Kodovi iz matrica incidencije grafova - Odjel za matematiku

Uvod Pojmovi Kodovi nad F p Težinski enumerator Linijski grafovi Permutacijsko dekodiranje 

Kodovi iz matrica incidencije grafova 

Nina Mavrović 

(25.05.2012.) 

Odjel za matematiku 

Sveučilište u Rijeci


Literatura 

P.Dankelmann, J.D.Key, B.G.Rodrigues: 

"Codes from incidence matrices of graphs"


Sadržaj 

1 Uvod 

2 Osnovni pojmovi 

3 Kodovi nad F p 

Binarni kodovi 

Bipartitni grafovi 

Kodovi nad F p , p neparan 

4 Praznina u težinskom enumeratoru 

5 Linijski grafovi 

6 Permutacijsko dekodiranje


Sadržaj 

1 Uvod 










Uvod 

promatramo p-narne kodove (p prost broj) razapete retcima 

|V | × |E| matrica incidencije povezanih grafova nad F p 

već pokazano da u nekim slučajevima (npr. za Hammingove, 

Paleyeve i triangularne grafove) dobiveni kodovi imaju 

zajednička svojstva, koja se mogu direktno izvesti iz svojstava i 

parametara grafova 

Pitanje: 

Da li ta svojstva općenito vrijede za sve grafove koji zadovoljavaju 

neke uvjete?


Uvod 

U radu se dokazuje da za odre ¯dene klase povezanih grafova dobiveni 

kodovi imaju sljedeća svojstva: 

dimenzija = |V | ili |V | − 1, 

min. težina = min. stupnju grafa, 

min. riječi = skalarni višekratnici redaka matrice incidencije, 

za k-regularan graf postoji praznina u težinskom enumeratoru. 

Koristi se i pojam povezanosti bridovima. Pokazuje se i da se mnoge 

od tih klasa grafova mogu koristiti za permutacijsko dekodiranje.


Sadržaj 

1 Uvod 










Kodovi 

Definicija 1 

Kod C duljine n nad alfabetom Q je podskup C ⊆ Q n . Elementi 

koda zovu se riječi koda. 

Za Q = F 2 kod se naziva binaran. 

C je linearan kod dimenzije m ako je: 

1 Q = F p za prost broj p, 

2 C m-dimenz. potprostor vektorskog prostora (F p ) n . 

Primjer 

C = {00000, 01101, 10110, 11011} ⊂ F 5 2



Definicija 2 

Dualni kod lin. koda C je kod C ⊥ nad istim alfabetom gdje je 

C ⊥ = {y ∈ (F p ) n : x · y = 0, ∀x ∈ C}. 

To je lin. kod dimenzije n − dim(C).



Definicija 3 

Neka su x = (x 1 , ...x n ), y = (y 1 , ..., y n ) ∈ F n p. Hammingova udaljenost 

izme ¯du x i y je broj d(x, y) = |{i : x i ≠ y i }|. 

Minimalna udaljenost koda je d = min{d(x, y) : x, y ∈ C, x ≠ y}. 

Težina riječi koda x def. se: w(x) = d(x, 0) = |{i : x i ≠ 0}| . 

za lin. kod min. udaljenost = min. težini: 

d = min{w(x) : x ∈ C, x ≠ 0} 

[n, k, d] p je p-narni kod C duljine n, dimenzije k i min. težine d



Definicija 4 

Generirajuća matrica koda je k × n matrica čiji su retci vektori 

baze koda. 

Definicija 5 

Dva lin. koda su izomorfna ako se mogu dobiti jedan iz drugoga 

permutacijom koordinatnih pozicija. 

Automorfizam koda C je izomorfizam sa C u C.


Grafovi 

Definicija 6 

Graf Γ je ure ¯dena trojka (V , E, ψ), gdje je: 

V neprazan skup vrhova, 

E skup bridova disjunktan s V , 

ψ f-ja incidencije koja svakom bridu pridružuje par (ne 

nužno različitih) vrhova. 

mi ćemo govoriti o grafovima koji su neusmjereni, bez petlji 

i višestrukih bridova


Grafovi 

Definicija 7 

Stupanj vrha u ∈ V je broj vrhova susjednih sa u. 

min. stupanj - δ(Γ), max. stupanj - ∆(Γ) 

Graf je k-regularan (k ∈ N 0 ) ako su mu svi vrhovi stupnja k. 

Graf je jako regularan s parametrima (n, k, λ, µ) ako ima n 

vrhova, k-regularan je, te vrijedi: 

1 svaka dva susjedna vrha imaju λ zajedničkih susjeda; 

2 svaka dva nesusjedna vrha imaju µ zajedničkih susjeda.


Grafovi 

Definicija 8 

Matrica susjedstva grafa { Γ = (E, V ) je |V | × |V | matrica 

1, v i i v j povezani bridom, 

A = [a ij ], gdje je: a ij = 

. 

0, inače 

Matrica 

{ 

incidencije je |V | × |E| matrica G = [g ij ], gdje je: 

1, v i leži na e j 

g ij = 

. 

0, inače


Grafovi 

Definicija 9 

Linijski graf grafa Γ = (E, V ) je graf L(Γ) sa skupom vrhova E, u 

kojem su vrhovi e i f iz E susjedni akko kao bridovi u Γ imaju 

zajednički vrh.


Grafovi 

Definicija 10 

Graf Γ = (V , E) je bipartitan ako se V može particionirati u 

dvije klase takve da svaki brid ima krajeve u različitim klasama. 

Potpun bipartitan graf je bipartitan graf u kojem su svaka dva 

vrha iz različitih klasa povezana bridom. 

Vrijedi: 

Graf je bipartitan akko ne sadrži neparan ciklus.


Kodovi iz grafova 

Neka je A matrica susjedstva, a G matrica incidencije grafa 

Γ = (V , E) nad konačnim poljem F p . 

Vrijedi: 

C p (A) je kod razapet recima matrice A nad F p 

C p (G) - kod koji razapinju retci od G nad F p 

1 za p = 2 ⇒ dim(C 2 (G)) = |V | − 1; 

2 za neparan p 

dim(C p (G)) = |V |, ako Γ nije bipartitan, 

dim(C p (G)) = |V | − 1, ako je Γ bipartitan.


Povezanost bridovima (Edge-connectivity) 

Definicija 11 

Povezanost bridovima λ(Γ) povezanog grafa Γ je minimalan 

broj bridova čijim uklanjanjem graf postaje nepovezan. 

Most povezanog grafa je brid čijim uklanjanjem dobijemo 

nepovezan graf. 

Γ ima most ⇔ λ(Γ) = 1 

λ(Γ) ≤ δ(Γ)


Super povezanost bridovima 

Definicija 12 

Graf Γ je super-λ ako: 

1 λ(Γ) = δ(Γ) 

2 jedini skup bridova kardinalnosti λ(Γ) čije uklanjanje daje 

nepovezan graf je skup bridova incidentnih s vrhom 

stupnja δ(Γ).


Sadržaj 

1 Uvod 










Bin.kodovi 

Sadržaj 

1 Uvod 










Bin.kodovi 


Teorem 1 

Neka je Γ = (V , E) povezan graf i G njegova matrica 

incidencije. Tada: 

C 2 (G) = [|E|, |V | − 1, λ(Γ)] 2 ; 

ako je Γ super-λ ⇒ C 2 (G) = [|E|, |V | − 1, δ(Γ)] 2 i min. 

riječi su retci od G težine δ(Γ). 

Za klase grafova za koje se zna da je λ(Γ) = δ(Γ) 

⇒ min. težina binarnog koda iz matrice inc. grafa jednaka je 

min. stupnju vrhova grafa


Bin.kodovi 

Rezultat 1: Neka je Γ = (V , E) povezan k-regularan graf. 

Tada je λ(Γ) = k i Γ je super-λ ako vrijedi neki od sljedećih uvjeta: 

1 Γ je vertex-tranzitivan i nema potpun podgraf reda k, 

2 diam(Γ) ≤ 2 i nema potpun podgraf reda k, 

3 Γ je distance-regularan i k > 2, 

4 k ≥ (|V | + 1)/2 , 

5 Γ ima struk g i diam(Γ) ≤ g − 1 za g neparan ili diam(Γ) ≤ g − 2 

za g paran. 

Korolar 1 

Neka je Γ = (V , E) povezan k-regularan graf na n vrhova s matricom 

inc. G. Ako vrijedi neki od uvjeta Rezultata 1, tada binaran kod C 2 (G) 

ima težinu k i jedine riječi težine k su retci matrice incidencije.


Bin.kodovi 


Primjer 

Hammingov graf H(d, q), gdje su d, q ≥ 2: 

vrhovi su sve riječi duljine d nad alfabetom od q elemenata, 

2 su vrha susjedna ako im se riječi razlikuju u točno 1 poziciji 

Vrijedi: H(d, q) je k-regularan za k = d(q − 1). 

Korolar1 ⇒ C 2 (G) imaju min. težinu k i jedine riječi težine k su 

retci matrice incidencije


Bipart. grafovi 

Sadržaj 

1 Uvod 












Vrijedi li tvrdnja Teorema 1 za neparne p? 

Općenito ne! 

Primjer 

za p neparan C p (K 4 ) sadrži riječ težine 2, ali λ(K 4 ) = 3




ali za neparan p vrijede slični zaključci ako je Γ bipartitan: 

Teorem 2 

Neka je Γ = (V , E) povezan bipartitan graf, G njegova matrica 

incidencije, p neparan prost broj. Tada: 

1 C p (G) = [|E|, |V | − 1, λ(Γ)] p ; 

2 ako je Γ super-λ ⇒ C p (G) = [|E|, |V | − 1, δ(Γ)] p i min. riječi 

su ne-nul skalarni višekratnici redaka od G težine δ(Γ).



Rezultat 2: Neka je Γ = (V , E) povezan bipartitan graf. 

Tada je λ(Γ) = δ(Γ) ako vrijedi neki od uvjeta: 

1 V ima najviše 2 orbite pod Aut(Γ), 

2 svaka 2 vrha iz iste klase imaju zajedničkog susjeda, 

3 diam(Γ) ≤ 3, 

4 Γ je k-regularan i k ≥ (n + 1)/4 , 

5 Γ ima struk g i diam(Γ) ≤ g − 1. 

Ako je λ = δ i vrijedi neki od sljedećih uvjeta, tada je Γ super-λ: 

1a Γ vertex-tranzitivan, 

2a Γ k-regularan i k ≥ (n + 3)/4.




Korolar 2 

Neka je Γ = (V , E) povezan bipartitan graf s matricom inc. G. Ako 

vrijedi neki od uvjeta 1-5 Rezultata 2, tada kod C p (G) ima min. težinu 

δ. Ako vrijedi 1a ili 2a riječi min. težine su skalarni višekratnici od G 

težine λ. 

Primjer 

Neka je Ω skup od n elemenata, n ≥ k, l i k, l ≥ i. 

Γ bipartitan graf na dva disjunktna skupa A n = Ω {k} i B n = Ω {l} sa: 

( n 

) ( 

k + n 

) 

l vrhova iz An ∪ B n 

vrhovi a ∈ A n i b ∈ B n su spojeni bridom ako je |a ∩ b| = i 

(možemo primjeniti uvjet 1, te za k = l uvjet 1a Rezultata 2)


Kodovi nad F p,p nep. 

Sadržaj 

1 Uvod 












Postoji li općeniti rezultat sličan Teoremu 1 za p neparan? 

Teorem 3 povezuje min. udaljenost od C p (G) sa 

parametrom grafa λ bip (Γ) - novi parametar! 

Definicija 13 

Biparticijski skup grafa Γ = (V , E) je skup S ⊆ E t.d. 

Γ − S = (V , E − S) ima bipartitnu komponentu. 

λ bip (Γ) je minimalna kardinalnost biparticijskog skupa od Γ. 

Vrijedi: λ bip (Γ) ≤ δ(Γ).




Definicija 14 

Kažemo da je nebipartitan graf Γ super-λ bip ako je: 

1. λ bip (Γ) = δ(Γ) 

2. jedini S ⊆ E kardinalnosti λ bip (Γ) čije uklanjanje daje 

bipartitnu komponentu su skupovi bridova incidentnih s 

vrhom stupnja δ(Γ).




Teorem 3 

Neka je Γ = (V , E) povezan graf koji nije bipartitan, G njegova 

matrica incidencije, p neparan prost broj. Tada: 

1 C p (G) = [|E|, |V |, λ bip (Γ)] p ; 

2 ako je Γ super-λ bip ⇒ C p (G) = [|E|, |V |, δ(Γ)] p i min. riječi 

su ne-nul skalarni višekratnici redaka od G težine δ(Γ).




Korolar 3 

Γ = (V , E) povezan k-regularan graf sa n vrhova koji nije bipartitan, 

G njegova matrica incidencije, p neparan prost broj. Ako je: 

1 k ≥ (n + 3)/2 i n ≥ 6 ili 

2 Γ jako regularan s parametrima (n, k, λ, µ), gdje je 

a) n ≥ 7, µ ≥ 1 i 1 ≤ λ ≤ k − 3 ili 

b) n ≥ 11, µ ≥ 1 i λ = 0, 

tada kod C p (G) ima min. težinu k i min. riječi su ne-nul skalarni 

višekratnici redaka od G.




Primjer 

Hammingov graf H(d, q), gdje su d, q ≥ 2: 

vrhovi su sve riječi duljine d nad alfabetom od q elemenata, 

2 su vrha susjedna ako im se riječi razlikuju u točno 1 poziciji 

Za neparan p vrijedi: 

za q = 2 H(d, 2) je bipartitan, pa se mogu koristiti Teorem 2 i 

Korolar 2 

za q ≥ 3 ⇒ H(d, q) je super-λ bip i koristi se Teorem 3


Sadržaj 

1 Uvod 










Praznina u težinskom enumeratoru 

Definicija 15 

Težinski enumerator koda je polinom: W (x) = 

gdje je W i broj riječi koda težine i. 

n∑ 

W i x i , 

i=0 

Primjer 

C = {00000, 01101, 10110, 11011} ⊂ F 5 2 

⇒ W (x) = x 4 + 2x 3 + 1



Definicija 16 

Neka je Γ = (V , E) povezan graf. Restringirana povezanost 

bridovima λ ′ (Γ) je min. broj bridova skupa S ⊆ E čijim uklanjanjem 

graf postaje nepovezan, te niti jedna komponenta od Γ − S nije 

izolirani vrh, ako takav skup S postoji. 

Vrijedi 

za svaki graf sa |V | ≥ 4 koji nije zvijezda postoji takav skup S 

ako je Γ povezan k-regularan (k ≥ 2) i |V | ≥ 4, tada je 

λ ′ (Γ) ≤ 2k − 2



Teorem 4 

Neka je Γ = (V , E) povezan k-reg. graf, |V | ≥ 4, G matrica inc. za Γ, 

λ(Γ) = k i λ ′ (Γ) > k. Neka je W i broj riječi težine i u kodu C 2 (G). 

Tada je W i = 0 za k + 1 ≤ i ≤ λ ′ (Γ)-1 , i W λ ′ (Γ) ≠ 0 za 

λ ′ (Γ) > k + 1. 

Teorem 5 

Neka je Γ = (V , E) povezan bipartitan k-reg. graf, |V | ≥ 4, G matrica 

inc. za Γ, λ(Γ) = k i λ ′ (Γ) > k. Neka je W i broj riječi težine i u kodu 

C p (G), p neparan. Tada je W i = 0 za k + 1 ≤ i ≤ λ ′ (Γ)-1 , i 

W λ′ (Γ) ≠ 0 za λ ′ (Γ) > k + 1.



Korolar 4 

Neka je Γ = (V , E) povezan k-reg. graf, G matrica inc. za Γ. Ako 

vrijedi neki od uvjeta: 

1 Γ je vertex tranzitivan, te ima neparan red ili ne sadrži trokute, 

2 Γ je po bridovima tranzitivan i |V | ≥ 4, 

3 svaka 2 nesusjedna vrha imaju bar 3 zajednička susjeda, 

4 Γ je jako regularan s parametrima (n, k, λ, µ), gdje je ili λ = 0 i 

µ ≥ 2, ili λ ≥ 1 i µ ≥ 3, 

tada C 2 (G) ima min. težinu k, riječi težine k su točno retci matrice G i 

ne postoje riječi težine l za k < l < 2k − 2.



Korolar 5 

Neka je Γ = (V , E) povezan bipartitan k-reg. graf, G matrica inc. za 

Γ. Ako vrijedi neki od uvjeta: 

1 Γ je vertex tranzitivan, te ima neparan red ili ne sadrži trokute, 

2 Γ je po bridovima tranzitivan i |V | ≥ 4, 

3 svaka 2 nesusjedna vrha imaju bar 3 zajednička susjeda, 

4 Γ je jako regularan s parametrima (n, k, λ, µ), gdje je ili λ = 0 i 

µ ≥ 2, ili λ ≥ 1 i µ ≥ 3, 

tada C p (G) ima min. težinu k, riječi težine k su točno ne-nul skalarni 

višekratnici redaka matrice G i ne postoje riječi težine l za 

k < l < 2k − 2.



Primjer 

Potpun bipartitan graf K n,n stupnja n ≥ 3 zadovoljava uvjete 

Teorema 1,2,4,5.


Sadržaj 

1 Uvod 










Linijski grafovi 

Kod iz matrice susjedstva linijskog grafa 

Neka je G matrica incidencije za k-regularan graf Γ, M matrica 

susjedstva linijskog grafa L(Γ). 

Tada je: GG T = M + 2I |E| . 

⇒ C 2 (M) ⊆ C 2 (G) razapet razlikama parova redaka od G.


Linijski grafovi 

Korolar 6 

Neka je Γ = (V , E) povezan k-reg. graf sa |V | ≥ 4, G matrica inc. za 

Γ i λ ′ (Γ) = 2k − 2. Neka je M matrica susjedstva za L(Γ) i E 2 (G) kod 

razapet razlikama redaka od G nad F 2 . Tada je C 2 (M) = E 2 (G) i: 

1 C 2 (M) = [ 1 2 |V |k, |V | − 1, k] 2 = C 2 (G) za |V | neparan, 

2 C 2 (M) = [ 1 2 |V |k, |V | − 2, 2k − 2] 2 ⊂ C 2 (G) za |V | paran.


Sadržaj 

1 Uvod 










Permutacijsko dekodiranje 

uključuje pronalaženje skupa automorfizama koda koji se naziva 

PD-skup 

Definicija 17 

Svaki je kod izomorfan kodu sa generirajućom matricom u 

standardnom obliku, tj. u obliku [I k , A]. Skup prvih k koordinata u std. 

obliku naziva se informacijski skup, a skup zadnjih n − k koordinata 

skup provjere (check set). 

Definicija 18 

Ako je C t-error-correcting kod sa informacijskim skupom I i skupom 

provjere P, tada je PD-skup za C skup S automorfizama od C takav 

da je svaki t-skup koordinatnih pozicija pomaknut sa barem jednim 

članom od S u skup provjere P.


Permutacijsko dekodiranje 

Teorem 6 

Neka je Γ = (V , E) k-regularan graf sa grupom automorfizama 

A tranzitivnom na bridovima i matricom incidencije M. Ako je za 

prost broj p kod C = C p (M) = [|E|, |V | − ε, k] p , gdje je 

ε ∈ {0, 1, ..., |V | − 1}, tada je bilo koja tranzitivna podgrupa od 

A PD-skup za potpuno ispravljanje pogrešaka za C. 

Teorem 6 vrijedi za mnoge klase grafova iz prethodnih 

teorema

Kodovi iz matrica incidencije grafova - Odjel za matematiku

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?