Linie siÅ pola elektrycznego
Linie siÅ pola elektrycznego
Linie siÅ pola elektrycznego
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
Wykład 5<br />
5.6.1 <strong>Linie</strong> sił <strong>pola</strong> <strong>elektrycznego</strong><br />
Pamiętamy, że we wzorze (5.1) określiliśmy natężenie <strong>pola</strong><br />
<strong>elektrycznego</strong> przy pomocy ładunku próbnego q 0 , którego<br />
wielkość dążyła do zera. Robiliśmy to po to, aby uniknąć<br />
wpływu ładunku próbnego na pole elektryczne.<br />
Pochodzące od ładunku Q pole elektryczne w punkcie o<br />
współrzędnych r jest zdefiniowane przez równanie:<br />
r r Q r<br />
E ( ) = k<br />
3<br />
(5.3)<br />
r<br />
Wprowadzenie nowego ładunku, spowoduje zmianę <strong>pola</strong><br />
przez zmianę położenia pierwotnych ładunków.<br />
Reinhard Kulessa 1
Tym nowym polem musimy posłużyć się przy liczeniu siły<br />
działającej na nowy ładunek.<br />
Pole elektryczne jest lokalną własnością każdego punktu układu.<br />
Znajomość <strong>pola</strong> w jakimś obszarze pozwala przewidzieć<br />
zachowanie się dowolnych ładunków w tym obszarze, przy czym<br />
znajomość źródeł <strong>pola</strong> jest nam niepotrzebna.<br />
Z drugiej strony dokładne wyznaczenie w każdym punkcie<br />
wartości <strong>pola</strong>, pozwala podać wartości i położenia ładunków<br />
stanowiących źródła <strong>pola</strong>.<br />
Jednym ze sposobów graficznego przedstawienia <strong>pola</strong><br />
<strong>elektrycznego</strong> jest wyrysowanie linii <strong>pola</strong>. Są to linie, które<br />
w każdym punkcie są styczne do kierunku <strong>pola</strong>. Po nich<br />
poruszałby się nie zakłócający <strong>pola</strong> dodatni ładunek próbny.<br />
Pola pochodzące od pojedynczych ładunków przedstawione<br />
są na następnym rysunku.<br />
Reinhard Kulessa 2
<strong>Linie</strong> sił <strong>pola</strong><br />
dla<br />
ładunków<br />
pojedynczych.<br />
<strong>Linie</strong> sił <strong>pola</strong> dla<br />
dwóch ładunków o<br />
przeciwnych znakach.<br />
Układ taki nazywamy<br />
dipolem.<br />
Reinhard Kulessa 3
<strong>Linie</strong> sił <strong>pola</strong> dla dwóch<br />
równych ładunków<br />
dodatnich<br />
Dla dwóch równych<br />
ujemnych ładunków<br />
zwrot linii sił będzie<br />
przeciwny.<br />
Należy podkreślić, że liczba linii natężenia <strong>pola</strong> <strong>elektrycznego</strong><br />
przypadających na jednostkę powierzchni informuje nas o<br />
wielkości natężenia <strong>pola</strong> <strong>elektrycznego</strong>.<br />
Porównanie linii sił <strong>pola</strong> <strong>elektrycznego</strong> dla dwóch jednakowych,<br />
oraz dwóch przeciwnych ładunków przedstawione jest<br />
następnych rysunkach.<br />
Reinhard Kulessa 4
E=0<br />
W połowie linii łączącej dwa jednakowe ładunki o jednakowych<br />
znakach natężenie <strong>pola</strong> <strong>elektrycznego</strong> jest równe zero.<br />
Reinhard Kulessa 5
-<br />
+<br />
Reinhard Kulessa 6
<strong>Linie</strong> ekwipotencjalne<br />
Reinhard Kulessa 7
<strong>Linie</strong> ekwipotencjalne + różnicowanie kolorem<br />
Reinhard Kulessa 8
Wektory natężenia <strong>pola</strong> <strong>elektrycznego</strong> dla dwóch ujemnych<br />
konturów<br />
Reinhard Kulessa 9
Kontury ekwipotencjalne<br />
Reinhard Kulessa 10
Kontury ekwipotencjalne+ efekt kolorów<br />
Reinhard Kulessa 11
5.6.2 <strong>Linie</strong> ekwipotencjalne<br />
Potencjał najlepiej jest przedstawić w postaci linii lub<br />
powierzchni ekwipotencjalnych,<br />
V(x,y,z) = const<br />
r .<br />
Można je łatwo znaleźć z zależności .<br />
E = −grad<br />
V<br />
<strong>Linie</strong> sił <strong>pola</strong> <strong>elektrycznego</strong> są prostopadłe do linii lub<br />
powierzchni ekwipotencjalnych.<br />
Na linii ekwipotencjalnej V = const, czyli dV = 0.<br />
Reinhard Kulessa 12
Rozmieszczenie linii natężenia <strong>pola</strong> <strong>elektrycznego</strong> względem<br />
linii ekwipotencjalnych dla dwóch różnego znaku ładunków,<br />
przedstawia poniższy rysunek.<br />
Reinhard Kulessa 13
Przedstawiona tu prosta<br />
animacja pokazuje, że okręgi<br />
współśrodkowe z ładunkiem są<br />
liniami ekwipotencjalnymi.<br />
Z faktu, że natężenie <strong>pola</strong> <strong>elektrycznego</strong> E jest prostopadłe do<br />
powierzchni ekwipotencjalnych wynika, że<br />
powierzchnie przewodników są powierzchniami<br />
ekwipotencjonalnymi.<br />
Reinhard Kulessa 14
5.7 Natężenie i potencjał <strong>pola</strong> dla zadanych<br />
rozkładów ładunków<br />
5.7.1 Przewodząca kula naładowana ładunkiem Q<br />
E=0<br />
V=const<br />
R<br />
σ<br />
σ =<br />
Q<br />
4πr<br />
= const<br />
2<br />
r<br />
dA<br />
E<br />
Zgodnie z prawem Gaussa<br />
∫<br />
r<br />
E<br />
A<br />
⋅<br />
r<br />
d A<br />
4π<br />
r<br />
Reinhard Kulessa 15<br />
=<br />
E<br />
2<br />
=<br />
Q<br />
ε<br />
0
Natężenie <strong>pola</strong> <strong>elektrycznego</strong> w odległości r od kuli<br />
przewodzącej o promieniu R i gęstości powierzchniowej<br />
ładunku równej σ jest równe,<br />
r<br />
E<br />
Q r σ<br />
=<br />
3<br />
4πε<br />
r ε<br />
0<br />
0<br />
R<br />
r<br />
= (5.17)<br />
2<br />
3<br />
r<br />
W oparciu o zależność pomiędzy natężeniem <strong>pola</strong> <strong>elektrycznego</strong><br />
a potencjałem (r. (5.11a) ), otrzymamy na potencjał na zewnątrz<br />
oraz wewnątrz naładowanej przewodzącej kuli następujące<br />
wyrażenia:<br />
V<br />
Q dr Q<br />
= ∫ ∞ =<br />
4πε<br />
r r<br />
2<br />
0<br />
4πε<br />
0r<br />
R<br />
Reinhard Kulessa 16<br />
r<br />
><br />
(5.18a)
V<br />
R r r ∞ r<br />
= ∫ E ⋅ dr + ∫ E<br />
r < R<br />
R<br />
Q<br />
= = const<br />
4πε R<br />
0<br />
⋅<br />
r<br />
dr =<br />
r <<br />
R<br />
(5.18b)<br />
Reinhard Kulessa 17
5.7.2 Pole elektryczne na „ostrzach”<br />
Doświadczenie uczy nas, że pole elektryczne jest najsilniejsze<br />
w pobliżu ostrzy, czy nierówności powierzchni.<br />
Przedstawiony kształt<br />
możemy przybliżyć przez<br />
dwie przewodzące kule o<br />
różnych promieniach,<br />
połączone przewodnikiem.<br />
Otrzymujemy więc przewodnik o<br />
wspólnym jednakowym potencjale V.<br />
Reinhard Kulessa 18
R 1<br />
R 2<br />
Potencjały kul o promieniach<br />
R 1 i R 2 przed połączeniem<br />
wynoszą odpowiednio V 1 i V 2 .<br />
V<br />
1<br />
=<br />
Q1<br />
4πε<br />
R<br />
0<br />
1<br />
=<br />
V<br />
2<br />
=<br />
Q<br />
2<br />
4πε<br />
R<br />
0<br />
2<br />
Po wyrównaniu się potencjałów na obydwu kulach mamy<br />
Q<br />
1<br />
Q =<br />
2 .<br />
R R<br />
1<br />
2<br />
Wiemy również, że<br />
Reinhard Kulessa 19
E<br />
E<br />
1<br />
2<br />
=<br />
Q<br />
R<br />
Q<br />
R<br />
1<br />
2<br />
1<br />
2<br />
2<br />
2<br />
=<br />
σ<br />
σ<br />
1<br />
2<br />
W oparciu o te równania możemy napisać:<br />
E<br />
E<br />
1<br />
2<br />
= R<br />
R<br />
2<br />
1<br />
=<br />
σ<br />
σ<br />
1<br />
2<br />
(5.19)<br />
Stwierdzamy więc że, rozkład ładunku na powierzchniach<br />
zakrzywionych jest taki, że pole E jest odwrotnie<br />
proporcjonalne do promienia krzywizny powierzchni.<br />
Reinhard Kulessa 20