za napovedovanje povprečne letne 

temperature). 

• Nespremenljivost vzorcev in premiki: 

• Vzorci se ne spremenijo po premikih, zasukih ali zrcaljenju. 

• Primer: Vzorec kriminalnih dejanj na Dunaju lahko premaknemo v 

okolico Radovljice, toda vzorec bo še vedno zanimiv (če ga 

analiziramo na pravi ali pa na novi lokaciji). 

• Relativna lokacija se pri premikih, zasukih in 

zrcaljenju ohranja. 

57 

19



1.3.1 Kolokacija 

• Kolokacija je pojav namestitve več objektov na isto 

lokacijo. 

• Metode: 

• Prekrivanje podatkovnih slojev (ang. overlay): 

• točke na točke, točke na linije, točke na poligone, linije na linije, linije na 

poligone, poligone preko poligonov. 

• Presek in združevanje (ang. intersection and union): 

• V prostorskih analizah je pomembna odločitev: 

• ali sta dva ali več objektov na isti lokaciji (analiza atributov več 

objektov različnih vsebin), 

• ali sta samo blizu (analiza atributov več objektov iste vsebine). 

58 

1.3.2 Razdalja, smer in 

matrika prostorskih uteži 

• S pomočjo podatkov o lokaciji lahko določimo razdaljo 

in smer obravnavanega pojava. 

• Značilne točke: 

• razdaljo računamo iz koordinat točk, 


• v primeru računanja razdalj med linijami ali liki pa uporabimo 

koordinate značilnih točk. 

• Matrika prostorskih uteži: 

• Številne vrste prostorskih analiz zahtevajo izračun 

matrike prostorskih uteži. 

• Matrika prostorskih uteži (W) sestoji iz vrednosti, ki 

izražajo relativno sosedstvo parov položajev. 

59 


1.3.2 …matrika prostorskih uteži / 2 

• Vrednosti matrike prostorskih uteži (W) določimo na tri 

načine: 

1. 1, če si analizirani položaji delijo skupno mejo, 

sicer 0; 

2. dolžina skupne meje analiziranih položajev, sicer 0; 

3. padajoča funkcija razdalj med analiziranimi položaji, 

ali med njihovimi značilnimi točkami, ali med k 

najbližjih sosedov. 

60 

20




Primeri določitve matrike prostorskih uteži 

Poligon št. 1 ima tri sosede (19, 18, 2), 

poligon št. 3 pa 5 sosedov (25, 23, 18, 10 in 2), 

kar zapišemo v matriko prostorskih uteži: 

1 3 

19 18 2 

3 5 

25 23 18 10 2 

Prostorske uteži izračunane iz zračnih (evklidskih) 

razdalj, kjer upoštevamo „sosede“ do izbrane razdalje: 

1 19 0,3290 

1 2 0,3138 

1 18 0,2535 

3 18 0,4985 

3 2 0,4077 

3 23 0,1738 

3 25 0,4475 

3 40 0,5202 

61 



• V primeru uporabe matrike prostorskih uteži, le-te 

prevzamejo „prostorske vidike“ analiz (koordinate 

postanejo brezpredmetne). 

• Pomembno v prostorskih analizah: 

• Evklidske mere W se ne spremenijo ob premiku, zasuku ali 

zrcaljenju analiziranega vzorca. 

• Učinek robu lahko bistveno popači rezultat. 

• na primer, poligon št. 1 ima na severu še druge sosede, ki pa jih nismo 

vključili v analizo. 

62 


1.3.3 Večrazsežno uteževanje 

• Večrazsežno uteževanje je splošen pojem za niz 

statističnih tehnik odkrivanja podobnosti med podatki. 

• ... za določitev vrednosti na lokacijah na podlagi vrednosti iz 

soseščine. 

• Tobler in Wineberg (1971): 

• soočila neznane lokacije z vrednostmi na znanih lokacijah pod 

predpostavko, da interakcija med pari lokacij sistematično 

pada z razdaljo. 

• Tehnike uteževanja so izvedene v številnih pristopih 

modeliranja: 

• kart potovalnih časov, 

• kart podobnosti/variacij (živalskih, rastlinskih vrst ...), 

• zaznavanje soseščine med lokalnim prebivalstvom. 

63 

21



1.3.3 Večrazsežno uteževanje / 2 

Primer karte potovalnih časov 

64 


1.3.4 Prostorska sovisnost 

• Primerjava atributov objektov v bližnjem sosedstvu 

omogoča vpogled v prostorske odnose. 

• Primeri: 

• vedenje posameznika na s prometom zelo obremenjeni ulici je mogoče razložiti z 

bližino ostalih posameznikov; 

• na ceno stanovanjske hiše lahko vplivajo drage stanovanjske hiše v neposrednem 

sosedstvu; 

• zemljiščem pada vrednost zaradi neposrednega vpliva onesnaževalca v bližini; 

• itd. 

65 


1.3.5 Soseščina 

• Soseščino najpogosteje opredelimo s pomočjo 

prostorske sovisnosti. 

• Soseščina je opredeljena: 

• prostorsko (npr. kot geografsko območje) in 

• funkcionalno (npr. kot mreža družbenih povezav). 

• Pristopi opredelitve soseščine: 

A. enotna razdalja, 

B. območna razdalja 

(npr. popisni okoliš), 

C. utežena razdalja 

(npr. potovalni čas) 

• … 

66 

22



1.3.6 Prostorska raznolikost 

• Zemeljsko površje izkazuje skoraj neverjetno 

raznolikost objektov in pojavov. 

• ... primerjaj pokrajino puščave v Avstraliji in urbano kompleksnost New Yorka! 

• Ni povprečnega prostora! 

• Rezultati prostorskih analiz se - zaradi prostorske 

raznolikosti – močno razlikujejo glede na lokacijo 

analiziranega problema. 

• Številne tehnike prostorskih analiz (npr. prostorsko 

utežena regresija) upoštevajo prostorsko 

raznolikost kot dano: 

• Zato tovrstne tehnike včasih poimenujemo tudi „lokalne“ tehnike. 

67 


1.3.7 Prostorska odvisnost 

• Prvi Toblerjev zakon: Vse stvari so povezane: bližnje so bolj 

povezane kot tiste bolj oddaljene. 

• Moč povezave merimo s številnimi statistikami prostorske 

avtokorelacije (angl. spatial autocorrelation). 

• Razvoj znanstvene discipline „geostatistike“ ali 

„prostorska statistika“. 

• Prostorska statistika je statistika, ki proučuje prostorsko variacijo s 

pomočjo funkcij (korelogramov; angl. „correlograms“). 

• Korelogrami prikazujejo padanje prostorske avtokorelacije z 

naraščanjem razdalje. 

• Korelogram doseže vrednost 0, oziroma prostorsko neodvisnost, 

na razdalji, ki jo imenujemo domet. 

68 



• Izvedba prvega Toblerjevega zakona in prostorske 

odvisnosti: “Mogoče je izdelati relativno točen opis 

zemeljskega površja z nekaj dobro razmeščenimi 

vzorci podatkov.” 

• Meteorologi zajemajo vzorce vremenskih razmer z zajemom na 

nekaj znanih lokacijah, kjer so razmeščene vremenske postaje. 

• Geografi opisujejo sovisnost celotne regije z nekaj dobro 

postavljenimi trditvami. 

• Popisni podatki so predstavljeni v prostorsko zaključenih enotah 

(popisnih okoliših, krajevnih skupnosti, naseljih, občinah, regijah 

…) tako, da je varianca podatkov znotraj predstavitvenih območij 

čim manjša. 

69 

23



1.3.8 Prostorsko vzorčenje / 2 

• Več vrst vzorčenja - najboljše je tisto vzorčenje, ki 

najbolje predstavi povprečne pogoje znotraj 

analiziranega območja (varianca obravnavanega 

atributa je najmanjša). 

• Vrste točkovnega vzorčenja: 

• sistematično vzorčenje 

• naključno vzorčenje 

• vzorčenje po plasteh 

• … 

70 


1.3.9 Prostorska interpolacija 

• Z metodami prostorske interpolacije 

ocenjujemo vrednosti med danimi 

(običajno točkovnimi) objekti. 

• „… je inteligentno ugibanje ob 

upoštevanju prvega Toblerjevega 

zakona“. 

• Na sliki je primer ocenjevanja 

vrednosti na lokaciji (5,5): rezultat 

je vrednost 4,18 (npr. točka 4 

prispeva 44% skupne ocene, 

točka 3 pa samo 8%). 

71 


1.3.10 Glajenje in ostrenje 

• Zemeljsko površje je zelo dinamično – predvsem tisti 

del, ki se nanaša na družbo: 

• ljudje se selimo, 

• zgradbe se gradijo (in podirajo), 

• območja se uničujejo (zaradi poplav , vojn ...), 

• itd. 

• Rezultat prostorskih analiz je lahko: 

• gladka ploskev (zvezno spremenljive vrednosti polj), 

• negladka ploskev (nezvezno spremenljive vrednosti polj). 

• Številni postopki prostorskih analiz vključujejo razne 

oblike konvolucije (filtriranja) podatkov. 

72 

24


1.3.11 

Postopek prve- in druge stopnje 

• Postopek prve vrste (v analizah točkovnih vzorcev) 

je postopek merjenja variacije točkovne gostote glede 

na izbrano spremenljivko. 

• Gostota pojava malarije na obravnavanem območju je povezana z gostoto obstoja 

komarjev (določene vrste), ki posredno nakazuje obstoj stoječih vod primernih za 

odlaganje jajčec komarjev. 

• Ljudje in komarji se gibljemo v prostoru – toda po pričakovanjih je vzorec gostote 

pojava malarije bolj enakomeren vzorec kot vzorec gostote pojava komarjev 

(oziroma obstoja primernih stoječih voda). 

• Postopek druge vrste (v analizah točkovnih vzorcev) 

je postopek, v katerem analiziramo interakcije med 

lokacijami pojava iste vrste. 

• Vzorec širjenja bolezni (malarije) odkrijemo v postopku druge vrste, ko 

analiziramo širjenje malarije od začetnega nosilca bolezni na družinske člane, 

sodelavce, partnerje … 

• Oba postopka analizirata skupine in gladita variacijo 

gostote pojava, toda uporabljata različne mehanizme 

ter odnose do analiziranih spremenljivk. 

73 



1.3.11 Postopek prve- in druge stopnje / 2 

• Vzorec (točkovnih objektov), ki ga analiziramo v 

postopkih prve in druge vrste, je lahko: 

• naključen (A), 

• v skupini (B in D), 

• razpršen (C). 

74 

1.4 Prostorska statistika 

• Verjetnost v povezavi s prostorom: 

• Nikoli ne bomo v celoti razumeli, kaj (in kako) se dogaja na 

zemeljskem površju, zato je najbolje, da dogodke modeliramo s 

pomočjo verjetnosti; npr.: 

• Prostorski analitik naj modelira verjetnost pojava zemeljskega plazu (glede na vrsto tal, 

naklon, padavine, pojavljanje potresov …) namesto, da napoveduje “točno” lokacijo 

zemeljskega plazu. 

• Verjetnostna polja nekega dogodka v prostoru so polja 

spremenljivih verjetnosti (med 0 in 1). 

• Robna vs združena verjetnost: 

• Po pravilih računanja z verjetnostjo dogodkov za neodvisne dogodke 

ter z upoštevanjem prvega Toblerjevega zakona, bi sklepali: 

• da je verjetnost dogodka, na katerega vplivata dva točkovna pojava, ki sta blizu 

skupaj, enaka zgolj zmnožku verjetnosti teh dveh pojavov (npr. verjetnost dogodka, da 

se sproži plaz na lokaciji A je ½, verjetnost dogodka, da se sproži plaz na lokaciji B, ki 

je malo stran, pa je prav tako; torej sklepamo, da je verjetnost, da se bo sprožil plaz 

¼: ½* ½ = ¼; toda verjetnost takšnega dogodka je lahko celo več kot ½). 

• V takih primerih je bolj smiselna uporaba združene verjetnosti 

odvisnih dogodkov (kot mejne verjetnosti neodvisnih dogodkov). 

75 

25


1.4 Prostorska statistika / 2 

• Verjetnost in negotovost: 

• Ena najbolj uporabnih aplikacij verjetnosti pri proučevanju 

zemeljskega površja je negotovost lokacije: 

• Primer: z GPS merimo lokacijo stojišča; zaradi negotovosti meritev lahko določimo 

napako meritev v izbranih smereh (npr. sever-jug in vzhod-zahod); ploskev zvonaste 

oblike (Gausove normalne porazdelitve) je gostota verjetnosti; verjetnost, da leži točka 

znotraj definiranega območja, je enaka volumnu telesa nad obravnavanim območjem 

pod ploskvijo gostote verjetnosti. 

• Funkcija gostote verjetnosti (ang. probability density 

function) je v teoriji verjetnosti funkcija, ki daje relativno 

verjetnost, da bo zvezna slučajna spremenljivka imela 

točno določeno vrednost iz množice možnih vrednosti. 

• Funkcija gostote verjetnosti služi za to, da lahko s pomočjo integrala 

določimo verjetnost, da bo zvezna slučajna spremenljivka padla v 

določeno območje. 

• Gostota verjetnosti je izvedena, na primer, v analizah lokacijske 

negotovosti (negotovost lokacije točkovnih in linijskih objektov). 

76 


1.4.1 Ocenjevanje napak 

• Negotovost in širjenje napak: 

• Vsaka zbirka podatkov o prostoru je zgolj negotova predstavitev 

stvarnosti. 

• Pri razlagi rezultatov prostorskih analiz moramo 

upoštevati: 

• natančnost in točnost metod prostorskih analiz ter 

• natančnost in točnost prostorskih podatkov, s pomočjo katerih smo 

izvedli analizo. 

• V splošnem ločimo: 

• metode ocenjevanja vgrajenih napak, 

• metode ocenjevanja operativnih napak. 

77 


1.4.1 Ocenjevanje napak / 2 

• Vgrajene (inherentne) napake v GIS modelu 

stvarnega sveta so napake, ki: 

• so že vsebovane v izvornih podatkih, s pomočjo katerih bomo 

izvedli analizo, 

• ali pa se zgodijo med samim zajemom podatkov v digitalno obliko. 

• Negotovost v bazi podatkov se nanaša na: 

• negotovost lokacije, 

• negotovost atributov, 

• negotovost topoloških lastnosti. 

Primer: negotovost glede lokacije točk pomembno vpliva na izračun 

razdalje med točkama. 

78 

26




• Operativne napake (tudi tehnične napake) so napake v 

GIS modelu stvarnega sveta, ki so nastale med samim 

izvajanjem operacij prostorske analize. 

• Splošna načela ocene stopnje prenašanja napak: 

a) Stopnja zanesljivosti (točnost) rezultata, ki ga dosežemo s prekrivanjem 

podatkovnih slojev, ne more biti višja od najnižje stopnje zanesljivosti 

(točnosti) posameznih vhodnih podatkov. 

b) Večje število podatkovnih slojev uporabimo v operaciji, večja je možnost 

prenašanja napak. 

c) Seštevanje ali odštevanje podatkovnih slojev je večinoma manj obremenjeno 

s prenašanjem napak, kot množenje, deljenje ali potenciranje. 

d) Točnost interpretacije končnega rezultata je odvisna od poznavanja 

prostorskega vzorca napak (npr. razpršenosti, zbiranja v gruče ali 

povezanosti). 

Zato je pri analizah v GIS-u je smiselno uporabiti na napake čimbolj 

neobčutljive rezultate ter v nadaljnjo obravnavo vključiti le tiste detajle, 

ki so na ravni dosežene stopnje zanesljivosti. 

79 



Primer ocene operativnih napak 

Primer: 

Iskanje primernih območij za 

odlagališča radioaktivnih odpadkov 

(metoda Monte Carlo): 

1. V vsakem podatkovnem sloju naključno 

dodamo ali odvzamemo meje območij (in 

pri tem ohranimo topologijo). 

2. Štiri podatkovne sloje prekrijemo med 

seboj z operacijo preseka. S tem 

identificiramo površine, skupne vsem 

štirim krajevnim kriterijem. 

3. Končni rezultat so rastrirane mrežne 

celice. 

4. Prve tri korake ponavljamo 100-krat. 

5. Preštejemo število prekrivanj (frekvenco) 

rastrskih celic v primerih, ki so zadoščali 

vsem štirim kriterijem. 

izvorni 

podatki: 

rezultati: 

80 



Točnost in natačnost 

Točnost je stopnja zanesljivosti, 

s katero GIS predstavlja stvarni 

svet. 

Natančnost je stopnja podrobnosti, 

s katero so bile izvedene meritve 

na objektih stvarnega sveta. 

Visoka natančnost vodenja podatkov v GIS ne more 

nadomestiti točnosti pri zajemu in hranjenju podatkov. 

81 

27



1.4.2 Statistične domneve 

• Statistične domneve in statistična značilnost: 

• Vsak rezultat dobljen iz poskusa (iz vzorčnih podatkov) je 

potrebno podvreči testu značilnosti, da ugotovimo, kakšne 

zaključke o populaciji lahko naredimo. 

• Slika predstavlja postopek 

statističnega sklepanja: 

1. izbor naključnega vzorca 

iz populacije, 

2. analiza vzorca, 

3. preizkus domneve o populaciji 

(test značilnosti). 

vzorec 

zajem in analiza 

podatkov vzorca 

populacija 

domnevanje o 

populaciji 

82 


1.4.2 Statistične domneve / 2 

• Prostorski analitik se mora zanesti na t.i. naravni 

poskus, v katerem temelji varianca med vzorci na 

okoliščinah, na katerem sam ne mora vplivati. 

• Ključna vprašanja v postopkih statističnega preizkušanja 

domnev: 

a) Ali so bile enote vzorca izbrane iz populacije naključno in 

neodvisno (ali prvi Toblerjev zakon navidezno zagotavlja 

neodvisnost in ali prostorska raznolikost navidezno zagotavlja 

drugačen vzorec na drugem položaju)? 

b) Katero celoto predstavlja vzorec? 

c) Ali je mogoče na temelju analize vzorca sklepati na celoto? 

83 

1.5 Prostorska podatkovna 

infrastruktura 

• Prostorska podatkovna infrastruktura zagozavlja podatke 

in dostop do njih za številne prostorske analize. 

• Prostorska podatkovna infrastruktura je skupek zbirk 

prostorskih podatkov in z njimi povezanih storitev, 

metapodatkov za prostorske podatke, omrežnih storitev 

in tehnologije, dogovorov o souporabi, dostopu in uporabi 

podatkov, usklajevanje in spremljanje izvedbe. 

• Evropska prostorska podatkovna infrastruktura naj bi temeljila na 

infrastrukturah za prostorske podatke, ki jih vzpostavijo države članice. 

• Infrastrukture v državah članicah morajo zagotavljati, da so prostorski 

podatki shranjeni, dostopni in vzdrževani na najprimernejšem, ponavadi 

izvornem mestu, ter da je možno kombinirati prostorske podatkovne 

zbirke iz različnih virov v okviru Evropske unije ter jih souporabljati s 

strani različnih uporabnikov in aplikacij. 

84 

28


1.5 Prostorska podatkovna infrastruktura / 2 

• V 80-tih je prevladovalo prepričanje, da so zbiranje in distribucijo 

prostorskih podatkov dolžne izvesti vladne agencije (največkrat 

državne geodetske in kartografske službe). 

• V začeku 90-tih pa se je začel tovrstni pristop decentralizirati - 

dva vzroka: 

a) pretirano povečevanje stroškov zajema, vzrževanja in distribucije 

podatkov (povečevanje zahtev v državnem proračunu); 

b) nove tehnologije zajema (npr. GPS) in obdelave podatkov (npr. 

zastonjska in odprtokodna GIS orodja) so omogočile zajem in 

izdelavo prostorskih podatkov številnim uporabnikom z relativno 

nizkimi stroški. 

• V začetku tega tisočletja pa so Googlovi in Microsoftovi iskalniki 

omogočili „internetno kartografijo“ – in s tem posredno tudi 

razvoj prostorske podatkovne infrastrukture. 

85 


1.5.1 Geoportali 

• Geoportali so spletne strani oziroma vstopne točke do 

prostorskih podatkov. 

• Povezujejo lahko javno dostopne in brezplačne podatke kot tudi 

licenčne ter plačljive podatke. 

• Primeri: 

• http://www.islovenija.si/gisapp/ 

• http://www.portal.dinaris.org/ 

• http://www.inspire-geoportal.eu/ 

• http://www.publicprofiler.org/ 

• http://www.gigateway.org.uk/ 

• http://www.fgdc.gov/nsdi/nsdi.html 

• http://www.geowebportal.org/web/guest/home 

• http://www.esri.com/software/arcgis/geoportal/index.html 

• ... 

86 


1.5.1 Geoportali / 2 

Primer 

geoportala 

87 

29



1.5.2 Metapodatki in 

interoperabilnost 

• Metapodatki so podatki o podatkih ter njhovih tehničnih in 

poslovnih vidikih. 

• ... so osnova za delovanje geoportalov, kjer uporabniki iščemo 

podatke po njihovih metapodatkih. 

• Interoperabilnost temelji na pridobivanju podatkov iz 

različnih virov. 

• V preteklosti je bilo izvedenih ogromno različnih formatov 

prostorskih podatkov. 

• Nekateri formati so odprti, nekateri pa lastniški. 

• Interoperabilnost in GIS: http://www.opengeospatial.org/ 

88 



2. poglavje 

METODOLOGIJA 

89 

2.1 Prostorske analize 

kot postopek 

• V mnogih primerih izvedemo prostorske analize kot 

zaporedje (pogosto iterativnih) korakov: 

• 1. faza: 

• Oblikovanje problema 

• Pridobivanje podatkov 


• Raziskovalne analize 


• Oblikovanje domnev(e) 

• Modeliranje in preizkus domnev(e) 


• Posvetovanje in revizija (postopka) 

• Poročanje in izvedba 

90 

30


2.1 Prostorske analize kot postopek / 2 

1. faza: 

• Oblikovanje problema je običajno ena izmed težjih 

nalog, kjer definiramo tudi plan dela. 

• Pridobivanje podatkov izpostavi številna vprašanja: 

• Pod kakšnimi predpostavkami bomo modelirali stvarni svet? 

• Ali so podatki popolni (prostorsko in časovno)? 

• Kakšna je natančnost podatkov (prostorska, časovna in atributna)? 

• Kakšna je skladnost podatkov, ki jih bomo uporabili (merilo, 

projekcija, natančnost, modeliranje, usmerjenost, datum zajema in 

opredelitev atributov)? 

• Ali lahko podatke kombiniramo in obdelujemo v planiranem 

postopku? 

91 



• Raziskovalne analize vključujejo: 

• kartiranje točkovnih, linijskih in regijskih objektov, rastrov, ploskev; 

• izračune deležev, indeksov, gostot, naklonov, smeri itd.; 

• klasifikacije podatkov; 

• filtriranje; 

• itd. 

• V številnih primerih se analitičen del prostorske analiza 

zaključi z 2. fazo: 

• zaključki, 

• karte, 

• opisna statistika, 

• ostali dokumenti (priloge). 

92 



• ... je odvisna od cilja analize. 

• Vsebuje lahko: 

• oblikovanje domnev(e) ter 

• modeliranja (tudi optimizacijske postopke) in 

• preizkus domnev(e) o opazovanih vzorcih ter postopkih. 


• Posvetovanje in revizija ter poročanje in izvedba: 

• Rezultat 3. faze so lahko različni scenariji, ki jih je 

potrebno pred končno predstavitvijo povzeti. 

• Te povzetke potem tehtamo v postopkih odločanja. 

• Postopek lahko iterativno nadaljujemo dokler ne 

dosežemo soglaja z naročnikom/odločevalcem oziroma 

dokler ne dosežemo stabilen tok v postopku analize: 

• ... od oblikovanja problema, preko pridobivanja podatkov ter raziskovalnih in 

potrjevalnih analiz ter postopkov modeliranja). 

93 

31


2.2 Analitična metodologija 

• Postopek načrtovanja in izvedbe prostorskih analiz je 

običajno bolj zapleten in iterativen kot smo nakazali v 

uvodu (poglavje 2.1): 

• Mitchell (2005) je predlagal zaporedje 

naslednjih korakov: 

• oblikovanje problema, 

• razumevanje podatkov, 

• izbira metode, 

• izračun statistik, 

• razlaga statistik, 

• test značilnosti statistik, 

• vrednotenje rezultatov. 

• Poleg tega, da je postopek prostorskih 

analiz iterativen postopek, pa po vsakem 

koraku vrednotimo tudi rezultate prejšnjih 

korakov. 

94 

2.2 Analitična metodologija / 2 

Odločitev o metodologiji običajno temelji na odgovorih 

na naslednja vprašanja: 

• Kako dobro (natančno in točno) je oblikovan problem? 

• Koliko časa, finančnih in drugih virov imamo na razpolago, da rešimo 

problem? 

• Ali so že bile izvedene podobne raziskave ter kakšne so prednosti 

oziroma slabosti uporabljene metodologije? 

• Kdo bo uporabnik rezultatov in kakšna so njegova pričakovanja? 

• Ali pričakovanja naročnika vplivajo na izbiro podatkov in metod? 

• Kako postopati v primeru neustrenih podatkov (manjkajoči, 

neprimerni podatki, zaostanki v pridobivanju podatkov)? 

• Kako postopati v primeru omejitev ali celo napak v programski 

opremi, ki jo bomo uporabili? 

• Kakšne so lahko posledice napačnih ali zavajajočih rezultatov? 

• Ali je mogoče preveriti pravilnost in verodostojnost rezultatov? 

95 


Zapleten in iterativen postopek prostorskih analiz: 

• Draper in sod. (2005): Povezanost raka pri otrocih z oddaljenostjo 

od visokonapetostnih elektrovodov v Angliji in Wellsu: 

• Več javnih naročnikov, ca. 30.000 zapisov v registru raka, +30 let, politična 

občutljivost problema. 

• Nekaj vmesnih rezultatov je bilo objavljenih v javnih medijih, zato so avtorji 

raziskave sklenili, da jasno in podrobno predstavijo problem ter postopek 

analize v ustrezni strokovni reviji (British Medical Journal). 

• Vsak korak postopka je bil jasno definiran z 

upoštevanjem predhodnih raziskav. 

• Jasno so bili navedeni pogoji ter omejitve analize, 

ki so pogojevali rezultate. 

• Vprašanja, ki se porajajo ob analizi: 

• Kako natančni so prostorski podatki o vodih 

ter kako natančni so podatki iz registra raka? 

• Ali je stalno prebivališče ob času rojstva 

zadosten podatek za merjenje oddaljenosti? 

• Ali je horizontalna razdalja zadosten podatek 

(ali bi bilo potrebno upoštevati poševno 

razdaljo)? 

• Kaj pa razdalja do nosilcev kablov? 

• Ali je variabilnost napetosti vzdolž linijskih 

objektov pomemben parameter v analizi? 

• Ali odkrit vzorec naraščanja verjetnosti za določeno vrsto raka ustrezno 

modeliramo z nemonotono funkcijo oddaljenosti? 

• itd. 

96 

32



2.2.1 PPPAZ 

• Mackay & Oldford (2002): 

• statistična metoda, 

• izvedljiva v obeh smereh, 

• tudi v obratni smeri 

(po definiranju problema 

raziščemo pričakovanja – brez 

vnaprejšnjega vrednotenja 

pričakovanih rezultatov!) 

5. Zaključki 

1. Problem 

2. Plan 

c 

4. Analiza 

3. Podatki 

97 


2.2.1 PPPAZ / 2 

• PPPAZ je statistična, znanstvena metoda. 

• Model PPPAZ je delno omejen za analizo in modeliranje 

postopkov iz stvarnega sveta. 

• Reševanje številnih praktičnih problemov v GIS-u. 

• Kljub temu je PPPAZ prilagodljiva in dinamična 

metodologija, zaradi česar jo lahko apliciramo na 

številna področja. 

• PPPAZ je iterativen postopek. 

• (Prostorska) analiza je le del postopka. 

• Postopek je izvedljiv v obeh smereh. 

• Metoda PPPAZ je prvenstveno zasnovana za reševanje 

„neprostorskih“ problemov. 

98 


2.2.1 PPPAZ / 3 

• Prostorski vidik razširitve metodologije PPPAZ: 

• Prostorska povezanost in prostorska odvisnost: 

• V prostorskih analizah prvenstveno analiziramo probleme, ki so v izrecno v 

prostorski domeni (podatki na različnih lokacijah niso nujno neodvisni). 

• Prostorsko-časovna zveza: 

• Številne probleme obravnavamo v prostorsko-časovni zvezi (npr.: onesnaženje v 

okolju, izgradnja infrastrukture ...). 

• Problem uporabe klasičnih statističnih kriterijev. 

• ... ki običajno ne upoštevajo prostorske komponente. 

• Zveza med prostorskim vzorcem in postopkom: 

• Pogosto je namen prostorske analize modeliranje postopka (in ne samo 

prepoznavanje vzorca). 

• Vzorec lahko pogosto zadovoljivo pojasnimo z eno slučajno spremenljivko, medtem ko 

je potrebno za modeliranje postopka (ki pogojuje vzorec) analizirati številne slučajne 

spremenljivke. 

• Viri podatkov in njihova kvaliteta: 

• Metapodatki pogosto ne zagotavljajo zadostnih informacij o kvaliteti, natančnosti, 

popolnosti, primernosti podatkov za naše potrebe. 

• Podatke za prostorske analize pogosto pridobimo iz drugih virov – ne poznavanje 

oziroma napačno razumevanje podatkov pogosto oteži/omeji/onemogoči postopke 

analiz. 

99 

33



2.2.1 PPPAZ / 4 

2.2.1.1 Problem (PPPAZ) 

• Pravilna definicija problema, projekta ter naročnikovih 

pričakovanj je lahko ključni element v celotnem 

analitičnem postopku. 

• Poenostavitev problema ter prepoznavanje 

najpomembnejših elementov: 

• problema, 

• podatkov, 

• programskih orodij, 

• analitičnih postopkov, 

• naročnikovih pričakovanj. 

• Predštudija - najbolj kvalitetno prispeva 

k opredelitev problema. 

100 


2.2.1 PPPAZ / 5 

2.2.1.1 Problem (PPPAZ) / 2 

Prepoznavanje posebnosti prostorskih problemov: 

• Prostorsko merilo: 

• Odločitev o območju ter detajlu analize pomembno vpliva na rezultate. 

• Problem uporabe podatkov različnih meril. 

• Statistično merilo: 

• Odločitev o skupinah/razredih podatkov. 

• Prostorska razporeditev: 

• Ali ima prostorska razporeditev analiziranega podobmočja vpliv na samo analizo? 

• Zahteva po posebnih podatkih: 

• Ali opredeljen problem pogojuje posebne podatke v predpisanem merilu, 

predpisane natančnosti in točnosti, pogojene s standardi? 

• Problem sklepanja kompromisov. 

• Problem ekološke napake: 

• V kolikor skupine/razredi podatkov v celoti predstavljajo 

posamezne enote opazovanja, ali tudi prostorsko 

homogeno pokrijejo analizirano območje. 

• Problem napake razdrobljenosti: 

• Ali vzorec – iz katerega smo sklepali na celotno populacijo – 

v resnici predstavlja značilnosti populacije? 

101 


2.2.1 PPPAZ / 6 

2.2.1.2 Plan (PPPAZ) 

• Po opredelitvi problema sledi faza oblikovanja pristopa, 

po katerem bomo najverjetneje rešili problem. 

• Ključni elementi pri oblikovanju pristopa: 

• Narava projekta (in problema) 

• Stroškovne zahteve 

• Zahteva po podpori odločitvam 

• Problem sodelovanja javnosti 

• Operativne zahteve 

• Časovna uskladitev ter pomembni datumi 

• Financiranje in viri 

• Izvedljivost in tveganje 

• Naročnikova pričakovanja 

• Specifikacije in standardi 

• Zahteve po podatkovnih komponentah 

• Viri podatkov 

• Vzorčenje, populacija in sklepanje 

• Prilagoditev številnih pristopov 

• Robustnost (čvrstost) pristopa 

• Testiranje/simulacija tokov postopka 

• Posebnosti (redki primeri) 

• Ponoven pregled opredelitve problema 

102 

34



2.2.1 PPPAZ / 7 

2.2.1.2 Plan (PPPAZ) / 2 

• Narava projekta (in problema) 

• Razlikovanje med strokovnim in raziskovalnim projektom. 

• Razlikovanje med opisnim in postopkovnim modeliranje. 

• Stroškovne zahteve 

• Potreba po izvedbi analize stroškov in koristi? 

• Zahteva po podpori odločitvam 

• Potreba po posebnih orodjih za podporo odločitvam ter postopkom 

analiz? 

• Problem sodelovanja javnosti 

• Do katere mere in na kakšen način se bo v projekt 

vključevala javnost? 

• Operativne zahteve 

• Potreba po posebnih operativnih postopkih in 

pogojih? 

103 


2.2.1 PPPAZ / 8 

2.2.1.2 Plan (PPPAZ) / 3 

• Časovna uskladitev ter pomembni datumi 

• Kakšen je časovni okvir projekta ter katere časovne mejnike 

vključuje? 

• Financiranje in viri 

• Kakšni finančni viri so na voljo (način in oblika financiranja)? 

• Izvedljivost in tveganje 

• Ali je projekt tehnično izvedljiv? 

• Ali obstaja tveganje za neuspeh? 

• Ali sta potencialni neuspeh projekta in kompleksnost problema 

povezana? 

• Naročnikova pričakovanja 

• Kakšna je narava naročnika (komercialni, javni 

ali akademski naročnik)? 

• Kakšna so naročnikova pričakovanja? 

104 


2.2.1 PPPAZ / 9 

2.2.1.2 Plan (PPPAZ) / 4 

• Specifikacije in standardi 

• Odločitev o uporabi specifikacije ali standarda. 

• Zahteve po podatkih 

• Odločitev o vrsti in kvaliteti podatkov. 

• Viri podatkov 

• Odločitev o virih podatkov. 

• Vzorčenje, populacija in sklepanje 

• Opredelitev populacije, opredelitev postopka za 

pridobivanje podatkov ter metod sklepanja. 

• Prilagoditev številnih pristopov 

• Ali je možno/potrebno izvesti postopek po več 

pristopih? 

105 

35



2.2.1 PPPAZ / 10 

2.2.1.2 Plan (PPPAZ) / 5 

• Robustnost (čvrstost) pristopa 

• Odločitev med robustnostjo ter analitično močjo pristopa. 

• Testiranje/simulacija tokov postopka 

• Ali je potrebno izvesti simulacijo postopka analize? 

• Posebnosti (redki primeri) 

• Analiza ekstremnih vrednosti/pogojev/skupin. 

• Ponoven pregled opredelitve problema 

• Ali je potrebno na novo opredeliti oziroma pregledati opredelitev 

problema? 

106 


2.2.1 PPPAZ / 11 

2.2.1.3 Podatki (PPPAZ) 

• Po oblikovanju pristopa sledi faza pridobivanja 

podatkov. 

• V postopkih prostorskih analiz največkrat uporabljamo 

podatke iz drugih, različnih virov. 

• Le-ti se lahko razlikujejo v: 

• formatu in načinu kodiranja, 

• času zajema ter časovni seriji, 

• prostorskem in vsebinskem obsegu, 

• kvaliteti in popolnosti. 

• Pridobivanje in upravljanje podatkov 

za potrebe prostorskih analiz: 

• Problem kvalitete in virov podatkov. 

• Problem upravljanja kvalitete podatkov v 

GIS orodjih (Nobena baza podatkov ni popolna!). 

• Različne vsebine. 

107 


2.2.1 PPPAZ / 12 


Problem kvalitete in virov podatkov: 

• Kvaliteta podatkov 

• Zavedanje o kvaliteti in viru podatkov je ključnega pomena za 

pravilno uporabo podatkov ter razlago rezultatov analiz. 

• Stroški 

• Stroški nakupa ali najema podatkov se morajo ujemati s planiranimi 

stroški (sicer sledi popravek plana). 

• Licenciranje 

• V številnih primerih je potrebno poleg stroškov 

nakupa podatkov upoštevati še stroške licenciranja 

le-teh (npr. letno licenciranje). 

• Razpoložljivost podatkov 

• (Ne)razpoložljivost določenih podatkov pogosto 

pogojuje kompromis glede uporabe podatkov. 

108 

36



2.2.1 PPPAZ / 13 


Problem kvalitete in virov podatkov - nadaljevanje: 

• Popolnost podatkov 

• Ali so podatki atributno in prostorsko popolni? 

• Časovna vrsta podatkov 

• Ali obstaja celotna časovna vrsta podatkov (z izbranim časovnim 

merilom)? 

• Ali je potrebno oceniti časovno vrsto podatkov? 

• Podrobost in ločljivost podatkov 

• Ali so na voljo podatki enakega/različnega merila? 

• Problem kombiniranja podatkov različnega merila. 

• Kvalitativni podatki 

• Problem ocenitve kvalitativnih (nemerljivih) 

podatkov: 

• orodja za podporo odločitvam, 

• orodja za analizo stroškov in koristi. 

109 


2.2.1 PPPAZ / 14 


Problem upravljanja kvalitete podatkov v GIS orodjih: 

Nobena baza podatkov ni popolna! 

Vsaka vsebuje številne napake, manjkajoče vrednosti, ima končno 

ločljivost podatkov, vsebuje popačene informacije o stvarnem svetu 

(običajno v diskretnem modelu), vključuje operativne napake in 

negotovost zaradi samega postopka zajema podatkov ... 

Številna GIS orodja omogočajo: 

• Opredelitev meje analize ter izračun gostote pojava 

• Upravljanje z manjkajočimi podatki in maskiranje 

• Klasifikacijo podatkov 

• Pretvorbe podatkov 

• Kartiranje napak 

• Simulacije 

110 


2.2.1 PPPAZ / 15 


Različne vsebine: 

• Prostorske podatkovne infrastrukture 

• Iskalniki omogočajo „internetno kartografijo“, toda sami podatki 

so lahko zelo različni. 

• Geoportali 

• Geoportali sicer predstavljajo vstopne točke do prostorskih 

podatkov, ki pa so lahko različni. 

• Problem dostopa do podatkov preko različnih geoportalov. 

• Metapodatki 

• ... so osnova za delovanje geoportalov, kjer 

uporabniki iščemo podatke – problem različnih 

opisov podatkov. 

111 

37



2.2.1 PPPAZ / 16 


Različne vsebine - nadaljevanje: 

• Orodja za zajem novih podatkov 

• Uporaba različnih orodij lahko pogojuje različne podatke. 

• Upodabljanje podatkov 

• Podatki so lahko različno upodobljeni (2D in 3D upodobitve, ...). 

• Interdisciplinarna narava prostorskih analiz 

• Uporaba zelo različnih vsebin iz različnih področij. 

112 


2.2.1 PPPAZ / 17 

2.2.1.4 Analiza (PPPAZ) 

• Enostavnost in preprostost 

• Uporaba enostavnih in preprostih orodij, modelov in oblik vizualizacije 

bistveno pripomore k lažji razlagi in razumevanju rezultatov. 

• Raziskovalne analize in upodobitve 

• Raziskovalne analize prostorskih podatkov (ang. exploratory spatial 

data analysis – ESDA) ter njihove upodobitve so običajno prvi korak v 

fazi analize. 

• Razlaga prostorskih vzorcev 

• Največkrat s pomočjo opredelitve nasprotnega: 

„ni vzorca“ oziroma „popolnoma naključen 

vzorec“, ki ne daje nobene informacije uporabniku. 

113 


2.2.1 PPPAZ / 18 

2.2.1.4 Analiza (PPPAZ) / 2 

• Oblikovanje domnev 

• Na podlagi rezultatov raziskovalnih analiz ter upodabljanja podatkov 

in rezultatov oblikujemo domnevo(e) o prostorskih vzorcih ali 

prostorskih postopkih. 

• Oblikovanje modelov 

• Domnevo preizkusimo z izvedbo modelov. 

• Modeliramo: 

• prostorske objekte, 

• prostorske pojave, 

• prostorske funkcije in 

• prostorske postopke. 

• Predhodni zaključki in (ne)ujemanje 

s pričakovanji 

• Rezultati modeliranja ponujajo predhodne 

zaključke, ki jih soočimo s pričakovanji. 

114 

38



2.2.1 PPPAZ / 19 


• Vrste modelov 

• pojasnjevalni modeli pojasnjujejo prostorske vzorce, 

• napovedovalni modeli pa napovedujejo prostorske postopke. 

• Matematični/Statistični modeli 

• Matematični (deterministični) modeli temeljijo na prostorskih 

funkcijah. 

• Statistični (stohastični) modeli pa temeljijo na stohastičnih 

postopkih. 

• Kartografsko modeliranje 

• Kartografsko modeliranje je modeliranje tokov 

obdelave podatkov v analitičnih postopkih. 

• Modeliranje v mikro merilih 

• Napovedovalni modeli s pomočjo orodij za 

simulacijo. 

• npr. ABM (ang. agent-based models) 

115 


2.2.1 PPPAZ / 20 


Preprost kartografski model 

Kartografski model izračuna gostote 


116 


2.2.1 PPPAZ / 21 


Preprost dinamičen kartografski model 

Modeliranje rasti naselij 

(Vir: Eastmann 2006a) 

117 

39



2.2.1 PPPAZ / 22 


Rezultat modeliranja ocene tveganja 

Karta verjetnosti izbruha požara 


118 


2.2.1 PPPAZ / 23 

2.2.1.5 Zaključki (PPPAZ) 

• Namen zaključne faze je poročanje o rezultatih analitične študije 

iz vidika problema. 

• Pri tem je zaželeno, da uporabimo kratke oziroma zgoščene 

povzetke in grafične predstavitve (preglednice, karte in druge 

upodobitve). 

• Zaključki naj bodo podani v preprostem (ne strokovnem) 

jeziku. 

• V zaključku lahko komentiramo prednosti in slabosti 

posameznih faz (Plan, Podatki in Analiza). 

• Potrebno je komentirati morebitne 

operativne napake v rezultatih. 

• Po potrebi ugotovimo potencialno tveganje 

pri razlagi rezultatov na območjih analize in 

pregledamo celoten PPPAZ postopek. 

119 



3. poglavje 

OPERACIJE 

PROSTORSKIH ANALIZ 

120 

40


3.1 Prostorski podatkovni 

modeli in metode 

• V postopkih (operativnega) modeliranja stvarnega sveta 

le-tega modeliramo s pomočjo: 

a) objektov (točka, linija, lik, telo) in/ali 

b) polj (vrednosti mrežnih celic). 

• Večina strokovne literature imenuje: 

• pristop a) vektorski pristop, 

• pristop b) pa rastrski pristop modeliranja stvarnega sveta 

• V večini primerov pretvorba podatkov med različnima 

pristopoma modeliranja stvarnega sveta pogojuje 

izgubo informacij (npr. ločljivost, topološko 

strukturo), zato postopek ni povraten. 

121 

3.1 Prostorski podatkovni modeli in metode / 2 

Prostorski podatkovni modeli 

Podatkovni model 

CAD 

Grafičen (ne-topološki) 

Slika 

Rastrski 

Vektorski (topološki) 

Mrežni 

TIN 

Objektni 

Primer aplikacije 

Avtomatsko načrtovanje in risanje 

Enostavno kartiranje 

Obdelava slik in preproste rastrske analize 

Prostorske analize in modeliranje (predvsem 

okoljske in ekološke aplikacije) 

Številne operacije z vektorskimi geometričnimi 

objekti v kartografiji, v družbeno-ekonomskih 

analizah ter analizah naravnih virov ter v postopkih 

modeliranja 

Mrežne analize v transportnih in hidroloških študijah 

ter na področju komunalnih dejanosti 

Upodobitev terena 

Številne operacije z vsemi vrstami objektov 

(rastrskih, vektorskih, TIN objektov itd.) ter v 

različnih vrstah aplikacij 

(Vir: Longley in sod. 2005) 

122 

3.1 Prostorski podatkovni modeli in metode / 3 

• V nadaljevanju obravnavamo operacije, ki so sestavni 

del postopkov analiz ali postopkov modeliranja – 

manj pa postopkov pridobivanja, georeferenciranja in 

upravljanja podatkov: 

• geometrične in sorodne operacije, 

• poizvedbe, izračuni in gostote, 

• operacije izračuna razdalj, 

• operacije izračuna smeri, 

• rastrske operacije (algebra karte). 

123 

41


3.2 Geometrične 

in sorodne operacije 

• Vektorski objekti kot tudi regije mrežnih celic vsebujejo 

številne prostorske (notranje) atribute; npr.: 

• dolžina linijskega objekta, 

• dolžina meje poligona, 

• površina poligona, 

• površina regije rastrskih celic, 

• itd. 

• Prostorski atributi so lahko sestavni del atributnih 

podatkov, lahko pa se izvedejo na zahtevo uporabnika. 

124 

3.2 Geometrične in sorodne operacije / 2 

• V postopkih geometričnih in sorodnih operacij: 

• računamo dolžino in površino vektorskih podatkov, 

• računamo dolžino in površino rastrskih podatkov, 

• računamo površino ploskev, 

• gladimo linije, 

• računamo centroide in središča, 

• analiziramo položaj točke (objekta) v poligonu, 

• razstavljamo poligone, 

• računamo mere za obliko, 

• prekrivamo in kombinirami objekte, 

• izvajamo območne interpolacije, 

• združujemo poligone (objekte), 

• klasifikaciramo in združujemo po atributih, 

• izbiramo meje in določamo območja, 

• izvajamo Tesselacijo in triangulacijo. 

125 


3.2.1 Dolžina in površina 

vektorskih podatkov 

• Ploščino poligona v ravnini izračunamo po Simpsonovem 

pravilu s sestavljanjem trapezoidov (običajno v smeri urnega 

kazalca). 

• Na primer: površino (ang. area) A1 lika omejenega z x-osjo, dveh 

navpičnih linij na x 1 in x 2 ter linijo med točkama A in B 

izračunamo po enačbi: 

1 

A1 

 

2 

x 

x y y 

2 

1 

1 

2 

126 

42



3.2.1 Dolžina in površina vektorskih podatkov / 2 

• Enačba za izračun ploščine poljubnega poligona A v ravnini z 

nizom lomnih točk {x i ,y i }, kjer je ( xn, 

yn) 

( x 1 

, y1) 

: 

A 

1 

n 2 i1 

1 

x 

x y y 

i1 

i 

i 

i1 

oz. 1 

1 n 

A ( xi 

1 

yi 

xi 

yi 

1) 

(1) 

2 i1 

• Primer: Površina lika 

omejenega z oglišči 

A, B, C in D: 

1. izračunamo ploščino lika 

x 1,A,B,x 2; 

2. prištejemo ploščino lika 

x 2,B,C,x 3; 

3. odštejemo ploščino lika 

x 1,A,D,x 3. 

127 



• V primeru sestavljanja trapezoidov (v obratni smeri urnega 

kazalca) dobimo enako ploščino z negativnim predznakom. 

• Pristop v obratni smeri urnega kazalca uporabljamo za 

odstranitev površine neželenih poligonov znotraj glavnih 

poligonov (npr. Vatikan v Italiji). 

• Enačba (1) ni primerna za izračun ploščine poligona: 

a) ki se križa sam s seboj, 

b) v primeru negativnih y koordinat. 

• Rešitev: 

ad a) prepovemo vnos takšnih poligonov v GIS bazo; 

ad b) začasno se prišteje konstantna pozitivna vrednost 

vsem y koordinatam. 

128 



• Dolžino in površino za regije do ca. 100 km x 100 km običajno 

računamo z uporabo kartezičnih koordinat (x,y). Za večje 

regije (velike države, kontinente) pa uporabimo sferične 

koordinate (Ф,λ). 

• Dolžina linije med točkama podanima s kartezičnimi 

koordinatami: 

d 

ij 

x 

x y 

y 2 

i 

j 

2 i j 

(2) 

Razdaljo d ij imenujemo tudi zračna ali Evklidska razdalja (d E ). 

129 

43




• (Pravokotna) oddaljenost točke od linije izračunana iz 

kartezičnih koordinat: 

d 

( 

p, 

l) 

ax 

p 

by 

p 

c 

 

2 2 

( a b ) 

kjer x , y je ax by c 0 enačba premice, ki gre skozi linijo, 

p p pa sta kartezični koordinati točke p. 

(3) 

130 



• Razdalja linije iz sferičnih koordinat: 

 

) 

1 

ds 

dij 

Rcos sin1 

sin1 

cos1 

cos2 

cos( 1 

 

2 

kjer je R polmer Zemlje (npr. povprečni polmer WGS84 

eleipsoida), ( , ) pa sta sferični koordinatni par 

( 180 180 in 90 90 ; običajno v stopinjah, 

sicer v radianih; 180 ° = Pi radianov oz. 1 radian = 57,30°). 

(4) 

• Enačba (4) je občutljiva na majhne razlike kotov, v tem 

primeru uporabimo „bolj varno“ enačbo za izračun 

Harvesionove sferične dolžine (d s ): 

d d 2Rsin 

s 

ij 

1 

 

sin 

A 

i 

 

j 

i 

 

j 

kjer A , B 

2 2 

2 

131 


B 

2 

cos 

cos 

i 

j 

 

(5) 

3.2.2 Dolžina in površina 

rastrskih podatkov 

• Problem opredelitve linijskega in arealnega objekta v 

rastrskem podatkovnem modelu! 

• Enostaven izračun dolžine in površine objektov v rastrskem 

zapisu - definiran zgolj z dimenzijo mrežnih celic v naravi 

(ločljivostjo): 

• linijski objekt – množenje števila mrežnih celic z ločljivostjo celice 

v smeri linijskega objekta; 

• arealni objekt – množenje števila celic, ki sestavljajo regijo, s 

površino celice, ki jo izračunamo iz ločljivosti celice. 

• Problem izračuna obsega arealnega objekta: 


• dolžina zunanje meje rastrskega podatkovnega modela je lahko 

do 50 % daljša od ekvivalentnega zapisa arealnega objekta v 

vektorskem podatkovnem modelu; 

• rešitev: določitev verjetnostnih polj. 

132 

44



3.2.2 Dolžina in površina rastrskih podatkov / 2 

• Rastrski podatki so rezultat številnih popačenj in omejitev 

– popačenja vplivajo predvsem na: 

• usmerjenost, 

• merilo, 

• ločljivost. 

• Usmerjenost 

• V primeru pravokotnih mrežnih celic lahko usmerjenost močno 

vpliva na izmerjeno dolžino (v izbrani smeri); 

• Rešitev: večpasovni zapis iste rastrske podobe odpravi problem 

usmerjenosti in ločljivosti. 

133 



• Merilo 

• Razdaljo izračunamo z množenje števila mrežnih celic z 

ločljivostjo celice v smeri linijskega objekta. 

• Problem izbire sosednjih celic: (a) premik trdnjave (ang. rook‘s 

move), (b) tekačev premik (ang. bishop‘s move), (c) kraljičin 

premik (ang. queen‘s move): 

• model Moorove soseščine (3x3 sosedi) zagotavlja izračun dolžin v 4- ali 8-ih 

smereh ( če je E dolžina robu celice, potem je E 2 diagonalna dolžina). 

• problem izračuna razdalj v globalnih smereh označenih s sivimi celicami na skrajni 

desni sliki (vse sive celice so 2,24 enot od sredinske celice, toda razdalja je lahko 

3 enote pri premiku trdnjave in 2,41 enot pri kraljičinem premiku). 

• model Moorovih 3x3 sosedov uporabljamo v številnih prostorskih analizah (izračun 

stroškovnih razdalj, določitev poti, izračun gradienta in usmerjenosti terena ter 

druge analize morfologije ploskve, itd.). 

134 



• Ločljivost 

• Velikost in oblika mrežne celice pomembno vpliva na izračun 

razdalj in površin. 

• Slabša ločljivost preveč povpreči atributne lastnosti objektov, 

toda pomembno vpliva k zmanjšanju količine podatkov ter zahtev 

po računalniških virih. 

• Odločitev glede razmerja ločljivost : količina_podatkov 

135 

45



3.2.3 Površina ploskve - TIN 

• Ploskev je lahko predstavljena v TIN podatkovnem modelu. 

• Površino izračunamo z enostavnim seštevanjem površin 

(sestavnih) trikotnikov. 

• Površina ploskve v 3D prostoru je večja ali enaka površini ploskve v 

ravnini (planimetrični površini). 

• Razmerje med površino v ravnini in površino ploskve v 3D prostoru 

imenujemo indeks poševnosti ploskve. 

• Naj bodo Tj 

{ xij, 

yij, 

zij} 

i 1,2,3 

koordinate oglišč j-tega TIN 

elementa. 

• Planimetrična površina ploskve (z = konstanta) 

• Površina ploskve (z = spremenljivka) 

136 


3.2.3 Površina ploskve – TIN / 2 

• Planimetrična površina, A 

1 

x2 

j 

y1 

j 

x3 

j 

y2 

j 

x1 

j 

y 

A 

j 

2 

 

x1 

j 

y2 

jx2 

j 

y3 

j 

x3 

j 

y1 

j 

oziroma 

3 

 

 

 

j 

(6) 

1 

Aj 

 

2 

3 

 

i1 

( x 

i1 yi 

xi 

yi 

1) 

A' 

A'=A/cos() 

Opomba: Zapis enačbe (6) je 

ekvivalenten izračunu površine poligona 

z (n-1)=3 lomnimi točkami 

(glej enačbo (1)). 

 

A 


137 


3.2.3 Površina ploskve – TIN / 3 

• Površina ploskve, A‘ 

1 

A' 

 

2 

x 

x 

x 

1 

2 

3 

y 

y 

y 

1 

2 

3 

1 

2 

y 

1 

1 y2 

1 y 

3 

z 

z 

z 

1 

2 

3 

1 

1 

1 

2 

z 

z 

1 

z 

2 

3 

x 

x 

x 

1 

2 

3 

1 

1 

1 

2 

(7) 

Opomba: V primeru, da je z=0 za vse točke, 

se enačba (7) poenostavi v enačbo (6). 

A' 

A'=A/cos() 

Primer: Če so koordinate oglišč (0,0,0), 

(1,0,0) in (1,1,1) potem je površina A‘ 

za ca. 40 % večja od površine A. 

 

A 


138 

46



3.2.4 Površina ploskve – raster 

• Iz rastra izračunamo površino ploskve kot povprečje osmih 

trikotniških komponent: 

1. osem trikotnikov, ki povezujejo središčne točke mrežnih celic; 

2. izračun površine posameznega trikotnika po (7); 

3. seštetje površin osmih trikotnikov ter povprečenje vsote. 

• ... lahko pa tudi kot uteženo povprečje (glede na površino 

mrežne celice pod trikotnikom). 

DMR dimenzije 3x3 

Ravninski pogled trikotniških komponent 

139 



3.2.4 Površina ploskve – raster / 2 

Površinski model DMR-ja 


Primer izračuna površine projecirane ploskve: 

Površino ploskve običajno izračunamo glede na referenčno ravnino (z=z min ali z=0). 

V zgornjem primeru je teren razgiban od 10m-70m nadmorske višine. V primeru 

uporabe referenčne ravnine z=30m, je površina nad referenčno ravnino ca. 1,3km 2 , 

pod njo pa ca. 1,2km 2 . Skupna površina projecirane ploskve je torej ca. 3,4km 2 , 

planimetrična površina območja velikosti 5000m x 5000m pa znaša 2,5km 2. 

140 



3.2.4.1 Zemeljska 

(neprojecirana) površina 

• V primeru izračuna površine ploskve večjih objektov 

(neprojeciranih vektorskih podatkov) se poslužimo metod 

sferne trigonometrije (upoštevanje ukrivljenosti zemeljskega 

površja). 

• Primer: površina sferičnega pravokotnika je večja od površine pravokotnika 

omejenega z nespremenljivo geografsko širino in dolžino (izračun v MATLab-u 

Mapping Toolbox, funkcija AREAQUAD). 

• Površino zemeljskega četverokotnika izračunamo 

 

2 

A A1 

A2 

1 

2 

R 

180 

kjer je R polmer zemlje (ca. 6378,137km), A 1 in A 2 sta 

površini severno od izbranih geografskih širin 1 

in 2 

2 

2 

( A1 2 

(1 sin1 

) R in A2 

2 

(1 sin2 

) R ), 1 

in 2 pa sta 

geografski dolžini, ki omejujeta četverokotnik. 

(8) 

141 

47




3.2.4.1 Zemeljska (neprojecirana) površina / 2 

• Površino poljubnega sferičnega poligona pa takole 

 

 

A i 

( n 2) R 

i 

 

kjer je R spet polmer zemlje (ca. 6378,137km), so notranji 

koti poligona v radianih (vrh kota je v vsaki lomni točki 

poligona). 

2 

i 

(9) 

142 


3.2.5 Glajenje linij 

• Polilinije in poligoni, ki so definirani z ogromnim številom 

lomnih točk, so podatkovno in grafično zelo kompleksni. 

• Neprimerni za prikazovanje in tiskanje - tudi v različnih merilih. 

• Zato se pogosto poslužujemo tehnik glajenja linij: 

A. A. Izpuščanje Point weeding lomnih točk 

3 4 

2 

10 

5 

C. C. Spline Glajenje smoothing z zagozditvijo 

1 

6 

9 

B. B. Enostavno Simple smoothing glajenje 

7 

8 

143 



3.2.5 Glajenje linij / 2 

3.2.5.1 Izpuščanje lomnih točk 

• Izpuščanje lomnih točk (ang. point weeding) je operacija 

glajenja linije (črna linija na primeru spodaj), kjer postopno 

izpuščamo lomne točke (1-10 na primeru spodaj), glede na 

izbrano tolerenaco generalizacije (modra linija na primeru 

spodaj), do končnega rezultata (zelena linija na primeru 

spodaj). 

A. Izpuščanje A. Point weeding lomnih točk 

3 4 

2 

10 

5 

C. Spline smoothing 

1 

6 

9 

B. Simple smoothing 

7 

8 


144 

48




3.2.5.2 Enostavno glajenje 

• Enostavno glajenje linije A. Point (ang. weedingsimple smoothing) je množica 

3 4 

operacij, s pomočjo katerih speljemo krivuljo in/ali (poli)linijo 10 

2 

skozi ali blizu obstoječih lomnih točk. Končen rezultat (zelena 

5 

linija na primeru spodaj) je mogoče doseči na več načinov. 

C. Spline smoothing 

1 

B. B. Enostavno Simple smoothing 

glajenje 

6 

7 

8 

9 


145 



A. Point weeding 

2 

3.2.5.3 Glajenje z zagozditvijo 

• Glajenje linije z zagozditvijo (ang. spline smoothing) je 

operacija, pri kateri izvorno polilinijo nadomestimo z regresijsko 

krivuljo, ki poteka skozi ali blizu obstoječih lomnih točk (zelena 

3 4 

linija na primeru spodaj). 10 

5 

C. Glajenje C. Spline z zagozditvijo smoothing 

1 

6 

9 

B. Simple smoothing 

7 

8 


146 


3.2.6 Centroid in središča 

• Središča in centroid imajo v strokovni literaturi različen 

pomen. 

• Nanašajo se na poligone, linije kot tudi skupine točk. 

• Centroid je gravitacijsko središče objekta ali skupine 

objektov („nominalno središče“). 

• Poleg centroida poznamo še druge središčne mere v 

GIS podatkovnih modelih: 

• povprečno (uteženo) središče, 

• središče očrtanega pravokotnika, 

• središče včrtanega kroga, 

• središče očrtanega kroga, 

• medianino središče, 

• itd. 

147 

49



3.2.6 Centroid in središča / 2 

3.2.6.1 Centroid in središča poligona 

• Vloga središč poligona je različna: 

• točke, s katerimi upravljamo poligon (izbiramo, premikamo in 

sučemo), 

• označujejo položaj oznak poligona, 

• v analitičnih postopkih predstavljajo poligon (npr. pripis vrednosti 

atributa središču), 

• itd. 

centroid 

središče 

občine 

148 



3.2.6.1 Centroid in središča poligona / 2 

• Povprečno središče (M1) oziroma 

povprečno uteženo središče (M1 * ) izračunamo: 

xi yi 

 

M1 

, x, 

y 

n n 

 

 

i i 

wi 

xi 

wi 

yi 

 

i 

i 

M 1 * , 

wi 

wi 

 

i 

i 

kjer so (x i ,y i ) koordinatni pari lomnih točk poligona, w i pa uteži. 

• Standardna razdalja (SDis) oziroma 

standardna utežena razdalja (SDis * ) pa je: 

SD 

is 

 

i 

2 

( xi 

x) 

 

n 

 

i 

( yi 

y) 

n 

SD 

* 

is 

2 

 

149 

wi 

( xi 

i 

 

i 

2 

x) 

 

w 

i 

wi 

( yi 

i 

 

i 

y) 

w 

i 

2 

(10) 

(11) 

(12) 

(13) 




• Centroid poligona (M2) je gravitacijsko središče poligona. 

• Izračunamo ga s pomočjo površine poligona A, po modelu (1), 

ob pogoju y 0 : 

n1 

1 

M 2x 

( 

xi 

1yi 

xi 

yi 

1)( 

xi 

xi 

1) 

6A 

i1 

n1 

1 

M 2 

y 

( 

xi 

1yi 

xi 

yi 

1)( 

yi 

yi 

1) 

6A 

i1 

(14) 

n 1 

1 A ( xi 

1yi 

xi 

yi 

1) 

2 i1 

150 

50





• V primeru, da je poligon trikotnik, kar je pogosto v prostorskih 

analizah, leži gravitacijsko središče v povprečju koordinatnih 

parov oglišč (lomnih točk poligona), oziroma v preseku simetral. 

151 




• Središče očrtanega pravokotnika (M3) 

max( x) 

min( x) 

3 

2 

M x 

max( y) 

min( y) 

3 

2 

M y 

(15) 

152 




Primer: 

• Uporabimo poligon definiran z 

lomnimi točkami A-F. 

• Po formulah (10), (14) in (15) 

izračunamo M1, M2 in M3. 


x yi 

 

M1 

, x 

i n i n 

M 

M 

i , 

y 

n1 

2x ( 

xi 

1yi 

xi 

yi 

1)( 

xi 

xi 

1) / 6A 

i1 

n1 

2 y ( 

xi 

1yi 

xi 

yi 

1)( 

yi 

yi 

1) / 6A 

i1 

max( x) 


M 3 x 

2 

max( y) 


M 3 y 

2 

Povprečno središče: M1=(7,33;6,50) 

Centroid: M2=(6,33;6,72) 

Središče očrtanega pravokotnika: M3=(7,00;6,50) 

153 

51





Popisni okoliši in centroidi 

Kombiniran centroid dveh izbranih poligonov. 

Ta centroid leži v jezeru, kateremu ne pripada 

noben popisni okoliš. Zato ga je potrebno brisati. 


Ta dva centroida pripadata označenima poligonoma; 

v obeh primerih ležita izven izvornega poligona. 

154 




• Središče očrtanega kroga (M4) 

• Središče včrtanega kroga (M5) 

155 


3.2.6.2 

Centroid in središča skupine točk 

• V primeru skupine točk, katerih koordinatne pare zapišema (x i ,y i ), 

izračunamo povprečno uteženo središče (M1) podobno kot pri 

poligonu - glej (10) in (11): 

 

 

 

wi 

xi 

wi 

yi 

 

i 

i 

M 1( 

x0, 

y0) 

, 

 

 

kjer so w i 

wi 

wi 

uteži; na primer: 

i 

i 

• število kriminalnih dejanj na lokaciji, 

• število postelj v bolnišnici, 

• itd. 

• Standardno (uteženo) razdaljo izračunamo po (12) oziroma (13). 

• V primeru, da so vse uteži 1 (w i =1), je povprečno (uteženo) središče 

enako centroidu skupine točk (M1=M2). 

• V primeru M1=M2 (povprečno središče in gravitacijsko središče ležita v isti 

točki) je to središče, ki minimizira vsoto (uteženih) kvadratov razdalj do vseh 

obravnavanih točk v skupini. 

• To pa nikakor ni središče, ki bi minimiziralo vsoto (uteženih) razdalj do vseh 

obravnavanih točk v skupini (glej medianino središče v nadaljevanju)! 

156 



52




3.2.6.2 Centroid in središča skupine točk / 2 

• Medianino središče (M6) je središče, ki minimizira vsoto 

(uteženih) razdalj do vseh obravnavanih točk v skupini. 

• Razumemo ga tudi kot središče minimalnega skupnega 

potovanja (ang. Minimum Aggregate Travel - MAT) 

M6 

MAT 

• Iterativna formula za izračun M6 (MAT): 

n 

n 

M 6x 

k 

 

1 

wi 

xi 

/ di, k wi 

/ di, 

k 

i1 

i1 

n 

n 

(16) 

6y 

 

1 

wi 

yi 

/ di, k wi 

/ di, 

k 

M 

k 

i1 

i1 

kjer je d i,k razdalja med i-to točko in k-to ocenjeno optimalno 

lokacijo (pomembna izbira razdalje, da se izognemo /0!). 

Običajno začnemo z izračunom M1(x 0 ,y 0 ) in nadaljujemo z 

k=0,1... 157 




Primer: 

• Uporabimo isto skupino točk (A-F), ki 

definirajo poligon v poglavju 3.2.5.1. 

• Po formulah (11), (15) in (16) 

izračunamo M1=M2, M3 in M6. 

• V primeru, da uteži w i niso enake (utež 

v točki B je 3, drugje 1), se položaj M1 

in M6 spremeni, M3 pa ostane 

nespremenjen. 

• Sprememba točke B v B‘ ne vpliva na 

M6. 


 

 

wi 

xi 

wi 

y 

max( x) 


i M 3 

i 

i 

M 1 * x 

, 

wi 

w 

2 i 

max( y) 


Povprečno središče/Centroid: M1=M2=(7,33;6,50) 

i 

i M 3 y 

2 

Središče min. skupnega potovanja: M6=(8,58;5,61) 

n 

n 

M 6 

Središče očrtanega pravokotnika: M3=(7,00;6,50) 

x k 1 

wi 

xi 

/ di, k wi 

/ di, 

k 

i1 

i1 

n 

n 

6y 

1 

wi 

yi 

/ di, k wi 

/ di, 

k 

M 

k 

i1 

i1 

158 




• Vse uteži, ki so 0 oziroma manjkajo v GIS bazi podatkov, bodo 

vplivale na odstranitev točke iz analize. 

• To povzroči t.i. inherentne napake zaradi nepravih/nepopolnih 

podatkov. 

• Kolokacijo objektov lahko obravnavamo kot uteževanje objekta s 

frekvenco (uteži so cele vrednosti). 

• Zajem podatkov o več objektih na isti (običajno nominalno podani) 

lokaciji je pogost primer v GIS aplikacijah (npr. registracija neke 

lastnosti na naslovu). 

• Pri obravnavi razdalj v izračunih središč najpogosteje uporabimo 

evklidsko razdaljo (d E ). Uporabimo pa lahko še druge razdalje, 

npr. Manhatten razdaljo d x x ) ( y ). 

M 

( 

i1 

1 i1 

y1 

159 

53




3.2.6.3 Centroid in središča linij 

• Središče linije (segmenta, polilinije ali krivulje) leži na 

sredini povezave med začetno in končno točko linije. 

• V tej točki je povprečno središče enako gravitacijskemu središču 

(M1=M2). 

• Za izračun središča za skupino linij ni enolične rešitve. 

• Skupno točko skupine linij lahko izberemo iz središč (povprečnega, 

medianinega, centroida, očrtanega pravokotnika ...). 

160 


3.2.7 Točka (objekt) v poligonu 

• Operacija opredelitve točke v poligonu (ang. point in 

polygon – PIP) je ena temeljnih prostorskih operacij v 

GIS. 

• Sorodne operacije, ki jih izvajamo redkeje, so operacije opredelitve 

linij ali poligonov v poligonih. 

• Uporabniki najprej opredelimo položaj točke glede na 

najmanjši očrtan pravokotnik. 

• Metodi opredelitve točke v poligonu: 

• algoritem pol-linije (ang. semi-line algorithm), 

• algoritem števila navijanja (ang. winding number algorithm). 

161 


3.2.7 Točka (objekt) v poligonu / 2 

• Algoritem pol-linije (ang. semi-line algorithm) je klasičen 

algoritem za določitev položaja točke glede na poligon; 

postopek: 

1. iz točke izrišemo linijo navpično (ali vodoravno v eno smer; npr. v desno), 

2. štejemo kolikokrat linija preseka mejo poligona, 

3. če je število presekov linije z mejo poligona liho število, 

potem točka leži v poligonu. 

• Algoritem je uporaben tudi za konkavne poligone 

kot tudi za poligone z luknjo(ami). 

• Posebni primeri in rešitev: 

a) točka leži na meji poligona 

b) točka leži v lomni točki poligona 

• ad a) točko pripišemo poligonu, ki ga 

izberemo prvega naključnega; ali pa 

dodelimo točki utež 0,5 za vsak poligon; 

• ad b) točki dodelimo utež 1/n, kjer je n število poligonov, ki se stikajo v 

lomni točki. 

162 


54



3.2.7 Točka (objekt) v poligonu / 3 

• Algoritem števila navijanja (ang. winding number method) 

je procesno bolj zahtevna metoda od metode pol-linije 

(temelji na trigonometričnih operacijah); postopek: 

1. točko povežemo z vsako lomno točko poligona v obratni smeri urnega 

kazalca, 

2. če je vsota kotov med točko in lomnimi točkami poligona enaka 0, potem 

točka ne leži v poligonu (sicer leži v poligonu ali na meji poligona). 

Matematično: 

• Predpostavimo n lomnih točk poligona vi 

v1 , v2, 

v3,... 

vn 

v0 

ter enotske vektorje iz točke p do vsake lomne točke. 

• Kot v točki p med vektorjema v i in v i+1 označimo z i . 

• Število navijanja (ang. winding number – wn) izračunamo: 

n 

n 

oziroma 1 

 

1 

pv 

 

i 

pv 

i1 

1 

wn i 

wn cos 

(17) 

i0 

i0 pv 

i 

pv 

i1 

 

• Če je wn 0, potem točka leži izven poligona. 

163 


3.2.8 Razstavljanje poligona 

• Poligone razstavljamo v manjše dele na več načinov ter za 

razične namene. 

• Poligone lahko preprosto režemo (z linijami ali drugimi 

poligoni) – (običajno) operacija CLIP v orodjih GIS. 

• Kompleksne poligone z zavitimi mejami lahko razstavimo v 

stikajoče se konveksne poligone. 

• Poligone razstavljamo tudi v trikotnike (triangulacija): 

• Po metodi diagonalne triangulacij razstavimo enostaven poligon z n lomnimi 

točkami v n-2 trikotnika. 

• Če dovolimo m notranjih vozlišč (Steinerjeve točke), potem dobimo n+2m-2 

trikotnike. 

• Poligone razstavljamo tudi po principu skeletizacije 

poligonov. 

164 


3.2.8 Razstavljanje poligona / 2 

• Skeletizacija poligona po metodi transformacije srednjih osi 

(ang. medial axis transform): 

1. tvorimo pasove naraščajoče razdalje v konstantnem koraku od 

zunanjih meja poligona, 

2. postopek tvorjenja pasov iz segmentov meje poligona se zaključi v 

vmesni in/ali srednji točki, 

3. ko povežemo vse vmesne in srednjo točko 

z lomnimi točkami poligona, dobimo 

skelet poligona imenovan 

tudi srednje osi poligona. 

• Srednjo točko poligona uporabljamo za 

označevanje poligona. 

• Posebej primerno za kompleksne konkavne poligone, 

ki lahko vsebujejo tudi luknje. 

165 


Skelet poligona je definiran z eno 

vmesno in srednjo točko poligona 

55



3.2.9 Oblika 

• Oblika poligona vpliva na: 

• položaj središča, 

• velikost in položaj včrtanega in očrtanega kroga ter očrtanega 

pravokotnika, 

• razstavljanje poligona na manjše dele (poligone ali trikotnike). 

• Mere za obliko so izvedene za poligone in regije 

rastrskih celic, za skupine točk ter celo za linijske 

objekte. 

• Mere kompleksnosti oblike, ki jih najpogosteje zasledimo 

v GIS orodjih, so izvedene iz relativnega pomena obsega 

na enoto površine. 

• V splošnem: večja kot je vrednost mere oblike, bolj je oblika 

kompleksna. 

166 


3.2.9 Oblika / 2 

• Primeri brezdimenzijskih (globalnih) mer za obliko so: 

• razmerje obseg/površina, 

• razmerje obseg 2 /površina, 

• indeks oblike ali razmerje kompaktnosti, 

• povezana očrtana podoba, 

• mere za točkovne in linijske/mrežne podatkovne nize. 

167 


3.2.9 Oblika / 3 

• Če označimo z A i površino poligona i, z L i obseg poligona i, 

z B i pa površino kroga z obsegom L i , potem so najpogosteje 

uporabljene mere za obliko: 

• Razmerje obseg/površina (ang. Perimeter/Area Ratio – 

P1A) 

Li 

P1Ai 

 

Ai 

(18) 

Ni primerna mera za aplikacije, kjer se vrednosti spreminjajo 

glede na velikost podobe (neupoštevajoč problem ločljivosti). 

Problem je rešljiv z indeksom: 

• Razmerje obseg 2 /površina (ang. Perimeter 2 /Area Ratio – 

P2A) 

2 

Li 

P2Ai 

 

A 

(19) 

i 

168 

56



3.2.9 Oblika / 4 

• Indeks oblike (ang. shape index) ali 

razmerje kompaktnosti (ang. compactness ratio – C) 

C 

i 

Ai 

B 

i 

(20) 

Ta indeks je brez dimenzij (velikost poligona ne vpliva na 

oblikovni indeks C). V primeru, da je analizirana regija krog, 

je C 1 , za vse ostale oblike pa je 0 C 

i 

i 

1 . 

• V nekaterih GIS orodjih je indeks oblike izveden kot 1 C i . 

• Primer uporabe indeksa oblike v GIS orodju: 

• Idrisi – ukaz CRATIO 

169 


3.2.9 Oblika / 5 

Indeks oblike (C) statističnih regij RS 

Ai 

Ci 

 

B 

i 

A je površina poligona obsega L 

B je površina kroga obsega L 

Površina 

Šifra Regija Obseg (km) 

C Rank C 

(km^2) 

9999 krog 155,1760 1916,1933 1 1 

10 NOTRANJSKO-KRAŠKA 231,9365 1456,3364 0,583 2 

9 GORENJSKA 311,6794 2136,5959 0,526 3 

3 KOROŠKA 218,2455 1040,7993 0,524 4 

2 PODRAVSKA 335,7020 2169,6699 0,492 5 

5 ZASAVSKA 120,1975 263,7525 0,479 6 

11 GORIŠKA 376,4208 2324,7096 0,454 7 

8 OSREDNJESLOVENSKA 397,8463 2554,9610 0,450 8 

7 JUGOVZHODNA SLOVENIJA 421,4434 2675,0853 0,435 9 

1 POMURSKA 310,0863 1337,5296 0,418 10 

6 SPODNJEPOSAVSKA 266,9251 885,1419 0,395 11 

12 OBALNO-KRAŠKA 293,4654 1044,4456 0,390 12 

4 SAVINJSKA 456,1682 2383,9824 0,379 13 

170 


3.2.9 Oblika / 6 

• Povezana očrtana podoba (ang. related bounding figure - 

RBF) 

Ai 

RBF 

(21) 

i 

1 

Fi 

kjer je F i površina očrtane podobe. 

Primer konveksnega ovoja 

• Očrtana podoba je lahko: 

• krog, 

• pravokotnik ali 

• konveksen ovoj. 

Ai 

• V vsakem primeru je 0 1 . 

Fi 

• V primeru, da izračunamo mero za obliko kot nov atribut 

v atributni vrednostni datoteki, lahko analiziramo porazdelitev oblike s 

pomočjo običajnih univariatnih statistik (povprečje, mediana, standardni 

odklon, variacijski razmik ...). 

171 

(Vir: Wikipedia 2010) 

57



3.2.9 Oblika / 7 

• Mere za obliko pri skupini točk: 

• mere sorodne RBF (povezani očrtani podobi), kjer generiramo 

okoli skupine točk konveksen ovoj; 

• standardna elipsa odklonov (ang. standard deviational elipse) – 

glej v nadaljevanju. 

• Mere za obliko pri linijah oziroma skupini linij: 

• razmerje dolžine polilinije proti evklidski razdalji med začetno in 

končno točko polilinije. 

• Te vrste mer za obliko linije so močno odvisne od: 

• merila, 

• predstavitve linijskega objekta, 

• generalizacije. 

172 


3.2.10 

Prekrivanje in operacije kombiniranja 

• Prekrivanje je operacija namestitve skupine objektov enega 

podatkovnega sloja (A) preko drugega podatkovnega sloja (B). 

Rezultat, nov podatkovni sloj (C) je kombinacija podatkovnih 

slojev A in B. 

• Podatkovni sloj C je običajno nov podatkovni sloj, lahko pa je 

spremenjen podatkovni sloj B. 

• Podatkovni sloj A lahko vsebuje točke, linije in/ali poligone, 

medtem ko podatkovni sloj B običajno vsebuje poligone. 

• Upoštevamo načelo prisilne sploščenosti. 

• V rastrskem pristopu sta oba podatkovna sloja A in B mrežna 

podatkovna sloja, ki imata enako izhodišče in usmerjenost. 

173 


3.2.10 Prekrivanje in operacije kombiniranja / 2 

Vhodni podatkovni sloj A 

A presek B (operator=AND) 

A vsota B (operator=OR) 

Vhodni podatkovni sloj B 

A ne B (operator=NOT) 

A izključno ali B 

(operator=XOR) 

(Vir: http://grass.itc.it/screenshots/vector.php) 

174 

(A vsota B) minus (A presek B) 

(A mora biti poligon) 

58




• Različna terminologija v GIS orodjih; na primer: 

• ArcGIS – „prekrivanje” (ang. „overlay”), 

• Manifold – „topološko prekrivanje“ (ang. „topological overlay“), 

• za razliko od „prostorskega prekrivanja“ (ang. „spatila overlay“). 

• Pozor: Pravilna uporaba operatorjev oz. funkcij v 

različnih GIS orodjih! 

• Pogosti izrazi: 

• prostorsko spajanje (ang. spatial join) 

• drobci oz. rokovanje z drobci (ang. slivers/sliver handling) 

• obrezovanje (ang. clipping/cookie cutters) 

• ločevanje in združevanje (ang. dissolving and merging) 

• spajanje in združevanje (ang. concatenation and conflation) 

• pretvorba (ang. transformation) 

175 



OGC OpenGIS Simple Features Specification: 

Spatial Analysis 

Method 

Description 

Note: a and b are two geometries (one or more geometric objects or features — points, line objects, polygons, 

surfaces including their boundaries); I(x) is the interior of x; dim(x) is the dimension of x, or maximum dimension if x 

is the result of a relational operation 

Spatial analysis 

Distance 

the shortest distance between any two points in the two geometries as calculated in the spatial 

reference system of this geometry 

Buffer 

Convex Hull 

Intersection 

Union 

Difference 

Symmetric 

difference 

all points whose distance from this geometry is less than or equal to a specified distance value 

the convex hull of this geometry 

the point set intersection of the current geometry with another selected geometry 

the point set union of the current geometry with another selected geometry 

the point set difference of the current geometry with another selected geometry 

the point set symmetric difference of the current geometry with another selected geometry 

(logical XOR) 

(Vir: http://www.opengeospatial.org) 

176 



OGC OpenGIS Simple Features Specification: 

Spatial Relations 

Method 

Description 




Spatial relations 

Equals 

Disjoint 

Intersects 

Touches 

spatially equal to: a=b 

spatial disjoint: equivalent to ab= 

spatially intersects: [ab] is equivalent to [not a disjoint(b)] 

spatially touches: equivalent to [ab and I(a)I(b)= ]; does not apply if a and b are points 

Crosses 

Within 

Contains 

Overlaps 

Relate 

spatially crosses: equivalent to [dim(I(a)I(b))



3.2.11 Območne interpolacije 

• Pri prekrivanju poligonov se pogosto pojavi vprašanje, kako 

kombinirati atribute v novem podatkovnem sloju poligonov. 

• Z območnimi (arealnimi) metodami interpolacije ocenjujemo 

neznane vrednosti med znanimi območnimi pojavi. 

• Večina metod predpostavlja enakomerno porazdelitev obravnavanega 

pojava v poligonu (območju). 

• Najpogostejši metodi območne interpolacije: 

• metoda centroidov območij 

• metoda prekrivanja območij 

178 


3.2.11 Območne interpolacije / 2 

• Metoda centroidov območij: 

• Je ena izmed enostavnejših območnih metod interpolacije. 

• Prednost te metode je predvsem v pretvorbi območnih vektorskih podatkov v 

rastrske podatke, kar omogoči neposredno primerjavo podatkov. 

• Algoritem dodeli obravnavanim območjem centroide, nato pa 

vrednosti atributa rastrskim celicam po principu uteženih razdalj 

centroidov: 

N 

Pi 

wijPj 

(22) 

j1 

 

kjer je P i pričakovana vrednost atributa i-te rastrske celice, P j vrednost 

atributa centroida j, N skupno število centroidov v obravnavanem območju 

(oknu). Uteži w ij izračunamo: 

 

2 

d s 

ij 

w 

ij 

2 

d sij 

 

kjer je d povprečna razdalja med centroidi v obravnavanem območju (oknu), 

s ij je razdalja med celico i in centroidom j, α pa je potenca, ki jo določimo 

izkustveno. 

179 



Metoda centroidov območij – primer 

1. Podelitev uteži atributa centroidu območja. 

2. Določitev (krožnega) okna okoli vsakega 

centroida glede na gostoto ostalih centroidov. 

3. Razporeditev vrednosti atributa območij v 

rastrske celice znotraj krožnega okna po 

formuli (22). 

N 

2 d s ij 

Pi 

wijP 

 

j wij 

 

2 

j1 

d sij 

 

 

180 

60




• Metoda prekrivanja območij: 

• Metoda predpostavlja enakomerno razporeditev vrednosti 

znaka (atributa) znotraj izvornih območij (kar največkrat ni 

realno). 

• Vrednost atributa v ciljnem območju je opredeljena s stopnjo 

prekrivanja izvornega(ih) in cilnjega(nih) območij: 

A 

Vj 

Vi 

 

A 

i_presek_j 

i 

kjer je V j vrednost atributa v ciljnem območju j, V i 

vrednost atributa v izvornem omočju i, A i_presek_j površina 

preseka izvornega in ciljnega območja, A i pa površina 

izvornega območja i. 

(23) 

181 



Metoda prekrivanja območij – primer 1 

• Interpoliramo vrednosti 

atributa iz izvornih območij 

A, B in C v ciljna območja 

D, E in F. 

• Vrednosti atributa v ciljnih 

območjih izračunamo po 

(23): 

Ai_presek_j 

Vj 

Vi 

 

Ai 

izvorna območja 

Atribut Površina 

A 10 6 

B 20 4 

C 40 6 

ciljna območja 

površina preseka 

A B C 

D 4 0 2 

E 2 4 0 

F 0 0 4 

Primer izračuna vrednosti atributa za območje D: 

4 2 

V ( D) 

10 

40 

20,0 

6 6 

182 



Metoda prekrivanja območij – primer 2 

• Po obrezovanju izvornih območij interpolirati vrednosti izvornih v ciljna 

območja – primer populacije v popisnih okoliših. 

• V zgornjem območju se vrednost populacije iz 173 zmanjša na 32 

(proporcionalno glede na površino). 

183 


61



3.2.12 Združevanje poligonov 

• Opredeljevanje in združevanje poligonov je pogosta 

operacija v GIS okolju. 

• Združevanje majhnih poligonov (okolišev) je največkrat 

pogojeno tako s prostorskimi kot tudi atributnimi 

omejitvami. 

• Prostorske omejitve: 

• stikanje (poligoni, ki jih združimo se morajo stikati), 

• kompaktnost (nova regija je pogojena z obliko), 

• ... 

• Atributne omejitve/cilji: 

• kriterij največjih dimenzij (npr. noben okoliš ne sme imeti manj kot 

100 prebivalcev), 

• čim bolj enakomerna razporeditev vrednosti atributa med poligoni 

(npr. novi okoliši/regije naj imajo približno enako število prebivalcev) 

• ... 

184 


3.2.12 Združevanje poligonov / 2 

• Pri združevanju okolišev je pomembno upoštevati: 

• statistični učinek (učinek številčnega sestava) 

• na katerega vplivajo vrednosti atributa v izvornih območjih 

• prostorski učinek (ureditveni učinek) 

• problem spremenljivih enot likov (ang. Modifable Areal Unit Problem – 

MAUP) 

• Na končen rezultat (vrednosti atributa(ov) oziroma 

porazdelitev vrednosti atributa(ov)) vplivata postopek 

združevanja kot tudi vzorec (prostorske) združitve. 

185 



Primer statističnega učinka združevanja okolišev 

Združitev območji A in B dá „nepričakovan“ rezultat. 

Zaposleni Nezaposleni Skupaj (Nezaposleni %) 

Območje A 

Slovenci 8100 900 9000 (10%) 

Tujci 900 100 1000 (10%) 

Skupaj 9000 1000 10.000 (10%) 

Območje B 

Slovenci 4000 1000 5000 (20%) 

Tujci 4000 1000 5000 (20%) 

Skupaj 8000 2000 10.000 (20%) 

A in B 

Slovenci 12.100 1900 14.000 (13,6%) 

Tujci 4900 1100 6000 (18,3%) 

Skupaj 17.000 3000 20.000 (15%) 

(Prirejeno po http://www.opengeospatial.org) 

186 

62




Primer prostorskega učinka združevanja okolišev 

• Obravnavajmo 9 idealnih 

(volilnih) okolišev, v katerih 

so volivci razporejeni kot 

prikazuje slika A (v petih 

volilnih okoliših bi zmagali 

rdeči, v štirih pa modri). 

• Volilne okoliše je mogoče 

preurediti poljubno - dobimo 

drugačne rezultate volitev 

(nekaj primerov je na slikah 

B, C, D, E in F). 


187 


3.2.13 

Klasifikacija in opredeljevanje skupin 

• Klasifikacija je temeljni postopek, v katerem vplivamo 

na pretok informacij iz stvarnega sveta (Harvey 1969). 

• Skupina (ang. cluster): 

• Skupina je skupnost posameznikov v omejenem območju, katere druži isto 

zanimanje, prepričanje, motivacija, dejavnost,... (npr. glasbena skupina). 

• Skupina v živalskem svetu, kot na primer čreda, trop, jata pa predstavlja bolj ali 

manj ločeno množico osebkov določene vrste, ki naseljuje skupno območje. 

• Opredeljevanje skupin: 

• Skupine opredeljujemo po različnih pristopih. 

• Meje skupin opredeljujemo tako, da je povprečna razpršenost 

podatkov po skupinah najmanjša. 

• Ločimo: 

• univariatno klasifikacijo (temelji na eni spremenljivki), 

• večvariatno klasifikacijo (temelji na več spremenljivkah), 

• večpasovno klasifikacijo rastrskih podob. 

• Klasifikacija pomeni razvrščanje v skupine. 

188 


3.2.13 Klasifikacija in opredeljevanje skupin / 2 

3.2.13.1 Univariatna klasifikacija 

• Univariatne klasifikacije v GIS postopkih se 

poslužujemo v primeru: 

• izdelave izolinijskih in tematskih kart, 

• proučevanja nepreoblikovanih in preoblikovanih (transformiranih) 

podatkov, 

• analize (klasifikacije in reklasifikacije) rastrskih podob, 

• prikazovanju polj zveznih spremenljivk v obliki. 

• Delitev glede na rezultat: 

• enolična klasifikacija (trda – ang. hard classification) 

• mehka klasifikacija (ang. soft oz. fuzzy classification) 

• Delitev glede na postopek: 

• nadzorovana klasifikacija (ang. supervised classification) 

• nenadzorovana klasifikacija (ang. unsupervised classification) 

189 

63




3.2.13.1 Univariatna klasifikacija / 2 

Izbrane metode univariatne klasifikacije (1): 

Metoda 

Enolične vrednosti 

(ang. unique values) 

Ročna klasifikacija 

(ang. manual 

classification) 

Enako široki razredi, 

rezine (ang. equal 

interval, slice) 

Uporabniško 

opredeljeni razredi 

(ang. defined interval) 

Eksponentni razredi 

(ang. exponential interval) 

Kvantili 

(ang. equal count 

or quantile) 

Opis/izvedba 

Vsako vrednost obravnavamo posebej ter jo kartiramo kot posamezno barvo. 

Definiramo meje razredov kot seznam, ali najmanjšo vrednost ter interval, ali najmanjšo 

in največjo vrednost ter število intervalov. 

Atributne vrednosti razvrstimo v n enako širokih (širina=variacijski_razmik/n) razredov. Pri 

rastrskih kartah takšne skupine pogosto imenujemo rezine (aritmetično določene meje 

razredov). 

Različica ročne klasifikacije ter klasifikacije enakih intervalov, kjer uporabnik definira 

posamezni razred. 

Meje razredov so opredeljene tako, da število opazovanj po posameznih razredih narašča 

eksponentno. 

Meje razredov so opredeljene tako, da je v vsakem razredu (približno) enako število 

opazovanj. V primeru, da je v vsakem razredu (približno) 25% opazovanj, potem 

klasifikacijo imenujemo kvartilna klasifikacija. 

Enaki odstotki 

(ang. percentile) 

Klasifikacija enakih odstotkov je različica klasifikacije s kvantili, kjer je v posameznem 

razredu (skupini) približno enak odstotek opazovanj. Primer: v programskem orodju GeoDa 

je metoda enakih odstotkov izvedena v kartiranju 6 razredov: 1%, 1% do





Primer klasifikacije enakih intervalov 

193 




Primer klasifikacije definiranih intervalov 

194 




Primer klasifikacije geometričnih intervalov 

195 

65





Primer klasifikacije s kvantili 

196 




Primer klasifikacije naravnih meja 

197 




Primer klasifikacije „standardni odklon“ 

198 

66





Jenksova metoda naravnih meja 

Algoritem opredelitve Jenks-ovih naravnih meja 

Korak 1: Uporabnik izbere atribut x, katerega vrednosti bi rad klasificiral, ter število razredov k. 

Korak 2: Naključno se generira k-1 vrednost v intervalu variacijskega razmika opazovanj 

[min{x},maks{x}]. Te vrednosti so začetne vrednosti za k razredov. 

Korak 3: Za vsak razred se izračuna povprečje ter varianca razreda. Povprečna varianca razredov 

(PVR) se izračuna po metodi uteženega povprečja. 

Korak 4: S spreminjanjem meja razredov se posamezne vrednosti v vsakem razredu nato 

sistematično dodelijo sosednjemu razredu. Na ta način se preveri, ali je mogoče PVR zmanjšati. To 

je iterativen postopek, ki se konča, ko je vrednost povprečne variance razredov manjša od izbrane 

(določene) vrednosti. Metoda ne omogoča izvedbo prave optimizacije. Cel postopek se lahko 

opcijsko ponavlja od koraka 1 do primerjave PVR. 

199 



3.2.13.2 Večvariatna klasifikacija 

• Ključni koraki večvariatne klasifikacije so: 

• kvantitativna analiza povezanosti atributov ali objektov (npr. 

faktorska analiza), 

• transformacija ali zmanjšanje korelacije v geometrično strukturo z 

znanimi lastnostmi (običajno Evklidskimi lastnostmi), 

• opredeljevanje ter identifikacija skupin oziroma klastrov objektov 

ali atributov na osnovi razdalj merjenih v transformiranem 

prostoru, 

• izboljšanje pravil za klasifikacijo obravnavanega pojava v razrede. 

• Pomembna je tudi analiza po večvariatni klasifikaciji, s 

katero ocenimo kvaliteto klasifikacije – analiza 

robustnosti: 

• Običajno izvedemo več mehkih klasifikacij ter primerjamo 

rezultate. 

200 



3.2.13.2 Večvariatna klasifikacija / 2 

• Vrste večvariatne klasifikacije: 

• nehierarhične metode – metode, ki temeljijo na zaporednem 

združevanju (zlivanju) dveh ali več skupin v novo skupino 

(najpogostejše tiste, ki združijo po dve skupini); 

• hierarhične metode – v naprej podamo število skupin 

razvrstitev; večina metod izboljšuje neko začetno razvrstitev; so 

le lokalno optimalne; 

• večkriterijsko razvrščanje – optimizacija po več kriterijih; ker 

se optimalne razporeditve po posameznem kriteriju razlikujejo 

med seboj, je potrebno zadostiti več kriterijem. 

201 

 

Več o metodah večvariatnega 

opredeljevanja klastrov 

v (Ferligoj 1989). 

67





Izbrane nenadzorovane metode večvariatnega opredeljevanja klastrov: 

Metoda 

Simple oneclass 

clustering 

K-means 

Fuzzy c-means 

(FCM) 

Minimum 

distribution 

angle 

ISODATA/ 

ISOCluster 

(Iterative Self- 

Organising) 

Opis – Nenadzorovana metoda 

A technique that generates up to M clusters by assigning each input cell to the nearest cluster if its 

Euclidean distance is less than a given threshold. If not the cell becomes a new cluster centre. It 

principal merit is speed, but its quality of assignment may not be acceptable 

Partition-based algorithm. K-means clustering attempts to partition a multivariate dataset into K 

distinct (non-overlapping) clusters such that points within a cluster are as close as possible in multidimensional 

space, and as far away as possible from points in other clusters. 

Similar to the K-means procedure but uses weighted distances rather than unweighted distances. 

Weights are computed from prior analysis of sample data for a specified number of classes. These 

cluster centres then define the classes and all cells are assigned a membership weight for each 

cluster. The process then proceeds as for K-means but with distances weighted by the prior assigned 

membership coefficients 

An iterative procedure similar to K-means but instead of computing the distance from points to 

selected centres this method treats cell centres and data points as directed vectors from the origin. 

The angle between the data point and the cluster centre vector provides a measure of similarity of 

attribute mix (ignoring magnitude). This concept is similar to considering mixes of red and blue 

paint to produce purple. It is the proportions that matter rather than the amounts of paint used 

Again, similar to the K-means procedure but at each iteration the various clusters are examined to 

see if they would benefit from being combined or split, based on a number of criteria: (i) 

combination — if two cluster centres are closer than a pre-defined tolerance they are combined and 

a new mean of means calculated as the cluster centre; if the number of members in a cluster is 

below a given level the cluster is discarded and the members re-assigned to the closest cluster; and 

(ii) separation — if the number of members, or the standard deviation, or the average distance from 

the cluster centre exceed pre-defined values than the cluster may be split 

202 





Izbrane nadzorovane metode večvariatnega opredeljevanja klastrov: 

Metoda 

Minimum distance to mean 

Maximum likelihood 

Stepwise linear/Fisher 

Classified tree analysis 

Opis – Nadzorovana metoda 

Essentially the same as Simple one-pass clustering but cluster centres are predetermined 

by analysis of a training dataset. Fast but subject to similar problems as the 

Simple method 

A method that uses statistical analysis (variance and covariance) of a training dataset, 

whose contents are assumed to be Normally distributed. It seeks to determine the 

probability (or likelihood) that a cell should be assigned to a particular cluster, with 

assignment being based on the Maximum Likelihood value computed. 

This is essentially a Discriminant Analysis method, which attempts to compute linear 

functions of the dataset variables that best explain or discriminate between values in a 

training dataset. New linear functions are added incrementally, orthogonal to each 

other, and then these functions are used to assign all data points to the classes. The 

criterion function minimised in such methods is usually Mahalanobis distance, or the D 2 

function. 

A univariate hierarchical data splitting procedure, that progressively divides the 

training dataset pixels into two classes based on a splitting rule, and then further 

subdivides these two classes 


203 

3.2.13.3 

Večpasovna klasifikacija rastrskih podob 

Glej Daljinsko zaznavanje (Oštir 2006). 



Izbrani primeri klasifikacije rastrskih podob (1): 

(S – supervised, U – Unsupervised, H - Hard, S – Soft) 

Classifier (Idrisi S/U H/S Description 

function shown in 

CAPS) 

Simple one-pass 

clustering 

Parallelepiped 

(PIPED) 

U H A technique that generates up to P clusters by assigning each input cell to the 

nearest cluster if its Euclidean distance is less than a given threshold. If not 

the cell becomes a new cluster center. It principal merit is speed, but its 

quality of assignment may not be acceptable (see also, PIPED, below) 

S H Based on a set of lower and upper threshold values determined for a 

signature on each band. To be assigned to a particular class, a pixel must 

exhibit values within this range (absolute limits or standard deviation, for 

training dataset) for every band considered. Non-unique assignment with no 

assignment (Class=0) if a pixel lies outside the threshold for all signatures. 

Very fast, but generally not recommended for use because the class ‘boxes’ 

defined by the thresholds typically overlap, meaning that pixel assignment to 

specific classes is arbitrary in these regions 


204 

68




Izbrani primeri klasifikacije rastrskih podob (2) 


Classifier (Idrisi 


CAPS) 

S/U H/S Description 

Minimum distance 

to mean 

(MINDIST) 

Maximum 

likelihood 

(MAXLIKE) 

S H Essentially the same as simple one-pass clustering but cluster centers are predetermined 

by analysis of a training dataset, using the mean values on each band for 

a signature. Pixels are assigned to the class with the mean closest to the value of 

that pixel. Applied when the number of pixels used to define signatures is very small 

or when training sites are not well defined. No assignment (Class=0) is made if a 

pixel lies outside a maximum search distance set by the user for all signatures. Data 

may be raw values or pre-normalized. Use in preference to MAXLIKE if training sites 

are not well defined in terms of classes. Fast, often performing well, but does not 

account for the variability between classes since it uses mean values only ― 

MAXLIKE (below) is generally a preferable approach (see also ISOCLUST) 

S H A method that uses statistical analysis (variance and covariance) of a training 

dataset (class signatures) whose contents are assumed to be Normally distributed 

(prior transformation of the input dataset may therefore be advisable). It seeks to 

determine the probability (or likelihood) that a cell should be assigned to a particular 

cluster, with assignment being based on the computed Maximum Likelihood value. 

MAXLIKE operates in a similar manner to MINDIST but takes account of correlation 

between bands. Pixels are assigned to the most likely class based on a comparison of 

the posterior probability that it belongs to, each of the signatures being considered 

(i.e. Bayesian). Prior probabilities may be set in various ways, including uniform (all 

classes equally likely) or using separate knowledge of some or all classes, e.g. 30% 

is expected to be woodland, 20% grassland, etc, where the labels woodland and 

grassland correspond to specific signatures. Unique assignment ― no assignment 

(Class=0) is made if a pixel lies outside a pre-specified probability level (e.g. 1%, 

5%, i.e. less than x% likelihood of belonging to any of the signature classes). 

Requires number of pixels >10 times number of bands. Limitations (Idrisi): number 

of bands




Izbrani primeri klasifikacije rastrskih podob (5) 


Classifier (Idrisi S/U H/S Description 


CAPS) 

K-means 

(KMEANS) 

Fuzzy c-means 

(FCM) 

Minimum 

distribution 

angle (MDA) 

U H The classical K-means algorithm has been described earlier. Limitations 

(Idrisi): n




3.2.13.5 Negotovost in obdelava podob daljinskega zaznavanja / 2 

• S pomočjo tehnik mehke klasifikacije podob daljinskega 

zaznavanja lahko modeliramo stopnjo negotovostji 

klasifikacije. 

• Negotovost podob lahko definiramo s Shannovim indeksom 

entropije (mera izgube informacij oziroma mera neurejenosti 

sistema). 

• Karta negotovosti prikazuje stopnjo, s katero se posamezni razred 

(od skupno P razredov) v posameznem pikslu razlikuje od ostalih 

razredov. 

• Primer izračuna negotovosti U v Idrisiju: 

m s P 

U 1 

11 

P 

(24) 

kjer je m največja stopnja pripadnosti razredu P v posameznem 

pikslu in s 1 vsota stopnje pripadnosti za ta piksel. 

• V primeru, da P=10 razredov in m=0,30 in s=1, je U=1-0,22=0,78; 

• V primeru m=0,1, pa je U=1 (popolna negotovost); 

• V primeru m=1, pa je U=0 (popolna gotovost). 

211 



3.2.13.5 

Klasifikacija hiperspektralnih podob 

• Hiperspektralne podobe so rastrske skupine podob 

sestavljene iz ogromnega števila podob zajetih v visoko 

spektralni ločljivosti (pasovi od 10s do 100s). 

• Podobne so večpasovnim podobam z ogromnim številom zajetih 

pasov. 

• Uporabne so v geoloških analizah, analizah zemeljskega površja in v 

analizah površja nebesnih teles. 

3D hiperkubična vizualizacija rudnika 

bakra iz Zahodne Nevade, ZDA 


212 


3.2.14 Meje in coniranje 

• Opredelitev in izbira meje je pogosto težaven in 

zapleten postopek v prostorskih analizah. 

• Pogosto iščemo mejo skupine točkovnih objektov iz 

stvarnega sveta: 

• Zanima nas gostota točkovnega pojava (število točkovnih objektov na 

enoto površine). 

• Za izračun gostote, potrebujemo podatek o površini območja A, kjer se 

nahaja skupina točk. 

• Površino območja A lahko izračunamo šele po enolični opredelitvi meje 

območja. 

• Opredelitev meje je pomembna tudi pri modeliranju 

stvarnega sveta s pomočjo linearnih oblik (polilinije in 

poligoni). 

• Obstaja več pristopov modeliranja linearnih oblik (matematični 

pristop, statistični pristop, pristop s fraktali, coniranje). 

213 

71



3.2.14 Meje in coniranje / 2 

3.2.14.1 Konveksne lupine 

• Konveksno lupino skupine 

točk v ravnini lahko določimo 

s pomočjo: 

• očrtanega pravokotnika ali 

• konveksnega poligona 

najmanjše površine, ki še v celoti 

omejuje analizirano skupino točk. 

• Takšen pristop lahko 

uporabimo tudi za skupino 

linijskih ali arealnih 

objektov. 

očrtan pravokotnik 


konveksna lupina (poligon) 

214 



3.2.14.1 Konveksne lupine / 2 

• Primeri aplikacije konveksnih lupin: 

• analiza optimalne lokacije – središče gravitacije skupine točk 

vedno leži v ali na meji območja konveksne lupine teh točk. 

• mrežne analize – zaporedje skupine točk, ki sestavljajo 

konveksno lupino, predstavlja rešitev problema določitve 

najkrajše razdalje med temi točkami. 

• Pozor: Konveksna lupina je pogojena z ekstremnimi 

vrednostmi! 

• Ena ali dve ekstremni vrednosti lahko bistveno spremenita rezultat. 

• Obravnava točk na meji konveksne lupine: 

• V aplikacijah, kjer se želimo izogniti obravnavi točk, ki ležijo na meji, 

izdelamo notranji bufer ter tako obravnavamo samo notranje točke. 

• V drugih primerih pa lahko izdelamo zunanji bufer ali pa povečamo 

površino za določen odstotek. 

215 



3.2.14.2 Nekonveksne lupine 

• Konveksna lupina: 

• Izračun konveksne lupine v ravnini je mogoče izvesti relativno hitro. 

• Konveksna lupina je ena sama in je pogojena z ekstremnimi 

vrednostmi. 

• Nekonveksne lupina: 

• Skupini objektov lahko generiramo več različnih 

nekonveksnih lupin. 

• Zato je potrebno opredeliti kriterij(e); na primer (v ravnini): 

• lupina mora biti poligon, 

• lupina (poligon) mora biti konveksen, kolikor je mogoče, 

• lupina (poligon), ki omejuje skupino točk, mora imeti najmanjšo možno 

površino, 

• itd. 

216 

72




3.2.14.2 Nekonveksne lupine / 2 

• Trije osnovni pristopi generiranja nekonveksnih (lupin) 

poligonov: 

• metoda širjenja 

• metoda krčenja 

• metoda očrtave gostote 

Metoda širjenja (ang. expansion method) 

• Postopek: 

1. okoli vsake točke zarišemo regijo, 

2. regije širimo, dokler ne pokrijejo vseh točk, 

3. zunanji obris regij tvori lupino skupine objektov. 

• Opredelitev regij: 

• s pomočjo Voronoiovih poligonov (glej poglavje 3.2.15.3 v nadaljevanju), 

kjer zunanji obris predstavlja lupino; 

• z generiranjem buferjev povečjive širine okoli točk; 

• itd. 

217 




Metoda krčenja (ang. contraction method) 

• Postopek: 

1. skupini objektov generiramo konveksno lupino, 

2. konveksno lupino krčimo do izbranega kriterija. 

• Krčenje konveksne lupine po metodi kriterija minimalne 

površine: 

1. izračunamo površino konveksnega poligona; 

2. odstranimo eno točko, ki leži na meji konveksnega poligona; 

3. generiramo nov konveksni poligon; 

4. izračunamo površino novega konveksnega poligona; 

5. postopek ponavljamo za vse točke, ki ležijo na meji konveksnega 

poligona; 

6. točko, katere odstranitev najbolj zmanjša površino, odstranimo iz 

nadaljnje analize; 

7. sledi iteracija postopka (1-6) dokler ne ostane izbran delež izvornih 

točk (npr. 90%). 

218 




Nekonveksne lupine - alfa ovoji 

• konkavnost je dovoljena 

>0 

>>0 (narašča pozitivno) 





Nekonveksne lupine - alfa ovoji (2) 

• Obravnavamo krog polmera 1 (ko je majhna, je 

polmer kroga velik). 

• Krog z dovolj velikim radijem prekrije skupino objektov 

(točk) tako, da gre krožnica skozi natanko dve točki. Ti 

dve točki povežemo z ravno linijo. 

• Generiranje vseh mogočih krogov, ki pokrivajo vse 

točke in povezujejo natanko dve točki, omogoči izris 

zunanjega obrisa konveksne lupine. 

• V primeru spreminjanja , generiramo različne lupine. 

• lahko narašča: 

• pozitivno (s krogi prekrivamo vse točke ter povezujemo po dve točki) ali pa 

• negativno (povezujemo po dve točki od zunaj, brez prekrivanja točk). 

220 




Metoda očrtave gostote (ang. density contouring 

method) 

• Postopek: 

1. skupino točk prekrijemo s fino mrežo celic, 

2. izračunamo oziroma ocenimo gostoto točkovnih objektov v posamezni 

celici. 

3. obris konveksne lupine opredelimo s pomočjo praga gostote objektov. 

• Obstaja več metod ocene gostote – najpogosteje izvedena 

metoda v GIS orodjih je metoda gostote jedra (glej 

poglavje 3.3.4.1 v nadaljevanju). 

221 



3.2.14.3 Minimalni očrtani pravokotniki 

• Problem (ne)konveksnih poligonov je v njihovi kompleksni 

obliki. 

• V številnih primerih je zato bolje delati z mejami pravilnih oblik (npr. 

krogi ali pravokotniki). 

• Minimalni očrtani pravokotnik (ang. Minimum 

Bounding Rectangles – MBR) je pravokotnik, ki je 

poravnan s koordinatnim sistemom ter čvrsto objema 

skupino objektov. 

• Analiza vsebovanja MBR-ja v analizirani regiji kot tudi izračun 

središča MBR-ja sta hitro izvedljiva postopka. 

• MBR opredeljuje območje: 

• interpolacije vrednosti, 

• izdelave izolinij, 

• izdelave nepravilne trikotniške mreže (TIN). 

222 

74




3.2.14.3 Minimalni očrtani pravokotniki / 2 

Primer interpolacije znotraj minimalnega 

očrtanega pravokotnika 


223 



3.2.14.4 Mehke meje 

• GIS orodja ponujajo možnost prepoznavanja, izbire in 

analize meja. 

• Problem določitve meje v primeru zvezno spremenljivih 

vrednosti (brez ostrih prelomov)! 

• Na primer: določitev mej na pedoloških kartah (kartah vrste tal). 

• Funkcije mehkih množic (ang. fuzzy membership 

functions) omogočajo opredelitev meje zvezno 

spremenljivim vrednostim. 

• Primeri uporabe funkcij mehkih množic v Idrisiju: 

• sigmodalna ali dvojna s-funkcija, 

• J-funkcija 

• linearna funkcija, 

• uporabniško definirana funkcija. 

224 



3.2.14.4 Mehke meje / 2 

Sigmodalna ali dvojna s-funkcija (ang. sigmoidal 

or (double) s-shaped function) 

• Generiramo jo s pomočjo: 

• linearne in cos 2 () funkcije (v Idrisiju), 

ali pa 

2 

• algebraičnega izraza m 1 

(1 a( 

z c) 

), 

kjer je a parameter, s katerim definiramo širino 

funkcije, z je modelirana lastnost (npr. razmerje gline) 

in c je vrednost tega razmerja v sredinski točki 

funkcije. 

225 

75




3.2.14.4 Mehke meje / 3 

Primer sigmodalne funkcije 


226 



3.2.14.4 Mehke meje / 4 

Primer opredelitve sigmodalne funkcije 

v Idrisiju 

(Vir: Eastman 2006b) 

227 



3.2.14.4 Mehke meje / 5 

J-funkcija (ang. J-shaped function) 

• Je podobna dvojni sigmodalni funkciji, vendar ima 

namesto zaokroženega vrha raven del dolžine x. 

• V primeru, da je x=0, se zrcalni podobi J-funkcije 

stikata v skupni točki (vrhu). 

2 

• Definira jo algebraični izraz m 1 

(1 (( z a) 

( a c) 

), 

kjer je a parameter, s katerim definiramo širino 

funkcije, z je modelirana lastnost (npr. razmerje 

gline) in c je vrednost tega razmerja v sredinski točki 

funkcije. 

228 

76




3.2.14.4 Mehke meje / 6 

Primer opredelitve J-funkcije v Idrisiju 


229 



3.2.14.4 Mehke meje / 7 

Linearna funkcija (ang. linear function) 

• Je podobna J-funkciji, vendar z linearnimi stranmi 

(namesto zaokroženih). 

• Enostavna za izračun. 

• Ima dobro definiran obseg. 

230 



3.2.14.4 Mehke meje / 8 

Primer opredelitve linearne funkcije v Idrisiju 


231 

77




3.2.14.4 Mehke meje / 9 

Uporabniško definirana funkcija 

(ang. user-defined function) 

• Uporabnik sam definira poljubne kontrolne točke 

funkcije. 

Primer opredelitve uporabniško 

definirane funkcije v Idrisiju 


232 



3.2.14.4 Mehke meje / 10 

Koraki mehke klasifikacije podatkov: 

1. S pomočjo uporabe ene izmed funkcij mehke množice 

definiramo pripadnost k (mehki) množici (m ik =0,0-1,0) 

za vsako celico i ter za vsak razred k. 

2. Meje območij generiramo s pomočjo enega od treh 

možnih metod: 

• Wombliranje, 

• indeks zmešnjave, 

• klasifikacijska entropija. 

233 



3.2.14.4 Mehke meje / 11 

Wombliranje (ang. wombling; (Womble 1951)): 

• Je postopek analize gradienta ploskve v neposredni 

soseščini vsake posamezne celice. 

• Običajno v smereh premika trdnjave (obravnava štirih 

sosednjih celic). 

• Meja območja je določena z razmerjem spremembe 

pripadnosti posameznemu razredu v obravnavani celici 

proti največji spremembi pripadnosti na analiziranem 

območju. 

• Wombliranje je primeren postopek opredelitve mehkih 

mej tako za rastrske kot tudi vektorske podatke. 

• Funkcija „Wombling edge-detection“ v GIS orodjih. 

234 

78




3.2.14.4 Mehke meje / 12 

Indeks zmešnjave (ang. confusion index - CI): 

• Metoda CI temelji na razmerju med drugo (M i2 ) in prvo 

največjo vrednostjo pripadnosti (M i1 ) celici i: 

mi 

2 

CI 

(25) 

m 

• CI leži na območju [0,1]. 

i1 

• V primeru, da je razmerje CI v celici i blizu 1, potem je celica i na 

meji dveh razredov. 

235 



3.2.14.4 Mehke meje / 13 

Klasifikacijska entropija (ang. classification 

entropy – CE): 

• Podobna mera kot CI (prav tako na območju [0,1]), 

vendar normalizirana: 

CE 

k 

 

i1 

m ln( m ) 

ij 

ln( k) 

kjer seštevamo vrednosti po vseh k razredih, mero 

pripadnosti pa računamo s primerjanjem i-te celice z 

vsako j-to celico. 

ij 

(26) 

236 



3.2.14.5 Mejne linije in naravne meje 

• Naravne meje kot so obalne linije, reke, obrežja jezer, 

strma pobočja, grajene ovire, geološki vdori in prelomnice 

so pomembni parametri v razumevanju prostorskih 

procesov. 

• V postopkih prostorskih analiz je zato pomembno 

smiselno upoštevanje omenjenih parametrov. 

• Ne zgolj zakrivanje (maskiranje, ang. masking) rezultatov na 

območjih jezer, vdorov itd. 

• V različnih GIS orodjih je uporaba konceptov prelomnih linij in 

naravnih mej različno izvedena - primer ArcGIS 3D Analyst: 

• trde prelomne linije (ang. hard breaks) – dobro definirane strukture 

površja, katerih oblika in dimenzija je fiksna; 

• mehke prelomne linije (ang. soft breaklines) – definirajo mehke, zvezne 

prehode; 

• napake (ang. faults) – bolj kompleksne tvorbe, včasih tudi premaknjene. 

237 

79



3.2.15 Teselacija in triangulacija 

• Teselacija je mozaična razporeditev geometrijskih likov po 

ravnini (tudi po ploskvi) - redkeje razporeditev teles po 

prostoru - tako da se liki stikajo z robovi brez vrzeli, hkrati 

pa se liki tudi ne prekrivajo (podobno kot pri mozaiku). 

Teselacija je tudi pokritje ravnine ali tlakovanje ravnine 

(Wikipedija 2010). 

• V GIS postopkih pogosto delimo analizirano območje v 

manjše dele. 

• Najpogosteje delimo območja (regije) na pravokotnike in 

trikotnike (redkeje v enakostranične trikotnike in 

šesterokotnike). 

• V GIS orodjih najdemo največ pristopov delitve območij v 

nepravilne trikotnike – izdelava nepravilne trikotniške 

mreže. 

238 


3.2.15 Teselacija in triangulacija / 2 

Primeri teselacije 

Pravilna teselacija – skladni pravilni večkotniki 

Nepravilna teselacija – pravilni večkotniki različnih oblik in velikosti 

(rombi, pravokotniki ipd.) 

239 

(Vir: Wikipedija 2010) 



3.2.15.1 Delaunayeva triangulacija 

• Triangulacija je način določanja lege triangulacijske točke s 

pomočjo trikotniških pravil in dveh točk z znanima koordinatama. 

Eden od avtorjev je Carl Friderich Gauss. 

• Skupino točk v ravnini P povežemo z linijami, tako da nepravilni 

trikotniki pokrijejo celotno ravnino brez prekrivanja in brez vrzeli 

ter da zunanji ovoj celotne skupine trikotnikov tvori konveksni 

ovoj. 

• Matematik Delaunay je predlagal 

delitev ravnine v nepravilne trikotnike: 

“ Tri točke tvorijo Delaunayovo 

Triangulacijo če (in samo v tem 

primeru) na krožnici, ki poteka 

skozi te tri točke ne ležijo 

nobene druge točke.” 

240 


80




3.2.15.1 Delaunayeva triangulacija / 2 

• Značilnosti Delaunayeve triangulacije: 

a) Je enolična triangulacija (za vsako skupino točk 

obstaja samo ena Delaunayeva triangulacija); 

b) Vsebuje dosti manj dolgih trikotnikov z ostrimi koti 

kot ostale vrste triangulacije; 

c) Središče kroga lahko leži izven trikotnika, ki ga 

določajo tri točke na krožnici; 

d) Ni edina in najboljša metoda triangulacije (odvisno 

od namena uporabe). 

241 



3.2.15.2 Nepravilna trikotniška mreža 

• Nepravilna trikotniška mreža (ang. triangulated irregular 

network – TIN) je bolj primeren način modeliranja površja od 

kakršnekoli pravilne mreže (npr. rastrske mreže kvadratov). 

• Delaunayeva triangulacija je samo ena izmed TIN. 

• Primer izvedbe TIN: 

1. delitev območja začnemo v pravokotni regiji; 

2. pravokotno regijo lahko delimo z diagonalo SZ-JV, ali pa v smeri JZ-SV (za 

vsak trikotnik lahko izračunamo statistike digitalnega modela višin; na primer 

srednjo vrednost in standardni odklon); 

3. upoštevamo tisto delitev na trikotnika, pri kateri je absoluten standardni 

odklon najmanjši (metoda „minimax“). 

4. nadaljujemo postopek deljenja trikotnikov na manjše nepravilne trikotnike. 

Podrobneje o izvedbi TIN mreže modeliranja površja v poglavju ***. 

242 



3.2.15.2 Nepravilna trikotniška mreža / 2 

Primer nepravilne trikotniške mreže 

upodobitve terena ter prelomne linije 

243 

81




3.2.15.3 Voronoievi/Thiessenovi poligoni 

• Voronoievi/Thiessenovi poligoni, tudi Dirichletove celice. 

• Izračun Thiessenovih poligonov je operacija razmejevanja 

enakovrednih točkovnih pojavov. 

• Za razmejevanje neenakovrednih točkovnih pojavov uporabljamo tehnike 

uteženih poligonov. 

• Voronoievi/Thiessenovi poligoni so neprekinjeni 

mnogokotniki najbližjega (neposrednega) sosedstva okrog danih 

pojavov. 

• Rezultat je odvisen od porazdelitve točk (na robovih obravnavanih 

območij imajo lahko Thiessenovi poligoni zelo ostre vogale). 

• Dualen problem Delaunayevi triangulaciji. 

244 



3.2.15.3 Voronoievi/Thiessenovi poligoni / 2 

• Voronoi: „Dana je množica točk v ravnini {S}, vsaka lokacija v 

Voronoiovem poligonu je bližje enemu članu množice {S} kot 

kateremukoli ostalemu članu“. 

• Postopek delitve regije 

s pomočjo Voronoievih 

poligonov je ena izmed 

možnih delitev regije 

v ravnini (teselacija). 

245 





• Postopek teselacije z Voronoievimi poligoni: 

1. Povežemo vsak par sosednjih točk. 

2. Razmejimo dvodimenzionalni prostor s simetralo na povezavo 

dveh sosednjih točk. 

3. S pomočjo simetral poiščemo območja enakovrednih vplivov 

posameznih točkovnih pojavov. 

točke 

povezave med 

sosednjimi 

točkami 

Voronoievi/Thiessenovi 

poligoni 

246 

82





Primer določitve Voronoievih poligonov 

ArcGIS 

MATLab 


247 




Primer določitve Dirichletovih celic 


248 




Primer določitve Voronoievih regij na mreži 


249 

83


3.3 Poizvedbe, 

izračuni in gostote 

• „Poizvedbe“, „izračuni“ in „gostote“ lahko 

pomenijo v različnih GIS orodjih različno. 

• Njihove funkcije so lahko različno izvedene. 

250 

3.3.1 Prostorske izbire 

in prostorske poizvedbe 

251 

3.3 Poizvedbe, izračuni in gostote / 2 

• Neprostorska poizvedba je poizvedba po atributnih 

podatkih. 

• Prostorska poizvedba največkrat pomeni postopek izbire 

objektov in njihovih podatkov na podlagi prostorskih 

kriterijev/omejitev. 

• Na primer, izberi objekte na podlagi lokacije: 

• izberi (SELECT) vse objekte znotraj (WITHIN) nekega radija od dane točke; 

• izberi (SELECT) vse točke, ki ležijo znotraj (WITHIN) poligona; 

• itd. 

• Rastrska GIS orodja praviloma na vsebujejo funkcije prostorske 

poizvedbe (vsebujejo pa funkcije atributne poizvedbe). 

• Med prostorske poizvedbe spadajo tudi operacije: 

• prostorske združitve (ang. spatial join) in 

• prostorske povezave (ang. spatila link). 

(glej tudi OGC “Spatial Relations” v 3.2.10 oziroma na naslednji prosojnici). 


3.3.1 Prostorske izbire in prostorske poizvedbe/ 2 

OGC OpenGIS Simple Features Specification: Spatial Relations 

(iz poglavja 3.2.10 Prekrivanje in operacije kombiniranja) 

Method 

Description 




Spatial relations 

Equals 

spatially equal to: a=b 

Disjoint 

spatial disjoint: equivalent to ab= 

Intersects spatially intersects: [ab] is equivalent to [not a disjoint(b)] 

Touches 

spatially touches: equivalent to [ab and I(a)I(b)= ]; does not apply if a and b are points 

Crosses 

Within 

Contains 

Overlaps 

Relate 

spatially crosses: equivalent to [dim(I(a)I(b))



3.3.2 Enostavni izračuni 

• GIS orodja vsebujejo pripomočke za računanje. 

• Med enostavne izračune spadajo: 

• aritmetične operacije in 

• standardne funkcije, s katerimi obdelujemo atributne podatke 

in podatkovne sloje. 

• Enostavne izračune izvedemo s pomočjo: 

• računal atributov v poljih preglednic; 

• SQL poizvedb (izdelave novih atributnih preglednic); 

• enostavnih operacij rastrskih podatkovnih slojev (enostavne 

operacije algebre karte). 

• Včasih je enostavneje izvesti izračune zunaj GIS orodij v 

elektronskih preglednicah ali sistemih za upravljanje baz 

podatkov. 

253 


3.3.2 Enostavni izračuni / 2 

• Algebra karte je izraz, s katerim označujemo 

operacije kombiniranja dveh ali več rastrskih 

podatkovnih slojev s pomočjo (enostavnih) 

algebraičnih izrazov (Tomlin 1990). 

• Primer: A+2*B+C/100, kjer so A, B in C ujemajoči se 

rastrski podatkovni sloji. 

• Algebro karte lahko izvajamo tudi z neujemajočimi se 

podatkovnimi sloji različne ločljivosti – rezultat je pogojen z 

najslabšo ločljivostjo vhodnih podatkovnih slojev. 

254 



Lokalne operacije 

rastrskih podatkovnih slojev spadajo med enostavne izračune. 

Ujemanje a. Matching mreže grids 

b. Prevzorčenje 

Grid resampling 

A 

A 

B 

B 

C 

C' 

Nov New raster 

Nov New raster 


255 

85




• Enostavne operacije algebre karte so: 

• operacije enega podatkovnega sloja – delimo jih 

glede na to ali obdelujemo posamezne celice, skupine 

mrežnih celic ali pa cel podatkovi sloj: 

• lokalne operacije (ang. cell-by-cell, local operations) 

• središčne operacije (ang. focal operations) ali 

operacije sosedstva (ang. neighborhood operations), 

• conske operacije (ang. zonal operations), 

• globalne operacije (ang. global operations), 

• operacije z več podatkovnimi sloji: 

• npr. algebraični izrazi z več podatkovnimi sloji (C=(A-B)/(A+B)), 

• operacije rastrsko-vektorskega kombiniranja. 

256 



• Operacije algebre karte (širši vidik delitve): 

• ločljivost, orientacija in prevzorčenje; 

• klasifikacija; 

• algebraične in statistične operacije; 

• operacije sosedstva; 

• operacije analize površja in operacije hidroloških analiz; 

• transformacije in interpolacije; 

• filtriranje. 

257 


3.3.3 Razmerja, indeksi, 

normalizacija in standardizacija 

• Če delimo prostorsko ekstenzivno spremenljivko s 

površino območja, ki ga predstavlja, dobimo prostorsko 

intenzivno spremenljivko. 

• Prostorsko ekstenzivne spremenljivke predstavljajo celoten analiziran 

prostor, prostorsko intenzivne pa predstavljajo celoten analiziran prostor 

samo v primeru, da je le-ta homogen. 

• Normalizacija podatkov je postopek, pri katerem delimo 

vrednosti spremenljivke (tudi število opazovanj) z izbrano 

enoto. 

• Primeri: število avtomobilov na gospodinjstvo, število verskih skupin 

na 100.000 prebivalcev, število prebivalcev na hektar, število naselij 

v občini, itd. 

• V GIS postopkih prostorskih analiz: če vrednosti atributa 

normaliziramo s površino območja, se izognemo problemu kartiranja 

atributov po območjih neenakih površin. 

258 

86



3.3.3 Razmerja, indeksi, normalizacija in standardizacija / 2 

Vrste normalizacije podatkov glede na rezultat: 

• povprečja – vrednosti ene spremeljivke delimo z vrednostmi 

druge spremenljivke: 

• primeri: povprečno število otrok na gospodijstvo, povprečno število 

trgovin v občini, povprečno število avtomobilskih nesreč v naselju; 

• odstotki – vrednosti spremenljivke po posameznih objektih 

ali pojavih delimo z (a) največjo vrednostjo ali (b) vsoto vseh 

vrednosti obravnavanih objektov na obravnavanem območju 

(v primeru da štejemo objekte po območjih): 

• primera: odstotek doseženega uspeha na maturi; odstotek otrok po 

naseljih neke občine; 

• gostote – vrednosti spremenljivke delimo s površino 

območja: 

• primera: število prebivalcev na hektar, število stanovanj na kvadratni 

meter. 

259 



• S pomočjo standardizacije zagotovimo možnost 

primerjave podatkov iz dveh ali več različnih virov. 

• Vrste standardizacije: 

• neposredna standardizacija – primerjava posameznih 

vrednosti z vsoto v analizirani regiji: 

• regionalna/nacionalna primerjava - primera: koeficient BDP-ja v regiji 

(glede na BDP v državi), koeficient nezaposlenosti v občini (glede na 

nezaposlenost v državi/regiji) 

• posredna standardizacija – izračun pričakovanih vrednosti 

analiziranega atributa po posameznih okoliših glede na 

vrednosti na regionalni/nacionalni ravni ter primerjava teh 

(pričakovanih vrednosti) z dejanskimi. 

• statistična standardizacija – vključuje z-transformacijo 

ter standardizacijo na intervalu. 

260 



Statistična standardizacija: 

• z-transformacija: 

xi 

x 

zi 

 

(27) 

 

x 

kjer je x i vrednost opazovane spremenljivke (atributa), 

x srednja vrednost spremeljivke, x pa standardni odklon 

spremeljivke; 

• standardizacija na intervalu: 

xi 

min( xi 

) 

ri 

 

(28) 

max( xi 

) min( xi 

) 

kjer je x i vrednost opazovane spremenljivke (atributa), 

min( x i 

) najmanjša vrednost spremeljivke, max( x i 

) pa 

največja vrednost spremeljivke. 

261 

87




Problemi pri izračunu razmerij: 

• deljenje z 0 – nekatere vrednosti atributov so lahko tudi 0; 

• manjkajoči podatki – deljenje z vrednostmi, ki jih ni (?!); 

• normalizacija že normaliziranih podatkov nima pomena 

(na primer: normalizacija odstotkov); 

• neprimerljivost varianc – podatke z zelo različnimi 

variancami ne moremo primerjati: 

• Primer: v obdobju enega leta je v naselju A z 100.000 prebivalci umrlo za 

rakom 10 prebivalcev (normalizirana stopnja je 0,1 na 1000 prebivalcev), 

v naselju B, ki ima samo 1000 prebivalcev, pa sta za rakom umrla 2 

prebivalca (normalizirana stopnja je 2 na 1000 prebivalcev); 

• izbira ustreznega delitelja – rezultat normalizacije mora 

biti smiseln. 

262 



Primer normalizacije v ArcGIS-u 

263 



Indeksi 

• V postopkih normalizacije (standardizacije) računamo 

enostavna razmerja vrednosti. 

• Indeksi so lahko tudi zapletene kombinacije vrednosti 

različnih atributov enega ali več nizov podatkov 

(objektov). 

• Takšni indeksi so lahko učinkovito orodje pri prostorskem 

planiranju in načrtovanju: 

• Primeri: indeks izrabe tal, indeks razvojne ogroženosti regije, indeks 

gravitacije, indeks koncentracije, indeks potencialne dostopnosti ... 

264 

88




Indeks potencialne multimodalne dostopnosti v 

državah EU na NUTS3 ravni leta 2006 

A 

j 

 

j 

Pi 

d( 

t) 

 

ij 

265 


3.3.4 Gostota 

• Vektorski podatki 

• Normalizacija frekvenčnih podatkov (štetih podatkov) s 

površino objekta, dá gostoto pojava v območju objekta. 

• Rastrski podatki 

• Rezultat pretvorbe vektorskih v rastrske podatke lahko 

rezultira v gostoti pojava - štetje objektov v eni rastrski celici 

dá gostoto pojava na enoto površine pogojene z ločljivostjo 

rastrske obravnave. 

• Vrste gostot: 

• gostote točkovnih objektov, 

• jedrne gostote mrež, 

• linijske gostote in gostote presečišč. 

266 


3.3.4 Gostota / 2 

3.3.4.1 Gostota točkovnih objektov 

• Gostoto točkovnih objektov računamo kot razmerje 

števila objektov na površino (n/A). 

• Zasedenost površine lahko izrazimo kot razmerje 

površine proti številu objektov (A/n). 

• Gostota točkovnih objektov je močno pogojena z: 

• izbiro mej okolišev (območij) oziroma z opredelitvijo površine, 

• izbiro mej obravnavanega območja (območja analize). 

• Večina metod izračuna gostote je razvitih iz univariatne 

statistike: 

• Čeprav obstajajo tudi bi- in multivariatne metode izračuna gostote. 

267 

89



3.3.4 Gostota / 3 

3.3.4.1 Gostota točkovnih objektov / 2 

3.3.4.2 Metoda jedra 

• Obravnavajmo 5 dogodkov vzdolž linijskega objekta (dolžine 20 enot) 

označenih z „x“ na lokacijah 7, 8, 9, 12 in 14. 

• V primeru enakomerne porazdelitve izračunamo gostoto dogodkov 

5/20=0,25 (sive celice). 

• V primeru, da razdelimo linijski objekt v dve polovici (10 enot modrih in 

10 enot oranžnih celic), je gostota točk v prvi polovici (modre celice) 

3/10=0,3, v drugi polovici (oranžne celice) pa 2/10=0,2. 

• Ni enoznačne metode izračuna gostote točkovnih pojavov na linijskem 

objektu – metoda je odvisna od aplikacije. 

enakomerno 

50:50 

268 


3.3.4 Gostota / 4 


Gostota točkovnih objektov - Metoda jedra (2) 

• Problemi na linijskih segmentih enakomerno izračunane 

gostote: 

• dolžina linije pomembno vpliva na gostoto točk – iščemo metodo, ki 

bo vsaj delno premostila problem dolžine linije; 

• v primeru delitve polilinije na diskretne dele, so takšni tudi rezultati 

gostote: na mejah delitve polilinije v sestavne linijske segmente 

prihaja do nenadnih sprememb vrednosti – iščemo metodo, ki reši 

problem diskretnih vrednosti gostote; 

• zaradi delitve polilinije na manjše segmente, se lahko pojavijo 

segmenti, kjer je gostota točk enaka 0 – iščemo metodo, ki reši 

problem segmentov z gostoto 0. 

269 


3.3.4 Gostota / 5 



• Rešitev: 

Obravnavajmo razpršenost izvornih točk po intervalih izbrane širine d. 

V tem primeru je gostota posamezne točke v obravnavanem intervalu 

1/d. Če seštejemo vse (razpršene) gostote posameznih točk 

prekrivajočih se intervalov, dobimo vsoto enakomerne razpršitve 

gostote točk. Le-ta definira porazdelitev gostote točkovnih objektov na 

liniji. 

• Problemi: 

• na robovih linijskih objektov še vedno nimamo vrednosti gostote pojava; 

• vrednosti gostote so še vedno nezvezno spremenljive vrednosti; 

• vrednosti so enakomerno razpršene okoli izvornih točk (smiselno bi jih bilo 

utežiti glede na središče intervala). 

• Rešitev: 

Gladko funkcijo gostote točkovnih objektov na (celotni) poliliniji dobimo 

z uporabo funkcije jedra. 

270 

90



3.3.4 Gostota / 6 



Točkovni podatki 

Enostavno linearno (enakomerno) glajenje jedra 

enakomerno 

50:50 

jedro 

vsota 

histogram 

vsote 

271 


3.3.4 Gostota / 7 



• Funkcija jedra, s katero zvezno „razpršimo“ gostoto točk na 

poliliniji, je lahko različna: 

• funkcija normalne porazdelitve, 

• eksponentna funkcija, 

• kvadratna funkcija, 

• linearna funkcija, 

• itd. 

odvisno od narave problema oziroma izkušenj operaterja. 

• Rezultat imenujemo tudi „gostota verjetnosti“. 

• V našem primeru „gostota verjetnosti pojava točkovnega objekta na liniji“. 

• V primeru, da problem razširimo v 2D, pa rezultat 

poimenujemo „ploskev gostote verjetnosti“. 

272 


3.3.4 Gostota / 8 



Primeri uporabe različnih funkcij jedra za razpršitev gostote točkovnih 

objektov na poliliniji: 

funkcija normalne porazdelitve 

primeri ostalih funkcij porazdelitve 

273 


91



3.3.4 Gostota / 9 



• Funkcija jedra – pri odločitvi o izbiri funkcije jedra je 

pomembna odločitev glede: 

• oblike funkcije: 

• končna 

• neskončna 

• širina pasu (intervala) – je ključen kriterij pri izvedbi jedrne 

funkcije: 

• stalna (fiksna) širina 

• prilagodljiva (spremenljiva) širina 

• ločljivosti rastra 

• ki pomembno vpliva na gostoto pojava 

• vrsta rezultata: 

• relativna gostota – število točkovnih objektov na enoto površine 

(na primer: število dogodkov na hektar); 

• absolutna gostota – število dogodkov v rastrski celici (brez 

prilagoditve velikosti rastrske celice); 

• verjetnost – absolutno gostoto delimo s skupnim številom dogodkov. 

274 


3.3.4 Gostota / 10 



• V primeru, da problem razširimo v 2D, rezultat poimenujemo 

ploskev gostote verjetnosti. 

• Ploskev gostote verjetnosti v 2D dobimo tako, da sučemo funkcijo 

jedra okoli vsake točke. 

primer 2D funkcije gostote jedra 

normalne porazdelitve okoli ene točke 

275 



3.3.4 Gostota / 11 


Primera 2D kartografskih prikazov gostote jedra – 

Primeri pljučnega raka 

algebraična funkcija četrte stopnje 

funkcija normalne porazdelitve 


276 

92



3.3.4 Gostota / 12 


Primer 3D kartografskega prikaza gostote jedra – 

Primeri pljučnega raka 


277 


3.3.4 Gostota / 13 



• Postopek 2D pristopa ocene jedrne gostote: 

1. izbira simetrične funkcije; 

2. opredelitev ločljivosti rastrskega rezultata (ali obsega ter števila 

stolpcev in vrstic); 

3. izbira končne (omejene; npr. kvadrat, krog) ali neomejene funkcije 

(npr. normalne); 

4. sučemo 1D funkcijo okoli vsake točke 2D funkcija; beležimo 

razpršenost gostote pojava; 

5. seštejemo podatek o razpršenosti gostote pojava; rezultat 

normaliziramo; 

6. kartiramo rezultat v rastrski podobi. 

278 


3.3.4 Gostota / 14 



• Funkcije jedra izvedene v GIS: 

• normalna (ali Gaussova) funkcija, 

• sferična funkcija (ali algebraična funkcija četrte stopnje; ang. 

quartic), 

• negativna eksponentna funkcija, 

• konična funkcija (ali trikotniška funkcija), 

• enakomerna funkcija, 

• Epanechnikova funkcija (parabolična oz. kvadratna funkcija) 

• Primeri aplikacije v postopkih prostorskih analiz v GIS: 

• izračun ploskev gostot/verjetnosti, 

• kontrolne analize, 

• prostorsko-časovne analize, 

• analize odkrivanja vročih točk (ang. hot-spot analysis), 

• mrežne analize. 

279 

93



3.3.4 Gostota / 15 


Pogosto izvedene univariatne funkcije gostote jedra 

v GIS orodjih (1) 

Kernel Formula Comments. 

Note t=d ij/h, h is the bandwidth 

Normal (or Gaussian) 

Unbounded, hence defined for all t. The standard 

kernel in Crimestat; bandwidth h is the standard 

deviation (and may be fixed or adaptive) 

Quartic (spherical) 

Bounded. Approximates the Normal. k is a constant 

(Negative) 

Exponential 

Optionally bounded. A is a constant (e.g. A=3/2) and k 

is a parameter (e.g. k=3). Weights more heavily to the 

central point than other kernels 

Triangular (conic) 

Bounded. Very simple linear decay with distance. 

Uniform (flat) 

Epanechnikov 

(paraboloid/quadratic) 

Bounded. k=a constant. No central weighting so 

function is like a uniform disk placed over each event 

point 

Bounded; optimal smoothing function for some 

statistical applications; used as the smoothing function 

in the Geographical Analysis Machine (GAM/K) and in 

ArcGIS 


280 


3.3.4 Gostota / 16 


Pogosto izvedene univariatne funkcije gostote jedra 

v GIS orodjih (2) 

algebraična funkcija četrte stopnje 

enakomerna (ang. uniform) 

eksponentna (ang. exponential) 

(ang. quartic) 

normalna (ang. normal) 

kvadratna (ang. quadratic) 

konična ali linearna 

(ang. conic, linear) 

281 



3.3.4 Gostota / 17 

3.3.4.3 Gostota v mreži 

• Algoritem izračuna gostoto točkovnih objektov vzdolž 

linijskih objektov na mreži (Okabe in sod. 2009). 

• Ocena gostote točkovnih objektov temelji na: 

• izračunu najkrajše razdalje ter 

• izračunu gostote jedra – po prilagojeni funkciji jedra. 

• Funkcija jedra je prilagojena konusna funkcija, aplicirana 

na mrežo oziroma cestne odseke med vozlišči. 

• Avtorji predlagajo uporabo širine pasu med 100 in 300 m 

– odvisno od narave problema. 

• Več na: 

http://sanet.csis.u-tokyo.ac.jp 

282 

(Vir: http://sanet.csis.u-tokyo.ac.jp) 

94



3.3.4 Gostota / 18 

3.3.4.4 Gostota linij in presečišč 

• Metode izračuna gostote lahko apliciramo tudi za linijske 

objekte ter presečišča linijskih objektov. 

• Nekaj zanimivih statistik: 

 

• frekvenca linij, , (in ne gostota linij) je število linijskih segmentov 

na enoto površine; 

• število linijskih segmentov (ene vrste) na enoto površine 

izračunamo po enačbi 

L 

a 

0 

283 

L e 

(29) 

kjer je r radialna razdalja od številnih središč v mestu, L 0 je gostota 

cest v središču mesta (npr. za London L 0 = 19,5 km/km 2 ), b pa je 

parameter, ki ga prilagodimo vzorčnim podatkom; 

• recipročno vrednost L a , 1/L a , imenujemo konstanta vzdrževanih 

poti, ki je povprečna površina v zvezi z enoto dolžine obravnavanih 

poti; 

r 

b 


3.3.4 Gostota / 19 

3.3.4.3 Gostota linij in presečišč / 2 

• Nekaj zanimivih statistik (nadaljevanje): 

• število presečišč linij na enoto površine; 

• število presečišč linij na enoto dolžine linije imenujemo gostota 

presečišč in jo označimo s k. Dokazati je mogoče, da je za poljubno, 

naključno mrežo ravnih linij gostota presečišč: 

2 

k 

(30) 

kjer je frekvenca linij na enoto površine. 

 

• S pomočjo gostote presečišč k je mogoče izračunati faktor križanja 

K po naslednji enačbi: 

k 

K 

2 

(31) 

 

Za naključen mrežni model velja, da K leži na intervalu K [ 0,1 ] . 

284 


3.3.4 Gostota / 20 

3.3.4.3 Gostota linij in presečišč / 3 

• Uporaba mer gostote linij in presečišč najdemo v številnih 

primerjavah med regijami na področju: 

• analiz prometa in transporta, 

• hidrologije, 

• ekologije, 

• itd. 

285 

(Vir: 

http://www.mtholyoke.edu/courses/rsch 

wart/ind_rev/data/prog_report.html) 

95



3.3.4 Gostota / 21 

3.3.4.5 Kartogrami 

• Kartogram je karta, na kateri primerjamo absolutne in relativne 

vrednosti atributov, njihove indekse, koeficiente in gostote. 

• Geometrija prostora na kartogramu je lahko popačena – 

največkrat zaradi alternativnega predstavljanja informacij. 

• Variacijo podatkov lahko predstavimo z variacijo ter premikanjem 

znakov, ali celo variacijo površine regij. 

• Dougenik in sod. (1985) – pristop popačenja površin poligonov 

(površino obravnavanih območij popačimo glede na relativno velikost 

vrednosti obravnavanega atributa). 

• Dorlingov (1996) pristop gravitacijskega kartograma: 

1. Na centroid regije zarišemo krog, katerega polmer je opredeljen z velikostjo 

obravnavane spremenljivke. 

2. V primeru prekrivanja krogov le-te prestavimo po principu gravitacijskega modela 

(vsak objekt na karti obravnavamo kot objekt v gravitacijskem modelu: med vsemi 

objekti na karti se izračuna „hitrost“ ter „pospešek“ privlaka). 

3. Prekrivajoče kroge premikamo glede na izračunane parametre v gravitacijskem modelu. 

286 


3.3.4 Gostota / 22 

3.3.4.4 Kartogrami / 2 

Primer uporabe algoritma popačenja površin: 

Kartograma populacije v 171-tih občinah v kantonu Zürich, Švica 

Izvorni podatki: Število prebivalcev 

v občinah kantona Zürich, Švica 

– enostaven tematski prikaz 

Kartogram izdelan s pomočjo 

algoritma popačenja površin 

aplikacija 

Dougenikovega 

in sod. (1985) 

algoritma 


287 


3.3.4 Gostota / 23 


Primer uporabe Dorlingovega algoritma: 

Kartograma populacije v 171-tih občinah v kantonu Zürich, Švica 

Izvorni podatki: Število prebivalcev 

v občinah kantona Zürich, Švica 

– kartirano s prekrivajočimi se krogi 

Kartogram izdelan s pomočjo 

Dorligovega algoritma 

aplikacija 

Dorligovega 

algoritma 


288 

96



3.3.4 Gostota / 24 


Primer kartograma svetovne populacije leta 2006 


289 


3.3.4 Gostota / 25 


Primeri alternativnih kartogramov prilagojene 

gostote prebivalcev 

izvorni podatki 

izvorni podatki 

Glastner-Newmanov razpršitven algoritem 

(ArcGIS 9 Cartogram Geoprocessing tool) 

Dorlingov kartogram (GeoDa) 

Nezvezno razbit kartogram (MapViewer) 


290 

3.4 Operacije izračuna razdalj 

• Operacije izračuna razdalj so osnova vsem prostorskim 

analizam v GIS. 

• Razdaljo med dvema točkama i in j lahko računamo kot 

Evklidsko razdaljo (d E ) po (2): 

d d x 

x y 

y 2 

E 

ij 

i 

ali pa kot sferično razdaljo (d s ) po enačbi (5): 

 

ds 

dij 

2Rsin 

j 

1 

• Vendar sta ta dva pristopa izračuna razdalja neprimerna za 

številne prostorske analize v GIS: 

• meritve daljših razdalj (analiza večih območij), 

• meritve razdalj v mreži, 

• meritve učinka spremenljivih stroškov/trenja. 

291 

2 i j 

i 

 

j 

i 

 

j 

kjer A , B 

2 2 

2 

2 

sin A 

sin Bcos 

cos 

i 

j 

 

97


3.4 Operacije izračuna razdalj / 2 

• Razdalja med točkama A in B: 

poševna razdalja 

ukrivljena poševna razdalja 

povprečna višina terena 

ravna razdalja na 

povprečni višini terena 

razdalja na geoidu 

površje zemlje 

razdalja na elipsoidu 

ravna razdalja na elipsoidu 

geoid 

elipsoid 

292 

Geoid je valovita fiktivna gladina morja, tudi pod kontinenti. 


• Razdalja med točkama A in B: 

• V primeru, da točki nista preveč oddaljeni (npr. do 10 km), 

lahko uporabimo visoko natančen laser ter izmerimo 

poševno razdaljo med njima (po potrebi upoštevamo še 

refrakcijo in skupni datum). 

• Izmerimo oziroma izračunamo lahko več razdalj: 

• ravno razdaljo na elipsoidu, 

• razdaljo na geoidu, 

• ravno razdaljo na povprečni višini terena, 

• poševno razdaljo, 

• ukrivljeno poševno razdaljo, 

• ... 

293 


• Za analize v GIS-u v splošnem velja, da lahko računamo 

razdaljo polilinije kot 2D Evklidsko razdaljo segmentov, 

• če je analizirano območje manjše od 20x20 km in 

• če je teren dovolj gladek. 

• Večina GIS orodij omogoča izračun treh različnih 

vrst razdalj: 

a) razdalj izračunanih iz koordinat v ravnini ali na sferi (ki 

jo lahko razumemo kot prvi približek obliki Zemlje); 

b) razdalj v mreži, ki jih dobimo s seštetje razdalj segmentov 

polilinije vzdolž določene poti (najkrajše, najhitrejše ...); 

c) razdalj poliliniji, ki predstavljajo objekte iz stvanega 

sveta (meje, reke ...). 

294 

98



3.4.1 Razdalja, mera, metrika 

• Razdalja je dolžina poti med dvema točkama 

(telesoma). Je numerični opis, kako daleč v prostoru 

(d ij ) so pari teles (i in j). 

• Razdalja je eden osnovnih pojmov v geometriji in se 

pogosto pojavlja v drugih znanostih, vedah in področjih kot 

so: astronomija, geodezija, navigacija idr. 

• Za dolžino poti med dvema točkama, oziroma za razdaljo 

telesa od drugega referenčnega telesa, se pogosto uporablja 

tudi izraz oddaljenost, ki je v tem pomenu sopomenka 

razdalji. 

• Izraza »razdalja od točke A do točke B« in »razdalja med točko B 

in točko A (med točkama A in B)« sta večinoma izmenljiva med 

seboj. 

295 


3.4.1 Razdalja, mera, metrika / 2 

• V matematiki razdaljo med točkama A in B 

označimo |AB| ali d(A,B). 

• Če sta točki v prostoru podani s koordinatami A(x 1 ,y 1 ,z 1 ) 

B(x 2 ,y 2 ,z 2 ), lahko razdaljo med njima izračunamo po formuli: 

AB 

• Za točke v ravnini pa velja: 

AB 

• Za razdaljo veljajo naslednje osnovne lastnosti, ki jih 

imenujemo tudi aksiomi razdalje: 

• |AB| ≥ 0 (razdalja je vedno nenegativna) 

• |AB| = 0, če in samo če je A = B 

• |AB| = |BA| (simetričnost) 

2 

2 

2 

x 

x y 

y ( z z 

2 1 2 1 2 1) 

2 

x 

x y 

2 

2 1 2 

y1 

• |AB| ≤ |AC| + |CB| (trikotniška neenakost - dolžina ene stranice v trikotniku je vedno 

manjša ali enaka od vsote dolžin ostalih dveh stranic) 

• Ti aksiomi so v matematiki osnova za definicijo pojma 

metrika, ki pomeni posplošitev pojma razdalja. 

296 



• Metrika je v matematiki posplošitev pojma razdalje. 

• Metrika podaja oddaljenost med elementi dane množice. 

• Množici, v kateri obstaja metrika, v matematični topologiji 

rečemo metrični prostor. 

• Metrika je preslikava, ki poljubnemu paru elementov i in j 

iz dane množice priredi realno število d ij z naslednjimi 

lastnostmi: 

1. d ij >0 če i j (nenegativnost) 

2. d ij =0 če i=j (kolokacija) 

3. d ij =d ji (simetričnost) 

4. d ij +d jk ≥d ik (trikotniška neenakost) 

297 

99




• Običajna razdalja v evklidski geometriji je metrika. 

• Evklidska geometrija (tudi Evklidova geometrija, zastarelo 

evklidična geometrija, včasih tudi parabolična geometrija) je 

geometrija zasnovana na delu Evklida iz Aleksandrije. 

• Vsa geometrija, ki jo uporabljamo v različnih naravoslovnotehničnih 

vedah, je evklidska. 

• Evklidska geometrija je tako razširjena, da se pridevnik 

evklidska pogosto izpušča: kadar kdo uporabi besedo 

geometrija, praviloma misli na evklidsko geometrijo. 

• Razdaljo v Evklidski geometriji imenujemo Evklidska 

metrika oziroma Evklidska razdalja. 

298 



• Lastnosti realnega števila d ij v geo-prostorskih 

analizah: 

• Objekti niso vedno točke! 

• kako meriti razdaljo med linijami, telesi ...? 

• Trikotniška neenakost ne drži vedno! 

• „razdalja“ iz Dunaja v Pariz plus „razdalja“ iz Pariza v Singapur je 

lahko „manjša“ (cenejša, hitrejša ...) kot „razdalja“ iz Dunaja v 

Singapur; 

• Simetričnost ne drži vedno! 

• optimalna pot v eno smer ni nujno optimalna pot tudi v drugo 

smer (npr. enosmerne ulice); 

• avtobusna proga v eno smer ustavlja na postajah A, B in C, v 

drugo smer pa samo na postajah B in C; 

• kapaciteta prenosa podatkov v eno smer je lahko večja kot v 

drugo. 

299 



3.4.1.1 Terestična razdalja 

• Večina GIS orodij uporablja standardno Evklidsko formulo 

d 2 2 

E dij 

xi 

x j yi 

y (2) za izračun razdalj med koordinatnimi 

j 

pari v ravnini ter za izračun „lokalnih“ razdalj. 

• Za izračun „daljših“ razdalj pa se poslužujemo formule za izračun 

Harvesionove sferične razdalje (5). 

d s 

• Primer: razdalja Boston – Bristol: 

• 5105,6 km - z uporabo Harvesionove 

formule (5) ter polmera zemlje 6371 km; 

• 5110,4 km - elipsoidna razdalja; 

Bristol 

• 5119,7 km – Vincentov algoritem 

izračuna elipsoidne razdalje. 

Boston 


300 

100


3.4.1.2 Evklidska razdalja in 

metrična razdalja L p 



• Evklidska razdalja je najpogostejša razdalja, ki jo računamo v 

GIS. 

• V 3D prostoru računamo razdaljo med točkama a(x 1 ,y 1 ,z 1 ) in 

b(x 2 ,y 2 ,z 2 ): 

2 

2 

2 

x 

x y 

y ( z 

d( a, 

b) 

 

z 

1 2 1 2 1 2) 

(32) 

• Splošna oblika evklidske metrike v n-razsežnem prostoru 

je: 

n 

2 

d( 

a, 

b) 

( 

a i 

b i 

) 

(33) 

i1 

kjer je indeks pri oznakah točk pomeni razsežnost; v primeru 2D imamo 

a=(a 1 ,a 2 ) in b=(b 1 ,b 2 ). 

• V primeru velikega števila točk ter razsežnosti je izračun po formuli (33) 

procesno zelo intenziven postopek (predvsem zaradi kvadratnega korena). 

301 



3.4.1.2 Evklidska razdalja in metrična razdalja L p / 2 

• Normalizirana Evklidska metrika je brez razsežna 

oblika evklidske metrike v n-razsežnem prostoru: 

kjer je 

2 

i 

d( 

a, 

b) 

 

n 

 

i1 

( a i 

b i 

) 

varianca serije točkovnih komponent. 

(34) 

• V primeru, da je varianca serije točkovnih komponent 

(povprečna varianca vrednosti ali atributov v vsaki 

razsežnosti) enaka, potem je normalizirana Evklidska metrika 

enaka Evklidski metriki. 

• Formula (34) se pogosto uporablja v analizah podob 

daljinskega zaznavanja. 

 

2 

i 

2 

302 




L p metrična razdalja: 

• V aplikacijah, v katerih izvajamo meritve razdalj med 

lokacijami v mreži, uporaba Evklidske razdalje v splošnem 

ni primerna. 

• Izračun velikega števila (kratkih) razdalj (v mreži) je 

nepraktičen in neprimeren. 

• V tem primeru izboljšamo formulo za izračun standardne 

Evklidske razdalje na različne načine. 

• Najpogosteje zamenjamo kvadrate ( 2 ) in kvadratne korene 

( 1/2 ) z drugimi vrednostmi – običajno s p in 1/p. 

• p ocenimo iz analizirane mreže. 

• L p metrika v ravnini: 

p 

p 

p 

Lp 

d 

p( a, 

b) 

x1 

x2 

y1 

y2 

(36) 

303 

101





p metričen krog in razlaga p vrednosti 

v metrični razdalji L p 

Metrika L p določa: 

• klasična Evklidska metrika ( p 2 ) 

• Manhattan ali blok razdaljo ( p 1) 

• minimax ali Chebysevijeva metrika ( p ) 


0



3.4.2 Stroškovna razdalja / 3 

3.4.2.1 Akumulirana stroškovna razdalja 

in pot najmanjših stroškov 

• Metode akumuliranih stroškovnih ploskev (ang. 

accumulated cost surfaces – ACS) so v GIS orodjih 

izvedene predvsem za rastrske podatke. 

• Vhodni podatki so posplošeni stroški – polje 

absolutnih ali relativnih stroškovnih mer, kjer so 

stroški pozitivna razmernostna spremenljivka. 

ni podatka 

307 

(Vir: http://www.esri.com) 



3.4.2.1 Akumulirana stroškovna razdalja in pot najmanjših stroškov / 2 

Primer - nadaljevanje: Med točkama A(0,2) in B(4,2) želimo 

zgraditi cesto. Grafična ločljivost je 0,5. 

• Predpostavimo, da stroški pridobitve zemljišča naraščajo od juga 

proti severu (od f(x,y)=0, ko y=0, do f(x,y)=2, ko y=2. 

• V primeru, da zgradimo cesto po tanki krivulji, akumuliramo 

stroške diagonalno od točke A(0,2) do točke C(2,0) ter nato 

diagonalno do točke B(4,2): 2+1,5+1+0,5+0,5+1+1,5+2=10 

enot. Ko pomnožimo 10 enot z velikostjo celice (0,5), dobimo 

stroškovno razdaljo 10*0,5=5 enot. 

• V primeru, da upoštevamo še popravek razdalje po diagonali 

( 2 ), dobimo končno stroškovno 

razdaljo 6,85. 

• To je „krajša“ stroškovna razdalja, 

kot če bi zgradili ravno cesto med 

A in B, katere strošek bi znašal 

8*2*0,5=8. 

strošek 

308 




• Metoda akumuliranih stroškovnih ploskev – 

postopek enostavne različice: 

1. izberi startno točko; 

2. uporabi kraljičin (8-točkovni) premik po korakih; 

3. akumuliraj stroške ter množi akumulirane stroške z razdaljo 

(1 ali 1,414 enot); stroški se običajno delijo 50:50 med 

celicami mreže; 

4. premikaj se v celice z nižjimi akumuliranimi stroški ter beleži 

naslove celic za izdelavo poti najmanjših stroškov. 

• Metoda akumuliranih stroškovnih ploskev – 

postopek splošne različice: 

1. razširi zgornji postopek za analizo v vseh smereh; 

2. v celice zapisuj najmanjše akumulirane stroške vsake poti. 

309 

103





• Natančnost izračuna stroškovne razdalje (tudi 

stroškovno najmanjše razdalje) je pogojena z: 

• ločljivostjo rastrske obravnave, 

• obravnavo premikov po mreži ali po celicah 

• v primeru, da se premikamo po celicah (in ne po mreži), moramo 

deliti stroškovne vrednosti v razmerju 50:50 med celicama 

premika. 

• Bolj natančne rezultate dosežemo z boljšo ločljivostjo 

vhodnih podatkov ter uporabo algoritmov, ki 

računajo premike po središčih celic. 

310 




• Primer - nadaljevanje: Ločljivost rastrskih vhodnih podatkov 

povečamo za faktor 2 (prej 0,5 sedaj je 0,25 enot) ter 

upoštevamo premike po središčih celic. 

• Izhodiščna točka je sedaj A(0,125;1,875). 

• Pri premikih med celicami delimo stroškovne vrednosti v 

razmerju 50:50. 

• Tako znaša povprečna stroškovna razdalja med A in A‘ 

(2+1,75)/2=3,75/2 oziroma prirastek stroškovne razdalje v 

enem koraku 2 0,253,75/ 2 (kjer smo upoštevali diagonalni 

premik, ločljivost rastra ter povprečno stroškovno razdaljo 

premika). 

(a) stroškovna ploskev 

(b) koraki kraljičinega premika 

strošek 

311 




• Vhodni stroškovni raster običajno vsebuje 

normalizirane vrednosti oziroma sestavljene vrednosti, ki 

jih dobimo z enostavnimi algebraičnimi operacijami. 

• Vsebuje lahko tudi relativne stroške premika po celicah – 

takšno rastrsko ploskev običajno imenujemo ploskev trenja 

(ang. friction surfes). 

• Primeri ploskev trenja: 

• naklon terena, 

• cena zemljišča, 

• čas potreben za prehod rastrske celice, 

• itd. 

312 

104





Primer izbire poti po metodi akumulirane 

stroškovne ploskve 

Alternativne poti med krajema A in B 

so izračunane s pomočjo stroškovnih 

ploskev: 

• rabe tal, 

• turističnih znamenitosti, 

• naklonov na analiziranem območju, 

• zaščitenih območij, 

• obstoječin cest in železniških poti. 

Posamezne stroškovne poti so nato 

smiselno kombinirane za potrebe 

opredelitve: 

• turistično najbolj zanimive poti (pot 1), 

• najkrajše poti (pot 2), 

• poti z najmanj nakloni (pot 3). 

Pot 3 

A 

B 

Pot 2 

Pot 1 


313 




• Najbolj izpopolnjeni algoritmi za izračun ploskev 

oddaljenosti so vgrajeni v rastrske GIS-e. 

• Primera uporabe algoritmov izdelave stroškovne ploskve v Idrisiju 

(Eastmann 2006b): 

• „pushbroom“ algoritem oz. algoritem pometanja je primeren za manj 

kompleksne probleme; je hiter; deluje po principu pretvorbe razdalj 

(razloženo v nadaljevanju v 3.4.2.2); 

• „costgrow“ algoritem deluje dosti bolj počasi, vendar upošteva tudi 

kompleksne situacije trenja v prostoru in ovire. 

• GIS orodja vsebujejo algoritme akumuliranih 

stroškovnih ploskev (ang. ACS) za določitev poti: 

• algoritem stopničastega spusta poti (ang. ACS steepest 

descent path) – kjer akumuliramo stroške od cilja nazaj (kot 

bi izdelovali drenažo), aplikacije v hidrologiji; 

• algoritem poti najmanjših stroškov (ang. ACS least cost 

path), kjer akumuliramo stroške iz izvora proti cilju. 

314 




Primer izbire poti stopničastega spusta ter 

poti najmanjših stroškov 

Legenda: 

• sivi celici sta startna (na jugu) in 

ciljna celica (na severu), 

• rumene celice označujejo pot 

izračunano po dveh različnih pristopih. 

Opomba: 

• algoritem stopničastega spusta 

akumulira stroške iz cilja nazaj 

(s premikanje po središčih celic 

ter z upoštevanjem premikov po 

diagonali); pot stopničastega spusta 

znaša 13,726 (primer C) – kar pa ni 

enako stroškovno najkrajši poti, ki je 

12,414 (primer D). 

A. Stroškovna ploskev B. Akumulirana stroškovna ploskev (ASP) 

C. ASP Pot stopničastega spusta D. ASP pot najmanjših stroškov 

315 


105




3.4.2.2 Transformacija razdalje 

• Transformacija razdalje omogoča uporabo izboljšane 

Evklidske razdalje v rastrski mreži. 

• Standardni algoritem vključuje: 

• dvostopenjski pregled celic izbrane velikosti (npr. 3x3, 5x5) 

v dveh smereh (npr. SZJV in JZSV); 

• kombiniranje rezultatov pregleda v raster. 

• Algoritem je preprost in hiter. 

• Omogoča upoštevanje: 

• ovir, 

• gradienta (spremembe količine na enoto razdalje), 

• ukrivljenih omejitev, 

• absolutnega naraščanja in padanja poti 

• itd. 

316 



3.4.2.2 Transformacija razdalje / 2 

• Algoritem pometanja (ang. pushbroom algorith) v Idrisiju 

deluje po principu transformacije razdalje. 

1. Evklidsko razdaljo med izhodiščno točko in katerokoli točko rastrske mreže 

2 2 

izračunamo po enačbi d r c , kjer je r razlika števila vrstic, c pa razlika 

števila stolpcev med obema celicama); 

• Algoritem je zelo učinkovit in precej hiter (razlike vrstic (r) in stolpcev (c) so 

celoštevilčne vrednosti); 

2. Med iskanjem geografskih objektov algoritem opravi štiri prehode vrednosti v 

bazi podatkov, vrstico za vrstico, vendar v različnih smereh: 

• navzdol, levo-desno; 

• navzdol, desno-levo; 

• navzgor, levo-desno; 

• navzgor, desno-levo; 

3. Pri vsakem prehodu algoritem »potiska« znanje o celicah iz že obdelanega 

območja na „neznano“ območje, zato ta postopek imenujemo „pometanje“ 

(angl. push broom). 

• Ko algoritem najde objekt, od katerega bo računal razdalje, dodeli vsem 

nadaljnim celicam v vrstici kvadrate razdalj do objekta v ciljni celici; 

• za vsako naslednjo vrstico algoritem izračuna kvadrate razdalj tako, da 

vrednosti vrstice prišteje rezultat, dobljen v zadnji zadeti vrstici trenutnega 

stolpca; 

• algoritem ponavlja postopek, dokler ne najde naslednjega objekta, pri 

katerem začne šteti znova. 

317 

Primer uporabe algoritma pometanja 

Izračun ploskve stroškovnih razdalj (f) 

z algoritmom pometanja: 

• kvadrirane razdalje so prikazane za 

računanje v smeri: 

a) navzdol, levo-desno 

b) navzdol, desno-levo 

c) navzgor, levo-desno in 

d) navzgor, desno-levo; 

e) najmanjša (stroškovna) 

razdalja med ploskvami 

(a)-(d); 

f) kvadratni koren slike (e) 

oziroma evklidska ploskev 

razdalj. 




a) b) 

c) d) 

e) f) 

318 

106





Primeri uporabe algoritma transformacije 

razdalje 

• pregled celic 5x5 

• brez omejitev, 

• cilj (50,50) 


• enostavna ovira, 

• cilj (2,50) 


• kompleksna ovira, 

• cilj (50,90) 


319 




Primer uporabe algoritma transformacije 

razdalje v mreži 

Legenda: 

• Bela barva označuje vsakoletno 

pot pustnega karnevala v mestu. 

• Naraščajoče barve označujejo 

naraščajočo razdaljo od poti 

karnevala vzdolž mreže ulic. 

• Siva barva označuje masko 

(zgradbe itd.), upoštevano pri 

transformaciji razdalj v GIS. 

320 



3.4.3 Mrežna razdalja 

• Izračun mrežne razdalje poteka v topološko urejeni 

mreži (cest, ulic ...). 

• Natančnost in točnost rezultatov je močno pogojena s topološko 

(pravilno) ureditvijo mreže. 

• Običajno računamo najkrajšo ali najhitrejšo pot med 

objekti z uporabo vgrajenih (geometričnih) atributov 

(dolžina linijskega segmenta polilinije). 

• Poleg vgrajenih (geometričnih) lastnosti mreže pa lahko pri izračunu 

razdalj upoštevamo še eksplicitne atribute (vrsta povezave, uteži, 

dovoljenja za obračanje, ovire itd.). 

• Pogosto izračunavamo mrežno razdaljo v prometnih modelih oz. 

podatkih. 

• Mrežno razdaljo lahko računamo v vektorskem ali 

rastrskem pristopu – toda vektorski pristop da boljše 

(bolj natančne in tudi točne) rezultate . 

321 

107



3.4.3 Mrežna razdalja / 2 

Najkrajša in najhitrejša pot v mreži 

Potujemo iz kraja A preko kraja B 

v kraj C: 

• modra linija označuje najkrajšo pot, 

• zelena linija pa najhitrejšo pot. 

A 

B 

C 


322 


3.4.4 Izdelava baferjev 

• Bafer (ang. buffer) je vmesno območje, 

pas, koridor, območje evklidske 

oddaljenosti stalne širine okoli 

geometričnega objekta (točke, linije 

ali poligona). 

• Analitični baferji v GIS-u so umetne sestavljenke, ki jih v 

stvarnem svetu ne zasledimo pogosto. 

• Tako lahko iščemo površino ali območje nekega vpliva, npr. 

koridorja ob cesti, ki oblikuje razred onesnaženja s hrupom. 

• Primera stvarnega baferja: 

• koridor posekanega gozda ob gozdni cesti namenjen požarni varnosti in 

• primer območja z vrtečim, vodnim pršilecem izpranih tal. 

323 


3.4.4 Izdelava baferjev / 2 

Lastnosti baferjev: 

• lahko so izvedeni glede na točkovne, linijske ali 

poligonske objekte iz stvarnega sveta, kot tudi za mrežne 

celice (samostojne celice, trakove celic ali regije celic); 

• lahko so simetrični (enake oddaljenosti v vse analizirane 

smeri); 

• lahko so asimetrični (primer izdelava baferja pri skeletizaciji 

poligona); 

• lahko so izvedeni različno glede na atribute analiziranih 

objektov (npr. večji baferji za pomembnejše ceste); 

• lahko so izvedeni korakoma, progresivno naraščajoče ali 

padajoče. 

324 

108




Pri oblikovanju baferja v vektorskem GIS-u 

algoritem: 

• najprej določi linije, ki so vzporedne izbranemu objektu in so od 

njega oddaljene za izbrano razdaljo; 

• nato določi presečišča teh vzporednic ter oblikuje vektorsko sliko 

baferja; 

• na koncih prikaza linijskega (ali okoli točkovnega) objekta algoritem 

izriše polkrožnico (ali krožnico); na ta način dobimo krožni zaključek 

baferja. 

• Izdelamo lahko: 

• notranji, zunanji ali simetrični bafer, 

• posebne ali združene baferje. 

vektor 

raster 

325 



Primeri baferjev v vektorskem GIS-u 

notranji bafer 

zunanji bafer 

posebni baferji 

združeni baferji 

326 




• Določitev baferja v rastrskem GIS-u je opredeljena 

z razširitvijo območja okoli celice, traku ali regije 

celic za število celic, ki - glede na ločljivost - 

odgovarja širini baferja. 

• Širina baferja je definirana z mrežno razdaljo, Evklidsko 

razdaljo ali stroškovno razdaljo. 

raster 

vektor 

327 

109




Primer aplikacije baferja v raziskavi majhnih in 

srednje velikih mest v Sloveniji 

328 


3.4.5 Modeli upadanja z razdaljo 

• V postopkih prostorskega modeliranja uporabljamo 

najrazličnejše mere razdalj. 

• Razdalje, ki jih uporabljamo v prostorskih modelih so 

lahko: 

• različne metrike, 

• ali pa posplošene funkcije razdalje. 

• Običajno v posplošenih funkcijah razdalje učinek med 

lokacijami pada z razdaljo. 

• „Upadanje z razdaljo“ je geografski pojem, ki opisuje 

učinek razdalje na prostorsko interakcijo: 

„interakcija med dvema objektoma oziroma 

lokacijama pada z naraščanjem razdalje med njima“. 

329 


3.4.5 Modeli upadanja z razdaljo / 2 

• Vrste modelov upadanja z razdaljo: 

• enostavni inverzni potenčni modeli so 

najpogostejši modeli: 

• interpolacija z inverzno uteženo razdaljo, 

• modeliranje povpraševanja, 

• matrike prostorskih uteži, 

• itd. 

• modeli potovanj oziroma gravitacijski modeli 

obravnavajo porazdelitev potovanj v mreži: 

• brez omejitev, 

• z omejitvami, 

• statistični modeli: 

• modeliranje gostote jedra, 

• geostatistično modeliranje, 

• transportno modeliranje. 

330 

110




• Enostavni inverzni potenčni model - vrednost 

obravnavane spremenljivke z na lokaciji j, z j , izračunamo: 

f ({ zi}) 

z 

j 

, 0 

 

(37) 

d 

kjer je f() funkcija atributa z na lokaciji i, z i , utežena z 

recipročno razdaljo med lokacijama i in j, d ij , zvečana za 

potenco . Parameter ocenimo v postoku modeliranja. 

• Parameter vpliva na učinek zmanjšanja vpliva med 

obravnavanima lokacija z večanjem razdalje med njima: 

• 0 razdalja nima vpliva, 

• 1 razdalja ima linearni vpliv, 

• 1 razdalja ima močan vpliv. 

ij 

331 



• Osnovni gravitacijski model – nagnjenost k potovanju 

med dvema lokacijama i in j, I ij , je opredeljena z razdaljo 

med njima ter izbrano mero velikosti v izvoru (M i ) in 

ponoru (M j ): 

M 

iM 

j 

Iij 

 

 

d 

(38) 

ij 

Podobno kot v (37) tudi tukaj parametra in ocenimo 

v postopku modeliranja. 

332 



• Splošna oblika gravitacijskega modela (modela 

prostorskih interakcij) je: 

T AB O D f d ) 

ij 

i 

j 

i 

j 

( ij 

(39) 

kjer je T ij število potovanj med lokacijama/območjema i in j, 

O i je mera velikosti v lokaciji izvora (npr. skupno število dnevnih 

vozačev iz območja i), D j je mera velikosti v lokaciji ponora 

(npr. skupno število dnevnih vozačev v območje j), f(d ij ) je funkcija 

razdalje oziroma stopnja oddaljenosti med lokacijama i in j, 

A i in B j pa sta faktorja ravnotežja: 

1 

1 

Ai 

 

B 

j 

 

B 

(39b) 

jD 

j 

f ( dij) 

AO 

i i 

f ( dij) 

j 

i 

• Dvojna omejitev modela zagotovi, da je skupno število potovanj iz 

območij izvorov enako skupnemu številu potovanj v območja ponora. 

• Z logaritmiranjem podatkov model pretvorimo v (uteženo) linearno 

vsoto – kar je pogosta oblika gravitacijskega modela. 

333 

111




• Geografsko utežena regresija 

(ang. geographically weighted regression – GWR): 

f ( d) 

e 

f ( d) 

e 

2d 

d 

2 

2h 

, ali 

, ali 

 

2 

d 

f ( d) 

1 

, , ( ) 0 drugje 

2 

d r f d 

h 

kjer je h širina pasu. 

2 

h 

2 

• Majhna širina pasu vpliva na zelo hitro upadanje vpliva z 

razdaljo, medtem ko večja vrednost širine pasu rezultira v 

bolj gladko uteženih spremembah. 

334 



Modela upadnja z razdaljo 

( 10, d=0,1; 0,2; ... ) 

Inverzno upadanje z razdaljo, /d 

Eksponentno upadanje z razdaljo, e -d 

: : 


335 

3.5 Operacije analize smeri 

• Premik objektov oziroma vpliv objektov v prostoru je 

lahko: 

• enakosmeren (izotropičen), 

• neenakosmeren (anizotropičen). 

• Operacije analize smeri so manj znane in uporabljene 

prostorske analize v GIS. 

• Uporabljamo jih za analiziranje smeri 

premikov točkovnih, linijskih in arealnih 

objektov v času, kot tudi za analizo 

smeri na površju. 

• Primeri aplikacij: 

• analiza smeri selitev živalskih vrst, 

• analiza smeri vetra, 

• analiza širjenja požara, 

• analiza premikov geodetskih točk, 

Simulirana smer širjenja požara 

• … 336 

(Vir: http://www.esri.com) 

112


3.5.1 Analize smeri linearnih 

podatkov 

• Linijski objekti v vektorskem GIS podatkovnem modelu so 

običajno usmerjeni (smer je pogojena s smerjo zajema 

podatkov). 

• Podatki o usmerjenosti linijskih objektov (linearni podatki) 

so podani enolično s kotom smeri na intervalu [0°,360°] 

ali [0,2Pi] v radianih. 

• Opredelitev in obdelava linijskih podatkov v GIS je 

zapletena: 

• predstavitev linijskega objekta iz stvarnega sveta je pogojena z 

njegovo kompleksnostjo ter s stopnjo posplošitve (generalizacije), 

• smer linijskega objekta je pogojena s smerjo zajema podatkov, 

• narava krožnih meritev je kompleksna. 

3.5 Operacije analize smeri / 2 

337 


3.5.1 Analize smeri linearnih podatkov / 2 

Narava krožnih meritev: 

• Nujno je ločevati enosmerne od dvosmernih podatkov. 

• Primer: razlikovati med smerjo 90° in 270°, 

• Pravilno računanje razlik smeri! 

• Primer 1: 

razlika smeri 280° in 90° ni 280°-90°=190°, 

temveč je 360°-280°+90°=170°, 

• Primer 2: 

srednja smer treh linij s smerjo 280° (ali -80°), 90° in 90° ni 

(280°+90°+90°)/3=186,7° ali (-80°+90°+90°)/3=16,7°, 

• Primer 3: 

srednja smer dveh smeri 350° in 10° ni (350°+10°)/2=180°. 

• Rešitev: računanje smeri s pomočjo komponent vektorja 

(najpogosteje s smerjo severa in vzhoda). 

338 



Računanje s komponentami vektorja: 

• V postopkih GIS analiz obravnavamo linijski objekt kot vektor 

(daljica, ki ima smer in dolžino). 

• Predpostavimo, da imamo N=i+1 točk, ki opredeljuje 

polilinjo; 

 

• torej imamo niz i smeri od začetne do zadnje točke glede 

na izbrano smer (npr. od severa); 

• za vsako linijo izračunamo dve komponenti vektorja (severno 

in vzhodno): 

Vs 

 

 

cos 

• smer vektorja rezultante je: 

Vs 

r tan 1 

Vv 

i 

i 

Vv 

 

 


i 

(40) 

(41) 

339 

113




Računanje s komponentami vektorja (2): 

• Pravilen izračun razlik smeri je torej: 

• Primer 2 - nadaljevanje: 

srednja smer treh linij s smerjo 280° (ali -80°), 90° in 90° je po 

enačbah (40) in (41) 80,3°, 

• Primer 3 - nadaljevanje: 

srednja smer smeri 350° in 10° pa je 0° (smer severa). 

340 




• V primeru, da ima vseh N komponent vektorja rezultante 

dolžino ene enote, izračunamo dolžino (tudi jakost) vektorja 

rezultante: 

2 2 

r V s 

V v 

(42) 

0 

• V primeru, da je i 

(vse smeri od severa so enake 0), 

potem so vse komponente Vs 

0 ter vse komponente V v 

1 , 

zato r N, kjer r označuje dolžino (jakost) vektorja r. 

• Krožna varianca opazovanih vektorjev leži na intervalu [0,1] 

in je : 

r 

var 1 

N 

(43) 

• Standardni odklon pa je : 

sd 2ln( 

r) 

341 

(44) 




• V primeru, da v analizi smeri upoštevamo tudi dolžine 

vektorjev, v i , potem komponente vektorjev (40) utežimo 

z dolžino: 

V 

 

s 

v i 

cos 

i 

V 

 

v 

v i 


i 

(45) 

342 

114




Primer analize smeri vodnih tokov 

Vektorski podatki vodnih 

tokov (ustrezno zajeti s 

podatki o smeri toka vode); 

Crow Butte regija Diagram smeri končnih točk Diagram smeri segmentov 


343 



Primer diagrama dveh spremenljivk 

• Smer in jakost vetra 

• Vektor rezultante 

hitrost v vozlih 


344 


3.5.2 Analize smeri točkovnih 

podatkov 

• Za točkovne podatke računamo porazdelitev 

opazovanj okoli povprečnega središča. 

• Povprečen odmik točk od središčne lokacije lahko zarišemo 

kot krog ali niz krogov standardne razdalje (podobno kot 

standardni odklon v univariatni analizi). 

• V primeru, da obravnavamo standardne razdalje posebej v x 

in y smeri, lahko zarišemo elipso standardnih razdalj. 

• Osi elipse standardnih razdalj odražata smerne odklone 

opazovanih točk od povrečnega središča. 

345 

115



3.5.2 Analize smeri točkovnih podatkov / 2 

Izračun elipse standardnega odklona: 

• Elipso standardnih odklonov lahko izračunamo s pomočjo 

transformiranih koordinat določenih z minimiziranjem kvadratnih 

odklonov obravnavanih lokacij od transformiranih (zasukanih) osi 

x in y. 

• Kot zasuka y-osi v smeri urnega kazalca, , izračunamo 

 

1 

tan 

 

kjer 

C 

 

 

2 

2 

( x 

 

i 

x) 

( yi 

y) 

C 

 

2( 

x x)( 

y y) 

i i 

2 

2 2 

2 

 

( xi 

x) 

( 

yi 

y) 

4( 

xi 

x)( 

yi 

y) 

 

(46) 

346 



Izračun elipse standardnega odklona (2): 

• Standardna odklona opazovanj x in y izračunamo: 

SD 

x 

 

2 

(x x) cos 

(y 

y) sin 

i 

n 2 

i 

2 

 

(47a) 

SD 

y 

 

2 

(x x) sin 

(y 

y) cos 

• Površina elipse standardnega odklona je: 

i 

347 

n 2 

2 

 

(47b) 

A SD SD x y 

(48) 

• Koeficient ekscentričnosti je: 

SDx 

KE 

SDy 

(49) 

• Dolžina osi elipse pa je 2SD x in 2SD y . (50) 

i 



Izračun elipse standardnega odklona (3): 

• Primer: Slika prikazuje razporeditev cerkva v Romney Marshu na 

severu Anglije. Izračunana in izrisana je elipsa standardnih 

odklonov vključno z veliko in malo polosjo. Koeficient 

ekscentričnosti je KE=1,76, kot zasuka y-osi v smeri urnega 

kazalca pa je 53,2 . 

348 


116



3.5.3 Analize smeri površja 

• V GIS okolju je izvedenih veliko različnih analiz smeri 

površja: 

• analiza in kartiranje usmerjenosti (ang. aspect) terena; 

• usmerjenost terena je definirana kot azimut naklona terena; 

• analiza in modeliranje tokov (ang. flow) in trenja (ang. 

friction) na terenu; 

• v hidroloških in sorodnih študijah; 

• analiza in modeliranje osvetlitve (ang. lighting) terena; 

• kot del analiz osončenosti terena, senčenja terena ter analize vidnosti. 

• Vse zgoraj naštete analize podrobneje obravnavamo 

v poglavju 6, kjer so opisane analize površja oziroma 

geomorfološke analize. 

349 


3.5.3 Analize smeri površja / 2 

Primer kartiranja naklonov terena z 

vektorji; Gora Sv. Helena, ZDA 

Senčeno površje 

Nakloni terena kartirani z 

vektorji 

naklona narašča 

od belih do temno 

modrih in rdečih 

vektorjev 

350 



3.5.3 Analize smeri površja / 3 

Primer kartiranja smeri in jakosti vetra 

Izračun in modeliranje v programu WindNinja; prikaz na Google Zemlji (.KML) 


351 

117


3.6 Rastrske operacije 

in algebra karte 

• Rastrski (tudi mrežni) podatki običajno vsebujejo en 

atribut za vsako rastrsko celico. 

• Rastrske podatke lahko predstavimo kot trojico vrednosti 

(x,y,z), kjer sta x in y koordinati rastrske celice, z pa 

vrednost atributa. 

• Vrednost atributa (z) je lahko: 

• šifra barve (na primer: pri slikovni podobi), 

• binarna vrednost (na primer: rastritran vektorski podatek brez 

dodatnega atributa), 

• klasifikacijska vrednost (na primer: vrsta vegetacije), 

• izmerjena ali izračunana vrednost (na primer: nadmorska višina 

terena, ocenjena povprečna vrednost hrupa, itd.). 

• Zaloga vrednosti v enem rastru je omejena množica 

vrednosti. 

• Največ MxN vrednosti, če je M število vrstic in N število stolpcev. 

352 

3.6 Rastrske operacije in algebra karte / 2 

• Vrednosti (z) v rastru lahko analiziramo s pomočjo 

univariatne statistike; izračunavamo: 

• lokalne (ang. local) statistike 

• izračun aritmetične sredine, minimuma, maksimuma, štejemo in 

seštevamo vrednosti, izračunamo variacijski razmik, poljuben interval, 

varianco ali standardni odklon; 

• središčne (ang. focal oprations) statistike ali statistike 

sosedstva (ang. neighborhood) 

• izračun statistike za izbrano skupino sosednjih celic (npr. 8 sosednjih 

celic); 

• conske (ang. zonal) statistike 

• izračun statistike za izbrano območje (regijo) celic običajno nepravilne 

oblike; 

353 


• Algebra karte je izraz, s katerim označujemo operacije kombiniranja 

dveh ali več rastrskih podatkovnih slojev s pomočjo (enostavnih) 

algebraičnih izrazov (Tomlin 1990). 

• Koncept algebre karte je bil razširjen na več načinov: 

• večrazsežna algebra karte (ang. multidimensional map 

algebra – MMA) 

• tretja razsežnost je razširjena s časom, 

• kartografski račun (ang. map calculus) 

• namesto izdelave visoko ločljivega rastra modeliramo oziroma 

interpoliramo funkcijo F(), s katero opišemo raster, 

• s pomočjo funkcije F() modeliramo visoko ločljiv raster po potrebi. 

354 

118


3.6.1 Linearno prostorsko 

filtriranje 

• Postopki filtriranja spadajo k središčnim statistikam, kjer 

računamo statistiko za izbrano skupino sosednjih celic 

(MxN celic). 

• Postopke linearnega prostorskega filtriranja uporabljamo 

predvsem v postopkih obdelave podob daljinskega 

zaznavanja ter v postopkih prostorske statistike. 

• Ločimo: 

• nizko prepustne filtre 

• visoko prepustne filtre 


355 


3.6.1 Linearno prostorsko filtriranje / 2 

• V postopku filtriranja najprej algoritem pomnoži sosednje 

celice obravnavane razsežnosti (npr. 3x3) z vnešenimi 

vrednostmi (utežmi) jedra filtra, nato izračuna uteženo 

povprečje, katerega rezultat pripiše v sredinsko celico G. 

• Primera filtra razsežnosti 3x3: 

a 

 

a 

 

 

a 

a 

b 

a 

a 

a 

 

 

a 

in 

c 

 

a 

 

 

c 

a 

b 

a 

c 

a 

 

 

c 

• v primeru, da je a=b=1, potem jedro filtra izvaja enostavno 

povprečenje oziroma glajenje; 

• primer bolj uteženega filtra je, če je a=1, b=4 (in c=2). 

356 



• nizko prepustni filtri 

• zmanjšajo drobne detajle, 

• poudarijo večje homogene površine, 

• na primer: 

• visoko prepustni filtri 

• podobe izostrijo, 

• poudarijo podrobnosti, 

• na primer: 

• jedra - primer 

1 

1 

 

 

1 4 

 

1 1 

1 

1 

 

 

1 

98 

 

 

90 

 

124 

176 200 

187 188 

 

 

170 175 

98 

 

 

90 

 

124 

a 

 

a 

 

 

a 

a a 

b a 

 

 

a a 

 

a a 

 

a 

 

b 

 

a a 

a 

a 

 

 

a 

176 200 

uteženo povprečje 

164 188 

 

kot cela vrednost 

 

170 175 

164 (1 

981176 

1200 

190 

4187 

1188... 

1175)/12 

357 

119




• Gausov filter je primer nizko prepustnega filtra 

c 

 

a 

 

 

c 

a c 

b a 

 

 

a c 

kjer so a, b in c pozitivne vrednosti in b>a>c. 

• Je simetričen filter in sredinsko utežen. 

• Primer: 

1 

2 1 

 

2 

 

4 2 

 

 

 

1 2 1 

358 

Linearni prostorski filtri: 



Vrsta filtra Filter Primer jedra 3x3 Opis 

Nizko prepustni 

(simetričen) 

Povprečenja 

a 

a a 

 

 

a b a 

 

 

a a a 

0 

a 0 

 

a b a 

 

 

 

0 a 0 

Filter glajenja, zmanjševanja 

šuma, zameglevanja (lokalna sredina) 

Gausov 

Visoko prepustni Ostrenja 

(simetričen) 

Gradient 

Odkrivanja robov 

(asimetričen) 

Izbočenja 

Smerni 

c 

a c 

 

a b a 

 

b a c 

 

 

c a c 

 

a a a 

 

a b a 

 

 

 

 

a a a 

a b a 

a 0 a 

 

 

 

0 0 0 

 

b 0 b 

 

 

 

a b a 

 

a 0 a 

0 a a 

 

a a a 

 

 

 

 

a a 0 

1 

1 1 

1 1 1 

 

1 

2 1 

 

1 2 1 

 

 

 

 

1 

1 1 

 

1 

1 

1 

1 2 1 

 

0 0 0 

 

 

 

 

1 

2 1 

Filter glajenja, zmanjševanja 

šuma, zameglevanja (utežena lokalna 

sredina) 

Filter ostrenja (središčna vsota). 

Omejena uporaba za odkrivanje robov. 

Običajno je vsota uteži 1; lahko tudi več. 

Filter odkriva vodoravne in navpične 

robove. Običajno a=1 in b=1 ali 2 in 

vsota uteži je 0. 

Filter odkrivanja robov, ki ojača robove v 

izbrani smeri z izbočenjem. Na levi je 

primer jedra severo-vzhod. 

Enostaven izračun gradienta v eni izmed 

osmih smereh (proti sosednjim celicam). 

359 


3.6.2 Nelinearno prostorsko 

filtriranje 

• V postopkih nelinearnega filtriranja upravljamo z 

nelinearnimi lokalnimi prilagoditvami vrednosti rastra: 

• izvajamo lokalne operacije, ki ne temelje na jedrih (uteženih 

povprečjih); 

• izračunavamo minimum, maksimum, varianco, kvartilni 

razmik; 

• izračunavamo medianin odklon; 

• itd. 


360 

120




4. poglavje 

RAZISKOVANJE PODATKOV IN 

PROSTORSKA STATISTIKA 

361 

4.1 Statistične metode 

in prostorski podatki 

• Statistične metode za analizo prostorskih podatkov lahko 

delimo na: 

• operacije raziskovalnih statističnih analiz 

• metode raziskovalnih statističnih analiz vključujejo predvsem postopke 

odkrivanja prostorskih vzorcev; 

• prostorske vzorce pogosto identificiramo z merami prostorske 

avtokorelacije; 

• operacije potrjevalnih statističnih analiz 

• te statistične prostorske analize običajno sledijo raziskovalnim statističnim 

prostorskim analizam; 

• služijo: 

a) testiranju domnev in 

b) ocenjevanju statističnih modelov. 

362 

4.1 Statistične metode in prostorski podatki / 2 

• Cressie (1993) je predlagal delitev metod prostorske 

statistike glede na vrsto analiziranega podatkovnega 

modela: 

• analize vzorca točk – poudarek je na lokaciji podatkov, 

• analize regij – poudarek je na območnih modelih prostora (npr. 

administrativna območja), 

• geostatistično modeliranje – poudarek je na modeliranju polj s 

pomočjo raznih metod interpolacij. 

• Cressiev pristop delitve metod prostorske statistike je 

nadgradil Anselin (2002) v implikaciji podatkovnih 

modelov. 

363 

121



Prostorske analize in podatkovni modeli (Anselin 2002): 

Objekt 

Polje 

GIS vektor raster 

Prostorski podatki točke, linije, poligoni površina 

Lokacija diskretna zvezna 

Opazovanje postopkovna izvedba vzorčenje 

Prostorska priredba prostorske uteži funkcije razdalje 

Statistične analize mreža geostatistika 

Napovedovanja ekstrapolacija interpolacija 

Modeli odklonov in napak napak 

Asimptotika širjenje domene zapolnjevanje 


364 


4.1.1 Opisna statistika 

• Za večino vektorskih GIS podatkov lahko: 

• izračunamo enostavne univariatne statistične mere atributnih 

podatkov (minimum, maksimum, povprečje, varianca, standardni 

odklon ...); 

• analiziramo frekvenčne porazdelitve (netransformiranih ali 

transformiranih podatkov) s pomočjo histogramov frekvenc 

(največkrat z orodji za klasifikacijo in označevanje). 

• Podobno lahko tudi za rastrske GIS podatke: 

• izračunamo univariatne statistične mere (atributnih) podatkov; 

• analiziramo frekvenčne porazdelitve s pomočjo histogramov 

frekvenc; 

• v nekaterih GIS orodjih pa lahko tudi izračunavamo multivariatne 

statistične mere (atributnih) podatkov; 

• in tudi modeliramo (npr. s pomočjo prostorske regresije). 

365 



• Osnove in metode prostorskega vzorčenja smo že omenili 

v poglavju 1.3.8. V tem poglavju so podrobneje pojasnjeni 

postopki dvorazsežnega vzorčenja (katerega osnovni 

principi veljajo tudi za eno- in trirazsežno vzorčenje). 

• Vprašanja v postopku prostorskega vzorčenja: 

• ali je vzorec dovolj velik? 

• ali je vzorec dovolj reprezentativen? 

• ali je vzorec pristranski? 

• ali je pomembno vključiti časovne dejavnike? 

• kakšen je učinek robu na vzorec ter na rezultate analiz? 

• ali je potrebno vzorčne podatke združevati? 

• kako so bile meritve/opazovanja izvedena (postopkovno ali avtomatsko)? 

• ali je vrstni red v vzorcu pomemben? 

• ali smo zajeli podatke v vzorec ali pa smo že zajeli podatke celotne 

populacije? 

366 

122




4.1.2.1 Vrste prostorskega vzorčenja 

• Vrste vzorčenja: 

• enostavno naključno vzorčenje, 

• stratificirano naključno vzorčenje (po razredih): 

• proporcionalno, 

• neproporcionalno, 

• naključno vzorčenje znotraj opredeljene mreže, 

• enakomerno, 

• enakomerno vzorčenje z naključnim odmikom. 

• Pomembno pri prostorskem vzorčenju je tudi 

prepoznavanje skupin (klastrov) in njihova 

deklasterizacija (razbijanje skupin). 

367 



4.1.2.1 Vrste prostorskega vzorčenja / 2 

Vrste prostorskega vzorčenja – točkovno vzorčenje: 

A. Pravilni vzorec B. Naključni vzorec 

C. Naključni odmik od 

pravilnega vzorca 

D. Pravilni vzorec z 

naključnim začetkom 

368 




Vrste prostorskega vzorčenja – vzorčenje v območjih: 

Generiranje pravokotne 

mreže; vzorčenje na 

mreži znotraj mej polja 

Generiranje 

heksagonalne mreže; 

točkovno vzorčenje na 

eni lokaciji naključnega 

odmika od središča 

Točkovno vzorčenje na 

n naključnih lokacijah 

znotraj območja 

(spodaj n=5) 

369 

123





Primera naključnega točkovnega vzorčenja 

A. 10 % naključni vzorec množice točk B. Naključna izbira po razredih, 30 % v vsakem razredu 

800 lokacij monitoringa radioaktivnega sevanja v Nemčiji. 

Naključni vzorec 80-tih lokacij (velike rdeče pike). 

200 lokacij monitoringa radioaktivnega sevanja v Nemčiji. 

Naključni vzorec 30 lokacij, kjer sevanje=100 enot radiacije (zeleni križi). 

370 





Primer naključnih točk (lokacij) na mreži 


371 



4.1.2.2 Prostorska deklasterizacija 

• Točkovni vzorci so lahko prostorsko razporejeni v gruče 

(klastre) zaradi različnih vzrokov: 

• na primer: geološka, hidrološka in hidrografska opazovanja pogosto 

vsebujejo številne lokacijsko zelo zgoščene podatke (okoli značilnih 

geoloških oblik, vzdolž vodnih tokov, lokacije pogojene z dostopom 

itd.). 

• Takšna vzorčna opazovanja niso reprezentativna za 

opazovano populacijo. 

• Opazovanja v neposredni bližini lahko močno avtokorelirajo 

(vrednosti atributov v bližini so lahko podobne), kar pristransko 

vpliva na rezultate analiz teh podatkov (izračune srednjih vrednosti, 

ocene regresijskih parametrov, opredelitve intervalov zaupanja 

itd.). 

372 

124




4.1.2.2 Prostorska deklasterizacija / 2 

• Prostorska deklasterizacija je postopek odprave ali 

zmanjšanja vplivov prostorskih gruč podobnih vrednosti z 

namenom: 

1. zagotoviti čim bolj reprezentativen vzorec, s katerim analiziramo populacijo; 

2. omogočiti čim bolj primerno podatkovno osnovo za nadaljnje modeliranje 

(ploskev, polj). 

• Postopek deklasterizacije 1: 

1. prekritje opazovanih točk (lokacij) s pravilno mrežo smiselno izbrane 

dimenzije mrežnih celic; 

2. v vsaki mrežni celici naj bo v povprečju po ena opazovana točka; 

3. v celicah, v katerih je več vzorčnih točk (lokacij), izberemo opazovanje, ki je 

najbližje srednji lokaciji, ali pa pripišemo mediano opazovanega atributa 

srednji lokaciji točk v takšni celici. 

• Postopek deklasterizacije 2: 

1. prekritje opazovanih točk (lokacij) s pravilno mrežo smiselno izbrane 

dimenzije mrežnih celic; 

2. vsaka točka (lokacija) dobi ustrezno utež: štetje števila opazovanih lokacij 

po posameznih celicah, v primeru, da v celici ni opazovanj, je utež 0, v 

primeru, da je v celici n opazovanj dobi vsako točka (lokacija) utež 1/n. 

373 

4.2 Raziskovalne analize 

prostorskih podatkov 

• Raziskovalne analize podatkov (ang. Exploratory Data 

Analysis – EDA) 

• EDA metode imenujemo tudi „rudarjene podatkov“ (ang. data 

mining). 

• Raziskovalne analize prostorskih podatkov (ang. 

Exploratory Spatial Data Analysis – ESDA) so raziskovalne 

analize podatkov (EDA) razširjene s prostorsko domeno. 

• Namenjene so predvsem odkrivanju prostorskih vzorcev. 

• Pogosto metode raziskovalnih analiz prostorskih podatkov 

nadgradimo s časovno domeno in dobimo raziskovalne analize 

prostorsko-časovnih podatkov (ang. Exploratory Spatial- 

Temporal Data Analysis – ESTDA). 

374 

4.2 Raziskovalne analize prostorskih podatkov / 2 

• Raziskovalne analize podatkov (EDA) služijo: 

• boljšemu vpogledu v podatke; 

• odkrivanju nepoznanih struktur podatkov, 

• odkrivanju pomembnih spremenljivk, 

• odkrivanju osamelcev in odstopanj, 

• testiranju predpostavk, 

• razvoju enostavnih modelov, 

• opredelitvi optimalnih faktorskih nastavitev. 

375 

125



• Raziskovalne analize prostorskih podatkov (ESDA) 

služijo raziskovanju in opisovanju analiziranih podatkov s 

pristopi: 

• očiščenja podatkov, 

• povezovanja podatkov, 

• kartiranja stolpcev histogramov, 

• kartiranja osamelcev, 

• izrisa grafikonov kvantilov (ang. box-and-whisker diagram), 

• pogojnega koropletskega kartiranja, 

• kartiranja razmerij. 

376 


ESDA: Očiščenje in povezovanje podatkov 


377 


ESDA: Kartiranje stolpcev histograma 


378 

126



ESDA: Vzporedni izris koordinat in zvezdasti grafikon 


379 


ESDA: Kartiranje kvantilov in grafikon kvantilov 


380 


ESDA: Pogojno koropletsko kartiranje 

381 


127



ESDA: Kartirane lokacije opazovanj (točkovni podatki) 

A. 

Velikost točke 

opredeljena z 

vrednostjo 

spremenljivke 

B. 

Barva točke 

opredeljena z 

vrednostjo 

spremenljivke 

C. 

Pari semivariograma 

D. 

Voronoiova analiza 


382 


ESDA: Analiza trenda (zvezni prostorski podatki) 

3D podatke lahko obravnavamo tudi 

ločeno – posebej analiziramo: 

- trend XZ podatkov 

- trend YZ podatkov 


383 

4.3 Statistike rastrskih 

podatkov 

• Statistike rastrskih podatkov delimo na: 

• neprostorske statistike: 

• univariatne statistike atributov (minimum, maksimum, razmiki, 

sredine, odkloni ...), 

• bivariatne oz. kontingenčne (navzkrižne) statistike – mere 

navzkrižnih odnosov, 

• prostorske statistike – mere prostorskih vzorcev (vključno z 

merami pokrajine) 

• mere prostorskih vzorcev, 

• prostorske mere krajin, 

• mere analiz v kvadratih, 

• mere multi-regresijskih analiz. 

384 

128


4.3 Statistike rastrskih podatkov / 2 

4.3.1 Mere navzkrižnih odnosov 

• Tovrstne mere temeljijo na principih testa kontingence 

2 

ali testa. 

• Preizkusimo domnevo (H 0 ), da slučajni spremenljivki nista povezani. 

• Podatke uredimo v navzkrižno preglednico (neodvisna slučajna 

spremenljivka je ponavadi razvrščena v N razredov po vrsticah, 

odvisna pa v M razredov po stolpcih; lahko tudi drugače): 

B1 B2 B3 skupaj 

A1 x 11 x 12 x 13 x 1· 

A2 x 21 x 22 x 23 x 2· 

A3 x 31 x 32 x 33 x 3· 

skupaj x·1 x·2 x·3 x··=T 

kjer so xi 

vsote frekvenc po vrsticah, x j vsota frekvenc po stolpcih in 

T skupna vsota vseh frekvenc T x 

x 

ij . 

385 


4.3.1 Mere navzkrižnih odnosov / 2 

• test kontingence (nadaljevanje) 

• Prave oz. opazovane frekvence lahko označimo z O (ang. observed), 

pričakovane (teoretične) frekvence pa z E (ang. expected). 

• Prave frekvence primerjamo s pričakovanimi tako, da statistiko H 

2 

primerjamo s teoretično vrednostjo : 

H 

 

2 

( O E) 

E 

ali 

H 

N M 

2 

xij 

xix 

j 

T 

2 

 

in 1 

 

x x 

i1 j1 

i 

 

, 

( 

N 1)( 

kjer je izbrano tveganje, pa število prostostnih stopenj (glej tudi 

ustrezna poglavja statističnih metod). 

2 

• V primeru, da je H> , lahko ničelno domnevo zavrnemo in sprejmemo 

alternativno, ki pravi, da sta sklučajni spremenljivki povezani. 

j 

T 

M 

1) 

• Veljata naslednji omejitvi glede pričakovanih opazovanj (teoretičnih 

frekvenc): 

• če je več kot 20 % teoretičnih frekvenc manjših od 5, je treba združevati sosednje 

razrede; 

• za kontingenčne preglednice dimenzij 2x2 (v=2, s=2) smemo izračunati statistiko H 

samo za vzorce, kjer je T>40; če je 20




• Kapov indeks skladnosti (ang. Kappa Index of 

Agreement – KIA): 

O E 

 

1 

E 

(51) 

kjer je O opazovana točnost oziroma delež ujemajočih se 

vrednosti (vsota frekvenc na glavni diagonali deljena s T), E pa 

pričakovan (teoretični) delež ujemanja (seštevek pričakovanih 

deležev na glavni diagonali), ki ga izračunamo podobno kot v 

2 

testu : 

• Posamezne pričakovane deleže ujemanja izračunamo po 

formuli: 

eij 

pi 

p 

j 

(52) 

kjer pi 

xi 

T in p 

j 

x 

j 

T 

• Kapov indeks skladnosti leži na tervalu [0,1]; bližje ko je 1, 

bolj analizirana rastrska podatkovna sloja korelirata. 

388 



• Cohenov indeks ocene atributne napake je poseben 

primer indeksa skladnosti, s katerim ocenjujemo skladnost 

klasifikacije v atributni bazi GIS s stanjem na terenu. 

• Izraža odstotek pravilno klasificiranih opazovanj: 

d q 

 

N q 

kjer je d skupno število vzorčnih točk na glavni diagonali, 

N število vseh vzorčnih točk in q pričakovana vrednost 

diagonalnih elementov matrike (q ij dobimo z množenjem 

odgovarjajočih vsot stolpcev in vrstic in deljenjem z N). 

(53) 

• Tudi Cohenov indeks ocene pravilne klasifikacije leži na intervalu 

med [0,1]; bližje ko je 1, bolj so klasificirani atributi usklajeni s 

stvarnim stanjem na terenu. 

389 



Primer Cohenovega indeksa 

skladnosti atributne GIS baze 

podatkov s stanjem na terenu 

 

O 

O 

 

O 

O 

d 

390 

N 

 

 

q 

q 

 

O 

 

O 

O 

O 

Primer 1: kapa = 1.00 

A B C D vsota 

A 4 0 0 0 4 

B 0 6 0 0 6 

C 0 0 4 0 4 

D 0 0 0 3 3 

vsota 4 6 4 3 17 

q A B C D 

A 0.9412 1.4118 0.9412 0.7059 

B 1.4118 2.1176 1.4118 1.0588 

C 0.9412 1.4118 0.9412 0.7059 

D 0.7059 1.0588 0.7059 0.5294 


A B C D vsota 

A 4 1 1 0 6 

B 0 5 1 0 6 

C 0 0 2 1 3 

D 0 0 0 2 2 

vsota 4 6 4 3 17 

q A B C D 

A 1.4118 2.1176 1.4118 1.0588 

B 1.4118 2.1176 1.4118 1.0588 

C 0.7059 1.0588 0.7059 0.5294 

D 0.4706 0.7059 0.4706 0.3529 


A B C D vsota 

A 3 0 0 0 3 

B 0 5 0 0 5 

C 1 1 4 2 8 

D 0 0 0 1 1 

vsota 4 6 4 3 17 

q A B C D 

A 0.7059 1.0588 0.7059 0.5294 

B 1.1765 1.7647 1.1765 0.8824 

C 1.8824 2.8235 1.8824 1.4118 

D 0.2353 0.3529 0.2353 0.1765 

130




• Cramerjeva statistika V (ang. Cramer‘s V statistics) je 

podobna mera korelacije kot Kapov indeks skladnosti. 

• Izračunamo jo neposredno iz statistike H (dobljene v 

2 

postopku testa ): 

1 H 

V 

T min{( M 1),( 

N 1)} 

(54) 

• Tudi Cramerjeva statistika V leži na tervalu [0,1]; bližje ko 

je 1, bolj analizirana rastrska podatkovna sloja korelirata. 

391 


4.3.2 Analize v kvadratih 

• Razporeditev opazovanj točkovnih objektov lahko opazujemo s 

principi vzorčenja v kvadratih. V primeru rastrskih podatkov je 

lahko atribut število točk v celici. 

• Vzemimo primer razporeditve 100 točkovnih objektov v mreži celic 

razsežnosti 5x5. V preglednici na desni so frekvence opazovanj v 

rastrski celici: 

• povprečno število točkovnih objektov na celico je 4 in varianca je 4,59. 

392 

3 2 6 2 2 

2 4 3 7 3 

2 6 6 9 4 

5 6 3 5 5 

3 7 3 2 0 


4.3.2 Analize v kvadratih / 2 

• Ob predpostavki, da so opazovanja porazdeljena naključno, lahko 

vzorec modeliramo s pomočjo Poissonove porazdelitve. 

Pomembno: Modeliranje s pomočjo Poissonove porazdelitve lahko 

uporabimo, v primeru da: 

• so opazovanja neodvisna, 

• imamo veliko število opazovanj (običajno 100+), 

• je verjetnost dogodka pojava točkovnega objekta na določeni 

lokaciji majhna in enakomerna. 

• Poissonova porazdelitev ima obliko: 

X 

m m 

f ( x) 

e ; x 0,1,2,... 

x! 

(55) 

kjer je m srednja vrednost opazovanj in x število opazovanj. 

393 

131




• H0: vzorec je naključen 

H1: vzorec ni naključen 

• m=4; pričakovano (teoretično) frekvenčno porazdelitev E 

izračunamo, ob predpostavki naključnega vzorca, s pomočjo 

X 

m m 

modela (55) ( E : f ( x) 

e ; x 0,1,2,... ). 

x! 

Frekv. O E |O-E| |O-E| 2 /E 

• Izračunamo statistiko H ter jo 

2 

primerjamo s pri k 2 

prostostnih stopnjah, kjer je 

k število razredov. 

(-2: -1, ker je znano skupno število, in še 

enkrat -1, ker smo m že ocenili iz vzorca) 

2 

0,05; 

9 

 

16,9 

2 

• Ker je H , s stopnjo zaupanja 0,95 ne moremo zavrniti ničelno 

domnevo, da je vzorec naključen. 

394 

0 1 0,5 0,5 0,64 

1 0 1,8 1,8 1,83 

2 6 3,7 2,3 1,49 

3 6 4,9 1,1 0,25 

4 2 4,9 2,9 1,7 

5 3 3,9 0,9 0,21 

6 4 2,6 1,4 0,75 

7 2 1,5 0,5 0,18 

8 0 0,7 0,7 0,74 

9 1 0,3 0,7 1,35 

10 0 0,1 0,1 0,13 

Vsota 25 H=9,3 



• Tudi z združitvijo opazovanj v večje razrede (vsaj 20% 

pričakovanih opazovanj naj bi bilo večje od 5), ne moremo 

zavrniti ničelne domneve o naključnem vzorcu opazovanj: 

• Opazovanja združimo v štiri razrede; na primer: 

[0,1], [2,3], [4,5], [6+]. 

2 

• H=4,6 in 0,05; 

2 

6 . 

• Opazovane in pričakovane vrednosti v kvadratih lahko 

primerjamo tudi s testom Kolmogorov-Smirnova 

(več o tem v strokovni literaturi s področja Statistike 

oziroma Prostorske statistike). 

395 


4.3.3 Mere strukture krajin 

• Strukturo (rastrske podobe) krajine merimo z različnimi 

merami krajine. 

• Merimo strukturo klasificiranih podob krajine. 

• Mere strukture krajin so opredeljene kot razmerja (indeksi). 

• V splošnem delimo mere strukture krajin na: 

• mere delov krajin – označujejo prostorske značilnosti in 

vsebino delov krajine; 

• mere razredov – označujejo značilnosti vzorcev po 

posameznih razredih; 

• mere strukture krajine v celoti. 

396 

132



4.3.3 Mere strukture krajine / 2 

• Glede na prostorski vidik pa opredelimo naslednje mere 

strukture krajine: 

• Neprostorske mere krajine - upoštevajo samo vrednosti 

atributa: 

• proporcionalno izobilje (ang. proportional abundance) – 

relativno razmerje posameznega razreda glede na celotno 

rastrsko podobo krajine; 

• nasičenost (ang. richness) – število vseh različnih vrst delov 

krajin; 

• enakost (ang. evenness) – je relativno izobilje različnih vrst 

krajine (z različno oblikovanimi indeksi lahko poudarimo (a) 

relativno prevlado ali (b) pravičnost; 

• raznolikost (ang. diversity) – sestavljena mera nasičenosti in 

enakosti; lahko jo računamo na številne načine. 

397 



• Prostorske mere krajine – upoštevajo tudi prostorsko 

lokacijo vrednosti atributa: 

• porazdelitev velikosti delov krajine in gostota (ang. patch 

size distribution and density) – mere lahko računamo za 

posamezne sestavne dele strukture krajine kot tudi za 

posamezne razrede; gostota je število delov krajine na enoto 

površine; 

• kompleksnost oblike delov krajine (ang. patch shape 

complexity) – mere, s katerimi primerjamo obseg dela krajine in 

površino, ali pa obseg dela krajine in obseg kroga z enako 

površino; 

• površina jedra (ang. core area) – opredeljuje površino do 

uporabniško definirane razdalje iz središča delov krajine; 

• izolacija/sosedstvo (ang. isolation/proximity) – je mera, ki 

odraža (povprečno) razdaljo med deli krajine istega razreda; 

• kontrast (ang. contrast) – mere kontrasta označujejo relativno 

razliko med deli krajine različnih razredov; 

398 



• Prostorske mere krajine (2): 

• razpršitev (ang. dispersion) – mere, s katerimi merimo 

(enakomerno, neenakomerno ...) razpršitev delov krajine; 

• agregacija in posipanje (ang. contagion and interspersion) – 

mere tendence prostorske agregacije delov krajine in 

prostorskega mešanja krajine; 

• poddelitev (ang. subdivision) – mere stopnje razdelitve 

posameznih vrst delov krajine na podvrste; 

• povezljivost (ang. connectivity) – te mere se nanašajo 

predvsem na funkcionalno povezljivost delov krajine; računamo 

jih lahko s pomočjo neposredne soseščine; uporabniško 

definirane razdalje, padajoče funkcije razdalje, itd. 

399 

133




Primeri statistik analize 

strukture rastrske podobe 

v Idrisiju: 

• relativna nasičenost (ang. relative richness): 

R=n/nmax*100, kjer je n število različnih 

razredov v jedru, nmax pa največje število 

razredov na celotnem rastru; 

• raznolikost (ang. diversity): H =-S(p*ln(p)), 

kjer je S vsota vseh razredov v celotnem rastru, 

p pa razmerje posameznega razreda v jedru; 

• prevlada (ang. dominance): D=Hmax-H, kjer je H raznolikost, Hmax je 

maksimalna raznolikost (Hmax=ln(n)) in n je število različnih razredov v jedru; 

• razdrobljenost (ang. fragmentation): F=(n-1)/(c-1), kjer je n število različnih 

razredov v jedru, c pa število obravnavanih celic (9, 25 or 49); 

• število različnih razredov (ang. number of different classes=NDC) v vsaki 3x3, 

5x5 ali 7x7 soseščini (1-9, 1-25, 1-49); 

• število od središčne celice različnih celic (ang. number of cells different from 

the center cell=CVN) v vsaki 3x3, 5x5 ali 7x7 soseščini (0-8, 0-24, 0-48); 

• število različnih parov (ang. number of different pairs=BCM) v vsaki 3x3, 5x5 

ali 7x7 soseščini. 

400 

4.4 Statistike točkovnih 

podatkov in razdalj 

• V primeru, da točkovni podatki predstavljajo dogodke (ang. 

events) v prostoru lahko s pomočjo podatkov o njihovih lokacijah 

ter atributov izvedemo nekaj statistik. 

• Statistike, ki jih obravnavamo v nadaljevanju, se izračunavajo za 

dogodke v prostoru – in ne za izračunane točke (središčne točke, 

centroide ...). 

• Statistike iz točkovnih podatkov lahko računamo: 

• z uteževanje ali 

• brez uteževanja dogodkov. 

• Najpogostejše statistike točkovnih podatkov so statistike 

razdalj med pari točk. 

• Razdalje so lahko (a) Evklidske, (b) sferične, (c) L p razdalje ali pa 

(d) mrežne razdalje. 

• V nadaljevanju obravnavamo statistike za evklidske razdalje. 

401 

4.4 Statistike točkovnih podatkov in razdalj / 2 

4.4.1 Metode najbližjega soseda 

• V mnogih znanstvenih disciplinah je razdalja med 

obravnavanimi dogodki pomemben parameter v analizah 

modeliranja postopkov povezanih z obravnavanimi dogodki. 

• Na primer: razdalje med lokacijami pojava bolezni iste vrste, 

razdalje med drevesi iste vrste, razdalje med lokacijami gnezdenja 

ptic iste vrste ... 

• Pri obravnavi posameznega dogodka nas posebej zanima 

razdalja do prvega takšnega podobnega dogodka. 

• Takšen najbližji dogodek imenujemo najbližji sosed (ang. nearest 

neighbor – NN) ali „prvi-v-vrsti najbližji sosed“ (ang. first-order 

nearest neighbor). 

• Naslednji najbližji sosed je torej „drugi-v-vrsti najbližji sosed“ in tako 

naprej do k-tega najbližjega soseda. 

402 

134



4.4.1 Metode najbližjega soseda / 2 

• Osnovni model najbližjega soseda 

(ang. nearest neighbor (NN) model): 

1. Obravnavamo koordinate vseh točk {x i ,y i }. 

2. Izračunamo simetrično matriko razdalj (med pari točk) D. 

3. Za vsako točko i uredimo razdalje v ranžirno vrsto. Tako 

pridobimo podatke o razdalji do prvega, drugega ... k-tega 

najbližjega soseda. 

4. Izračunamo srednjo vrednost vseh razdalj do prvega, 

drugega ... k-tega najbližjega soseda. 

5. Primerjamo povprečje iz točke 4 s pričakovano srednjo 

vrednostjo modelirano s pomočjo modela popolne 

prostorske naključnosti (ang. Complete Spatial 

Randomness – CSR) ali modela Poissonove porazdelitve. 

403 



• Pričakovano srednjo vrednost (tudi varianco) 

izračunamo pod predpostavko popolne prostorske 

naključnosti s pomočjo modela Poissonove porazdelitve. 

• Pri tem obravnavamo posamezno točko (dogodek) v središču kroga 

razdalje r. 

• Predpostavimo, da je gostota točk v analiziranem območju (regiji) 

konstantna, m. 

• Pričakovano število točk (dogodkov) v krogu polmera r izračunamo 

2 

mr . 

• S pomočjo modela popolne prostorske 

naključnosti analiziramo verjetnost, da 

v krogu polmera r ne leži nobena točka 

p(r,0) ter da je v izjemno tankem 

kolobarju širine dr (rumen kolobar 

na sliki) natanko ena točka. 

• Ko dr 0, izračunamo porazdelitev 

razdalj najbližjega soseda pod 

predpostavko CSR; izračunamo 

tudi momente porazdelitve 

Width Širina = 

dr 

(srednjo vrednost in varianco). Površina Area = r 2 

Površina Area = 

2rdr 

404 

r+dr 

r 



• Dokazati je mogoče (glej, na primer, (Smith 2010b)), da 

sta prva dva momenta porazdelitve razdalj najbližjega 

soseda, pod predpostavko popolne prostorske naključnosti 

(CSR), funkcija gostote točk v analiziranem območju, m: 

• srednja vrednost NN razdalj 

1 

(ang. mean NN distance): 

(56) 

2 m 

• varianca NN razdalj 

(4 

) 

(ang. variance NN distances): 

(57) 

2 

 

4m 

405 

135




• Ob predpostavki, da smo gostoto točk (dogodkov) v 

analiziranem območju (regiji) (m) ocenili dovolj zanesljivo, 

lahko izračunamo: 

• indeks globalne prostorske naključnosti 

(ang. index of global spatial randomness): 

ro 

R 

r 

406 

(58) 

kjer je r opazovano povprečje razdalj do NN, r 

o 

e 

pa 

pričakovana sredina razdalj do NN (pod predpostavko 

CSR; izračunana po (56)). 

• R1 pa pomeni enakomerno porazdelitev dogodkov v 

analiziranem območju. 

e 



• Ob predpostavki, da smo gostoto točk (dogodkov) v 

analiziranem območju (regiji) (m) ocenili dovolj zanesljivo, 

lahko izvedemo tudi z-transformacijo: 

( r o 

r 

z 

e 

) 

 

 

e 

(59) 

0,261358 

kjer 

e 

2 

 

(60) 

n mn 

• S pomočjo transformiranih vrednosti z lahko testiramo 

značilnost opazovanih točk (dogodkov). 

407 



• Problemi povezani s statistikami točkovnih 

podatkov: 

• problem diskretnih točk – opazovanja morajo biti diskretne 

točke (dogodki) v prostoru; 

• problem velikosti vzorca – še posebej v analizi k najbližjih 

sosedov, k>1; 

• problem ustrezne ocene gostote točkovnih dogodkov v 

analizirani regiji, m; 

• problem meje (analiziranega območja) močno vpliva na vse 

metode NN; 

• problem omejene uporabe frekvenčne porazdelitve; 

• problem ustreznosti uporabe modela Poissonove porazdelitve 

ali podobnih modelov. 

408 

136




Problem ocene gostote oziroma 

izbora meje analiziranega območja 

Na izračun statistik točkovnih podatkov bistveno vpliva gostota dogodkov, 

m, oziroma izbor analiziranega območja oziroma njegova površina, A: 

• vzemimo primer razporeditve N=22 cerkva na sliki spodaj; 

• kot študijsko območje lahko obravnavamo krog standardne razdalje (ang. 

standard distance circle - SDC), elipso standardnega odklona (ang. ellipse of size 

2 standard deviations – 2SDE) ali pa minimalni očrtan pravokotnik (ang. 

minimum bounding rectangle – MBR); 

• gostoto cerkva izračunamo m=N/A, vendar je 

površina A močno pogojena z izbiro analizirane 

regije; spodaj so izračuni statistik najbižjega soseda pri različno 

izbranih območjih obravnave: 

Regija SDC 2SDE MBR 

Indeks R 1,798 0,97 1,337 

z 7,163 0,267 3,026 

Površina (km 2 ) 176 605 318 

• REŠITEV: Meja analiziranega območja je lahko 

uporabniško opredeljen poligon (konveksni ovoj). 

409 



4.4.2 Razdalje v parih 

• Ripley-eva K (ali L) funkcija je podobna metoda kot so 

metode najbližjega soseda – vendar neprimerno bolj 

vsestranska. 

• Paroma upošteva vse razdalje (med vsemi obravnavanimi 

dogodki). 

• Zato je primerna tudi za razvrščanje v skupine (gruče). 

• S pomočjo Ripley-eve K (ali L) funkcije lahko izračunamo 

številne prostorske statistike. 

410 


4.4.2 Razdalje v parih / 2 

• Ripley-eva K funkcija: 

1. Okoli vsake točke (dogodka) i 

izrišemo krog polmera d. 

2. Preštejemo ostale točke j, ki se 

nahajajo v krogu. 

3. Ponovimo prva dva koraka za vse 

točke i in seštejemo rezultate K(d): 

A l( 

dij) 

K( 

d) 

, i j 

N N 

i 

j 

kjer je l(d ij )=1, če d ij




• Ripley-evo funkcijo K(d) lahko normaliziramo - 

„normalizirano“ mero L(d) izračunamo: 

L( 

d) 

 

K( 

d) 

d 

 

(62) 

• Vzorčno porazdelitev L(d) običajno aproksimiramo z rezultati 

Monte Carlo simulacije: 

• Funkciji minimalnih in maksimalnih L(d) določimo s simulacijo velikega 

števila funkcij L(d). 

• Funkcijo K(d) lahko zarišemo na grafikon v odvisnosti 

od razdalje d. 

• Grafikon funkcije K(d), ali transformirane funkcije L(d), omogoča 

odkrivanje lokalnih gruč – kjer leži opazovana funkcija L(d) 

med funkcijami minimalnih in maksimalnih L(d). 

412 



Primer odkrivanja lokalnih gruč pljučnega 

raka s pomočjo Ripley-evih funkcij K in L 

Ripley-eva funkcija Ripley K(d) K -– Lung Razdalje Cancer med dataset lokacijami pljučnega raka 

350.00 

300.00 

250.00 

200.00 

150.00 

• 998 lokacij pojave pljučnega raka 

(Lancashire, VB (1974-83). 

• Funkciji minimalnih in maksimalnih L(d) 

sta določeni s simulacijo 300 funkcij 

L(d). 

• Lokalne gruče se pokažejo na kratkem 

intervalu razdalj med ca. 360 in 460 m; 

kjer L(d) min



4.4.3 Analize žarišč in analize odkrivanja gruč / 2 

• Vprašanja, na katera poskušamo odgovoriti z 

analizami žarišč: 

• Kje so locirane najbolj intenzivne gruče točk (dogodkov)? 

• Ali so gruče ločene ali pa so nekatere/vse spojene? 

• Ali so gruče pogojene s kakšno spremenljivko (v ozadju)? 

• Ali so gruče podobnih velikosti, ali pa se razlikujejo v 

velikosti? 

• Ali se gruče na nižji stopnji združujejo v gruče na višji 

stopnji? 

• V primeru, da kartiramo podobne podatke v različnih 

časovnih presekih, ali ostajajo gruče nespremenjene, ali pa 

se spreminjajo v času (se premikajo, ali celo izginejo 

oziroma se pojavijo nove gruče)? 

415 



• Metode odkrivanja žarišč: 

• Hierarhično razvrščanje v gruče po metodi 

najbližjega soseda 

(ang. hierarchical nearest neighbor clustering) 

• Razvrščanje v gruče s K-povprečji 

(ang. K-means clustering) 

• Razvrščanje po metodi jedrne gostote 

(ang. kernel density clustering) 

• Prostorsko-časovno razvrščanje v gruče 

(ang. spatio-temporal clustering) 

416 



4.4.3.1 Hierarhično razvrščanje v 

gruče po metodi najbližjega soseda 

• Hierarhično razvrščanje v gruče po metodi 

najbližjega soseda 

(ang. hierarchical nearest neighbor clustering) 

• Dogodki so v gruči prve stopnje, če ležijo znotraj 

[pričakovane srednje razdalje (pod predpostavko popolne 

prostorske naključnosti)] ± [interval zaupanja, opredeljen s 

pomočjo standardne napake + uporabniško določena 

toleranca]. 

• Možnost vključitve dodatnih pogojev, na primer, najmanjše 

število dogodkov, ki še tvorijo gručo. 

• Za vsako gručo dogodkov se izračuna aritmetično središče 

ter elipsa standardnih odklonov. 

• Središča gruč na nižjih stopnjah obravnavamo kot dogodke 

za prepoznavanje gruč na višjih stopnjah. 

417 

139




4.4.3.1 Hierarhično razvrščanje v gruče po metodi najbližjega soseda / 2 

Hierarhično opredeljene gruče pljučnega 

raka po metodi najbližjega soseda 

998 lokacij pojava pljučnega raka 

(Lancashire, VB (1974-83) 

gruče na prvi (rumena barva) in 

drugi stopnji (modra barva) 


418 



4.4.3.2 Razvrščanje v gruče s 

K-povprečji 

• Razvrščanje v gruče s K-povprečji 

(ang. K-means clustering) 

• glej 3.2.13.3 – Metode večpasovne klasifikacije rastrskih podob oziroma 

metode daljinskega zaznavanja (Oštir 2006). 

419 



4.4.3.3 Razvrščanje po metodi 

jedrne gostote 

• Razvrščanje po metodi jedrne gostote 

(ang. kernel density clustering) 

• Ocena gostote po metodi jedra (ang. kernel density 

estimation – KDE) je lahko dobro raziskovalno orodje za 

odkrivanje vročih mest. 

• Opredeljevanje gruč se izvede preko pripisa točk (dogodkov) 

celicam, ki imajo večjo gostote od izbrane. 

• Gruče so torej opredeljene z združevanje celic višjih gostot od 

izbrane. 

420 

140




4.4.3.3 Razvrščanje po metodi jedrne gostote / 2 

Gruče pljučnega raka in raka na grlu po 

metodi jedrne gostote 

gruče pljučnega raka 

gruče raka na grlu 

gruče so primerjane z lokacijo sežigalne peči 

421 


4.4.3.4 Prostorsko-časovno 

razvrščanje v gruče 

• Prostorsko-časovno razvrščanje v gruče 

(ang. spatio-temporal clustering) 

• Izračunamo Evklidsko razdaljo vsakega dogodka i do drugega 

dogodka j. Razdalje zabeležimo v matriko {x ij }. 

• Podobno izračunamo časovni razmik med posameznimi 

dogodki i in j. Rezultate zabeležimo v matriko {y ij }. 

• Izračunamo testno statistiko Z: 



Z x y , i j 

i, 

j 

ij 

ij 

kjer štejemo bližnje pare za x ij


4.5 Prostorska avtokorelacija 

4.5.1 Avtokorelacija, časovne serije 

in prostorske analize 

• Pojem avtokorelacija ima izvor v zgodnjih raziskavah 

časovnih vrst (ang. time series analysis). 

• Korelacija pomeni statistično povezanost analiziranih 

spremenljivk. 

• Koeficient korelacije predlaga vzrok povezanosti in ga ne 

vsebuje! 

• Predpostavimo, da analiziramo povezanost med pari n opazovanj 

{x i ,y i }. 

• Koeficient korelacije izračunamo kot razmerje med kovarianco in 

zmnožkom standardnih odklonov posameznih spremenljivk: 

n 

xi 

x yi 

y 

i1 

r 

(65) 

n 

n 

2 

2 

xi 

x yi 

y 

i1 

i1 

424 

4.5 Prostorska avtokorelacija / 2 

4.5.1 Avtokorelacija, časovne serije in prostorske analize / 2 

• Predpostavimo, da imamo namesto n parov opazovanj {x i ,y i }, 

niz n vrednosti, {x t }, ki predstavljajo vrednosti zajete v različnih 

časovnih presekih, t=1,2,3,4,...n. 

• Na primer: dnevne količine padavin na izbrani lokaciji, dnevne vrednosti 

delnic ... 

• Grafikon spodaj prikazuje tipično nihanje dnevnih vrednosti delnic (modra 

črta); rdeča in črna zaokrožena linija pa prikazujeta časovni seriji 7 in 14- 

dnevnih intervalov ali „zamike“ (ang. „lags“): {x t, x t+7, x t+14, x t+21,...} in 

{x t, x t+14, x t+28, x t+42,...}. 

425 




• Predpostavimo, da opazovanja dnevnih padavin kažejo, da 

vsakemu dnevnu nadpovprečnih padavin v splošnem sledi 

še en dan nadpovprečnih padavin, in da vsakemu dnevu 

podpovprečnih padavin v splošnem sledi še en dan 

podpovprečnih padavin. 

• V takšnem primeru bo test korelacije ustreznih zaporednih dni pokazal 

visoko pozitivno korelacijo. 

• Obravnavajmo dva ločena niza podatkov: 

„dan1“: {x t,1 } t=1,2,3,...n-1 

„dan2“: {x t,2 } t=2,3,4,...n 

• Vsak niz podatkov ima srednjo vrednost 

1 

n 

1 

x.1 

x t in x.2 

x t 

(66) 

n 1 

n 1 

1 

n t1 

oziroma pri velikem n, sta vrednosti 1/(n-1) in 1/n skoraj enaki, 

zato: 

n 

1 

x x t 

(67) 

n t1 

426 

t2 

142




• Izračunajmo koeficient korelacije za niza {x t ,1} in {x t ,2}: 

n1 

xt 

x.1x 

t1 

x.2 

 

t1 

r.1 

 

n1 

n1 

2 

2 

xt 

x.1 xt1 

x.2 

 

t1 

t1 

n1 

 

oziroma pri velikem n xt 

x.1 

xt 

1 

x.2 

t1 

r.1 

 

n 

2 

( 

xt 

x.1 

) 

427 

(68) 

(69) 

Izraz (69) je poznan kot koeficient serijske korelacije pri zamiku 

ene časovne dobe. 

• Koeficient serijske korelacije pri k-tem zamiku časovne 

dobe pa je: 

nk 

xt 

x.1 

x 

t 

x.2 

 

k 

r. 

 

(70) 

t1 

k 

n 

x x 

2 

t1 

 

t . k 

 

t1 



• Izraz „koeficient avtokorelacije“ 

(ang. autocorrelation coefficient) se uporablja 

v analizah časovnih vrst že od leta 1950. 

xt 

x.1 

x 

tk 

x.2 

 

t1 

r. 

k n 

2 

xt 

x. 

k 

 

• To je razlog, da tudi na področju prostorskih analiz ne uporabljamo izraz 

„koeficient serijske korelacije“ temveč izraz „koeficient avtokorelacije“. 

• Števec koeficienta avtokorelacije lahko razumemo kot 

kovarianco pri k-tem zamiku časovne dobe, imenovalec pa kot 

kovarianco brez zamika (pri 0-tem zamiku). 

• Zato ju nekateri avtorji poimenujejo tudi avtokovarianca pri k-tem in 0-tem 

zamiku. 

• Koeficient avtokorelacije se porazdeljuje normalno, N(0,1/n) in 

leži na intervalu [-1,1]. 

• V analizah časovnih vrst je časovni interval zajema podatkov (ali 

tudi „razdalja“) običajno enak za celotno analizirano obdobje. 

• Korelogram je grafikon, ki prikazuje spreminjanje koeficientov 

avtokorelacije, {r .k } glede na zamike, k. 

• S pomočjo korelograma analiziramo vedenje časovne serije podatkov pri 

različnih zamikih ali „razdaljah“. 

428 

nk 

t1 



• V primeru naključne serije vrednosti bo r .k blizu 0. 

• V primeru, da kaže celoten vzorec podatkov konstantno 

naraščanje v času – tendenca korelogramov ne bo pričakovana 

(proti 0). Takšna serija podatkov je nestacionarna serija 

podatkov. 

• Pred nadaljnjo analizo moramo odstraniti vpliv trenda: 

• Izvornim podatkom odštejemo vrednosti krivulje trenda pri zamikih 

1,2,3... 

• Prav tako moramo pred nadaljnjo analizo odstraniti morebitne 

osamelce/napake. 

• Po prilagoditvi podatkov: 

• (ponovno) izračunamo korelograme, 

• raziščemo rezultate, 

• pojasnimo opazovane vzorce. 

429 

143




• Modeliranje opazovanih vzorcev lahko bistveno 

pripomore: 

• k razumevanju le-teh, 

• oceni manjkajočih vrednosti, 

• napovedovanju novih vrednosti izven opazovanega območja (prostorskega 

ali časovne serije). 

• Osnovne koncepte računanja avtokorelacije in 

modeliranja korelogramov, ki smo jih spoznali na primeru 

časovnih vrst ni mogoče enostavno prenesti v 

postopke analiz prostorskih podatkov. 

• Prostorski podatki so običajno v vsaj dveh razsežnostih, kar oteži 

spremljanje koeficientov avtokorelacije v posameznih smereh. 

• Korelogram v prostorskih analizah imenujemo variogram. 

• V splošnem ločimo: 

• statistike globalne prostorske zveze (avtokorelacije), 

• lokalne indikatorje prostorske zveze (avtokorelacije). 

430 

4.5.2 Globalna prostorska 

avtokorelacija 


• Postopek analize prostorske avtokorelacije je odvisen od 

vrste analiziranih podatkov. 

• Bistvena razlika med podatki: 

a) niz 100-tih vrednosti iz rastra 10x10 celic (ločljivosti 100x100m), ki pokriva območje 

1000x1000m; 

b) niz 100-tih vrednosti atributa (100-tih) poligonov, ki v celoti pokrivajo območje iz točke 

a); 

c) niz nominalnih vrednosti (razredov) atributa 100-tih dogovorno oblikovanih poligonov, 

ki v celoti pokrivajo območje iz točke a); 

d) niz podatkovnih vrednosti pridobljen iz 100-tih dogovorno določenih lokacij iste 

analizirane regije kot iz točk a), b) in c). 

• Priporočilo: 

• enostavne, binarno kodirane rastrska podatke pravilne mreže analiziramo 

z metodo sestavljenega štetja; 

• nepravilne mreže in območne (poligonske) podatke pretvorimo v podatke 

oblike x,y,z (metode lokalnih prostorskih zvez); 

• točkovne podatke prav tako analiziramo v obliki x,y,z (metode lokalnih 

prostorskih zvez). 

431 

4.5.2.1 Sestavljeno štetje in 

analiza nominalnih vrednosti 

prostorskih podatkov 

• Predpostavimo pravilno mrežo celic, ki pokriva območje 

obravnave. 

• Vsaki mrežni celici je pripisana vrednost atributa, ki je 

lahko: 

• binarna vrednost (prisotnost/odsotnost); 

• kategorialna vrednost razreda (k razredov); 


4.5.2 Globalna prostorska avtokorelacija / 2 

• k razredov razvrščenih ponovno v dva (ali več) razredov. 

432 

144




4.5.2.1 Sestavljeno štetje in analiza nominalnih vrednosti prostorskih podatkov / 2 

• Predpostavimo pravilno mrežo 6x6 celic, ki pokriva območje 

obravnave. 

• Slike spodaj prikazujejo: 

• (A) primer popolnoma ločenega vzorca (močna pozitivna avtokorelacija), 

• (B) primer enakomernega vzorca (močna negativna avtokorelacija) in 

• (C) primer naključnega vzorca. 

• V vseh primerih 50% celic kaže prisotnost obravnavanega pojava. 

A. Popolnoma ločeni vzorec B. Enakomerni vzorec C. Naključni vzorec 

433 





• Eden izmed načinov analize vzorcev je tudi izračun 

verjetnosti, da se določen vzorec pojavi naključno. 

• V vsakem vzorcu (A, B in C) bomo opazovali prostorski 

ekvivalent pri enem koraku oziroma zamiku; na primer v 

sosednjih celicah. 

• V primeru, da je premik med celicami opredeljen s 

premikom trdnjave, bomo šteli naslednja sestavljena 

števila (ang. join counts): 

• 1-1 

• 0-0 

• 1-0 

• 0-1 

• Rezultate štetja bomo primerjali z rezultati štetja v 

naključnem vzorcu. 

434 




• V primeru majhnih regij učinek roba močno vpliva na 

rezultat: 

• V vogalnih celicah imamo samo dve sosednji celici (na 

katere se lahko premaknemo s premikom trdnjave), v primeru 

ostalih celic na robu regije pa samo po tri sosednje celice. 

• Slika spodaj prikazuje rezultate štetja sosednjih celic: 

števce možnih premikov iz posamezne celice. 

• V belih celicah so zapisane 

vsote možnih premikov 

(bližnjih celic) po vrsticah 

in stolpci: 

• zaradi dvojnega štetja je 

vseh stikališč (sosednjih celic) 

120/2=60. 

435 


145





• Glede na to, da je vseh sosednjih celic (ob predpostavki 

premika trdnjave) 60, lahko v primeru naših vzorcev (A, B in 

C) ob 50% zasedenosti pričakujemo; 

• 15 premikov med sosedoma 1-1, 

• 15 premikov med sosedoma 0-0, 

• ostalih 30 pa bodo premiki med 0-1 in 1-0. 

• Štetje premikov v primeru vzorcev A, B in C dajo naslednje 

rezulate: 

• vzorec A: 27 premikov 1-1 

27 premikov 0-0 

6 premikov 0-1 ali 1-0 

• vzorec B: 60 premikov 0-1 ali 1-0 

• vzorec C: 13 premikov 1-1 

12 premikov 0-0 

35 premikov 0-1 ali 1-0 

436 




• Test značilnosti rezultatov štetja izvedemo s pomočjo 

z-transformacije podatkov: 

• posebej za premike 1-1 

• posebej za premike 0-0 in 

• posebej za premike 0-1 ali 1-0 

O E 

z 

SD 

kjer je O število opazovanih premikov izbrane vrste, E je 

pričakovano število premikov ob predpostavki naključnega 

modela in SD je pričakovan standardni odklon. 

• Pričakovano število premikov E in pričakovan 

standardni odklon SD izračunamo po kompleksnih 

izračunih v nadaljevanju. 

• Pri tem ločimo izračune za vzorce brez in s ponavljanjem. 

(71) 

437 




Sredina Varianca Domneva o vzorčenju 

Premik med istima vrednostima/barvama (npr. 0-0, 1-1, črna-črna, bela-bela) 

F: Vzorčenje brez ponavljanja 

(ang. free sampling without 

replacement) 

R: Naključno vzorčenje s 

ponavljanjem (ang. randomization 

or with replacement) 

(72) 

Premik med različnima vrednostima/barvama (npr. 0-1 ali 1-0, bela-črna, črna-bela) 

f: Vzorčenje brez ponavljanja 

(ang. free sampling without 

replacement) 

r: Naključno vzorčenje s 

ponavljanjem (ang. randomization 

or with replacement) 

438 

Pojasnila so na naslednji strani! 

146





Legenda k izračunom (72): 

p b , p w = verjetnosti, da se obravnavana kategorija/dogodek pojavi 

v določeni celici ali območju (npr. p b – verjetnost, da se pojavi črna 

(1), p w – verjetnost, da se pojavi bela (0); opomba: v primeru, da 

verjetnosti ocenimo iz območij, potem p b =n b /n in p w =n w /n; 

verjetnosti pa lahko ocenimo tudi iz sorodnih spremenljivk (npr. 

delež volivcev) ali iz širšega vzorca (regionalni ali državni podatki); 

n b , n w = število (števec) obravnavanih dogodkov v vseh celicah ali 

vseh območjih (npr. število celic črne barve (enk) v primeru 

binarnih podatkov); 

W={w ij } je matrika prostorskih uteži (izvorno tudi matrika binarnih 

uteži), kjer w ii =0 in w ij =1 če se območji i in j stikata, sicer w ij =0. 

Formule spodaj prikazujejo izračune s prostorskimi utežmi: 

, 

439 




Rezultati analize sestavljenega štetja 

A. Popolnoma ločen vzorec B. Enakomerni vzorec C. Naključni vzorec 

Legenda: B - black(1) W - white(0) # - število 


• Pričakovano število ni točno 30,15,15 kot smo zapisali pred tem; vrednost izračunamo po modelu (72) ob predpostavki 

naključnega vzorčenja (R ali r). 

• V primeru enakomernega vzorca (B) ima z-statistika visoko pozitivno vrednost za premike BW (0-1 ali 1-0) in visoki 

negativni vrednosti za premike BB (1-1) in WW (0-0). 

• Za 95% stopnjo zaupanja bi bilo dovolj že ABS(z-statistike)>1,96. 

440 




Rezultati analize sestavljenega štetja 

bolj stvarnega vzorca 

D. Stvarni vzorec 

• Analizirana regija je razdeljena na 16x16 

(256) celic. 

• z-statistika ima značilno visoko pozitivno 

vrednost za premike „BB“ oziroma „1-1“. 

To lahko trdimo s stopnjo zaupanja 0,95. 

Legenda: 

B - black(1) 

W - white(0) 

# - število 


441 

147





• Vpliv števila celic (ločljivosti) na rezultate: 

• Predpostavimo, da rastrski podobi vzorca D iz prejšnje 

prosojnice zmanjšamo (združujemo 2x2 celici) in povečamo 

ločljivost (128x128 celic): 

• V rastru D1 (zmanjšane ločljivosti) je še samo ena celica, kjer ni 

prisotnosti opazovanega pojava. 

• V primeru rastra D2 (16.384 celic pa dobimo vse statistike z čez 160! 

D) Vzorec (16x16=256) 

D1) Zmanjšana ločljivost (8x8=16) 

D2) Povečana ločljivost (128x128=16.384) 

442 



4.5.2.2 Moranov I in Gearyjev C 

• V primeru, da analiziramo globalno prostorsko 

avtokorelacijo (realnih) vrednosti – in ne zgolj binarne 

podatke (prisotnost/odsotnost objektov) – se poslužimo 

drugačnih mer prostorske avtokorelacije. 

• V nadaljevanju bomo obravnavali: 

• globalni Moranov koeficient I ter 

• Gearyjevo razmerje C. 

443 



4.5.2.2 Moranov I in Gearyjev C / 3 

• Vzemimo primer desetih območij z atributom realnih 

vrednosti. 

• Poligone lahko predstavimo tudi s pomočjo desetih celic 

(nepravilne mreže), katerih topološki odnosi so enaki 

topološkim odnosom območij v stvarnem svetu. 

• Predstavimo jih lahko tudi s pomočjo x,y,z koordinat (kjer 

koordinate štejemo z vrsticami in stolpci celic) – v tem 

primeru sicer izgubimo informacijo o sosedstvu, kar pa lahko 

zajamemo v matriko sosedstva. 

Podatki v celicah 

+4.55 +5.54 

+2.24 -5.15 +9.02 

+3.10 -4.39 -2.09 

+0.46 -3.06 

444 

148





• Nepravilna mreža – Koordinate x,y,z in matrika sosedstva 

Podatki v celicah 

+4.55 +5.54 

+2.24 -5.15 +9.02 

+3.10 -4.39 -2.09 

+0.46 -3.06 

Oštevilčba celic 

3 7 

1 4 8 

2 5 9 

6 10 

Koordinate celic (vrstica/stolpec) 

1,1 1,2 1,3 

2,1 2,2 2,3 

3,1 3,2 3,3 

4,1 4,2 4,3 

x,y,z koordinate 

x y z 

1 2 4.55 

1 3 5.54 

2 1 2.24 

2 2 -5.15 

2 3 9.02 

3 1 3.1 

3 2 -4.39 

3 3 -2.09 

4 2 0.46 

4 3 -3.06 

+ 

Matrika sosedstva, premik trdnjave 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 

1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 

2 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 

3 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 

4 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 

5 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 

6 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 

7 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 

8 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 

9 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 

10 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 

445 

Matriko sosedstva 

lahko razumemo kot 

posebno matriko 

prostorskih uteži 

W={w ij}, kjer je w ij=1 

v primeru, da sta 

dve celici sosednji 

(imata skupno mejo 

– v primeru premika 

trdnjave); sicer 

w ij=0. 

Skupno 26 prvih 

premikov. 




• Sedaj imamo niz vrednosti {z i } in niz uteži {w ij }. 

• Iščemo funkcijo f(), ki bo ustrezala naslednjim kriterijem: 

a) v primeru, da sta vrednosti (z i , z j ) paroma pozitivni ali 

paroma negativni, f(zi,z j )>0; 

b) v primeru, da sta vrednosti (z i , z j ) paroma pozitivna in 

negativna oziroma negativna in pozitivna, f(zi,z j )





• (Globalni) Moranov koeficient I (ang. Moran‘s I): 

1 

I 

p 

p 

 

 

i 

i 

j 

j 

w ( z z)( 

z z) 

ij 

 

i 

ij 

w / n 

i 

( z z) 

i 

2 

j 

, kjer 

• Moranov koeficienta I leži na intervalu [-1,+1]: 

• če I 1 , obstaja močna negativna prostorska avtokorelacija; 

• če I 1 , obstaja močna pozitivna prostorska avtokorelacija. 

(74) 

• Moranov koeficient I je prostorski ekvivalent za 

koeficient korelacije, r, oziroma je podoben 

koeficientu (časovne) serijske korelacije (70): 

448 

nk 

xt 

x.1 

x 

tk 

x.2 

 

t1 

r. 

k n 

2 

xt 

x. 

k 

 

t1 




• V primeru, da so opazovanja, z i , opazovanja prostorsko 

neodvisne normalno porazdeljene slučajne spremenljivke 

Z, je pričakovana vrednost Moranovega koeficienta I: 

1 

E( 

I) 

n 1 

(75) 

oziroma varianca: 

2 

2 

n ( n 1) 

S1 

n( 

n 1) 

S2 

2S0 

Var( 

I ) 

, kjer 

2 

( n 1)( 

n 1) 

S 

1 

S1 

 

2 

S 

2 

S 

0 

i 

i 

 

i 

 

 

 

 

 

j 

j 

j 

( w w ) , i j 

w 

w , i j 

ij 

ij 

ij 

 

i 

ji 

 

w 

ji 

in 

 

449 

2 

2 

0 

(76) 




• Izračun Moranovega koeficienta I: 

wij 

Moran I =10*16,19/(26*196,68)=0,0317 0 

Podatki 

+4.55 +5.54 

+2.24 -5.15 +9.02 

+3.10 -4.39 -2.09 

+0.46 -3.06 

A. Izračun količin podobnih varianci/kovarianci, matrika C 

B. C*W: Prilagoditev: pomnoženo z matriko prostorskih uteži W 

450 

150





• V primeru, da preuredimo atribute v 10-tih obravnavanih 

celicah, tako da dobimo pozitivne vrednosti v drugem 

stolpcu ter negativne vrednosti v zadnjem stolpcu 

Preurejeni podatki 

+4.55 -5.15 

+2.24 +5.54 -4.39 

+3.10 +9.02 -2.09 

+0.46 -3.06 

je Moranov koeficient I=0,26. 

451 




 

wij( 

zi 

z)( 

z 

j 

z) 

i j 

• Moranov koeficient I 1 

 

, kjer p wij 

n 

p ( z z) 

/ 

2 

• Prilagoditev I za točkovne podatke: 

• matriko prostorskih uteži nadomestimo s pasovi razdalj širine 

h; 

• z vrednosti (pred)normaliziramo z odštevanjem srednjih 

vrednosti 

• preštejemo število ostalih točk v vsakem pasu, N(h) 

ziz 

j 

i j 

I( 

h) 

N( 

h) 

2 

(77) 

zi 

i 

kjer je N(h) število točk v pasu širine d in srednje razdalje do 

točk h, z i standardizirana vrednost v točki i, z j 

standardizirana vrednost v točki j, razdalje h od točke i. 

452 

 

i 

 

i 

i 

j 




Primer izračuna Moranovega koeficienta I 

za točkovne podatke 

Točke opazovanj Pasovi zaostanka razdalj, h Korrelogram 


453 

151





• Gearyjevo razmerje C: 

1 

C 

p 

p 2 

 

 

 

i 

i 

j 

i 

j 

n 1 

w ( z z) 

( z z) 

w 

ij 

ij 

i 

, kjer 

• Je težje razložljiva statistika, saj variira okoli 1: 

• če C 0 , obstaja močna pozitivna prostorska avtokorelacija; 

• če C 1 , ni prostorske avtokorelacije; 

• če C 1 , obstaja negativna prostorska avtokorelacija. 

i 

2 

2 

(78) 

• Gearyjevo razmerje C je pogosto uporabljena statistika za 

analizo semivariance v geostatistiki (metodah geostatistične 

interpolacije). 

454 

4.5.3 Lokalni indikatorji 

prostorske zveze 

• Razdružitev Moranovega koeficienta I nam dá niz lokalnih 

indeksov (kolikor je različnih objektov). 

• Lokalne indekse prostorske zveze (ang. local indicators of 

spatial association - LISA) lahko (a) kartiramo ter (b) testiramo 

njihovo statistično značilnost. 

• Odkrivamo prostorske gruče v analizirani regiji (več v strokovni literaturi; 

npr. (Smith et al. 2010b)). 

Primer karte lokalnih indikatorjev 

prostorske zveze (LISA), Moranov I 


455 



5. poglavje 

ANALIZE PLOSKEV IN POLJ 

456 

152


5.1 Modeliranje površja 

5.1.1 Površja in polja 

• Površje in rastrska polja modeliramo s pomočjo: 

• rastrskih modelov, 

• vektorskih modelov, 

• matematičnih modelov in 

• statističnih modelov. 

Primer upodobitve površja zemlje 

457 


5.1 Modeliranje površja / 2 

5.1.1 Površja in polja / 2 

• Podatke o zemeljskem površju, rabi tal, geoloških 

značilnostih itd. zagotavljajo državne agencije iz 

različnih zemeljskih, zračnih in vesoljskih opazovanj. 

• Tradicionalno so tovrstni podatki zajeti na papirnatih kartah, v 

sodobnem času pa takšne podatke o površju pridobivamo s 

pomočjo neposrednih opazovanj na terenu ter 

interpolacije/napovedovanjem teh opazovanj. 

• Primer državne agencije, ki skrbi za podatke o zemeljskem 

površju, je Geodetska uprava RS (GURS), ki zbira, organizira in 

distribuira podatke digitalnih modelov reliefa (DMR): 

• Digitalni model reliefa 5x5 m (DMR 5) 

• Digitalni model reliefa Slovenije (DMV 12,5, DMV 25 in DMV 100) 

• Digitalni model reliefa 25×25 m (DMR 25) 

458 



• Površje največkrat modeliramo s skalarnimi polji: 

• Površje modeliramo s pomočjo zveznih vrednosti {z i } za 

vsak koordinatni par x,y obravnavane regije. 

• Vrednosti so največkrat realne (lahko pa tudi celoštevilčni 

zapisi; npr. podatki daljinskega zaznavanja) in pozitivne 

vrednosti (lahko tudi negativne, npr. nadmorska višina v 

depresiji). 

• Površje lahko modeliramo tudi s pomočjo vektorskih 

polj: 

• Vektorsko polje je definirano z jakostjo in smerjo za vsak 

koordinatni par x,y obravnavane regije. 

• Površje lahko tudi modeliramo s pomočjo funkcij 

z=f(x,y). 

459 

153




Primer upodobitve zemeljskega površja 

Gora Svete Helene – ploskovni model 

Gora Svete Helene – žični model 


460 



• Najpogostejši viri podatkov za modele 

površja so: 

• Fizična površja – podatke zajemajo državne kartografske 

agencije z meritvami na terenu. 

• Rezultat so DMR, DMV, plastnice, TIN ali rastrski podatki vključno s 

pripadajočimi atributi. 

• Meritve na terenu – na izbranih točkah zajemamo 

podatke (vzorčimo), nato jih s pomočjo metod 

interpolacije (napovedovanja) pretvorimo v rastre. 

• Daljinsko zaznavanje – satelitsko, zračno. 

• Vektorski podatki – npr. smer in jakost vetra, podatki 

magnetne deklinacije, ... 

• Programsko pridobljena površja – teoretični modeli in 

modeli najboljšega prileganja. 

461 



• Raster oziroma rastrsko podobo lahko razumemo tudi kot 

množico pravokotnih celic enakih dimenzij, katerih 

vrednosti odražajo atribut opazovanega(ih) objekta(ov). 

• Razumemo ga lahko tudi kot niz vrednosti {x,y,z}. 

• V postopkih prostorskih analiz lahko rastre organiziramo v 

mozaik (sestavimo posamezne rastrske podatkovne sloje 

v enoten, večji rastrski podatkovni sloj). 

• Na ta način se lahko v postopkih prostorskih analiz izognemo 

problemu robov. 

• Pri obravnavi rastrskih podatkov ločimo: 

• geografsko obravnavo – vrstice rastra štejemo od zgoraj dol; in 

• matematično obravnavo – vrstice rastra štejemo od spodaj navzgor. 

462 

154



5.1.2 Rastrski modeli / 2 

• Premike oziroma sosede v rastru lahko predstavimo na 

več različnih načinov; na primer: 

a) kompasni način 

b) številski ofset način. 

a) kompasni način b) številski ofset način 

463 



• Mere sprememb vrednosti z * v smeri x in y (parcialni 

odvod prve stopnje): 

z 

zE 

zW 

z 

zN 

zS 

a) , ali (79) 

x 

2x 

y 

2y 

z 

z1,0 

z 

1,0 z 

z0,1 

z0, 

1 

b) , 

(80) 

x 

2x 

y 

2y 

kjer sta 

x, 

y 

določena z ločljivostjo rastra. 


464 



• „Enostavnejša“ različica modela za izračun ukrivljenosti 

pa je: 

2 

z zE 

2z 

* zW 

 

, 

2 

2 

x 

x 

2 

z zN 

2z 

* zS 

 

, 

(81) 

2 

2 

y 

y 

2 

z z 

 

xy 

NE 

zNW 

z 

4xy 

SE 

z 

SW 


465 

155




• Izračuni naklonov in usmerjenosti terena (glej tudi 

poglavje 5.2.1 v nadaljevanju) temeljijo na izračunih 

končnih sprememb. 

• Parcialni odvodi druge stopnje (8 sosednjih celic) definirajo 

ukrivljenost površja: 

z 

 

x 

z 

 

y 

z 

z z 

z 

2z 

z 

1,1 

2 

1,0 1, 1 

1,1 

1,0 

1, 

1 

8x 

z 

z z 

z 

2z 

z 

1,1 

2 

0,1 1,1 

1, 1 

0, 1 

1, 

1 

8y 

(82) 

b) številski ofset način 

466 



• S pomočjo odvajanja vrednosti atributa po sosednjih 

celicah lahko izračunamo naklon in usmerjenost terena – 

modeli lokalnega površja (ang. local surface models): 

• sosedom opazovane celice prilagodimo kvadratni polinom 

(6 parametrov): 

z=ax 2 +by 2 +cxy+dx+ey+f (83) 

• analitično odvajamo 

• usmerjenost: U=tan -1 (e/d) (84) 

• naklon: N=tan -1 (e 2 +d 2 ) (85) 

• ukrivljenost: glej model (82) 

467 



• Kot model lokalnega površja lahko namesto 

kvadratnega polinoma prilagodimo polinom 

četrte vrste (9 parametrov): 

z=ax 2 y 2 +bx 2 y+cxy 2 +dx 2 +ey 2 +fxy+gx+hy+i 

(86) 

468 

156




• Prednosti modeliranja površja z rastri: 

• prikladno računanje, 

• enostavna vizualizacija (2D podobe in 3D modeli), 

• poravnava s številnimi podatki, 

• že na voljo za fizična površja (DMR, DMV). 

• Pomanjkljivosti modeliranja površja z rastri: 

• velika potreba po računalniških virih, 

• računanje je lahko procesno zelo intenzivno, 

• stalna velikost, oblika in usmerjenost, 

• predstavitev posameznih objektov (npr. značilnih linij) 

je slaba. 

469 


5.1.3 Vektorski modeli 

• S pomočjo vektorskih modelov modeliramo površje v obliki 

mrež nepravilnih trikotnikov ali pa s pomočjo plastnic: 

• TIN – mreže nepravilnih trikotnikov 

• hiter izračun, 

• pomanjklivo predstavljanje detajlov, zahtevnost obdelave. 

• Plastnice – rastrski digitalni model višin običajno izračunamo 

iz vektorskih plastnic 

• Pogosto se poslužujemo pretvorb iz TIN v DMV. 

470 


5.1.3 Vektorski modeli / 2 

Primera vektorskih modelov površja 

A. Izvorni raster B. Plastnice - izračunane C. TIN - izračunan 


471 

157



5.1.4 Matematični modeli 

Primeri matematičnih modelov površja 


472 

5.1.5 Statistični modeli 

in modeli delcev 


A. Enakomeren naključen B. Normalen naključen C. Fraktalni gorski grebeni 


Fraktál je v matematiki objekt, ki ima vsaj eno od naslednjih lastnosti (Wikipedija 2010): 

• vsebuje podrobnosti pri poljubni veliki ali majhni povečavi, 

• je preveč nepravilne oblike za opis z običajnimi geometrijskimi prijemi, 

• je natančno ali statistično samopodoben, 

• njegova razsežnost je večja od njegove topološke razsežnosti ali pa 

• je določen rekurzivno. 

473 

5.2 Geometrija površja 

5.2.1 Gradient, naklon 

in usmerjenost 

• Gradient je naklonski kot normalnega vektorja (prvi 

odvod hipsometrične ploskve), ki kaže smer padnice. 

• Naklon terena na posamezni točki terena je določen s 

tangentno ravnino na teren, ki jo definirata gradient in 

usmerjenost. 

• Usmerjenost ali azimut naklona terena (tudi 

hipsometrične ploskve) je normalni vektor terena 

(ki ga uporabimo pri izračunu naklona terena) 

projiciran na horizontalno ravnino. 

474 

158


5.2 Geometrija površja / 2 

5.2.1 Gradient, naklon in usmerjenost / 2 

5.2.1.1 Naklon 

• Naklon (ang. slope) terena na posamezni točki terena 

je določen s tangentno ravnino na teren, ki jo definirata 

gradient in usmerjenost. 

• Gradient je naklonski kot normalnega vektorja (prvi odvod hipsometrične 

ploskve), ki kaže smer padnice. 

• Usmerjenost ali azimut naklona terena (tudi hipsometrične ploskve) je 

normalni vektor terena (ki ga uporabimo pri izračunu naklona terena) projiciran na 

horizontalno ravnino. 

• Izračun naklonov površja glede na pristopa modeliranja 

površja: 

• analitično odvajanje iz modelov z=F(x,y), 

• odvajanje rastrskih podatkov. 

475 



5.2.1.1 Naklon / 2 

• Analitično odvajanje iz modelov z=F(x,y): 

N 

2 

F 

F 

 

 

x 

y 

 

2 

(87) 

• Odvajanje rastrskih podatkov: 

zE 

zW 

zN 

zS 

 

N 

2x 

2y 

 

2 

2 

(88) 

a) kompasni način 

476 



5.2.1.1 Naklon / 3 

Primera naklonov terena 

A. DMR – izvorni podatki B. Nakloni (%) C. Nakloni (°) 

477 

159




5.2.1.2 Usmerjenost 

• Usmerjenost (ang. aspect) ali azimut naklona terena 

(tudi hipsometrične ploskve) je normalni vektor terena 

projiciran na horizontalno ravnino. 

• Izračun usmerjenosti: 

360 1 

z 

z 

 

U 270 tan , 

2 

x 

y 

 

(89) 

478 



5.2.1.2 Usmerjenost / 2 

Primer usmerjenosti terena 

A. DMR – izvorni podatki B. Usmerjenost 

479 



5.2.1.3 Profili 

• S pomočjo podatkov površja lahko modeliramo profil 

na površju: 

• linearni prerez, 

• poligonski prerez. 


480 

160


5.3 Vidnost 

• Izračun območja vidnosti (ang. visibility) je operacija 

daljnega sosedstva, ki omogoča določitev območij, ki so 

vidna iz izbrane točke na terenu. 

• Postopek izračuna območij vidnosti: 

1. Algoritem izračuna linije pogleda (vizure) iz stojišča na terenu ali 

nad njim (različni oddajniki, geodetske točke ...). 

2. Neprekinjene linije (linije, ki jih ne prekine nobena ovira) 

določajo točke, ki spadajo v območja pogojne vidnosti. 

3. Verodostojnost rezultata je pogojena z (ne)upoštevanjem 

ukrivljenosti zemeljske površine ter ovir na terenu (zaraščenost, 

grajeni objekti ...). 

481 

5.3 Vidnost / 2 

• Izračun območij vidnosti: 

• žarek potuje iz točke A v B 1 nemoteno; 

• žarek je oviran na poti med točkama A in B 2 . 

482 


• Parametri območij vidnosti: 

Točka izvora, stojišče 

nad terenom 

temno modra = 

vidna območja 

Liniji gledanja 

Liniji vidnosti: 

• rumena – vidno iz stojišča, 

• rdeče - nevidno 


483 

161



• Senzitivna analiza izračuna območij vidnosti (Fischer 1993) - 

na rezultat izračunanih območij vidnosti vplivata predvsem: 

• struktura prostorskih podatkov in 

• algoritem (metoda) vgrajen v GIS orodje. 

• Razhajanje med rezultati izračuna območij vidnosti v 

različnih GIS-orodjih: 

Število vidnih celic na enakem območju 

GIS Testno območje 1 Testno območje 2 

Idrisi 

OSU Map-for-the-PS 

PC MAP 

MAP II 

GRASS 

Arc/Info visibility 

EPPL 7 

2433 

1780 

1780 

2157 

2390 

2304 

2610 

2270 

1465 

1465 

2161 

2156 

2174 

2263 

484 


Primer modeliranja vidnosti 

485 


Primer modeliranja radijskih valov 


486 

162


5.4 Razvodje 

• Razvodje (ang. watershed) je v geomorfologiji izraz za 

mejno ozemlje med porečji, od koder vode (podzemne in 

nadzemne) tečejo v različne smeri in včasih oddajajo vode v 

različna morja. 

• Izračun razvodja je operacija 

določitve območja, iz katerega 

se voda zliva v ciljno točko. 

• Predpostavka: 

Voda teče navzdol! 

(Vir: http://www.raritanbasin.org/education.html) 

487 

5.4 Razvodnja / 2 

• Postopek izračuna razvodja: 

1. Za vse celice v rastrski mreži DMR-ja se določi smer največjega naklona 

(določitev štirih ali osmih atributov vsaki celici) (glej tudi sliko a-c). 

2. Izvede se simulacija pretakanja vode po terenu (predpostavka: voda iz 

poljubne celice teče v sosednjo celico z najnižjo nadmorsko višino) (slika 

d). 

3. Postopek se ponovi za vsako rastrsko celico obravnavanega območja 

(ustvari se teoretično vodno omrežje). 

4. Določijo se razvodja z določitvijo območij združevanja vode v določenem 

vodotoku (izbere se končna točka vodotoka ter pregleda okolica, iz katere 

se voda steka). 

Analiza razvodij: 

a) atributi za glavne smeri možnega odtoka vode b) del modela reliefa c) smeri največjega padca d) akumulirani tokovi 

488 



6. poglavje 

MREŽNE IN LOKACIJSKE 

ANALIZE 

489 

163


6.1 Uvod 

6.1.1 Pregled mrežnih 

in lokacijskih analiz 

• Mrežne analize 

– s pomočjo mrežnih analiz (a) določamo pot(i), ki 

ustreza(jo) izbranim kriterijem, (b) ali pa preverjamo 

lastnosti izbrane poti. 

• Iskano pot lahko opredelimo v mreži, ali pa med predhodno opredeljenimi 

lokacijami. 

• Poleg transportnih (cestnih, železniških, letalskih ...) pa lahko analiziramo 

tudi druge vrste mrež (elektro omrežje, vodovodno omrežje, 

kanalizacijsko omrežje, družbeno omrežje, itd.) 

• Lokacijske analize 

– v postopkih lokacijskih analiz (a) iščemo lokacije, ki 

ustrezajo izbranim kriterijem, (b) ali pa preverjamo pogoje 

na izbranih lokacijah. 

490 

6.1 Uvod v mrežne in lokacijske analize / 2 

6.1.1 Pregled mrežnih in lokacijskih analiz / 2 

Primer mrežne analize: 

Optimalna pot 

trgovskega potnika 

491 

(Vir: http://rectorgis.blogspot.com/) 




Analiza elektro-distribucijskega omrežja 

492 

164





Analiza družbene 

mreže 

(Vir: http://ebiquity.umbc.edu/blogger/2007/04/19/twitter-social-network-analysis/) 

493 



Primer lokacijske analize: 

Analiza trga 

494 

(Vir: http://rectorgis.blogspot.com/) 



Primer lokacijske analize: 

Analiza lokacij parkirišč 

in parkirnih hiš 

495 

(Vir: http://www.givt.de/usa/referenzen.html) 

165




• Mrežne in lokacijske analize izvajamo v posebnih 

orodjih GIS; na primer: 

• ArcGIS Network Analyst (ESRI) 

• ArcLogistics (ESRI) 

• Manifolds Business Tools, 

• TransCAD (Caliper), 

• Cube (Citilab), 

• itd. 

• ... večino teh analiz pa lahko izvedemo „abstraktno“, 

brez modeliranja stvarnega sveta v GIS, s pomočjo 

samostojnih modulov ter knjižnic za reševanje 

generičnih problemov; na primer: 

• v Mathematici ali Matlabu, 

• z raznimi orodji za reševanje problemov linearnega 

programiranja. 

496 



• Primeri analiz v TransCad-u: 

• mrežne analize (ang. network analysis) 

• iskanje najkrajših poti (ang. shortest paths) 

• problem trgovskega potnika (ang. travelling salesman problems) 

• deljenje mreže (ang. network partitioning) 

• analize prevozov (ang. transit analysis) 

• načrtovanje (javnih prevoznih) mrež 

• modeliranje uporabe (javnih prevoznih) mrež 

• planiranje in upravljanje transporta ter modeliranje potovalnih 

navad (ang. transportation planning and travel demand 

modelling) 

• modeliranje potovanj (ang. trip modelling) 

• modeliranje načinov prevoza (ang. modal split modelling) 

• ocenjevanje tokov prometa (ang. traffic assignment) 

• usmerjanje vozil in logistika (ang. vehicle routing and logistics) 

• problemi razvoza in zbiranja (ang. dispatching/collection problems) 

• problemi usmerjanja v storitvenih obočjih (ang. arc routing problems) 

• analiza tokov (ang. flow analysis) 

• upravljanje območij (ang. territory management) 

• modeliranje lokacij in namestitve (ang. site location modelling) 

497 


6.1.2 Osnovni pojmi 

• Ključni pojmi, ki jih bomo uporabili v poglavju mrežne 

in lokacijske analize izhajajo iz posebne veje 

matematike teorije grafov oziroma kombinatorične 

geometrije. 

• Metode, ki jih bomo spoznali, pa izhajajo pretežno iz 

operacijskih raziskav. 

498 

166


Pojem 

Opis 


6.1.2 Osnovni pojmi / 2 

vozlišče 

(ang. vertex) 

rob 

(ang. edge) 

stopnja vozlišča 

(ang. degree of a 

vertex) 

graf (ang. graph) 

podgraf 

(ang. sub-graph) 

pot (ang. path) 

povezan graf 

(ang. connected 

graph) 

Vozlišče je 0-razsežni objektni tip, ki je topološko stičišče povezav v grafu. 

Vozlišča so posamezne točke na mreži: na presečišču ter na koncih 

(poli)linijskih objektov. Lomne točke vzdolž polilinije niso vozlišča! 

Rob je 1-razsežni objektni tip, ki predstavlja usmerjeno ali neusmerjeno 

povezavo med dvema vozliščema. Neusmerjen rob opredelimo z neurejenim 

nizom vozlišč: (3,8) je enako (8,3); usmerjen rob pa z urejenim nizom 

vozlišč: (3,8) pomeni, da povezava poteka od vozlišča 3 do vozlišča 8. 

Neposredna povezava (preko več vozlišč) ne predstavlja robu. Rob 

razumemo tudi kot povezavo (ang. link) ali pa kot lok (ang. arc). 

V neusmerjenem grafu je stopnja vozlišča število robov, ki se stikajo v 

vozlišču. V usmerjenem grafu pa je stopnja vozlišča razlika med številom 

robov usmerjenih v vozlišče (vstopna stopnja vozlišča; ang. indegree) in 

številom robov usmerjenih iz vozlišča (izstopna stopnja vozlišča; ang. 

outdegree). 

Zbirka vozlišč in robov. Označimo ga z G=(V,E), kjer je G(V) množica točk in 

G(E) množica povezav grafa G. Usmerjen graf je graf, ki vsebuje enega ali 

več usmerjenih robov. Graf, v katerem so vsi robovi usmerjeni, se imenuje 

diagraf. Matematična obravnava lastnosti grafov ter poti na grafih se imenuje 

teorija grafov. 

Graf H je podgraf grafa G, če velja: V(H)⊆V(G) in E(H)⊆E(G). Torej množica 

točk grafa H je podmnožica množice točk grafa G. Enako velja za povezave. 

(Mrežna) pot je sosledje povezanih robov med vozlišči. 

Graf je povezan, če obstaja vsaj ena pot med vsemi pari vozlišč. Popolnoma 

povezan graf je graf, v katerem so vsi pari vozlišč neposredno povezani. V 

popolnoma povezanem grafu je n vozlišč in n(n-1)/2 neusmerjenih robov. 

499 




Pojem 

povezanost 

(ang. connectivity) 

ravninski graf 

(ang. 

planar graph) 

mreža 

(ang. network) 

premer 

(ang. diameter) 

krog ali cikel 

(ang. cycle) 

drevo 

(ang. tree) 

Opis 

Povezanost mreže je minimalno število vozlišč ali povezav, ki jih je potrebno 

ukiniti, da mrežo (ali podmrežo) delimo v dva ali več nepovezanih mrež. 

Večja je povezanost mreže bolj lahko mreža kljubuje ukinitvam vozlišč 

oziroma robov. Primer ukinitve vozlišča ali roba iz stvarnega sveta je zaprtje 

cestne povezave ali križišča zaradi vzdrževanja, prometne nesreče itd. V 

primeru ukinitve vozlišča ali povezave mreža še vedno funkcionira, toda z 

zmanjšano kapaciteto. Povezanost mreže je mera „elastičnosti“ mreže, da 

kljubuje takšnim omejitvam (da poskrbi za prometne tokove, kljub 

omejitvam). 

Ravninski graf je graf v ravnini, kjer se robovi stikajo samo v vozliščih. 

Mreža je zbirka vozlišč in robov, vključno s pripadajočimi atributi, ki jo 

analiziramo z metodami iz teorije grafov. Pogosto je mreža definirana kot 

graf z najmanj enim atributom (robov), ki je realna vrednost ali utež (npr. 

dolžina). 

Premer je maksimalno število povezav, opredeljeno z najkrajšo potjo med 

vsemi vozlišči grafa. Mreže z majhnim premerom v splošnem hitreje 

prečkamo. 

Krog v grafu je pot od izbranega vozlišča preko ostalih in nazaj do prvega, 

izbranega vozlišča. Graf, ki nima kroga, je aciklični graf. 

Drevo je aciklična mreža ali podmreža n povezanih vozlišč, ki vsebuje n-1 

robov. V drevesu je med vsakim parom vozlišč le ena pot. 


500 



Primer grafa 1 

Graf na šestih vozliščih (točkah) s sedmimi robovi 

(povezavami). 

(Vir: http://sl.wikipedia.org) 

501 

167




Primer grafa 2 

Enostavni, neoznačeni graf 51-tih slovenskih mest (od 73-tih), 

povezanih z železnico. Graf ni drevo, saj ima dva cikla. Graf 

zaradi omejitve povezave mest ne vsebuje vseh prog 

(vir: Slovenske železnice). 

(Vir: http://sl.wikipedia.org) 

502 



Mreža v GIS-u: 

• Zbirka povezanih linearnih oblik: 

• (poli)linije ali robovi (ang. Edges – E), 

• sečišča ali vozlišča (ang. Vertex - V), 

• območja ali regije ali celice (ang. Cells – C). 

• Ravninska mreža 

• na primer: sistem ulic v istem nivoju, vozlišča so v vsakem 

sečišču robov. 

• Neravninska mreža 

• na primer: zračne poti, avtoceste z mostovi, viadukti in 

izvennivojskim križanjem, kanalizacijsko omrežje, itd. 

503 



Mreža v GIS-u (2): 

Vmesne (lomne) 

točke lahko 

odstranimo (jih 

ignoriramo) v 

abstraktnih metodah 

iz teorije grafov. 

Pot - 

robovi in vozlišča 

Drevo - 

mreža brez obhoda 

Mreža z 

obhodom 

Celice 


504 

168




Topologija mreže: 

• Mreži A in B sta topološko ekvivalentni (čeprav sta različno 

urejeni v ravnini). 

• Mreža C je topološko različna od mrež A in B: s številnimi 

enosmernimi povezavami in drugačnim vzorcem povezav. 

Mreža A Mreža B Mreža C 

505 




Topologija mreže: 

Binarna matrika povezav 

• Povezanost vozlišč predstavimo v simetrični matriki: 

0 – ni povezave, 1 – je povezava. 

do vozlišča 

od 

vozlišča 

506 




Mreža v GIS-u: 

Osnovni elementi 

• Smer 

• drevesne mreže imajo lahko jasno opredeljeno smer 

(tok reke, oddajanje radijskih signalov, itd.) 

• krožne mreže imajo lahko mešane smeri 

• zaprti krogi lahko obstajajo v usmerjenih mrežah 

• Jakost 

• dolžina robov, čas, stroški, itd. 

• Obseg 

• tok od vozlišča do vozlišča 

• Uteži oziroma povpraševanje v vozliščih 

507 

169



6.1.3 Mere značilnosti grafov 

6.1.3.1 Premer grafa (d) 

• Premer grafa d je dolžina najkrajše poti med dvema 

najbolj oddaljenima vozliščema v grafu. 

• S premerom grafa merimo povezanost grafa. 

• Večji kot je premer, slabše je graf povezan. 

• Premer transportnih mrež računamo z matriko minimalnih 

topoloških oddaljenosti med vozlišči. 

d = 4 d = 3 

508 


6.1.3 Mere značilnosti grafov / 2 

6.1.3.2 Število krogov (u) 

• Število neodvisnih krogov u v neusmerjenem grafu 

izračunamo kot u=e-v+p, kjer je e število povezav, v število 

vožlišč in p število podgrafov grafa G. 

• Drevesa nimajo krogov (u=0). 

• Maksimalno število krogov lahko uporabimo kot indikator 

kompleksnosti in stopnje razvitosti transportne mreže. 

u = 2 u = 3 

509 



6.1.3.3 Stopnja vozlišča 

ali valenca točke (d(v)) 

• Usmerjen graf 

• Vstopna stopnja vozlišča v, d i (v), je število povezav, ki 

imajo vozlišče v za krajišče (končno vozlišče). 

• Izstopna stopnja vozlišča v, d o (v), je število povezav iz 

vozlišča, ki imajo vozlišče v za izhodišče. 

• Neusmerjen graf 

• Stopnja vozlišča v, d(v), v neusmerjenem grafu je število 

povezav, ki povezuje vozlišče v s sosednjimi vozlišči. 

510 

170




6.1.3.3 Stopnja vozlišča ali valenca točke / 2 

• Valenca točke je enostaven, toda učinkovit, kazalec 

pomembnosti vozlišča. 

• Prometna vozlišča imajo večjo valenco točke, terminali, pa imajo 

lahko valenco točke 1. 

• Popolno prometno vozlišče bi imelo valenco točke enako vsoti 

vseh valenc ostalih točk v grafu. 

511 



6.1.3.4 Indeks upora 

• Indeks upora meri prostorsko učinkovitost mreže. 

• Meri vpliv topografije na mrežo (kako v mreži premagujemo 

razdalje ali druge upore). 

• Bližje ko je indeks upora vrednosti 1, bolj je mreža prostorsko 

učinkovita. 

• 1 

• 3 

b 

• 2 

a 

Pot 

Najkrajša 

povezava 

Transportna 

mreža 

Indeks 

upora 

a 20 km 20 km 1,0 

b 20 km 30 km 0,666 

512 



6.1.3.5 Gostota mreže (GM) 

• Z gostoto transportne mreže merimo dolžino povezav 

(L) na enoto površine (S). 

L 

GM 

S 

GM = 0,005 m/m 2 GM = 0,03 m/m 2 

513 

171




 

6.1.3.6 Indeks (pi) 

• Je razmerje med skupno dolžino povezav v grafu L(G) 

in razdaljo premera grafa D(d): 

 

L( 

G) 

D( 

d) 

• Merilo dobro opiše obliko mreže. 

Visoko razvite 

mreže (visok ) 

Nizko razvite 

mreže 

(nizek ) 

d 

514 



6.1.3.6 Indeks pi / 2 

Primer izračuna indeksa : 

Obravnavajmo spodnji graf dolžine 46 in premera 14 enot. 

 

L( 

G) 

46 

3,28 

D( 

d) 

14 

515 



 

6.1.3.7 Indeks (eta) 

• Je povprečna dolžina povezav v grafu. 

• Skupno dolžino povezav v grafu L(G) delimo s številom 

povezav (e): 

L ( G) 

 

e 

• Če v graf dodamo nova vozlišča, se vrednost indeksa 

zmanjšuje. 

 

516 

172




6.1.3.7 Indeks eta / 2 


Obravnavajmo spodnji graf z osmimi povezavami dolžine 46 

enot. 

 

L( 

G) 

46 

5,57 

e 8 

Povprečna dolžina povezav v grafu je 

5,57 enot. 

517 



6.1.3.8 Indeks (theta) 

• Meri povprečno obremenitev vozlišč: 

Q ( G) 

 

v 

kjer je Q(G) vsota vseh uteži v grafu, v pa število 

vozlišč. 

• Primer: 

 

• Lahko ga uporabimo za izračun povpečnega števila vozil v 

križišču. 

• Višja vrednost pomeni večjo obremenitev mreže. 

518 



6.1.3.8 Indeks theta / 2 


Izračunajmo povprečno obremenitev vozlišč v spodnjem 

grafu; uteži na robovih predstavljajo število vozil na uro. 

 

Q( 

G) 

4600 

657,14 

v 7 

Povprečna obremenitev vozlišč je 657 

vozil na uro. 

519 

173




6.1.3.9 Indeks (beta) 

• Meri stopnjo povezanosti grafa. 

• Izračunamo ga kot razmerje med med skupnim številom 

povezav (e) in skupnim številom vozlišč (v): 

• Lastnosti: 

 

e 

 

v 

• Drevesa in enostavni grafi : 1 

• Povezan graf z enim krogom : 1 

• Kompleksni grafi : 1 

• Visoko razvite, kompleksne mreže : 1 

520 



6.1.3.9 Indeks beta / 2 


Izračunajmo stopnjo povezanosti spodnjega grafa s sedmimi 

vozlišči in osmimi robovi. 

 

e 

v 

8 1,14 

7 

Graf je rahlo kompleksen ( 1). 

521 



6.1.3.10 Indeks (alfa) 

• Indeks meri stopnjo povezanosti grafa kot razmerje 

med dejanskim številom krogov v grafu (u) in 

maksimalnim možnim številom krogov (v je število 

vozlišč): 

u 

 

2 v 5 

Lastnosti: 

 

• Večja kot je vrednost indeksa, višja je stopnja povezanosti 

grafa. 


• Popolno povezana (redudantna) mreža je zelo redka : 1 

522 

174




6.1.3.10 Indeks alfa / 2 

 


Izračunajmo stopnjo povezanosti spodnjega grafa z dvema 

krogoma in sedmimi vozlišči. 

u 2 

0,22 

2 v 5 27 

5 

Graf je rahlo kompleksen. 

523 



6.1.3.11 Indeks (gama) 

• Indeks meri stopnjo povezanosti grafa kot razmerje 

med dejanskim številom povezav (e) in maksimalnim 

možnim številom povezav (v je število vozlišč): 

e 

 

3( 

v 2) 

• Lastnosti: 

• 0 1 

• Večja kot je vrednost indeksa, višja je stopnja povezanosti 

grafa. 


• Popolno povezana (redudantna) mreža je zelo redka : 1 

• Za primerjanje učinkovitosti mreže v različnih časovnih 

obdobjih. 

524 



6.1.3.11 Indeks gama / 2 


Izračunajmo stopnjo povezanosti spodnjega grafa z dvema 

krogoma in sedmimi vozlišči. 

 

e 8 

0,53 

3( 

v 2) 3(7 

2) 

525 

175



6.1.4 Podatkovni viri 

• Neurejena zbirka linijskih segmentov in polilinij v GIS-u 

še ni potrebna podatkovna osnova za mrežne in 

lokacijske analize. 

• Mrežne in lokacijske analize izvedemo s pomočjo 

urejene zbirke vozlišč (ang. vertices – V) ter ene ali več 

povezav, to je robov (ang. edges – E) med vozlišči. 

• Robovi so usmerjeni (npr. enosmerna ulica) ali 

neusmerjeni (npr. dvosmerna ulica) ter imajo enega ali 

več atributov (npr. ime, dolžino, čas potovanja, stroške 

potovanja, način prevoza). 

526 


6.1.4 Podatkovni viri / 2 

• Mrežnih in lokacijskih analiz se lahko lotimo tudi zgolj z 

zbirko točk v ravnini, ki predstavljajo vozlišča mreže. 

• V ta namen je potrebno najprej izdelati povezave med 

točkami. 

• Le-te največkrat izdelamo kot ravne linijske (Evklidske) 

segmente, ki ustrezajo določenim pogojem. 

• V takšnem postopku izdelave mreže oziroma postopku 

usmerjanja v mreži se lahko izognemu natančnim 

strukturam mreže. 

Izdelava mreže: 

a) zbirka točk v ravnini (glej zgoraj), 

b) izpopolnitev obstoječe mreže (generalizacija mreže, 

dodajanje atributov, itd.). 

527 



Izvedba mrežnih in lokacijskih analiz: 

a) večina GIS orodij omogoča pretvorbo obstoječih 

točk in linijskih segmentov v ustrezne mrežne 

strukture (vozlišča in robove): 

• kriterij prostorskega odmika (tolerance), 

• robovom in vozliščem dodamo ustrezne atribute; 

b) s pomočjo obstoječih, topološko urejenih mrež, 

c) s pomočjo matrik povezav oziroma stroškovnih 

matrik: 

• kar sicer ne omogoči natančne predstavitve problema oziroma 

rezultata(ov), vendar je že dovolj za reševanje številnih 

problemov mrežnih in lokacijskih analiz. 

528 

176




Primeri atributov: 

• lastnosti obračanja v vozliščih: 

• dovoljenje za obračanje, 

• kazni za obračanje, 

• U-obračanje, 

• opredelitev uteži/upora (glede na smer), 

• opredelitev enosmernih robov in njihovih smeri, 

• opredelitev začasnih in trajnih ovir, 

• opredelitev omejitvenih stopenj povpraševanja in 

ponudbe (robovom in/ali vozliščem). 

529 


6.1.5 Kompleksnost izračunov 

• Večina ključnih problemov mrežnih in lokacijskih analiz 

je optimizacijskih problemov. 

• V matematiki se izraz optimizacija ali matematično 

programiranje nanaša na iskanje minimuma ali maksimuma 

dane realne funkcije na dovoljeni množici točk. 

• Množica dopustnih rešitev A je tipično neka podmnožica Evklidskega vektorskega 

prostora R n , ki je določena z množico omejitev, ki jih predstavimo z enačbami ali 

neenačbami, ki jim morajo zadoščati elementi A. 

• Rezultate optimizacije uporabljamo v podporo 

odločitvam, kjer je še kako pomembno pravilno 

razumevanje postopkov in rezultatov optimizacije: 

• dokazljivo optimalno, 

• dokazljivo znotraj meja optimalnosti. 

530 


6.1.5 Kompleksnost izračunov / 2 

• Potreben čas za izračun (optimalnega) rezultata 

mrežne ali lokacijske analize lahko v grobem 

opredelimo s funkcijo števila elementov vključenih v 

analizo. 

• Predpostavimo, da uporabljamo n vozlišč V ter m robov E. 

• Iz teorije računalništva (kompleksnosti izračunov) poznamo 

zapis velikega „O“ (ang. big „O“ notation), s pomočjo katerega 

ocenimo potrebni času za rešitev problema optimizacije. 

• Le-tega opredelimo s številom potrebnih korakov v postopku 

optimizacije ter načinom izvedbe teh korakov. 

• Na ta način lahko ocenimo potreben čas ter računalniški 

pomnilnik za izvedbo mrežne ali lokacijske analize. 

531 

177



6.1.5 Kompleksnost izračunov / 3 

• Glede na potreben čas za rešitev problema 

optimizacije mrežne analize ločimo: 

• polinomske (P; tudi potenčne) probleme mrežnih analiz 

• problem je rešljiv z natančno definiranim determinističnim algoritmom v 

polinomskem času; 

• v primeru O(n 2 ) in O(nlog(n)): O(logn)


6.2 Mrežne analize / 3 

6.2.1 Ključni problemi mrežnih analiz / 3 

Problem 

Opis 

Steinerjevo Steinerjevo drevo je podobno drevesu najkrajših povezav (MST), vendar z 

drevo najkraših dovoljenimi dodatnimi vozlišči, ki niso v kolokaciji z originalnimi vozlišči grafa. V 

povezav 

prostorskih stroškovnih modelih dodamo Steinerjevo točko v sredino treh 

(ang. Steiner obstoječih vozlišč tako, da nove povezave oklepajo kot 120 stopinj. V drevesu 

MST; Steiner tree) najkrajših povezav dodamo Steinerjeve točke, če s tem skrajšamo skupno 

dolžino mreže. Problem spada v skupino NP-problemov mrežnih analiz (tako za 

Evklidsko kot tudi za Manhattan metriko). 

problem 

trgovskega 

potnika 

(ang. travelling 

salesman problem 

- TSP) 

problem 

usmerjanja vozil 

(ang. vehicle 

routing problem - 

VRP) 

Pri danem nizu vozlišč ter simetrični ali asimetrični matriki razdalj za vsak par 

vozlišč iščemo Hamiltonov krog najkrajše razdalje (najmanjših stroškov). 

Problem trgovskega potnika je dobro znan problem. Trgovski potnik mora 

obhoditi določeno množico lokacij (vozlišč) tako, da bo pri tem prehodil čim 

krajšo pot oziroma z najmanj stroški in se vrnil v izhodišče. Problem trgovskega 

potnika spada v skupino NP-problemov. 

Problemi usmerjanja vozil rešujejo probleme oskrbe strank na znanih lokacijah 

(vozliščih grafa) običajno iz enega skladišča. V primeru, da je kapaciteta vozil 

omejena, govorimo o problemu usmerjanja vozil z omejeno kapaciteto (ang. 

capacity vehicle routing problem - CVRP). V VRP nastopata spremenljivki število 

vozil in število voženj (med vozlišči). Lokacije strank, lokacija skladišča ter 

povpraševanje so dane količine. Cilj je poiskati najkrajšo skupno dolžino voženj 

glede na dane omejitve. Obstaja več pristopov reševanja problemov (C)VRP, od 

takšnih, kjer upoštevamo čas dostave, do pristopov, kjer upoštevamo vmesno 

nakladanje in dostavo tovora, pa problemov z več skladišči, problemov, kjer je 

povpraševanje dinamična spremenljivka, do problemov, kjer so lokacije strank 

posplošene (namesto fiksne). Večina problemov usmerjanja vozil spada v 

skupino NP-problemov. 

535 


Problem 

Opis 



transportni 

problem 

(ang. 

transportation 

problem, transshipment 

problem) 

problem 

usmerjanja 

povezav 

(ang. arc routing 

problem - ARP) 

problem 

alokacije 

objektov 

(ang. facility 

location: 

p-median/ 

p-center/ 

coverage) 

Transportni problem je splošen problem celostnega servisiranja niza ciljnih 

lokacij (strank) z dano stopnjo povpraševanja ob najnižjih skupnih stroških. 

Ključni vhodni podatek za reševanje transportnega problema je enota stroška 

prevoza. Zato je transportni problem poseben primer problema tokov ob 

minimalnih stroških (ang. minimum cost flow problem - MCFP). Problem 

pretovarjanja (ang. trans-shipment problem) je posplošen transportni problem. 

V problemih pretovarjanja tokovi ne gredo neposredno iz izvora do ponora, 

temveč se vežejo na lokacije pretovarjanja (na primer: osebna vozila potujejo iz 

tovarn preko skladišč in prodajaln do strank). 

V dani mreži povezav (običajno v mreži ulic) je potrebno poiskati takšno pot, ki 

bo potekala skozi vse povezave (Eulerjev krog; v splošnem v obeh smereh) ob 

najmanjših možnih stroških (glede na razdaljo ali čas) ter ob danih omejitvah. 

Primeri aplikacije tovrstnih problemov so: poti čiščenja ulic, pluženja snega, 

poštnih dostav, odčitavanja števcev, zbiranja odpadkov, itd. Pri reševanju 

problemov umserjanja povezav je mogoče upoštevati tudi kapacitete. Problemi 

usmerjanja povezav spadajo v skupino problemov PNP. 

Problemi alokacije objektov so problemi optimalnega razmeščanja objektov v 

mreži povezav glede na zahteve strank (količina in stopnja storitve). Najbolj 

znan problem je problem minimalnih skupnih (ali povprečnih) potovalnih 

stroškov (časa) do (ali od) strank; medianin problem p (ang. p-median 

problem). Problem minimizacije najdaljše razdalje ali časa imenujemo središčni 

problem p (ang. p-center problem). Podobni problemi so problemi časovno (ali 

stroškovno) omejene oskrbe vseh strank (ali največjega možnega števila 

strank). Tovrstni problemi so težko rešljivi oziroma rešljivi z upoštevanjem 

strogih omejitev. Algoritmi za reševanje takšnih problemov so zato časovno 

potratni in skoraj neučinkoviti v praksi. Stranke so običajno locirane v vozliščih.V 

primeru medianinih p rešitev za p objektov, ki strežejo n>p lokacijam strank, lete 

opredelimo na vozliščih mreže. Medianini p in središčni p problemi spadajo v 

skupino „težkih“ nepoligonskih problemov. 

536 




Animacija Hamiltonovega kroga 

Krog, ki iz danega vozlišča prečka vsa ostala vozlišča v mreži natanko enkrat. 

(Vir: www.cominatorica.com) 

537 

179




Animacija Eulerjevega kroga 

Krog v usmerjenem grafu, ki vsako povezavo (rob) prekrije natanko enkrat. 


538 

6.2.2 Parametri v mrežnih 

analizah 

• Ciljna funkcija - nastavimo parametre „dolžine“ poti - 

kako meriti „dolžino“ poti; npr.: 

• Evklidska dolžina, 

• L p dolžina, 

• stroškovna dolžina, 

• časovna dolžina. 

• Omejitve na poti - opredelimo s pomočjo atributov ali 

pa z geometričnimi ovirami; npr.: 

• obvezna smer 

• obvezen prehod čez izbrana vozlišča, 

• vnos geometričnih ovir. 

• Razsežnost problema: 

• običajna obravnava problema v GIS je v dveh razsežnosti, 

• toda transportne mreže so v tri razsežnem prostoru. 


539 


6.2.2 Parametri v mrežnih analizah / 2 

• Vrsta premikajočega se objekta – v zapletenih 

transportnih analizah je pomembna opredelitev vrste 

premikajočega se objekta: 

• najbolj enostavna je obravnava enako „pomembnih“ objektov, 

• različnim vrstam objektov v mreži lahko nastavljamo različne 

uteži (npr. težo vozila, medosno razdaljo, zasedenost vozila ...), 

• glede na vrsto vozila lahko dovolimo ali pa ne premike izven 

vozišča, 

• itd. 

• Enojna ali ponavljajoča poizvedba – v mrežnih 

analizah lahko iščemo eno ali pa več rešitev (npr. 

drugo in tretjo najkrajšo pot). 

540 

180



6.2.2 Parametri v mrežnih analizah / 3 

• Statično ali dinamično okolje – dovoljenje za 

dinamično spreminjanje okolja (dinamično spreminjanje 

tokov in dogodkov): 

• nastavitev dovoljenja za dinamično dodajanje/odstranjevanje ovir, 

• nastavitev dovoljenja za premike ovir v mreži. 

• Natančni ali približni algoritmi – odločitev o uporabi 

algoritma. 

• Večina bolj kompleksnih, stvarnih problemov ni rešljiva natančno 

v omejenem času. 

• Možnost nastavljanja stopnje optimalnosti rešitve. 

• Znane ali neznane karte: 

• Geometrija prostorskega problema je lahko znana vnaprej, lahko 

pa jo odkrivamo sproti (s pomočjo senzorjev). 

• Običajno je geometrija podana vnaprej, tokove in dogodke pa 

odkrivamo sproti. 

541 

6.2.3 Programska oprema 

za mrežne analize 


• Številna orodja GIS že omogočajo izvedbo osnovnih mrežnih 

analiz. 

• Bolj zapletene in kompleksne analize pa lahko izvedemo zgolj 

v posebnih orodjih za podporo in reševanje transportnih, 

logističnih in alokacijskih problemov. 

• Revija OR/MS (revija Inštituta za operacijske raziskave in 

upravljavske znanosti; ang. Institute for Operations Research 

and Management Sciences) iz ZDA je leta 2008 objavil 

izrčrpno poročilo o aktualnih tovrstnih orodjih. 

• Preglednica na naslednji strani prikazuje funkcije sledenja in 

usmerjanja v izbrani logistični programski opremi 

(s povezavami na spletne strani programske opreme). 

542 


6.2.3 Programska oprema za mrežne analize / 2 

Funkcije sledenja in usmerjanja v izbrani 

logistični programski opremi 

(z rumeno barvo so označena orodja, ki imajo več kot 100 registriranih uporabnikov) 

Podpora 

Funkcije sledenja in usmerjanja 

GIS-u 

Programska 

prikazovanje usmerjanje usmerjanje sledenje v 

načrtovanje 

oprema 

dnevno 

/ 

preko 

na realnem 

poti in 

sledenje 

geokodiranje vozlišč povezavah času 

analize 

Descartes Da Da Da Da Da Da 

Direct Route Da Da Da Da Da Da 

DISC Da Da Da Da Da Da 

eRouteLogistics Da Da Da Da Da Da 

ILOG Dispatcher Da Da Da Da Da 

JOpt.SDK Da Da Da 

Optrak4 Da Da Da Da Da Da 

Ortec Da Da Da Da Da Da 

Paragon Da Da Da Da Da 

Prophesy Da Da Da Da Da Da 

PTM Da Da Da Da 

REACT Da Da Da Da Da Da 

Roadnet Da Da Da Da 

RouteSmart Da Da Da Da Da 

STARS Da Da Da Da Da Da 

StreetSync Da Da Da Da Da Da 

The Logix suite Da Da Da Da Da 

Toursolver Da Da Da 

Truckstops Da Da Da Da Da Da 

543 

(Vir: OR/MS Survey, 2008; 

http://www.lionhrtpub.com/orms/surveys/Vehicle_Routing/vrss.htm) 

181




• Funkcije v logističnih programskih orodjih: 

• usmerjanje vozil vključno z upoštevanjem enosmernih tokov, 

• usmerjanje vozil z upoštevanjem omejitev v križiščih, 

• upoštevanje hitrostnih omejitev ter povprečnih potovalnih hitrosti 

glede na vrsto ceste in čas v dnevu/tednu, 

• usmerjanje vozil, ki se želijo izogniti plačilu cestnine (na cestnih 

odsekih, mostovih, tunelih ...), 

• usmerjanje dostave strankam z upoštevanjem omejitev v prostoru 

in času, 

• nočna kontrola ter kontrola ob vikendih/praznikih usmerjanja 

tovornih vozil, 

• upoštevanje omejitev teže in višine (npr. za tovorna vozila), 

• upoštevanje stroškov usmerjanja vozila (na kilometer, na miljo 

in/ali na uro), 

• upoštevanje stroškov usmerjanja vozila glede na nagib. 

544 



Rezultat simulacije prometnih tokov v simulacijskem 

orodju DYNAMEC 

545 



6.2.4 Izgradnja mreže 

6.2.4.1 Drevo najkrajših povezav 

• Drevo najkrajših povezav (ang. minimum spanning 

tree - MST) je (Evklidsko) povezano drevo minimalne 

skupne dolžine. 

• Množico točk (vozlišč) lahko povežemo med seboj na več 

različnih načinov. 

• Poiskati je potrebno takšne povezave med množico točk, 

da je skupna dolžina razdalj najmanjša. 

• V splošnem enolična opredelitev MST ni zagotovljena. 

• Problem je rešljiv v skoraj linearno opredeljenem času. 

546 

182



6.2.4 Izgradnja mreže / 2 

6.2.4.1 Drevo najkrajših povezav / 2 

• Algoritem opredelitve drevesa najkrajših 

povezav: 

1. poveži vsako točko z njenim najbližjim sosedom 

(vozliščem) – dobimo več nepovezanih podmrež; 

2. poveži vsako podmrežo z njeno najbližjo sosedno 

podmrežo; 

3. nadaljuj korak 2 dokler vse podmreže niso povezane. 

547 




Primer opredelitve drevesa najkrajših povezav 

V množici točk A povežemo vsako točko z njenim najbližjim sosedom: dobimo podmreže 

označene s povezavami 1. Nato povežemo podmreže s povezavami 2. Na koncu še 

povežemo dve podmreži s povezavo 3. Dobimo drevo najkrajših povezav (B). 

A. množica točk (vozlišča) B. drevo najkrajših povezav 


548 




Animacija izgradnje drevesa najkrajših povezav 


549 

183




6.2.4.2 Gabrielova mreža 

• Posebna oblika mreže, ki jo generiramo iz množice 

točk; po K. R. Gabrielu (Gabriel in Sokalov 1969). 

• Pravilo za opredelitev Gabrielove mreže: 

• Med pari točk (vozlišč) obstaja povezava (rob), če v krogu, 

katerega premer leži na povezavi obravnavanih točk, ni nobene 

druge točke (vozlišča). 

• Gabrielova mreža opredeljuje boljšo povezanost vozlišč 

kot drevo najkrajših povezav. 

• Številna področja aplikacije, največ v genetskih 

študijah populacij. 

550 

Primer opredelitve Gabrielove mreže 



6.2.4.2 Gabrielova mreža / 2 

V množici točk A ustvarimo povezavo med pari točk, če v krogu, katerega premer leži na 

povezavi obravnavanih točk, ni nobene druge točke (vozlišča). Črni krogi označujejo pare 

točk, med katerimi je povezava, znotraj zelenega kroga pa leži točka, zato ni povezave. 

Na sliki B je končna oblika Gabrielove mreže za množico točk A. 

A. Izgradnja Gabrielove mreže B. Gabrielova mreža 

povezava 

ni povezave 

551 




6.2.4.3 Steinerjeva drevesa 

• Steinerjevo drevo je drevo, ki ga dobimo iz drevesa 

najkrajših povezav (MST), ko dodamo vozlišča, ki niso 

v kolokaciji z originalnimi vozlišči grafa. 

• V drevesu najkrajših povezav je dovoljeno dodati 

Steinerjeve točke, če s tem skrajšamo skupno dolžino 

mreže. 

• V prostorskih stroškovnih modelih dodamo 

Steinerjevo(e) točko(e) v sredino množice obstoječih 

vozlišč tako, da nove povezave oklepajo kote 120°. 

• Pri tem predpostavimo, da so tokovi in vozlišča v mreži 

neutežena. 

552 

184




6.2.4.3 Steinerjeva drevesa / 2 

Primera opredelitve Steinerjevih točk 

A. Trem vozliščem (A, B in 

C) smo dodali Steinerjevo 

točko (S). Povezave 

oklepajo kote 120° 

(3·120°=360°). 

B. Štirim vozliščem (A, B, C 

in D) smo dodali dve 

Steinerjevi točki (S2 in S2). 

Povezave oklepajo kote 120° 

(3·120°=360°). 

553 

(Vir: http://en.wikipedia.org/wiki/) 



6.2.4.3 Steinerjeva drevesa / 3 

Primer opredelitve Steinerjeve točke v mreži 

A. Drevo najkrajših povezav (MST) B. MST z eno Steinerjevo točko 


554 


6.2.5 Problemi najkrajših poti 

• Vhodni podatki: 

• obstoječa mreža, 

• izvor(i) oziroma startno(a) vozlišče(a), 

• ponor(i) oziroma ciljno(a) vozlišče(a). 

• Rezultati: 

• najkrajša pot (po dolžini, časovno d(t), stroškovno) ter 

seznam vozlišč, 

• seznam najkrajših poti (prva, druga, tretja ... najkrajša 

pot), 

• opis drevesa najkraše poti. 

555 

185



6.2.5 Problemi najkrajših poti / 2 

• Problem najkrajše poti lahko opredelimo tudi kot 

problem linearnega programiranja. 

• Problemi najkrajših poti so rešljivi s pomočjo 

sistematičnih algoritmov (v nadaljevanju). 

• Prva najkrajša pot rešljiva v skoraj linearno opredeljenem 

času). 

• Bolj kompleksne probleme pa rešujemo s pomočjo 

hevrističnega algoritma A* (v nadaljevanju). 

556 



6.2.5.1 Dantzigov algoritem 

• Dantzigov algoritem (1960) je algoritem iskanja 

najkrajših povezav med vsemi vozlišči danega grafa 

(drevo najkrajših povezav) s pozitivnimi utežmi robov 

grafa. 

• Algoritem deluje v obliki diskretnega dinamičnega 

programiranja. 

• Algoritem deluje korak za korakom. 

• Dantzigov algoritem deluje podobno kot Dijkstrin 

algoritem (v nadaljevanju). 

557 



6.2.5.1 Dantzigov algoritem / 2 

Primer delovanja Dantzigovega algoritma 


Primer za izvor(start)=1 in ponor(cilj)=3: 

Korak 1: poišči najkrajši (najkrajša razdalja / najmanjši strošek / najkrajši 

čas) rob iz vozlišča 1 – to je rob v vozlišče 2 (strošek = 4). Zapiši vozlišče 2 

in rob iz 1 v 2 v seznam. 

Korak 2: poišči najkrajši (najmanjši kumulativni strošek/čas) rob iz vozlišča 

1 ali iz vozlišča 2 plus povezava iz vozlišča 1 – to je nadaljevanje povezave 

iz vozlišča 2 v vozlišče 4 (strošek = 6). Dodaj vozlišče 4 in rob iz 2 v 4 v 

seznam. 

Korak 3: poišči najkrajši (najmanjši kumulativni strošek/čas) rob iz 

seznama – to je povezava iz 1 v 2 v 4 v 3 (strošek = 7). 

Stop – vsa vozlišča dosežena, ponovi iz ostalih vozlišč (2, 3 in 4). 

558 

186




6.2.5.2 Dijkstrov algoritem 

• Dijkstrov algoritem se uporablja za iskanje drevesa 

najkrajših povezav. 

• Algoritem poišče najkrajše poti iz izbranega vozlišča do 

ostalih vozlišč. 

• Pri Dijkstrovem algoritmu predpostavljamo, da 

obravnavamo usmerjen, pozitivno utežen graf. 

• Povezave so obtežene z neko utežjo (na primer ceno, razdaljo), 

pri čemer pa uteži ne smejo biti negativne. 

• Usmerjen graf je graf, ki vsebuje usmerjene povezave. 

• Algoritem deluje podobno kot Dantzigov algoritem 

(glej prejšnje poglavje). 

559 



6.2.5.2 Dijkstrov algoritem / 2 

• Najkrajša pot na grafu je tista, ki iz ene točke pride v drugo 

tako, da je vsota vseh uteži na izbranih povezavah 

najmanjša. 

• Primer: Iščemo najkrajšo pot iz A v C. Najprej pregledamo vse 

možnosti. Možne izbire so ABC, AC, ADC, AEBC in AEDC. Sedaj 

pogledamo vrednosti uteži: 

• ABC: 1 + 3 = 4 

• AC: 8 

• ADC: 7 + 2 = 9 

• AEBC: 2 + 1 + 3 = 6 

• AEDC: 2 + 1 + 2 = 5 

Med vsemi možnostmi izberemo 

ABC, saj ima ta najmanjši seštevek 

uteži (4). 

• OPOMBA: Da je pot najkrajša, ne pomeni, da vsebuje 

najmanj povezav, ampak da je vsota uteži na povezavah 

najmanjša. 

560 




• Iskanju najkrajših poti rečemo kar problem najkrajših 

poti. Tu iščemo najbolj optimalno vrednost. 

• Poznamo več različic problema najkrajših poti: 

• najkrajše poti iz enega vozlišča, 

• najkrajše poti do danega vozlišča, 

• najkrajša pot med parom vozlišč, 

• najkrajša pot med vsemi možnimi pari vozlišč. 

• Za reševanje najkrajših poti poznamo tri algoritme: 

• Dijkstrov algoritem - iskanje najkrajše poti od nekega 

vozlišča; le za nenegativne uteži. 

• Bellman-Fordov algoritem - iskanje najkrajše poti od nekega 

vozlišča; tudi za negativne uteži. 

• Floyd-Warshallov algoritem - iskanje najkrajših poti med 

vsemi pari vozlišč; s poljubnimi utežmi. 

561 

187





• Koraki Dijkstrovega algoritma: 

• Dijsktrov algoritem shranjuje stroške najkrajše poti med 

startnim vozliščem, s, in vsakim ciljnim vozliščem, t. To razdaljo 

lahko označimo z d(t). 

1. Nastavi vsa vozlišča na d(t)=∞ (neskončno oziroma v praksi zelo 

visoka vrednost) in d(s)=0. 

2. Za vsak rob, ki vodi iz s, dodaj dolžino robu iz s trenutni 

vrednosti razdalje poti iz s. V primeru, da je nova razdalja 

manjša od trenutne vrednosti d(t), zamenjaj le-to z nižjo 

vrednostjo. 

3. Izberi najnižjo vrednost iz množice vrednosti d(t) ter premakni 

trenutno (aktivno) vozlišče na to lokacijo. 

4. Ponavljaj koraka 2 in 3 dokler ne dosežeš ciljnega vozlišča 

oziroma dokler ne pregledaš vseh vozlišč. 

• Opombe: 

• Razdalja do vsakega dosegljivega vozlišča je zapisana v vektorju d(t). 

• Osnovna različica Dijkstrovega algoritma ne generira najkrajše poti, temveč 

zgolj dolžino, hkrati pa skoraj ni uporabna v kompleksnih mrežah stvarnega 

sveta, kjer obstaja veliko prostih vozlišč. V ta namen uporabimo hevristične 

pristope (npr. algoritem A* v nadaljevanju). 

562 

Primera delovanja Dijkstrovega algoritma: 

Legenda oznak na grafih 




(Vir: http://www.nauk.si/) 

563 




Primera delovanja Dijkstrovega algoritma: 

Iščemo najkrajše poti iz točke A do preostalih točk 

1. Začetno vozlišče in kandidatki za 

novo povezavo. 

2. Izbira vozlišča C in novi možni 

povezavi. 

3. Izbira vozlišča B in kandidatki za 

povezavo. 

4. Konec algoritma 

-> drevo najkrajših poti. 

564 


188





Kompleksnejši primera delovanja Dijkstrovega algoritma (1): 

Iščemo najkrajše poti iz točke A do devetih preostalih točk 

Izvorni graf 

Rešitev 


565 






Korak 1 

Korak 2 


566 






Korak 3 

Korak 4 


567 

189







Korak 5 

Korak 6 


568 






Korak 7 

Korak 8 


569 




• Primeri uporabe Dijkstrovega algoritma: 

• Dijkstrov algoritem je uporaben pri iskanju najkrajše poti 

iz kraja A v kraj B: 

• V takšnem primeru bi za utež uporabili razdaljo (npr. v km) med 

posameznimi kraji (vozlišči). 

• ... ali pa pri iskanju najhitrejše poti iz kraja A v kraj B: 

• V takšnem primeru bi za utež uporabili potovalni čas med kraji 

(vozlišči). Kot rezultat se lahko izkaže smiselna uporaba avtocest, 

kjer prepotovana pot ni najkrajša, je pa lahko zaradi višjih potovalnih 

hitrosti – in s tem nižjega potovalnega časa – časovno bolj ugodna 

(od, na primer, uporabe lokalnih cest, ki sicer omogočijo najkrajšo 

povezavo). 

• Dijkstrov algoritem se uporablja tudi pri iskanju najkrajše 

poti med začetnim in končnim vozliščem v računalniških 

omrežjih vmes pa so usmerjevalniki, pri katerih je 

zaželeno, da paketi potujejo pa najkrajši poti od začetne 

do končne točke. 

• V takšni aplikaciji se uteži lahko dinamično spreminjajo (odvisno od 

prometa v mreži). 

570 

190





Animacija določitve najkrajše poti 

(Dijkstrov algoritem) 

571 




6.2.5.3 Algoritem A* 

• Dijkstrov algoritem je primer splošnega algoritma A*. 

• A* je ciljno usmerjen algoritem, ki obišče preferenčno 

izbrana vozlišča (namesto vseh vozlišč kot to počne 

Dijkstrov algoritem). 

• Pregled vozlišč po preferenčnem seznamu omogoči hitrejšo 

izvedbo algoritma. 

• Največkrat se izdela preferenčni seznam vozlišč s pomočjo 

Evklidskih razdalj ciljnega vozlišča do vseh ostalih vozlišč. 

• Običajno algoritem A* obišče manj vozlišč pri iskanju najkrajše 

poti iz izvora v ponor – zato je v večini primerov mnogo hitrejši 

od ostalih algoritmov. 

572 

6.2.5.4 Izvedba analiz najkrajših 

povezav v GIS 



• Večina orodij GIS ne nudi informacije o vgrajenih 

algoritmih. 

• Le izkušen uporabnik/strokovnjak lahko opredeli vrsto 

vgrajenega algoritma glede na naravo izvedbe; pri tem 

je mogoče oceniti: 

• računsko kompleksnost (čas in prostor potreben za 

izračun), 

• kvaliteto rezultata (optimalnost). 

573 

191




6.2.5.4 Izvedba analiz najkrajših povezav v GIS/ 2 

Primer izvedbe analize najkrajše poti v GIS: 

Najkrajša pot opredeljena iz (1) v (4) preko (2) in 

(3) z upoštevanjem ovir (X) 

A. Izvor (1), Ponor (4), lokaciji prehoda 

(2,3) in oviri (X) 

B. Rešitev (pot v korakih iz 1 v 4) 

 

 

izvor 

ponor 

 

 

 

 

oviri 

 

 

 

 

 

 

574 




6.2.5.4 Izvedba analiz najkrajših povezav v GIS/ 3 

Primer izvedbe analize najkrajše poti v GIS: 

Najkrajša pot iz (1) v (4) 

A. Izvor (1), Ponor (4), lokaciji prehoda 

(2,3) in oviri (X) 

 

B. Rešitev (pot v korakih iz 1 v 4) 

 

izvor 

ponor 

 

 

oviri 

 

 

 

 

575 



6.2.6 Problem trgovskega 

potnika 

• Metode najkrajših poti, ki smo jih spoznali v prejšnjem 

poglavju, so izpeljanke širše skupine problemov, 

imenovane problem trgovskega potnika. 

• Problem trgovskega potnika (ang. travelling 

salesman problem - TSP) je dobro znan problem: 

dano je omrežje (graf, kjer poznamo vrednosti 

povezav); trgovski potnik mora obresti vsa vozlišča 

tako, da bo pri tem prehodil čim krajšo pot (da bo 

vsota vrednosti uporabljenih povezav čim manjša) in 

se bo vrniti v izhodišče. 

576 

192



6.2.6 Problem trgovskega potnika / 2 

• Uporabnost TSP: 

• imamo n vozlišč in vsa moramo obiskati; 

• poznamo "vrednost, ceno, čas" prehoda iz enega vozlišča 

v drugega; 

• želimo, čim ugodneje obiskati vsa vozlišča in priti na 

začetek. 

• Točka začetka ni pomembna! 

• Primeri TSP: 

• optimalna pot trgovskega potnika, ko obiskuje stranke, 

• optimalna pot poštarja, ko prazni/polni nabiralnike, 

• optimalna pot dostavnega kamiona, ko voznik razvaža blago v 

trgovine, 

• optimalna pot varnostne službe pri obhodu objektov, 

• vrtanje lukenj na elektronskih vezjih, 

• analize DNA (štiriškega zaporedja kodonov), 

• ... 

577 



• Načinov iskanja rešitve TSP je več, učinkovite rešitve 

pa ne zagotavlja nobeden: 

• Dobimo lahko le približne rešitve. 

• Takšne rešitve niso nujno najboljše, so pa dokaj 

sprejemljive in dobljene z razumno vloženim trudom. 

• Bolj učinkoviti pristopi reševanja TSP: 

• prepoznavajo in hranijo možne rešitve, 

• ocenjujejo obetavnost rešitev in 

• zavržejo rešitve, ki ne morejo pripeljati do boljše rešitve 

kot je obstoječa možna rešitev. 

• Dva primera metod/pristopov za reševanje TSP: 

• metoda sestopanja, 

• metoda „razveji in omeji“ (RiO). 

578 



• Metoda sestopanja: 

• Je ena izmed možnih metod za reševanje problema 

trgovskega potnika. 

• Po metodi sestopanja poiščemo najboljšo rešitev (pot) 

tako, da preverimo vse možne rešitve in izberemo 

najboljšo. 

• Vseh možnih obhodov je (n-1)!, če je n vozlišč. 

• Metoda je potratna, saj iščemo vse možne rešitve. 

579 

193




Primer reševanja TSP po metodi sestopanja 

Za mrežo dano z matriko povezav določi 

vse krožne poti in izpiši njihove dolžine. 

Skiciraj drevo stanj in poišči optimalno pot. 

Postopek reševanja: 

• Izberemo poljubno točko, iz katere bomo začeli našo pot: izberimo točko 3. 

• Opredelimo vse možne poti. 

• Izračunamo dolžino (strošek) vseh možnih (ker je graf usmerjen t=(n-1)!=(5- 

1)!=24) poti: seštejemo dolžine (stroške) povezav iz matrike povezav. 

• Izberemo optimalno (najkrajšo) pot skozi vsa vozlišča. 

1 2 3 4 5 

1 ∞ 20 30 10 11 

2 15 ∞ 16 4 2 

3 3 5 ∞ 2 4 

4 19 6 18 ∞ 3 

5 16 4 7 16 ∞ 

580 



Primer reševanja TSP po metodi sestopanja (2) 

Vse možne poti in njihove vrednosti: 

3 - 1 - 2 - 4 - 5 - 3 vrednost poti je 37 
























Optimalna pot v našem primeru je: 

3 - 1 - 4 - 2 - 5 - 3, kjer je vrednost poti 28. 

1 2 3 4 5 

1 ∞ 20 30 10 11 

2 15 ∞ 16 4 2 

3 3 5 ∞ 2 4 

4 19 6 18 ∞ 3 

5 16 4 7 16 ∞ 

581 



Primer reševanja TSP po metodi sestopanja (3) 

Drevo možnih stanj: 

1 2 3 4 5 

∞ 20 30 10 11 

1 

2 15 ∞ 16 4 2 

3 3 5 ∞ 2 4 

4 19 6 18 ∞ 3 

5 16 4 7 16 ∞ 

582 

194




• Metoda razveji in omeji (RiO): 

• Izdelamo spisek vseh možnih poti in njihovih 

razdalj/stroškov (sestavimo matriko povezav, v kateri 

so vse možne povezave in njihove vrednosti). 

• Pridobimo oceno vrednosti posameznih poti. 

• Po najbolj obetavni poti pridemo do prve možne rešitve 

(krožne poti), ki ima določeno končno vrednost. 

• Izločimo vse poti, ki imajo kvečjemu enako ali pa slabšo 

možno končno vrednost. 

• Nadaljujemo na poteh, kjer je možno dobiti boljšo končno 

vrednost. 

Več v strokovni literaturi; na primer: 

http://penelope.fmf.uni-lj.si/r2wiki/index.php/Problem_trgovskega_potnika 

583 



• Dolžina drevesa povezav, opredeljenega s potjo 

trgovskega potnika, je enaka ali daljša dolžini drevesa 

minimalnih povezav (običajno je daljša). 

• V primeru simetričnega grafa v ravnini je dolžina poti trgovskega 

potnika 1,5-krat daljša od dolžine drevesa minimalnih povezav. 

• Število možnih rešitev t (poti trgovskega potnika) v 

danem grafu je mogoče opredeliti. 

• V primeru simetričnega neusmerjenega grafa v ravnini je število 

možnih rešitev TSP t=(n-1)!/2, v primeru usmerjenega grafa pa 

kar t=(n-1)!, kjer je n število vozlišč. 

• Število možnih poti izjemno hitro narašča z naraščanje števila 

vozlišč. 

• Primer neusmerjenega grafa: n=10 -> t=181.440 Zato je problem 

O(n!) oziroma problem NP. 

584 



• Splošna opredelitev TSP: 

1. 

2. 

3. 

4. 

 

n n 

min cijxij 

 

, i j 

i1 j1 

 

glede na 

n 

 

i1 

i 

j 

n 

 

j1 

ji 

x ij 

x 1, j 1... n 

ij 

x 1, i 1... n 

ij 

0,1 

 

kjer so c ij stroški potovanja iz i v j (npr. stroškovno opredeljena 

razdalja), in x ij =1 če obstaja med i in j neposredna povezava, sicer 

0. n je število lokacij (vozlišč) na poti, i=1 opredeljuje startno 

lokacijo (npr. skladišče), i=2,3,...n pa so lokacije strank. 

585 

195




Vozlišča, drevo minimalnih povezav in pot trgovskega 

potnika (natančna in približna rešitev) 

A. Izvorna vozlišča (130 vozlišč) B. Natančna rešitev TSP (Concorde) 

C. Drevo najkrajših povezav D. Približna rešitev TSP (LK hevristics) 

586 




• Razširitve problema TSP: 

• problem večih poti (deljenje množice vozlišč); 

• analiza možnosti skupnega izhodišča večih poti 

(na primer iz istega skladišča, garaže ...); 

• analiza poti glede na povpraševanje v ciljnih lokacijah; 

• analiza razvoza glede na omejitev kapacitete 

(na primer, vozila so omejene kapacitete in tudi različne 

vrste - analiza optimalne kombinacije vozil in poti); 

• analiza in modeliranje glede na časovne omejitve 

(na primer, dostava na posamezni lokaciji je omejena s 

časom); 

• ... 

587 

Problem trgovskega potnika: 

Deljenje mreže 

A. Izvorna vozlišča (130 vozlišč) B. Natančna rešitev TSP (Concorde) 



C. Drevo najkrajših povezav D. Dve mreži (poti) 

588 


196




Problem trgovskega potnika: 

Primer simulacije 

Pri problemu trgovskega potnika (ang. Travelling 

Salesman Problem - TSP) gre za problem potnika, ki bi 

rad v najkrajšem času obiskal n mest. Lahko sicer izbira 

med (n-1)! možnimi obhodi, želi pa si, da bi potoval čim 

hitreje in s čim manj napora. Pri obhodu mest mora 

trgovski potnik računati še na spremembo lokacij, ki jih 

mora obiskati, na časovne ovire (npr. okvare avtomobila) 

in fizične ovire (npr. poplave). Torej gre hkrati za 

optimizacijo in prilagodljivost. 

(Vir: http://maja.uni-mb.si/slo/Mehatron/probtrg.htm) 

Ponazorimo problem trgovskega potnika s preprostim 

zgledom. Predpostavimo, da je število mest, ki jih je 

potrebno obiskati n = 10. Če si izberemo za izhodišče 

Celje, je tako možnih kar (n-1)! = 9! = 362.880 obhodov, 

med katerimi sta samo dva najkrajša (v smeri urnega 

kazalca ter v obratni smeri). Cilj je poiskati ta dva 

najkrajša obhoda. Človek pri tem problemu z lahkoto 

poveže mesta na način, da bo dobil najkrajša obhoda, ki 

sta »Celje - Maribor - Murska Sobota - Krško - Črnomelj - 

Koper - Trst - Idrija - Kranj - Ljubljana - Celje« in v 

nasprotni smeri »Celje - Ljubljana - Kranj - Idrija - Trst - 

Koper - Črnomelj - Krško - Murska Sobota - Maribor - 

Celje«. Kaj pa računalnik? 

589 

6.3 Lokacijske analize 

6.3.1 Ključni problemi lokacijskih 

analiz 

• Predvsem zaradi široke uporabnosti na raznih področjih z 

ekonomskimi, sociološkimi in demografskimi posledicami so 

problemi dodeljevanja lokacij in lokacijske analize (v 

zadnjih letih) deležne vse večjega zanimanja. 

• Pri postavitvi nove proizvodnje, upravne ali skladiščne lokacije, 

želimo preveriti, kakšen vpliv bo imela naša odločitev. 

• Pri tem naletimo na optimizacijski problem, katerega rešitev 

opisuje najboljšo možno odločitev. 

• Taki primeri so: 

• kje postaviti novo gasilsko postajo, da bo povprečni odziv gasilcev čim hitrejši, 

• kje locirati skladišče nevarnih snovi, da bo pri prevozu snovi do skladišča 

minimizirana možnost škode ob morebitni nesreči, 

• kje zgraditi mrežo skladišč tako, da bodo logistični stroški minimalni. 

590 

6.3 Lokacijske analize / 2 

6.3.1 Ključni problemi lokacijskih analiz / 2 

• Osnovni podatki lokacijske teorije so nabor lokacij 

(vozlišč), ki so lahko opremljene z različnimi atributi 

(centralnost, neizogibnost ...). 

• Med njimi so vzpostavljene povezave (robovi), ki ustrezajo 

cestam ali pa medsebojnemu vplivu (na primer konkurenci), 

povezave pa imajo prirejene cene ali druge atribute. 

• Kot matematični model uporabimo uteženi graf, katerega 

vozlišča so točke v Evklidski ravnini ali celo v splošnejših 

metričnih prostorih. 

• Kriterijska funkcija prirejene optimizacijske naloge je lahko 

dokaj splošna, vendar je v večini vsakodnevnih aplikacij 

sestavljena iz primerjave prednosti in slabosti lokacije. 

• Za tako splošne probleme je težko najti učinkovite splošne 

postopke, zato je potreben razvoj bistveno različnih 

algoritmov za različne tipe podproblemov. 

591 

197




Komponenta 

ravninski/mrežni/ 

diskretni problem 

(ang. 

planar/network/discrete) 

drevo/graf 

(ang. tree/graph) 

razdalja/metrika 

(ang. distance/metrics) 

objekti 

(ang. facilities) 

Opis 

Ravninski problem — povpraševanje je opredeljeno povsod v 

ravnini (deterministična in/ali verjetnostna opredelitev); storitveni 

objekti so lahko opredeljeni kjerkoli v ravnini. Mrežni problem — 

povpraševanje in ponudba (storitve) so lahko opredeljeni zgolj v 

vozliščih ali na povezavah v mreži; potovanja so omejena zgolj na 

mrežo. Diskretni problem — vozlišča so fiksna, stroški potovanj 

med vozlišči pa niso opredeljeni z obravnavano mrežo. 

V nekaterih primerih obravnavmo graf kot drevo, kar poenostavimo 

postopek reševanja. 

Podobno kot v ostalih skupinah prostorskih analiz lahko uporabljamo 

različne metrike (razdalje) tudi v lokacijskih analizah. 

V lokacijskih analizah nameščamo objekte. Pri tem je mogoče 

predhodno opredeliti, na primer, p (število) objektov, ali pa je število 

objektov opredeljeno v postopku optimizacije problema. Problemi 

namestitve enega objekta spadajo med enostavne probleme 

lokacijskih analiz. Pri nameščanju večjega števila objektov le-te lahko 

opredeljujemo postopoma z dodajanjem posameznih objektov ter 

iskanjem lokalnih optimumov dodanim objektom. 


592 



Komponenta 

statično/dinamično 

(ang. static/dynamic) 

zasebno/javno 

(ang. private/public) 

eno/več-ciljno 

(ang. single/multiobjective) 

Opis 

Večina pristopov lokacijskih analiz je izrazito statičnih. Nekatere od 

statičnih je mogoče aplicirati na dinamične probleme, toda večino 

dinamičnih problemov je potrebno reševati z razširjenimi oziroma 

alternativnimi pristopi lokacijskih analiz. Primeri dinamičnih 

problemov: opredelitev časa in lokacije namestitve naslednjega 

prvega, drugega, tretjega ... objekta; vključitev dinamičnega 

povpraševanja in oskrbe v model; spreminjanje lokacije vozil glede na 

čas v dnevu in tednu, itd. 

Razmejitev med zasebnim in javnim (interesom) se odraža tudi v ciljni 

funkciji problema namestitve objektov. Zasebni interes se odraža zgolj 

v monetarnem vidiku, medtem ko javni interes zagovarja še 

družbene, okoljske in ostale vidike lokacijskih analiz. V splošnem so 

vsi postopki izbire lokacije del širšega okolja za podporo odločitvam 

(model PPPAZ: Problem-Plan-Podatki-Analiza-Zaključki). V postopkih 

lokacijskih analiz je namestitev objektov v javnem interesu največkrat 

mogoče zapovedati, medtem ko je to skoraj nemogoče, če gre za 

objekte v zasebnem interesu. 

Zaradi poenostavitev problemov v večini primerov iščemo/rešujemo 

eno-ciljne probleme optimizacije (na primer: minimizacija časa, 

razdalje ali pa stroškov). Stvarni problemi pa so praviloma več-ciljni 

problemi. Primer simulacije pravega več-ciljnega modeliranja je 

pristop, kjer dejansko izvajamo postopek eno-ciljne optimizacije, 

nato pa s spreminjanjem parametrov ter proučevanjem narave 

problema in robustnosti rešitev simuliramo več-ciljno optimizacijo. 

Takšen pristop sicer ni pravi več-ciljni pristop, toda nudi učinkovito 

rešitev za proučitev več-ciljnih problemov lokacijskih analiz. 

593 




Komponenta 

enolična/raznolika 

storitev 

(ang. unique/diverse 

service) 

elastično/neelastično 

povpraševanje 

(ang. elastic/inelastic 

demand) 

determinističen/ 

prilagodljiv/ 

stohastičen 

(ang. 

deterministic/adaptive/ 

stochastic) 

neomejena/omejena 

kapaciteta 

(ang. capacitated/ 

uncapacitated 

Opis 

V lokacijskih analizah lahko obravnavamo/modeliramo posamezne 

(enolične) storitve (npr. lokacije trgovin s proizvodi vsakdanje 

potrošnje), lahko pa modeliramo/poizvedujemo po raznolikih storitvah 

istega problema (npr. trgovine s kruhom, trgovine z mesom, trgovine 

z zelenjavo ...). 

Večina modelov predpostavlja, da sta povpraševanje in ponudba 

neodvisni spremenljivki. V stvarnem svetu pa lahko izboljšana 

ponudba dvigne povpraševanje po določenem proizvodu – 

povpraševanje je elastično, ponudba pa je lahko elastična ali pa ne. 

Večina modelov oskrbe, povpraševanja in namestitve objektov je 

determinističnih. Le redki modeli omogočajo verjetnostno in 

dinamično modeliranje povpraševanja. Rezultati stohastičnega 

modeliranja so optimalni glede na vhodne podatke, le-ti pa so lahko 

prilagodljivi glede na spremembe v povpraševanju, oskrbi in dinamiki 

transporta. 

V enostavne modele lokacijskih analiz ni mogoče vključiti parametra 

omejitvenih kapacitet objektov (npr. kapacitet skladišč, deponij, 

bolnišnic, vozil) ali povezav (npr. transportnih mrež, plinovoda). Bolj 

kompleksna orodja za lokacijske analize pa omogočajo tudi reševanje 

bolj stvarnih problemov z vključevanjem omejitev v vozlišča in na 

povezave. 


594 

198




Komponenta 

namestitev najbližjega 

objekta/splošno 


(ang. nearest facility/ 

general demand 

allocation) 

hierarhičen/ 

enostopenjski 

(ang. hierarchical/single 

level) 

zaželen/nezaželen 

(ang. 

desirable/undesirable) 

Opis 

V splošnem odgovorimo na povpraševanje z oskrbo iz prvega 

najbližjega objekta. Bolj kompleksni modeli pa lahko upoštevajo 

(dinamično) delitev oskrbe lokacij med iz več objektov; na primer, 

trgovina na drobno oskrbujemo iz več različnih skladišč, bolnike lahko 

napotimo v več različnih bolnišnic (odvisno od količine in vrste 

povpraševanja). 

Nekateri problemi lokacijskih analiz so hierarhični problemi - kar 

pomeni, da jih rešujemo hierarhično: številne proizvode ali storitve 

zagotavljamo hierarhično (na primer iz državne preko regionalne do 

lokalne ravni oziroma do posameznih objektov); lahko pa tudi 

obratno, iz lokalne ravni navzgor. V hierarhičnih problemih namestimo 

objekte najprej na eni stopnji (najvišji ali najnižji), kar je pogoj za 

nameščanje objektov na naslednji stopnji (na primer, namestitev 

bolnišnic s posebnimi oddelki je pogojena z zadostnim zaledjem 

tovrstnih bolnikov). 

V večini lokacijskih analiz nameščamo „želene“ objekte glede na 

predhodno izbrane kriterije razdalje, stroškov, časa itd. Namestitev 

določenih objektov pa poteka z nasprotujočimi cilji; na primer: 

odlagališča odpadkov, sežigalnice, jedrske elektrarne ... Namestitev 

tovrstnih objektov je kompleksen problem, ki ga moramo v postopkih 

lokacijskih analiz upoštevati v sklopu nasprotujočih se ciljev. 


595 


6.3.2 Medianini problemi p 

• V splošnem rešujemo problem namestitve p oskrbnih 

objektov za uteženo povpraševanje na n lokacijah (n>p) ob 

pogoju, da je vsota najkrajših s povpraševanjem uteženih 

razdalj (med n strankami in p objekti) najmanjša. 

• V primeru, da je p=1, so lokacije povpraševanja fiksne; 

lokacijo namestitve enega objekta najdemo v medianinem 

središču (M6). 

• Medianino središče (M6) je središče, ki minimizira vsoto (uteženih) 

razdalj do vseh obravnavanih točk v skupini. 

• Razumemo ga tudi kot središče minimalnega skupnega potovanja 

(ang. Minimum Aggregate Travel - MAT). 

n 

n 

n 

n 

• Iterativna formula: 

M 6x 

k 

 

1 

wi 

xi 

/ di, k wi 

/ di, 

k M 6y 

k 

 

1 

wi 

yi 

/ di, k wi 

/ di, 

k 

i1 

i1 

i1 

i1 

kjer je d i,k razdalja med i-to točko in k-to ocenjeno optimalno lokacijo 

(pomembna izbira razdalje, da se izognemo situaciji /0!), w i pa utež 

povpraševanja na lokaciji i. Običajno začnemo z izračunom povprečnega 

središča M1(x 0,y 0) in nadaljujemo s k=0,1... 

596 


6.3.2 Medianini problemi p / 2 

• V primeru, da obravnavamo namestitev več objektov, 

p>1, pa moramo uporabiti bolj posebne metode (na 

primer hevristične metode). 

• V primeru, da so lokacije povpraševanja opredeljene v 

vozliščih mreže ter da se kontakti izvajajo samo preko 

povezav v mreži, potem lahko objekte namestimo samo v 

vozliščih. 

597 

199




• Medianin problem p – Cooperjeva hevristika 

(ravninski problem): 

1. Znotraj očrtanega pravokotnika (ang. minimum bounded 

rectangle - MBR) ali konveksne ovojnice množice točk V 

naključno izberi p točk (kot izhodiščne lokacije za medianina 

središča). 

2. Alociraj (namesti) vsako točko množice V njenemu 

(evklidskemu) najbližjemu medianinemu središču. To razdeli 

množico V v p podmnožic, V p . 

3. Za vsako od p podmnožic množice V izračunaj medianino 

središče (MAT) po standardni iterativni formuli. 

4. Ponavljaj korake 2 in 3 dokler vrednost ciljne funkcije ne pade 

pod predpisano/izbrano stopnjo tolerance. 

• Po želji, ponovi postopek od koraka 1. 

598 



Medianin problem p: 

Primer namestitve enega in dveh 

objektov v ravnini 

A: lokacije 

povpraševanja 

B: namestitev enega 

objekta ponudbe 

C: namestitev dveh 

objektov ponudbe 

599 





Primer namestitve enega objekta v ravnini 

glede na uteženo povpraševanje 

A: Lokacije uteženega 





600 

200




• Medianin problem p – T&B hevristika 

(mrežni problem): 

• Naj bo V množica m kandidatov vozlišč: potem: 

1. iz V naključno izberi p vozlišč in imenuj to množico Q; 

2. za vsako vozlišče i v Q in j, ki ni v Q (je v množici V, toda ne v 

Q), zamenjaj i in j ter preveri ali se vrednost ciljne funkcije 

izboljša; v primeru, da se vrednost ciljne funkcije izboljša, 

obdrži rešitev kot novo množico Q; 

3. ponavljaj korak 2, dokler rezultata ni več mogoče izboljšati; 

• Po želji, ponovi postopek od koraka 1. 

601 



• Medianin problem p – ostale hevristike 

(mrežni problemi): 

• Ostale tovrstne rešitve običajno začnejo postopek reševanja z 

algoritmov T&B hevristike, nato pa analizirajo potencialno bolj 

zanimive lokacije: 

• algoritem „Greedy add“ (zelo hiter), 

• algoritem „Candidate list search“ (CLS) (zelo hiter), 

• algoritem „Variable neighbourhood search“ (VNS) (hiter), 

• Lagrangeva metoda (počasna, toda daje spodnjo in zgornjo 

mejo optimalnega rezultata) 

602 



Primer animacije medianinega 

problema p po Lagrangeovi metodi 

http://www.hyuan.com/java/Spots.html 

Vključno z razlago metode! 

603 

201



6.3.3 Središčni problemi p 

• V splošnem rešujemo problem namestitve p oskrbnih 

objektov za uteženo povpraševanje na n lokacijah (n>p) 

ob pogoju, da je najdaljša utežena razdalja, ki jo prepotuje 

stranka, najkrajša. 

• S pomočjo središčnih pristopov nameščanja p objektov 

oskrbimo vse stranke znotraj izbranih/predpisanih 

razdalj/časa/stroškov. 

• Najdaljši čas potovanja običajno izračunamo iz mreže. 

• V primeru, da je razdalj/čas/strošek predpisan/izbran, 

potem število objektov p postane spremenljivka. 

604 


6.3.3 Središčni problemi p / 2 

Središčni problem p: 

Primer namestitve enega in dveh 

objektov v ravnini 

Legenda: 

medianina rešitev p 

središčna rešitev p 

A: lokacije 




C: namestitev dveh 

objektov ponudbe 

605 



6.3.3 Središčni problemi p / 3 


Primer namestitve enega objekta v 

ravnini glede na uteženo povpraševanje 

A: Lokacije uteženega 




Legenda: 

medianina rešitev p 

središčna rešitev p 


606 

202



6.3.4 Storitvena območja 

• Po opredelitvi vozlišč s povpraševanjem k enemu 

izmed vozlišč z nameščenim objektom ponudbe, lahko 

izdelamo storitveno območje nameščenega objekta 

(ponudbe). 

• Storitveno območje opredelimo: 

• v ravnini, 

• na mreži. 

607 


6.3.4 Storitvena območja / 2 

Storitveno območje medianinega problem p: 

p=5, mrežni problem, rešitev CLS 

Tripolis, Grčija: 

• 1358 vozlišč (spremenljivka 

povpraševanja je 

opredeljena v vozlišču); 

• 2256 robov; 

• 5 objektov nameščenih po 

medianini rešitvi p; 

• barve prikazujejo storitvena 

območja glede na 


• temnejše linije označujejo 

predlagane optimalne poti 

do lokacij povpraševanja. 

Opomba: Vsi objekti so 

nameščeni skoraj v sredini 

storitvenih območij. 


608 



Storitveno območje središčnega problema p: 

p=5, mrežni problem, rešitev CLS 

Tripolis, Grčija: 

• 1358 vozlišč (spremenljivka 

povpraševanja je 

opredeljena v vozlišču); 

• 2256 robov; 

• 5 objektov nameščenih po 

središčni rešitvi p; 

• barve prikazujejo storitvena 

območja glede na 


• temnejše linije označujejo 

predlagane optimalne poti 

do lokacij povpraševanja. 

Opomba: Širša namestitev 

objektov kot v primeru 

medianine rešitve p. 

Storitveno območje 

medianinega problema p 


609 

203




Storitveno območje: 

p=3, mrežni problem, mrežne razdalje 

A. Lokacije reševalnih postaj B. Storitvena območja 

(razdalje po mreži) 

610 


6.4 Usmerjanje povezav 

• Usmerjanje povezav je skupen izraz za probleme na 

grafih, kjer je potrebno poiskati takšno pot, da 

prečkamo vse povezave (robove) znotraj storitvenega 

območja. 

• Gre torej za posebno skupino problemov usmerjanja vozil. 

• problemi usmerjanja povezav (ang. arc routing) ≡ 

≡ problemi prečkanja mreže (ang. network traversal problems) 

• Problem: obiskati (natanko enkrat, če je mogoče) vse 

povezave v mreži. 

611 

6.4 Usmerjanje povezav / 2 

• Primeri aplikacij prečkanja mreže: 

• zbiranje odpadkov, 

• pluženje snega, 

• dostava reklamnih sporočil, 

• odčitavanje (električnih, vodovodnih, plinskih ...) števcev, 

• ... 

• Različice aplikacij: 

• prečkanje delov mreže (določene dele mreže lahko spustimo), 

• vključitev spremenljivk kot so stroški/omejitve na povezavi, 

• vključitev spremenljivke kapacitete vozil, 

• opredelitev prednostnih povezav, 

• ... 

612 

204



• Splošna opredelitev problema usmerjanja 

povezav (brez omejitev kapacitet): 

• Naj bo E množica robov (ang. edges) in V množica vozlišč (ang. 

vertices) grafa G(E,V). 

• Z (i,j) označimo rob iz vozlišča i v vozlišče j dolžine d(i,j). 

• Ciljna funkcija je: 

1. 

2. 

3. 

 

min d ij u ij , ob pogojih 

( , ) 

i j E 

( i, 

 

 

u ij u ji 

j) 

E 

( j, 

i) 

E 

u ij 1 ( 

i, 

j) 

E 

kjer u ij označuje pogostost prečkanja povezave (i,j); pri nastavitvi 

problema je u ij =1. 

613 


• Reševanje problema usmerjanja povezav (brez 

omejitev kapacitet) – v dveh stopnjah: 

1. Preveri vozlišča, ali izpolnjujejo pogoj za Eulerjev krog (ali je 

število vstopnih povezav enako številu izstopnih povezav). 

a) V primeru, da mreža ni usmerjena, preveri, če je stopnja 

vsakega vozlišča parno število. Če to drži, nadaljuj na 

koraku 2. 

b) Vozliščem, katerih stopnja ni parno število, sistematično 

dodaj (usmerjen) rob, dokler pogoj (a) ni izpolnjen. 

2. Reši ECP (problem Eulerjevega kroga). 

• Uporabimo lahko različne pristope (algoritme): Fleuryjev 

algoritem (1885), Hierholzer (1873) algoritem ... 

• Rešitev Eulerjevega kroga ni enolična: v vsakem grafu 

imamo O(k n ) Eulerjevih krogov, kjer je n število vozlišč in 

k=K-1, kjer je K minimalno število prostostnih stopenj 

vozlišč v množici V. 

614 


Usmerjanje povezav: 

Primer rešitve prečkanja mreže pri pluženju 

A. Lokacije skladišč plužne opreme B. Plan prečkanja mreže (območje 7310) 

615 


205


Literatura 

• Anselin L. 2002: Under the hood: Issues in the specification and 

interpretation of spatial regression models. Agricultural Economics, 

17(3), 247-67. 

• Cressie N. A. C. 1993: Statistics for spatial data. Revised edition. 

John Wiley, New York. 

• Dantzig G. B. 1960: On the shortest route through a network. 

Management Science, 6, 187-90. 

• Dijkstra E. W. 1959: A note on two problems in connexion with 

graphs. Numerische Mathematik, 1, 269-71. 

• Dorling D. 1996: Area cartograms: Their use and creation. Concepts 

and Techniques in Modern Geography (CATMOG), 59, Geo Abstracts 

Ltd, Norwich, UK http://www.qmrg.org.uk/?page_id=141 

• Dougenik J. A., Chrisman N. R., Niemeyer D. R. 1985: An algorithm 

to construct continous area cartograms, Professional Geographer, 37 

(1), 75-81. 

616 

Literatura / 2 

• Draper G., Vincent T., Kroll M. E., Swanson J. 2005: Childhood 

cancer in relation to distance from high voltage power lines in 

England and Wales: a case-control study. British Medical J., 330(4): 

1-5. 

• Eastman J. R. 2006a: Idrisi Andes: Guide to GIS and Image 

Pocessing, Clark Labs, Clark University, Worcester, USA. 

• Eastman J. R. 2006b: Idrisi Andes: Tutorial, Clark Labs, Clark 

University, Worcester, USA. 

• ESRI 1996: Automation of map generalization – the cutting edge 

technology. Esri, Redlands, CA, USA 

http://downloads.esri.com/support/whitepapers/ao_/mapgen.pdf 

• Ferligoj A. 1989: Razvrščanje v skupine, Zbirka Metodološki zvezki 

št. 4, Raziskovalni inštitut, Fakulteta za sociologijo, politične vede in 

novinarstvo, Ljubljana. 

617 


• Gabriel K. R., Sokal R. R. 1969: A new statistical approach to 

geographic variation analysis. Systematic Zoology, 18, 259-78. 

• Harvey D. 1969: Explanation in geography. E Arnold, London. 

• Kvamme K., Oštir-Sedej K., Stančič Z., Šumrada, R. 1997: 

Geografski informacijski sistemi, ZRC-SAZU, Ljubljana. 

• Longley P. A., Goodchild M. F., Maguire D. J., Rhind D. W. 2005: 

Geographic information systems: Principles, techniques, 

management and applications. Abridged edition, J. Wiley, Hoboken. 

• Mackay R. J., Oldford R. W. 2002: Scientific method, statistical 

method, and the speed of light. Working Paper 2000-02, 

Department of Statistics and Actuarial Science, University of 

Waterloo, Ontario, Canada. 

• Mitchel A. 2005: The ESRI guide to GIS analysis, Volume 2: Spatial 

measurements and statistics. ESRI Press, Redlands, CA, USA. 

618 

206



• Openshaw, S. 1984: The Modifiable Areal Unit Problem. Norwich: 

Geo Books. 

• Okabe A., Satoh T., Sugihara K. 2009: A kernel density estimation 

method for networks, its computational method and a GIS-based 

tool. Int. J. of Geographical Information Science, 23(1), 7-32. 

• Oštir K. 2006: Daljinsko zaznavanje, ZRC SAZU, Ljubljana. 

• de Smith M. J., M. F. Goodchild in P. A. Longley 2010a: Geospatial 

Analysis, A Comprehensive Guide to Principles, Techniques and 

Software Tools, Splint, Spatial Literacy IN TeachingLeicester, Velika 

Britanija. 

• de Smith M. J., M. F. Goodchild in P. A. Longley 2010b: Geospatial 

Analysis - Web Version 

http://www.spatialanalysisonline.com/output/ 

• de Smith M. J., M. F. Goodchild in P. A. Longley 2010c: Geospatial 

Analysis – A Powerpoint presentations 

http://www.spatialanalysisonline.com/resources.html 

619 


• Tobler W. in Wineberg S. 1971: A Cappadocian speculation. Nature, 

231(5297), 39-42. 

• Tomlin C. Dana 1990: Geographic Information systems and 

cartographic modeling. Prentice-Hall, New Jersey. 

• Wikipedia 2010: The Free Encyclopedia, http://en.wikipedia.org/ . 

• Wikipedija 2010: Prosta enciklopedija, http://sl.wikipedia.org/ . 

• Womble W. H. 1951: Differential systematics. Science, 114, 315-22. 

620 

207

3 na stran - Univerza v Ljubljani, Fakulteta za gradbeništvo in ...

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?