Преузми

MATEMATIKA II
VEŽBE
Dr Boban Marinković
1

Neodredjeni integral
∫
∫
dx = x + C,
∫ dx
∫
x = ln |x| + C,
∫
∫
dx
√ = arcsin x + C,
1 − x
2
∫
a x dx = ax
ln a + C,
∫
cos x dx = sin x + C,
∫
dx
x 2 − a = 1 ∣ ∣∣∣ 2 2a ln x − a
∣
x + a
+ C,
∫
dx
√
x2 + λ = ln |x + √ x 2 + λ| + C,
∫
∣ (
dx ∣∣∣ x
cos x = ln tg
2 + π )∣ ∣∣∣
+ C,
∫
4
dx
sin 2 = − ctg x + C.
x
∫
∫
∫
∫
∫
x m dx = xm+1
m + 1 + C,
dx
= arcctg x + C,
x 2 + 1
e x dx = e x + C,
sin x dx = − cos x + C,
dx
x 2 + a = 1 2 a arctg x a + C,
dx
√
a2 − x = arcsin x 2 a + C,
dx
sin x = ln |tg x 2 | + C,
dx
= tg x + C,
cos 2 x
1. Izračunati
Rešenje:
2. Izračunati
Rešenje:
I =
I = 2 √ x
∫
I =
∫ x 3 + 5x − 1
√ x
( x
5
dx.
5 + 5x 3 − 1 )
dx
sin 2 x cos 2 x .
I = tg x − ctg x + C.
+ C.
3. Izračunati
∫
I =
dx
√ x + 1 −
√ x
.
2

Rešenje:
4. Izračunati
Rešenje:
5. Izračunati
Rešenje:
I = 2 3 (x + 1) 3 2 +
2
3 x 3 2 + C.
∫
I =
3√
1 + 3 sin x cos x dx.
I = (1 + 3 sin x) 4 3
4
∫
I =
sin x
√ cos x
dx.
+ C.
I = −2 √ cos x + C.
6. Izračunati
∫
I =
dx
(arccos x) 5√ 1 − x 2 .
Rešenje:
7. Izračunati
Rešenje:
8. Izračunati
Rešenje:
I =
∫
I =
1
4arccos 4 x + C.
x 2 + 1
3√
x3 + 3x + 1 dx.
I = 1 2 (x3 + 3x + 1) 2 3 + C.
∫
I =
dx
x ln x .
I = ln | ln x| + C.
3

9. Izračunati
∫
I =
arctg x dx.
Rešenje:
I = xarctg x − 1 2 ln(1 + x2 ) + C.
10. Izračunati
∫
I =
x cos x dx.
Rešenje:
I = x sin x + cos x + C.
11. Izračunati
∫
I =
x 3 ln x dx.
Rešenje:
I = 1 4 x4 ln x − 1 16 x4 + C.
12. Izračunati
∫
I =
(x 2 − 2x + 5)e −x dx.
Rešenje:
I = −e −x (x 2 + 5) + C.
13. Izračunati
∫
I =
15x 2 − 4x − 81
(x − 3)(x + 4)(x − 1) dx.
Rešenje:
I = ln |(x − 3) 3 (x + 4) 5 (x − 1) 7 | + C.
14. Izračunati
Rešenje:
∫
I =
x
x 3 + 1 dx.
I = − 1 3 ln |x + 1| + 1 6 ln(x2 − x + 1) +
√
3
3
arctg
2x − 1
√
3
+ C.
4

15. Izračunati
∫
I =
x 2 + 1
(x − 1) 3 (x + 3) dx.
Rešenje:
16. Izračunati
Rešenje:
1
I = −
4(x − 1) − 3
2 8(x − 1) + 5 ∣ ∣∣∣
32 ln x − 1
∣
x + 3
+ C.
∫
I =
dx
5 + sin x + 3 cos x .
I = √ 2 ( ) 1 + 2tg
x
2
arctg √ + C.
15 15
17. Izračunati
∫
I =
dx
√
x2 + 2x + 5 .
Rešenje:
I = ln |x + 1 + √ x 2 + 2x + 5| + C.
18. Izračunati
∫
I =
dx
√
−3x2 + 4x − 1 .
Rešenje:
I = 1 √
3
arcsin(3x − 2) + C.
5

Njutn-Lajbnicova formula:
Odredjeni integral
∫ b
a
f(x) dx = F (x)| b a = F (b) − F (a),
gde je F (x) primitivna funkcija funkcije f(x).
Površina krivolinijskog trapeza, ograničenog krivom y = f(x), f(x) ≥ 0,
pravama x = a i x = b i odsečkom [a, b], računa se po formuli
S =
∫ b
a
f(x) dx.
Dužina luka krive y = f(x) na intervalu [a, b] računa se po formuli
L =
∫ b
a
√
1 + y ′2 dx.
Zapremina tela koje nastaje rotacijom krivolinijskog trapeza, ograničenog
krivom y = f(x), f(x) ≥ 0, pravama x = a i x = b i odsečkom [a, b], oko
x ose, računa se po formuli
∫ b
V = π y 2 dx.
a
Površina tela koje nastaje rotacijom krive y = f(x), x ∈ [a, b], oko x ose,
računa se po formuli
∫ b √
S = 2π y 1 + y ′2 dx.
a
1. Izračunati
Rešenje: I = 1 − √ 3
3 .
2. Izračunati
I =
I =
∫ π
4
π
6
∫ e
1
dx
cos 2 x .
ln 2 x
x
dx.
Rešenje: I = 1 3 . 6

3. Izračunati
I =
∫ 1
0
xe −x dx.
Rešenje: I = e−2
e .
4. Naći površinu figure ograničene parabolom y = 4x − x 2 i osom O x .
Rešenje: P = 32 3 .
5. Naći površinu figure ograničene parabolom y = −x 2 i pravom x+y−2 =
0.
Rešenje: P = 9 2 .
6. Naći dužinu luka krive y 2 = x 3 od x = 0 do x = 1.
(
Rešenje: L = 8 13
√ )
27 8 13 − 1 .
7. Naći dužinu luka krive y = ln sin x od x = π 3 do x = π 2 .
Rešenje: L = 1 ln 3.
2
8. Naći zapreminu tela koje nastaje rotacijom oko x ose figure ograničene
krivom y 2 = (x − 1) 3 i pravom x = 2.
Rešenje: V = π 4 . 7

Funkcije dve promenljive
Neka je M(x 0 , y 0 ) stacionarna tačka funkcije z = f(x, y). Označimo
A = ∂2 f(x 0 , y 0 )
, B = ∂2 f(x 0 , y 0 )
, C = ∂2 f(x 0 , y 0 )
.
∂x 2 ∂x∂y
∂y 2
Neka je ∆ = AC − B 2 . Tada važi:
1. ∆ > 0 i A < 0 (ili C < 0) funkcija ima maksimum.
2. ∆ > 0 i A > 0 (ili C > 0) funkcija ima minimum.
3. ∆ < 0 funkcija nema ekstremum.
4. ∆ = 0 potrebno je dodatno ispitivanje.
1. Naći parcijalne izvode funkcije z = e x2 +y 2 .
Rešenje:
∂z
∂x = 2xex2 +y 2 ,
∂z
∂y = 2yex2 +y 2 .
2. Naći druge parcijalne izvode funkcije z = y ln x.
Rešenje:
∂ 2 z
∂x 2 = − y x 2 ,
∂ 2 z
∂y 2 = 0,
∂ 2 z
∂x∂y = 1 x .
3. Naći ekstremume funkcije z = x 2 + xy + y 2 − 3x − 6y.
Rešenje: Tačka M(0, 3) je tačka minimuma.
4. Naći ekstremume funkcije z = x 3 + y 3 − 15xy.
Rešenje: Tačka M(5, 5) je tačka minimuma.
8

Diferencijalna jednačina koja razdvaja
promenljive
Jednačina oblika
Ako je g(y) ≠ 0 tada
Jednačina oblika
∫
y ′ = f(x)g(y).
∫
dy
g(y) =
f(x)dx + C.
y ′ = f(ax + by + c)
se smenom z = ax + by + c svodi na prethodnu.
1. Naći rešenje diferencijalne jednačine
koje zadovoljava uslov y(1) = 1.
Rešenje: Opšte rešenje je
a partikularno se dobija za C = π 4 .
(1 + x 2 ) dy + y dx = 0
ln |y| = − arctg x + C
2. Naći rešenje diferencijalne jednačine
koje zadovoljava uslov y(0) = 1.
y ′ cos x =
y
ln y
Rešenje: Opšte rešenje je
(
1
2 ln2 |y| = ln
x
∣ tg 2 + π )∣ ∣∣∣
+ C
4
a partikularno se dobija za C = 0.
3. Naći opšte rešenje diferencijalne jednačine
y ′ = x 2 − 2xy + y 2 + 2.
Rešenje: Smena x − y = u. Opšte rešenje je
x + arctg(x − y) = C.
9

4. Naći opšte rešenje diferencijalne jednačine
y ′ =
2x + 2y + 5
x + y + 1 .
Rešenje: Smena x + y + 1 = u. Opšte rešenje je
y − 2x + 1 − ln |x + y + 2| = C.
5. Naći opšte rešenje diferencijalne jednačine
y ′ = 3x − 2y + 1.
Rešenje: Smena 3x − 2y + 1 = u. Opšte rešenje je
4y − 6x + 1 = Ce −2x .
10

Homogena diferencijalna jednačina
Jednačina oblika
y ′ = f
( y
x)
.
Smenom y = ux svodi se na jednačinu koja razdvaja promenljive.
Jednačina
( )
y ′ a1 x + b 1 y + c 1
= f
,
a 2 x + b 2 y + c 2
pri čemu je a 1
a 2
≠ b 1
b2
, se rešava uvodjenjem smene x = X + α, y = Y + β.
Koeficijente α i β odredjujemo tako da slobodan član bude jednak nuli. Tada
se jednačina svodi na homogenu.
1. Naći opšte rešenje diferencijalne jednačine
Rešenje: Opšte rešenje je
(y 2 + xy) dx − x 2 dy = 0.
ln |x| + x y = C.
2. Naći rešenje diferencijalne jednačine
y ′ = xy2 − yx 2
x 3
koje zadovoljava uslov y(−1) = 1.
Rešenje: Opšte rešenje je
y − 2x
y
a partikularno se dobija za C = 3.
= Cx 2
3. Naći opšte rešenje diferencijalne jednačine
Rešenje: Opšte rešenje je
y ′ =
4y − 2x − 6
x + y − 3 .
(y − x − 1) 2
(y − 2x) 3 = C.
11

Linearna diferencijalna jednačina
Jednačina oblika
Njeno rešenje je dato sa
y ′ + P (x)y = Q(x).
∫ [ ∫
y = e − P (x)dx
C +
]
Q(x)e∫
P (x)dx
dx .
1. Naći opšte rešenje diferencijalne jednačine
Rešenje: Opšte rešenje je
y ′ + y cos x = e − sin x .
y = e − sin x [C + x].
2. Naći opšte rešenje diferencijalne jednačine
y ′ + y ctg x = x 2 .
Rešenje: Uz dve parcijalne integracije dobija se opšte rešenje
y =
C
sin x − x2 ctg x + 2x + 2 ctg x.
3. Naći opšte rešenje diferencijalne jednačine
y ′ =
y
y 2 + x .
Rešenje: Jednačina se transformiše u linearnu diferencijalnu jednačinu
x ′ − 1 y x = y,
čijim rešavanjem se dobija opšte rešenje
x = y 2 + Cy.
12

Bernulijeva diferencijalna jednačina
Jednačina oblika
y ′ + P (x)y = Q(x)y α .
Smenom u = y 1−α svodi se na linearnu diferencijalnu jednačinu
u ′ + (1 − α)P (x)u = (1 − α)Q(x).
1. Naći opšte rešenje diferencijalne jednačine
y ′ − 4 x y = x√ y.
Rešenje: Posle svodjenja na linearnu jednačinu u ′ − 2xu = x 2 , dobijamo
opšte rešenje
y = 1 4 x4 ln 2 |xC|.
2. Naći opšte rešenje diferencijalne jednačine
3y ′√ y − 2y √ y tg x = 2x 2 .
Rešenje: Posle svodjenja na linearnu jednačinu u ′ − tg xu = 3x 2 , dobijamo
opšte rešenje
y =
( ) C
2
cos x + 2x + 3 (x2 − 2) tg x .
3. Naći opšte rešenje diferencijalne jednačine
y ′ − xy 2 − 3xy = 0.
Rešenje: Posle svodjenja na linearnu jednačinu u ′ + 3xu = −x, dobijamo
opšte rešenje
3
y =
Ce − 3 2 x2 − 1 .
13

Jednačina totalnog diferencijala
Jednačina oblika
uz uslov da je
P (x, y) dx + Q(x, y) dy = 0,
∂P
∂y
∂Q
(x, y) = (x, y).
∂x
Opšte rešenje je oblika u(x, y) = C gde je
∫
∫ [
u = P (x, y)dx + Q(x, y) − ∂ ∫
]
P (x, y)dx dy.
∂y
1. Naći opšte rešenje diferencijalne jednačine
(e x + y + sin y) dx + (e y + x + x cos y) dy = 0.
Rešenje: Opšte rešenje je
e x + xy + x sin y + e y = C.
2. Naći opšte rešenje diferencijalne jednačine
Rešenje: Opšte rešenje je
y
x dx + (3y2 + ln x) dy = 0.
y ln x + y 3 = C.
3. Naći opšte rešenje diferencijalne jednačine
Rešenje: Opšte rešenje je
(x + y − 1) dx + (e y + x) dy = 0.
e y + x2
2
+ xy − x = C.
14

Integracioni množitelj
I λ(u), u = u(x, y) :
II λ(x) :
III λ(y) :
dλ
λ =
∂p
− ∂q
∂y ∂x
q ∂u − p ∂u
∂x ∂y
du
∫ 1
λ(x) = e
q ( ∂p
∂y − ∂q
∂x )dx
∫ 1
λ(y) = e
p ( ∂q
∂x − ∂p
∂y )dy
1. Naći opšte rešenje diferencijalne jednačine
(x 4 + y 4 ) dx − xy 3 dy = 0
ako se zna da ona ima integracioni množitelj u obliku funkcije od x.
Rešenje: Integracioni množitelj je µ(x) = 1 x 5
y = 4 √4x 4 ln |x| − 4Cx 4 .
2. Naći opšte rešenje diferencijalne jednačine
(2xy 2 − y) dx + (y 2 + x + y) dy = 0
a opšte rešenje je
ako se zna da ona ima integracioni množitelj u obliku funkcije od y.
Rešenje: Integracioni množitelj je µ(y) = 1
y 2
a opšte rešenje je
x 2 − x y
+ y + ln |y| = C.
3. Naći opšte rešenje diferencijalne jednačine
(x − y) dx + (x + y) dy = 0
ako se zna da ona ima integracioni množitelj u obliku funkcije od x 2 +y 2 .
Rešenje: Integracioni množitelj je µ(x 2 + y 2 ) = 1
x 2 +y 2
√
ln x 2 + y 2 − arctg x y = C.
a opšte rešenje je
15

I
Neke diferencijalne jednačine višeg reda
y (n) = f(x).
Rešava se n puta integracijom.
II
F (x, y ′ , y ′′ ) = 0.
Uvede se smena y ′ = p pa se dobije jednačina prvog reda.
III
F (y, y ′ , y ′′ ) = 0.
Uvede se smena y ′ = p(y), (y ′′ = p ′ · p), koja snižava red jednačine.
1. Naći opšte rešenje diferencijalne jednačine
Rešenje: Opšte rešenje je
y ′′ = xe −x .
y = (x + 2)e −x + C 1 x + C 2 .
2. Naći ono rešenje diferencijalne jednačine
y IV = cos 2 x,
koje zadovoljava uslove y(0) = 1
32 , y′ (0) = 0, y ′′ (0) = 1 8 , y′′′ (0) = 0.
Rešenje: Partikularno rešenje je
y = 1 48 x4 + 1 8 x2 + 1 cos 2x.
32
3. Naći opšte rešenje diferencijalne jednačine
Rešenje: Opšte rešenje je
xy ′′ = y ′ ln y′
x .
y = 1 C 1
xe 1+C 1x − 1 C 2 1
e 1+C 1x + C 2 .
16

4. Naći ono rešenje diferencijalne jednačine
y ′′ − y′
x − 1
= x(x − 1)
koje zadovoljlava uslove y(2) = 1, y ′ (2) = −1.
Rešenje: Partikularno rešenje je
y = 3x4 − 4x 3 − 36x 2 + 72x + 8
.
24
5. Naći opšte rešenje diferencijalne jednačine
Rešenje: Opšte rešenje je
1 + (y ′ ) 2 = yy ′′ .
1
√
ln(C 1 y + C
C
1y 2 2 − 1) = ±(x + C 2 ).
1
6. Naći ono rešenje diferencijalne jednačine
yy ′′ − (y ′ ) 2 = 0
koje zadovoljlava uslove y(0) = 1, y ′ (0) = 2.
Rešenje: Partikularno rešenje je
y = e 2x .
17

Homogena diferencijalna jednačina n-tog reda
sa konstantnim koeficijentima
Jednačina oblika
y (n) + a 1 y (n−1) + . . . + a n y = 0.
Opšte rešenje se formira u zavisnosti od korena karakteristične jednačine
r n + a 1 a 1 r (n−1) + . . . + a n = 0.
1) Svakom realnom korenu reda 1 u opštem rešenju odgovara sabirak Ce kx .
2) Svakom realnom korenu reda m u opštem rešenju odgovara sabirak
(C 1 + C 2 x + . . . + C m−1 x m−1 )e kx .
3) Svakom kompleksnom korenu α ± β i, reda 1, u opštem rešenju odgovara
sabirak e αx (C 1 cos βx + C 2 sin βx).
4) Svakom kompleksnom korenu α ± β i, reda m, u opštem rešenju odgovara
sabirak e αx [(C 1 + C 2 x + . . . + C m−1 x m−1 ) cos βx + (C ′ 1 + C ′ 2x + . . . +
C ′ m−1x m−1 ) sin βx].
1. Naći opšte rešenje diferencijalne jednačine
y ′′ + 3y ′ + 2y = 0.
Rešenje: λ 1 = −1, λ 2 = −2, y = C 1 e −2x + C 2 e −x .
2. Naći opšte rešenje diferencijalne jednačine
y ′′ − 8y ′ + 16y = 0.
Rešenje: λ 1 = λ 2 = 4, y = C 1 e 4x + C 2 xe 4x .
3. Naći opšte rešenje diferencijalne jednačine
y (4) − 13y ′′ + 36y = 0.
Rešenje: λ 1 = 3 λ 2 = −3, λ 3 = 2, λ 4 = −2, y = C 1 e 3x + C 2 e −3x +
C 3 e 2x + C 4 e −2x .
18

4. Naći opšte rešenje diferencijalne jednačine
y ′′′ + 8y = 0.
Rešenje: λ 1,2 = 1 ± i √ 3, λ 3 = −2, y = C 1 e −2x + C 2 e x cos √ 3x +
C 3 e x sin √ 3x.
19

Nehomogena diferencijalna jednačina n-tog
reda sa konstantnim koeficijentima
Jednačina oblika
y (n) + a 1 y (n−1) + . . . + a n y = f(x).
f(x)
Oblik
e αx P n(x), α n.k.k.j. y p = e αx Q n(x)
e αx P n(x), α j.k.k.j. reda s y p = x s e αx Q n(x),
e αx [P n(x) cos βx + Q m(x) sin βx], α ± βi n.k.k.j. y p = e αx [R k (x) cos βx + S k (x) sin βx]
e αx [P n(x) cos βx + Q m(x) sin βx], α ± βi j.k.k.j. reda s y p = x s e αx [R k (x) cos βx + S k (x) sin βx]
gde je k = max (m, n).
1. Naći opšte rešenje diferencijalne jednačine
y ′′ − 7y ′ = 5xe x .
Rešenje: Opšte rešenje je
(
y = C 1 + C 2 e 7x +
2. Naći opšte rešenje diferencijalne jednačine
− 5 6 x + 25
36
y ′′ + 6y ′ + 9y = (x − 2)xe −3x .
)
e x .
Rešenje: Opšte rešenje je
y = (C 1 + C 2 x)e −3x +
( 1
6 x − 1 )
x 2 e−3x.
3. Naći opšte rešenje diferencijalne jednačine
y ′′′ − y ′′ + y ′ − y = 2e x .
Rešenje: Opšte rešenje je
C 1 e x + C 2 cos x + C 3 sin x + xe x .
20

4. Naći opšte rešenje diferencijalne jednačine
y ′′ + y ′ =
(
x + 3 )
e x − 2x.
2
Rešenje: Opšte rešenje je
y = C 1 + C 2 e −x + 1 2 xex − x 2 + 2x.
5. Naći opšte rešenje diferencijalne jednačine
Rešenje: Opšte rešenje je
y ′′ + 3y ′ + 2y = (2x + 3) sin x + cos x.
y = C 1 e −x + C 2 e −2x +
6. Naći opšte rešenje diferencijalne jednačine
Rešenje: Opšte rešenje je
( 1
5 x + 21 ) ( 3
sin x −
25 5 25)
x + 3 cos x.
y ′′′ + y ′′ + 2y ′ − 4y = 21e x − 26 sin x.
y = C 1 e x + C 2 e −x + cos √ 3x + C 3 e −x sin √ 3x + 3xe x + cos x + 5 sin x.
21

Sistemi diferencijalnih jednačina
Sisteme rešavamo svodjenjem na diferencijalnu jednačinu višeg reda.
1. Naći opšte rešenje sistema difrencijalnih jednačina
y ′ = z − 5 cos x, z ′ = 2y + z.
Rešenje: Diferenciramo drugu pa y ′ ubacimo u prvu. Opšte rešenje
sistema je
z(x) = C 1 e −x +C 2 e 2x +3 cos x+sin x, y(x) = −C 1 e −x + C 2
2 e2x −2 sin x−cos x.
2. Naći opšte rešenje sistema difrencijalnih jednačina
d 2 y
dx + dz
2 dx + y = ex ,
dy
dx + d2 z
dx = 1. 2
Rešenje: Diferenciramo prvu pa d2 z
ubacimo u drugu. Opšte rešenje
dx 2
sistema je
y(x) = e x − x3
6 +C 1x 2 +C 2 x+C 3 , z(x) = −e x + x4
24 −C x 3
1
3 +(1−C 2) x2
2 −(2C 1+C 3 )x+C 4 .
3. Naći opšte rešenje sistema difrencijalnih jednačina
x ′′ + y ′ + 3x = e −t ,
y ′′ − 4x ′ + 3y = sin(2t).
Rešenje: Diferenciramo prvu pa izrazimo y ′′ iz druge, pa ponovo diferenciramo
i dobijamo jednačinu po funkciji x(t), čije je rešenje
x(t) = C 1 cos t + C 2 sin t + C 3 cos(3t) + C 4 sin(3t) + e−t
5 + 2 15 cos(2t).
4. Naći opšte rešenje sistema difrencijalnih jednačina
x ′ = x − y + z, y ′ = x + y − z, z ′ = 2x − y.
Rešenje: Diferenciramo prvu pa z i z ′ ubacimo u drugu i treću. Zatim
izrazimo y ′ preko x i x ′ i još jednom diferenciramo i dobijamo jednačinu
po x(t).Opšte rešenje sistema je
x(t) = C 1 e t +C 2 e −t +C 3 e 2t , y(t) = C 1 e t −3C 2 e −t , z(t) = C 1 e t −5C 2 e −t +C 3 e 2t .
22

Dvostruki integrali
D = {(x, y) | a ≤ x ≤ b, y 1 (x) ≤ y ≤ y 2 (x)}
∫ ∫
D
f(x, y) dxdydz =
∫ [ b ∫ y2 (x)
a
y 1 (x)
f(x, y) dy
]
dx =
∫ b
a
∫ y2 (x)
dx f(x, y) dy.
y 1 (x)
Zapremina tela se računa po formuli
∫ ∫
V =
D
f(x, y) dxdy,
gde je f(x, y) ≥ 0 funkcija kojom je definisana površ S čija je projekcija na ravan
Oxy oblast D i koje, zajedno sa cilindričnom površi sa strane, ograničavaju
telo.
1. Izračunati ∫ ∫
D
x 2
1 + y 2 dxdy,
gde je D = {(x, y), 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 1}.
Rešenje:
I =
∫ 2
0
∫ 1 x 2
dx
0 1 + y dy = 2π 2 3 .
2. Izračunati ∫ ∫
(x + 2y) dxdy,
D
gde je D unutršnjost trougla sa temenima u tačkama A(0, 0), B(1, 2) i
C(3, 0).
Rešenje: I = I 1 + I 2 = 8 gde su
I 1 =
∫ 1
0
∫ 2x
∫ 3 ∫ 3−x
dx (x + 2y) dy, I 2 = dx (x + 2y) dy.
0
1 0
23

3. Izračunati ∫ ∫
x 2 y 2√ 1 − x 3 − y 3 dxdy,
D
gde je D oblast definisana relacijama x ≥ 0, y ≥ 0, x 2 + y 2 ≤ 1.
Rešenje:
I =
∫ 1
0
∫ √ 3
x 2 1−x 3
dx y 2√ 1 − x 3 − y 3 dy = 4
0
135 .
4. Izračunati ∫ ∫
(xy − 2x + 3y) dxdy,
D
gde je D oblast ograničena krivim y = √ x i y = x 3 .
Rešenje:
I =
∫ 1
0
∫ √ x
dx (xy − 2x + 3y) dy = 403
x 3 1680 .
5. Izračunati ∫ ∫
(2x − 3y) dxdy,
D
gde je D unutrašnjost kruga x 2 + y 2 = 16 u I kvadrantu.
Rešenje: Polarne koordinate:
I =
∫ 4
0
x = ρ cos φ, y = ρ sin φ, J = ρ,
∫ π
2
dρ (2ρ cos φ − 3ρ sin φ)ρ dφ = − 64
0
3 .
6. Izračunati ∫ ∫
(2x − 3y + 4) dxdy,
gde je D unutrašnjost elipse x2 + y 2 = 1.
4 9
Rešenje: x = 2ρ cos φ, y = 3ρ sin φ, J = 6ρ,
I =
∫ 1
0
D
∫ 2π
dρ (2ρ cos φ − 3ρ sin φ + 4)ρ dφ = 24π.
0
24

7. Izračunati ∫ ∫
(x 2 + y 2 ) 2 dxdy,
gde je D unutrašnjost kruga x 2 + y 2 = 2y.
D
Rešenje: x = ρ cos φ, y = 1 + ρ sin φ, J = ρ,
∫ 1 ∫ 2π
I = dρ (ρ 2 + 2ρ sin φ + 1) 2 ρ dφ = 10π
0 0
3 .
8. Izračunati zapreminu tela ograničenog eliptičkim cilindrom x2
4 + y2 = 1
i ravnima z = 12 − 3x − 4y, z = 1.
Rešenje: x = 2ρ cos φ, y = ρ sin φ, J = 2ρ,
∫ 1 ∫ 2π
I = dρ (11 − 3ρ cos φ − 4ρ sin φ)2ρ dφ = 22π.
0 0
9. Izračunati zapreminu tela ograničenog površima (x − 1) 2 + y 2 = z i
2x + z = 2.
Rešenje: Eliminacijom z iz jednačina površi dobijamo x 2 + y 2 = 1.
Uvodjenjem polarnih koordinata dobijamo da je
∫ 2π ∫ 1
V = dϕ ρ(1 − ρ 2 )dρ = π
0
2 .
0
10. Izračunati zapreminu tela ograničenog kružnim cilindrom x 2 + y 2 = 2x
i ravnima z = x, z = 3x.
Rešenje: x = ρ cos φ + 1, y = ρ sin φ, J = ρ,
∫ 1 ∫ 2π
V = dρ (2 + 2ρ cos φ)ρ dρ = 2π.
0
0
11. Izračunati zapreminu tela koje ograničavaju paraboloid z = x 2 + y 2 i
ravan z = x + y.
Rešenje:Eliminacijom z i uvodjenjem smena x = X + 1 2 i y = Y + 1 2
dobijamo, uz pomoć polarnih koordinata, da je
V =
∫ √ 2
2
0
∫ 2π
dρ ( 1
0 2 − ρ2 )ρ dρ = π 8 .
25

Trostruki integrali
V = {(x, y, z) | a ≤ x ≤ b, y 1 (x) ≤ y ≤ y 2 (x), z 1 (x, y) ≤ z ≤ z 2 (x, y)}
∫ ∫ ∫
∫ [ b ∫ [
y2 (x) ∫ ] ]
z2 (x,y)
f(x, y, z) dxdydz =
f(x, y, z) dz dy dx.
a y 1 (x) z 1 (x,y)
V
Zapremina tela G se računa po formuli
∫ ∫ ∫
V =
G
dxdydz.
1. Izračunati ∫ ∫ ∫
V
x dxdydz,
gde je V oblast u prvom kvadrantu ograničena sa ravni x 2 + y 2 + z = 1.
Rešenje:
I =
∫ 2
0
∫ −
3
dx
0
2 x+3
2. Izračunati ∫ ∫ ∫
V
∫ 1−
x
2
dy
− y 3
x dz = 67
0
512 .
xy dxdydz,
gde je V oblast ograničena hiperboloičnim paraboloidom z = xy i ravnima
x + y = 1, z = 0 (z ≥ 0).
Rešenje:
I =
∫ 1
0
∫ 1−x ∫ xy
dx dy xy dz = 1
0 0 180 .
3. Izračunati ∫ ∫ ∫
(x + y − 2z + 1) dxdydz,
V
gde je V deo lopte x 2 + y 2 + z 2 ≤ 4 u prvom oktantu.
26

Rešenje: Sferne koordinate:
x = ρ sin φ cos θ, y = ρ sin φ sin θ, z = ρ cos φ, J = ρ 2 sin φ,
I =
∫ 2
0
∫ π
2
dρ dφ
0
∫ π
2
0
f(ρ, φ)ρ 2 sin φ dθ = 4π 3 .
4. Izračunati ∫ ∫ ∫
(x 2 + y 2 + z 2 ) dxdydz,
V
gde je V oblast koju ograničava elipsoid x 2 + y 2 + z2
4 = 1.
Rešenje:
x = ρ sin φ cos θ, y = ρ sin φ sin θ, z = 2ρ cos φ, J = 2ρ 2 sin φ,
I =
∫ 1
5. Izračunati ∫ ∫ ∫
0
∫ π ∫ 2π
dρ dφ f(ρ, φ)ρ 2 sin φ dθ = 16π
0 0
3 .
V
√
x 2 + y 2 dxdydz,
gde je V oblast ograničena konusom x 2 + y 2 = z 2 i sa ravni z = 1.
Rešenje: Cilindrične koordinate:
x = ρ cos φ, y = ρ sin φ, z = z, J = ρ,
I =
∫ 1
0
dz
∫ 2π
0
∫ z
dφ f(ρ, φ)ρ dρ = π
0
6 .
6. Izračunati zapreminu tela koje ograničavaju paraboloidi z = x 2 + y 2 ,
z = 2x 2 + 2y 2 , cilindrična površ y = x 2 i ravan y = x.
Rešenje:
V =
∫ 1
0
∫ x ∫ 2x 2 +2y 2
dx dy dz = 3
x 2 x 2 +y 2 35 .
27

Krivolinijski integrali prve vrste
y = y(x), x ∈ [a, b] :
∫
l
f(x, y) ds =
∫ b
x = x(t), y = y(t), t ∈ [t 0 , t 1 ] :
∫
l
f(x, y) ds =
a
∫ t1
t 0
√
f(x, y(x)) 1 + (y ′ (x)) 2 dx
√
f(x(t), y(t)) (x ′ (t)) 2 + (y ′ (t)) 2 dt
x = ρ cos φ, y = ρ sin φ, ρ = ρ(φ), φ ∈ [α, β] :
∫
l
f(x, y) ds =
∫ β
α
√
f(ρ(φ) cos φ, ρ(φ) sin φ) (ρ(φ)) 2 + (ρ ′ (φ)) 2 dφ
1. Izračunati ∫
l
x
y ds
gde je l luk parabole y 2 = 2x izmedju tačaka (2, 2) i (8, 4).
Rešenje: I = 1 6 (17√ 17 − 5 √ 5).
2. Izračunati ∫
(x 2 + y 3 ) ds
l
gde je l trougao sa temenima u tačkama A(1, 0), B(0, 1) i O(0, 0).
Rešenje: I = 7√ 2
12 + 1 4 + 1 3 = 7(√ 2+1)
12
.
3. Izračunati ∫
l
y 2 ds
gde je l luk cikloide x = 2(t − sin t), y = 2(1 − cos t), 0 ≤ t ≤ 2π.
Rešenje:
∫ 2π
I = 64 sin 5 t 2048
dt =
0 2 15 .
28

4. Izračunati ∫
l
√
x 2 + y 2 ds
gde je l kriva zadata parametarskim jednačinama x = cos t + t sin t,
y = sin t − t cos t, 0 ≤ t ≤ 2π.
Rešenje:
I =
∫ 2π
0
t √ 1 + t 2 dt = 1 3
5. Izračunati ∫
(x 2 + y 2 ) ds
gde je l krug x 2 + y 2 = ax, (a > 0).
Rešenje:
l
[
(1 + 4π 2 ) 3 2 − 1
]
.
x = ρ cos φ, y = ρ sin φ, I = a 3 ∫ π
2
− π 2
cos 2 φ dφ = πa3
2 .
29

Krivolinijski integrali druge vrste
y = y(x), x ∈ [a, b] :
∫
∫ b
P (x, y) dx + Q(x, y) dy = [P (x, y(x)) + Q(x, y(x))y ′ (x)] dx
a
l
x = x(t), y = y(t), t ∈ [t 0 , t 1 ] :
∫
l
P (x, y) dx + Q(x, y) dy =
∫ b
a
[P (x(t), y(t))x ′ (t) + Q(x(t), y(t))y ′ (t)] dt
1. Date su tačke A(3, 6), B(3, 0) i C(0, 6). Izračunati
∫
(8x + 4y + 2) dx + (8y + 2) dy
gde je l:
a) Odsečak OA.
b) Izlomljena linijia OBA.
c) Izlomljena linijia OCA.
l
d) Parabola, simetrična u odnosu na osu Oy, koja prolazi kroz O i A.
Rešenje: a) I = 234; b) I = 198; c) I = 270; d) y = 2 3 x2 , I = 222.
2. Izračunati ∫
l
y
dx + x dy
1 + x
gde je l luk krive y = 2 √ x − x u prvom kvadrantu.
Rešenje: I = 2I 1 − I 2 + I 3 = 4 − 4 arctg 2 + ln 5 gde su:
3
∫ 4
√ x
I 1 =
0 1 + x dx = 4 − 2 arctg 2, (smena √ x = t),
I 2 =
I 3 =
∫ 4
0
∫ 4
0
x
dx = 4 − ln 5,
1 + x
( √ x − x) dx = − 8 3 .
30

3. Izračunati ∫
(2a − y) dx − (a − y) dy
l
gde je l prvi svod cikloide x = a(t − sin t), y = a(1 − cos t), 0 ≤ t ≤ 2π.
Rešenje:
∫ 2π
I = a 2 (sin 2 t − sin t cos t) dt = πa 2 .
0
31

Grinova formula
∫
l
∫ ∫
P (x, y) dx + Q(x, y) dy =
D
( )
∂Q ∂P
(x, y) −
∂x ∂y (x, y) dxdy
1. Izračunati
∫
(3xy − 2x 2 ) dx + (4xy − 2y 2 ) dy
l
gde je l zatvorena kriva koja se sastoji od delova krivih y = x 3 i y = 3√ x.
Rešenje.
2. Izračunati
I =
∫ 1
0
∫ √ 3 x
dx (4y − 3x) dy = 8
x 3 35 .
∫
(x 2 − 3xy) dx + (xy + 2y 3 ) dy
l
gde je l elipsa (x − 1) 2 (y − 2)2
+ = 1.
16
Rešenje. x = 1 + ρ cos φ, y = 2 + 4ρ sin φ, J = 4ρ,
3. Izračunati
∫ 2π
I = 4
0
∫ 1
dφ (5 + 4ρ sin φ + 3ρ cos φ)ρ dρ = 20π.
0
∫
(x 2 + 2y 2 − y) dx + (2 + x − x 2 ) dy
gde je l elipsa x2
4 + y2
9 = 1. 32
l

Rešenje. x = 2ρ cos φ, y = 3ρ sin φ, J = 6ρ,
4. Izračunati
∫ 2π
I = 6
0
gde je l kriva x 2 + y 2 = 3x.
∫ 1
dφ (2 − 4ρ cos φ − 12ρ sin φ)ρ dρ = 12π.
0
∫
(xy + x + y) dx + (xy + x − y) dy
l
Rešenje. x = 3 + ρ cos φ, y = ρ sin φ, J = ρ,
2
I =
∫ 2π
0
∫ 3
2
dφ (ρ sin φ − 3 − ρ cos φ)ρ dρ = −27π
0 2 8 .
5. Izračunati
∫
l
2(x 2 + y 2 ) dx + (x + y) 2 dy
gde je l trougao sa temenima u tačkama A(1, 1), B(2, 2) i C(1, 3).
Rešenje.
6. Izračunati
∫ 2 ∫ 4−x
I = 2 dx (x − y) dy = − 4
1 x
3 .
∫
(2x − 3y) dx + (x 2 − xy) dy
l
gde je l deo krive y = √ 4 − x u prvom kvadrantu.
Rešenje.
I =
∫ 4
0
∫ √ 4−x
dx (2x − y + 3) dy − 16 = 196
0
15 .
33

Brojni redovi
Teorema 1. Neka red ∑ ∞
n=1 a n konvergira i neka je njegova suma jednaka S.
Tada red ∑ ∞
n=1 αa n konvergira i njegova suma je jednaka αS.
Teorema 2. Neka redovi ∑ ∞
n=1 a n i ∑ ∞
n=1 b n konvergiraju i neka su njihove
sume jednake S 1 i S 2 . Tada red ∑ ∞
n=1 (a n + b n ) konvergira i njegova suma je
jednaka S 1 + S 2 .
Teorema 3. Neka red ∑ ∞
n=1 a n konvergira. Tada je lim n→∞ a n = 0.
Teorema 4. Neka su ∑ ∞
n=1 a n i ∑ ∞
n=1 b n redovi sa pozitivnim članovima i neka
(∃n 0 )(∀n)n ≥ n 0 ⇒ a n ≤ b n . Tada:
1) Ako red ∑ ∞
n=1 b n konvergira tada i red ∑ ∞
n=1 a n konvergira.
2) Ako red ∑ ∞
n=1 a n divergira tada i red ∑ ∞
n=1 b n divergira.
Teorema 5. Neka su ∑ ∞
n=1 a n i ∑ ∞
n=1 b n redovi sa pozitivnim članovima i neka
je
a n
lim = c, (c ≠ 0, ±∞).
n→∞ b n
Tada:
1) Red ∑ ∞
n=1 a n konvergira ako i samo ako red ∑ ∞
n=1 b n konvergira.
2) Red ∑ ∞
n=1 a n divergira ako i samo ako red ∑ ∞
n=1 b n divergira.
Teorema 6 (Dalamberov kriterijum). Neka je ∑ ∞
n=1 a n red sa pozitivnim
članovima i neka je
a n+1
lim = l.
n→∞ a n
Tada:
1) Ako je l > 1 tada red ∑ ∞
n=1 a n divergira.
2) Ako je l < 1 tada red ∑ ∞
n=1 a n konvergira.
3) Ako je l = 1 tada se za red ∑ ∞
n=1 a n ne može tvrditi ni da konvergira ni da
divergira.
34

Teorema 7 (Košijev kriterijum). Neka je ∑ ∞
n=1 a n red sa pozitivnim
članovima i neka je
n√
an = l.
lim
n→∞
Tada:
1) Ako je l > 1 tada red ∑ ∞
n=1 a n divergira.
2) Ako je l < 1 tada red ∑ ∞
n=1 a n konvergira.
3) Ako je l = 1 tada se za red ∑ ∞
n=1 a n ne može tvrditi ni da konvergira ni da
divergira.
Teorema 8 (Integralni kriterijum). Neka je ∑ ∞
n=1 a n red sa pozitivnim
članovima za koji postoji pozitivna, neprekidna i monotono-opadajuća funkcija,
definisana na intervalu [1, ∞), takva da je f(n) = a n , n = 1, 2, . . . . Tada:
1) Red ∑ ∞
n=1 a n konvergira ako i samo ako integral ∫ ∞
1 f(x) dx konvergira.
2) Red ∑ ∞
n=1 a n divergira ako i samo ako integral ∫ ∞
1 f(x) dx divergira.
1. Naći lim n→∞ S n za sledeće redove i ispitati konvergenciju:
a)
1 + 2 + 3 . . . + n + . . . .
b)
1
1 · 2 + 1
2 · 3 + . . . + 1
n · (n + 1) + . . . .
Rešenje: a) S = ∞; b) S = 1.
2. Naći lim n→∞ a n za sledeće redove:
a)
∞∑
n=1
n + 1
2n + 1 .
b)
c)
∞∑
n=1
∞∑
n=1
n + 2
ln(n + 1) .
n 2
n 3 + 2 .
35

Rešenje: a) lim n→∞ a n = 1 2 ; b) lim n→∞ a n = ∞; c) lim n→∞ a n = 0.
3. Ispitati konvergenciju sledećih redova:
a)
∞∑
n=1
2 + sin n
.
n
b)
c)
∞∑
n=1
arctg n + 1
n 2 .
∞∑
n=1
5 n + 1
2 n .
Rešenje: Primenjujemo teoremu 4: a) 2+sin n ≥ 1 pa red divergira. b)
n n
arctg n+1
≤ π n 2 2 +1
pa red konvergira. c) 5n +1
≥ 5n pa red divergira.
n 2 2 n 2 n
4. Ispitati konvergenciju sledećih redova:
a)
∞∑
n=1
n + 2
n 2 + n + 1 .
b)
c)
∞∑
n=1
n √ n + 2
√
n6 + 2n − 2 .
∞∑
n=1
√ n +
3 √ n
n + 3√ n 5 .
Rešenje: Primenjujemo teoremu 5: a) Podelimo opšti član sa 1 pa n
dobijamo da red divergira. b) Podelimo opšti član sa 1 pa dobijamo
da red konvergira. c) Podelimo opšti član sa 1
divergira.
n 7 6
n 5 2
pa dobijamo da red
36

5. Ispitati konvergenciju sledećih redova:
a)
∞∑
n=1
n 5
3 n+1 .
b)
c)
d)
∞∑
n=1
∞∑
n=1
∞∑
n=1
n n
n! .
3 n
n! .
n 3
3 n .
a
Rešenje: Primenjujemo teoremu 6: a) lim n+1
n→∞ a n
= 1 pa red konvergira.
b) lim n+1
a
3
a
n→∞ a n
= e pa red divergira. c) lim n+1
n→∞ a n
= 0 pa red
a
konvergira. d) lim n+1
n→∞ a n
= 1 pa red konvergira.
3
6. Ispitati konvergenciju sledećih redova:
a)
∞∑
n=1
( ) n + 2 3n+1
.
2n + 1
b)
c)
∞∑
n=1
∞∑
n=1
( ) n − 1 n(n−1)
.
n + 1
(
n 1 − 1 ) n 2
.
n
Rešenje: Primenjujemo teoremu 7: a) lim √ n n→∞ a n = 1 pa red konvergira.
b) lim √ n n→∞ a n = 1 pa red konvergira. c) lim √ e 2
n n→∞ a n = 1 pa e
8
red konvergira.
37

7. Ispitati konvergenciju sledećih redova:
a)
∞∑
n=2
1
n ln n .
b)
c)
∞∑
n=1
∞∑
n=2
1
n √ ln n .
1
(n + 1) ln 2 (n + 1) .
Rešenje: Primenjujemo teoremu 8: a) ∫ ∞
2 f(x) dx = ∞ pa red divergira.
b) ∫ ∞
2 f(x) dx = ∞ pa red divergira. c) ∫ ∞
1 f(x) dx = 1 pa red
ln 2
konvergira.
38

Alternativni redovi
Teorema 1. Neka je:
1) a n > a n+1 ,
2) lim n→∞ a n = 0. Tada red ∑ ∞
n=1 (−1) n a n konvergira.
Teorema 2. Ako red ∑ ∞
n=1 |a n | konvergira tada i red ∑ ∞
n=1 (−1) n a n konvergira.
1. Ispitati konvergenciju reda:
∞∑
(−1) n 1
n=1
2 √ n − 1 .
Rešenje: Lako je videti da uslovi 1) i 2) iz teoreme 1 važe i alternativni
red konvergira. Pored toga red ∑ ∞ 1
n=1 2 √ divergira, jer je
n−1
1
2 √ n − 1 > 1
2 √ n ,
pa primenjujemo teoremu 4. Prema tome red ∑ ∞
n=1 (−1) n 1
2 √ n−1 uslovno
konvergira.
2. Ispitati konvergenciju reda:
∞∑
(−1) n+1 1
n=1
2n − ln n .
Rešenje: Uslovi 1) i 2) iz teoreme 1 važe pa alternativni red konvergira.
Primenimo teoremu 5 za ispitivanje apsolutne konvergencije. Kada
podelimo a n sa 1 , dobijamo da red ne konvergira apsolutno pa imamo
n
da alternativni red uslovno konvergira.
39

Stepeni redovi
Oblast konvergencije stepenog reda je interval (−R, R) gde je
∣ ∣ ∣∣∣∣ a ∣∣∣∣ n
1
R = lim ili R = lim
n→∞ a n→∞
√ .
n+1 an
1. Naći poluprečnik konvergencije sledećih stepenih redova i ispitati konvergenciju
u krajevima intervala.
a)
∞∑
n=1
n! · (x − 3) n−1
2 n+1 .
b)
c)
d)
∞∑
n=1
∞∑
n=1
∞∑
n=2
3 n−1 · (x + 1) n
n n .
(x − 2) n+1
3 n · (n + 2) .
(x + 5) n
3 n+1 · n ln 3 n .
Rešenje: a) R = 0. b) R = ∞. c) R = 3. Za x = −1 red konvergira po
teoremi 1 (za alternativne redove). Za x = 5 red divergira po teoremi
5 (podelimo a n sa 1 ). d) R = 3. Za x = −8 red apsolutno konvergira
n
po teoremi 8 pa zaključujemo da konvergira. Za x = −2 red konvergira
po teoremi 8.
40

Tejlorov i Maklorenov red
Tejlorova formula:
f(x) = f(x 0 ) + f ′ (x 0 )
1!
Maklorenova formula:
(x − x 0 ) + f ′′ (x 0 )
2!
f(x) = f(0) + f ′ (0)
1!
x + f ′′ (0)
2!
Maklorenov red nekih funkcija:
x ∈ (−∞, +∞):
x ∈ (−∞, +∞):
(x − x 0 ) 2 + . . . + f (n) (x 0 )
(x − x 0 ) n + . . .
n!
x 2 + . . . + f (n) (0)
x n + . . .
n!
e x = 1 + x 1! + x2
2! + . . . + xn
n! + . . . = ∞ ∑
n=0
n=1
x n
n! .
x 2n−1
sin x = x − x3
3! + x5
5! + . . . + x 2n−1
∞
(−1)n−1 (2n − 1)! + . . . = ∑
(−1) n−1
(2n − 1)! .
x ∈ (−∞, +∞):
x ∈ (−1, 1]:
cos x = 1 − x2
2! + x4
x2n
∞
+ . . . + (−1)n
4! (2n)! + . . . = ∑
(−1) n x2n
(2n)! .
ln(1 + x) = x − x2
2 + x3
xn
+ . . . + (−1)n−1
3
n=0
n + . . . = ∞ ∑
n=1
n−1 xn
(−1)
n .
41

x ∈ [−1, 1] za m > 0; x ∈ (−1, 1] za −1 < m < 0; x ∈ (−1, 1) za m ≤ 1:
(1 + x) m =
m(m − 1)
1 + mx + x 2 m(m − 1) . . . (m − n + 1)
+ . . . + x n + . . . =
2!
n!
∞∑ m(m − 1) . . . (m − n + 1)
1 +
x n .
n!
n=1
1. Funkciju e −x2 razviti u Maklorenov red.
Rešenje:
e −x2 = 1 − x2
1! + x4
2! − x6
3! .
2. Funkcije a) f(x) = arctg x; b) f(x) = 1 razviti u Maklorenov red.
(1−x) 2
Rešenje: Naci im izvode, razviti ih u red a zatim integraliti član po
član. a) f(x) = ∑ ∞
n=0 (−1) n x2n+1 b)f(x) = ∑ ∞
(2n+1)! n=1 nx n−1 .
3. Naći
Rešenje: 2.
lim
x→0
2e x − 2 − 2x − x 2
.
x − sin x
4. Naći
Rešenje: 1 6 .
5. Naći
sin x − arctg x
lim
.
x→0 x 3
3 arctg x − 3 tg x + 2x 3
lim
.
x→0 x 5
Rešenje: 2; tg x = x + x3
3 + 2x5
15 . 42