Wyklad 5.pdf - CMF

Matematyczny opis drgań
Tworzenie i rozwiązywanie równań
ruchu

Potrzebne narzędzia matematyczne
•Pochodna funkcji sinus i cosinus
•Funkcja wykładnicza i jej pochodna
•Co to są liczby zespolone
•Powiązanie funkcji wykładniczej z sin i cos
poprzez wzór Eulera
•Co to jest równanie różniczkowe
2

Pochodna funkcji sinus i cosinus
Skorzystaj z :
sin
sin x
sin
0
x x
2sin cos
2 2
Zapamiętaj :
(sin x)
(cos x)
[exp(x)]
cos x
sin x
exp(x)
Pochodna funkcji złożonej jest iloczynem…
3

Co to są liczby zespolone
4

Wzór Eulera
Richard Feynman: „the most remarkable
exp( i)
1
0
formula in mathematics”
5

Konstrukcja równań ruchu (różniczkowych)
dla wybranych przypadków
•Klocek na sprężynie (w poziomie i w pionie)
•Klocek na powierzchni wody
1. Wybierz oś, względem której określane będzie położenie
2. Ustal jakie siły działają na klocek, które z nich uwzględnisz, a które zaniedbasz.
Jakimi wzorami są określone i jak zależą od położenia?
3. Napisz równanie ruchu
4. Zaproponuj rozwiązanie
5. Korzystając z warunków początkowych wyznacz wartości stałych ,
które pojawiły się w proponowanym rozwiązaniu. Czy potrafisz uzasadnić
jaki jest sens fizyczny tych stałych?
Zajrzyj tu:
Albo na przykład tu: materiały z AGH
6

Drgania ładunku wymuszone polem
elektrycznym
Kierunek
propagacji
Pole oscylującego ładunku
Vibrating Charges and
Electromagnetic Waves
7

Rozwiązanie równania oscylatora
elektronowego (z tłumieniem)
x 2x
2
o
x
0
Przewidywane rozwiązanie
x=exp(t)
Liczymy pochodne, podstawiamy i stąd:
i
2 2
o
( )
Rozwiązanie ogólne:
X(t)
C
exp (
i
2
o
( )
2
)t
C
exp (
i
2
o
( )
2
) t
Zakładamy, że C +=C - =C (dlaczego?) i:
t
X Cexp[ t]cos
t 2
2
2
1
0
1
8

2
Wymuszony oscylator elektronowy
(przypadek nieliniowy)
d r d r 2 2
2
0r
r
2
dt dt
e
m
E
r r1 r2
...
r a
k
k
E
k
Rozwiązanie
metodą
iteracyjną:
d
dt
d
2
2
dt
r
1
2
r
2
2
2
2
d r
dt
d r
1
dt
2
2
0
2
0
r
1
r
2
r
e
m
2
1
E
9

Rozwiązanie z użyciem liczb zespolonych
(gdy widmo pola wymuszającego ma 2 częstotliwości)
E
E(
1
)e
i
1 t i1t
i2t
e i
E ( 1
)e E( 2)e
E ( 2)
2
t
Umowa:
E
E
m
)
10
(
m m
m
)
E(
m
E(
m
)e
i
m
t

nie jest trudne!
m
t
i
m
1m
1
m
)e
E(
a
r
m
t
i
m
m
1m
1 m
)e
E(
a
i
dt
d r
m
t
i
m
2
m
1m
2
1
2
m
)e
E(
a
dt
r
d
11

Rozwiązanie wyjściowe...
r
1
e
m
m
E(
2
0
m
)e
2i
m
i
m
t
2
m
Szukamy
pierwszej
poprawki czyli r 2 :
d
2
dt
r
2
2
2
d r
dt
2
2
0
r
2
r
2
1
2
1
r
mn
a
1m
a
1n
E(
)E(
2
2
2
2
2i
2i
0
m
m
n
)exp
m
i
0
m
n
n
t
n
12

i pierwsza poprawka (kwadratowa)
r2 a2mnE(
m)E(
n
)exp i m
n
t
mn
r
2
e
2
m
2
mn
E(
m
)E(
n
F(
0
) exp
,
m
i
,
n
m
, )
n
t
F( , , , )
2i
0 m n
0
2
m
2
m
2
2 2
2i
2
0 n n 0
i
m
n
m
n
13
2

Konsekwencje: generacja II harmonicznej,
mieszanie częstotliwości… czyli efekty nieliniowe
r
2
e
2
m
2
mn
E(
m
)E(
n
F(
0
) exp
,
m
i
,
n
m
, )
n
t
14