Geometrijski niz - Alas

Geometrijski niz
Jelena Paunović, Vesna Timotijević, Mladen Zekić
Novembar 2006.
1 Uvod
Pre više stotina godina u Indiji je živeo kralj Širham koji je voleo da
igra igre, ali se zasitio starih igara i hteo je nešto sa više izazova. Zatražio
je od siromašnog matematičara Sete ben Dahira, koji je živeo u njegovom
kraljevstvu, da mu izmisli novu igru. Ta nova igra zvala se šah. Kralj
se toliko oduševio da je matematičaru za nagradu ponudio šta god poželi.
”Želeo bih da mi na prvo polje šahovske table date jedno zrno pšenice, na
drugo dva, na treće četiri, i na svako sledeće polje duplo više zrna pšenice
nego na prethodnom polju”, rekao je ”skromni” matematičar. Kralja je ovaj
odgovor uvredio, ali je ipak naredio svojim slugama da matematičaru daju
traženu nagradu. Ubrzo je shvatio da u čitavoj Indiji nema dovoljno pšenice
da se popune sva polja šahovske table.
Broj zrna pšenice nije ništa drugo nego suma prvih 64 člana geometrijske
progresije, početnog člana 1 i količnika 2 i ona iznosi 18 446 744 073 709
551 615 (18 kvadriliona 446 triliona 744 biliona 73 milijarde 709 miliona 551
hiljada 615).
2 Osnovni pojmovi
Definicija 1. Niz kod koga se svaki član, počevši od drugog, dobija iz prethodnog
množenjem jednim istim brojem q, q ≠ 0, naziva se geometrijskim nizom(geometrijskom
progresijom). Broj q je količnik tog geometrijskog niza.
Svaki član geometrijskog niza predstavlja geometrijsku sredinu susedna
dva člana, zbog čega se i zove tako.
Ako pretpostavimo da je u geometrijskom nizu prvi član b 1 ≠ 0 tada
su svi članovi tog niza različiti od 0 i tada važi da je količnik svaka dva
uzastopna člana niza konstantan:
b n+1
b n
= qb n
b n
= q, n = 1, 2, 3, ...
Opšti član geometrijskog niza može se izraziti u funkciji prvog člana i
količnika.
1

Teorema 1. U geometrijskom nizu (b n ) sa prvim članom b 1 i količnikom q,
za sve prirodne brojeve n važi :
b n = b 1 · q n−1
Dokaz. Dokaz se izvodi primenom matematičke indukcije. Za n = 1
imamo b 1 = b 1·q 0 , pa je tvrdjenje tačno. Pretpostavimo da važi b n = b 1·q n−1
za neki prirodan broj n. Tada imamo:
b n+1 = b n · q = b 1 · q n−1 · q = b 1 · q n ,
pa je tvrdjenje tačno i za n+1, što znači da je na osnovu principa matematičke
indukcije ono tačno za sve prirodne brojeve.
U mnogim zadacima, pogotovo u primenama matematike, javlja se potreba
da se izračuna zbir prvih n članova geometrijskog niza.
Teorema 2. Zbir prvih n članova geometrijskog niza (b n ) čiji je količnik
q ≠ 0 iznosi
S n = b 1
q n − 1
q − 1
Dokaz. Kako je b 1 q = b 2 , b 2 q = b 3 ,...,b n q = b n+1 , sledi da je
S n q = b 1 q + b 2 q + ... + b n q = b 2 + b 3 + ... + b n+1 .
Kada od ove jednakosti oduzmemo traženi zbir S n = b 1 + b 2 + ... + b n ,
dobijemo
S n q − S n = b n+1 − b 1 = b 1 q n − b 1 ,
odnosno
S n (q − 1) = b 1 (q n − 1),
odakle sledi istinitost tvrdjenja.
Lako se može pokazati da važe sledeća tvrdjenja: Niz je opadajući kada
je a 1 > 0 i q ∈ (0, 1) ili kada je a 1 < 0, a q > 1. Niz je rastući kada je a 1 > 0
i q > 1 ili kada je a 1 < 0, a q ∈ (0, 1).
Zadatak 1. Izračunati sumu: S = 1 + 2q + 3q 2 + ... + (n + 1)q n .
Rešenje. Datu sumu možemo napisati na sledeći način:
S = S 1 + S 2 + ... + S n+1 ,
gde je S 1 = 1 + q + ... + q n , S 2 = q + q 2 + ... + q n ,..., S n = q n . Očigledno
izrazi S 1 , S 2 ,..., S n+1 predstavljaju geometrijske nizove, pa možemo izračunati
sumu svakog od njih:
S 1 = 1 − qn+1
, S 2 = q 1 − qn
1 − q 1 − q , ..., S n+1 = q n 1 − q
1 − q .
2

Sada dobijamo:
S = 1 − qn+1
+q 1 − qn 1 − q
1 − q 1 − q +...+qn 1 − q = 1
1 − q [(1+q+...+qn )−(n+1)q n+1 ],
odnosno:
S = 1 [ ]
1 − q
n+1
− (n + 1)q n+1 .
1 − q 1 − q
Drugi način. Posmatrajmo funkciju:
Tada je njen izvod:
f(q) = q + q 2 + ... + q n+1 .
f ′ (q) = 1 + 2q + 3q 2 + ... + (n + 1)q n ,
a to je upravo vrednost koju mi tražimo. Funkcija f(q) iznosi
f(q) = q 1 − qn+1
,
1 − q
pa je naše rešenje izvod ovog izraza. Lako se dobija:
f ′ = 1 [ ]
1 − q
n+1
− (n + 1)q n+1 .
1 − q 1 − q
3 Primene geometrijskog niza u ekonomiji
Jednu od najčešćih primena geometrijskog niza pronalazimo u ekonomiji,
prvenstveno kod složenog kamatnog računa. Novac stavljen u banku nazvaćemo
glavnica (C), godišnju kamatnu stopu ćemo obeležiti sa p, a iznos kamate
sa I. Godišnji iznos kamate je I = C·p
C·p
100
, a nakon n godina iznosiće I = n
100 .
Glavnica C na kraju n-te godine iznosi
C + I = C + n Cp pn
= C(1 +
100 100 )
Kod povoljnijeg načina štednje, s jednokratnom uplatom, računaju se ”kamate
na kamatu”. Posle godinu dana glavnica iznosi
C 1 = C + Cp
100 = C(1 + p
100 ).
Na kraju druge godine će se računati kamata na početni iznos C 1 .
C 2 = C 1 + C 1p
100 = C 1(1 + p
100 ) = C(1 + p
100 )2
3

Nakon n godina C n = C(1 +
p
100 )n , q = 1 + p
100
, q je dekurzivni kamatni
faktor, C n = Cq n . Svote C, C 1 , C 2 , ..., C n čine konačni geometrijski niz i
C n ≠ C(1 + p
100 )n−1 kao što treba biti za n-ti član geometrijskog niza jer C n
nije n-ti član ovog niza već n + 1 jer prvi član C nije indeksiran brojem 1,
tek je drugi označen sa C 1 .
Ako bi se kamata izračunavala dva puta godišnje po godišnjoj stopi p, onda
je posle drugog obračuna:
C 2 = C(1 +
p
2
100 )2 .
Ako se obračunava svakog meseca, na kraju godine će iznositi:
C 12 = C(1 +
p
12 · 100 )12 .
Ako se kamatna stopa u toku vremena promeni, izračuna se prvi deo i to
predstavlja glavnicu za naredno obračunavanje.
Još jednu primenu geometrijskog niza nalazimo kod računanja sadašnje
vrednosti P V (Present Value) toka gotovog novca CF (Cash Flow). Tok
gotovog novca predstavlja iznose koi su primljeni ili potrošeni u toku nekog
vremenskog perioda. Sadašnja vrednost novca je njegov trenutni iznos u
odnosu na buduću vrednost posle n perioda, uz kamatnu stopu p. Razlikujemo
dve vrste sadašnje vrednosti: sadašnja vrednost uloženog novca i
sadašnja vrednost toka gotovog novca. U prvom slučaju P V nam govori koliko
budući iznos vredi sada. Jedna zanimljiva upotreba ovog slučaja može
biti da odredimo koliko zaista vredi dobitak na lutriji. Na primer, državna
lutrija Kalifornije je objavila nagradu na lutriji od $1 milion. Medjutim,
ovo nije stvarna vrednost nagrade. Zapravo, vlada Kalifornije je obećala
da plaća $50 000 godišnje u narednih dvadeset godina. Ako je odbitak po
godišnjem iznosu 10%, i ako se prvi deo nagrade primi odmah, onda sadašnja
vrednost nagrade na lutriji iznosi samo $468 246.
U drugom slučaju (sadašnja vrednost toka gotovog novca), P V predstavlja
trenutni utrošak novca koji je ulagan tokom vremena. Sadašnja
vrednost toka gotovog novca može se predstaviti formulom:
C −
a
1 + p − a
(1 + p) 2 − ... − a
(1 + p) n = 0
iz čega sledi
C = a qn − 1
q n (q − 1) ,
a = C qn (q − 1)
q n − 1 ,
4

p
gde je q = 1 +
100
. Navedimo jedan primer. Neki poljoprivrednik želi da
uloži 10000 evra da zasadi vinograd, koji će mu godišnje donositi prihod od
vina 1000 evra. Pitanje je da li će poljoprivrednik posle pet godina imati
veći prihod od vina nego da je početni kapital (10000) evra stavio u banku
koja daje kamatu 2%. Posmatrajmo tok gotovog novca. On izgleda:
CF = (−10000, 2500, 2500, 2500, 2500, 2500).
Zatim izračunajmo njegovu sadašnju vrednost:
P V (CF ) = −10000 + 2500
1, 02 + 2500
1, 02 2 + 2500
1, 02 3 + 2500
1, 02 4 + 2500
1, 02 5 ,
odakle za PV dobijamo pozitivan broj (približno 700 evra), pa zaključujemo
da je ova investicija povoljna.
Sadašnja vrednost toka gotovog novca je povezana i sa kreditima. Kredit
se vraća otplatama koje se nazivaju anuiteti (jer su nekada po pravilu bile
godišnje) i pretpostavlja se da su jednaki. Anuitet (a) se sastoji iz otplatne
kvote (stvarni iznos za koji se umanjuje glavnica) i složene kamate. Ako
kredit vraćamo n godina, pod pretpostavkom da su anuiteti jednaki, posle
tih n godina bićemo na nuli, što znači da će sadašnja vrednost toka gotovog
novca biti jednaka nuli.
Zadatak 2. Osoba X ulaže svake godine u penzioni fond 1000 evra i to 35
godina uz kamatu p=5% na godišnjem nivou, a zatim, po isteku 35 godina
prima 20 godina penziju po a evra godišnje uz istu kamatnu stopu. Koliko
iznosi a?
Rešenje. Tok gotovog novca u ovom slučaju izgleda ovako:
CF = (−1000, −1000, ..., −1000, a, a, ..., a),
gde se a pojavljuje dvadeset puta, a -1000 trideset pet. Pošto sada znamo
da je P V = 0, imamo:
−1000 − 1000
1 + 5
100
1000
− ... −
1 + ( + a
5
100 )34 1 + ( + ... + a
= 0,
5
100 )35 1 + ( 5 )54
gde smo pretpostavili je prva penzija primljena sledeće godine, po ulaganju
poslednje rate u penzioni fond. Primenom formule za sumu geometrijskog
niza dobija se da je tražena vrednost penzije a ≈ 4813.
4 Zenonovi paradoksi; Beskonačni geometrijski niz
Zenon(490-430 p.n.e.) bio je predsokratovski grčki filozof, koji je pripadao
elejskoj školi. Poznat je po svojim paradoksima:
100
5

1. Dihotomija. Kretanje je nemoguće jer ”ono što je u pokretu mora
prvo preći pola puta pre nego što stigne do cilja”. Ako neko telo treba
da predje putanju od tačke A do tačke B, onda ono mora da predje i
tačku B 1 koja se nalazi na sredini te putanje. Takodje, ono mora da
predje i polovinu rastojanja AB 1 . Odavde zaključujemo da je kretanje
nemoguće jer svako rastojanje ima svoju polovinu, tj. svaka polovina
ima svoju polovinu.
2. Ahil i kornjača. ”U trci, najbrži trkač nikada ne može prestići
najsporijeg, zato što gonitelj prvo mora doći do tačke odakle je gonjeni
pošao, pa prema tome najsporiji uvek ima prednost.” Zamislimo da
Ahil trči protiv kornjače. Ahil se nalazi u tački A, a kornjača u tački
K, na odredjenom rastojanju ispred njega (data joj je prednost). Ahil
trči x puta brže, ali kada on stigne do tačke K, kornjača će se za
neko rastojanje pomeriti u tačku K 1 . Kada Ahil stigne u tačku K 1 ,
kornjača će se odmaći od njega u neku tačku K 2 , i tako redom. Odatle
zaključujemo da će kornjača uvek imati prednost nad Ahilom, nebitno
koliko mala ona bila, to jest da Ahil nikada neće stići kornjaču.
Objašnjenje za ove paradokse dao je Arhimed, pre 212. godine p.n.e,
korišćenjem beskonačnog geometrijskog niza.
Beskonačni geometrijski niz konvergira ako i samo ako je apsolutna vrednost
količnika njegovih susednih članova manja od 1. U tom slučaju se može
izračunati suma tog niza i ona ima konačnu vrednost.
∞∑
aq k = lim
k=0
n∑
n→∞
k=0
aq k a(1 − q n+1 )
= lim
= a
n→∞ 1 − q 1 − q ,
gde je a početni član niza, a q količnik (0 < q < 1). U slučaju da ova suma
ne počinje od nule, nego od nekog broja m, formula dobija sledeći oblik:
∞∑
k=m
aq k = aqm
1 − q .
Objašnjenja za Zenonove paradokse su sledeća:
1. Dihotomija. Potrebno je primetiti da kao što se udaljenost
smanjuje, vreme potrebno da se predje ta udaljenost, takodje se smanjuje.
Takav pristup rešavanju paradoksa dovodi do demanta
tvrdjenja da je potrebno beskonačno mnogo vremena da se predje
konačna udaljenost. Arhimed je razvio metod da izvede konačni odgovor
za beskonačno mnogo članova koji postaju progresivno manji. Ove
metode dozvoljavaju konstrukciju rešenja koje kažu da (pod normalnim
uslovima) ako se udaljenosti stalno smanjuju, vreme je konačno.
Ta rešenja su u stvari geometrijski nizovi.
6

2. Ahil i kornjača. U slučaju Ahila i kornjače zamislimo da kornjača koja
se kreće konstantnom brzinom v, ima prednost od d metara. Ahil trči
brzinom xv i da bi došao do tačke K 1 treba mu
d
xv
vremena, dok
d
kornjača za to vreme prelazi
x . Da bi dostigao kornjaču, Ahilu je
potrebno
d
v
∞∑
( ) 1 n
=
x
n=0
d
v(x − 1) .
Kako je ovo konačna vrednost, zaključujemo da će Ahil dostići
kornjaču.
Formula za sumu geometrijskog niza važi i kada je njegov količnik kompleksni
broj. Ova činjenica se koristi zajedno sa Ojlerovom formulom
e ix = cosx+isinx da se izračunaju neke komplikovanije sume, kao na primer:
∞∑
k=0
sin kx
r k
[
= 1 ∑ ∞ ( ) e
ix k ∞∑
( ) e
−ix k
]
−
.
2i r
r
k=0
Jasno je sada da izraz na desnoj strani jednakosti predstavlja razliku dva
beskonačna geometrijska niza, pa stoga upotrebom formule za sumu dobijamo:
∞∑
k=0
sin kx
r k
= 1 2i
[
1
1 − eix
r
gde smo koristili da je sin x = eix −e −ix
2i
−
1
1 − e−ix
r
]
k=0
=
i cos x = eix +e −ix
2
.
r sin(x)
1 + r 2 − 2r cos x ,
7