методические указания и контрольные задания - Кафедра ...

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И 

КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ 

ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ 

ДЛЯ СТУДЕНТОВ 

ЗАОЧНОГО ОБУЧЕНИЯ 

составитель 

Н.М. Пекельник, 

А.В. Пожидаев, 

А.Л. Мирошников 

Новосибирск, 2011 

1

Методические указания состоит из двух частей. Первая часть 

содержит перечень основных вопросов, изучаемых в курсе 

«Высшая математика», варианты заданий для контрольных 

работ. Вторая часть содержит решения основных задач. 

2

ПРОГРАММА КУРСА "ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА" 

Раздел 1. Введение в математический анализ 

1. Переменные величины. Функции, способы их 

задания, область определения, классификация 

функций. 

2. Предел функции. Числовая последовательность и 

ее предел. Бесконечно малые и бесконечно 

большие функции, их свойства. 

3. Свойства пределов. Замечательные пределы. 

Вычисление пределов, раскрытие 

неопределенностей. Сравнение бесконечно малых, 

эквивалентные бесконечно малые и их свойства. 

4. Непрерывность функции в точке. Точки разрыва и 

их классификация. Свойства функций, 

непрерывных на отрезке. 

Раздел 2. Дифференциальное исчисление функций 

одной переменной 

5. Производная функции, ее геометрический и 

механический смысл. Основные правила 

дифференцирования. 

Производные 

тригонометрических функций, логарифмической 

функции. 

6. Дифференцирование сложной функции, неявно 

заданной. Производная показательной, степенной 

функции. 

7. Дифференцирование обратной функции. 

Производные обратных тригонометрических 

функций. Таблица производных. 

8. Логарифмическое дифференцирование. 

Дифференцирование функций, заданных 

параметрически. 

9. Дифференциал функции, его приложения. 

Производные и дифференциалы высших порядков. 

3

10. Теорема о среднем. Правило Лопиталя. Формула 

Тейлора. 

11. Исследование функций на монотонность, 

экстремум. Наибольшее и наименьшее значение 

функции на отрезке. 

12. Исследование функций на выпуклость, вогнутость, 

точки перегиба. 

13. Асимптоты графика функции. Полное 

исследование функций и построение графика. 

Раздел 3. Неопределенный интеграл 

14. Первообразная. Неопределенный интеграл, их 

свойства. Таблица интегралов. 

15. Интегрирование подстановкой и по частям. 

16. Интегрирование простейших рациональных 

дробей. 

17. Интегрирование тригонометрических функций. 

18. Интегрирование некоторых иррациональностей. 

Раздел 4. Определенный интеграл 

19. Определенный интеграл и его свойства. 

20. Определенный интеграл как функция его верхнего 

предела. Формула Ньютона-Лейбница. 

21. Вычисление определенных интегралов. 

22. Геометрические приложения определенного 

интеграла. 

Раздел 5. Теория вероятностей 

23. Предмет теории вероятностей. Случайные события 

и их классификация. Классическое и 

статистическое определения вероятности. 

24. Алгебра событий. Теоремы сложения и умножения 

вероятностей. 

25. Формула полной вероятности. Формула Бейеса. 

26. Повторение испытаний. Схема Бернулли. 

Локальная и интегральная теоремы Лапласа. 

4

27. Случайные величины. Закон распределения. 

Биномиальное распределение. Распределение 

Пуассона. Простейший поток событий. 

28. Числовые характеристики дискретных случайных 

величин. 

29. Функции распределения случайных величин. 

Числовые характеристики непрерывных 

случайных величин. 

30. Равномерное, показательное распределения. 

31. Нормальное распределение. 

32. Закон больших чисел. Центральная предельная 

теорема. 

Раздел 6. Математическая статистика 

33. Генеральная совокупность и выборка. 

Эмпирическая функция распределения. Полигон и 

гистограмма. 

34. Статистические оценки параметров 

распределения. 

35. Статистическая проверка статистических гипотез. 

36. Критерий Пирсона. 

37. Функциональная, корреляционная зависимости. 

Линейная регрессия. Коэффициент корреляции. 

38. Криволинейная корреляция. 

5

Указания по выполнению и оформлению 

контрольных работ 

При выполнении контрольных работ следует строго 

придерживаться следующих правил: 

1. Контрольную работу следует выполнять в тетради, 

отдельной для каждой работы, чернилами любого цвета 

кроме красного, оставляя поля для замечаний рецензента. 

2. В заголовке работы на обложке тетради должны быть ясно 

написаны фамилия студента, его инициалы, учебный 

номер (шифр), номер контрольной работы, название 

дисциплины, дата выполнения работы. 

3. Решения задач нужно располагать в порядке возрастания 

их номеров, сохраняя номера задач. 

4. Перед решением каждой задачи нужно выписать 

полностью ее условие. 

5. Решения задач следует излагать подробно и аккуратно, 

объясняя и мотивируя все действия по ходу решения и 

делая необходимые чертежи. 

6. Рекомендуется в конце тетради оставлять несколько 

чистых листов для дополнений и исправлений. 

7. Контрольные работы должны быть сданы на кафедру за 2 

недели до начала сессии. 

Номер варианта является единым при выполнении 

всех работ и совпадает с последней цифрой учебного номера 

(шифра). 

Контрольные работы включают в себя следующие задания: 

№1 — задания 1-10; 11-20; 21-30; 31-40; 41-50; 51-60; 

61-70; 71-80; 81-90; 91-100. 

№2 — задания 101-110; 111-120; 121-130; 131-140; 141-150; 

151-160; 161-170; 171-180; 181-190; 191-200; 201-210; 

211-220. 

6

Задания для контрольных работ 

Контрольная работа №1 

Задание №1 

1-10. Найти область существования функции у=f(х). 

Задания по вариантам: 

x 4 2x 

1. f ( x) ln f ( x) 

tg 

x 4 3 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

f ( x) 2 

x 2x 

3 

f ( x) ctg( x ) 

( x 3)( x 8) 3 

f ( x) x 4 2x 

1 

arcsin f ( x) 

5 

2 

x 16 

x 1 

f ( x) f ( x) tg(2x 

3) 

x 4 

x 1 

x 

f ( x) ln f ( x) ctg( x ) 

x 4 2 

x x 1 

f ( x) arccos f ( x) 

5 

2 

x 9 

1 2x 

4 

7. f ( x) arctg f ( x) 

2 

x x 2x 

3 

2 

x 9 

8. f ( x) ln f ( x) tg(3 x ) 

2 

x 9 6 

9. 5 x 

f ( x) 4 f ( x) arcsin(2x 

1) 

3x 

8 

2 3x 

4 

10. f ( x) x 5x 6 f ( x) ln 1 x 


11-20. Найти пределы (не пользуясь правилом Лопиталя) 

3 

2 

3x 

4x 

2 2x 

5x 

3 

11. а) lim 

2 3 

; б) lim 

2 

; 

x 4 2x 

5x 

x 3 x 9 

7

7 x 7 x cosx 

cos 

в) lim ; г) lim 

x 0 4x 

x 0 3x 

sin x 

х 

д) lim( 1 3 х) 

. 

x 

0 

2 

х 

2 

x 

; 

4 2 

2 

2х 

3х 

5 х 6х 

16 

12. а) lim 

4 2 

; б) lim 

2 

; 

x 7х 2х 4х 

x 2 3х 

5х 

12 

4х 

5 30 х 

2 

в) lim ; г) limх ctg 

2 3 x ; д) lim 

x 5 5 5х 

x 0 

x 

3 

2 

2х 

4х 

1 2х 

5х 

3 х 3 1 

13. а) lim 

2 

; б) lim 

2 

; в) lim ; 

x 5х 

4х 

3 x 1 х 4х 

5 x 4 х 5 3 

1 

г) lim cos 4x 

; 

x 0 cos5x 

1 

д) lim 

x 

2х 

1 

2х 

1 

3 2 

2 

5х 

4х 

9 х 8х 

12 х х 

14. а) lim 

2 4 

; б) lim 

2 

; в) lim 

2 

; 

x 4 3х 

5х 

x 2 3х 

4х 

4 x 1 х х 

г) lim arcsin 2х 

3x 

3х 

; д) lim . 

x 0 5x 

x 1 3х 

3 2 

2 

5х 4х 2х 

3х 

4х 

1 

15. а) lim 

3 

; б) lim 

2 

; 

x 2 3х 

4х 

x 1 2х 

5х 

7 

2 х 3 

в) lim ; г) lim cos 6x 

1 х 

; д) lim 

x 7 х 7 

x 0 x sin2x 

x х 

4 

2 

2 7х 

7х 

х 3х 

2 

16. а) lim 

4 2 

; б) lim 

2 

; 

x 3х 2х 5х 

x 1 3х 

4х 

7 

2 

х 2 

в) lim ; 

x 2 2х 

2 г) lim x ctg2x 

8 

; д) lim 1 3 х х . 

x 0 sin3x 

x 0 

2 4 

2 

2 3х 

7х 

х х 12 

17. а) lim 

3 

; б) lim 

2 

; 

x 2х 4х 9х 

x 4 2х 

7х 

4 

2 

х 

х х 

5х 

х 1 2 5 

в) lim ; г) lim ; д) lim . 

x 0 1 2х 

1 3х 

x 0 arctgx x х 

2х 

. 

2 

5 

х 

х 

4х 

. 

3 

2 

зх 

. 

8

3 

4 5х 

2х 

2х 

6 

18. а) lim 

4 2 

; б) lim 

2 

; 

x 5х 6х 7х 

x 3 х 2х 

15 

2 2х 

в) lim 

x 2 6х 

4 4 ; г) lim sin 3 

2x 

3 

3 

; д) lim 1 2 х х . 

x 0 5x 

x 0 

2 4 

2 

1 4х 

7х 

2х 

7х 

4 

19. а) lim 

4 3 

; б) lim ; 

x 5х 6х 9х 

1 10х 

5 

2 

х 9 3 

в) lim ; 

x 0 2 

х 25 5 г) lim sin 8x 

sin 4x 

; 

x 0 5x 

x 

2 

9 

д) lim 

x 

2 

2 

4х 

5х 

8 х 9х 

18 

20. а) lim 

2 

; б) lim 

2 

; в) lim 

x 1 3х 

5х 

x 6 3х 

17х 

6 x 4 

г) lim cos 2х 

1 4x 

х 1 

; д) lim . 

x 0 2xtg2x 

x х 3 

4х 

1 

4х 

2х 

. 

4х 

х 

2 

х 16 ; 


21-30. В задачах а) и б) найти точки разрыва функции. 

Определить характер разрыва, сделать чертеж. 

x 4, x 1; 

1 

5 

21. а) y 2 x ; б) 

1 

3 

y 

y 

x 

22. а) 4 ; б) y 

1 

2 

23. а) y 3 x ; б) 

1 

1 

y 

y 

x 

24. а) 5 ; б) y 

x 

2 

2x, 

x 

x 

x 

2 

x, 

x, 

( x 

2, 

3, 

2, 

1, 

cosx, 

x 

2 

x, 

1, 

x 

1) 

x 

x 

2 

x 

x 

, 

0 

x 

1 

1 

0; 

x 

1. 

1; 

1. 

0 

0; 

x 

1. 

x 

x 

2. 

x 

1; 

1; 

1; 

2;

1 

3 

25. а) y 4 x ; б) 

1 

3 

y 

y 

x 

26. а) 2 ; б) y 

1 

2 

27. а) y 9 x ; б) 

1 

1 

28. а) y 3 x ; б) 

2 

5 

29. а) y 5 x ; б) 

1 

3 

30. а) y 9 x ; б) 

y 

y 

y 

y 

x, 

x 0; 

2 

x , 0 x 2; 

x 1, x 2. 

x, 

x 0; 

sin x, 

0 x ; 

x 2, x . 

( x 1), x 1; 

( x 

1) 

2 

, 

x, 

x 

x 

2 

, 

x 

tgx, 

0 x 

2, x 

x 

1 x 

0. 

0; 

4 

. 

2x, 

x 0; 

2 

1, 0 x 

4 

; 

1; 

2, x 1. 

2x, 

x 0; 

x, 

0 x 4; 

1, x 4. 

0; 


dy 

31-40. Найти производные данных функций: 

dx 

3 

cos x 2 

31. а) y 2 4x 

3 

; б) y e 3 ; 

3 

x x 1 

x y 

в) y ln sin(2x 

5) 

; г) y x ; д) tg 5 x . 

x 

10

32. а) 

2 2 

y x 1 x ; б) 

1 

4sin x 

y ; в) y 

2 

cos x 

x 

г) y x ; д) x y arctg y 0. 

33. а) 

y 

x 

1 

1 

2 

x 

; б) y 

x 

arctg e 

2 x 

; 

1 

; в) y arcsin 1 3x 

; 

2 

tg 2x 

x 

г) y x 

ln ; д) y sin x cos( x y) 

. 

3 6x 

34. а) y ; б) y sin x xcosx 

; 

2 

3 4x 

5x 

в) y 

3 x ln x ; г) 

tgx y x 

y x ; д) arctg . 

x y 

35. а) 

x 

y ; б) 

2 2 

e x 

2 

sin x 

2 3cos 

y 

2 

; в) 

x 

ln x 

; д) x 1 e 

y 1 1 0 

x ln x 

y ; 

x 1 

г) y arctgx e . 

1 5 3 

36. а) y 5 x 1 ; б) y 2tg 

3 ( x 2 1) 

; 

2 

x 1 

в) 

2 

arctg x 

y 3 ; г) 

x 

x 

y arcctgx ; д) y 2 x e . 

2 

1 x 

37. а) y 3 ; б) y 

1 tg 

2 x lncosx 

; 

2 

1 x 2 

x 

в) y arctg 

; г) y 

2 

1 1 x 

3 3 

д) x y 3xy 

0 . 

38. а) 3 

4 

y 3 x 5x 

; б) y 

x 

5 5 

2 

в) y arctg tg x ; г) y 

39. а) 55 

x x ; б) 

x 

2 1 

ln x 

x 

x 

2 

x 

1 sin x 

ln ; 

1 sin x 

sin x ; д) x y 5sin 

y 0 . 

x x 

y 2 e ; в) 

; 

y 

arcsin x 

y ; 

2 

1 x 

11

г) 

y cos x ; д) 

40. а) 

в) 

x 

x 

ln y arctg . 

y 

2 3 3 

3 

y x 1 x 1 ; б) y tg x tgx x 

3 x 

y arctg ; г) 

x 2 


2 

dy d y 

41-50. Найти и . dx 

2 

dx 

41. а) у=х 2 x 2t 

sint; 

lnx; б) 

y t cost. 

42. а) у=е х sinx; б) 

2 

43. а) y x x 1 ; б) 

44. а) у=ln(tg3x); б) 

45. а) 

x 

y 

x 

y arctg ; б) 

2 

46. а) у=e x cosx; б) 

47. а) 

2 

x 

y xe ; б) 

48. а) y arcsin x 

2 

; б) 

x 

y 

x 

x 

y 

y 

12 

x 

3 

1 

3 

y 

y cosx 

; д) x y e arctgx 0 . 

ln3t; 

1 

t 

x 

x 

y 

y 

t 

t 

3t 

3t 

x 

2 

1 

2 

2t. 

sin2t; 

t 

2 

cost. 

sint; 

cost. 

3cos 

. 

2sin 

t 

lnt; 

y 

3 

1 

t 

; 

t 

2 

3 

t; 

t. 

. 

2t 

3 t; 

ln3 t. 

;

49. а) у=х 2 e -x x 

; б) 

y 

50. а) у=arccos2x; б) 

cost 

2t; 

t sint. 

x 5t 

y 

t 

5 

t 

3 

; 

3 t. 



61-70. Вычислить неопределенные интегралы. Ответы 

проверить дифференцированием. 

dx 

tg3x 

ctg3x 

x 

61. а) ; б) dx; в) dx ; 

2 

3 

( 1 sin 2x) 

sin 3x 

7 5x 

( x 7) dx 

г) . 

2 

x 4x 

13 

3 

3 

2 x 2 x 

dx 

62. а) 

; б) 

; 

3 2 

2 

2 

4 x cos x(1 

tg x) 

( x 1) dx 

в) x 5 1 3xdx; г) 

. 

2 

4x 

12x 

13 

2 2 

( x 1)( x 2) 

x dx 

63. а) dx; б) 

; 

2 

2 

x 

cos (4 3x 

) 

3ln x 7x 

(2x 

3) dx 

в) dx ; г) 

. 

3 

2 

x 

x 4x 

7 

3 5 x 2 4x 

64. а) dx ; б) 

x 

( x 3) dx 

г) 

. 

2 

3 2x 

x 

dx 

2x 

e 

65. а) ( 2 3x 

2 ) 3 dx ; б) 

2 

3cos x 

в) 

x 

dx; г) 

(2 x) 

dx 

. 

20 

(4 5x) 

2 

1 2x 

x 

13 

xsin5x 

; в) dx 

1 cos 5x 

dx 

2sin 2x 

sin 

2 

; 

2 

; 

x

66. а) x ( x 2)( x 3) 

dx ; б) sin 3 x cosx dx ; 

3 

в) x( 2 3x) 

dx; г) 

67. а) 

в) 

1 

x 

2 

( 1 4x 

dx 

; б) 

cos2x 

dx 

dx 

68. а) ; б) 

4 2 

x x 

( x 5) dx 

г) 

. 

2 

2x 

2x 

3 

dx 

69. а) 

2 

3sin x cos 

г) 

70. а) 

2 

) 

3 

( x 2) dx 

. 

2 

3 x 2x 

3 

3 2 

x 2 

x 

x 

г) dx. 

2 

x x 1 

( x 2) dx 

. 

2 

x 4x 

3 

dx 

; 

2 

x 3x 

x 

3x 

2 

; г) dx 

5x 

3x 

2 

2 

2 

. 

4 dx 

x 

2 cos 2 

; б) 

x 

1 

x 

x 

2 

; в) x arctg2xdx; 

x 

dx 

2 

2x 

2 

ln x 3 

; в) dx 

2 

x 

x 

2 

3 

x 

; б) dx; в) dx; 

x 

9 4 

6 

9 4x 

; 


71-80. Вычислить определенный интеграл. 

0 

3 2 

x 

71. а) dx ; б) 

8 3 x 

2 3 

72. а) . 

73. а) 

2 

1 

2 

1/ 2 

3 / 2 

dx 

4 

x 1 

dx 

2 

4x 

4x 

; б) 

1 

0 

1 

2 

dx 

( 11 5x) 

e 

1 

x 

; б) 

5 

dx 

. 

2x 

e 

2 

3 

3 

14 

. 

dx 

. 

2 

x 1

74. а) 

9 

dx 

4 x(x 1) 

/ 2 

; б) 

1 

0 

3 

x dx 

. 

2 

1 x 

3 

2x 

75. а) sin xdx ; б) sin dx . 

2 

76. а) 

0 

49 

xdx 

x 6 

25 

; б) 

2 

2 

cos 

3 

x cos x dx. 

77. а) 

78. а) 

79. а) 

80. а) 

3 

0 

1 

ln( x 3) dx; б) 

x dx 

0 2x 7 

1 

0 

1 

0 

x 

2 x 

e dx; б) 

arctgx dx; б) 

2 

4 

0 

x 

x 

2 

2 

dx 

. 

1 

sin 1 

x 

; б) dx. 

2 

1 x 

2 

e 

e 

dx . 

x ln x 

1 cos2x . 

2 

0 


81-90. Найти площадь фигуры, ограниченной заданными 

линиями. Сделать чертеж. 

81. у=2 х , у=2х-х 2 , х=0, х=2. 

82. х= -2у 2 , х=1-3у 2 . 

83. х 2 =4у, y 8 

2 

x 4 

. 

84. у=х 2 +1, х+у=3. 

85. у=х+1, у=cosx, y=0. 

86. у=-х 2 -2х+3, у=7-6х, х=0. 

87. у=х 2 -2х+2, у=4-7, х=0. 

x 

88. y , у=0, х=1. 

2 2 

(x 1) 

89. у=(х-4) 2 , у=16-х 2 , у=0. 

15

3 2 

90. у 2 =х, x y 1 . 

4 


91-100. Найти объем тела, образованный вращением вокруг 

оси Ох (Vx) или оси Оу (Vy) фигуры, ограниченной 

заданными линиями. Сделать чертеж. 

1 2 

91. y x 2 , 5х-8у+14=0; Vx=? 

4 

92. у=х 2 , 8х=у 2 ; Vy=? 

93. ху=4, х=1, х=4, у=0; Vх=? 

94. у=2х-х 2 , у=0; Vx=? 

95. у=х 3 , у=0, x=2; Vy=? 

96. у=sinx, y=0, 0 x 2 ; Vx=? 

2 

97. у=sinx, y x ; Vx=? 

98. у=x 3 , х=1, х=2; Vx=? 

99. xу=4, y=1, y=4, x=0; Vy=? 

100. у=x 3 , y=0, x=1, x=2; Vy=? 

16



101-110. Решить следующие задачи. 

101. На сельскохозяйственные работы из трех бригад 

выделяют по одному человеку. Известно, что в первой 

бригаде 15 человек, во второй - 12, в третьей - 10 человек. 

Определить число возможных групп по 3 человека, если 

известно, что каждый рабочий может быть отправлен на 

сельскохозяйственные работы. 

102. Пять пассажиров садятся в электропоезд, состоящий из 

10 вагонов. Каждый пассажир с одинаковой вероятностью 

может сесть в любой из 10 вагонов. Определить число всех 

возможных вариантов размещения пассажиров в поезде. 

103. Студенты данного курса изучают 12 дисциплин. В 

расписание занятий каждый день включается по 3 предмета. 

Сколькими способами может быть составлено расписание 

занятий на каждый день? 

104. Восемь человек договорились ехать в одном поезде, 

состоящем из восьми вагонов. Сколькими способами можно 

распределить этих людей по вагонам, если в каждый вагон 

сядет по одному человеку? 

105. В шахматном турнире участвовало 14 шахматистов, 

каждый из них сыграл с каждым по одной партии. Сколько 

всего сыграно партий? 

106. На конференцию из трех групп студентов одной 

специальности выбирают по одному делегату. Известно, что 

и первой группе 25, во второй - 28 и в третьей - 20 человек. 

Определить число возможных делегаций, если известно, что 

каждый студент из любой группы с одинаковой 

вероятностью может войти в состав делегации. 

107. Из девяти значащих цифр составляются трехзначные 

числа. Сколько различных чисел может быть составлено? 

108. Сколько различных четырехзначных чисел можно 

записать с помощью девяти значащих цифр, из которых ни 

одна не повторяется? 

17

109. В пассажирском поезде 10 вагонов. Сколькими 

способами можно размещать вагоны, составляя этот поезд? 

110. Из 10 кандидатов на одну и ту же должность должно 

быть выбрано 3. Определить все возможные варианты 

результатов выборов. 



111. Из пяти букв разрезной азбуки составлено слово 

«песня». Ребенок, не умеющий читать, рассыпал буквы и 

затем собрал в произвольном порядке. Найти вероятность 

того, что у него снова получилось слово «песня». 

112. Куб, все грани которого окрашены, распилен на тысячу 

кубиков одинакового размера. Полученные кубики 

тщательно перемешаны. Определить вероятность того, что 

наудачу извлеченный кубик будет иметь две окрашенные 

грани. 

113. Из партии втулок, изготовленных за смену токарем, 

случайным образом отбирается для контроля 10 шт. Найти 

вероятность того, что среди отобранных втулок две - второго 

сорта, если во всей партии 25 втулок первого сорта и 5 - 

второго. 

114. В лифт шестиэтажного дома на первом этаже вошли 3 

человека. Каждый из них с одинаковой вероятностью выйдет 

на любом из этажей, начиная со второго. Найти вероятность 

того, что все пассажиры выйдут на четвертом этаже. 

115. В группе спортсменов 7 лыжников и 3 конькобежца. Из 

нее случайным образом выделены три спортсмена. Найти 

вероятность того, что все выбранные спортсмены окажутся 

лыжниками. 

116. Из букв разрезной азбуки составлено слово «ремонт». 

Карточки с отдельными буквами тщательно перемешивают, 

затем наугад вытаскивают 4 карточки и раскладывают их в 

порядке извлечения. Какова вероятность получения при этом 

слова «море»? 

18

117. Из восьми книг две художественные. Найти вероятность 

того, что среди взятых наугад четырех книг, хотя бы одна 

художественная. 

118. На полке 6 радиоламп, из которых две негодные. 

Случайным образом отбираются две радиолампы. Какова 

вероятность того, что они годны для использования? 

119. В запасе ремонтной мастерской 10 поршневых колец, 

три из них восстановленные. Определить вероятность того, 

что среди взятых наугад четырех колец два окажутся 

восстановленными? 

120. Десять студентов условились ехать определенным 

рейсом электропоезда с 10 вагонами, но не договорились и 

номере вагона. Какова вероятность того, что ни один из них 

не встретится с другим, если возможности в размещении 

студентов по вагонам равновероятны? 



121. В телестудии три телевизионные камеры. Вероятности 

того, что в данный момент камера включена, соответственно 

равны: 0,9; 0,8; 0,7. Найти вероятность того, что в данный 

момент включены: а) две камеры; б) не более одной камеры; 

3) три камеры. 

122. На железобетонном заводе изготовляют панели, 90% из 

которых - высшего сорта. Какова вероятность того, что из 

трех наугад выбранных панелей высшего сорта будут: а) три 

панели; б) хотя бы одна панель; в) не более одной панели? 

123. В блок входят три радиолампы. Вероятности выхода из 

строя в течение гарантийного срока для них соответственно 

равны: 0,3; 0,2; 0,4. Какова вероятность того, что в течение 

гарантийного срока выйдут из строя: а) не менее двух 

радиолами; б) ни одной радиолампы; в) хотя бы одна 

радиолампа? 

124. В первом ящике 20 деталей, 15 из них - стандартные, во 

втором ящике 30 деталей, 25 из них - стандартные. Из 

каждого ящика наугад берут, по одной детали. Какова 

19

вероятность того, что; а) обе детали будут стандартными; б) 

хотя бы одна деталь стандартная; в) обе детали 

нестандартные? 

125. Вероятность поражения цели первым стрелком равна 

0,9, вторым 0,7. Оба стрелка сделали по одному выстрелу. 

Какова вероятность того, что цель поражена: а) хотя бы один 

раз; б) два раза; в) один раз. 

126. При одном цикле обзора трех радиолокационных 

станций, следящих за космическим кораблем, вероятности 

его обнаружения соответственно равны: 0,7; 0,8; 0,9. Найти 

вероятность того, что при одном цикле обзора корабль будет 

обнаружен: а) тремя станциями; б) не менее чем двумя 

станциями; в) ни одной станцией. 

127. Вычислительная машина состоит из четырех блоков. 

Вероятность безотказной работы в течение времени Т 

первого блока равна 0,4; второго - 0,5; третьего - 0,6; 

четвертого - 0,4. Найти вероятность того, что в течение 

времени Т проработают: а) все четыре блока; б) три блока; в) 

не менее трех блоков. 

128. Трое рабочих собирают подшипники. Вероятность того, 

что подшипник, собранный первым рабочим - высшего 

качества, равна 0,7; вторым - 0,8; третьим - 0,6. Для контроля 

взято по одному подшипнику из собранных каждым 

рабочим. Какова вероятность того, что высшего качества 

будут: а) все подшипники; б) два подшипника; в) хотя бы 

один подшипник. 

129. На сборку поступают детали с трех станков с ЧПУ. 

Первый станок даёт 20%, второй - 30%, третий - 50% 

однотипных деталей, поступающих на сборку. Найти 

вероятность того, что из трех наугад взятых деталей: а) три с 

разных станков; б) три с третьего станка; в) две с третьего 

станка. 

130. Первый станок-автомат дает 1% брака, второй - 1,5%, а 

третий - 2%. Случайным образом отобрали по одной детали с 

каждого станка. Какова вероятность того, что стандартными 

20

окажутся: а) три детали; б) две детали; в) хотя бы одна 

деталь? 



131. 20% приборов монтируется с применением 

микромодулей, остальные с применением интегральных 

схем. Надёжность прибора с применением микромодулей - 

0,9; интегральных схем 0,8. Найти: а) вероятность надёжной 

работы наугад взятого прибора; б) вероятность того, что 

прибор с микромодулем, если он был исправен. 

132. Детали попадают на обработку на один из трех станков с 

вероятностями, соответственно равными: 0,2; 0,3; 0,5. 

Вероятность брака на первом станке равна 0,02; на втором - 

0,03; на третьем - 0,01. Найти: а) вероятность того, что 

случайно взятая после обработки деталь - стандартная; б) 

вероятность обработки наугад взятой детали на втором 

станке, если она оказалась стандартной. 

133. Среди поступивших на сборку деталей 30% - с завода № 

1, остальные с завода № 2. Вероятность брака для завода № 1 

равна 0,02, для завода №2 - 0,03. Найти: а) вероятность того, 

что наугад взятая деталь стандартная; 6) вероятность 

изготовления наугад взятой детали на заводе № 1, если она 

оказалась стандартной. 

134. Три автомата изготовляют однотипные детали, которые 

поступают на общий конвейер. Производительности первого, 

второго и третьего автоматов соотносятся как 2:3:5. 

Вероятность того, что деталь с первого автомата - высшего 

качества, равна 0,8; для второго - 0,6; для третьего - 0.7. 

Найти вероятность того, что: а) наугад взятая с конвейера 

деталь окажется высшего качества; б) взятая наугад деталь 

высшего качества изготовлена первым автоматом. 

135. Комплектовщик получает для сборки 30% деталей с 

завода № 1, 20% - с завода № 2, остальные - с завода № 3. 

Вероятность того, что деталь с завода № 1 - высшего 

качества, равна 0,9, для деталей с завода № 2 - 0,8, для 

21

деталей с завода № 3 - 0,6. Найти вероятность того, что: а) 

случайно взятая деталь - высшего качества; б) наугад взятая 

деталь высшего качества изготовлена на заводе № 2. 

136. Заготовка может поступить для обработки на один из 

двух станков с вероятностями 0,4 и 0,6 соответственно. При 

обработке на первом станке вероятность брака составляет 

2%, на втором - 3%. Найти вероятность того, что: а) наугад 

взятое после обработки изделие - стандартное; б) наугад 

взятое после обработки стандартное изделие обработано на 

первом станке. 

137. На двух станках обрабатываются однотипные детали. 

Вероятность брака для станка № 1 составляет 0,03, для 

станка № 2 - 0,02. Обработанные детали складываются в 

одном месте, причем деталей, обработанных на станке № 1, 

вдвое больше, чем на станке № 2. Найти вероятность того, 

что: а) взятая наугад деталь будет стандартной; б) наугад 

взятая стандартная деталь изготовлена на первом станке. 

138. В дисплейном классе имеется 10 персональных 

компьютеров первого типа и 15 второго типа. Вероятность 

того, что за время работы на компьютере первого типа не 

произойдет сбоя, равна 0,9, а на компьютере второго типа - 

0,7. Найти вероятность того, что: а) на случайно выбранном 

компьютере за время работы не произойдет сбоя; б) 

компьютер, во время работы на котором не произошло сбоя, 

первого типа. 

139. В пяти ящиках с 30 шарами в каждом содержится по 5 

красных шаров, в шести других ящиках с 20 шарами в 

каждом - по 4 красных шара. Найти вероятность того, что: а) 

из наугад взятого ящика наудачу взятый шар будет красным; 

б) наугад взятый красный шар содержится в одном из первых 

пяти ящиков. 

140. По линии связи передано два сигнала типа А и В с 

вероятностями соответственно 0,8 и 0,2. В среднем 

принимается 60% сигналов типа А и 70% типа В. Найти 

вероятность того, что: а) посланный сигнал будет принят; б) 

принятый сигнал типа А. 

22



141. Всхожесть семян некоторого растения составляет 80%. 

Найти вероятность того, что из 6 посеянных семян взойдут: 

а) три; б) не менее трех; в) четыре. 

142. В семье четверо детей. Принимая равновероятным 

рождение мальчика и девочки, найти вероятность того, что 

мальчиков в семье: а) три: б) не менее трех в) два. 

143. Среди заготовок, изготавливаемых рабочим, в среднем 

4% не удовлетворяют требованиям стандарта. Найти 

вероятность того, что среди 6 заготовок, взятых для 

контроля, требованиям стандарта не удовлетворяют: а) не 

менее пяти; б) не более пяти; в) две. 

144. Вероятность выигрыша по одной облигации 

трехпроцентного займа равна 0,25. Найти вероятность того, 

что из восьми купленных облигаций выигрышными 

окажутся: а) три; б) две; в) не менее двух. 

145. Вероятность успешной сдачи студентом каждого ни 

пяти экзаменов равна 0,7. Найти вероятность успешной 

сдачи: а) трех экзаменов; б) двух экзаменов; в) не менее двух 

экзаменов. 

146. Вероятность работы каждого из семи моторов в данный 

момент равна 0,8. Найти вероятность того, что в данный 

момент включены: а) хотя бы один мотор; б) два мотора; в) 

три мотора. 

147. В телеателье имеется 7 телевизоров. Для каждого 

телевизора вероятность того, что в данный момент он 

включен, равна 0,6. Найти вероятность того, что в данный 

момент включены: а) четыре телевизора; б) хотя бы один 

телевизор; в) не менее трех телевизоров. 

148. При массовом производстве полупроводниковых диодов 

вероятность брака при формовке равна 0,1. Найти 

вероятность того, что из восьми диодов, проверяемых ОТК, 

бракованных будет: а) два; б) не менее двух; в) не более двух. 

149. Вероятность поражения мишени для данного стрелка в 

среднем составляет 80%. Стрелок произвел 6 выстрелов по 

23

мишени. Найти вероятность того, что мишень была 

поражена: а) пять раз; б) не менее пяти раз; в) не более пяти 

раз. 

150. Вероятность сдачи экзамена для каждого из шести 

студентов равна 0,8. Найти вероятность того, что экзамен 

сдадут: а) пять студентов; б) не менее пяти студентов; в) не 

более пяти студентов. 



151. Вероятность появления событий в каждом из 

независимых испытаний равна 0.25. Найти вероятность того, 

что событие наступит 50 раз в 243 испытаниях. 

152. Вероятность появления события в каждом из 

независимых испытаний равна 0,8. Найти вероятность того, 

что в 144 испытаниях событие наступит 120 раз. 




154. Вероятность появления события в каждом из 2100 


что событие наступит не менее 1470 раз и не более 1500 раз. 

155. Вероятность производства бракованной детали равна 

0,008. Найти вероятность того, что из взятых на проверку 

1000 деталей 10 бракованных. 




157. Вероятность промаха при одном выстреле по мишени 

равна 0,1. Сколько выстрелов необходимо произвести, чтобы 

с вероятностью 0,9544 можно было утверждать, что 

относительная частота промаха отклонится от постоянной 

вероятности по абсолютной величине не более чем на 0,03? 

158. Вероятность отказа локомотива на линии за время 

полного оборота составляет 0,01. Найти вероятность того, 

что в 8 поездах произойдёт два отказа локомотива на линии. 

24

159. Вероятность нарушения стандарта при штамповке 

карболитовых колец равна 0,3. Найти вероятность того, что 

для 800 заготовок число бракованных колец заключено 

между 225 и 250. 

160. Вероятность поражения мишени при одном выстреле 

равна 0,8. Найти вероятность того, что при 100 выстрелах 

мишень будет поражена не менее 75 раз. 


161-170. Решить следующие задачи. Найти закон 

распределения указанной дискретной СВ Х и ее функцию 

распределения F(x). Вычислить математическое ожидание 

М(Х), дисперсию D(Х) и среднее квадратичное отклонение 

(Х). Построить график функции распределения F(x). 

161. Автомобиль должен проехать по улице, на которой 

установлено четыре независимо работающих светофора. 

Каждый светофор с интервалом в 2 мин подает красный и 

зеленые сигналы. СВ Х — число остановок автомобиля на 

этой улице. 

162. Производится три выстрела по мишени. Вероятность 

поражения мишени первым выстрелом равна 0,4; вторым — 

0,5; третьим — 0,6. СВ Х — число поражений мишени. 

163. Вероятность безотказной работы в течение 

гарантийного срока для телевизора первого типа равна - 0,9; 

второго типа - 0,7; третьего типа - 0,8. СВ Х — число 

телевизоров, проработавших гарантийный срок, среди трех 

телевизоров разных типов. 

164. Вероятность поражения цели при одном выстреле равна 

0,6. СВ Х — число поражений цели при четырёх выстрелах. 

165. Вероятность выпуска прибора, удовлетворяющего 

требованиям качества, равна 0,9. В контрольной партии - 3 

прибора. СВ Х — число приборов, удовлетворяющих 

требованиям качества. 

25

166. Вероятность перевыполнения плана для СУ-1 равна 0,9, 

для СУ-2 – 0,8, для СУ-3 – 0,7. СВ Х — число СУ, 

перевыполнивших план. 

167. Вероятность попадания в цель при одном выстреле 

равна 0,8. СВ Х — число попаданий в цель при трех 

выстрелах. 

168. Вероятность поступления вызова на АТС в течение 1 

мин равна 0,4. СВ Х — число вызовов, поступивших на АТС 

за 4 мин. 

169. Вероятность сдачи данного экзамена для каждого из 

четырех студентов равна 0,8. СВ Х — число студентов, 

сдавших экзамен. 

170. Вероятность успешной сдачи первого экзамена для 

данного студента равна 0,9, второго экзамена — 0,8, третьего 

— 0,7. СВ Х — число сданных экзаменов. 


171-180. Решить следующие задачи. Дана функция 

распределения F(x) СВ Х. Найти плотность распределения 

вероятностей f(x), математическое ожидание М(Х), 

дисперсию D(X), и вероятность попадания СВ Х на заданный 

отрезок. Построить графики функции F(x) и f(x). 

171. 172. 

0, x 0; 

0, x 0; 

F( 

x) 

3 

x 

, 

8 

1, 

0 

x 

x 

2. 

2; 

26 

F ( x) 

3 

x 

, 

8 

1, 

[0;1]. [0;1]. 

173. 174. 

0, 

x 0; 

0, 

F(x) 

2 

2x 

5x 

, 

33 

1, 

x 

0 

x 

3. 

3; 

F(x) 

2 

x 

, 

9 

1, 

[1;2]. [0;1]. 

0 

x 

x 

0 

x 

2. 

0; 

x 

x 

2; 

3; 

3.

175. 176. 

0, x 0; 

F(x) 

x 

1, 

2 

2x 

24 

, 

0 

x 

x 

4. 

4; 

F(x) 

0, 

x 

3 

x x 

, 

10 

1, 

[0;1]. [0;1]. 

177. 178. 

0, x 0; 

0, x 0; 

F(x) 

2 

x x 

, 

20 

1, 

0 

x 

x 

4. 

4; 

F(x) 

cos2x, 

[1;3]. 

3 5 

; 

4 6 

179. 180. 

1, 

3 

4 

x 

. 

. 

x 

0; 

0 x 2; 

x 2. 

; 

F(x) 

0, x 

1- cos x, 

1, 

x 

0; 

0 

x 

. 

2 

; F(x) 

2 

0, 

x 

1, 

3 

x 

8x 

96 

, 

0; 

0 

x 

x 

4. 

4; 

0 ; . [0;2]. 

3 



181. Валик, изготовленный автоматом, считается 

стандартным, если отклонение его диаметра от проектного 

размера не превышает 2мм. Случайные отклонения диаметра 

валиков подчиняются нормальному закону со средним 

квадратичным отклонением 1,6 мм и математическим 

27

ожиданием, равным 0. Сколько стандартных валиков (в %) 

изготовляет автомат? 

182. При определении расстояния радиолокатором 

случайные ошибки распределяются по нормальному закону. 

Какова вероятность того, что ошибка при определении 

расстояния не превысит 20м, если известно, что 

систематических ошибок радиолокатор не допускает, а 

дисперсия ошибок равна 1370м 2 ? 

183. Все значения равномерно распределенной СВ Х лежат 

на отрезке [2;8]. Найти вероятность попадания СВ Х в 

промежуток (3;5). 

184. СВ Х подчинена закону Пуассона с математическим 

ожиданием, равным 3. Найти вероятность того, что СВ Х 

примет значение меньшее, чем ее математическое ожидание. 

185. Цена деления шкалы измерительного прибора равна 0,2. 

Показания прибора округляются до ближайшего целого 

деления. Считая, что ошибки измерения распределены 

равномерно, найти вероятность того, что при отсчете будет 

сделана ошибка, меньшая 0,04. 

186. Поток заявок, поступающих на телефонную станцию, 

представляет собой простейший пуассоновский поток. 

Математическое ожидание числа вызовов за 1 ч равно 30. 

Найти вероятность того, что за 1 мин поступит не менее двух 

вызовов. 

187. В лотерее разыгрываются мотоцикл, велосипед и одни 

часы. Найти математическое ожидание выигрыша для лица, 

имеющего один билет, если общее количество билетов равно 

100. 

188. Считается, что изделие высшего качества, если 

отклонение его размеров от номинальных не превосходит по 

абсолютной величине 3,6мм. Случайные отклонения размера 

изделия от номинального подчиняются нормальному закону 

со средним квадратичным отклонением, равным 3 мм. 

Систематические отклонения отсутствуют. Определить 

среднее число изделий высшего качества среди 100 

изготовленных. 

28

189. Детали, выпускаемые цехом, имеют диаметры, 

распределенные по нормальному закону с математическим 

ожиданием, равным 5 см, и дисперсией, равной 0,81 см 2 . 

Найти вероятность того, что диаметр наугад взятой детали от 

4 до 7 см. 

190. СВ Х подчинена нормальному закону с 

математическим ожиданием, равным 0. Вероятность 

попадания этой СВ в интервал (-1;1) равна 0,5. Найти 

среднее квадратичное отклонение и записать нормальный 

закон. 



191. Средний срок службы мотора 4 года. Оценить снизу 

вероятность того, что данный мотор не прослужит более 20 

лет. 

192. Дисперсия каждой из 4500 независимых, одинаково 

распределенных случайных величин равна 5. Найти 

вероятность того, что среднее арифметическое этих 

случайных величин отклонится от своего математического 

ожидания не более чем на 0,04. 

193. СВ X является средней арифметической 3200 

независимых и одинаково распределенных случайных 

величин с математическим ожиданием, равным 3, и 

дисперсией, равной 2. Найти вероятность того, что СВ Х 

примет значение из промежутка (2,95;3,075). 

194. Сумма всех вкладов в некоторой сберегательной кассе 

составляет 20 000 руб, а вероятность того, что случайно 

взятый вклад не превышает 100 руб, равна 0,8. Что можно 

сказать о числе вкладчиков данной сберегательной кассы? 

195. Электростанция обслуживает сеть с 18 000 ламп, 

вероятность включения каждой из которых в зимний вечер 

равна 0,9. Какова вероятность того, что число ламп, 

включенных в сеть зимним вечером, отличается от своего 

математического ожидания по абсолютной величине не 

более чем на 200? 

29

196. Диаметр подшипников, изготовленных на заводе, 

представляет собой СВ, распределённую нормально с 

математическим ожиданием 1,5 см и средним 

квадратическим отклонением 0,04 см. Найти вероятность 

того, что размер наугад взятого подшипника колеблется от 1 

до 2 см. 

197. Производится выборочный контроль партии 

электролампочек для определения средней 

продолжительности их горения. Каким должен быть объем 

выборки, чтобы с вероятностью, не меньшей 0,9876, можно 

было утверждать, что средняя продолжительность 

эксплуатации лампочки по всей партии отклонилась от 

средней, полученной в выборке, не более чем на 10 ч, если 

среднее квадратичное отклонение продолжительности 

эксплуатации лампочки равно 80 ч? 

198. Вероятность того, что наугад выбранная деталь 

окажется бракованной, при каждой проверке одна и та же и 

равна 0,1. Партия изделий не принимается при обнаружении 

не менее 10 бракованных изделий. Сколько надо проверить 

деталей, чтобы с вероятностью 0,6 можно было утверждать, 

что партия, имеющая 10% брака, не будет принята? 

199. Сколько нужно произвести опытов, чтобы с 

вероятностью 0,9 утверждать, что частота интересующего 

нас события будет отличаться от вероятности появления 

этого события, равной 0,4 не более чем на 0,1? 

200. Среднее число молодых специалистов, ежегодно 

направляемых по распределению, составляет 200 человек. 

Оценить вероятность того, что в данном году будет 

направлено на работу на более 220 молодых специалистов. 


201-210. Найти методом произведений: а) выборочную 

среднюю, б) выборочную дисперсию, в) выборочное среднее 

квадратическое отклонение по данному статистическому 

распределению выборки (в первой строке указаны 

выборочные варианты х i , в во второй — соответственные 

частоты n i количественного признака Х). 

30

201. 

x i 105 110 115 120 125 130 135 

n i 4 6 10 40 20 12 8 

202. 

x i 12,5 13,0 13,5 14,0 14,5 15, 15,5 

n i 5 15 40 25 8 4 3 

203. 

x i 10,2 10,9 11,6 12,3 13,0 13,7 14,4 

n i 8 10 60 12 5 3 2 

204. 

x i 45 50 55 60 65 70 75 

n i 4 6 10 40 20 12 8 

205. 

x i 110 115 120 125 130 135 140 

n i 5 10 30 25 15 10 5 

206. 

x i 12,4 16,4 20,4 24,4 28,4 32,4 36,4 

n i 5 15 40 25 8 4 3 

207. 

x i 26 32 38 44 50 56 62 

n i 5 15 40 25 8 4 3 

208. 

x i 10,6 15,6 20,6 25,6 30,6 35,6 40,6 

n i 8 10 60 12 5 3 2 

209. 

x i 100 110 120 130 140 150 160 

n i 4 6 10 40 20 12 8 

210. 

x i 130 140 150 160 170 180 190 

n i 5 10 30 25 15 10 5 


211-220. Найти доверительные интервалы для оценки 

математического ожидания а нормального распределения с 

31

надежностью 0,95, зная выборочную среднюю x , объем 

выборки n и среднее квадратическое отклонение . 

211. x =75,17, =6, n=36. 

212. x =75,16, =7, n=49. 

213. x =75,15, =8, n=64. 

214. x =75,14, =9, n=81. 

215. x =75,13, =10, n=100. 

216. x =75,12, =11, n=121. 

217. x =75,11, =12, n=144. 

218. x =75,10, =13, n=169. 

219. x =75,09, =14, n=196. 

220. x =75,08, =15, n=225. 

32

Примерный вариант решения 

контрольной работы №1. 


Найти пределы функций (без правила Лопиталя) 

2 

2 

5 3 x 2 x x 5 x 6 

1) lim ; 2) lim 

x 2 4 x 8 x 0 

2 x 2 

; 3) lim ; 

5 x 

x 3 2 

3 x 9 x 

x 

1 12 

4) lim 

; 5) lim ; 

x 0 

x 2 3 

5 x 5 x x 2 x 8 

4 2 

x 2 x 3 2 x sin x 

x 

6) lim ; 7) lim ; 8) lim 1 2 x 5 

; 

x 

3 

3 x 5 

x 0 1 cos x x 0 

x 

x 

9) lim 

x 1 x 

. 

Решение: 

1) Предел делителя равен нулю: lim(4 

x 

x 2 

8) 0 . 

Следовательно, теорему о пределе частного применить 

нельзя. Так как lim(4 

x 

x 2 

8) 0 , то (4 х-8) при x 2 есть 

1 

величина бесконечно малая, а обратная ей величина 

4 x 8 

— бесконечно большая. Поэтому при x 2 произведение 

1 

4 x 8 

5 есть величина бесконечно большая, т.е. 

5 

lim 

x 2 4 x 8 

. 

2) Пределы числителя и знаменателя при x 0 равны нулю. 

Непосредственной подстановкой вместо аргумента x его 

предельного значения вычислить предел нельзя, так как при 

x 0 получается отношение двух бесконечно малых 

величин, т.е. неопределённость вида 

0 . 

0 

33

(Разложим числитель и знаменатель на множители, чтобы 

сократить дробь на общий множитель, стремящийся к нулю. 

Нужно иметь в виду, что здесь не производится сокращение 

на нуль, что недопустимо. По определению предела функции 

аргумент х стремится к своему предельному значению, 

никогда не принимая этого значения; поэтому до перехода к 

пределу можно произвести сокращение на множитель, 

стремящийся к нулю) 

2 

3 x 2 x x (3 x 2) 3 x 2 2 

Имеем lim 

x 0 

2 x 2 

= lim = lim = ; 

5 x 

x 0 x (2 x 5) x 0 2 x 5 5 

3) Пределы числителя и знаменателя при x 3 равны нулю, 

0 

т.е. имеем неопределённость вида . 

0 

(разложим числитель и знаменатель на множители, для 

разложения квадратного трёхчлена в числителе на линейные 

множители воспользуемся формулой 

2 

a x bx c a( x x1)( 

x x2 

) , где х 1 , х 2 — корни трёхчлена, 

в знаменателе вынесем за скобки 3х) 

Сократим дробь на (х-3), получим 

2 

x 5 x 6 x 3 x 2 x 2 1 

lim = lim = lim = 

x 3 2 

; 

3 x 9 x 

x 3 3 x x 3 x 3 3 x 9 

4) Пределы числителя и знаменателя при x 0 равны нулю, 

0 

т.е получаем неопределённость вида 

0 

(умножим числитель и знаменатель на сопряжённый 

знаменателю множитель 5 x 5 x ) 

x 

x 5 x 5 x 

lim 

= lim 

x 0 

x 

5 x 5 x 0 

5 x 5 x 5 x 5 

(сократим дробь на х) 

x 5 x 5 x 5 x 5 x 

lim 

= lim 

= 5 ; 

x 0 2 x 

x 0 2 

x 

34

5) Очевидно, что при x 2 функция представляет собой 

разность двух бесконечно больших величин 

1 12 

lim lim , т.е. неопределённость вида 

x 2 3 

x 2 x 2 

x 8 

. 

(выполним вычитание дробей) 

2 

x 2 x 8 

lim 

x 2 3 

x 8 

получили дробь, числитель и знаменатель 

которой при x 2 стремится к нулю 

(разложив на множители числитель и знаменатель на 

множители, сократим дробь на (х+2)) 

x 2 x 4 

x 4 1 

lim 

x 2 2 

x 2 x 2 = lim 

4 

2 

; 

x 2 

x 2 x 4 2 

6) При x числитель и знаменатель — величины 

бесконечно большие, т.е. неопределённость вида . 

(для вычисления предела этой функции нужно числитель и 

знаменатель разделить на наивысшую степень аргумента х в 

выражении, т.е. на х 4 ) 

4 

x 2 x 

lim 

x 

3 

3 x 

2 

5 

3 

= lim 

x 

4 

x 

x 

4 

4 

3 

3 x 

x 

4 

2 

2 x 

x 

5 

4 

x 

3 

4 

x 

1 

= lim 

x 

2 3 

2 4 

x x 

3 5 

x 4 

x 

2 3 3 5 

(при x слагаемые ; ; ; — величины 

2 4 4 

x x x x 

бесконечно малые и, следовательно, их пределы равны 

нулю), 

таким образом, предел числителя есть конечная величина, 

равная единице, а знаменатель есть бесконечная малая 

величина, предел которой равен нулю, следовательно 

4 2 

x 2 x 3 

lim ; 

x 

3 

3 x 5 

7) Выражение под знаком предела является отношением двух 

бесконечно малых при x 0 , т.е. получили 

35

0 

неопределённость . Заменим бесконечно малые, стоящие 

0 

в числителе и знаменателе на эквивалентные. 

при x 0 следует, 

что 

sin x 

1 

tg x 

arcsin x 

lg(1 

a 

1 

cos x 

arctg x 

n 

x 

1 

x 

x; 

x; 

x) 

x 

x; 

1 

2 

x 

; 

2 

x; 

x; 

ln a ( в частности , e 

x 

. 

n 

2 

x 

x 

1 

x); 

2 xsin 

x 2 x x ; 1 cosx , при x 0 . 

2 

2 x sin x 2 x x 

Таким образом, lim = lim =4; 

2 

x 0 1 cos x x 0 x 

8) Выполним подстановку предельного значения, имеем 

неопределённость вида 1 , воспользуемся вторым 

замечательным пределом 

x 

1 

1 

x 

( lim 1 lim 1 x e) 

x x x 0 

5 

x 

2 x 

x 0 

lim1 

2 x = lim 1 2 x = e = e 10 ; 

0 

x 

x 

0 

1 

2 x 

5 

x 

2 

lim 10 

1 

9) Найдём пределы выражения lim 1 1 и 

x x 

lim x 

x 

, т.е. 

имеем неопределённость вида 1 . Выполним 

36

преобразования и воспользуемся вторым замечательным 

пределом 

x 

1 

1 

x 

( lim 1 lim 1 x e) 

x x x 0 

x 

x 

x 

1 

lim = lim 1 1 = lim 1 = 

x 1 x x 1 x 

x 1 x 

1 x 

1 

1 

1 x 

1 

lim 

x 1 x 

lim 1 

= e = e 

x 1 x 

x 

x 

x 

37 

1 

1 

. 

e 


Найти производные заданных функций y=f(x) 

2 

3 2 

x 1 

1) f ( x) 

x 1 x x 1 ; 2) y ; 

2 

x 1 

2 

2 

3) y x 6 x 3 ; 4) 

5) y tg 3 

ln x ; 6) 

4 

y 

4 

ctg x 

e 

3 3 2 

y x 1 ; 

; 7) 

y 

ctg lnsin x 

2 ; 

8) y 

8 3 

cos tg e 

x 3 

; 9) x 

3 

y sin ( x 2 y) 

; 

10) y ln x x ln y 1. 


1) 

(воспользуемся формулой производной произведения 

u v u v uv ) 

3 

2 

3 2 

f ( x) 

x 1 x x 1 x 1 x x 1 

(воспользуемся формулой производной суммы 

u v w u v w , производной постоянной C 0, 

производная степени 

u 

n 

u 

n n 1 

2 2 

3 

= 3 x x x 1 x 1 2 x 1 

(воспользуемся формулой разность кубов 

a 3 -b 3 =(a-b)(a 2 +ab+b 2 ) 

u 

) 

x

2 2 

2 

= 3 x x x 1 x 1 x x 1 2 x 1 = 

2 

2 

x x 1 3 x (2 x 1)( x 1) = 

2 

x x 

2 

1 3 x 

2 

2 x 2 x x 

2 

1 = x x 

2 

1 5 x x 1 ; 

2) 

(воспользуемся формулой производной частного 

u 

v 

u 

v 

2 

v 

u v 

) 

2 

2 

2 2 

x 1 x 1 x 1 x 1 

y 

2 2 

x 1 

(воспользуемся формулой производной суммы 

u v w u v w , производной постоянной C 0, 

производной степени 

2 x x 

2 

1 

2 x x 

= 

2 2 

2 

n 

n 1 

x n x ) 

1 

x 1 

(преобразуем данное выражение) 

2 

2 

2 x x 1 x 1 4 x 

= 

2 2 

2 2 

x 1 x 1 

; 

3) 

(воспользуемся формулой производной произведения 

2 

2 

2 

2 

u v u v uv ) y x 6 x 3 x 6 x 3 

(найдём производные в каждом из слагаемых и выполним 

преобразования) 

= 2 x 

2 

x 3 

3 

x 6 x 2 x 

= 

2 

x 3 

2 

3 

3 

2 x x 3 x 6 x 2 x 

= 

2 

x 3 

x 

2 

6 x 

x 

2 

3 

x 

x 

2 

3 

3 

2 

x 

3 

3 

6 x 

= 

6 x 

= 

3 x 

x 

2 

3 

; 

3 

38

4) 

(данная функция — сложная, воспользуемся формулой 

n n 1 

u n u 

показателем) 

u 

, заменив кубический корень дробным 

3 2 3 

y x 1 = 2 3 1 3 

1 x 

3 1 

2 

3 

3 1 3 2 

x 1 3 x = 

x = 

3 

2 

2 x 

; 

3 3 

x 1 

5) 


1 

tg u u ) 

2 

cos u 

1 

y 

3 

ln x 

2 

cos 

3 

ln x 

(воспользуемся формулой u 

1 1 2 3 

= ln x ln x 

2 

cos 

3 

ln x 3 

n 

u 

n n 1 

1 

(воспользуемся формулой ln u u ) 

u 

1 1 2 3 1 

1 

= 

ln x = 

; 

2 

cos 

3 

ln x 3 x 3 2 2 

3 x ln x cos 

3 

ln x 

6) 


e 

u 

e 

u 

u 

) 

u 

) 

y 

e 

4 

ctg x 4 

ctg 

x 

= 

(воспользуемся формулой 

u 

n 

u 

n n 1 

u 

) 

e 

4 

ctg x 3 

4ctg 

x 

ctg x 

= 

39


1 

ctg u 

2 

sin u 

4 

ctg x 3 

4 

ctg x 3 1 4 e ctg x 

e 4ctg 

x = 

; 

2 

2 

sin x sin x 

7) 


a 

u 

a 

u 

ln a ) 

u 

) 

y 

2 

ctg ln sin x 

ln 2 


2 

ctg lnsin x 

ln 2 

2 

ctg lnsin x 

1 

ctg lnsin x 

u 

= 

2 

1 

u 

ctg lnsin x 

1 

(воспользуемся формулой ctg u 

u ) 

2 

sin u 

ctg lnsin x 

1 

1 

2 ln 2 

lnsin x 

2 

2 ctg lnsin x sin lnsin x 


ctg lnsin x 

2 ln 2 

2 

2 

1 

ctg lnsin x 

u 

ln u 

1 

u 

u ) 

1 

sin 

lnsin x 

) 

= 

1 

sin 

x 

= 

sin x 

= 

(воспользуемся формулой sin x cosx 

) 

ctg lnsin x 

1 

1 

2 ln 2 

2 

2 ctg lnsin x sin lnsin x 

40 

1 

sin 

x 

cosx 

; 

8) 


u 

n 

u 

n n 1 

4 

4 

7 3 x 3 x 

y 8cos tg e tg e = 


u 

) 

cos u sinu u )

8cos 

4 

4 

4 

7 3 x 

3 x 3 x 

tg e sintg 

e tg e = 


u 

n 

u 

n n 1 

u 

) 

4 

4 

4 

4 

7 3 x 

3 x 2 x 

x 

tg e sintg 

e 3tg 

e tg e = 

8cos 

(воспользуемся формулой tg u 

1 

2 

cos u 

u ) 

4 

4 

4 

4 

7 3 x 

3 x 2 x 1 

x 

8cos tg e sintg 

e 3tg 

e 

e 

4 

2 x 

cos e 

= 

u u 

(воспользуемся формулой e e u ) 

4 

4 

4 

4 

7 3 x 

3 x 2 x 1 

x 4 

8cos 

tg e sintg 

e 3tg 

e 

e x 

4 

2 x 

cos e 

n n 1 

(воспользуемся формулой u n u u ) 

4 

4 

4 

4 

3 

7 3 x 

3 x 2 x 1 

x 1 

4 

8cos tg e sintg 

e 3tg 

e 

e x ; 

4 

2 x 

cos e 4 

9) Данная функция заданна неявно 

(Если из уравнения F ( x, 

y) 

0 выразить явно переменную у 

как функцию аргумента х затруднительно, тогда говорят о 

неявно заданной функции у от аргумента х). 

(Для того чтобы найти производную функции заданной 

неявно надо уравнение F ( x, 

y) 

0 продифференцировать, 

считая у функцией от х, и вновь полученное уравнение 

решить относительно производной y ). 

Продифференцируем обе части уравнения, учитывая, что у 

— есть функция от х, получим: 

2 2 

3 x 3y 

y cos x 2 y 1 2y 

или 

2 2 

3 x 3y 

y cos x 2 y 2 y cos x 2 y . 

Отсюда находим y : 

3 x 

y 

2 

2 

y y 2y 

cos x 2 y cos x 2 y 3 или 

2 

2 

3 y 2 cos x 2 y cos x 2 y 3 x 

, т.е. 

= 

41

2 

cos x 2 y 3 x 

y 

; 

2 

3 y 2cos x 2 y 

10) Это уравнение определяет у как неявную функцию х. 

Дифференцируем по х: 

1 

1 

x 

x 

ln y x y 

x 

y 

x 

ln x y 0 . Так как x 

x 

1, то 

y 

x 

ln y 

y x 

x 

y 

x 

y 

y 

x 

ln x 

y 

x 

ln x 

y 

x 

y 

x 

0 , откуда 

ln y , т.е. y 

x 

y 

x 

x 

y 

ln y . 

ln x 


2 

dy d y 

Найти , (производные первого и второго порядка) 

dx 

2 

dx 

для заданных функций 

2 

1) y sin x ; 2) y ln sin x ; 3) x t 

2 , y t 3 ; 

4) x 3 cos2t, 

y sint 

. 


1) Найдём первую производную заданной функции 

y 2 sin x sin x = 2 sin x cosx 

= sin 2x 

. Теперь найдём 

вторую производную y cos2x 

2 = 2 cos2x 

; 

2) Найдём первую производную заданной функции 

1 

1 

y sin x = x 

sin x sin x cos = ctg x . Теперь найдём вторую 

1 

производную y ; 

2 

sin x 

3) Для нахождения второй производной функции у=у(х), 

заданной параметрически воспользуемся формулой 

xt 

yt 

t 

yt 

xt 

t 

( y 

xx 

). 

3 

x 

t 

42

Откуда 

t 

t 

2 3 3 2 

y x x 

= 

3 

2 

t 

t 

t 

2t 

6t 

2t 

3t 

2 

2 6t 

= 

8t 

2 

3 

3 

; 

4t 

4) Воспользуемся формулой 

xt 

yt 

t 

yt 

xt 

t 

( y 

xx 

) 

3 

x 

sin t 

t 

6sin 2t 

12cos2t 

cost 

y x x 

= 

3 

216sin 2t 

6 cost 

(1 

216 

216sin 

12cos 

2sin 

cos2t) 

2t 

3 

= 

3 

3 

t 

t cos 

3 

1 

= 

t 36sin 

3 

. 

t 


Найти неопределённый интеграл 

4 3 2 

3 2x x 

№1. dx ;2) 

4 

x 

4) 

3dx 

4x 

2 

; 5) 

3 

7 3 

ln ( x 2) 

7) dx; 8) 

x 2 

7 x dx 

; 6) 

2 

3x 

4 

5 2 

4 8x 

43 

dx 

cos3x 

dx 

5 

sin3x 

4 

3 7x 

dx 

10) dx; 11) 

2 3x 

3x 

4x 5 e 2 e 

6 cost 

dx 

6 5x 

x 7 

2 

2x 

13) x e dx; 14) x 4x 

3 e dx; 

15) cos 3 (7x 2) 

dx ; 16) ctg 5x dx 

17) 

dx 

3sin 

x 2cosx 

; 18) 

1 

4 ; 

6x 

2 

6 cos2t 

216sin 

2t 

cost 

3 

= 

; 3) cos( 2 5x) dx ; 

2 

.; 

3x 

10 

; 9) dx 

6x 

4 

2 

; 

; 12) ( x - 7)sin5x dx ; 

dx 

3x 

; 

2

19) 

dx 

5x 

2 2x 

2 

7x 

- x 4 

21) dx; 

2 

( x 1) x 5x 

6 

4 

3x 

4x 

; 20) dx ; 

2 

7 x 1 

4 3 2 

x 8x 

23x 

43x 

27 

22) dx ; 23) x 2 16 x 2 dx . 

2 

( x 2) x 2x 

5 

Решение: При нахождении интегралов следует помнить 

свойства и таблицу простейших неопределённых интегралов 

(Свойства неопределённого интеграла: 

1. Производная неопределённого интеграла равна 

подынтегральной функции; дифференциал неопределённого 

интеграла равен подынтегральному выражению: 

d f(x) dx d F(x) C F ( x) 

dx f ( x) 

dx , (1) 

d F(x) F (x) dx f (x) dx F(x) C . (2) 

Отсюда следует, что символы дифференциала и 

неопределённого интеграла, применённые последовательно, 

«уничтожают» друг друга (равенство (2) справедливо с 

точностью до постоянного). 

2. Неопределённый интеграл от дифференциала некоторой 

функции равен сумме этой функции и произвольной 

постоянной: 

d (x) (x) C . (3) 

3. Постоянный множитель можно выносить за знак 

неопределённого интеграла: 

k f (x)dx k f (x)dx (k=const) (3) 

4. Если функции f 1 (x) и f 2 (x)имеют первообразные, то 

функция f 1 (x)+f 2 (x) также имеет первообразную, причём 

f1 (x) f 

2 

(x) dx f1(x)dx 

f 

2 

(x)dx . (4) 

Таблица простейших неопределённых интегралов: 

0 dx C ; [1] 

44

dx x C ; [2] 

u 

n 

du 

u 

a 

e 

u 

u 

du 

du 

du 

u 

n 

n 1 

ln| u | 

u 

a 

lnа 

e 

u 

1 

C ; [3] 

C ; [4] 

C ; [5] 

C ; [6] 

sin u du cosu C ; [7] 

cos u du sinu C ; [8] 

du 

sin 

u 

ctgu C [9] 

du 

2 

cos u 

tgu C ; [10] 

2 

2 2 u 2 2 a 

2 2 

u a du u a lnu u a 

2 

2 

C ; [11] 

2 

2 2 u 2 2 a u 

a u du a u arcsin 

2 2 а 

C ; [12] 

du 

u 

u 

arcsin C arccos 

2 2 

a u a 

a 

C1 

; [13] 

u du 

2 2 

a u 

2 2 

a u 

C ; [14] 

du 2 2 

ln| u u a | 

2 2 

u a 

C; [15] 

u du 

2 2 

u a 

2 2 

u a 

C ; [16] 

du 1 u a 

ln 

2 2 

u a 2a u a 

C ; [17] 

45

1) 

3 

u du 1 2 2 

ln| u a | 

2 2 

u a 2 

C ; [18] 

du 1 u 1 u 

arctg C arcctg C 

2 2 

1 

; 

a u a a a a 

[19] 

u du 1 2 2 

ln| a u | 

2 2 

a u 2 

C; [20] 

tg u du 

sinu 

du 

cosu 

ln| cosu | C ; [21] 

ctg u du 

cosu 

du 

sinu 

ln| sinu | C ; [22] 

du 

sinu 

du 

cosu 

3 

x 

2x 

1/ 4 

3 

4 

4 

4 

1 

u 

lntg 

2 

x 

lntg 

x 

3 2 

2 

x 

2 

C; [23] 

π 

4 

C; [24]) 

1/ 4 

15/ 4 

5/12 

dx = 3 x dx 2 x dx x dx = 

15/ 4 

x 

19 

4 

1 

5/12 1 

x 

17 

12 

12 

x x 

17 

(4 8x) 

3 

5 

1 

sin(2 

5 

dx 

C = 

4 3 8 4 4 3 12 5 

= 4 х x x 

C ; 

19 

2/5 1 

dx 1 

2) 

= C= 5 5 (4 8x) 

3 C ; 

5 2 

4 8x 8 

24 

3) cos( 2 5x) dx = 5x) C ; 

4) 

3dx 

4x 

2 

3 

= 

3 2 

x 

2 

3 

4 

= 

46

3 2 

= 3 3 

ln x x 

2 C = ln 2x 4x 3 C . 

2 

4 2 

5) 

= 

6) 

7 

6 

7 x dx 

3x 4 

2 

= 

u 

dx 

x dx 

3 x 

2 

6x dx 

du 

6 

4 

= 

du 7 

= ln | u | C = 7 ln3x 

2 4 C . 

u 6 6 

dx 1 dx 1 5 x 

= 

= arcsin C ; 

2 

6 5x 5 6 2 5 6 

x 

5 

7 3 

ln (x 2) 

7). dx 

x 2 

7 7 10 

10 

8) 

ln(x 

2) 

cos3x dx 

5 

sin3x 4 

u 

= 

du 

C ; 

u 

= du 

sin 3x 

cos3x dx 

ln(x 2) 

dx = u 3/7 du = 7 10/ 

u 

7 C = 

10 

x 2 

4 

3cos3x dx = 

du 

3 

1 du 1 5 4/ 5 

= = u C= 5 5 sin3x 4 

4 

C ; 

1/ 5 

3 u 3 4 12 

3x 10 3x 10 

9) dx = dx + dx = 

2 2 2 

6x 4 6x 4 6x 4 

47

u 

= du 

6x 

3x dx 

2 

4 

12x dx 

du 

4 

= 

1 

4 

du 

u 

10 

6 

x 

2 

dx 

4 

6 

1 10 1 6x 2 

= ln | u | ln C = 

4 6 2 2 6x 2 

= 1 5 6x 2 

ln 6x 

2 4 ln C . 

4 

2 6 6x 2 

3 7x 3 7x 

10) dx = dx - dx 

2 2 

4x 5 4x 5 4x 5 

u 

= du 

x dx 

4x 

2 

8x dx 

du 

8 

5 

= 

3 

4 

x 

2 

dx 

5 

4 

- 

7 

8 

du 

u 

= 

= 

2 

= 

3 2 2x 7 

3 2x 7 2 

= arctg ln | u | C = arctg ln 4x 5 C 

4 5 5 8 2 5 5 8 

u 

2 

11) 

dx 

3dx 

= du 

3x 3x 

3x 

e 2 e e 

= 

dx du 

3x 

e 3 

1 du 1 

= = ln | u | C= 3 

ln 2 e 

3 u 3 3 

C ; 

u x - 7 du dx 

12) ( x - 7)sin 5x dx 

1 = 

dv sin 5x dx v - cos5x 

5 

e 

3x 

48

x 7 

x 7 1 

= cos5x cos5x dx = cos5x sin5x C ; 

5 

5 25 

u x du dx 

x 7 

13) x e dx = = 

x 7 

x 7 

dv e v e 

x 7 x 7 

x 7 x 7 

= x e e dx = x e e C; 

u 

14) 

2 

2x 

x 4x 3 e dx = 

dv 

= 

2 

x 4x 3 2x 1 

e e 

x 

(2x 

2 

2 

4) dx = 

2 

x 4x 3 2x 2x 

e e (x 

2 

2) dx = 

u x 2 du dx 

= 

2x 1 = 

2x 

dv e dx v e 

2 

2 

x 4x 3 2x x 2 2x 1 2x 

e e e dx = 

2 

2 2 

= 

2 

x 4x 3 2x x 2 2x 1 

e e e 

x 

2 

2 4 

C ; 

15) 

cos 3 (7x 2) dx = cos 2 (7x 2) cos(7x 2) dx = 

1 

sin 

2 

(7x 

2) 

cos(7x 

x 

2 

e 

49 

2x 

2) dx = 

2 

= cos(7x 2) dx sin (7x 2) cos(7x 2) dx = 

4x 

1 1 

sin(7x 2) sin 

3 (7x 2) C ; 

7 

21 

16) ctg 4 2 

2 

5x dx = ctg 5x ctg 5x dx = 

3 

v 

du 

(2x 

2 

1 2 ctg 5x dx 2 

= 1 ctg 5x dx = ctg 5x dx = 

2 2 

sin 5x 

sin 5x 

1 

2 

e 

2x 

4)dx 

=

50 

= C 

x 

5 

ctg5x 

15 

5x 

ctg 3 ; 

17) 

1 

2cosx 

3sin x 

dx 

= 

2 

2 

2 

2 

t 

1 

t 

1 

cosx 

t 

1 

2 dt 

dx 

t 

1 

2t 

sin x 

2 

x 

tg 

t 

= 

= 

1 

6t 

3t 

dt 

2 2 = 

3 

4 

1 

t 

dt 

3 

2 

2 

= 

2 

3 

3t 

2 

3 

3t 

ln 

6 

3 

= 

C 

2 

3 

2 

x 

3tg 

2 

3 

2 

x 

3tg 

ln 

6 

3 

; 

18) 

2 

3x 

6x 

dx 

2 = 

. 

48 

13 

a 

dx; 

du 

; 

4 

1 

x 

u 

48 

13 

4 

1 

x 

6 

2 

3x 

6x 

2 

2 

= 

= 

48 

13 

u 

du 

6 

1 

2 

= 

48 

13 

u 

arctg 

48 

13 

1 

6 

1 

= 

13 

4) 

1/ 

3(x 

4 

arctg 

13 

3 

4 

6 

1 

= 

C 

13 

1) 

3(4x 

arctg 

13 

3 

3 

2 

; 

19) 

7 

2x 

5x 

dx 

2 

= 

= 

. 

5 

6 

a 

dx; 

du 

; 

5 

1 

x 

u 

; 

25 

36 

5 

1 

x 

5 

5 

7 

x 

5 

2 

x 

5 

2 

2 

= 

25 

36 

u 

du 

5 

1 

2 

;

51 

20) dx 

1 

x 

4x 

3x 

2 

4 

= 

= 

1 

x 

x 

3x 

3x 

1 

x 

4x 

3x 

2 

2 

2 

4 

= 

1 

x 

dx 

x 

dx 

x 

3 

dx 

x 

3 2 

2 

= 

= C 

1 

ln x 

2 

1 

x 

2 

3 

x 

2 

2 

3 

; 

21) dx 

6 

5x 

x 

1) 

(x 

4 

x 

7x - 

2 

2 

= 

2 

C 

1 

4 

C 

8 

2 

B 

1) 

( 

3 

B 

6 

1 

A 

4) 

3)( 

A( 

12 

3 

x 

2 

x 

1 

x 

2) 

1)(x 

C(x 

3) 

1)(x 

B(x 

3) 

2)(x 

A(x 

4 

x 

7x 

3 

x 

C 

2 

x 

B 

1 

x 

A 

3) 

2)(x 

1)(x 

(x 

4 

x 

7x 

6 

5x 

x 

1) 

(x 

4 

x 

7x 

2 

2 

2 

2 

= 

3 

x 

dx 

2 

2 

x 

dx 

2 

1 

x 

dx 

==-ln|x+1|-2ln|x-2|+2ln|x-3|+C; 

22) dx 

5 

2x 

x 

2) 

(x 

27 

43x 

23x 

8x 

x 

2 

2 

3 

4 

= 

= 

1 

C 

1 

B 

3 

A 

2C 

5A 

13 

C 

2B 

2A 

3 

B 

A 

2 

x 

x 

x 

2) 

C (x 

Bx 

5 

2x 

A x 

13 

3x 

2x 

5 

2x 

x 

C 

Bx 

2 

x 

A 

5 

2x 

x 

2) 

(x 

13 

3x 

2x 

; 

5 

2x 

x 

2) 

(x 

13 

3x 

2x 

4 

x 

27 

43x 

23x 

8x 

x 

0 

1 

2 

2 

2 

2 

2 

2 

2 

2 

2 

3 

4 

=

= x dx - 4 dx - 3 

dx x 1 

dx = 

2 

x - 2 x 2x 5 

x dx - 4 dx - 3 

dx x 

dx = 

2 

x - 2 (x 1) 4 

= x 2 

1 

4x 3ln | x 2 | ln | x 

2 2x 5 | C ; 

2 

2 

x 4 sin t; dx 4 cos t dt; 

2 

2 

23) x 16 x dx = x 

x = 

sin t ; t arcsin . 

4 

4 

2 

2 

2 2 

= 16sin t 16-16sin t 4cost dt = 256 sin t cos t dt = 

2 

= 64 sin 2t dt = 32 1 cos4t dt =32t-8sin 

x 

x 

4t+C= 32 arcsin 8sin 4 arcsin 

4 

4 

C= 

x x 2 

2 

= 32arcsin 8 x 16 x 

4 4 

C. 


Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: 

2 

y x 2x 

, прямыми х=-1, х=1 и осью Ох. 

Решение: Построим фигуру, ограниченную данными 

линиями 

Искомая площадь 

52

(Площадь криволинейной трапеции ABba, ограниченной 

сверху графиком функции y=f(x), слева и справа — прямыми 

х=а, х=b, снизу осью Ох, 

вычисляется по формуле: 

b 

S f(x)dx . 

Если f(x) 0 при x [a;b], тоS f(x)dx . 

Данные формулы можно объединить в одну: 

0 

1 

2 

2 

S S 1 

S 2 

= (x 2 x) dx (x 2 x) dx = 

1 

0 

= x 3 

3 

2 0 x 1 1 1 

x 

x 

2 

1 

1 1 2 кв.ед.; 

3 

3 0 3 3 

a 

b 

a 

b 

S | f(x) | dx .): 


Вычислить объём тела, полученного вращением вокруг оси 

Оу фигуры, лежащей в плоскости хОу и ограниченной 

2 

линиями у 4 х , х=0; 

Решение: Для вычисления объёма воспользуемся 

соответствующей формулой 

(Объём тела, полученного вращением вокруг оси Оу 

криволинейной трапеции CcdD, ограниченной дугой CD 

a 

53

кривой y= (у) ( ( у) 0) и прямыми y=c и 

y=d, 

вычисляется по формуле: 

V 

y 

= 2 

2 π 

π 

2 

0 

d 

c 

(4 

16у 

x 

2 

dy 

y 

8 

3 

2 

) 

у 

2 

3 

π 

2 

dy 

2 

(4 

5 

у 

5 

2 π 

y 

2 

0 

2 

) 

d 

d 

2 

2 

V 

y 

π x dy π dy ) 

c 

c 

2 

(16 

dy 

8 y 

2 

y 

4 

) dy 

2 64 32 512 

= 2 32 

107, 23; 

0 3 5 15 

Примерный вариант решения 

контрольной работы №2 


В бригаде 25 человек. Сколькими способами можно избрать 

троих рабочих в три комиссии (по одному в каждую)? 

Решение: Одна комбинация отличается от другой либо хотя 

бы одним человеком, либо порядком избрания в комиссии. 

Поэтому число способов избрания троих рабочих равно 

числу размещений 

(число размещений из n объектов по k вычисляется по 

формуле: 

k n! 

A( n, k) An 

n ( n 1) ( n k 1) ) 

( n k)! 

3 

из 25 человек по 3, т.е. А 25 24 23 13800; 

25 

54


В шахматном турнире участвуют 10 гроссмейстеров, 6 

международных мастеров и 4 мастера. Шахматисты для 

первого тура и номер столика для каждой пары участников 

определяются путём жеребьёвки. Найти вероятность того, 

что за первым столиком встретятся шахматисты одной и той 

же категории. 

Решение: Число всех равновозможных случаев определения 

двух соперников из 20 участников равно числу сочетаний 

(число сочетаний из n объектов по k вычисляется по 

формуле: 

k n! 

C( n, k) 

Cn 

k!( n k )! 

) 

2 

из 20 элементов по 2, т.е. С 

20 . Число групп по 2 человека, 

которые могут быть составлены из 10 гроссмейстеров, 

равноС 2 10 . Число групп, которые могут быть составлены из 6 

международных мастеров, равно 

быть составлено 

2 

С4 

пар. Сумма 

55 

2 

С 

6 

. Из 4 мастеров может 

2 2 2 

С С равна числу 

10 6 

С4 

благоприятствующих случаев для встречи за первым 

столиком шахматистов одной и той же категории. 

Следовательно, искомая вероятность 

2 2 2 

C10 

C6 

C4 

33 

P ( A) 

; 

2 

C 95 

20 


В совхозную ремонтную мастерскую поступило 15 

тракторов. Известно, что 6 из них нуждаются в замене 

двигателя, а остальные — в замене отдельных узлов. 

Случайным образом отбирается два трактора. Найти 

вероятность того, что замена двигателя необходима: 

а) в двух тракторах; б) в одном тракторе; в) хотя бы в одном 

тракторе. 

Решение: а) Обозначим через А событие

(Событием в теории вероятностей называется всякий факт, 

который может произойти в результате некоторого опыта 

(испытания)), 

состоящее в том, что выбранный трактор требует замены 

двигателя. Согласно условиям задачи, вероятность того, что 

первым будет отобран трактор, требующий замены двигателя 

(Вероятностью события А при данном испытании называется 

отношение числа М исходов, благоприятствующих его 

наступлению, к числу N всех единственно возможных 

несовместных и равновозможных исходов данного 

испытания, т.е 

P (A) 

6 

15 

M 

( ), 

N 

P A) 

0,4 . Вероятность того, что второй выбранный 

5 

трактор также потребует замены двигателя, P (A) 0, 36. 

14 

Тогда вероятность события, состоящего в том, что первый и 

второй отобранные тракторы потребуют замены двигателя 

(Произведением событий А и В называют событие, 

состоящее в одновременном появлении этих событий: и А и 

В, P ( AB) 

P( 

A) 

P( 

B) 

), 

2 5 1 

P (A) ; 

5 14 7 

б) Обозначим через В событие, состоящее в том, что только 

один из двух выбранных тракторов требует замены 

двигателя. Это событие заключается в том, что первый 

трактор нуждается в замене двигателя, а второй – лишь в 

замене отдельных узлов либо первый трактор требует 

замены отдельных узлов, а второй – замены двигателя, тогда 

(Суммой двух событий А и В называют событие, состоящее в 

появлении хотя бы одного из них (или А или В), 

Р(А+В)=Р(А)+Р(В)) 

2 9 9 6 18 

P (B) 

; 

5 14 15 14 35 

в) Обозначим через С событие, состоящее в том, что ни один 

трактор не требует замены двигателя. Вероятность того, что 

56

первый трактор не потребует замены двигателя, равна 

9 3 

. 

15 5 

Вероятность того, что второй трактор также потребует 

8 4 

замены двигателя, . Тогда вероятность того, что оба 

14 7 

3 4 12 

трактора потребуют замены двигателя, P (C) . 

5 7 35 

Вероятность того, что хотя бы для одного трактора 

потребуется замена двигателя 

(Вероятность появления хотя бы одного события из событий 

A 1 , A 2 ,…,A n независимых в совокупности, равна разности 

между единицей и произведением вероятностей 

противоположных событий: A 

1 

, A2 

,..., An 

, т.е. 

P(A)=1-q 1 q 2 …q n ) 

12 23 

P 1 P( 

C) 

1 ; 

35 35 


При обследовании двух одинаковых групп мужчин и 

женщин было установлено, что среди мужчин 5% 

дальтоников, а среди женщин — 0,25%. Найти вероятность 

того, что наугад выбранное лицо: а) страдает дальтонизмом; 

б) является мужчиной, если известно, что оно страдает 

дальтонизмом. 

Решение: а) Пусть событие А состоит в том, что наугад 

выбранное лицо страдает дальтонизмом. При этом возможны 

следующие гипотезы: В 1 — выбранное лицо является 

мужчиной; В 2 — выбранное лицо является женщиной. 

Из условия задачи находим: P B ) P( 

) 0, 5 ; P B 

( ) 0, 05; 

( 

1 

B2 

P B 

( A) 

0,0025. По формуле полной вероятности 

2 

(Вероятность наступления события A равна сумме 

произведений вероятности наступления каждого из полной 

группы несовместных событий B 1 ,B 2 ,…,B n на условную 

вероятность наступления этих событий, при условии 

наступления события A, то есть 

57 

1 

A

n 

P( A) P( B ) P ( A )) 

k 

1 

k 

Bk 

вычисляем вероятность того, что наугад выбранное лицо 

страдает дальтонизмом: 

P( 

A) 

n 

k 1 

Bk PB 

( A) 

0,5 0,05 0,5 0,0025 0,2625; 

k 

б) Условная вероятность произошедшего события А при 

осуществлении гипотезы В 1 определяется по формуле Байеса 

(Формула Байеса определяет вероятность произошедшего 

события A при условии реализации заданной гипотезы 

P( B1 

) PB 

( A) 

1 

(исхода) B k : PA( Bk) 

): 

n 

P( B ) P ( A) 

P( 

B1 

) PB 

( A) 

1 

0,5 0,05 

P ( B1 

) 

0,952388. 

A n 

0,02625 

B P ( A) 

k 1 

k 

B k 

k 

1 

k 

Bk 


Наблюдениями установлено, что в некоторой местности в 

сентябре бывает 12 дождливых дней. Найти вероятность 

того, что из случайно зафиксированных в этом месяце 8 дней 

дождливыми окажутся: а) три дня; б) не менее трёх дней; в) 

не более трёх дней. 

Решение: Наблюдения в условиях данной задачи являются 

независимыми 

(События (наблюдения, результаты опыта) являются 

независимыми, если наступление одного из них не влияет на 

наступление другого) 

Вероятность выпадения дождя в любой день сентября 

12 

p 0,4 , а вероятность того, что в любой день сентября 

30 

дождя не будет, q 1 p 1 0,4 0, 6. Вероятность того, что 

в n наблюдениях событие наступит m раз, определяется 

формулой биноминального распределения 

58

(Вероятность наступления события A m раз в серии из n 

испытаний при условии постоянной равной p вероятности 

появления этого события в каждом из них, вычисляется по 

m m n m 

формуле Бернулли и равна P 

n( m) 

Cn 

p q , где q=1–p 

есть вероятность не наступления события A) 

а) По условию задачи n=8; m=3; p=0,4; q=0,6. 

3 3 5 

Тогда P 

8 

(3) C8 

0,4 0,6 0, 278692; 

б) Поскольку n=8; 3 m 8; p=0,4; q=0,6, то 

P 3 m 8) P (3) P (4) P (5) P (6) P (7) (8) = 

8 

( 

8 8 8 8 8 

P8 

8 

7 

2 6 

1 P 

8 

(0) P8 

(1) P8 

(2) = 1 0,6 8 0,4 0,6 28 0,4 0,6 =0,62 

4893; 

в) Т.к. n=8; 0 m 3; p=0,4; q=0,6, то 

P8 (0 m 3) P8 

(0) P8 

(1) P8 

(3) = 

= 0 ,016796 0,149292 0,209019 0,278692 0, 653309; 


На факультете 730 студентов. Вероятность дня рождения 

каждого студента в данный день равна 1/365. Вычислить 

вероятность того, что найдутся три студента, у которых дни 

рождения совпадают. 

Решение: В данном случае n=730; m=3; p=1/365; 

q=1-1/365=364/365. Так как n велико, воспользуемся 

локальной теоремой Муавра-Лапласа 

(Если число проводимых испытаний n велико, то 

вероятность наступления k раз в этих испытаниях события A 

вычисляется согласно локальной теореме Муавра-Лапласа 

( ) ( x) 

Pn k 

npq , k np 

x 

npq , 

где p — вероятность наступления события A в одном 

испытании, 

q=1–p — вероятность не наступления этого события, 

( x )— значение плотности стандартного нормального 

распределения, определяемое по таблицам) 

59

730 

3 

где x 365 0,71 . Значение функции находим по 

1 364 

730 

365 365 

таблице (таблица); ( 0,71) 0,3101; 

P 730(3) 0, 2210. 


При измерении окружности груди 25 спортсменов 

установлено, что у троих этот объём равен 88 см, у четверых 

– 92 см, у пятерых – 96 см, у шестерых – 98 см и у семи – 100 

см. СВ Х – окружность груди спортсмена. Записать закон 

распределения СВ Х. Вычислить математическое ожидание, 

дисперсию и среднее квадратическое отклонение. Найти 

функцию распределения и построить её график. 

Решение: Вероятность обнаружения среди 25 спортсменов 

троих с окружностью груди, равной 88 см, p 1 =3/25=0,12. 

Аналогично вероятность обнаружения среди 25 спортсменов 

четверых с окружностью груди 92 см p 2 =4/25=0,16 и т.д. 

Получаем закон распределения (Законом распределения 

случайной величины называется всякое соотношение, 

устанавливающее связь между возможными значениями 

случайной величины и соответствующими вероятностями) в 

виде таблицы: 

X 88 92 96 98 100 

р 0,12 0,16 0,2 0,24 0,28 

Найдём числовые характеристики данной случайной 

величины 

( 

Математическим ожиданием, или средним, случайной 

величины X называется сумма произведений возможных 

значений этой случайной величины на вероятности этих 

значений, т.е. 

MX 

p 

n 

1x1 

p2x2 

pn 

xn 

pk 

xk 

. 

k 1 

Дисперсией случайной величины называется математическое 

ожидание квадрата отклонения величины от ее 

математического ожидания, т.е. 

60

n 

n 

2 2 2 2 

k k k k 

k 1 k 1 

DX M[( X MX ) ] p ( x MX ) p x ( MX ) . 

Среднеквадратическим отклонением случайной величины X 

называют величину, равную квадратному корню из 

дисперсии: DX ) 

M (X) 88 0,12 92 0,16 96 0,2 98 0,24 100 0,28 96; 

M(X 

2 

) 

88 

2 

0,12 

92 

2 

0,16 

96 

2 

0,2 

98 

2 

0,24 

100 

2 

0,28 

D(X) 

2 

M(X ) 

2 

(M(X)) 9231,68 

2 

96 15,68; 

(X) D(X) 3,96. 

= 9231,68; Найдём функцию распределения 

(Функцией распределения СВ Х называется функция 

действительной переменной Х, определяемая равенством: 

x 

F(x) P(X x) f(t)dt , где Р(Х


Дана функция распределения СВ Х: 

0; x 0; 

F(x) 

2 

x 

; 

4 

1; 

0 

x 

x 

2. 

2; 

Найти плотность распределения вероятностей, 

математическое ожидание, дисперсию и вероятность 

попадания СВ Х на отрезок [0,5;1,5]. Построить графики 

обеих функций. 

Решение: Из определения плотности распределения 

вероятностей 

(Плотностью распределения (дифференциальной функцией 

распределения) вероятностей случайной величины Х в точке 

х называется предел (если он существует) отношения 

вероятности попадания значений этой величины в интервал 

( х;х х) к длине отрезка [ x;x x] 

, когда последняя 

P(x X x Δx) 

стремится к нулю: f(x) 

) 

lim0 Δx Δx 

и так как 0 Х 2 

(На области дифференцируемости функции распределения 

F(x) её производная равна плотности распределения: 

f(x) F (x) (производная интегральной функции равна 

дифференциальной функции)) 

найдём плотность распределения вероятностей: 

0; x 0; 

f(x) 

x 

; 

2 

0; 

0 

x 

x 

2. 

2; 

Построим графики обеих функций: 

62

Найдём числовые характеристики данной СВ 

(Математическое ожидание непрерывной случайной 

величины Х, все значения которой принадлежат [x 1 ;x 2 ], а f(x) 

— её плотность вероятностей, определяется формулой: 

М(Х) 

x 

x 

2 

1 

xf(x)dx . Дисперсия непрерывной СВ Х значения, 

которой принадлежат [x 1 ;x 2 ] , определяется формулой: 

x2 

2 

2 

D(X) x f(x)dx M(X) ) 

M(X) 

2 

x 

1 

xf(x)dx 

1 

2 

2 

0 

x dx 

3 

1 x 

2 3 

63 

4 

3 

2 2 

; 

0 

2 

2 2 

D(X) x f(x)dx (M(X)) . 

9 

0 

Найдём вероятность попадания СВ на отрезок [0,5;1,5] 

(Вероятность попадания значений СВ Х в интервал (х 1 ;х 2 ) 

равна определённому интегралу от плотности распределения 

f(x) по отрезку (х 1 ;х 2 ), т.е. 

P(x X x ) f(x)dx ) 

2 

2 

(1,5) (0,5) 

P (0,5 X 1,5) F(1,5) 

F(0,5) 

0,5 . 

4 4 


СВ Х распределена нормально с математическим ожиданием, 

равным 12,5. Вероятность попадания СВ Х в интервал (10;15) 

равна 0,2. Чему равна вероятность попадания СВ Х в 

интервал (35;40)? 

1 

2 

x 

x 

2 

1

Решение: Так как случайная величина распределена 

нормально 

(Нормальным распределением, или распределением Гаусса, 

называется распределение с плотностью вероятностей: 

(x a) 

1 2 

2 

2σ 

f(x) е ; σ 0, 

σ 2π 

где а — его математическое ожидание; 

— среднее квадратическое отклонение.) 

найдём вероятность попадания значений СВ Х в интервал 

(10;15) 

(Вероятность попадания значений нормальной СВ Х в 

интервале ( ; ) определяется формулой: 

β а α a 

P(α x β) Φ Φ , 

σ σ 

где Ф(х) — функция Лапласа: 

Φ(x) 

1 

2π 

x 

0 

е 

2 

t 

2 

dt (значение её можно найти из таблицы)) 

15 12,5 10 12,5 

P (10 X 15) 

0,2 ; 

2,5 

2 0,2 ; 

2,5 

2,5 

0, 1. Откуда 0, 25; 10. 

Следовательно: 

40 12,5 35 12,5 

P (35 X 40) 

= 

10 

10 

= ( 2,75) (2,25) 0,497 0,4878 0, 0092. 


Вероятность некоторого события в каждом испытании из 

серии 9000 независимых испытаний равна 1/3. Используя 

неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что 

частота этого события отклонится от его вероятности по 

абсолютной величине не более, чем на 0,01. 

Решение: Воспользуемся неравенством Чебышева для СВ Х. 

64

(Для оценки снизу вероятности попадания значений 

случайной величины X в симметричную относительно 

среднего a окрестность радиуса используется неравенство 

Чебышева P X a 1 

D( 

X ) 

) 

2 

применительно к данной задаче неравенство записывается в 

m 

D( 

X ) 

виде: P p 0,01 P m np 90 1 , 

2 

n 

90 

где X=m; p=1/3; n=9000; a=M(X)=np=3000; D(X)=npq=2000. 

Тогда P 

m 

2000 20 

p 0,01 

1 1 

2 

n 

90 81 

0, 7531, т.е. не меньше 

0,7531. 

65

х 

(х) 

() õ 

Таблицы значений для функций 

2 

x 

2 

1 

1 

( x) 

e и ( x) 

e dt 

2 

2 0 

х 

( x) Ôõ () x ( x) 

Ôõ () 

0,00 0,3989 0,0000 0,40 0,3683 0,1554 0,80 0,2897 0,2881 

0,01 0,3989 0,0040 0,41 0,3668 0,1591 0,81 0,2874 0,2910 

0,02 0,3989 0,0080 0,42 0,3653 0,1628 0,82 0,2850 0,2939 

0,03 0,3989 0,0120 0,43 0,3637 0,1664 0,83 0,2827 0,2967 

0,04 0,3989 0,0160 0,44 0,3621 0,1700 0,84 0,2803 0,2995 

0,05 0,3984 0,0199 0,45 0,3605 0,1736 0,85 0,2780 0,3023 

0,06 0,3982 0,0239 0,46 0,3589 0,1772 0,86 0,2756 0,3051 

0,07 0,3980 0,0279 0,47 0,3572 0,1808 0,87 0,2732 0,3078 

0,08 0,3977 0,0319 0,48 0,3555 0,1844 0,88 0,2709 0,3106 

0,09 0,3973 0,0359 0,49 0,3538 0,1879 0,89 0,2685 0,3133 

0,10 0,3970 0,0398 0,50 0,3521 0,1915 0,90 0,2661 0,3159 

0,11 0,3965 0,0438 0,51 0,3503 0,1950 0,91 0,2637 0,3186 

0,12 0,3961 0,0478 0,52 0,3485 0,1985 0,92 0,2613 0,3212 

0,13 0,3956 0,0517 0,53 0,3467 0,2019 0,93 0,2589 0,3238 

0,14 0,3951 0,0557 0,54 0,3448 0,2054 0,94 0,2565 0,3264 

0,15 0,3945 0,0596 0,55 0,3429 0,2088 0,95 0,2541 0,3289 

0,16 0,3939 0,0636 0,56 0,3410 0,2123 0,96 0,2516 0,3315 

0,17 0,3932 0,0675 0,57 0,3391 0,2157 0,97 0,2492 0,3340 

0,18 0,3925 0,0714 0,58 0,3372 0,2190 0,98 0,2468 0,3365 

0,19 0,3918 0,0753 0,59 0,3352 0,2224 0,99 0,2444 0,3389 

0,20 0,3910 0,0793 0,60 0,3332 0,2257 1,00 0,2420 0,3413 

0,21 0,3902 0,0832 61 0,3312 0,2291 1,01 0,2396 0,3438 

0,22 0,3894 0,0871 0,62 0,3292 0,2324 1,02 0,2371 0,3461 

0,23 0,3885 0,0910 0,63 0,3271 0,2357 1,03 0,2347 0,3485 

0,24 0,3876 0,0948 0,64 0,3251 0,2389 1,04 0,2323 0,3508 

0,25 0,3867 0,0987 0,65 0,3230 0,2422 1,05 0,2299 0,3531 

0,26 0,3857 0,1026 0,66 0,3209 0,2454 1,06 0,2275 0,3554 

0,27 0,3847 0,1064 0,67 0,3187 0,2486 1,07 0,2251 0,3577 

0,28 0,3836 0,1103 0,68 0,3166 0,2517 1,08 0,2227 0,3599 

0,29 0,3825 0,1141 0,69 0,3144 0,2549 1,09 0,2203 0,3621 

0,30 0,3814 0,1179 0,70 0,3123 0,2580 1,10 0,2179 0,3643 

0,31 0,3802 0,1217 0,71 0,3101 0,2611 1,11 0,2155 0,3665 

0,32 0,3790 0,1255 0,72 0,3079 0,2642 1,12 0,2131 0,3686 

0,33 0,3778 0,1293 0,73 0,3056 0,2673 1,13 0,2107 0,3708 

0,34 0,3765 0,1331 0,74 0,3034 0,2703 1,14 0,2083 0,3729 

0,35 0,3752 0,1368 0,75 0,3011 0,2734 1,15 0,2059 0,3749 

0,36 0,3739 0,1406 0,76 0,2989 0,2764 1,16 0,2036 0,3770 

0,37 0,3726 0,1443 0,77 0,2966 0,2794 1,17 0,2012 0,3790 

0,38 0,3712 0,1480 0,78 0,2943 0,2823 1,18 0,1989 0,3810 

0,39 0,3697 0,1517 0,79 0,2920 0,2852 1,19 0,1965 0,3830 

x 

2 

t 

2 

66

x 

( x) 

Ф(x) x 

( x) 

Ф(x) x 

( x) 

Ф(x) 

1,20 0,1942 0,3849 1,70 0,0940 0,4554 2,40 0,0224 0,4918 

1,21 0,1919 0,3869 1,71 0,0925 0,4564 2,42 0,0213 0,4922 

1,22 0,1895 0,3888 1,72 0,0909 0,4573 2,44 0,0203 0,4927 

1,23 0,1872 0,3907 1,73 0,0893 0,4582 2,46 0,0194 0,4931 

1,24 0,1849 0,3925 1,74 0,0878 0,4591 2,48 0,0184 0,4934 

1,25 0,1826 0,3944 1,75 0,0863 0,4599 2,50 0,0175 0,4938 

1,26 0,1804 0,3962 1,76 0,0848 0,4608 2,52 0,0167 0,4941 

1,27 0,1781 0,3980 1,77 0,0833 0,4616 2,54 0,0158 0,4945 

1,28 0,1758 0,3997 1,78 0,0818 0,4625 2,56 0,0151 0,4948 

1,29 0,1736 0,4015 1,79 0,0804 0,4633 2,58 0,0143 0,4851 

1,30 0,1714 0,4032 1,80 0,0790 0,4641 2,60 0,0136 0,4953 

1,31 0,1691 0,4049 1,81 0,0775 0,4649 2,62 0,0129 0,4956 

1,32 0,1669 0,4066 1,82 0,0761 0,4656 2,64 0,0122 0,4959 

1,33 0,1647 0,4082 1,83 0,0748 0,4664 2,66 0,0116 0,4961 

1,34 0,1626 0,4099 1,84 0,0734 0,4671 2,68 0,0110 0,4963 

1,35 0,1604 0,4115 1,85 0,0721 0,4678 2,70 0,0104 0,4965 

1,36 0,1582 0,4131 1,86 0,0707 0,4686 2,72 0,0099 0,4967 

1,37 0,1561 0,4147 1,87 0,0694 0,4693 2,74 0,0093 0,4969 

1,38 0,1539 0,4162 1,88 0,0681 0,4699 2,76 0,0088 0,4971 

1,39 0,1518 0,4177 1,89 0,0669 0,4706 2,78 0,0084 0,4973 

1,40 0,1497 0,4192 1,90 0,0656 0,4713 2,80 0,0079 0,4974 

1,41 0,1476 0,4207 1,91 0,0644 0,4719 2,82 0,0075 0,4976 

1,42 0,1456 0,4222 1,92 0,0632 0,4726 2,84 0,0071 0,4977 

1,43 0,1435 0,4236 1,93 0,0620 0,4732 2,86 0,0067 0,4979 

1,44 0,1415 0,4251 1,94 0,0608 0,4738 2,88 0,0063 0,4980 

1,45 0,1394 0,4265 1,95 0,0596 0,4744 2,90 0,0060 0,4981 

1,46 0,1374 0,4279 1,96 0,0584 0,4750 2,92 0,0065 0,4982 

1,47 0,1354 0,4292 1,97 0,0573 0,4756 2,94 0,0053 0,4984 

1,48 0,1334 0,4306 1,98 0,0562 0,4761 2,96 0,0050 0,4985 

1,49 0,1315 0,4319 1,99 0,0551 0,4767 2,98 0,0047 0,4986 

1,50 0,1295 0,4332 2,00 0,0540 0,4772 3,00 0,00443 0,49865 

1,51 0,1276 0,4345 2,02 0,0519 0,4783 

1,52 0,1257 0,4357 2,04 0,0498 0,4793 

3,10 0,00327 0,49903 

1,53 0,1238 0,4370 2,06 0,0478 0,4803 3,20 0,00238 0,49931 

1,54 0,1219 0,4382 2,08 0,0459 0,4812 

1,55 0,1200 0,4394 2,10 0,0440 0,4821 

3,30 0,00172 0,49952 

1,56 0,1182 0,4406 2,12 0,0422 0,4830 3,40 0,00123 0,49966 

1,57 0,1163 0,4418 2,14 0,0404 0,4838 

1,58 0,1145 0,4429 2,16 0,0387 0,4846 

3,50 0,00087 0,49977 

1,59 0,1127 0,4441 2,18 0,0371 0,4854 3,60 0,00061 0,49984 

1,60 0,1109 0,4452 2,20 0,0355 0,4861 3,70 0,00042 0,49989 

1,61 0,1092 0,4463 2,22 0,0339 0,4868 3,80 0,00029 0,49993 

1,62 0,1074 0,4474 2,24 0,0325 0,4875 

1,63 0,1057 0,4484 2,26 0,0310 0,4881 

3,90 0,00020 0,49995 

1,64 0,1040 0,4495 2,28 0,0297 0,4887 4,00 0,0001338 0,499968 

1,65 0,1023 0,4505 2,30 0,0283 0,4893 

1,66 0,1006 0,4515 2,32 0,0270 0,4898 

1,67 0,989 0,4525 2,34 0,0258 0,4904 

1,68 0,0973 0,4535 2,36 0,0246 0,4909 

1,69 0,0957 0,4545 2,38 0,0235 0,4913 

4,50 0,0000160 0,499997 

5,00 0,0000015 0,49999997 

67

ЛИТЕРАТУРА 

1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное 

исчисления. - М.: Наука, 1970 - 1985, т.1, 2. 

2. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. 

Дифференциальное и интегральное исчисления. - М.: Наука, 

1980, 1984. 

3. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика: 

Задачник. - М.: Наука, 1982. 

4. Минорский В.П. Сборник задач по высшей 

математике. - М.: Наука, 1977. 

5. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая 

математика в упражнениях и задачах. - М.: Высшая школа, 

1980, 1986, ч. 1, 2. 

6. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и 

математическая статистика. - М.: Высшая школа, 1972, 1977. 

7. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по 

теории вероятностей и математической статистике. - М.: 

Высшая школа, 1975, 1978. 

8. Чистяков В.П. Курс теории вероятностей. - М.: 

Наука, 1982. 

9. Лихолетов И.И. Руководство к решению задач по 

теории вероятностей и математической статистике. - Минск: 

Высшая школа, 1978. 

68

Содержание 

Программа курса «Высшая математика» с 3 

Указания по выполнению и оформлению контрольных работ 

с 6 


Задание №1 с 7 























Примерный вариант решения контрольной работы №1 с 34 

Примерный вариант решения контрольной работы №2 с 55 

Таблицы с 67 

Литература с 69 

69

методические указания и контрольные задания - Кафедра ...

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?