Prednáška č. 3 - Mechanizmy

CAE mechatronických
systémov a sústav
Vladimír Goga
Katedra mechaniky

Kinematika viactelesových
systémov
Prednáška 3.
2

Obsah prednášky
1. Kinematika súčasných pohybov bodov a
telies
2. Mechanizmy
3. Kinematické riešenie mechanizmov
3

1. Kinematika súčasných pohybov
bodov a telies
• tvorí teoretický základ kinematiky sústav
telies = mechanizmov
• pojednáva o vzťahoch medzi
kinematickými veličinami jednotlivých
pohybov
4

1.1 Základné pojmy
• základný priestor
(nepohyblivý) A,x 1 ,y 1 ,z 1
• unášavý priestor B,x 2 ,y 2 ,z 2
– pohybuje sa voči
základnému
• priestor skúmaného telesa
W,x,h,z
– pohybuje sa voči
unášavému
5

1.1 Základné pojmy
• Priestor B,x 2 ,y 2 ,z 2 sa nazýva unášavý,
pohyb telesa voči tomuto priestoru sa
nazýva relatívny, pohyb telesa spojeného s
unášavým priestorom sa nazýva unášavý a
pohyb telesa voči základnému priestoru
A,x 1 ,y 1 ,z 1 je výsledný (absolútny). Tento
pohyb je najčastejšie predmetom nášho
záujmu.
výsledný pohyb = relatívny pohyb + unášavý pohyb
označenie indexmi: v r u
6

1.1 Základné pojmy
WL
unášavý
B
A
relatívny
7

1.1 Základné pojmy
• výsledný pohyb = relatívny pohyb + unášavý pohyb
k L
8

1.2 Rýchlosť a zrýchlenie pri
súčasných pohyboch
• pre rýchlosť bodu platí pri súčasných
pohyboch zákon rovnobežníka:
– výsledná rýchlosť je rovná súčtu jeho
rýchlosti relatívnej a unášavej:
v v v
v r u
9

1.1 Základné pojmy
unášavá
rýchlosť
relatívna
rýchlosť
10

1.2 Rýchlosť a zrýchlenie pri
súčasných pohyboch
• pre zrýchlenie bodu platí pri
súčasných pohyboch platí
vzťah: av ar au aC
– výsledné zrýchlenie bodu je dané
súčtom jeho zrýchlení
relatívneho, unášavého a
Coriolisovho
– obrazec zrýchlení je obecne
priestorový
11

1.2 Rýchlosť a zrýchlenie pri
súčasných pohyboch
• Coriolisove zrýchlenie:
– je kolmé k rovine vektorov a , je
orientované tak, aby vektory u,
vr
a
tvorili pravotočivú sústavu
– jeho veľkosť je:
a
C u r
u
v r
2
v sin
C u r
2
u
a C
kde je uhol, ktorý zvierajú vektory a
v
v r
12

1.2 Rýchlosť a zrýchlenie pri
súčasných pohyboch
• Coriolisove zrýchlenie je rovné nule:
0 u
– ak je unášavý pohyb posuvný
– ak je relatívna rýchlosť skúmaného bodu
nulová
u
– ak sú vektory a rovnobežné
v r
13

1.3 Uhlové rýchlosť a uhlové
zrýchlenie pri súčasných pohyboch
• pre uhlovú rýchlosť telesa platí pri
súčasných pohyboch zákon
rovnobežníka:
– výsledná rýchlosť je rovná súčtu jeho
uhlovej rýchlosti relatívnej a unášavej:
v r u
14

1.3 Uhlové rýchlosť a uhlové
zrýchlenie pri súčasných pohyboch
• pre uhlové zrýchlenie telesa
platí pri súčasných pohyboch
platí vzťah:
v r u R
– výsledné uhlové zrýchlenie
telesa je dané súčtom jeho
uhlových zrýchlení relatívneho,
unášavého a Resalovho
– obrazec uhlových zrýchlení je
obecne priestorový
15

1.3 Uhlové rýchlosť a uhlové
zrýchlenie pri súčasných pohyboch
• Resalove uhlové zrýchlenie určené
vektorovým súčinom:
R u r
16

1.3 Uhlové rýchlosť a uhlové
zrýchlenie pri súčasných pohyboch
• Resalove uhlové zrýchlenie je nulové:
– ak unášavý alebo relatívny pohyb je
posuvný
u
0,
0
,
– ak sú vektory rovnobežné
(napr. súčasné pohyby v rovine)
u
r
r
– Poznámka: pri súčasných pohyboch so stálymi
uhlovými rýchlosťami, je uhlové zrýchlenie
výsledného pohybu nenulové, je dané
Resalovým uhlovým zrýchlením
17

1.4 Dvojindexové označovanie
kinematických veličín
• jednotlivé členy mechanizmov označujeme
obvykle číslami alebo písmenami
• základný priestor (rám) sa označuje číslom
1, teleso s ním spojené, s ktorým je spojený
unášavý priestor, číslom 2 a skúmané teleso
číslom 3
• pohyb telesa 3 vzhľadom na teleso 1
popisuje symbolická rovnica:
– stručnejšie:
31 32 21
3:13: 2 2:1
18

1.4 Dvojindexové označovanie
• význam rovnice
kinematických veličín
31 32 21
– Výsledný pohyb telesa 3 vzhľadom na rám 1 je
zložený z relatívneho pohybu telesa 3 voči telesu
2 a z unášavého pohybu telesa 2 voči rámu 1
v v v
31 32 21
a a a a
a
31 32 21
C
2
v
21 32
C
31 32 21
31 32 21
R
21 32
R
19

2. Mechanizmy
• základné pojmy
• rozdelenie mechanizmov
• kinematické schémy
• rovinné mechanizmy
• priestorové mechanizmy
20

2.1 Základné pojmy
• mechanizmus je mechanické zariadenie, ktoré
slúži k transformácii pohybu alebo k prenosu sily
• je tvorený sústavou vzájomne pohyblivo
spojených telies, z ktorých je jedno nepohyblivé
(považujeme ho za základné) a nazýva sa rám
• telesá, z ktorých je mechanizmus zložený sú
jeho členy
• dva členy, ktoré sa dotýkajú a ktoré sa môžu
vzájomne pohybovať, tvoria kinematickú dvojicu
– často sa pod týmto pojmom rozumie iba väzba, t.j.
spojenie týchto dvoch členov
21

3.1 Základné pojmy
• príklad kinematickej dvojice
členy mechanizmu
22

2.1 Základné pojmy
• kinematická dvojica k-tej triedy – odoberá
relatívnemu pohybu oboch členov ako voľných
telies k stupňov voľnosti
• člen, ktorý je spojený so susednými členmi s
kinematickými dvojicami, je s-tého stupňa
• niekoľko telies (členov) spojených
kinematickými dvojicami tvorí kinematický
reťazec
– ak sa v uzavretom kinematickom reťazci stane
niektorý jeho člen rámom, vzniká mechanizmus
– za rám sa považuje člen, voči ktorému pohyb
vyšetrujeme (napr. blok motora je rámom
príslušného kľukového mechanizmu)
23

2.1 Základné pojmy
• členy, ktoré mechanizmus poháňajú, sa
nazývajú hnacie (vstupné)
• ostatné členy sa nazývajú hnané
– tie z hnaných členov, ktoré konajú požadovaný
pohyb (pre ktorý bol mechanizmus konštruovaný)
sa nazývajú výstupné (alebo tiež pracovné)
– ostatné hnané členy potom nazývame prenosové
• pohyb mechanizmu je určený pohybom
hnacieho (vstupného) člena
24

2.2 Rozdelenie mechanizmov
• mechanizmy delíme z rôznych hľadísk
25

2.2 Rozdelenie mechanizmov
• podľa počtu stupňov voľnosti:
– mechanizmy s 1°
– mechanizmy s viacerými stupňami
26

2.2 Rozdelenie mechanizmov
• podľa stálosti prevodu:
– mechanizmy so stálym prevodom
(konštantným prevodom)
– mechanizmy s premenlivým prevodom
(nekonštantným prevodom)
s – výstup
s
f q
q – vstup
• ak je daná závislosť lineárna – stály prevod
• ak je daná závislosť nelineárna – premenlivý
prevod
27

2.2 Rozdelenie mechanizmov
• podľa druhu pohybu:
– rovinné mechanizmy
– sférické mechanizmy
– priestorové mechanizmy
28

2.2 Rozdelenie mechanizmov
• podľa iných kritérií:
– pneumatické
– hydraulické
– mechanizmy s ozubenými kolesami
– vačkové mechanizmy
– trecie prevody
– krokové mechanizmy
– ...
29

2.3 Kinematické schémy
• pri kinematickom vyšetrovaní mechanizmov sa
zvyčajne využíva ich kinematická schéma
• kinematická schéma mechanizmu zachytáva
schematicky všetky jeho vlastnosti, ktoré sú z
hľadiska kinematického riešenia podstatné:
– jednotlivé členy s rozmermi
– kinematické dvojice a pod.
• rám sa označuje 1, hnací člen obvykle 2 a
ďalšie členy v logickom slede
30

• príklad
2.3 Kinematické schémy
kľukový mechanizmus
31

2.3 Kinematické schémy
• príklad
kľukový mechanizmus
schéma kľukový
mechanizmus
32

2.4 Rovinné mechanizmy
• rovinné mechanizmy sú mechanizmy, ktorých
jednotlivé členy sa pohybujú v rovinách
navzájom rovnobežných
33

2.4 Rovinné mechanizmy
• príklady kinematických schém členov rôznych
stupňov
člen 2. stupňa člen 3. stupňa člen 4. stupňa
34

2.4 Rovinné mechanizmy
• kinematický reťazec sa nazýva jednoduchý, ak
sú všetky jeho členy max. 2. stupňa
35

2.4 Rovinné mechanizmy
• kinematický reťazec sa nazýva jednoduchý, ak
sú všetky jeho členy max. 2. stupňa
36

2.4 Rovinné mechanizmy
• kinematický reťazec sa nazýva zložený, ak
aspoň jeden jeho člen je min. 3. stupňa
37

2.4 Rovinné mechanizmy
• kinematický reťazec sa nazýva zložený, ak
aspoň jeden jeho člen je min. 3. stupňa
38

2.4 Rovinné mechanizmy
• ak v kinematickej schéme reťazca tvorí
niekoľko členov uzatvorený obrazec, hovoríme
že reťazec obsahuje slučku
39

2.4 Rovinné mechanizmy
• otvorený kinematický reťazec je taký reťazec,
ktorý neobsahuje žiadnu slučku
40

2.4 Rovinné mechanizmy
• uzavretý kinematický reťazec je taký reťazec,
ktorého každý člen je prvkom niektorej slučku
41

2.4 Rovinné mechanizmy
• zmiešaný kinematický reťazec je taký reťazec,
ktorého niektoré členy sú v slučke a iné nie
42

2.4 Rovinné mechanizmy
• mechanizmy vznikajú z uzavretých
kinematických reťazcov, ak sa z niektorého
člena stane rám
– z jednoduchého reťazca vznikajú jednoduché
mechanizmy
– zo zložených reťazcov vznikajú zložené
mechanizmy
43

2.4.1 Kinematické dvojice
rovinných mechanizmov
• prípady kinematických dvojíc rovinných
mechanizmov:
– rotačná dvojica – triedy 2
1° voľnosti
44

2.4.1 Kinematické dvojice
rovinných mechanizmov
• prípady kinematických dvojíc rovinných
mechanizmov:
– posuvná dvojica – triedy 2
1° voľnosti
45

2.4.1 Kinematické dvojice
rovinných mechanizmov
• prípady kinematických dvojíc rovinných
mechanizmov:
– obecná dvojica – triedy 1
2° voľnosti
2° voľnosti
46

2.4.2 Počet stupňov voľnosti rovinných
mechanizmov
• počet stupňov voľnosti rovinného mechanizmu
sa dá vypočítať podľa vzťahu:
n 3( m 1) 2d d
2 1
počet stupňov voľnosti
počet členov
vrátane rámu
počet členov
2. triedy
počet členov
1. triedy
47

2.5 Priestorové mechanizmy
• sú také mechanizmy, u ktorých konajú aspoň
niektoré členy voči rámu priestorový pohyb
48

2.5.1 Kinematické dvojice
priestorových mechanizmov
• prípady kinematických dvojíc priestorových
mechanizmov:
– rotačná – triedy 5
1° voľnosti
49

2.5.1 Kinematické dvojice
priestorových mechanizmov
• prípady kinematických dvojíc priestorových
mechanizmov:
– posuvná – triedy 5
1° voľnosti
50

2.5.1 Kinematické dvojice
priestorových mechanizmov
• prípady kinematických dvojíc priestorových
mechanizmov:
– valcová (cylindrická) – triedy 4
2° stupeň voľnosti
51

2.5.1 Kinematické dvojice
priestorových mechanizmov
• prípady kinematických dvojíc priestorových
mechanizmov:
– sférická – triedy 3
3° stupeň voľnosti
52

2.5.1 Kinematické dvojice
priestorových mechanizmov
• prípady kinematických dvojíc priestorových
mechanizmov:
– rovinná – triedy 3
3° stupeň voľnosti
53

2.5.2 Počet stupňov voľnosti
priestorových mechanizmov
• počet stupňov voľnosti priestorového
mechanizmu
n 6( m 1) kdk
5
k1
počet stupňov voľnosti
počet členov
vrátane rámu
počet dvojíc
k-tej triedy
54

3. Kinematické riešenie
mechanizmov
• úlohou je vyšetriť pohyb jednotlivých hnaných
členov a ich významných bodov v závislosti na
pohybe člena hnacieho
• vyšetriť pohyb znamená zistiť závislosť
polohy, rýchlosti a zrýchlenia skúmaných
členov a bodov na polohe hnacích členov
alebo na čase
55

3. Kinematické riešenie
mechanizmov
• analytické vyšetrovanie mechanizmov začína
určením závislostí ich geometrických veličín na
polohe hnacích členov, a tým pri danom
pohybe, aj na čase
– táto časť riešenia sa nazýva: úloha polohy
– rýchlosti a zrýchlenia dostaneme deriváciou
geometrických veličín podľa času
56

3. Kinematické riešenie
mechanizmov
• Na určenie geometrických závislostí sa
používajú najmä:
– geometrická metóda
– vektorová metóda
– maticová metóda
• vychádza z maticovej formulácie kinematiky súčasných
pohybov
• je to obecná (univerzálna) metóda pre priestorové, sférické
aj rovinné mechanizmy
– prevodové funkcie
• po geometrickej stránke charakterizuje mechanizmy s 1
DOF
57

3.1 Geometrická metóda
• získava počiatočné geometrické závislosti
geometrickým riešením obrazca daného
kinematickou schémou mechanizmu
• obvykle sa postupuje tak, že sa obrazec
rozdelí na vhodné trojuholníky, v ktorých
figurujú hľadané a dané dĺžkové a uhlové
veličiny ako niektoré strany a uhly, a tie
riešime trigonometricky (preto tiež
trigonometrická metóda)
58

3.1 Geometrická metóda
• vychádza sa zo všeobecnej polohy
mechanizmu a hľadá sa toľko závislostí medzi
polohovými veličinami hnacích a hnaných
členov, koľko je nezná
• je to metóda intuitívna a uplatňuje sa najmä pri
riešení jednoduchých rovinných
mechanizmoch
59

3.2 Vektorová metóda
• je obecná metóda, vhodná na kinematické
vyšetrenie rovinných mechanizmov, ale aj
priestorových
• kinematickú schému jednoduchého rovinného
mechanizmu charakterizujeme
mnohouholníkom, ktorého vrcholy ležia v
stredoch kĺbov, na osiach vedení a v ďalších
významných bodoch kinematickej schémy
60

3.2.1 Vektorová metóda –
jednoduché mechanizmy
• strany mnohouholníka (m-uholníka)
považujeme za vektory, ktoré sa v rovnakom
zmysle sledujú a tvoria uzavretý obrazec
61

3.2.1 Vektorová metóda –
jednoduché mechanizmy
• podmienka uzavretosti obrazca je:
m
li
0
i1
– rozpísaním podmienky do osí x, y dostaneme dve
skalárne rovnice:
m
x: l cos
0
i1
i
i
i
y : l sin
0
– uhly meriame od kladnej osi x v kladnom zmysle
k vektoru
l i
i1
– rýchlosti a zrýchlenia dostaneme derivovaním
oboch rovníc podľa času
m
i
i
62

3.2.2 Vektorová metóda – zložené
mechanizmy
• pri zložených mechanizmoch priradíme
kinematickej schéme mechanizmu toľko
vektorových mnohouholníkov, aby popísali
polohu všetkých členov a kinematických
dvojíc, ale tak, aby ich počet bol čo najnižší
63

3.2.2 Vektorová metóda – zložené
mechanizmy
• mnohouholníky sú určené nezávislými
slučkami (ich počet označme j)
– pre každú slučku napíšeme vektorovú podmienku
uzavretosti:
m j
ij
0
i1
l j1,2,...,
l
– ich rozpísaním dostaneme toľko rovníc, koľko je v
mechanizme neznámych súradníc hnaných členov
64

3.2.2 Vektorová metóda – zložené
mechanizmy
• Ukážka riešenia zloženého mechanizmu:
– šesťčlenný mechanizmus
– hnací člen je kľuka 2
– úloha: vyšetriť jeho pohyb a pohyb bodu L
65

3.2.2 Vektorová metóda – zložené
mechanizmy
66

3.2.2 Vektorová metóda – zložené
mechanizmy
• mechanizmus obsahuje dve nezávislé slučky
(2 mnohouholníky):
l l l l 0
1 2 3 4
l l l l l 0
2 5 6 7 8
67

3.2.2 Vektorová metóda – zložené
mechanizmy
• rozpísaním podmienok uzavretosti do osí x,y
dostaneme štyri skalárne rovnice pre riešenie
úlohy polohy, ktoré obsahujú neznáme
súradnice hnaných členov:
, , ,l
3 4 6 8
• pri vyšetrení pohybu bodu L vychádzame z
rovnice
r
L
= l2 l5 l6,1 l6,2
68

3.2.2 Vektorová metóda – zložené
mechanizmy
• známe súradnice sú:
– dĺžky príslušných členov:
– uhol daný polohou bodov 0 a C je konštantný
– uhly:
1
2
n
2 21t
60
5 3
3
7
2
8
l , l , l , l , l , l , l , l , l
1 2 3 4 5 6 7 6,1 6,2
21
t
69