1 Dvojni, trojni integrali 2 Vektorska analiza

1 Dvojni, trojni integrali
Priporočamo naloge iz knjige Mizori Oblak P., Matematika za tehniške fakultete,
drugi del: 4. poglavje, naloge 20 - 105 in 115 - 200.
2 Vektorska analiza
1. Za vektorsko polje F (x, y, z) = (3zx 3 , −xy, 2x 2 z) in skalarno polje
u(x, y, z) = xyz 3 izračunajte
rot F , rot uF , rot rot F , grad(F · rot F ), rot grad u.
Rešitev: rot F = (0, 3x 3 − 4xz, −y), rot uF = (2x 3 z 4 + 3x 2 y 2 z 2 , 12x 4 yz 3 −
6x 2 yz 4 , −2xy 2 z 3 − 3x 4 z 4 ), rot rot F = (−1 + 4x, 0, 6x 2 − 4z), grad(F · rot F ) =
(−12x 3 y + 4xyz, −3x 4 + 2x 2 z, 2x 2 y), rot grad u = 0.
2. Za skalarno polje u = f(r), kjer je r = ‖x‖, poiščite grad u.
Rešitev: grad f(r) = f ′ (r) 1 r x.
3. Pokažite, da za skalarni polji u in v velja
4. Pokažite, da je ∆ 1 r = 0.
5. Dokažite naslednje enakosti
• div(uF ) = u div F + F · grad u,
∆(u v) = u∆v + v∆u + 2∇u · ∇v.
• div(F × G) = G · rot F − F · rot G,
• div(u grad v) = u∆v + grad u · grad v,
• rot(F + G) = rot F + rot G,
• rot(uF ) = u rot F − F × grad u,
• div(grad u × grad v) = 0.
6. Poiščite skalarno funkcijo f(r), da bo div(f(r)x) = 0. Rešitev: f(r) = C r 3 .
7. Pokažite, da je rot f(r)x = 0.
8. Naj bo F = grad u, kjer je u = − 1 2 (x2 + y 2 + z 2 ). Pokažite, da je
rot(a × F ) = −2a za poljuben konstanten vektor a.
9. Določite konstante a, b in c tako, da bo polje
F = (x + 2y + az, bx − 3y − z, 4x + cy + 2z) potencialno. Poiščite potencial.
Rešitev: a = 4, b = 2, c = −1, u = 1 2 x2 − 3 2 y2 + z 2 − zy + 2yx + 4zx + C.
10. V naslednjih primerih pokažite, da je polje potencialno (rot F = 0) in
določite njegov potencial:
• F = (6xzy 4 − 2y, 12x 2 zy 3 − 2x, 3x 2 y 4 ),
Rešitev: u = 3x 2 zy 4 − 2xy + C
1

• F = (2xy 2 + 2xz 2 , 2x 2 y + 2yz 2 , 2x 2 z + 2y 2 z), Rešitev: u = x 2 y 2 + y 2 z 2
+x 2 z 2 + C
• F = (z sin 2x, ze y , sin 2 x + e y ), Rešitev: u = z sin 2 x + ze y + C
11. Pokažite, da so naslednja polja F solenoidalna (div F = 0) in k vsakemu
poiščite polje G, da bo F = rot G:
• F = (2x, −y, −z), Rešitev: G = (−yz, −2xz, 0)
• F = (y 3 , z 3 , x 3 ), Rešitev: G = ( 1 4 z4 , 1 4 x4 − y 3 z, 0)
• F = (−2x 2 y, −3xz 2 , 4xyz), Rešitev: G = (−xz 3 , 2x 2 yz, 0)
• F = (2y + 2xyz, 6xyz − y 2 z, −3xz 2 ),
Rešitev: G = (3xyz 2 − 1 2 y2 z 2 , −2yz − xyz 2 , 0)
Priporočamo še naloge iz knjige Mizori Oblak P., Matematika za tehniške
fakultete, drugi del: 6. poglavje, naloge 13 - 25 in 88 - 104.
3 Krivuljni integrali
1. Parametrizirajte daljico med točkama A(0, 1, 2) in B(−1, −2, −3).
Rešitev: r(t) = (−t, −3t + 1, −5t + 2), t ∈ [0, 1]
2. V naslednjih nalogah izračunajte krivuljni integral skalarnega polja u vzdolž
krivulje C:
• u = x + y, C : trikotnik z ogljišči A(0, 0), B(1, 0) in C(0, 1),
Rešitev: 2 − √ 2
• u = x 2 + y 2 , C : r(t) = (a(cos t + t sin t), a(sin t − t cos t), 1 2 bt2 ),
t ∈ [0, 2π], Rešitev: 2a 2√ a 2 + b 2 π 2 (1 + 2π 2 )
• u = xy,
• u = x 2 + y 2 + z 2 ,
• u = 2z − √ x 2 + y 2 ,
C: del elipse x2 + y2
a 2 b 2
= 1, ki leži v prvem kvadrantu,
Rešitev:
ab(a 2 +ab+b 2 )
3(a+b)
C : r(t) = (a cos t, a sin t, bt), t ∈ [0, 2π],
Rešitev: − √ a 2 + b 2 (2a 2 π + b 2 8π3
3 )
C : r(t) = (t cos t, t sin t, t), t ∈ [0, 2π],
(
Rešitev: (1 + 2π 2 ) 3/2 − 1 )
3. Poiščite maso krivulje r(t) = (t, 1 2 t2 , 1 3 t3 ), t ∈ [0, 1], če je gostota krivulje
enaka ϱ = √ 2y. Rešitev:
1
8 (3√ 3 − 1 + 3 2 ln 3+2√ 3
3
)
4. Poiščite težišče homogene cikloide r(t) = (a(t − sin t), a(1 − cos t)), če je (a)
t ∈ [0, π] in (b) t ∈ [0, 2π].
Rešitev: (4/3a, 4/3a), (aπ, 4/3a)
5. Določite težišče vijačnice r(t) = (a cos t, a sin t, bt), t ∈ [0, π].
Rešitev: (0, 2a/π, bπ/2)
6. Izračunajte krivuljni integral vektorskega polja F vzdolž krivulje C:
2 √ 2
3
2

• F = (y − z, z − x, x − z),
B(2, 0, 1),
C : daljica med točkama A(1, −1, 2) in
Rešitev: −2
• F = (y 2 , 0, −z), C : daljica med točkama A(3, 1, 4) in B(5, 1, 5),
Rešitev: −5/2
• F = (−3, −xz, y 2 ), C : presek med paraboloidom z = 1 2 x2 + 1 4 y2 in
ravnino y = −2 med točkama A(2, −2, 3) do B(−3, −2, 11/2),
Rešitev: 25
• F = (3z, 2, y),
C : r(t) = (a cos t, a sin t, at), t ∈ [0, π/2],
Rešitev: 2a(1 − a)
• F = (xy, y 2 , z), C : krožnica x 2 + y 2 = 1, z = 1, Rešitev: 0
• F = (y 2 , zy, xy),
• F = (y − z, 0, z),
C : rob kvadrata [−1, 1] × [−1, 1] v xy-ravnini,
Rešitev: 0
C : r(t) = (a cos t, a sin t, bt), t ∈ [0, 2π],
Rešitev: 2π 2 b 2 − πa 2 − 2πab
7. Naslednje integrale izračunajte direktno in z uporabo Greenove formule:
∮
• (1 − x 2 )y dx + x(1 + y 2 ) dy, C : x 2 + y 2 = a 2 , Rešitev: πa 4 /2
C
∮
• 2(x 2 + y 2 ) dx + (x + y) 2 dy, C : trikotnik A(1, 1), B(2, 2), C(1, 3),
C
Rešitev: −4/3
∮
• (yx 3 + e y ) dx + (xy 3 + xe y − 2y) dy, C : |x| + |y| = a. Rešitev: 0
C
Priporočamo tudi naloge iz knjige Mizori Oblak P., Matematika za tehniške
fakultete, drugi del: 6. poglavje, naloge 28 -36, 43 - 46 in 109 - 128.
3