         − 02 43 11           − 31 42 13 ...

Cvičení 10
Matice a jejich užití.
1) Jsou dány vektory u=(-1,2 ), v=(2 ,x).
a) Určete všechna reálná x, pro která vektory u, v nejsou bází aritmetického
vektorového prostoru R 2 .
b) Určete nějaké reálné x tak, aby vektory u, v byly bází aritmetického vektorového
prostoru R 2 .
c) Vektor a=(3,1) vyjádřete jako lineární kombinaci vektorů u, v z bodu b).
d) Určete souřadnice vektoru a vzhledem k bázi {u, v} z bodu b).
e) Určete souřadnice vektoru a vzhledem k bázi {2e 1 , ½e 2 }.
2) Jsou dány vektory u=(1,2,3), v=(0,2,y), w=(1,x,3).
a) Určete všechna reálná x,y, pro která vektory u, v, w nejsou bází aritmetického
vektorového prostoru R 3 .
b) Určete nějaká x,y, pro která vektory u, v, w jsou bází aritmetického vektorového
prostoru R 3 .
c) Vektor a=(-1,4,2) vyjádřete jako lineární kombinaci vektorů u, v, w z bodu b).
d) Určete souřadnice vektoru a vzhledem k bázi {u, v, w} z bodu b).
e) Určete souřadnice vektoru a vzhledem k bázi {2e 1 , e 2 , ½e 3 }.
⎛−1
1⎞
⎛1
2 −1⎞
⎜ ⎟
3) Jsou dány matice A= ⎜ ⎟ , B= ⎜ 3 4⎟
.
⎝0
1 3 ⎠ ⎜ ⎟
⎝ 2 0⎠
a) Vypočítejte 3A-B T ,
b) Určete A.B, B.A,
c) Vypočítejte (A.B) 2 ,
d) Matici B T A T rozložte na matici symetrickou a antisymetrickou,
e) Určete LU rozklad matice B.B T .
⎛ 3 1⎞
⎛ 2 3 5⎞
⎜ ⎟
4) Jsou dány matice A= ⎜ ⎟ , B= ⎜−
2 4⎟
.
⎝−1
2 4⎠
⎜ ⎟
⎝ 1 3⎠
f) Vypočítejte 3A-B T ,
g) Určete A.B, B.A,
h) Vypočítejte (A.B) 2 ,
i) Matici B T A T rozložte na matici symetrickou a antisymetrickou,
j) Určete LU rozklad matice B.B T .
5) Určete hodnost matice
⎛1
− 3⎞
⎛1
3 ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
a) ⎜4
5 ⎟ , b) ⎜3
9 ⎟ , c)
⎜ ⎟
⎝2
0 ⎜ ⎟
⎠ ⎝5
−15⎠
⎛2
⎜
⎜3
⎜
⎝5
5
1
19
− 3 ⎞
⎟
2 ⎟ , d)
−14⎟
⎠
⎛3
⎜
⎜5
⎜
⎝0
− 2
1
− 4
− 7 ⎞
⎟
10 ⎟ , e)
− 20⎟
⎠
⎛ 1
⎜
⎜−
2
⎜
⎝ 2
3⎞
⎟
5⎟
.
7⎟
⎠
6) Určete hodnost matice v závislosti na parametru a

⎛− 3 2⎞
⎛5
− 3⎞
⎛1
4 ⎞ ⎛1
a 5 ⎞ ⎛ 3 5 0⎞
a) ⎜ ⎟ , b) ⎜ ⎟ , c) ⎜ ⎟ , d) ⎜ ⎟ , e) ⎜ ⎟ .
⎝ 4 a⎠
⎝2
a ⎠ ⎝a
− 5⎠
⎝a
9 −15⎠
⎝−
2 1 a⎠
Domácí cvičení 10 – užití determinantu.
a) Určete inverzní matici k matici z domácího cvičení 9.
b) Vypočítejte objem čtyřstěnu ABCD.
1. b} A = [ 2,0,1 ],
B = [ −1,1,
−1 ],
C = [ 2, −2,1 ],
D = [ −1,
−2,0]
2. b} A = [ 2,0,1 ],
B = [ −1,1,
−1 ],
C = [ 2, −2,1 ],
D = [ −1,
−2,1]
3. b} A = [ 2,0,1 ],
B = [ −1,1,
−1 ],
C = [ 2, −2,1 ],
D = [ −1,
−2,2]
4. b} A = [ 2,0,1 ],
B = [ −1,1,
−1 ],
C = [ 2, −2,1 ],
D = [ −1,
−2,3]
5. b} A = [ 0,0,1 ],
B = [ −1,1,
−1 ],
C = [ 2, −2,1 ],
D = [ −1,
−2,7]
6. b} A = [ 1,0,1 ],
B = [ −1,1,
−1 ],
C = [ 2, −2,1 ],
D = [ −1,
−2,7]
7. b} A = [ 2,0,1 ],
B = [ −1,1,
−1 ],
C = [ 2, −2,1 ],
D = [ −1,
−2,7]
8. b} A = [ 3,0,1 ],
B = [ −1,1,
−1 ],
C = [ 2, −2,1 ],
D = [ −1,
−2,7]
9. b} A = [ 2,0,2 ],
B = [ −1,0,
−1 ],
C = [ 2, −2,1 ],
D = [ −1,
−2,7]
10. b} A = [ 2,0,2 ],
B = [ −1,1,
−1 ],
C = [ 2, −2,1 ],
D = [ −1,
−2,7]
11. b} A = [ 2,0,2 ],
B = [ −1,2,
−1 ],
C = [ 2, −2,1 ],
D = [ −1,
−2,7]
12. b} A = [ 2,0,2 ],
B = [ −1,3,
−1 ],
C = [ 2, −2,1 ],
D = [ −1,
−2,7]
13. b} A = [ 2,0,1 ],
B = [ −1,1,
−1 ],
C = [ 2, −2,0 ],
D = [ −1,
−2,5]
14. b} A = [ 2,0,1 ],
B = [ −1,1,
−1 ],
C = [ 2, −2,1 ],
D = [ −1,
−2,5]
15. b} A = [ 2,0,1 ],
B = [ −1,1,
−1 ],
C = [ 2, −2,2 ],
D = [ −1,
−2,5]
16. b} A = [ 2,0,1 ],
B = [ −1,1,
−1 ],
C = [ 2, −2,3 ],
D = [ −1,
−2,5]
17. b} A = [ 2,0,0 ],
B = [ −1,1,
−1 ],
C = [ 2, −2,1 ],
D = [ −1,
−2,5]
18. b} A = [ 2,0,1 ],
B = [ −1,1,
−1 ],
C = [ 2, −2,1 ],
D = [ −1,
−2,5]
19. b} A = [ 2,0,2 ],
B = [ −1,1,
−1 ],
C = [ 2, −2,1 ],
D = [ −1,
−2,5]

20. b} A = [ 2,0,3 ],
B = [ −1,1,
−1 ],
C = [ 2, −2,1 ],
D = [ −1,
−2,5]
21. b} A = [ 2,0,1 ],
B = [ −1,1,
−1 ],
C = [ 2, −2,1 ],
D = [ 0, −2,5]
22. b} A = [ 2,0,1 ],
B = [ −1,1,
−1 ],
C = [ 2, −2,1 ],
D = [ 1, −2,5]
23. b} A = [ 2,0,1 ],
B = [ −1,1,
−1 ],
C = [ 2, −2,1 ],
D = [ 2, −2,5]