Predavanje 13

13. METODA MONTE CARLO 30.5.2012
MODELOVANJE
I SIMULACIJA PROCESA
13. Primena Monte Carlo
metode u modelovanju
stohastičkih procesa
Dr Nikola Nikačević
METODA MONTE CARLO (MC)
• U Monte Carlo metodi koriste se slučajne veličine i
deterministička pravila kako bi se opisalo ponašanje
sistema koje je toliko složeno da se ne može
tačno opisati pomoću klasičnih determinističkih
modela.
• Metod je nastao 1940tih godina u Americi, u Los
Alamos naučnoj laboratoriji (S. Ulam, E. Fermi, N.
Metropolis, J. Von Nauman i dr.)
• Metod je generalnog karaktera i danas se primenjuje
za najrazličitijim proračune u prirodnim,
tehničkim i društvenim naukama.
MODELOVANJE I SIMULACIJA PROCESA 1

13. METODA MONTE CARLO 30.5.2012
METODA MONTE CARLO (MC)
• MC metoda se zasniva na generisanju slučajnih
veličina i iterativnim postupcima za proračune
se koriste računari.
• Osnovne oblasti stohastičkih proračuna gde se
tradicionalno primenjuje MC metoda:
a) Numerička integracija za višedimenzione
integrale u matematici,
b) Simulacija slučajnog kretanja u statističkoj
mehanici i fizici.
c) Praćenju kretanja čestica i radioaktivnosti.
• Postoji veći broj algoritama za MC metodu; često
se primenjuje Metropolis-Hastings-ov algoritam.
PRINCIP MC METODE
• Problem se, pomoću
MC metode, rešava
tako što se repetativno
generišu
slučajni brojevi i
posmatra se raspodela
udela brojeva
koji se pokorevaju
određenom pravilu ili
skupu pravila.
• Metoda tačnija što su
brojevi uniformnije
rasporedjeni u polju
od interesa i što se
više puta postupak
ponavlja.
Jednostavan opis principa:
igra podmornice
A – Slučajni brojevi
Prvo igrač slučajno gađa
u polje bitke.
B – Primena pravila
Na osnovu pogotka, igrač
postavlja mogući raspored
podmornica od četiri tačke.
C – Zaključak
Na osnovu slučajnih gađanja
i primene pravila igrač
donosi zaključak o položaju
podmornice protivnika.
MODELOVANJE I SIMULACIJA PROCESA 2

13. METODA MONTE CARLO 30.5.2012
OPŠTI ALGORITAM MC METODE
1. Definisanje
domena.
2. Generisanje
slučajnih vrednosti
u domenu.
3. Izvršavanje
determinističkog
proračuna koristeći
slučajne vrednosti.
4. Uvrštavanje rezultata
pojedinačnih
proračuna u
ukupan rezultat.
Primer – Izračunavanje broja na osnovu
MC metode:
1. Nacrtati kvadrat, a zatim u njega
ucrtati upisan krug.
2. Rasuti više objekata iste veličine
(zrna pirinča ili peska) uniformno po
kvadratu.
3. Prebrojati objekte u krugu, podeliti ih
sa ukupnim brojem objekata u
kvadratu i rezultat pomnožiti sa 4.
4. Količnik broja objekata u krugu i
broja u kvadratu će približno biti
jednak /4, jer je površina kruga u
odnosu na površinu kvadrata:
o
2
Nu krugu Akruga
a / 4
o
2
N A a 4
u kvadratu
kvadrata
MONTE-CARLO (MC) NASUPROT
MOLEKULARNE DINAMIKE (MD)
• Obe metode se koriste za opisivanje složenih sistema i
pojava na molekulskom nivou.
• Molekularna dinamika je isključivo zasnovana na determinističkom
pristupu (Newt-ove jednačine kretanja + polja)
i numeričkom rešavanju.
• Monte Carlo metoda je zasnovana na stohastičkom
pristupu (slučajni brojevi) i primeni determin. pravila
• Koju metodu je adekvatnije koristiti zavisi najviše od
prirode samog sistema. Na primer, za opis gasova je
pouzdanije koristiti MC, a za tečnosti MD metodu.
• Unapređene MC metode (Hibridna MC) su prevazišle
prethodne nedostatke i približile se po efektivnosti MD.
MODELOVANJE I SIMULACIJA PROCESA 3

13. METODA MONTE CARLO 30.5.2012
PRIMENE MC METODE – 1
• Fizičko-hemijski fenomeni i procesi
mehanizmi hemijskih i biohemijskih reakcija,
kretanje molekula gasa, turbulencija,
kristalizacija, agregacija limitirana difuzijom,
difuzija u čvrstom materijalu, rast zrna u
materijalu, dinamika polimera.
• Biološko-medicinske pojave
epidemije virusa i bakterija, rast populacije,
migracije insekata i ptica, širenje radioaktivnosti i
tumora u organizmu.
PRIMENE MC METODE – 2
• Geološko-sredinske pojave i procesi
erozija tla, širenje požara, klimatske promene,
disperzije polutanata.
• Optimizacija i dinamičke simulacije
nabavka sirovina, transport ljudi i proizvoda.
• Finasije i ekonomija
procena vrednosti firmi, rast tržišta i berze,
kvote osiguranja.
• Matematika, razvoj software i zabavne igre
MODELOVANJE I SIMULACIJA PROCESA 4

13. METODA MONTE CARLO 30.5.2012
PRIMERI UPOTREBE MC METODE -
APLIKACIJA NetLogo
1. Kinetika enzimske reakcije
Stohastički model prikazuje
mehanizam i kinetiku
enzimske reakcije:
Kc
Kr
E S E S E P
Kd
Pomoću simulacije može se
ispitati uticaj vrednosti
konstanti brzine reakcije K c ,
K d i K r , kao i koncentracije
supstrata i/ili inhibitora na
odvijanje reakcije.
PRIMERI UPOTREBE MC METODE -
APLIKACIJA NetLogo
2. Stanje gasa u sudu pri kretanju klipa
Model kretanja i sudaranja
molekula gasa u zatvorenom
adijabatskom sudu
sa klipom. Klip se kreće na
dole pod silom gravitacije,
a na gore zbog povećanja
energije sudara komprimovanog
gasa. Pomoću
simulacije se prati
promena pritisaka i
energije u vremenu, kao i
položaj klipa.
MODELOVANJE I SIMULACIJA PROCESA 5

13. METODA MONTE CARLO 30.5.2012
PRIMERI UPOTREBE MC METODE -
APLIKACIJA NetLogo
3. Aglomeracija čestica pri difuznom
kretanju
Čestice se slobodno kreću
slučajno menjajući pravac
kretanja, kao kod difuzije.
(random walk). Pri sudaru sa
klicom u sredini, čestica se
“lepi”, manja boju i vremenom
se stvara agregat čestica. U
simulaciji može da se menja
broj čestica i ugao pod kojim
se čestice okreću.
PRIMERI UPOTREBE MC METODE -
APLIKACIJA NetLogo
4. Mašina za generisanje talasa
Generisanje talasa na
kvadratnoj membrani
fiksiranoj na četiri ugla.
Sinusoidalni talas se
generiše uzdužnim
kretanjem manjeg polja
u okviru membrane.
MODELOVANJE I SIMULACIJA PROCESA 6

13. METODA MONTE CARLO 30.5.2012
PRIMERI UPOTREBE MC METODE -
APLIKACIJA NetLogo
5. Efekat staklene bašte – klimatske
promene
Stohastička simulacija
uticaja koncentracije
CO 2 i količine oblaka
na temperaturu
atmosfere. Oblaci
blokiraju sunčeve
zrake, a CO 2 blokira
emisiju infracrvenih
zraka sa zemlje
izazivajući efekat
staklene bašte.
MODELOVANJE I SIMULACIJA PROCESA 7