Modelowanie (2).pdf

Wyodrębnienie układu odosobnionego
• Wyodrębnienie układu odosobnionego pozwala na
zbilansowanie składników modelu takich jak:
» siły, momenty,
» ładunki elektryczne,
» poziomy ciśnienia,
» potencjały.
• Pełniejszy obraz obiektu modelowania uzyskuje się
bilansując wielkości fizyczne określające zmienność
w czasie wymienionych poprzednio składników,
a więc bilansując takie wielkości jak:
» ilość ruchu,
» prąd,
» przepływ, itp..

Obiekty rzeczywiste → uproszczenia
OBIEKTY RZECZYWISTE
Wszelkie rzeczywiste obiekty fizyczne, jeśli by starać się
wiernie oddać ich zachowanie, należy traktować jako
obiekty: o stałych rozłożonych, o parametrach zmiennych w
czasie, o parametrach nieliniowo zależnych od zmiennych
sygnałowych.
UPROSZCZENIA
Linearyzacja, pojęcie stałych skupionych i ich niezmienność
w czasie to uproszczenia wnoszące często znaczne błędy
opisu.
Uproszczenia pozwalają na zwięzłe i zrozumiałe
przedstawienie nawet trudnych metod modelowania.

Model dynamiczny
• Modele uwzględniające różniczkowe zależności pomiędzy
pierwszą z wymienionych grup a drugą grupą zmiennych
noszą nazwę modeli dynamicznych .
• Modelowanie układów dynamicznych wygodnie jest związać
z analizą energetyczną układu.
• W układach dynamicznych występują zawsze elementy
gromadzące energię.
Na przykład w przypadku układów elektrycznych elementami tymi są
kondensatory i cewki.
Kondensatory gromadzą energię pomiędzy okładkami
kondensatora.
Cewki gromadzą energię dzięki istnieniu pola magnetycznego
wewnątrz cewki z prądem.

Model dynamiczny - wielkości charakteryzujące
• Wielkości charakteryzujące modelowane zjawisko
nazywane są zmiennymi lub współrzędnymi stanu.
• Zwykle na przebieg zjawiska wpływają różnorodne
czynniki, które można podzielić na:
– oddziaływania zależne od nas → sterowania
– oraz niezależne od naszej woli → zakłócenia
zakłócenia
sterowanie
Układ dynamiczny
(stan układu)
wyjście
stan początkowy

Modele dynamiczne - klasyfikacja
Modele dynamiczne można sklasyfikować biorąc pod
uwagę różne kryteria:
wpływ czasu na parametry układu:
stacjonarne- układy o parametrach
niezależnych od czasu;
niestacjonarne
- zależne od czasu;
sposób pomiaru czasu w układzie:
ciągłe
- układ obserwowany we
wszystkich chwilach czasu
danego przedziału;
dyskretne
- układ obserwowany tylko w
wybranych chwilach czasu.

Model ciągły, czy model dyskretny ?
Wykorzystywana postać modelu zależy od natury
samego zjawiska jak i celu, dla którego model
jest tworzony.
Przykłady:
• model ruchu ciała;
• model rachunku bankowego.

Model ciągły - przykład
Model ruchu ciała
W przypadku modelu prostoliniowego ruchu ciała za stan układu
przyjmujemy jego odległość x od wybranego punktu na danej
prostej i zakładamy, że prędkość jest pewną funkcją czasu V(t).
Model ruchu ciała opisywany jest więc równaniem różniczkowym:
dx
dt
( t )
1. Układ pamięta odległość od wybranego punktu na prostej
i opisuje reguły, jakim zmiany tej odległości podlegają
2. Aby rozwiązać równanie trzeba znać początkową odległość od
wybranego punktu prostej w chwili początkowej t 0
czyli x(t 0
)=x 0
.
3. Rozwiązanie tego równania uzyskuje się całkując jego prawą
stronę przy znanym x 0
.
=
V
( t )

Model dyskretny - przykład
Model rachunku bankowego
Jego stanem jest ilość gotówki, sterowaniem (w uproszczeniu)
wpłaty i wypłaty. Stan rachunku można obserwować albo
codziennie, albo tylko w momentach wpłat i wypłat - w obu
przypadkach jest to model dyskretny:
[ k ] = x[ k − 1] w[ k ]
x +
1. Jeśli k oznacza numer dnia, to model ten oznacza, że ilość
gotówki dostępnej następnego dnia jest równa ilości gotówki
z dnia poprzedniego x[k-1] powiększonej (pomniejszonej)
o wpłatę (wypłatę) dokonaną danego dnia.
2. Aby obliczyć stan gotówki w kolejnych dniach trzeba znać stan
początkowy rachunku i wielkości dokonanych do danego dnia
wpłat i wypłat.

Modele ciągłe a modele dyskretne
Model ruchu ciała a model rachunku bankowego
Modele te łączy fakt, że do ich rozwiązania (symulacji)
konieczna jest znajomość stanu pamięci układu (odległość od
wybranego punktu prostej, lub początkowego stanu rachunku).
Model ruchu ciała jest modelem ciągłym, zaś rachunku
bankowego modelem dyskretnym.
stan modelu
x(t)
x(t 0
)
V(t i
)
stan modelu
x(k i
)
x(k i-1
)
x(k 0
)
w i
t 0
czas
t i
k 0
czas k i-1
k i

Modele ciągłe a modele dyskretne
Prościej rozwiązuje się modele z czasem dyskretnym
obliczenia wykonuje się krok po kroku dla
kolejnych chwil czasu.
Przy modelu ciągłym celem jest znalezienie ciągłej
funkcji opisującej zależność x(t)
w praktyce numerycznej jest to jednak często
niemożliwe i trzeba się zadowolić jedynie pewną
liczbą odpowiednio gęsto rozłożonych punktów
w dziedzinie czasu i wartości funkcji x(t) .
należy jednak pamiętać, że do ich uzyskania
stosuje się inne metody, niż przy rozwiązywaniu
modelu dyskretnego.

Modele ciągłe → dyskretyzacja
• Wybór między czasem ciągłym a czasem dyskretnym
na podstawie natury modelowanego zjawiska;
na podstawie celu, dla którego model jest tworzony.
• Modele dyskretne można uzyskać z modeli ciągłych
wykonując dyskretyzację.
• Istota tego podejścia polega na przejściu od ciągłej
obserwacji zjawiska do obserwacji go co pewien, stały
okres czasu zwany czasem próbkowania.

Modele ciągłe → dyskretyzacja
• Czas próbkowania jest ograniczony od góry wiernością
odzwierciedlania właściwości układu ciągłego, a od dołu
szybkością działania komputera sterującego układem.
• Zwiększając czas próbkowania traci się coraz więcej
informacji o właściwościach przybliżanego przebiegu.
• Jeżeli zjawisko zachodzi szybciej niż jest postrzegane, to
traci się informację o jego szczegółach lub nawet o jego
istnieniu.

Dyskretyzacja modelu ciągłego - przykład
0 . 6 krok=0,01 krok=0,10 krok=0,50 krok=1,00
0 . 4
0 . 2
0
- 0 . 2
- 0 . 4
y =
( x )
sin 2
( x + 0.1)
0 0 . 5 1 1 . 5 2 2 . 5 3 3 . 5 4 4 . 5 5

Metoda Lagrange’a
(przykład)
Rozpatrzmy prosty układ
x
c
m
przy następujących założeniach upraszczających:
• siły tarcia są pomijalne;
• sprężyna jest nieważka i o stałej sztywności;
• cała masa ciała skupiona w punkcie;
• ruch odbywa się w płaszczyźnie poziomej.

Metoda Lagrange’a (1)
Uogólniając oznaczenia wg następującego schematu:
• c → sztywność sprężyny
• m → masa
Energia kinetyczna poruszającej się masy m wyrazi się
wzorem:
E k
=
1
m ⋅
2
Energia potencjalna sprężyny o sztywności c wyrazi się
wzorem:
x
E
p
= ∫
c
⋅
x⋅
x
2
dx
=
1
0
2
⋅
c
⋅
x
2

Metoda Lagrange’a (2)
Różniczkując E k
(x) względem x
E
k
=
1
2
m
⋅
x
2
⇒
∂ E
∂ x
k
=
m
⋅
x
Pochodna powyższego równania względem czasu wynosi:
d ⎛ ∂ Ek ⎞
⎜ = m ⋅ x
dt x
⎟
⎝ ∂ ⎠
Różniczkując E p
(x) względem x
E
p
=
1
2
⋅
c ⋅
x
2
⇒
∂
∂
E
x
p
=
c ⋅
x

Metoda Lagrange’a (3)
Dodając w/w równania stronami:
∂
∂
E
x
p
+
d
dt
⎛
⎜
⎝
∂ E
∂ x
Z kolei z drugiej zasady dynamiki Newtona wynika że:
k
⎞
⎟
⎠
=
m
⋅
x
+
c
⋅
x
m
⋅
x
+
c
⋅
x
=
0
a więc
∂
∂
E
x
p
+
d
dt
⎛
⎜
⎝
∂ E
∂ x
k
⎞
⎟
⎠
=
0
Jest to szczególny przypadek
równania Lagrange’a dla
układów zachowawczych
(nie rozpraszających energii)

Metoda Lagrange’a (4)
Ogólna postać równania Lagrange’a dla układu
zachowawczego i autonomicznego, uwzględniająca fakt, że
energia kinetyczna może zależeć także od przesunięcia jest
nieco bardziej rozbudowa:
∂
∂
E
q
p
i
+
d
dt
⎛
⎜
⎝
∂
∂
E
q
k
i
⎞
⎟
⎠
−
∂ E
∂
q
k
i
=
0
gdzie q i
są tak zwanymi współrzędnymi uogólnionymi dla
układów o n stopniach swobody.

Metoda Lagrange’a (5)
Definiując
( q
, q ) = E ( q
q ) − E ( q )
=
,
i
i
k
i
i
p
i
jako lagriangian układu (potencjał Lagrange’a),
równanie Lagrange’a dla układów zachowawczych
i autonomicznych (bez sił zewnętrznych) przybiera
postać:
d
dt
⎛
⎜
⎝
∂ ⎞ ∂
⎟
−
∂ q
⎠ ∂ q
i i
=
0

Metoda Lagrange’a (6)
Można wykazać, że dla układów niezachowawczych,
tj. takich w których następuje rozpraszanie energii
w czasie ruchu układu, lecz bez oddziaływania sił
zewnętrznych, równanie Lagrange’a przybierze postać:
d
dt
⎛
⎜
⎝
∂
∂
q
i
⎞
⎟
⎠
−
∂
∂
q
i
+
∂ F
∂
q
i
=
0
przy czym F jest funkcją stratności Rayleigha.

Metoda Lagrange’a (7)
Jeżeli układ dozna małego przesunięcia, to praca wykonana
przeciw siłom tarcia wyniesie
gdzie:
• µ i
∑
- współczynnik tarcia;
∀µ i
q i
- siła niezbędna do pokonania tarcia.
Dla układów liniowych przyjmuje się µ i
= const.
Funkcja stratności F określana jest jako połowa mocy strat
F
1
i
μ
i
⋅
q
∂F
∑ μ q 2 ⇒ =
i i
∂q
i
⋅
∑
∆
q
= μ q
i i
2
i
i

Metoda Lagrange’a (8)
Gdy na układ działają siły zewnętrzne, równanie ruchu
Lagrange’a przybierze postać:
d
dt
⎛
⎜
⎝
∂
∂ q
i
⎞
⎟
⎠
−
∂
∂ q
i
+
∂ Φ
∂ q
i
=
Q
i
przy czym Q i
reprezentuje wymuszenie zewnętrzne .
Funkcję Ф Rayleigha definiuje się jako:
Φ
=
F −
P
Q
,
gdzie
P
Q
=
∑
i
P
Q i
P Q
- jest sumą mocy dostarczonej do układu.

Metoda Lagrange’a (9)
Równanie Lagrange’a przy wykorzystaniu funkcji
Ф Rayleigha przybierze postać:
d
dt
⎛
⎜
⎝
∂
∂
q
i
⎞
⎟
⎠
−
∂
∂
q
i
+
∂
∂
Φ
q
i
=
0

Metoda Lagrange’a (10)
PODSUMOWANIE:
Metoda Lagrange’a jest metodą opisu układów
dynamicznych i opiera się na analizie przemian
energetycznych wewnątrz układu.
Metoda powstała na gruncie mechaniki teoretycznej, lecz
stosując pewne interpretacje poszerzające można ją
wykorzystać w modelowaniu układów nie tylko
mechanicznych ale i np. elektrycznych.
Metoda znajduje zastosowanie wtedy, gdy modelowaniu
podlegają układy dynamiczne elektromechaniczne czyli
takie, w których medium przenoszącym informacje są ruch
masy, ruch cieczy, gazu czy też nośników prądu.

Metoda Lagrange’a
(przykład)
PRZYKŁAD:
Opisać za pomocą równań Lagrange’a układ przedstawiony
na rysunku
R
C
e(t)
L
• Energia potencjalna gromadzona przez kondensator
o pojemności C jest równa:
E
p
1 t
= ∫ i d
2C
0
( τ ) τ

Metoda Lagrange’a
(przykład)
PRZYKŁAD (cd.):
• Energia kinetyczna jaką ma cewka o indukcyjności L, gdy płynie
przez nią prąd i
E k
• Funkcja stratności Reyleigha, czyli połowa mocy strat
w rezystorze R
F
=
=
1
2
1
2
L
R
⋅
⋅
i
2
i
2
• Uogólniona siła sterująca (pobudzenie)
Q =
e

Metoda Lagrange’a
(przykład)
PRZYKŁAD (cd.):
Jeżeli za współrzędną uogólnioną przyjąć ładunek q
kondensatora to wszystkie poprzednio wyznaczone
wielkości można uzależnić od jednej wspólnej współrzędnej
uogólnionej q
E
F
p
1
= ⋅ q
2C
1
= R ⋅ q
2
2
2
;
E
k
=
1
2
L
⋅
q
2
;
Lagrangian układu jest równy
1
= Ek
− Ep
= L ⋅ q
2
2
−
1
2C
⋅
q
2

Metoda Lagrange’a
(przykład)
Poszczególne składniki równania Lagrange’a przyjmują postać
d
dt
d
∂q
⎛
⎜
⎝
∂
∂q
=
−
⎞
⎟ =
⎠
1
⋅
C
d
dt
q
;
( L ⋅ q)
=
∂F
∂q
L
=
⋅ q
;
R ⋅
q
Równanie Lagrange’a jest dokładnie takie samo jak równanie
obwodu szeregowego RLC pobudzonego źródłem napięciowym
otrzymane na podstawie prawa Kirchhofa.
L
⋅
q
+
R
⋅
q
+
1
C
⋅
q
=
e
⇔
L
di
dt
+
Ri
+
1
C
t
( τ )
∫ i dt =
0
e

Równania Hamiltona
• W wyniku modelowania układów dynamicznych
równaniami Lagrange’a otrzymuje się opis w postaci
równań różniczkowych rzędu drugiego.
• Liczba niezależnych równań opisujących układ
dynamiczny nazywana jest liczbą stopni swobody.
• Układy równań drugiego rzędu można rozwiązywać
między innymi poprzez przekształcenie w układ równań
rzędu pierwszego.
• Jest to postać tzw. równań stanu przydatnych do
rozwiązania metodami numerycznymi

Równania Hamiltona
• Równanie stanu (postać normalna układu równań
różniczkowych) - to układ równań postaci:
x
=
A
⋅
x
+
B
⋅
u
gdzie:
x – wektor stanu
u – wektor pobudzenia (wymuszenia)
A – macierz podstawowa (fundamentalna)
B – macierz pobudzeń (wymuszeń)
• Cechą wspólną większości przekształceń formalnych
jest to, że uzyskane w ten sposób zmienne
nie dają się zinterpretować fizycznie.

Równania Hamiltona
• Istnieje metoda modelowania układów dynamicznych,
która w wyniku daje układ równań różniczkowych rzędu
pierwszego (równań stanu) przy której uzyskane zmienne
stanu posiadają istotną interpretację fizyczną.
Oznaczając przez p i
składową pędu układu dla
współrzędnej q i,
, gdzie:
p
i
=
∂ E
∂ q
k
i
to energia kinetyczna często wyraża się jako funkcja
prędkości uogólnionej i współrzędnych uogólnionych
( q q )
E = E ,
k k

Równania Hamiltona
Energię kinetyczną można również wyrazić za pomocą
pędów uogólnionych i współrzędnych uogólnionych
( p q )
Ek Ek
,
E ≡
= k
E k ( p )
Jest to wyrażenie Hamiltona dla energii kinetycznej.
Energia całkowita (suma energii kinetycznej i energii
potencjalnej) może być wyrażona pewną (dodatnio
określoną) funkcją współrzędnych q i pędów p.
Funkcja ta nazywana jest hamiltonianem układu.
H
=
E
+ = ,
k
E H ( p q )
( p ) p

Równania Hamiltona
• W przypadku układu zachowawczego funkcja ta jest
stała, a jej pochodna po czasie równa zero.
H
d
= const. H q =
dt
( p,
) 0
• W autonomicznych układach niezachowawczych
pochodna hamiltonianu po czasie jest ujemnie
półokreślona
H
≠
d
const. H ≤
dt
( p,
q) 0

Równania Hamiltona
• Układ autonomiczny zachowawczy
opisują równania Hamiltona
⎧
⎪
⎨
⎪
⎪⎩
dpi
dt
dq
dt
i
=
=
−
∂ H
∂ qi
∂ H
∂ p
i
• W układach nieautonomicznych i niezachowawczych
− 1
⎧
⎪
⎨
⎪
⎪⎩
i
−
∂
∂
∂ H ⎛
+
⎜
∂ qi
⎝
H
= 0
p
d k(
p
pi
+
)
∂ pi
dt
d
dt
q
i
∂
E
⎞
⎟
⎠
⋅
p
⋅
∂ F
∂ p
i
=
Q
i

Równania Hamiltona
Interpretacja fizyczna
• Mechanika
Równania Hamiltona opisujące układ mechaniczny mają
postać równań stanu, w których zmiennymi stanu są:
przesunięcia i pędy mas tworzących układ dynamiczny.
• Elektrotechnika
Równania Hamiltona dla układu elektrycznego posiadają
postać równań stanu, w których zmiennymi stanu są
ładunki kondensatorów i strumienie magnetyczne cewek.

Równania Hamiltona
(przykład)
PRZYKŁAD:
Opisać za pomocą równań Hamiltona układ przedstawiony na
rysunku
R
C
e(t)
L
p
Pęd uogólniony układu i energia kinetyczna układu
wyrażona przez pęd
∂Ek
1
= = L ⋅ q
; Ek(
p )
, p
∂q
2L
( )
2
p q = ⋅

Równania Hamiltona
(przykład)
PRZYKŁAD (cd.):
Energia potencjalna i siła uogólniona jak w metodzie
Lagrange’a
E
p
1 t
= ∫ i d
2C
0
( τ ) τ
Q =
e
Hamiltonian
1
2L
2
H = p +
1
2C
q
2
Funkcja stratności
F
=
1
2
R
p
L
2
2
=
R
2L
2
⋅
p
2

Równania Hamiltona
(przykład)
PRZYKŁAD (cd.):
Poszczególne składowe równania Hamiltona:
p
L
R
q
F
q
E
p
L
p
L
p
E
p
L
R
p
F
q
C
q
E
q
E
p
k
p
k
p
p
k
⋅
=
∂
∂
⋅
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⋅
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
⋅
=
∂
∂
⋅
=
∂
∂
=
∂
∂
−
−
−
1
1
1
2
;
1
;
;
1
0;
)
(
)
(
)
(

Równania Hamiltona
(przykład)
W efekcie równania Hamiltona uzyska postać:
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
q
p
=
=
1
⋅ p
L
1
− ⋅ q
C
−
R
L
⋅
p
+
e
co odpowiada równaniom stanu:
x
=
A
⋅
x
+
B
⋅
u
A
=
⎡
⎢
0
⎢ 1
⎢ −
⎣ C
1
L
R
−
L
⎤
⎥
⎥
⎥
⎦
;
B
=
⎡0⎤
⎢ ⎥
⎢⎣
1⎥⎦
;
x
=
⎡ p⎤
⎢ ⎥
⎢⎣
q⎥⎦

Transmitancje
• Równanie stanu nie są jedyną wykorzystywaną postacią
modeli dynamicznych.
• W wielu dziedzinach (np. elektrotechnice, automatyce)
chętniej stosuje się tzw. transmitancje.
Laplace’a
- dla równań różniczkowych;
Laurenta
- dla równań różnicowych.

Transmitancje - idea
• Zakładając, że zależność między sygnałem wejściowym
i wyjściowym można opisać liniowym równaniem
różniczkowym lub równaniem różnicowym.
• Zamiast bezpośredniego analitycznego rozwiązania
równania, rozwiązanie można osiągnąć na drodze
przekształceń algebraicznych przetransformowanego
układu równań.
• W tym celu należy zdefiniować sposób przekształcania
równań, umożliwiający zastąpienie różniczkowania
(równania różniczkowe) lub odwołania do poprzedniej
wartości funkcji (równania różnicowe) obliczeniami
w dziedzinie wyrażeń algebraicznych.

Transmitancje ciągłe
• Transformację Laplace’a definiuje się następująco:
L
∞
= ∫
( ( ) )
s⋅t
f t e f ( t ) dt = f ( s)
0
• Funkcję f nazywamy oryginałem, natomiast uzyskaną po
przekształceniach funkcję f transformatą.
• Transformaty Laplac’a dla większości podstawowych
funkcji można uzyskać na drodze prostych rachunków.

Transmitancje ciągłe
Przykłady transmitancji: oryginał → transformata
n
n!
t , n ∈ N
→
n + 1
s
α t
1
e , α ∈ C
→
s + α
Różniczkowaniu w dziedzinie oryginału ω odpowiada
sin
mnożenie
( ω t ) , ω >
przez
0
’s’
→
w dziedzinie 2 2
stransformat.
+ ω
s
cos( ω t ) , ω > 0 →
2 2
s + ω
df
sf ( s ) f (
+
→
− 0 )
dt
gdzief
(
+
0 ) to lewostronna granica funkcji f w punkcie 0.

Transmitancje ciągłe - przykład
• Załóżmy, że pewne zjawisko fizyczne jest opisane w postaci
następującego równania różniczkowego (wiążącego zmienną
wyjściową y ze zmienną wejściową x ):
2
( t ) d y( t )
dy
du
a
0
y( t ) + a1
+ a2
= b0u( t ) + b
2
1
+
dt dt
dt
2
( t ) d u( t )
gdzie u(t) jest znaną dla tego przypadku funkcją czasu.
• Zależność y od u można prosto (przy założeniu zerowych
warunków początkowych f(0)=0) przedstawić w dziedzinie
transformat:
2
2
a y s + a sy s + a s y s = b u s + b su s b s u
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( s)
0 1
2
0
1
+
b
2
2
dt
2
lub:
G
( s)
=
x
u
2
( s)
b0
+ b1s
+ b2s
=
2
( s) a + a s a s
o 1
+
2

Transmitancje ciągłe - podsumowanie
• Funkcję G(s) nazywamy transmitancją układu.
• Funkcja ta wyraża różniczkową zależność
między sygnałami u i x .
• Znając funkcję u(t) i jej L-transformatę u(s) na drodze
przekształceń algebraicznych można otrzymać
transformatę sygnału wynikowego y(s) .
• Zależność y(t) uzyskuje się dokonując transformacji
odwrotnej:
− 1
y
( t ) = L ( y( s)
)

Transmitancje dyskretne
• W przypadku układów dyskretnych, zamiast funkcji
ciągłej, dany jest pewien ciąg o wyrazie ogólnym x[k] .
• Przekształcenie Laurenta, zwane też
Z-przekształceniem, definiuje się jako:
Z
( x[ k ])
∞
= ∫
k = 0
x
z
[ k ]
k
=
x( z)

Transmitancje dyskretne
Przykłady transmitancji:
oryginał → transformata
1
n
→
→
z
z − 1
z
( z − 1)
2
x
− n
[ k − n] , n > 0
→
z x( z)
Transformata Laurenta ciągu przesuniętego o n wyrazów
jest równa iloczynowi ciągu nieprzesuniętego i z -n

Transmitancje dyskretne - przykład
• Weźmy pod uwagę ogólny przykład układu dynamicznego
o wyjściu y[k] i wejściu u[k] ):
[ k] + a y[ k − 1] + a y[ k − 2] = b u[ k] + b u[ k − 1] + b u[ k 2]
a y
1
2
0
1
2
0
−
• Wykonując przekształcenie Laurenta uzyska się równanie:
(
− 1
− 2
) ( ) (
− 1
− 2
a + a z + a z ⋅ y z = b + b z + b z ) u( z)
0 1 2
0 1 2
⋅
co z kolei można przedstawić jako:
G
( z)
=
y
u
− 1
− 2
( z)
b0
+ b1z
+ b2z
=
− 1
− 2
( z) a + a z + a z
o
1
2